（生物物理学专业论文）高亏格膜泡形状的研究.pdf

高亏格膜泡形状的研究 解立强 摘要：双亲分子有一个亲水的极性头部和两条疏水的碳氢链组成。当将它们放入 水溶液中时，为了避免疏水的尾端与水的接触，这些双亲分子会自发的形成双层 分子膜。双层分子之间会有因碳氢链的疏水效应产生的非共价键弱相互作用。在 浓度较低的时候，这些双层会形成闭合的膜泡。实验上观察到的能够存在一小时 以上的膜泡可以看作是在特定条件下的一个平衡态。值得注意的一点是，这样一 个膜泡的构型并不是由其表面张力决定的，而是由其表面弯曲能决定的。正是基 于这样一个假设，曲率模型才能够在理论上计算出大量的膜泡形状。 实验上观察到的大量膜泡可以根据其拓扑结构来分类。而膜泡的拓扑结构可 以用其拓扑亏格g 来标示，g 的数值等于在一个球面粘贴的“柄”或者是贯穿球面的 “洞”的数目。实验上已经观察到了大量的g 一0 的球形拓扑，g = 1 的环形拓扑及更 高拓扑亏格的膜泡。 根据h e l f r i c h 提出的s c 自发曲率模型人们已经在给出了一些解析解，这包括 正常红细胞形状解，柯利福德锚环解，圆柱周期性解，还有德朗尼曲面及其扩展 曲面解，而更多的解则是由数值计算给出。它们被放置在现在我们知道的相图里。 对于亏格g - 2 的膜泡的理论研究，目前人们只就w i l l m o r e 问题以及w i l l m o r e 曲面族进行了详细的讨论，而对w i l l m o r e 区域外的可能存在的形状及其稳定性， 不同分支之间的演化都还没有系统的研究。x m i c h a l e t 等人尝试用s u r f a c ee v o l v e r 得出了一些实验上已发现的形状。ej u l i e h e r 等人通过对w i l l m o r e 区域外推对相 图做了粗略的估算。 本文集中研究拓扑亏格g 一2 的膜泡在不同曲率模型中的形状及其演化。首 先，选择具有不同对称性的两种初始形状，在s c 模型中演化得到稳定的形状，因 为s c 模型下计算具有较快的收敛速度，并且易于对稳定性进行分析。然后利用 s c 模型与b c 模型的关系，构建b c 模型下的相图，并与已有的相图作比较。我 们还对s c 模型下的一些非连续相变，在b c 模型下进行了直接计算。我们得到 的主要结果如下： ( 1 ) 平均曲率积分在更宽的取值范围内都具有稳定的形状。 ( 2 ) 在s c 模型中找到了几种新的稳定形状，它们分别具有c 。d 。和c ，的 对称性。 ( 3 ) 在s c 模型中通过跟踪本征值对形状演化进行分析，发现了几种近连续 的相变，并由此得到相应分支在b c 模型下的稳定相图。 ( 4 ) 对一些在s c 模型下的不连续相变，我们直接在b c 模型下进行了计算。 我们发现不同分支的稳定区间在b c 模型下有重叠。 ( 5 ) 我们得到了b c 模型下w i l l m o r e 区域外的较完整的相图，并将我们的计 算结果显示其中。 关键词：膜泡形状，高拓扑亏格，曲率模型，稳定性，相图，相变 1 i r e s e a c ho i lv e s i c l es h a p e so fh i g h e rt o p o l o g i c a lg e n u s x i el i q i a n g a b s t r a c t ：a m p h i p h i l i cm o l e c u l e sa r ec o m p o s e do fah y d r o p h i l i ch e a d ，w h i c hf a v o r si n c o n t a c tw i t hw a t e r , a n dt w oh y d r o p h o b i ch y d r o c a r b o nc h a i n s w h e ni n t r o d u c e di n t oa n a q u e o u se n v i r o n m e n t ，i no r d e rt oa v o i dt h ee x p o s u r eo fh y d r o p h o b i ct a i l so ft h el i p i d m o l e c u l e sw i t hw a t e f t h e s ea m p h i p h i l i cm o l e c u l e sa g g r e g a t es p o n t a n e o u s l yi n t ot w o m o n o - m o l e c u l a rl a y e r sh e l d t o g e t h e rb y w e a kn o b - c o v a l e n tf o r c e sd u et ot h e h y d r o p h o b i ce f f e c t t h eb i l a y e r sw i l lf o r mc l o s e dv e s i c l e sa tl o wl i p i dc o n c e n t r a t i o n e x p e r i m e n t a l l yav e s i c l eo b s