（基础数学专业论文）乘法封闭集的伪局部化与pvmr的刻画.pdf

乘法封闭集的伪局部化与p v m r 的刻画 基础数学专业 研究生庞佳指导教师王芳贵 近年来关于p v m r 的研究见诸于不少文献，一直受到人们的关注本文运用伪 局部化方法与一般交换环上w 一算子刻画p v m r 第一章首先引入伪局部化r i s l 与s 一 可约，并探讨了r f s l 的一些基本性质然后，将一般交换环上的w 算子与伪局部 化r f s l 相结合，得到模的伪局部整体原理第二章首先介绍了m a n i s 赋值理论，定 义了伪赋值环，即p 是同约唯一正则极大理想且( r ，p ) 是赋值对并结合m a n i s 赋 值理论与伪局部整体原理，得蛰j p v m r 的等价刻画，即r 是p v m r 当且仅当对r 的 任何的极大w 一理想q ，( r | q 1 ，旧】r q 】) 是m 越s 赋值环；这也等价于对于同狗任何的 正则极大w 一理想p ，( r i p l ，p 1 r f p l ) 是伪赋值环其次，采用传统的理想理论的研究 方法，结合w 算子得到p v m r 的另一等价刻画，即r 是p v m r 当且仅当r 的每个有 限型的正则理想是w 一平坦理想( 眇投射理想) ；若r 是弱d w 环，则r 是p v m r 当且仅 当兄是p r i i f e r 环 关键词：伪局部化；g 可约；伪局部环；伪赋值环；p v m r 第i 页，共妁页 p s e u d o l o c a l i z a t i o no fm u l t i p l i c a t i v e l yc l o s e ds e ta n d c h a r a c t e r i z a t i o n so fp v m h a r a c t e r l zi o n so i1 - vm h 1 、s b a s i cm a t h e m a t i c s p o s t g r a d u a t e ：p a n gj i as u p e r v i s o r ：w a n gf a n g g u i p v m r sh a v er e c e i v e dag o o dd e a lo fa t t e n t i o nc o n t i n u o u s l yl nan u m b e ro f l i t e r a t u r ei nr e c e n td e c a d e i nt h i st h e s i s 。p v m r sa r ec h a r a c t e r i z e db yu t i l i z - i n gp s e u d o - l o c a l i z a t i o np r i n c i p l ea n dw o p e r a t i o n s i nc h a p t e r1 ，t h ec o n c e p to f p s e u d o - l o c a l i z a t i o nr i s ia n ds c a n c e l l a t i o na r ei n t r o d u c e d t h e n ，w eo b t a i ns o m e p r o p e r t i e so fp s e u d o - l o c a l i z a t i o nr s 1 m o r e o v e r ，t h ep s e u d o - l o c a lt og l o b a lp r i n - c i p l ei sr e c e i v e db yu s i n gp s e u d o - l o c a l i z a t i o nr l s a n dw o p e r a t i o n s i nc h a p t e r 2 m a n i sv a l u a t i o nt h e o r yi sp r e s e n t e d p s e u d o - v a l u a t i o nr i n gri sd e f i n e d ，w h i c h h a v eau n i q u er e g u l a rm a x i m a li d e a lpa n d ( r ，p ) i sav a l u a t i o np a i r 0 nt h e o n eh a n d ，b yu s i n gp s e u d o - l o c a l i z a t i o np r i n c i p l ea n dw - o p e r a t i o n s ，i ti ss h o w n t h a tri sap v m ri fa n do n l yi f ( r i q ，【q ir i q ) i sam a n i sv a l u a t i o nr i n gf o