（概率论与数理统计专业论文）失真风险度量.pdf

摘要 摘要 失真风险度量作为一种重要的风险度量工具在现代金融中起着越来越重要 的作用，而近些年来对失真风险度量的研究也越来越广阔。本文主要就近些年对 失真风险度量以下几个方面的研究进行概括并加以总结： 1 风险度量和失真风险度量的定义、性质，一致风险度量，完备失真风险 度量，详尽失真风险度量，适应失真风险度量，以及一些常用的风险度 量和它们如何通过失真函数表示成失真风险度量。 2 ，失真风险度量与随机序之间的关系。 3 随机变量之和的失真风险度量。 4 失真风险度量具体应用的例子。 关键词：风险度量，失真风险度量，失真函数，一致风险度量，完备失真风险度 量，详尽失真风险度量，适应失真风险度量，随机序，随机变量之和的 失真风险度量，经济资本 a b s t r a c t a b s t r a c t a sa l li m p o r t a n tr i s km e a s u r e ，d i s t o r t i o nr i s km e a s u r e sp l a yam o r ea n dm o r e i m p o r t a n tc h a r a c t e ri nm o d e m f i n a n c e i nr e c e n ty e a r s ，p e o p l em a k em a n yr e s e a r c h e s o nd i s t o r t i o nr i s km e a s u r e s t h i sp a p e rm a i n l ys u m m a r i z e st h er e c e n tr e s e a r c ho f d i s t o r t i o nr i s km e a s u r e sf r o ms e v e r a lp o i n t sh e r e i n a f t e r 1 t h ed e f i n i t i o n sa n dt h ep r o p e r t i e so fd i s t o r t i o nr i s km e a s u r e ，c o h e r e n tr i s k m e a s u r e ，c o m p l e t ed i s t o r t i o nr i s km e a s u r e ，e x h a u s t i v ed i s t o r t i o nr i s km e a s u r e ， a d a p t e dd i s t o r t i o nr i s km e a s u r ea sw e l la ss o m ec o m m o nr i s km e a s u r e s ，a n d h o wt h e s ec o m m o nr i s km e a s u r e sa r ee x p r e s s e da sd i s t o r t i o nr i s km e a s u r e s b yu s i n gd i f f e r e n td i s t o r t i o nf u n c t i o n s 2 t h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nd i s t o r t i o nr i s km e a s u r e sa n ds t o c h a s t i co r d e r s 3 d i s t o r t i o nr i s km e a s u r e sf o rs u m so fr a n d o mv a r i a b l e s 4 a n a p p l i c a t i o no fd i s t o r t i o nr i s km e a s u r e s k e y w o r d ：r i s km e a s u r e ，d i s t o r t i o nr i s km e a s u r e ，d i s t o r t i o nf u n c t i o n ，c o h e r e n tr i s k m e a s u r e ，c o m p l e t ed i s t o r t i o nr i s km e a s u r e ，e x h a u s t i v ed i s t o r t i o nr i s k m e a s u r e ，a d a p t e dd i s t o r t i o nr i s km e a s u r e ，s t o c h a s t i co r d e r , d i s t o r t i o n r i s km e a s u r e sf o fs u m so fr a n d o mv a r i a b l e s ，e c o n o m i cc a p i t a l 中国科学技术大学学位论文原创性声明 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工作所取得的成 果。