e r v a b l eo v e ra nh o u rc a nb ec o n s i d e r e da sas y s t e mi na w e l ld e f i n e dc o n s t r a i n e de q u i l i b r i u m o n es t r i k i n gp o i n ti st h ec o n f i g u r a t i o no fav e s i c l e i sn o td e t e r m i n e db yi t ss u r f a c et e n s i o nb u tr a t h e rb yi t sb e n d i n ge l a s t i c i t y c u r v a t u r e m o d e l sb a s e do nt h i sa s s u m p t i o na l l o wt h et h e o r e t i c a ls t u d yo far i c hv a r i e t yo fd i f f e r e n t v e s i c l es h a p e s v e s i c l e so b s e r v e db ye x p e r i m e n t sc a l la l s ob ec l a s s i f i e db yt h e f tt o p o l o g i e s t h e t o p o l o g yo fav e s i c l ei sc h a r a c t e r i z e db yi t st o p o l o g i c a lg e n u sgw h i c hc o u n t st h e n u m b e ro f ”h a n d l e s ”t h a th a v et ob ea t t a c h e dt oo r ”h o l e s ”t h a th a v et ob ep e n e t r a t e d t h r o u g has p h e r et oo b t a i nas u r f a c eo fg i v e nt o p o l o g y v e s i c l e sw i t hz e r o ( s p h e r i c a l t o p o l o g y ) ，o n e ( t o r o i d a lt o p o l o g y ) ，t w o ，a n de v e nm o r e “h a n d l e s ”o r “h o l e s ”h a v e b e e no b s e r v e de x p e r i m e n t a l l y a c c o r d i n g t ot h es c ( s p o n t a n e o u s - c u r v a t u r e ) m o d e lp r o p o s e db yh e l f r i c h ，s c i e n t i s t s h a v eo b t a i n e ds o m ea n a l y t i cs o l u t i o n s ，s u c ha ss p h e r i c a ls h a p e s ，n o r m a lr e db l o o dc e l l s s h a p e ，c l i f f o r dt o r u s ，p e r i o d i cc y l i n d r i c a ls u r f a c e s ，d e l a n n a y s u r f a c e sa n db e y o n d d e l a u n a ys u r f a c e s i nt h eg e n e r a lc a s e ，t h i sp r o b l e mi ss t u d i e db yn u m e r i c a lm e t h o d s ， a n dm a n yi n t e r e s t i n gn u m e r i c a ls o l u t i o n s ，m o s to fw h i c ha r ea x i s y m m e t r i cs h a p e sh a v e b e e nf o u n d t h e yw e r ep l a c e do nt h es o c a l l e dp h a s ed i a g r a m s a sf o rv e s i c l es h a p e so fh i g h e rt o p o l o g i c a lg e n u sg 一2 ，o n l yt h ew i l l m o r ep r o b l e m a n dw i l l m o r es u r f a c e sw e r ed i s c u s s e de x p l i c i t l y , a n ds o m er o u g hs p e c u l a t i o n sw e r e m a d eo nt