SARS传播的数学原理及与控制

第2 0 券苇7 【f |工程数学学报 v 。I2 。N 07 2 0 0 3 年1 2 月 J O U R N A LO FE N G I N E E R I N GM A T H E M A T I C S D 。2 0 0 3 文章编号：1 0 0 5 3 0 8 5 ( 2 0 0 3 ) 0 7 0 0 2 9 0 6 S A R S 传播的数学原理及预测与控制 邹宇庭，郑晓练。缪旭晖 指导教师：谭忠 ( 厦门大学，福建厦门3 6 1 0 0 5 ) 编者按：本文建立了s A R s 传播的具有负反馈的差分方程模型。用两个参数分别刻画疾病传播能力和对 疾病采取有效控制措施的能力，并用标准差趋于稳定来判定数据拟台的合理性，是本文的突出优 点。文章将这方法用于北京，广州，山西和香港，均获得较好效果。 摘要：众所周知，s A R s 对中国社会带来了重大的影响。我们蹦北京地区4 月到6 月有关S A R s 的数据 为参考资料，就病毒的实际传播特征引人了电子线路中的负反馈的概念，建立了s A R s 传播的负 反馈系统，并在分析该系统参数实际意义的情况下，建立时间序列的模型。识模型将传染率定义 为时间的函数，以拟合数据和实际数据之间的总残差最小为目标，利用m a t I a b 中的f m i n s e a r c h 函 数模拟得到最优的模型参数。该模型可必较好的预测s A R s 的发展趋势，且可以就此趋势提出如 何控制s A R s 传播的措施。继而，本文通过模拟出在不同日期提前或滞后5 天实施隔离政策所引 起s A R s 发展趋势变化的曲线。分析了卫生部门实施隔离政策的日期对s A R s 发展趋势的影响。 在s A R s 对经济影响的这个问题上，本文适当选取医疗业具有代表性的1 7 支股票，构造了医 疗板块指数，以此测度医疗业的经济表现。在传统的c A I ，M 模型中，我们引入了虚拟变量，利用 o L s 技术进行估汁分析，检验出s A R s 这一事件对医药业的经济影响是正影响。该影响反映在医 疗版指数的日收益上但这个影响是由s A R s 引起的，会随着S A R S 的结束而结束。 关键词：s A K s ；负反馈系统；时间序列模型；资本资产定价模型 分类号：A M s ( 2 ( ) 0 0 ) 6 2 M 1 0中国分类号：0 2 1 23文献标识码：A 1 数学模型的分析与建立 1 1 假设与符号说明 1 ) 统计数据是可靠的；2 ) 病人处于潜伏期时不传染他人；3 ) 采取的所有控制措施对于阻 止S A R s 病毒的传播都是有效的。I 。：到第n 天为止累计确诊的病人数iD n ：到第n 天为止 累计的死亡人数；S 。：第n 天的疑似病人数；C n ：到第n 天为止治愈病人数；d ：死亡率；g ：治 愈率；s 1 ：新增病人与新增疑似病人的比值；S 2 ：疑似病人转化为正常人的比率；K 区域内 的自反馈参量；F “反馈变量；K f ：反馈系数。 1 ，2 现在我们分析问题并建立相应的数学模型： 社会的反应往往足一个渐变的过程，会随疫情的变化而变化，是一个负反馈过程，比如， 万方数据 工程数学学报第2 0 卷 当疫情严重时人们会自觉地减少与他人接触，相反的当疫情不显著时人们会放松警惕而增 加与他人接触的机会。为此我们建立如下负反馈系统( 图1 ) 。将实际情况与控制力度的关 系通过反馈系数实现自动调节，这样就能及时采取控制措施，使得病情传播速度迅速减小， 以求最后达到消灭病情的目的。 在以上系统中： A 是开环增益( O p e nL 0 0 pG a i n ) ，表示基本 放大器的放大倍率，即为输出信号与输入信号的比 值。在研究s A R s 传播的模型中，我们将此定义为 s A R s 病毒在未受控制情况下的自然传播速度，即 病毒的基本传播率。K r 是反馈网络中的反馈系 圈1系统示意 数，即反馈信号与输出信号的比值。在该模型中我们将它定义为各种反应因素的总和，通过 负反馈可以减小病毒传播速度。输入信号，定义为当前情况下s A R s 的传播情况。 输出信号K 定义为t 时闻后社会上s A R s 的传播情况。 通过以上系统，我们得到参量A ，K f 与输入信号( x ，x ；) ，输出信号( ) ( 0 ) 以及反馈信 号x f 之间的关系： X o = A X ： ( 1 ， x r = K r 。