除己特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含任何他人已经发表或撰写 过的研究成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了明确 的说明。 作者签名：亟焦 签字日期： 钿0 9 f l 中国科学技术大学学位论文授权使用声明 作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者授权中国科学技术大学拥 有学位论文的部分使用权，即：学校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交 论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。本人 提交的电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 d 么开口保密( 年) 作者签名：叠缝 签字日期：垫! 垒：丛 导师签名：二翊芦l 签字日期：立瞳 屯l 第1 章绪论 1 1引言 第1 章绪论 在v o nn e u m a n 和m o r g e n s t a n 提出期望效用理论后，就一直有很多针对于期 望效用理论的问题，其中很多问题就集中在“对于每个决策者个体而言，是否都 能够满足期望效用理论的公理假设”。而通过以往实际的情况来看，有很多决策 者个体都不能满足期望效用理论的公理假设。为了解决这些问题，y a a r i ( 1 9 8 7 ) 提出了风险选择对偶理论，失真风险度量就是基于风险选择对偶理论中提出的 “失真函数 的概念而定义的风险度量。 相比一般的风险度量，失真风险度量更具有一般性，失真风险度量考虑到了 投资者的风险厌恶程度不同对风险度量的影响，投资者可以根据自己对待风险的 态度来选择适当的失真函数。另一方面，一些常用的风险度量都可以通过失真函 数转化为失真风险度量，对这些风险度量的研究就变成了对失真函数的研究，从 而降低了研究的难度。 1 2 失真风险度量研究进展 19 5 3 年，v o nn e u m a n 和m o r g e n s t a n 在“t h e o r yo fg a m e sa n de c o n o m i c b e h a v i o r 中提出了期望效用理论，但当时期望效用理论的公理化并不完整，直到 1 9 8 7 年y a a r i 给出了期望效用理论比较完整简洁的公理。同时y a a r i 也提出期望 效用理论公理第5 条中随机变量的构造在很多实际应用中并不适用，对期望效用 理论公理第5 条进行了修改，y a a r i 提出了更加符合实际情况的风险选择对偶理 论。 19 9 0 年，d e n n e n b e r g 在“p r e m i u mc a l c u l a t i o n ：w h ys t a n d a r dd e v i a t i o ns h o u l db e r e p l a c e db ya b s o l u t ed e v i a t i o n 中提出了两种保费定价准则：绝对离差准则和g i n i 准则。绝对离差准则是一种基于分段线性失真函数的保费泛函，而g i n i 准则所基 于的失真函数更具有一般性，这两种保费定价准则都是失真定价准则的特例，之 后，d e n n e n b e r g 和w a n g 对保费定价准则进行了大量研究。失真风险度量就是w a n g ( 1 9 9 6 ) 在对保费定价准则进行研究的基础上定义的一个风险度量族。 a r t z n e re ta 1 ( 1 9 9 9 ) 发表的“c o h e r e n tm e a s u r e so f r i s k 中提出了一致风险度 量理论，并认为一个良好的风险度量必须满足一致性，如在险价值v a r 就不满足 第l 章绪论 一致性，因此v a r 并不是一个很好的风险度量工具，但是满足一致性的风险度量 也可能不是一个良好有效的风险度量工具。w a n g 在2 0 0 2 年提出了一个具有良好 性质的失真风险度量w a n g st r a n s f o t i nr i s km e a s u r e ；2 0 0 6 年，b a l b a s ，g a r r i d o ， m a y o r a l 对失真风险度量的性质进行了研究，并提出了失真风险度量的完备性、 详尽性和适应性，在一定程度上解释了满足什么条件的失真风险度量才是一个良 好的失真风险度量。 