h ep h a s ed i a g r a mb e y o n dw i l l m o r er e g i o n s of a rt h e r es t i l ll a c k ss y s t e m a t i c s t u d yo i lt h i sr e g i o n o n l ys o m es h a p e ss i m i l a rt ot h ev e s i c l e sf o u n di ne x p e r i m e n t s h a v eb e e no b t a i n e db ys u r f a c ee v o l v e r a n dt h es t a b i l i t yo fv a r i o u ss h a p e sa n dt h e t r a n s i t i o n sb e t w e e nv a i l o u sb r a n c h e sh a v en o tb e e ns t u d i e ds of a r t h i sp a p e rf o c u s e so nt h er e s e a r c ho ft h es h a p e so ft o p o l o 茸i c a lg e n u s2b e y o n d w i l l m o r e r e 掣o n i nd i f f e r e n tc u r v a t u r e m o d e l s f i r s t ，w ec h o o s ct w oi n i t i a i c o n f i g u r a t i o n sw i t hd i f f e r e n ts y m m e t r i e si ns u r f a c ee v o l v e r w em a d eo u rc a l c u l a t i o n u n d e rs cm o d e lw h i c hh a sah i g hc o n v e r g e n c er a t e a tl a s t ，w ec o n s t r u c to u rp h a s e d i a g r a mu n d e rb cm o d e li no r d e rt om a k ec o m p a r i s o nw i t ht h eo n ef o r m e rr e s e a r c h e r h a v ed o n e t h r o u l g l la d j u s t i n gs o m ep a r a m e t e r st h a tc o n t r i b u t e st ot h eb e n d i n g e l a s t i c i t y a n ds t a b i l i t ya n a l y s i s ，w eg e ts o m en e wr e s u l t sa sf o l l o w s ： ( 1 ) aw i l d e rr a n go fm e a nc u r v a t u r ei n t e g r a lf o rt h ep h a s ed i a g r a m ( 2 ) s e v e r a ln e ws h a p e si ns cm o d e lw i t hc 2 ，d a n d c hs y m m e t r y , r e s p e c t i v e l y o ) s e v e r a ls e m i c o n t i n u o u sp h a s et r a n s i t i o n si ns cm o d e lb yt r a c i n gt h eh e s s i a n m a t r i xa n dt h ec o r r e s p o n d i n gp h a s ed i a g r a mi nb cm o d e l ( 4 ) c a l c u l a t i o n sw e r em a d ei nb cm o d e lf o rs o m ed i s c o n t i n u o u sp h a s et r a n s i t i o n si n s cm o d e la n dr e g i o n so fo v e r l a p p i n gw e r ef o u n di nb cm o d e l ( 5 ) ar e l a t i v e l yc o m p l e t ep h a s ed i a g r a mi nb cm o d e lw i t hw h i c hw es h o wt h ea b o v e r e s u l t s k e y w o r d s ：v e s i c l es h a p e s ，h i g h e rt o p o l o g i c a lg e n u s ，c u r v a t u r em o d e l ，s t a b i l i t y ，p h a s e d i a g r a m ，p h a s et r a n s i t i o n i 、， 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，论文中不包含其他个人 已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得陕西师范大学或其它教育机构 的学位或证书而使用过的材料。