（基础数学专业论文）海洋热盐环流模式稳定性研究.pdf

摘要 本论文以分层理论为工具研究一类海洋热盐环流模式稳定性问题由于表 层海水的密度是大气密度的8 0 0 多倍，海洋的中尺度涡旋在时间尺度上为几个星 期到几个月，空间尺度为几十到几百公里，与大气的天气尺度涡旋作比较，时间 尺度大了一个量级，空间尺度则小了一个量级，所以海洋环流模式的分辨率必须 要比大气环流模式的分辨率高2 0 多倍另一方面，由于对海洋环流的观察相对要 困难得多，可用资料也更为缺乏，这对海洋环流模式的模拟和验证带来很大的 困难和挑战如果在大计算量的数值模拟之前，对模式本身进行定性的研究也就 更具有意义如果发现模式本身存在问题，譬如是不稳定的，那就应该在及时修 正以后，再进行有实际意义的数值计算，以避免人力、财力的浪费 我们研究热盐环流方程组d ( 见( 3 1 ) ) ，得到了如下结果： 1 证明了方程组d 是稳定的，也就是说， d 的适当的初边值问题存在唯一 的c 睡 2 ) 稳定解 2 找到和证明了方程组d 初边值问题适定的充要条件 3 证明了在超曲面0 = 如) c 耐上的任何初值问题郁是不适定的 4 给出了两个实际问题的求解公式，并编写了计算程序，以便能够比较计算 某些海洋数值模拟问题 关键词：热盐环流，l 简单，横截层，稳定性，适定性 a b s t r a c t w eu s et h et h e o r yo fs t r a t i f i c a t i o nt or e s e a r c ht h es t a b i l i t yo fo c e a nh e a t - s a l tc i r c u l a t i o ns y s t e m t h eo c e a nc i r c u l a t i o nh a sal o ti nc o m m o nw i t ht h e a t m o s p h e r i cc i r c u l a t i o n ，n e v e r t h e l e s s t h e r ea r ed i s t i n c td i 疵r e n c e bi nt e r m so f d e n s i t ya n dm o v e m e n ts c a l eb e t w e e nt h e s et w o ：1 t h ed e n s i t yo fs e as l l r f a c e w a t e ri s8 0 0t i m e st h a to fa t m o s p h e r e ；2 t h em e d i u m8 e 氟w h i r li sb e t w e e n s e v e r a lw e e k sa n ds e v e r a lm o n t b si nt e r m so ft i m em e a s l l r e w h i l ei tr a n g e sf r o m s c o r e so fk i l o st os e v e r a lh u n d r e dk i l o si nt e r m so fs p a c em e b u r e c o m p a x e dw i t ht h es y n o p t i cw h i r lo fa t m o s p h e r e ，t i m em e a s n r ei so n eo r d e r o fm a g n i t u d eg r e a t e r ，s p a c em e a s n r ei so n eo r d e ro fm a g n i t u d es m a l l e r i no r d e r t om a k es i m i l a rd i s t i n c t i v ed e s c r i p t i o n s ，t h ed i f f e r e n t i a t i o nr a t eo f0 0 e a nc i r e u l a - t i o nm o d u l es h o u l db e2 0t i m e sm o r et h a nt h a to ft h ea t m o s p h e r i cc i r c u l a t i o n m o d u l e a tt h es a m et i m e a si ti sr e l a t i v e l ym u c hm o r ed i f f i c u l tt oo b s e r v et h e o c e a nc i r c u l a t i o na n dt h e r ea r ef a rl e s sd a t aa v a i l a b l e ，i tp o s e sag r e a td i f f i c u l t y a n da g r e a tc h a l l e n g et oe i t h e rs i m u l