1 9 9 8 年，y o u n g & w a n g 就得到了失真风险度量与低阶随机序一致的有关结 果，之后，h i m i m a r m ( 2 0 0 4 ) 进行了失真风险度量与三阶随机序一致的研究，并 给出了两个特殊的、具有良好性质的分布族，当随机变量取值在这两个分布族时 能够由失真风险度量与三阶随机序一致得出失真函数需要满足的条件；b e l l i n i & c a p e r d o n i ( 2 0 0 7 ) 又给出了另一个特殊的分布族。 k a a s ，d h a e n e ，g o o v a e r t s 在2 0 0 0 年得到了随机变量之和的下凸上下界，在 此研究基础上c a m p a n a & f e r r e t t i ( 2 0 0 5 ) 得到了随机变量之和的失真风险度量上 下界；d a r k i e w i c z ( 2 0 0 4 ) 研究了随机变量之和的失真风险度量与相关序和相关系 数之间的关系。 1 3 文章结构 本文主要就近些年对失真风险度量各方面的研究进行概括并加以总结，比较 系统的给出了失真风险度量的定义，以及一些性质。 本文的具体结构如下：第2 章介绍风险度量和失真风险度量的定义、性质， 解释风险度量的一致性，失真风险度量的完备性、详尽性和适应性，给出一些常 用的风险度量如何通过失真函数表示成失真风险度量以及这些风险度量是否符 合一致性、完备性、详尽性和适应性；第3 章介绍失真风险度量与随机序之间的 关系，给出失真风险度量与低阶随机序一致的条件，并介绍几个特殊的分布族； 第4 章介绍随机变量之和的失真风险度量上下界，以及随机变量之和的失真风险 度量与相关系数之间的关系；第5 章给出了一个失真风险度量具体应用的例子。 总结中回顾了前文里具体介绍的关于失真风险度量的各种性质，并提出一个有待 解决的问题。 第2 章失真风险度量 2 1风险度量 第2 章失真风险度量 “风险”一词本身是中性的，s a v a g e ( 1 9 5 4 ) 将风险定义为对未来结果不确 定性的暴露。风险度量实际上就是建立一个规则，使得每一个可能的风险都对应 一个具体的数值，即风险度量的值，也就是说风险度量是从一个随机变量集合映 射到实数域的泛函。具体来说，风险度量可以如下定义： 定义2 1 若q 为一个样本空间，x ：q j r 为代表一个投资在某阶段内的 损失的随机变量( 也就是风险) 。那么考虑一个概率空间( q ，p ) ，并令所有的风 险x 构成一个集合x 。则函数p ：x r 就是一个风险度量。 当x 表示某种风险的时候，由风险度量p 求出的p ( x ) 可正可负，p ( x ) 越 大就表明石的危险性越大。例如：x 表示一个投资组合的风险，可以认为由风险 度量p 求出的p ( x ) 是正值时，那么在此阶段就应该至少以无风险利率投资p ( x ) 来避免风险；反之，如果p ( x ) 是负值，则表示可以在风险可控的情况下从该投 资组合中提现一p ( x ) 的资本额度。 风险度量与精算中的保费定价准则在很多方面都密切相关( 具体可见 g o o v a e r t se ta 1 ，1 9 8 4 ) 。若x 表示某个损失的风险，保费定价准则n 就代表保险 公司为了承保此风险所需要收取的保费是n ( x ) ，r t ( x ) 能够体现保险人对待风 险的态度。很多保费定价准则本身就是风险度量。 多年以来，风险度量方法不断推陈出新，从方差、f a r 、c t e 到失真风险度 量；从静态风险度量到动态风险度量，满足了人们在不同时期、不同背景对风险 度量的不同要求，它们各自具有其特定的数学和经济含义，并且与客观经济规律 相符合，在实际经济分析和投资领域具有重要的作用。 研究风险度量应该从公理化的角度来研究，把一个好的风险度量应该具有的 基本性质作为公理，这些公理也就称为评价一个新的风险度量好坏的标准。从公 理化角度来研究风险度量的具有代表性的工作有a r t z n e re ta 1 ( 1 9 9 9 ) ，k u s u o k a ( 2 0 0 1 ) ，b a l b a se ta 1 ( 2 0 0 6 ) ，等。 3 第2 章失真风险度量 a r t z n e r e t a l ( 1 9 9 9 ) 提出了一致风险度量，并认为一个良好的风险度量p 必 须满足以下条件，就可以称之为一致失真风险度量。 1 ) 单调性：对任意x ，yex ，若满足e ( x y ) = 1 ，则有 p ( x ) p ( r ) ( 2 1 ) 2 ) 次可加性：对任意x ，y x ，有 p ( x + y ) 户( x ) + p ( 】，) ( 2 2 ) 3 ) 正齐次性：对任意x x ，兄 0 ，有 p ( 2 x ) = a p ( x ) ( 2 3 ) 4 ) 平移不变性：对任意x x ，a r ，有 p ( x + a ) = p ( x ) + 口 ( 2 4 ) 其中，单调性说明资产面临的损失越大，则风险也越大；次可加性说明分散 投资可以降低风险；正齐次性说明随着资产配置量的增加，风险也相应增加，同 时也说明资产的风险与采用的货币单位是独立的；平移不变性说明增加先进能够 降低风险。 