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均 已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名：触日期 妒q 、渖 学位论文使用授权声明 本人同意研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属陕西师范大 学。本人保证毕业离校后，发表本论文或使用本论文成果时署名单位仍为陕西 师范大学。学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其它指定机构送交论文 的电子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进 入学校图书馆、院系资料室被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进 行检索；有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。 作者签名 第一章引言 本章主要介绍细胞膜的分子组成，简化模型，以及生物膜形状研究的现状和重 要进展。 1 1 细胞膜的分子组成和简化模型 细胞膜在生命活动中发挥着重要的作用，它是细胞内部和外部环境的分界面。 它主要由脂类双分子层构成，上面镶嵌着糖分子和蛋白质分子。一种重要的脂类 是磷脂，如图1 1 所示。它有一个极性的亲水端和两条疏水的碳氢链尾巴。从物理 的观点看，磷脂分子可以看作一个双亲的棒。 r 占 r = 微悱旌 l o = p - o - f h ：一札 i f 叼千- o 夕h z 夕h ： e 气薯气 c h 2c h 2 h 2 c h 2 c 夕h 2 夕h 2 h z c h ：c 9 h ： f 夕h ： h 3 ch 3 9 h ： i h z c 采水饭性又部 疏水碳链j 部 图1 1 磷脂分子的结构。左图为化学结构式，右为物理示意图。 由于疏水相互作用，磷脂双亲分子在低浓度的溶液中可自发的形成闭合的双 层膜泡，使得亲水端露在外面，而疏水端被包在里面。双层膜的结构模型可简单 用图i 2 表示。 飞冒弱丽丽请 堑龇地堑堑k 塞水的外部( 与水环境相 互作用) 脂质双分子层疏水的f | 寸部 亲水的外部( 与水环境相 互作用) 图1 2 双层膜的结构模型 目前被广泛接受的细胞膜的模型是由美国科学家于1 9 7 2 年提出的“流体镶嵌 模型”【1 】o 它将生物膜看成由球形蛋白质和脂质呈二维排列的流体膜。它指出， 所有的生物膜都是连续的脂双分子层。脂层是流动的，脂分子能够在自己所在的 单层中迅速扩散，但是很少翻转到另一层。而蛋白质分子则镶嵌在双性分子之中， 起着重要的生物功能。 1 2h e l f r i c h 自由能 目前对细胞膜的研究主要是基于h e l f r i c h 的开创性工作。具体而言，是基于 以下假设： ( i ) 细胞膜的形状主要有磷脂双分子层决定； ( i i ) 磷脂双亲分子可以简化为极性的棒： ( i i i ) 膜的厚度( 约为4 纳米) 远小于膜的尺度( 约为几个微米) ； ( i v ) 膜的弯曲刚度约为2 0 k 。t 1 2 - 3 1 ，这里的七。为玻尔兹曼常数，t 为温度。 可见，在常温下对于弯曲的膜，可以忽略其热涨落； ( v ) 膜的两侧存在非对称的因素。 因此，从数学上看，生物膜可以被看成是一个光滑的二维曲面。从物理上看， 生物膜处于液晶态。1 9 7 3 年，h e l f r i c h 根据单轴液晶f r a n k 自由能密度表示式【4 】， 并以膜的单位法线作为液晶指向矢，提出了生物膜的单位面积曲率能为【5 l 卜三1 2 ( c i + c 2 - c o ) 2 懈( 1 i f = 伯拟 式中c 。、c ：是曲面一点的两个主曲率，常数c 。称为膜表面的自发曲率。f 表示膜 的总的弯曲能。常数c 。考虑了双层的不对称性或周围环境的不对称性，常数k 是弯 曲刚度，_ j f 是高斯曲率弹性模量。与液晶曲面弹性理论相比较，k 、f 的数量级都 2 是在液晶弹性常数和膜厚度的乘积的数量级，也就是1 0 。9 j 的数量级。式( 卜1 ) 称为流体膜的h e l f r i c h 自由能表达式。这个模型也被称为自发曲率模型。 1 3 闭合磷脂双层膜的研究现状 自从h e l f r i c h 的自发曲率模型提出以后，很多研究者作了大量的工作，本节 将简述理论上的一些重要进展。 1 3 1 自由能及形状方程 对于闭合膜泡，考虑到膜的表面张力和膜的内外压强差，可将自由能写为 1 ，- 专o ，小c ，+ c ：一c o ) 2 削+ a 尸：p y + 吖出 ( 1 - 2 ) 此处的d 4 和d v 分别为曲面的面积元和体积元，k 。