a t eo rv e r i f yt h eo c e a nc i r c u l a t i o nm o d e l i f f a c e dw i t hn u m e r i c a ls i m u l a t i o ni n v o l v i n gag r e a ta m o u n to fc a l c u l a t i o nv o l u m e ， i ti so fg r e a ts i g n i f i c a n c ee v e rt om a k ean a t u r es t u d yo ft h es y s t e mf i r s t i fi t i sw r o n g 硒t ht h es y s t e m ，f o re x a m p l ew h e ni ti sn o ts t a b l e ，w em u s tm o d i f yt h e s y s t e mb e f o r ew ed on u m e r i c a ls i m u l a t i o ns oa sn o tt os p e n ds om u c he n e r g ya n d m o n e yo i li t i nt h et h e s i s ，w eo b t a i nt h ef o l l o w i n gr e s u l t so i lo c e a nh e a t - s a l tc i r c u l a t i o n e q u a t i o n sd ( s ( 3 1 ) ) ： 1 w ep r o v et h e 研s t e mo fe q u a t i o n sdi ss t a b l e t h a ti s ，f o rs u i t a b l ei n i - t i a l ( b o u n d a r y ) v a l u ep r o b l e mo fd ，t h e r ei su n i q u ea n ds t a b l ec k ( k 2 ) s o l u t i o n 2 w ef i n da n dp r o v et h ei n i t i a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo fo c e a nh e a t - s a l t c i r c u l a t i o n sdw e l l - p o s e dc o n d i t i o no fc o n d i t i o no fs u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r y a b s t r a a r 3 w ep r o v ea n yi n i t i a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo fo c e a nh e a t - s a l tc i r c u l a t i o n di si l l - p o s e do i lh y p e r s u r f a c e t = 知) cr 4 4 w eg i v et w os o l u t i o n sa n dp r o g r a m so f o c e a nb e a t - s a l tc i r c u l a t i o ne q u a t i o n s di nt h ef i e l do fm a r i n ef o r e c a s t k e y w o r d s ：h e a t - s a l tc i r c u l a t i o n ，l - s i m p l i c i t y , t r a n s v e r s a ls t r a t u m ，s t a b i l i t y , w e u - p o s e d 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作。 除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发 表或撰写过的研究成果。参与同一工作的其他同志对本研究所做的 任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：盗拙日 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学 校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅：学校 可以公布论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：弛壅亟昼导师签名： 第一章引言_ 1 1 国内外概况与分层理论已有结果近期的研究 在对大气运动方程组的研究中，通过不同角度的近似简化，已经得到了反 映不同特征的、类型各异的一系列近似方程组。