a r t z l l e re ta 1 ( 1 9 9 9 ) 在q 是有限集的假设下证明了，p 是一致风险度量当且 仅当p 有如下表示： 户( x ) = s u p e q ( x ) ：q p ) ( 2 5 ) 其中p 是一个非空的概率测度集，e q 表示在概率测度q 下的期望若p 代表 情景集合，那么户( x ) 就表示最坏情景下x 的期望。容易验证( 2 5 ) 定义的基于 情景的风险度量满足a r t z n e re ta 1 ( 1 9 9 9 ) 给出的一致性条件，但是此时该风险度 量不满足客观性。所谓客观性是指，若x 和y 同分布，则有p ( x ) = p ( y ) 。客观 性是一个风险度量可以实际应用的前提，只有风险度量具有客观性，这个风险度 量才有意义。 下面简要介绍实际中经常用到的风险度量如v a r ，c t e 等。 v a r ( v a l u ea tr i s k ) 是在正常的市场条件下和一定的置信水平口下，算出 4 第2 章失真风险度量 在给定的时间段内预期发生的最坏情况的损失大小。v a r 是j p m o r g a n 投资银 行于1 9 9 4 年在r i s k l v l e t r i c s 系统中引入的概念，其具体定义如下： 定义2 2 ( d u f f l e & p a n ，1 9 9 7 ) 一定持有期内在概率空间( q ，p ) 上给定描 述损失的随机变量x ，置信水平0 口 l - n ( 2 6 ) 实际上，简单来说，如果损失分布连续，玩疋就是损失分布的a x l 0 0 分 位点。但是v a r 作为一种常用的风险度量工具，只考虑了超过v a r 的频率，而 没有考虑超过v a r 的损失的分布情况，同时，v a r 不具有次可加性，因此v a r 不是一个一致风险度量，为了解决这个问题就提出了c t e 。 c t e ( c o n d i t i o n a lt a i le x p e c t a t i o n ) 是在正常的市场条件下和一定的置信 水平口下，算出在给定的时间段内损失超过砌疋的条件期望，其具体定义如 下： 定义2 3 ( a r t z n e re ta 1 ，1 9 9 9 ) 一定持有期内在概率空间( q ，p ) 上给定描述 损失的随机变量咒置信水平0 口 l ，则a x l 0 0 c t e 可定义为： c r e a ( x ) = e x l x v a r o ( x ) 】 ( 2 7 ) c t e 能够从一定程度上解决v a r 的缺点，首先，c t e 是一个一致风险度量， 其次，c t e 不仅考虑了超过v a r 的频率，而且考虑了超过v a r 的损失的条件期 望，能够有效的改善v a r 在处理损失分布的后尾现象时的问题。但是，在很多实 际应用中，c t e 还是不能够得出正确的结论，这个问题将在2 3 中详细说明。 还有一些常用的风险度量，例如p h t r a n s f o r mr i s km e a s u r e ，d u a l - p o w e rr i s k m e a s u r e ，w a n g st r a n s f o r mr i s km e a s u r e 等，这些都是通过不同的失真函数而定义 的失真风险度量，下面一节将具体介绍失真风险度量。 2 2 失真风险度量 失真风险度量是基于某个具有一定性质的失真函数，并通过一定变换而得到的 一类新的风险度量。1 9 8 7 年y a a r i 提出期望效用理论公理第5 条中随机变量的构 造在很多实际应用中并不适用，对期望效用理论公理第5 条进行了修改，将期望 效用理论中公理第5 条中依概率线性组合成的随机变量修改为混合随机变量，在 第2 章失真风险度量 此基础上，y a a r i 提出了更加符合实际情况的风险选择对偶理论。风险选择对偶理 论中使用了失真函数( d i s t o r t i o nf u n c t i o n ) 的概念来对应期望效用理论中效用函 数的概念，y a a r i ( 1 9 8 7 ) 提出对随机变鼢】，给定效用函数2 ，则必定存在一 个失真函数g ，使得研( x ) 】研( 】，) 】成立的充要条件是： 以) 以( 】，) ( 2 8 ) 其中 h , c x ) = r g ( _ z q ) ) a t 一( 1 一g ( _ o ) ) 出 ( 2 9 ) 失真风险度量是基于风险选择对偶理论，并在对保费定价准则的研究中发展起 来的，d e r m e n b e r g ( 1 9 9 0 ) 对于保费定价提出了绝对偏差准则： 嬲= e r 叫( g ) d y ( g ) ( 2 1 0 ) 其中 7 ( 留) = ( 1 - p ) q , 一p ，三三譬：，兰召，( 。夕) ( 2 1 t ) 这里( 2 1 0 ) 的分段线性函数r ( q ) 也可以用另一个定义在 0 ，1 】上的分布函数来代 替，这就能构成一个新的保费定价准则。