为弹性模量，c ，和c ：为曲面的 两个主曲率，c 。为自发曲率。拉格朗日乘子a p 和a 分别对应于体积和面积约束。 其中a p 可理解为膜泡内外的渗透压，而a 可解释为曲面张力系数。 通过对方程( 卜2 ) 作变分，欧阳在1 9 8 7 年首先得到了下面平衡形状的普遍方程 阿l 每7 】 a p 一2 3 2 + 七。( 2 h + c o ) ( 2 日2 2 k - c o 月) + 驰。审2 h - 0 ( 1 - 3 ) 我们将这个方程称为闭合膜泡形状的普遍方程( 这里所选择曲率指向矢与h e l f r i c h 自由能表达式所选指向矢相反) 。 1 3 2 形状方程的解 人们希望通过找到方程( 卜3 ) 的解而获得膜泡的形状。但是，方程( 卜3 ) 是一 个高阶非线性偏微分方程，要得到其通解非常困难，至今为止，人们只对柱面型 通解进行了讨论并得到了一类周期性柱面【8 】o 所得到的特解包括球形解1 6 1 ，红血球 解【叭、内外半径为互的克利福德锚环解【1 川和d e l a u n a y 曲面及其扩展解【1 1 j 。 然而，更多的解则是通过利用打靶法和直接极小化等数值手段得到。现在， 人们对于球形拓扑的膜泡，通过数值求解的办法已经得到了与实验观察十分符合 的相图。但是，对于拓扑亏格g - 2 的膜泡，人们只是就数学上已知的w i l l m o r e 函数问题探讨了此亏格下的w i l l m o r e 曲面族，进而确定了相图中的w i l l o m o r e 区 域1 1 2 】，但是对于w i l l m o r e 区域外则讨论很少。由于拓扑亏格g - 2 的膜泡轴对称 性的消失，本文采用能量直接极小化的方法在w i l l o m r e 区域外进行数值求解，对 相图作近一步的完善。 1 4 本文组织 3 本文结构如下，在本章综述了生物膜研究的历史和膜的组成、结构之后，为 了方便后面章节的叙述，第二章给出了关于描述曲线和曲面的一些微分几何基本 概念和结果；第三章简述了膜泡形状普遍方程及其他解释膜泡形状的曲率模型； 第四章在我们已有的精度内给出了我们的s u r f a c ee v o v e r l l 3 】演化结果，并对相图 作了完善。 4 第二章微分几何的一些基本概念 生物膜理论的研究，尤其是h e l f r i c h 提出的s c 模型中，需要用到若干关于空 间曲线，特别是曲面的微分几何知识，本章将此作为全文的数学准备，对一些基 本的微分几何知识进行简要的叙述。 2 1 空间曲线的微分几何描述 设一c 2 类空间曲线( c ) 的自然参数方程为 y y 0 ) ，( 2 一1 ) 其中s 是自然参数，即曲线的弧长。曲线上一点p 处的导数 口矿。些 ( 2 2 ) 出 。 是一单位向量。a 称为该曲线上p 点的单位切向量。在a 上取单位向量 卢。鬲丽y ， ( 2 - 3 ) 卢为曲线( c ) 上p 点的主法向量。在定义向量 y - 口卢，( 2 - 4 ) y 称为曲线( c ) 上p 点的副法向量。 通常把两两正交的单位向量a ，卢，y 称为曲线( c ) 上p 点的伏雷( f r e n e t ) 标架。 由y a 卢知，伏雷内标架构成右手系( 图2 - 1 ( a ) ) 。我们把纵切向量和主法向量所 确定的平面称为曲线( c ) 上p 点的密切平面，和y 所确定的平面称为曲线( q 上p 点的法平面，口和卢所确定的平面称为曲线( c ) 上尸点的纵切平面( 图2 - 1 ( b ) ) 。 图2 - 1 ( a ) 曲线一点的伏雷内标架；( b ) 曲线基本三菱形 空间曲线( c ) 上p 点的曲率为 5 七( s ) = h ， ( 2 5 ) 由于d = ，所以曲率也可表示为 七( s ) = m ( 2 6 ) 则有 卢喃。南。意。( 2 - 7 ， 定义曲线( c ) 上p 点的挠率为 f o ) = + ，当卢和) ，异向， f o ) - 一川，当声和) ，同向。 综合前式可推到出下面的伏雷内公式 d k ( s ) p ， f 2 8 a ) 卢a k ( 5 ) + _ r ( s ) y ，( 2 - g b ) ，一- r ( s ) t ，( 2 8 c ) 这组公式是空间曲线的基本公式【1 4 l 。 2 2 曲面的微分几何描述 2 2 1 曲面的第一基本形式 微分几何学中，三维空间中的曲面s 上任意一点y 将由两个独立的参量u 和v 来决定，也就是 y ；y ，v ) ，( 2 9 ) 该曲面上的曲线( c ) 口一“o ) ，y = v o ) ，( 2 1 0 ) 或者 y 。f l u ( t ) ，v o ) 】。( 2 1 1 ) 对于曲线( c ) 有 石d y ；e 等+ k 警，( 2 - 1 2 ) 或者 令 则有 d y l d u + k 咖。 若以s 表示曲面上曲线的弧长，则 出2 - d y 2 一瓴d u + y ，d 0 2 i 艺2 d u2 + k2 咖2 + 巩k d 础 e 一匕l ，f 一匕k ，g k k ， 6 r 2 1 3 ) ( 2 - 1 4 ) ( 2 1 5 ) d s 2 。e d u2 + g d v 2 + 2 f d u d v 。 ( 2 1 6 ) 这个二次形可以决定i t t t 面i - 1 t t t 线的弧长。设曲线( c ) 上两点彳( f 。) 和b ( t 。) ，则 弧长为 s - f - j ：e c 警，2 + 担警警+ g c 尝，2 出。 c 2 一- 乃 ( 2 1 6 ) 是关于微分出，咖的一个二次形，称为曲面s 的第一类基本形式，用i 表示： i e d u 2 + 2 f d u d v + g d v 2 ， ( 2 1 8 ) 其中的系数，f ，g 称为曲面的第一类基本量1 1 5 l 2 2 2 曲面的第二基本形式 固定曲面s 上一点p ，并设丌为曲面在p 点的切平面。曲线( c ) y - v l u ( s ) ，v o ) 】( 2 1 9 ) 是s 上过p 点的一条直线，其中s 是自然参数。设p7 是曲线( c ) 上在p 点邻近的一 点，p 和p 点的自然参数的值分别为s 和s + 心，即p 点的向径为r ( s ) ，p 点的向 径为y b + a s ) 利用泰勒级数公式展开得 p p 一y o + 缸) 一y ( 5 ) = + = 1 - - + ) ( 血) 2 ， ( 2 2 0 ) 其中l i me - 0 。 图2 - 2 从平面石到曲面s 的有向距离 设h 为曲面在p 点的单位法向量，由p 作切平面石的垂线，垂足为q ，则 q p - 勘，其中6 为从平面石到曲面s 的有向距离( 如图2 - 2 所示) 。 由于 _ q p 携一0 ，n y = 0 ， ( 2 2 1 ) 所以有 7 6 ；q p 。n 一( q p + p p ) 。竹 。【r ( s + a s ) 一y ( s ) 】。n 扣矿坝埘 因此当n 矿一0 时，无穷小距离6 的线性主要部分是 矿( 埘1 2 n - 2 ， ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) 由于 矿一e i + l i ， i ；一圪i2 + 2 yt f + y w 口2 + 9 5 ， 又因为 n k 一玎。k - 0 ， 所以 n j 协2 - 玎y d u2 + 2 n y 删d u d v + 以匕咖2 ，( 2 2 4 ) 引进符号 工- 圪盯，m x ，。n ，n - x ，开，( 2 2 5 ) 于是( 2 - 2 4 ) 式为 一，l d2 y 。l 也2 + m d u d v + n d v 2 ， ( 2 - 2 6 ) 这就是曲面的第二基本形式，它的系数l ，m ，称为曲面的第二类基本量i 。 2 2 3 曲面的主曲率、高斯曲率和平均曲率 曲面上一点p 处的两个方向，如果它们即正交又共轭，则称为曲面上p 点的 主方向。 主方向的判定定理( 罗德里格定理) ：如果方向 ) = ：d v ) 是主方向，则 d n a d y ， 其中a 一一k 。，k 是曲面沿方向( d ) 的法曲率。 反之，若对于方向似) 有 d n a d y ， 则似) 是主方向，且a 一- k 。，k 。是曲面沿方向“) 的法曲率。 曲面上一点处主方向上的法曲率称为曲面在此点的主曲率。其算法是通过解 下面的方程 ( e g f 2 ) 七。2 一( l g 一2 m f + n e ) k 。+ ( l n m2 ) - 0 ，( 2 2 7 ) 获得，其中e ，f ，g 和l ，m ，n 分别为曲面的第一类基本量和第二类基本量1 1 7 1 。 高斯曲率的定义为 8 平均曲率的定义为 k t 。七：。而l n - m 2 日一l ( k l + k 2 ) t 器 9 ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) 第三章膜泡形状普遍方程及曲率模型 s c 模型成功的给出了红血球【9 1 、克利弗德锚环等双层膜泡形状的解析解， 这些解无论是在物理或数学上都要较为重要的意义。本章将对s c 模型首先作一简 要回顾，接着给出了其与另外两种模型( b c 模型和a d e ) 的联系和区别。 3 1 s c 模型与膜泡形状普遍方程的获得 h e l f r i c h 的s c 模型( s p o n t a n e o u s - - c u r v a t u r em o d e l ) 中，能量由下式给出1 5 l 1 f - 七。f ( c l + c 2 一c o ) 2 d a + k g f c l c 2 d a ( 3 - 1 ) 其中，c 和c ：为曲面的两个主曲率，c 。为自发曲率。枷为曲面的面积元。k ，和k 分别为曲率弹性模量和g a u s s 弯曲模量。据g a u s s b o n n e t 定理，式( 3 1 ) 的第二 项的积分值在曲面拓扑结构不变的情况下是恒值，因此，对于在讨论亏格不变的 曲面时候，往往将其忽略。 第一章中已经提到，s c 模型中，平衡状态膜泡的形状由其自由能的最小值决 定，在加上面积和体积约束下的能量泛函为 1 f 蠢i 七。r ( c 1 + c 2 一c o ) 2 d , 4 + a p p v + a r d ，4 ， ( 3 - 2 ) 二 v 此处的幽和d v 分别为曲面的面积元和体积元，k ，为弹性模量，c 。和c ：为曲面的 两个主曲率，c 。