x o ( 2 ) ， x ；= x f + x ，( 3 ) 定义闭环增益( c l o s e 出L o 。pG a i n ) 氏为病毒的实际传播率，定义反馈深度F ，表示对调 节元件灵敏度的折中，并将式( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 代人则 A ，= 蔓= _ ，F = + 暑= t + 玺誓= ，+ K ，A ，A ，= 参 ”曩 由上式分析得到： 当反馈系数K f 0 时，系统是正反馈的。由于控制措施的目的是阻止病毒传播，因此K f 不 可能是正值，除非处理s A I 塔的方法是错误的。对于这个系统来说，可以不考虑这种情况。 基于对以上系统的分析，我们考虑建立现实的溺传播模型： 因为要控制的实际量为s A R s 确诊病人数，因此x ；就为1 。，为I 。，l ，l 。表示到第n 天为止累计确诊的病人数。 量化时间，以天为单位。 选定某一区域为研究区域，在模型中建立各反馈参量： a ) 设该区域内的自反馈参量为K ，表示陔地区在未采取控制措施时S A R s 的传播能力。 b ) 设该地区反馈量F 。的变化率为“，即每增加一个病人引起反馈量F 。的变化量。f k 表示该地区的病情控制情况。 由此建立以下时间序列模型： 只= K o 十，E ( J 。+ s 。) 。十1 = ，。+ F J 。C 。一( D 。一D 1 ) D 。+ 1 = D ，+ d ( f 。D 。一C 。) s 。1 = S 。+ ( L + 1 一J 。) 。S 1 一S 。S 2 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) 万方数据 ，i ! ! ；! 坠 ：譬簋兰兰鏊兰量翌墨翌翌皇兰型： C 。+ 1 = C 。+ g ( J 。一f 。一1 )( 5 ) 其中式( 1 ) 表示反馈量是自反馈参量和人为控制后的反馈参量的和；式( 2 ) 表示确诊病 人总数的变化情况；式( 3 ) 表示死亡人数的变化情况；式( 4 ) 表示疑似病例数量的变化情况； 式( 5 ) 表示治愈病人数的变化情况。如果病情得到控制，既病人不再增加，那么反馈量应该 是O ，易得f k 必须为负数。所以 L j m F 。+ 0 L i m j 。+ 1 一J HL i m D 。+ l _ D 。 L 2 口2S 。+ 1 一O 1 3 问题的求解 设实际数据为I n 0 ，拟台数据为I 。，则我们确 定参数的目标是使总残差最小，即：m i n E = 一0 ( ，。J 。o ) 2 。我们用m a t l a b 中的f m i n 5 e a r c h 函数 来求解，得到总残差最小时的参数k 0 ，f k 并由模 型中式( 1 ) 、( 2 ) 迭代求出I 。发展趋势的曲线。取 用实际数据量不同，各参数以及最小总残差便不 l l 1 0 L 哪? 标准差 5 010 0 一标准差 图2 标准差曲线 同。模拟时，只要达到一定的数据量就可以很好地拟合出曲线，我们以标准羞来判断数据量 是否已经足够。数据量从1 0 天变化到6 4 天，标准差变化的曲线如图2 所示： 将标准差接近平稳状态的数据量取值区间抽出： 熟竖量( 天) l 2 32 4 2 52 62 72 82 93 03 1 标准差1 1 40 4 7 1 1 38 9 4 1 1 3 8 3 3 1 1 38 叭l1 3 7 81 1 37 6 2 1 1 37 8 2 I1 3 8 21 1 38 1 6 可见，数据量取到2 5 天以上后标准差已经稳定。因此，可以认为拟合北京市s A R s 发 展趋势线只要取其从4 月1 日开始的2 5 天数据即可。因篇幅有限删除具体计算程序。取 前2 5 天数据拟合出的各发展曲线如图3 所示 圈3 发展曲线图4 广州 该曲线图不仅描绘出2 5 天的发展情况，而且通过预测描绘出2 5 天以后的发展情况。 对比2 5 天后预测数据和实际数据：对于累计确诊病人数，它们之间的标准差稳定在1 3 万方数据 ，皇圣，一 三要鍪兰兰堡：兰：堂 5 8 6 附近，因此两者是十分吻合的。对于疑似病人数，由于疑似病例的判断受主观因素的 影响，拟舍情况不如其他两条曲线。对于死亡病人数，吻合程度依然比较高。误差产生的 原因可能是个人的免疫能力不同这个原因无法在定义的反馈系数中体现出来。