由于海气运动模式的复杂性，对 于它们的初边值问题的适定性研究也就带有很大难度，所以在实际应用中，直 接使用这些方程组去作数值模拟、数值计算的工作做得比较多，针对不同的类 型问题相应地构造了各自的保持总能量守恒的差分格式，如a r a k w a 格式，c i l l y 格 式，谱模式g a l e r k i n 有限元近似由于在时间方面离散化后不真正具有完全能量守 恒，不可能保证完全的计算稳定近期发展了协调的完全能量差分格式，总能量守 恒的半l a g r a n g e 差分格式，多守恒差分格式，解正压大气原始方程组的辛几何算 法，坐标和保形正定平流方案，非线形地球流体力学中的低频谱方法，t v d ( t o a l v a r i a t i o nd i m i n i s h i n g ) 、m v s c l 、p p m 、e n o 、n n d 、u e n o 以及正型差分格 式；而相比起来，对这些模式作定性研究的工作则还不是很多，有待更深入，更 普遍地展开。 在定性研究方面，开展得比较早的是顾震潮，他于1 9 5 8 年对大气运动方程 组的初值问题作了适定性研究【4 】 o l i g e r 和s u n d s t r o m ( 1 9 7 8 年) 分析了气体e l d e r 方程、潜水方程等的初边值 问题r 】 随后，曾庆存( 1 9 7 9 年) 使用s o b l e v 空间的特性对正压无幅散、正压准地 转无幅散、斜压、斜压准地转等一些类型的大气方程组的初值问题的适定性作 了研究| i 穆穆( 1 9 8 6 年) 考察了r i e m a n n 流型上广义涡度方程的初边值问题，证明了 斜压准地转一准无幅散模式初边值问题整体光滑解的存在唯一性【、1 汪守宏、黄建平、丑纪范( 1 9 8 9 年) 讨论了加定常外源、有耗散的斜压大气 运动方程组解的适定性问题kl 施惟慧( 1 9 9 2 年) 用分层理论的方法证明了n a v i e r - s t o k e s 方程的伊不稳定 性【】 第一章引言 2 郭柏灵、袁光伟( 1 9 9 5 年、1 9 9 6 年) 先后运用谱方法、非线性g a l e r k i n 方 法和抛物型奇异积分算子，研究了用涡度表示的b o u s s i n e s q 方程的两维周期 初值问题和具有护数据的b o u s s i n e s q 方程的初边值问题，并得到了两类特殊 的b o u s s i n e s q 方程( 在工2nc 0 空间和l m 空间上) 存在弱解的条件【，1 李建平、丑纪范( 1 9 9 8 年) 对大气动力学方程组的定性理论作了研究，【，】 王必正( 1 9 9 9 年) 对水汽方程的弱解、古典解的适定性进行了研究，并证明 了其弱解的存在唯一性 施惟惹、陈达段、唐一鸣( 1 9 9 6 年，2 0 0 0 年) 证明了l a u d a u - l i f c h i t z 理想流 体方程组对适当的初值条件存在唯一稳定的伊解析解；而大气强迫耗散方程 组在g 函数类中对任何初值问题都是不适定的k 卅 分层理论( t h et h e o r yo fs t r a t i f i c a t i o n ) 研究非线性偏微分方程组的拓扑学 性质，将方程的求解问题转换成了有关的拓扑学问题，这使得非线性偏微分 方程解空间结构以及适定定解问题的解析求解成为可能。施惟惹和她的研 究小组将这一理论系统地应用于流体力学和大气动力学之中，包括一般流体 的l a n d a u - l i f c h i t z 方程，无粘、不可压缩流体的e u l e r 方程以及混合流体完备方程 等的c a u c h y f 司题以及混合问题的适定性，给出了所论方程适定问题的解析解公 式；讨论了不稳定方程，特别是n - s 方程及其各种”变形”方程的的不稳定性，并 就若干特殊情形给出了方程的准确解 以下是分层理论已有主要结果近期的研究 施惟慧，徐明，王日鹏大气运动基本方程组的稳定性分析a p p h e dm a t h - e m a t i c sa n dm e c h a n i c s2 0 0 7v 0 1 2 8 ( 2 ) 2 3 8 - 2 4 4 施惟慧，沈春，王日鹏大气运动基本方程组的解析解a p p l i e dm a t h e m a t - i c sa n dm e c h a n i c s2 0 0 7v 0 1 2 8 ( 3 ) 3 4 9 - 3 5 8 何卷雄，何幼桦一类大气演化方程组的c a n c h y f 司题a p p l i e dm a t h e m a t i c s a n dm e c h a n i c s2 0 0 6v 0 1 2 7 ( 1 0 ) 1 2 3 5 - 1 2 4 2 c h e nd a d u a n h ey o u h u a o nt h ew e l l - p o s e