为自发曲率。拉格朗日乘子a p 和a 分别对应于体积和面积约束。 其中a p 可理解为膜泡内外的渗透压，而a 可解释为有效曲面张力系数。 若要得到平衡状态膜泡形状自由能的最小值，必须要求能量的一阶变分 6 ( 1 ，- 0 。通过对方程( 3 1 ) 作变分，欧阳和h e l f r i c h 在1 9 8 7 年首先得到了下面平衡 形状的普遍方程i 6 j a p 一2 a h + k c ( 2 h + c o ) ( 2 爿2 2 k c o h ) + 舶。v 2 h 一0 ，( 3 3 ) 1 一 此处的v 2 d j ( 占“占a ，) 为曲面拉普拉斯算子，g 为曲面第一基本形式基本量 4 9 矩阵乳行列式，g 。一( g h ) 。h 一( c 1 + c ：) 2 为曲面平均曲率，k = c 。c ：为曲 面高斯曲率( 这里，欧阳所选择曲面法向指向矢通常与h e l f r i c h 所选相反) 。 此后，人们希望通过找到该方程的解而获得膜泡的平衡形状。但是，方程( 3 2 ) 是一个高阶非线性偏微分方程，要得到其通解非常困难，至今为止，人们只对柱面 型通解进行了讨论并得到了一类周期性柱面【8 】8 。所得到的特解包括球形解【6 l ，红血 球解1 9 1 、克利福德锚环解【1 0 j 和d e l a u n a y 曲面及其扩展解【1 l l 。 式( 3 1 ) 中的f 由于具有标度不变性，在加上面积a 和体积v 约束下，为了 标度不同形状膜泡的能量，我们可以用约化量进行计算，通常用膜泡面积a 来定 1 0 义约化半径 r j 岳 ( 3 - 4 ) 此时，约化体积可表示为 v 二( 3 5 ) 锨；3 约化自发曲率表示为 。o c o r o ( 3 6 ) 其中的矿为膜泡体积。因此能量珞一k ( p ，c 。) ，将仅由y 和c o 两个无量纲的量决 定。 3 2 其它模型及其之间的关系 除了我们介绍的s c 模型以外，还有两种主要的模型用来解释生物膜泡的形 状，它们分别是双层耦合( b c ) 模型和面积差弹性( a d e ) 模型。下面作一简单介绍。 3 2 1b c 模型及其与s c 模型的关系 基于双层膜两侧分子的不可交换性，假定膜泡在平衡状态下，双层的面积都 是固定的，也即在膜泡的平衡状态下双层膜两侧分子的有效面积差为定值，s v e t i n a 等人提出了双层耦合模型( b i l a y e r - - c o u p l i n g - m o d e l ) 1 1 a - 1 9 l 。 在近似到一阶的情况下，两层之间的面积差： a al a 4 4 “= 2 d f h d a ( 3 - 7 ) 其中的d 为双层之间的距离，由此，该模型下膜泡的能量泛函为 k 。去。r ( c 1 + c ：) 2 d a + a p f d v + e f d a + q m ( 3 _ 8 ) 其中，和q 为拉格朗日乘子，其他参数和s c 模型一样。同样通过对方程( 3 8 ) 式 作变分，要求能量的一阶变分为零6 ( 1 f - 0 ： ，k - 寺七。6 【r ( c l + c ：) 2 d a + 卸+ e l , i + q 删一0 ( 3 9 ) 二 。 将得到b c 模型中的形状。 式( 3 8 ) 中的f 同样由于具有标度不变性。在加上面积a 和体积v 约束下， 为了标度不同形状膜泡的能量，我们仍可以用约化量进行计算。 用膜泡面积a 来定义约化半径 一 a c c o 。、石 1 1 d 一1 0 ) 此时，约化体积可表示为 y 归石沥0 - 1 1 ) 约化平均曲率积分表示为 舯锄。去 h 铋( 3 - 1 2 ) 其中的y 为膜泡体积。因此能量一( v ，m 4 x ) ，将仅由y 和m 两个无量纲的 量决定。 如果进行如下的变换 三目 + 七c c 0 。2 o 1 3 ) q 一- 2 1 ：。c o 、 我们将发现( 3 2 ) 式和( 3 9 ) 式 f 9 ct f b cq 1 4 ) 上式说明s c 模型和b c 模型有相同的形状方程。所以s c 模型和b c 模型具有相 同的解集。 但是数值计算表明，s c 模型中往往发生不连续相变，在b c 模型中则常常为 连续相变，因而两者相图不同。这是因为b c 模型中加入了约化平均曲率这个数学 约束，使得方程的解在泛函空间中近似连续变化。并且，在s c 模型下进行计算， 能量收敛较快，b c 模型中能量收敛较慢，需要的计算量远远大于s c 模型。由于 同解性，在以下的计算中，我们首先选择在s c 模型下，快速的寻找能量方程的膜 泡形状。尽可能找到更多的稳定区间，进而在b c 模型中完善s c 模型相图不连续 的区间。 3 2 2a d e 模型及其与s c 模型的关系 目前，与实际情况最接近的物理模型为面积差弹性模型( a r e a - - d i f f e r e n c e - - e l a s t i c i t ym o d e l ) 。该模型的特点在于其认为膜泡双层之间的面积差不必保持为恒 量，而可以偏离某一初始值a a 。，该偏离将贡献一弹性能丢丘：( 鲋一“) 2 。 其能量的泛函可为l 冽 。