由此可以看 出以上的预测十分成功。 为验证该方法的有效性，我们分别计算了广州，山西和香港的累积确诊病例发展趋势， 得到的预测数据和实际数据吻合程度很高。可见该方法是十分有效的。具体见图4 6 ： 1 4 对卫生部门措施的评论 A ) 对发展趋势曲线的影响： 。 5 。i ， 枷卸* | ： 乒 ， 。：1 广n _ 卜蔫一。_ i ： 图5 山西 囤6 香港 图7 体现了从不同时间点开始提前或滞后5 天实施隔离政策，得到的总患病人数随日期的 发展变化，如图中取了、四个时间点。原始数据反映的总患病人数的曲线为，若提 早5 天采取隔离政策，则对应四个时间点的总患病人数的曲线分别为、，若推迟5 天， 则对应四个时间点的总患病人数的曲线分别为、。从图中可以很明显地看到从任一 给定时刻起提前5 天采取政策比正常情况下可减少一定的患病者，而滞后5 天则会增加患病者， 这一时刻取得越早，就可使越多的人免于得病，因而政策的效用就越大。 H ) 对总确诊人数的影响：( 图8 中的每一对点对应统一的横坐标) 影响值 第7 天 第8 天 第9 天第1 0 天第1 1 天 滞后5 天18 9 9l8 3 71 7 6 716 9 21 6 1 3 提前5 天06 2 06 5 3 06 8 90 7 2 707 6 6 影响值第1 2 天第1 3 天第1 4 天第1 5 天第1 6 天 滞后5 天l5 3 2 14 5 2 1 3 7 6l3 0 612 4 5 提前5 天08 0 308 3 90 8 708 9 809 2 l 影响值第1 7 天第1 8 天 第1 9 天 第2 0 天第2 1 天 滞后5 天11 9 2 11 4 911 1 4 1 0 8 6 10 6 5 提前5 天 0 9 3 9O9 5 4O9 6 6O9 7 4O9 8 l 影响值第2 2 天第2 3 天第2 4 天第2 5 天第2 6 天 磴后5 天 l0 4 8 l0 3 6l0 2 6 10 1 9 10 1 4 提前5 天09 8 60 9 9O9 9 309 9 509 9 6 影响值第2 7 天第2 8 天 第2 9 天 第3 0 天第3 l 天 滞后5 天1 0 “l0 0 810 0 6l0 0 410 0 3 提前5 天 O9 9 7 09 9 8 0 9 9 9 09 9 9O9 9 9 上表为从第5 个时间点即第5 天开始考虑提前和滞后5 天采取隔离措施带来的总确诊 人数的影响，影响值以影响后的总确诊人数与无影响下的总确诊人数的比值表示。由上表 一 口 一 一 ， 一“ 一 ，j 浊 万方数据 第7 期s A R s 传播的数学原理及预测与控制3 3 和图7 8 可见，越早实施隔离政策，最后总确诊病例数就越少而且新增病人数就越快接近 0 ，这意昧着S A R s 病情越早得以控制。 2s A R S 对经济影响的数学模型分析与建立 s A R s 对国民经济的各方面均带来冲击，并给国民经济带来重大损失，但同时s A R s 也 给某些行业，如医疗业带来正面的影响。下面构建带虚拟变酵的c A P M 模型实证检验 “ ：二二$ i - 萎l i ：豢三i 罴纛i i 一I 。蠹jj = S 磊曩j = 。：螗。、 ：_ _ j 季。一亏亍1，一 吒 直莹B 燃虚5 差 - 二，：c 0 & 弛螬赋髓q 嘲目旺啪雌鞋帅 I n 、 一t 第r 置提前c 弦 ， 。 。0：- 图7 对发展趋势曲线的影响图8 提前或滞后5 走的总确诊病人数 S A R s 是否给医疗业带来影响和多大程度的影响。行业的股票指数在一定程度上反映了整 个行业在大经济环境下的业绩表现。模型的数据的获取从h t t p ：w w w m o n e y w i s e c o m c n d o w n s p j h t m 取得，选取的时间段从2 0 0 2 年9 月2 号到2 0 0 3 年6 月3 0 号。选取的股票 为：万东医疗，浙江医药，恒瑞医药，南京医药，鲁抗医药，上海医药，华东医药，三九医药，广 济药业，金陵药业，新华制药，百科药业，四环药业，东北药，s T 海药，恒和制药，云南白药。 定义：P ，。为第i 只股票第t 日的收盘价格；P M 。为深圳成指的第t 日的收盘价；r E 【医疗股指的 目收益；r M ，市场指数的日收益率。