例如： y ( g ) = 牙+ i 1p ( 9 2 一g ) ， ( o 夕2 ) ( 2 1 2 ) 日( 石) = e ( x ) + 寺户g i n i x ( 2 1 3 ) 这就是g i n i 准则。取不同的分布函数y ( g ) 能够得到不同的保费定价准则。在此基 础& w a n g ( 1 9 9 6 ) 通过使用y a a r i ( 1 9 8 7 ) 提出的风险选择对偶理论中失真函数的 概念，定义了一个风险度量族，即失真风险度量： 定义2 4 ( y a a r i ，1 9 8 7 )若g ：【0 ，l 卜争【o ，1 】为一个非减函数，且满足 g ( o ) = o ，g ( 1 ) = l ，则g 是一个失真函数。 定义2 5 ( w a n g ，1 9 9 6 )由失真函数g 得到的随机变量x 的失真风险度量 为： a g ( x ) = f f g ( - f z q ) ) a t 一二( 1 一g 承) ) 出 ( 2 1 4 ) 在精算领域中，失真风险度量也被称为失真保费准则，是由w a n g 及其合作 者在对保费定价准则的研究文献中所建立的。考虑到w a n g 的特殊贡献( w a n g ， 6 第2 章失真风险度量 1 9 9 5 ，1 9 9 6 ，2 0 0 0 ，2 0 0 2 ) ，文献中也将其称为w a n g 风险度量。 ( 2 1 4 ) 中定义的失真风险度量可以看作是一个概率分布的权重被重新定义 了的随机变量的期望。具体来说，对任意的x r ，失真函数g 将损失超过x 的 尾概率f ( 工) 失真变形为户幸( x ) = g ( f ( 工) ) 。显然，g ( 户( x ) ) 也关于x 单调递减， 若g 右连续，则g ( f ( x ) ) 可以看作是某个随机变量x 的生存函数，( z ) ，则有： 段( x ) = e ( x ) = f x 。卵 2 j og ( - p z ( f ) ) 出一l ( 1 一g ( f x ( t ) ) a t ，u 一 失真风险度量具有很多良好的性质，例如满足一致风险度量的条件( 2 1 ) ( 2 4 ) 5 b 的单调性、正齐次性、平移不变性，同时还满足一些其他性质，如客观性、 同单调可加性等。 定义2 6 若风险度量p 满足同单调可加性，则有任取x ，y e x ，若x 和】， 同单调，能够推出： p ( x ) + p ( i o = 夕( x + 】，) ( 2 1 6 ) 其中同单调性的定义如下。 随机向量x = ( 五，五，以) ，五x ，如果存在一个随机变量z x ，和非 减函数，五，z ，使得 d ( 五，置，以) = ( 彳( z ) ，五( z ) ，z ( z ) ) ( 2 1 7 ) 则称x 具有同单调性。 若希望失真风险度量岛具有较好的性质，是一致风险度量，就需要岛具有 次可加性。w i r c h & h a r d y ( 2 0 0 1 ) 证明了失真风险度量具有一致性的充要条件是 其对应的失真函数是上凹的。 定理2 1 ( w i r c h & h a r d y ，2 0 0 1 ) 失真风险度量岛具有次可加性的充要条 件是& 对应的失真函数g 是上凹的。 k u s u o k a ( 2 0 0 1 ) 给出了失真风险度量类似公理化的定理，证明了满足一定条 件的风险度量必然可以通过某个失真函数表示成失真风险度量的形式。 7 第2 章失真风险度量 定理2 2 ( k u s u o k a ，2 0 01 ) 若一个风险度量具有正齐次性、单调性、平稳 不变性、次可加性和单调可加性，则这个风险度量必然可以通过某个失真函数表 示成失真风险度量的形式。 已经有很多不同的失真函数g 和其对应的失真风险度量被提出，下面是一些 常见的失真风险度量： 1 水平为口的在险价值砌疋，定义可见( 2 6 ) 。 其对应的失真函数是( 1 一口，1 上的示性函数 g ( 功= l 。l l ( 对，x e o ，l 】 水平口= 0 5 的纥心对应的失真函数图形见图2 1 2 水平为口的条件尾期望c 觋，定义可见( 2 7 ) 。 其对应的失真函数是 办胁；n ( 高吵州叫， 水平口= 0 5 的c t e , ，对应的失真函数的图形见图2 2 。 水平为0 5 的v a r 对应的失真函致 承平为0 5 的c t e 对应的失真函数 ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) o d0 20 40 60 8 1 d 0 00 20 40 80 8 1 0 xx 图2 1 口= o 5 的忱对应的失真函数图2 2 口= o 5 的c 啦对应的失真函数 3 比例风险率风险度量( p r o p o r t i o n a l h a z a r dt r a n s f o r mr i s km e a s u r e ) ， p h - t r a n s f o r mr i s km e a s u r e 是由w a n g ( 19 9 5 ) 提出的。 