d n e s so f t h ei n i t i a lv a l u e p r o b - l e mo fn o n - s t a t i cr o t a t i n gf l u i d a p p l i e dm a t h e m a t i c sa n dm e c h a n i c s p p 2 8 8 - 2 9 6 ，v 0 1 2 5 ，n o 3 ，2 0 0 4 第一章引言 3 c h e r td a d u a n ，h ey o u h u a s t a b i 珧i 铝o fb o u s s i n e s qa p p r o x i m a t ee q u 扣 t i o n sf o rn o n - s t a t i cr o t a t i n gf l u i d c h i n e s ej o u r n a lo fa t m o s p h e r i cs c i - e n c ep p 2 9 3 - 2 9 8 ，v 0 1 2 6 ，n o 3 ，2 0 0 3 由于海洋偏微分方程组数值模拟工作量极为巨大，所以对模式本身进 行定性的研究也就更有意义在此我们应用分层理论研究海洋热盐运动方程 组d ( 见( 3 1 ) ) 的稳定性问题，并给出了若干结果 1 2 我们的工作 1 证明了方程组d 是稳定的，也就是说。 d 的适当的初边值问题存在唯一 的伊 2 ) 稳定解 2 证明了方程组d ( x l ，勋，x 3 ，z 4 ) = 0 ，f ，。，t ) ， 在( ) r 4 ，( e ) ：黝= g ( z l ，x 2 ，= s ) - - k 的初值问题 l d i i i = t 母，a 蚴i = a o o ， “= 1 6 ，歹= 1 ，2 ，5 ，6 ) 存在唯一c 2 稳定解的充要条件是老0 在( ) r 4 ，( e ) ：x 3 = g ( z l ，勋，轧) 上的边值问题 d it i z = u ? ，轨吩i e = 执b o ，( i ；1 6 ，j = 1 ，2 ，5 ，6 ) 总是适定的 在( ) r 4 ，( e ) ：如= g ( z l ，x 3 ，瓤) 或者( e ) r 4 ， ( e ) ：z l = g ( z 2 ，x 3 ，。4 ) 上 的边值问题 l d it k = u 2 ，舰i e = 妣o ，( i = 1 6 ，j = l ，2 ，5 ，6 ) 存在唯一俨稳定解的充要条件是老0 3 证明了在超曲面o = t o cr 4 上的任何初值问题都是不适定的 4 给出了两个实际问题的求解公式，并编写了计算程序。以便能够比较计算 某些海洋数值模拟问题 第二章分层理论与偏微分方程 2 1e h r e s m a n n 空间与偏微分方程的几何表示 设x , 应f ：i p r 仍，对于给定r m ，将所有阶连续可微的对应f 伊及在空间p 中的一点z 构成如下集合： q k 。m n ，妒) = ( ( ，z ) i f ( m ) = u ；z 时，札r 仇，f 伊) 在c 耋。o ”，p ) 上定义如下关系： 在c 妻。( r n ，职“) 中定义关系r ：对于( ，z ) ，( g ，重) c 皇。( r “，r ”) ，若，a 扛) ； g o ) ( z ) u = 0 ，1 ，七) ，贝1 f r g 显然r 是一个等价关系，一g 定义2 1 用j 耋。( 舯，膨”) 表示商集嚷。( r n ，r ”) 一，其元素【( ，功】称为，在 点。处的七阶无穷4 , j e t ，记为严f ( z ) 称 ，( 舻，舻) = uj 耋。( 破，r m ) c 露一) r “x l p 为r n 到r f n 的阶e h r e s m a n n 空间 设 记 z= u= f = t 0 ) 巧( z ) 其中多重指标j 1 为： 0 l ，) ( t l ，1 l t ，i ) ( ，厶) ：舯一驴，f 伊 = 五p ) ：五竽：五( z ) 卢l ，2 ，i m 2 砑哂五。1 2 矿= 1 1 t h a - 入= ( a l ，k ) ，i a i = ，0 ，j = 1 ，2 ，n j = l 第二章分层理论与偏微分方程 5 对每一个i = 1 ，2 ，m ，将谚。随j 1 按字典排列法升序排列，然后对于每一个 ( z ，t ，p i ，p 嚣，p ：，p ：= i ) r 帆 ( ，z ) 】，( r - ，l ”) 其中= n + m c - + 由定义2 i 确定t j k ( 舻，r ”) 中的一个元素【( ，z ) 】，也即得到了r 机与( ，醒”) 之 间的局部同胚于是将( 为t ，p ，p m ，p i ：，垛) 作为【( ，茹) 1 一( 船，r “) 的 局部坐标，驴( 舻，r _ ) 是一个维数为的流形 任意一个k 阶偏微分方程组可写成： f 1 ( 钆，u l i t t ，i ，等，智) = o ； 如( ，触，豁，甍挚) = o 。