构建医疗业板块的股票指数：以等权重法计算医疗业股 指计算过程中考虑到了新增股和个股退市的权重调整，具体表达式为 。 莩P P E f ， PM f ，n2 可n 刮”卢再7 M f 刮”F i 建立模型如下 ( 靶7 ，) f = d + 卢( r M 一7 ，) + z D 。十f I Ot 处于2 0 0 2 年9 月2 号到2 0 0 3 年2 月1 1 号 1 1 1t 处于2 0 0 2 年2 月1 1 号到s A R s 结束以后 其中D ，为虚拟变量，当有s A R s 影响时D 为l ，无影响则为O 。由于s A R s 开始的日期 为2 0 0 3 年2 月1 1 日，因此采集的数据时往前至2 0 0 2 年9 月2 号往后到2 0 0 3 年6 月3 0 号。 a ，口，Y 为待估计系数，其中：a 为截距项；p 即为e A P M 中的“口”系数，用以衡量个股( 板块) 的 系统风险；7 为分析的重点，如果7 统计上显著异于零，则说明s A R s 对医疗业发生了显著 影响，并且影响程度为7 ；。为扰动项；r f 为无风险利率，在本模型中用银行3 月期存款利率 测度；r 【为市场指数收益，本模型中用深圳成份指数测度。 万方数据 翟三堡蝥兰兰耋耋：主 2 2 3 模型求艇 V a r i a b l e C R M R F D R s q u a r e d A 由u 8 t e dR s q u a r e d SEo fr e z r e s s m S 啪s 口u a r e dr e s i d L ml i l 湛i h o o d D u r b i n W a t 8 0 ns t a t G 。e f f i c i e n t 00 0 1 4 2 8 O 2 9 2 5 7 6 00 0 0 2 1 3 O7 6 6 4 1 9 0 7 7 6 3 O 0 1 5 2 2 7 O0 3 6 1 7 2 4 4 1 2 6 5 3 1 9 9 1 8 5 l S t dE r r o r 0 0 0 1 4 9 7 OO B 8 6 4 l 0 0 0 2 5 5 5 t S t a t i 8 t i c 一09 5 4 4 2 4 33 0 0 6 6 5 38 6 0 5 5 4 J e a nd e D e n d e n tv 舡 S Dd e n d e n tv a r A k a i k ei 1 1 f oc r i t e r k m s c h w B r z c r i t e o n F 一3 t a t i 虻i c P r o b ( F s t a t l 5 t i c ) P r o b 0 3 4 1 3 0 0 0 1 2 0 0 1 2 6 从表中可以看出：s A R s 的爆发对医疗设备，医疗药物的需求带来了冲击性的影响，反映在医 疗版指数的日收益上，带来了o 0 2 1 3 的额外日收益。当然，这些收益是由手s A R s 带来的，随着 s A R s 的平息，这个正的效益也会随之平息。这便是s A R s 对医疗行业的经济影响。 参考文献 1 姜启源数学模型北京：高等教育出版社，2 0 0 2 2 邓聚龙，韩洪灰色理论北京：全华出版，2 0 0 2 3 谢嘉奎电子线路一线形部分北京：高等教育出版社，1 9 9 9 4 J a m 岱D ，H a m i l t o n 时间序列分析北京：中国社会科学出版社，1 9 9 9 T h eM a t h e m a t i c a lp r i n c i p l eo fT h eS p r e a dO fS A R Sa n dI t s A p p l i c a t i o n0 nF 0 r c a s t i n ga n dC O n t r 0 U i n gS A R SE p i d e m i c Z O UY u t i n g ，Z H E N GX i a o I i a n ，M I A OX u h u i A d v i s o r ：T A NZ h 。n g ( x i a m e nU n j v e r s i t y ，x i a m e n ，F u j i a n3 6 1 0 0 5 ) A b s t r 哪：I tI sw e k n o w nt h a tS A R S l a sat r e m e n d o u se f f t c to nC h I n e s es 。