其对应的失真函数是 g ( x ) ：x 形，尸1 ( 2 2 0 ) p = 0 5 时，p h t r a n s f o r mr i s km e a s u r e 对应的失真函数图形见图2 3 。 8 第2 章失真风险度量 4 对偶幂风险度量( d u a l p o w e r r i s km e a s u r e ) 。 其对应的失真函数是 g ( x ) = l 一( 1 - x ) 7 ，i ，l ( 2 2 1 ) y = 2 时，d u a l - p o w e r r i s km e 懿u r e 对应的失真函数图形见图2 4 。 善 菩 图2 3p = 0 5 时的p h - t r a n s f o r mr i s k 图2 4y = 2 时的d u a l - p o w e r r i s k m e a s u r e 对应的失真函数 m e a s u r e 对应的失真函数 5 w tr i s km e a s u r e ( w a n g st r a n s f o r mr i s km e a s u r e ) ，w tr i s km e a s u r e 是i 主l w a n g ( 2 0 0 2 ) 提出的。w tr i s km e a s u r e 在金融衍生品定价和保费定价中被经常应 用，w tr i s km e a s u r e 利用了原始损失分布的所有信息，并且重新分配了不同损失 所占的权重，比较小的损失的失真概率很小，而较大损失的失真概率则比较大， 因此，w tr i s km e a s u r e 具有比较好的性质。 其对应的失真函数是 g ( x ) = 【西一( d + 口】 ( 2 2 2 ) 其中是标准正态分布函数，参数口是实数。 口= 1 时，w tr i s km e a s u r e 聂j 应的失真函数图形见图2 5 。 6 绝对偏差风险度量 气( x ) = e ( x ) + s e ix 所( x ) l ( 2 2 3 ) 其中，m ( x ) 是x 的中位数，其相应的失真函数是 岛c 曲= 工+ 兰( 一2 l x 一圭1 ) ，c 。p ， c 2 2 4 ， 口= 0 5 时，绝对偏差风险度量对应的失真函数图形见图2 6 。 第2 章失真风险度量 w 们g ot r a n s f 6 r m 对应的失真函数绝对儡差风险度量对应的失真函数 吾 图2 。5 口= l 时，w tr i s km e 嬲u r e 对应的图2 60 = 0 5 时。绝对偏差风险度量对 失真函数 应的失真函数 7 g i n i 风险度量 ( x ) = e ( x ) + 秒g 砌f ( x ) ( 2 2 5 ) 其中，g 伽f ( x ) = 旦盥笋型代表g i n i 系数，这里的x 和y 独立同分布，其 对应的失真函数是 g o ( x ) = ( 1 + o ) x - o x 2 ，( o 口1 ) ( 2 2 6 ) 秒= 0 5 时，g i n i 风险度量对应的失真函数图形见图2 7 。 图2 70 = 0 5 时，g i n i 风险度量对应的失真函数 1 0 第2 章失真风险度量 2 3 失真风险度量的性质 a r t z n e re ta 1 ( 1 9 9 7 ) 提出的风险度量致性是保证失真风险度量具有优良 性质的一个条件，但是仅仅只有一致性仍然不能保证失真风险度量能够如实的反 映出实际风险的差异。例如，v a r 和c t e 都可以表示成失真风险度量的形式， f a r 不具有一致性，而c t e 具有一致性，尽管c t e 在某些方面上比v a r 更实用， 但是c 恧还是只考虑了超过p a r 的那部分损失的信息，而忽略了小于v a r 的部 分损失，这些被忽略的信息在实际应用中有可能导致一些错误的结论。例如下例： 例2 1投资组合a 和b 的损失分布如表2 1 所示： 表2 1 投资组合a 和b 的损失分布以及基于c t e , ( 口= o 9 ) 的失真损失分布 损失 只( x )只o )b ( 曲尼( 工) 0o 60 50 60 1 00 410 4l 容易看出，基于水平口= 0 9 ，两个投资组合的c r e 都等于l o 。但实际上， 投资组合a 随机优于投资组合b ，也就是说投资组合b 的风险更大，但从c r e 无法得出这个结论。 这就要求提出一些更进一步的失真风险度量的性质来保证失真风险度量能 够如实的反映出实际风险的差异。 b a l b a se ta 1 ( 2 0 0 6 ) 对失真风险度量的性质进行了研究，并提出了失真风险度 量的完备性、详尽性和适应性，在一定程度上解决了满足什么条件的失真风险度 量才是一个良好的失真风险度量。 失真风险度量的完备性的定义是基于失真函数在任何区间上都不取常数，这 样的失真函数就可以利用上原始损失分布的所有信息。