： 二鬈七 2 2 准本方程与本方程 定义2 2 对于膏之f ，对应口参：( r - ，r m ) 一( 舭，r m ) 称为( 时， ) 到( 础，即) 典 则投影或典则对应，如果对任意 卢= ( $ ，札，p ，p 3 ) ，( r “，r ) ( 2 1 ) 第二章分层理论与偏微分方程 6 a 参( p ) = ( x ，u ，p ) ( 瞅，r ”) ( 2 2 ) 同时规定 硝( ( 础，r ”) ) = , i o ( r “，r ”) = r ”1 l m ，k 20 口1 1 ( 弘( 舯，r ”) ) = j 一1 ( r ”，豫”) ；舻， 七一1 定义2 3 对应e ：l ，+ 1 ( 黔，r 一) 一，1 ( 即，驴( x - ，r t “) ) 称为e h r 鲫锄对应，如 果： 即= ( 马仳，p i 一，赡，啪，垛+ 。) j 啪，r 仇) e ( 卢) = ( 霉，u ，p ；，娣，老( z ) ，老( ) ，葛8 - 1 ) ，蠢) ) l = 1 ，t l 定理2 。1 设d = f 一1 ( o ) ( 郧，r “) ，其中f = ( f l ，晶) ：( ， ) 一 r “那么，e 一1 ( j 1 ( r n , d ) ) ，1 ( x n ，r “) 由下面一组关系式决定： 三：，忍州= ”一，礼 ( 2 3 ) p r o j 2 0 j 1 最o e ：驴+ 1 ( ，r ”) j 1 ( r - ，( 舻，r ”) ) j 1 ( x n ，r ) = 7 0 ( r ”，r ) 鼢 r “ 定义2 4 设一阶偏微分方程f i i d 弘( 舯，r ”) ，以此出发，记 工( d ) = 口( d ) ， k l k + 1 ( d ) = e - 1 ( j 1 ( 肿，l k ( d ) ) ) ，k k o 由此得到的一系列e h r e s m a n n 空间的子集( 偏微分方程组) 磁= n k ( n ，( d ) ) ，( 舯， ) ，k 一1 s b 记此序列( 称为一个链) 为d ：，称为d 的准本方程 第二章分层理论与偏微分方程 7 定义2 5 如过d ：的子链d gd ： d ：d k _ d 一1 _ _ d o _ d 一1 其中每一个d k d z ，满足 i ) 磷一1 ( d k ) = d k 一1 ，k 0 i i ) 任何满足a 2 一，( 巍) = 挽一， 之o ) 的d ：的子链石。，必有反cd , 则称以为d 的本方程 2 3 典则系统与分层 典则系统是建立在本方程基础上，经过精心设计的一个复杂系统首先对 于一列e h r e s m a n n 空间( 称为e h r e s m a n n 链，它们之间已建立起了典则投影关系) ： 工一j k ( r n ， ) t l j k 一1 ，r m ) 一一，0 ，r m ) ? - ，一1 ，r m ) 相应地可以得到一列由切空间r 驴( 舯，r m ) ，( k 之一1 ) 中横截于对应o ! l 的n 一 1 维平面构成的g r a s s m a n n 流形的子流形构成的链： g ：一l ( 工) 一q 一。( t ( 辩，r m ) ) j 1g l 口- 1 ，妒) ) 一 其中的对应a l 一1 ：g ：一1 ( t 驴( 舯，孵“) ) 一g ：一l ( t j h l ( 舻，r ”) ) 是磁一l 的诱 导对应 记厶( ，妒) 为f h j ( 舻，豫“) 的如下p f a f f 形式生成的微分理想子代数： = 妣一西锄 j = 1 q - = 蟛- 一幽如f ，诘l h 2 一，吲a l 七一1 并称厶( p ，r “) ( 在不引起混淆的时候，简记成矗) 为驴( 舯，r _ ) 的c a r t 蚰_ e h m s - i i l a n n 理想子代数现考虑g ：一l ( t j ( r ”，r t “) ) 的子空间露一l ( t ( 舯，p ) ) ： 露一l f 驴( 舻，r m ) ) = 下g l 口，( 舯，r 仇) ) l ( 肿= o ，厶，r ) 于是就得到了g ：一1 ( t ( 舯，r “) ) 的个子链： e 一1 ( 以) ：一一。( t j ( r n ，驴) ) 三露一1 ( t ，一1 ( 舯，r m ) ) 一 第二章分层理论与偏微分方程 8 其中= a 2 一l k 一。- p ) ) ，再记 孤：最一i ( t j k ( r n ，r ”) ) 一露一l ( t j k 一1 ( r ”，r ”) ) x j k 一- p ) ，( r ”，r ”) 定义2 6 设 晶部1 ( 舯，妒) = i k l p k + l ( e l ( “( r “，r m ) ) ) g l ( 时( 舯r m ) ) j - p ) 1 ( r ”，r 仇) 眠一1 ，( 酞”，r ”) = ( 鬈一1 ( t 1 ，黔) ) ) g 一1 ( t ，妒) ) j 0 1 ，i ( 舻，r ) 与眠_ 1 ( 舯，r ) 之间存在自然投影： 肌一1 , k ：玩1 ，i ( 舻，r ”) _ 眠一1 。