c j e t vB a s e do nt h es t a t l s t i 船r e l a t e d t oS A R Si nB e 日l n gf r o mA p r i It oJ u n ei n2 0 0 3 ，w en l o d e l e dt h eN e g a t i v cF e e d b a c ks y s t e mo ft h es p r e a d i n g0 f S A R Sb yI n t r o d u c i n gt h ec o n c e p to fN e g a t i v eF e e d b a c kS ”t e ml ne I e c t r o c i r c u l ta n dt h en a t u r c0 ft h eS A R S v i r u sM 可e 洲e r ，b ya n a l y z i 7 堰t h ep 工a c t i c a Im e a n i n 酗dt h ep a T 哪e t e r si nt h i s 科s t e m ，ac 研1 p k eT i m eS e q u e n c e sd e r i v e dn 1 0 d c li sp r e s e n t e d I td e f i n e st h es p r e a d i n gr a t ea saf u n c t i o no ft i m e ，a n d8 d o p t st h e m i n s e 8 r c h f u n c t l o ni nm a t l a bt og i v et h eb e s tp a r a m e t e r s ，w i t ht h eo 断e c t0 fm i l l i m u mt o t a ld i f f e r e n c eb e t w e e nt h ea c t u a l s t a t i s t i c s a 1 1 dc o m p u t e dr e s u l t s T h i sm o d e lw e Uf o r e c a s t Bt h e8 p r e a d i n gt r e n do fS A R S ，a c c o r d i n gt ow h i c hp r o p e ra d v k e sc a nb ep u tf o r w a r do n0 0 n tm 1 1 i 1 1 9p o l i c i e sF u r t h e r ，c u r v e sa r ed r a w nt h a ts i m u l 8 t et h ed i f f e r e n td e v e l o p m e n tt r e n d sa s 计圮r e s u ho ft h eq u a r a n t i n ec a r r i e do u tn v ed a y s 日 傩a do fo r 右v ed a y 31 8 t e rt h a nas e e s0 fd i f f e r e n rd a t e sC o m p a r i s o b e t w e e nt h e s ec u r v 糌m a k e si tp o s s i b l et oa I ”et h ei m p a c te x e r t e db yt h ed a t ew h e nt h e 髓n i t 耵yd 印甜t 1 匝tc a r n e dd u taq u a r a n t i n e ( b n c e r n i “gt h ei n f l u e n c eo fS A R So ne n o m y ，1 7r e p r e n t a t i v e 拙k s 。fm e d i c i r l ei n d u s t r ya r ec h o s e ni n 。r d e rr 0m e a s u r es p e c j f i c a U ya n di n d i r e c t l yt h e 。v e r a l lt r e n d 。ft h 诂i n