ra n y m a x i m a lw - i d e a lqo f 冗；w h i c hi se q u i v a l e n tt ot h a t ( r 【p 】， p ir i p i ) i sap s e u d o - v a l u a t i o nr i n gf o ra n yr e g u l a rm a x i m a lw i d e a l 尸o fr o nt h eo t h e rh a n d ，b y u s i n gt r a d i t i o n a li d e a lt h e o r ym e t h o d s w ep r o v e dt h a tr i sap v m ri fa n do n l y i fe v e r yf i n i t et y p ei d e a lo fri sw p r o j e c t i v e ( w f i a t ) i fri saw e a kd wr i n g ， t h e nri sap v m ri f a n do n l yi f ri sap r f i f e rr i n g k e yw o r d s ：p s e u d o - l o c a l i z a t i o n ；s c a n c e l l a t i o n ；p s e u d o - l o c a lr i n g s ；p s e u d o - v a l u a t i o nr i n g ；p v m r 四川师范大学学位论文独创性及 使用授权声明 本人声明：所呈交学位论文，是本人在导师王羞塞塾拯指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品或成果。对本文的研究做 出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律结 果由本人承担。 本人承诺：已提交的学位论文电子版与论文纸本的内容一致。如因不 符而引起的学术声誉上的损失由本人自负。 本人同意所撰写学位论文的使用授权遵照学校的管理规定： 学校作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者须授权所在大 学拥有学位论文的部分使用权，即：1 ) 已获学位的研究生必须按学校规 定提交印刷版和电子版学位论文，可以将学位论文的全部或部分内容编入 有关数据库供检索；2 ) 为教学、科研和学术交流目的，学校可以将公开 的学位论文或解密后的学位论文作为资料在图书馆、资料室等场所或在有 关网络上供阅读、浏览。 本人授权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位 论文全文数据库，并通过网络向社会公众提供信息服务。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位燃：a 阮 签字日期：呼垆月眵日 导师签名： 垦芳丧 签字日期：汐产毕月玷日 j 一 日i j 舌 在环模理论中，各类环的不同刻画一直是交换代数中一个非常活跃的 研究课题自2 0 世纪8 0 年代以来，由于星型算子工具的引入，人们对环的关注 越来越多众所周知，钞算子和t 一算子是两个常用的星型算子，王芳贵和r l m c c a s l a n d 于1 9 9 7 年建立了一个新的星型算子_ 1 沙算子，它不仅对整环的理 想理论有如钞一算子和t 算子一样的刻画，而且对模范畴的研究也有丰富的 结果1 9 8 8 年s m a l i k ，j m o t t $ 口m z a f r u l l a h 在 3 2 】中运用理想的t 可逆性等 价刻画了p v m d ( p r i i f e r 御m u l t i p l i c a t i o nd o m a i n s ) ，1 9 9 9 年王芳贵和r l m c c a s l a n d 在1 9 1 中又运用理想的w 一可逆性等价刻画了p v m d 最近，尹华玉等人 在【1 】中将整环上的w 算子严格推广到一般交换环上，建立了一套含有零因 子的交换环上的w 模理论由于w 可逆与t 一可逆的一致性，本文利用w 算子 将p v m d 推广至u p v m r ( p r i i f e r m u l t i p l i c a t i o nr i n g s ) ，其定义是：若交换环r 的 每个有限型正则理想都是西可逆的 赋值理论可以看作拓扑代数的一个分支，赋值理论的发展己经有一百多 年的历史1 9 3 6 年，k r u l l 在4 0 1 通过整环上的赋值理论刻画了p r i i f e r 整环，得 n r 是p r i f e r 整环当且仅当对r 的任何素理想p ，r p 是赋值环，这等价于对冗的任 何极大理想m ，是赋值环因此赋值环在对p r i i f e r 