扣f ( c - + c 2 - c o ) 2 d a + 丢t 寺一地) 2 + 叩y + 俨3 - 1 5 ) 其中， 就是所谓的面积差的参考值，显然，面积差偏离这一值后，就会对能 量有贡献。为相应的弹性模量。其余参数和s c 模型相同。 经过下面的代换 1 2 m - 6 4 2 d r o m o 一“1 2 d r o ( 3 - 1 6 ) c o c o ro 式中，r 。a 锄为约化半径。此时，( 3 1 5 ) 式可化为 一扣叭c - + c z ) 2 d a + a ( m 一风) 2 + c o i l 卜叩y + 俨，( 3 - 1 7 ) 式中，a t 七。为一无量纲常数，t o oi4 c ：0 一l l a ) 一4 c 。m o 为一与形状无关的常 数，可以略去，j 瓦的定义为 瓦- 小o + 2 c o 口。 ( 3 - 1 8 ) 由( 3 1 7 ) 式可见，a d e 模型中，膜泡的能量可以看作在固定面积与体积的约束 情况下，由( 3 1 7 ) 式右边括号内前两项竞争的结果，即曲率能与因m 偏离固定 值m 。而贡献的能量相互竞争的结果。 若取 口- 0 ， ( 3 1 9 ) 则( 3 1 5 ) 式中的第二项为零，a d e 模型转化为s c 模型。 同样，若取 a - 由( 3 1 7 ) 式可见，若m 有一个很小的偏离m 。，则对能量的贡献是很大的。 因而m 只能取m o ，则此时它可以看作是对m 。的一个数学约束，此时a d e 模型又 转化为b c 模型。 第四章高亏格膜泡相图的确立 4 1 引言 磷脂双性分子在低浓度的溶液中可自发的形成双层膜或者闭合的膜泡。实验 上，可以按照膜泡的数学拓扑结构进行分类。比如实验上观察到的大量的拓扑亏 格为g 一0 球形拓扑的膜泡、拓扑亏格为g = 1 的环形膜泡及更高拓扑亏格g 2 的 膜泡。理论上，人们已经对球形拓扑与环形拓扑膜泡进行了大量的解析计算与数 值计算，且已经得到了局域较完美的相图1 2 1 - 2 2 。但是，对于拓扑亏格g ；2 的膜泡， 由于其亏格的复杂性，人们只是就数学上已知的w i l l m o r e 函数问题探讨了此亏格 下的w i l l m o r c 曲面族，进而确定了相图中的w i l l o m o r e 区域，但是这些离完整相 图的构建还差很远。本章就尝试利用s u r f a c ee v o l v e r 曲面演化软件在w i l l o m r c 区 域外进行数值计算，对相图作近一步的完善。 4 1 1w i l l m o r e 问题及w i l i m o r e 曲面及现有相图 1 9 6 5 年，w i l l m o ”就已经提出了几何学上有名的“w i l l m o r c 问题” 2 3 1 ，即在给 定的拓扑亏格g 上，寻找w i l l m o r c 函数 门 二一。f h2 d a ( 4 1 ) 放。j 所对应得最小能量的曲面。这样的曲面也就被称作w i l l m o r e 曲面。由于没有任何 几何约束，w i l l m o r c 曲面对应着弯曲能g 的绝对极小值。w i l l m o r e 函数( 4 1 ) 的 一个重要性质是共形不变性。在三维空间中，对曲面进行共形变换 j i ，。呈! 篓二堡： ( 4 2 ) r 一厅) 2 是不会改变g 值。这样，就由一个w i l l m o r c 曲面通过共形变换而产生一个新的具 有相同的g 的w i l l m o r e 曲面。 对于球形拓扑( g 一0 ) ，w i l l m o r e 问题只有一个圆球形解。对于环形拓扑 ( g 。1 ) ，通过对c l i f f o r d 锚环进行共形变换，可得到一系列对应不同v ，m 取值的 杜邦圆环。在v 一研相图中对应的是一条线【弘2 6 1 。与环形拓扑相比，拓扑亏格g - 2 的相图显得有些复杂，其w i l l m o r e 曲面在v m 相图中对应的是一块区域w ( 见图 1 ) 1 1 2 j 。b 点对应的是纽扣b u t t o n 状形状，其( v ，m ) 约为( 0 6 6 ，1 0 8 4 4 石) ，l 点对应的是著名的l a w s o n 曲面，其( v ，m ) 约为( 0 6 6 ，1 0 3 7 4 石) 。在w 区域 内，存在着共形简并，即相同的( v ，m ) ，存在着具有相同能量 g = 2 k 。f 2 d as 1 _ 7 5 缘，但不同对称性的拓扑结构，如图4 2 所示。 1 4 1 2 譬 薹 1 1 1 0 o 60 8 v 1 0 图4 1 b c 模型下的拓扑亏格g 一2 膜泡的v 一聊相图。阴影区域w 代表w i l l m o r e 曲面i ”1 。 b s l l s 图4 - 2 拓扑亏格g 一2 下，具有相同能量的w i l l m o r e 曲面，g _ 1 7 5 应。他们对应 于与图1 中w i l l m o r e 区域边界上的各点：具有d 2 i i 对称性的纽扣形状b ；d ”对称性的l 曲 面；c ，c 丑l ，c l s 线上c 2 ，对称性的形状【1 2 l 。 在已给出的拓扑亏格g 一2 的y 一? 相图中，明确地标度了w i l l m o r e 区域及边 界。它指出，在边界c 0 ，q 。