这个概念可以用如下的定 义来更为准确的描述： 定义2 7 现有随机变量兄其生存函数为s ，失真函数g ，岛是x 基于g 的失真风险度量，s 。是失真分布的生存函数。若s 满足： 第2 章失真风险度量 s ( 五) = s ( 屯) s ( 而) = s ( x 2 ) ( 2 2 7 ) 则称成为一个完备失真风险度量。 由定义2 7 容易看出v a r 和c t e 都不是完备失真风险度量，因为l i a r 和c t e 的 失真函数都在某些区间上为常数，这也在一定程度上能够解释为什么l i a r 和c t e 有时会得到与事实矛盾的结论。 由定义2 7 易知失真函数严格递增可以推出其对应的失真风险度量的完备性。 定理2 3 现有随机变量墨其生存函数为s ，失真函数g ，岛胜于g 的失真风 险度量，s 是失真分布的生存函数，则有： g 严格递增j 以是一个完备失真风险度量。 由定理2 3 易知，p h t r a n s f o r i l lr i s km e a s l l l e ，d u a l - p o w e rr i s km e a s u r e 和w t r i s km e a s u r e 都是完备失真风险度量。 a r t z n e re ta 1 ( 1 9 9 7 ) 提出的风险度量一致性也是保证失真风险度量具有优 良性质的一个条件，因此我们经常需要一个失真风险度量既有一致性，又同时包 含原始损失分布的所有信息。这就需要定义一个新的失真风险度量族，既具有一 致性，又具有完备性，称之为详尽失真风险度量： 定义2 8 ( b a l b a se ta 1 ，2 0 0 6 ) 现有随机变量墨失真函数g ，依腿于g 的失真风险度量若岛既具有一致性，又具有完备性，则称岛为一个详尽失真 风险度量。 引理2 1 现有随机变量正失真函数g ，展是x 基于g 的失真风险度量。 若g 是上凹的且g 严格递增，则以是一个详尽失真风险度量。 而由上述引理进一步可知，一个失真风险度量具有详尽性的充分条件是失真 函数g 是上凹的且仅能够在x = l 处取l 。 引理2 2 现有随机变量五失真函数g ，岛是x 基于g 的失真风险度量。 若g 是上凹的g ( x ) 1 )-j w tr i s km e a s u r e- - 0 第3 章失真风险度量与随机序 第3 章失真风险度量与随机序 3 1一阶随机序和二阶随机序 考虑随机变量和y ，x y 表示x 按随机序 小于l 对于失真风险度量而言，讨论它同某个给定的随机序是否一致是非常必要 的。一般来说，某个风险度量p 如果满足： x y p ( x ) p ( y ) ( 3 1 ) 就称风险度量p 与随机序 一致，也就是说通过随机序 来比较风险的结果与通 过风险度量p 来比较的结果一致。 定义3 1 ( l e v y ，1 9 9 8 ) 现有随机变量x 和y ，若对任何满足研厂( 彳) 】和 e 【厂( 】，) 有限的非降函数都有研厂( x ) 】e 【厂( y ) 】，则称随机变量x 按一阶随机 序小于随机变量l 记为x s 鲋y 。 定义3 2 ( l e v y ，1 9 9 8 ) 现有随机变量石和y ，若对任何满足e 厂( x ) 和 e 【厂( 】，) 】有限的非减上l 凹f f s 数厂都有研厂( x ) e 【厂( y ) 】，则称随机变量x 按二阶 随机序小于随机变量y ，记为x 墨咖y 。 定义3 3 现有随机变量x 和y ，若对任何满足e l f ( x ) 和e c f ( y ) 有限的 非降下凸函数厂都有研厂( x ) 】e e f c r ) 】，则称随机变量x 按非减下凸序小于随机 变量l 记为x 墨妇y 。 风险度量夕如果满足： x s 盯y j 夕( x ) p ( y ) 则称风险度量p 与一阶随机序一致。 1 4 ( 3 2 ) 第3 章失真风险度量与随机序 l 司样，若风险度量p 如果满足： 一】，5 细一x j 户( 幻( y ) ( 3 3 ) 则称风险度量p 与二阶随机序一致，其中( 3 3 ) 等同于 x 墨妇y j p ( x ) p ( 1 0 ( 3 4 ) 1 9 9 8 年，y o u n g & w a n g 又r 于失真风险度量与一阶和二阶随机序一致得到了 一些结果，并有如下几个定理： 定理3 1 ( y o u n g w a n g ，1 9 9 8 ) 现有随机变鼢y ，失真函数g ，岛是 基于g 的失真风险度量，则失真风险度量岛与一阶随机序一致。 定理3 2 ( y o u n g w a n g ，1 9 9 8 )现有随机变蜘l 上凹失真函数g ，磊 是基于g 的失真风险度量，则失真风险度量岛与二阶随机序一致。 