整环的研究中起着重要的作 用，而且局部的p r i i f e r 整环就是赋值环1 9 6 7 年，m a n i s 在【3 9 将整环上的赋值理 论严格推广到含有零因子的一般交换环上，定义了m a n i s 赋值环，这是比赋值环 更广泛的一类环，这为后来刻画各类环奠定了基础1 9 7 0 年，m g i r f f i n 在【4 3 】运 用m a n i s 这套理论讨论了含有零因子的p r i i f e r 整环，m g i r f f i n 称之为p r i i f e r 环得 到尼黾p r i i f e r 环当且仅当对于r 的任何极大理想p ，r i p l 是m a n i s 赋值环1 9 7 1 年， k e l l y 并i l l a r s e n 在3 8 1 中讨论了m a n i s 赋值环的扩张问题，使得一般交换环上的赋 值理论更加完善 众所周知，若s 是环r i 拘乘法封闭集，r s 是经典的r 在s 上的局部化或称分式 环局部化理论对环与模的刻画起着非常重要的作用1 9 7 0 年，m g r i f f i n 在 1 4 】中 首次定2 - r l s 】= u ti 存在s s ，使得s u r ) ，其中s 是兄的乘法封闭集， 第l 页，共2 9 页 前言 t = t ( 咒) 是尉拘完全商环( t o t a lq u o t i e n tr i n g ) ，即r 关于所有非零因子的局 部化或分式环这是与经典的局部化完全不同的一类环，其不同在于只 有当8 s ，且8 是r 的非零因子时，才有r s 1 m g r i f f i n 由此得至u p r i i f e r 环的等价刻画此后对r 翻的关注越来越多，m b b o i s e n s d m l a r s e n 在 3 5 】中 把冗吲与m a n i s 赋值理论相联系，证明了若( r ，p ) 是赋值对，则r = r p i 2 0 0 6 年， s b a z z o n i $ 1 3 s g l a z 在 4 1 】中，得n r 【翻的一些新性质但他们都并没有具体讨 论r s l 的基本性质 本文正是在以上研究背景下，将r f 司看成独立的研究对象，讨论了r 吲的一 些基本性质，为了与经典的局部化相区别，我们称r 旧为冗在s 上的伪局部化或称 伪分式环并结合w 算子与m a n i s 赋值理论刻画p v m r 本毕业论文共分两章 第一章第一节引入m g r i f f i n 定义的r 旧，并深入讨论了兄f 明的性质讨论过 程中，我们定义母可约，这为我们的研究工作带来新突破，得到兄吲的一些较好的 性质在第二节，定义了伪局部环，即只有唯一极大正则理想的环由经典的局 部化理论知，若p 是翮拘素理想，则凰是局部环，且p p m r p 的唯一极大理想与局 部化相对应，我们得到，若p 是同拘素理想，则兄f p j 是伪局部环，且p n m r p 的唯一 正则极大理想 由环模理论知识知，设m 是戽模，a ，b 是m 的子模，则a 兰b 当且仅当对同拘 任何极大理想m ，4 m = 风这是我们熟悉的局部整体原理最近，王芳贵 在 4 2 】中推广了这一原理，得到若m 是g v 一无挠模，以，b 是m 的子模，则a l ，= 玩当且仅当对冗的任何极大w 一理想q ，有a q = 特别地，设m 是g v - 无挠模， a ，b 是m 的w 一子模，则4 = b 当且仅当对同拘任何极大w 一理想q ，有a q = b q 在第三节，结合w 一算子理论，我们推广了模的局部整体原理，得到模的伪 局部整体原理设a ，b 是t 中的皿模，则a = b 当且仅当对任何极大理想p ， w a p = b i b 设a ，b 是t 中的尼模，则a = 玩当且仅当对r l 拘任何极大 理 想q ，有a 【q 1 = b f q l 第二章第一节介绍了经典的m a n i s 赋值理论，定义了比赋值环范围更广的伪 赋值环，即p 是r 的唯一的正则极大理想且( r ，p ) 是赋值对 1 9 8 1 年，j l m o t t 和m z a f r u l l a h 在4 1 中证明了兄是p v m d 当且仅当对尉拘 任何素t 一理想p ，r p 是赋值环；当且仅当对r 的任何极大一理想q ，是赋值 t a d p o l e - j i a 1 6 3 c o m 第2 页，共翔页 一 毕业论文 前言 环由于w 一可逆与t 一可逆的一致性，王芳贵在 4 2 1 中证明了r 是p v m d 当且仅当 对r 的任何素w 理想p ，r p 是赋值环；当且仅当对冗的任何极大w 一理想q ，勘是 赋值环p v m r 是p v m d 的推广，结合m a n i s 赋值理论与第一章中的伪局部整 体原理，在第二节我们得到p v m r 的等价刻画，即r 是p v m r 当且仅当对尉拘任 何的极大w 一理想q ，( r q i ， q 】r f q 】) 是m a n i s 