( 时，r ”) 将两个链霸1 。( x - ，r ，) 和h 0 一l ，。( x - ，r “) 联系起来所构成的系统： 晶一1 。( r 竹，r ”) ：_ 日一1 ，k + 1 ( ，r ”) _ 日一1 ，( r n ，r ”) j 砌一1 ，j , o n 一1 ，k + lip - 一1 一1 ，( x - ， ) ：一职一1 ， ) 一小，”) 称为p 到r m 的典则系统 对于方程组d ，设其本方程为 d 。：_ d k + 1 _ 仇_ _ d b _ d 一1 定义d 的典则系统如下： 定义2 7 设 最一1 ，k ( d ) = 晶一1 ， ( 舯，r ”) n ( g l ( t d k ) j 渺p ) d k + 1 ) - 一1 。k ( d ) = 一l ( 取一1 i ( d ) ) 称 j k 一1 ，。( d ) ：_ + l _ 一1 ，l ( d ) _ + j k 一1 i ( d ) 一 j , o n 一1 1 , o n 一1 ，k + li 肌一1 ，i _ l ，。( d ) ：一矾一1 ，k + l ( d ) 一- l ， ( d ) 一 为d 的典则系统 第z - 章分层理论与偏微分方程 9 对上述典则系统进行分层，所得到的结果将直接显示方程d 的拓扑学性质 下列定义将指出什么是分层以及如何对典则系统分层 定义2 8 设x ，y 是两个拓扑空间，是x 到y 的连续映射，将y 分解成若干个互 不相交的子空间之和：y = y oumu 称为y 按，分层，假如分解是按如下规则 进行的： k 是使得( ，一w o ) ，碥，i ，一- m ) ) 成为一个局部平凡纤维空间的y 的最大开 集一般地，k 是使得( ，一1 ( k ) ，k ，f l l - * ( k ) ) 成为一个局部平凡纤维空间的y u 的最大开集 现考察d 的典则系统根据分层定义2 8 对肪一1 ，k ：玩一1 ，i ( d ) 一- 一1 ，女( d ) 分 层如下： - 1 k ( d ) = u 醒一， ( d ) i 口 记碟一。，( d ) = p 0 1 ，( 畿一。 ( d ) ) ，则j l n 一1 ，i ( d ) = u 霹一l ，k ( d ) g 是纤维空间的 q 维数 以一1 ，女= 加- 1 , 乩东_ l 。( d ) ：层一1 ( d ) 一碟一1 ( d ) 定义2 9 称 风- l ，k = u 碟- l 。：最一- a d ) = u 爵- 1 ，女( d ) 一u 醒- 1 - ( d ) = w - 1 , h ( d ) g 口q 为d 的m 一1 ，七) 阶典则分层 瓦一l j ( d ) = i 一1 ，i ( 瞅，r ”) 一- 一l ，i ( d ) 称为d 的m 一1 ，七) 阶陷阱 设d 弘，r m ) ，记磁一1 岛一1 ( d ) 取一1 知一1 ，r ) f f p 一1 ，b 一1 的纤维 横截于空间g ：一1 ( t d k o 一1 ) j b 一- a i n 卫m ) d k ，则称 s ：一1 向一l ( d ) = 加一l ，一1 ( 瑗一l 知一l ( d ) ) - 一1 ， o l ( d ) 为d 的m 一1 ，一1 ) 阶横截层 第二章分层理论与偏微分方程 2 4c a u c h y 问题及其求解 2 4 1 分层理论中关于c a u c h y 问题的提法 分层理论以其特有的方式给出偏微分方程( ! f i ) c a u c h y f a 题的最一般的 定义设d 弘( 舯，r ”) 为阶偏微分方程，e 为一伊微分流形，7 ：e j 钿一1 ( r ”，r “) 与盯：e r “均为c o o 嵌入 定义2 1 0 满足 o k 0 1 - - l0 72 盯 ，y + ，= 0钆一1 ( 戤，r m )( 2 4 ) 7 ( ) d b 一1 的一对c ”嵌入h ，y ) 为d 的c a u c h y f 嘲在盯( e ) 舯上的一组初始条件 对于偏微分方程d ，k ( r ”，r ”) ，如果其本方程已经确定，对于一切詹2 一1 ，m 一1 ：j 一1 ，k ( d ) _ - 一1 ，k ( 鼢，r _ ) 也已分层： - l i ( 甜， ) = u 霹- 1 ，i ( d ) u 矗一l ( d ) ( 2 5 ) 口 记( 2 4 ) 中的7 为伽，称饥：e 一，b 一( r n ，p ) 为加的提升，它满足口2 生- 1 0 饥= 加而 讯：e + g 譬一l ( t j + b 一1 ( 舯，r ”) ) 为饥的诱导对应 定义2 1 1 若( 2 5 ) 中的每一个 s ：- 1 ( d ) w 么“t ( d ) g 一1 ( t j ( r n ，r ”) ) 存在唯一的偏微分方程组 e ( s ：一1 k ( d ) ) ，1 ( ，( 时，r ”) ) ( 2 6 ) 使得体一知+ 1 ：一( r “，r ”) 是e ( 醒“( d ) ) 的解，并且满足一硒+ l ( ) 醒- 1 ( d ) ，则称为e ( 醒- 1 ，k ( d ) ) 的末方程 第二章 分层理论与偏微分方程 t 分层理论的基本定理给出了一个c a u c h y 是否适定的充要条件，由分层理论 对于所有流体力学，大气运动方程的研究结果( 参考文献：分层理论与非线形偏微 分方程基础( m ) 施惟慧陈达段何幼桦著上海大学出版社) 都是基于这个定理 定理2 2 陪本定理，偏微分方程f 组jd j b ( p ，r ”) 的c 幻问题是适定的 充分强要条件是其所对应的初始务件( 盯，y ) 满足 彳( e ) s ：一1 b 一1 ( d ) ( 2 7 ) 2 4 2 解析解与形式解 对于d ，b ( 舻，r f n ) 的适定的c a u c h y 问题，从初始条件( 几舶) 出发，逐步 对加：一。内一1 ( 舻，r ”) 作提升： 一般地得到低：e _ j b 一1 ( 础，r n ) 时，它满足： o “k + “k o - ；o 住 口结b - 1o 饥 饥( e ) ( e ) 墨南 = 一y 七一l 三： ( 2 8 ) d k 一1 。 c 畿- 1 ， + b l ( d ) 由序列 佻) 即可得到此适定c a u 吐【y 问题的解析解 若偏微分方程组dc ，硒( 舯，r ”) 的一个c a u d i y 问题，其初始条件( 吼伽) 中 的伽满足彳0 ( e ) s = - 1 + b 一1 ( d ) ，并且由此出发，逐步对加：e 一，b 4 ( 舻，r ”) 作 第二章分层理论与偏微分方程 1 2 提升若一般地可得到讥：一j k + k o 一( x - ，x n ) 始终满足： u o e 女k + + b k o 一- ：o7 k 。悟一l 口譬妒1o 7 k 三盯 ( 2 9 ) 饥( e ) d k + k o 一1 。 饥( ) 醒一l 舯知一1 ( d ) 由序列 饥) 同样可以得到此c 龃d l y 问题的一个解，此解称为形式解之所以称 其为形式解，是因为其收敛性、唯一性以及稳定性均得不到保证，事实上它不能 作为所研究问题真正意义上的解 第三章海洋热盐环流模式稳定性 3 1海洋热盐环流模式的描述 大气环流运动主要由风应力的驱动作用和海水密度的差异( 热盐效应) 所 引起，一般来说，在海洋表层，风的驱动效应起着较为主要的支配作用，而在深 层，流动则完全有密度差的驱动效应所形成。由于海面的辐射、水汽的蒸发、海 洋与大气的热交换等，海水表面温度在南北方向上有很大的温度梯度；同时，蒸 发量、降水量、海水的生成量和融化量随地区而不同，这又造成海水盐份的不 同。因为海水的密度由温度、盐分和压强所确定，当水平面上存在较大的密度梯 度时就会产生海水的流动，这种以热、盐效应作为原动力的运动称为热盐环流。 海洋的熟盐环流运动方程组和大气运动方程组类似，只是变量中增加了盐 度，因此增加了盐度方程；在水平运动方程中，依然考虑由地球旋转及空气微团 相对于地球的运动而产生的c o r i o l i s 力：由于垂直运动尺度相对比水平尺度要小 的多，一般情况下，垂直速度仅是水平速度的千分之一以下，垂直加速度与重力 加速度相比是小项，所以垂直方向上的运动方程采用静力近似，这里我们仍要 考虑密度变化的影响，这种密度变化可以认为主要是由温度和盐度变化所引起 的。重力场中的密度差会造成浮( 沉) 力，使流体产生对流上升或下沉：相比大 气来说，海水的连续方程采用不可压缩假定也更合理；状态方程则联系起密度、 第三章海洋热盐环流模式稳定性 1 4 温度、盐度、压力的关系。综合起来，描述热盐环流的方程组可归纳为： d ： 象+ u 赛+ ”筹+ 伽象一如+ 去篆= 耽( 象+ 雾) + 象 塞+ 巷? 骞+ 伽塞+ 扣+ 去葛= ( 器+ 象) + 喀瓦+ 让瓦+ ”巧+ 伽瓦+ ，“+ 石面2 i 瓦+ 否j + 石 嚣+ 考+ 瓦o w 刨 瓦2 一加g i = f 只p ) i 豢+ “筹+ ”筹+ 叫笔一劬= ( 嘉+ 雾) + 等 【筹+ 让筹+ ”筹+ 加筹一q s = k s h ( 鍪+ 雾) + 雾 ( 3 1 ) 其中伽是海水密度的常熟近似，是作为变量的海水密度，s 是海水盐度。k r h 、n 分别是海水温度的水平、铅直湍流交换系数：岛弧、觑如则是盐度的水平、铅直 湍流交换系数。q t 和q s 分别是热和盐的源函数。其它符号取一般气象学中的意 义。 记v = r 4 ，z = r 6 ，并把( x ，y , z ，t ) 改记成( z 1 ，x 2 ，x 3 ，以) ，( u ，v ，w ，p t ，s ) 改记 成( “1 ，t 1 2 ，u a ，u 4 ，t 1 6 ) ，这样d 可以看成e h e r s m a n n 空间，2 ( k z ) 的一个子集。为 了表达方便、整齐起见，我们还记 k t = 扔= h ，k 3 = 矗= 磊= ，届= k t h = = k s h ，= 使用e h e r s m a n n 空问局部坐标，d 被表示为 d ：h p ；l + 如+ k s p i 3 + 圣l = 0 f 2 ：幻研l + 兢砘+ k 3 p 2 3 3 + 垂2 = 0 ，3 ：p + 定+ 砖= o( 3 2 ) ，4 ：赡+ g f f f 。