定理3 2 说明任何一个一致失真风险度量都与二阶随机序一致，若进一步将 定理3 2 严格化，有如下定理： 定理3 3 ( w i r c h h a r d y ，2 0 0 3 ) 现有随机变量x 和l 严格上凹失真函数 g ( g ” o ) ，b 是基于g 的失真风险度量，则有： x 河y j & ( x ) 岛( y ) ( 3 5 ) 3 2 三阶随机序 2 0 0 1 年，y a m a i 提出了风险度量在什么条件下能够与三阶乃至更高阶的随机 序一致的问题，h t i r l i m a n n ( 2 0 0 4 ) 进行了失真风险度量与三阶随机序一致的研 究，并给出了两个特殊的、具有良好性质的分布族，当随机变量取值在这两个分 布族时能够由失真风险度量与三阶随机序一致得出失真函数需要满足的条件。 定义3 4 ( l e v y ，1 9 9 8 ) 随机变量x 和y ，若对任何满足e ( x ) 和e ( y ) 】 存在的函数f ( f 0 ，f 。o ，f 胛o ) 都有e 【厂( z ) 】se 厂( 】，) 】，则称随机变量x 按 三阶随机序小于随机变量y ，记为x s 3y 。 第3 章失真风险度量与随机序 定义3 5 ( d e n u i te ta 1 ，1 9 9 8 ) 函数厂的定义域为s ，若对任何 而 五 o , 删 慨7 ， 其中a x 是位置参数，是尺度参数，吼是p a r e t o 指数，那么期望玩和方差一 如下所示： 段= 口x + 毛，口x l ( 3 8 ) 段邵x + 翥，口x “ 【3 踟 2 = c 纨一，( 芸嘲， 2 c 3 9 ， 记由所有服从三参数p a r e t o 分布的随机变量组成的集合为珥。 1 6 第3 章失真风险度量与随机序 定理3 4 ( h f i r l i m a n n ，2 0 0 4 ) 随机变量x ，y d 2 ，失真函数g 连续递增上 凹可微，以是基于g 的失真风险度量，则失真风险度量& 与三阶下凸序一致的 充要条件是： 亡【l g ( 工) 】+ g ( x ) 一2 x g ( x ) o ，x ( o ，1 ) ( 3 1 0 ) 比例风险率p h - t r a n s f o r m 满足定理3 4 ，若随机变量x ，y d 2 ，p h - t r a n s f o r m 与三阶下凸序一致。 定理3 5 ( h t i r l i m a r m ，2 0 0 4 ) 若随机变量x ，ye4 ，则与三阶下凸序一致 的失真风险度量岛所对应的失真函数只可能是g ( x ) = x 或者g ( x ) - - - x 。 如果随机变量被限制在d 2 或者d p 内，就能够得出一些与三阶下凸序一致的 结论。b e l l i n i & c a p e r d o n i ( 2 0 0 7 ) 也给出了另一个特殊的分布族，当随机变量被 限制在其内时，也能够得出一些与三阶下凸序一致的结论： 随机变量j 和j ，的分布如下所示： x = p l + s p 2 3 占 ( 3 i i ) 见+ 3 6 。 p 4 一s 其中p i o ，p i = l ，占 o 但充分小。 i = i 记所有满足例( 3 1 1 ) 形式的随机变量组成的集合为d 4 。 定理3 6 ( b e l l i n i c a p e r d o n i ，2 0 0 7 ) 随机变量x ，y 皿，则与三阶下凸 序一致的一致失真风险度量只能是期望。 1 7 = y 2 ， 4n 见以风 l 2 3 4 第4 章随机变量之和的失真风险度量 第4 章随机变量之和的失真风险度量 在传统的风险理论中，风险或者说随机变量往往被认为是相互独立的，而在 近些年实际的金融或者精算领域中，经常要遇到存在相依性的风险或者说随机变 量，并且需要用到类似s = 置形式的随机变量之和，一般来说，五之间不独 百 立，仅仅知道五的边缘分布而不知道x = ( 五，置，l ) 的联合分布，这时可以 通过下凸序给出s 的上下界，进而得到s 的一致失真风险度量上下界。 在实际应用中，损失一般都是定义在概率空间( q ，p ) 上的非负且有界的实值 随机变量，不妨令r 为所有取值在区间 0 ，c 】上的损失的集合。 考虑随机向量x = ( 五，五，以) ，五r ，则存在其同单调对应的随机向 量x 。： x 。= ( 五，t 。，以。) = ( 互一( 【，) ，e - 1 ( u ) 9o , j 巴一( u ) ) ( 4 1 ) 其中巧是五的边缘分布函数，u 是一个服从( o ，1 ) 区间上均匀分布的随机变量， 那么z 。的边缘分布与互相同，但是x 。同单调。 琳 记s = y 置， j i 一 l 氲i 掰 s = yx ；。 _ 一 i = i 给定一个失真函数g ，由x 。的同单调性可知： 岛( 酽) = b ( 五) = 岛( 置) ( 4 2 ) i = li = 1 4 1 随机变量之和的下凸上下界 k a a se ta l ，( 2 0 0 0 ) 证明了可以用下凸序得到随机变量之和的下凸上下界，首 先定义下凸序： 1 8 第4 章随机变量之和的失真风险度量 定义4 1 随机变量x 和y ，若对任何能够满足研厂( x ) 】和研厂( y ) 】存在的