，鼠p ) = 0 ：后硝1 + 扇如+ - 蝴5 + 吼= 0 ，6 ：f c l p ? l + 磊如+ 磊壤+ 圣6 = 0 第三章海洋热盐环流模式稳定性 其中 圣- 2 ，t 2 一言p 4 一p j t - p l 一谢一谢 叱= 一，钍- 一石l 地4 一西一t 1 硝一抛壤一蛳瑶 ( 3 3 ) 圣5 = q t p i u 1 硝一t 2 硝一u 3 p 圣6 = q s 一斌一“l p 6 一t 2 p 6 一喇 3 2 模式的准本方程与本方程 定理3 1 d 的准本方程和本方程重舍，即d 。= 珑也就是说d 是班简单的 证明首先计算d 的准本方程 矿1 = 珥= q = 踢= 对于k 23 ， r ， ，0 ( r a ，r 6 ) = r a r 6 nl a ( i m a 2 ( d ) ) = l t ( i m a i 2 ( d ) ) = y ( ，4 ) - l g i 2 nl 2 ( i m 0 0 ( d ) ) = 如( i m n ；( d ) ) n d = v ( h ，句( 五) ，五) - 1 i _ 2 0 = 1 ，2 ，5 ，6 ；z = 3 ，4 ；i = 1 4 ) 珑寻y ( 岛。b “一。( 办) ，e “。一。一，( 五) ，乃，e 4 f 1 ) ，五) u = 1 ，2 ，5 ，6 ；1 = 3 ，4 ；1 i t 1 i t , 一2 4 ) 这样就确定了准本方程 d ：= u l f f i - 1 现证明d = d ：这相当于证明n 2 一。( 磁) = 磁- 1 ，y k 0 第三章，海洋热盐环流模式稳定性 1 6 对于k _ o ，1 ，显然口2 一l ( 磁) = 珥- 1 当= 2 ，呸为 ，1 ：k l p 1 + 如p 5 2 + k a 如+ 圣l = 0 ，2 ：k l 衍l + k p 乞+ 砘+ 锄= 0 岛( ，3 ) ：p i i + 玩+ 砖= o( 江1 4 ) f 3 4 1 句( ，4 ) ：砖+ o f g = 0( i = 1 4 ) 、 ，5 ：厩硝1 + 扇鹂2 + 磊p 要3 + 鸭= 0 ，6 ：h p 6 l + 如+ 如+ = 0 把( 3 6 3 ) 看作一个以二阶偏导数谚t 为未知量的方程组，在它的系数矩阵中， 以p i i ，如，p 乞，砖i ，建2 ，( i = 1 4 ， = 5 ，6 ) 等1 2 项偏导数的系数组成的矩阵为 ，置0 0 0 、 易小0 等2 三。0i 0 00 a 4 4 三) ，钆= 兰) 这里置是4 阶单位阵它的系数矩阵b 2 的行列式l b 2 i = 研后磊0 ，所以a i ( d ：) z d i 当七3 时，先把指标i l i 2 缸( 1 i l 如“4 ) 按字典排列 法排序，不同的排列个数记为靠，可知= c 备在珑中带有k 阶导数项办 ( = 七) 的方程为 e 。缸。电一，( 厶) = 0 e 4 i 妇m 一。( 五) = 0 ( 3 5 ) 0 = 1 ，2 ，5 ，6 ；f = 3 ，4 ) 共有2 “一2 + 4 一1 个 下面讨论由这2 “一2 + 4 r 女一1 个方程组成的、以k 阶偏导数砖一( = d = l 一 6 1 为未知量( 方程中的其它项均视为已知量) 的代数方程组。 把方程组先依0 = 1 ，2 ，5 ，6 ；f = 3 ，4 ) 的次序分成6 组，每一组中再把e h x e s m a n n 对 应e 得下标i l i 2 i 一2 或i i l i 2 i 一2 按字典排列法自上而下排序 h 0 ，iii、 = 如 中其 第三章海洋热盐环流模式稳定性 1 7 对k 阶偏导数项政。( = 詹= 1 6 ) ，则依先上标i ，后下标尹= 1 1 - 2 b 3 b 4 h 中 的a 1 a 2 a 3 a 4 ，按字典排列法自左而右排序 这样可以得到方程组的系数矩阵上k ，它的第一行至第“一2 行依次为8 柏让。( ，1 ) = o 中的各k 阶偏导数的系数，第r k - 2 + 1 行至2 r 一2 行则是e ，b “一：( 2 ) = o 中的 相应系数，以下两组各“一1 行分别为。小氐一。) = o ( 1 = 3 ，4 ) 中的系数，最后两 组各i k 2 行分别为8 州。“一。) = o ( 1 = 5 ，6 ) 中的系数，把这六组行向量依次记 为a 。注意到 ( 1 ) 固定n ，a ，是厶通过不同的e 1 1 r e s m a n n 对应生成，每个行向量中都有一 些( 在其它行向量中为零的) 非零分量，所以a 。中的行向量是线性无关的 ( 2 ) 因为a 2 中每个向量都含有a l 中没有偏导数群。的系数，所以向量组 a 1 ，a 2 ) 仍 然是线性无关的同理，向量组 a 1 ，a 2 ，a 3 乃至 a 1 ，a 2 ，a 3 ，4 4 ，a 5 ，a 6 ) 也 是线性无关的 所以b k 是满秩的类似在七= 2 的情形下所讨论的结果，有罐一。