赋值环；当且仅当对蚓佝任何的正则 极大w 理想p ，( r i p ，【p r t p l ) 是伪赋值环其次采用传统的理想理论的研究方 法，得到尼是p v m r 当且仅当同拘每个有限型的正则理想是w 平坦理想；当且仅 当同拘每个有限型的正则理想是w 投射理想若r 是弱d w 环，则r 是p v m r 当且 仅当r 是p r f i f e r 环 t a d p o l e - j i a 1 6 3 c o r n第3 页：共2 9 n 毕业论文 第一章伪局部化与伪局部环 本文总设r 是具有单位元的交换环，t = t ( 兄) 是翮拘完全商环( t o t a lq u o t i e n t r i n g ) ，即冠关于所有非零因子的局部化或分式环于是丁( 冗) 中的元素可以表示 为；，r r ，s 是尉约非零因子同拘非零因子我们也叫做正则元为了让我们的 研究变得更有意义，我们总假设t ( r ) r ，从而存在非平凡的正则元，即存在不 是单位的正则元素 1 1 伪局部化和9 可约 设s 是r 的一个非空子集若有1 s ，且若a s l ，s 2 s ，能推出s 1 8 2 s 贝+ j s o q 做r 的乘法封闭集兄s 是经典的冗在s 上的局部化或称分式环设j 是尉拘 理想，定义s = 詈l o i ，s s ) ，则厶是r s 的理想当p 是r 的素理想，且s = r p 时，我, f t + j 1 ) l f j 记r 尸= r s ，昂= i s 设s 是r 的乘法封闭集，令兄f s l = t i 存在s s ，使得s u r ) 则r 【s 】是 环，称为冗在s 上的伪局部化或伪分式环般地，设a 是t 中的皿子模，记a 阍= ( u t i 存在s s ，使得s u a ) 则有a 4 司，且a 旧是冗旧一模当p 是翮 勺素 理想，且s = r p 时，我们则记r | p 】= r 嘲，a l p = 4 吲 注意，只有8 s ，s 是r 的非零因子时，我们才有r i s 命题1 1 1 设s 是r 的乘法封闭集，日是s 在t 中的零因子集合则o 【s 】= 日 证明设z t ，则z 日当且仅当存在s s ，使得s z = 0 故o 【司= h 定义1 1 2 设s 是同拘乘法封闭集，c 是t 中的r t m - 子模，若a s s ，z t ， s z c ，能推出z c ，则称c 是可约的 注由定义立即可得，若c 是g 可约的，则对任何z h ，存在8 s ，使 得8 x = 0 c 因此，z c 因此日c 命题1 1 3 设s 是同约乘法封闭集，c 是丁中的r t s 一子模，则c 是g 可约的当且 仅当q s 】= c 第4 页，共2 9 页 第一章伪局部化与伪局部环 证明一方面，若c 是s 一可约的，因c c i 司显然成立设z c m 则存 在s s ，使得s z c 由于c 是争可约的，则z c 故q s 】= c 另一方面， 若c s l = c ，则由s s ，z t ，s z c ，则z q s 】= c ，即z c 所以c 是争可 约的 例1 1 4 并非任何冗旧一模都是s - 可约的例如，设s r ，8 0 ，s 2 = 0 则s = 0 ，l ，s ) 是冗的乘法封闭集，c = o 是r 同一模由于s s = s 2 = 0 c ， 但sgc ，故c 不是s 一可约的 设a ，b 是t ( r ) 中的尼子模，记( a ：b ) = r r i7 b a 】- 命题1 1 5 设s 是尉拘乘法封闭集，日是s 在丁中的零因子集合，a 是t 中的甩 子模则有： ( 1 ) a 旧是s 。可约的，从而有日曼a i s ，j 1 ( a i s j ) s l = a i s 】；特别的，若a 是g 可约的，则a = a s 1 ( 2 ) 若c 是t ( 硒中的g 可约。的r 嘲一子模，agc ，则a 【s 】c 因此，4 翻 是t 中包含a 的最小的曼可约的r 吲一子模 ( 3 ) 若a b ，贝j j a i s b s 1 ( 4 ) 若a 是翮拘理想，则a 嘲= r 吲当且仅当s n a a ( 5 ) ( a i b ) i s l = a i s l n b s 1 ( 6 ) ( a b ) s l = ( a t s b t 司) t s l ( 7 ) 对任何c t ，c a s l ( c a ) 【s 】 ( 8 ) ( a + b ) f s = ( a s i + b 旧) 旧 ( 9 ) ( a ：b ) s l ( a 旧：b s 1 ) ，且当b 是有限生成的时，( a ：b ) t e = ( a t s ： b 【s 】) ( 1 0 ) 若( a ：b ) 【司= 蜀s 】，则存在s s ，使得s b a 证明 ( 1 ) 若s s ，z t ，使得s z a 旧则存在s 1 s ，使得s l s z a 因 此z a s 1 ( 2 ) 设。a 吲，则存在s s ，使得s z a 冬c 由于c 是璺可约的，故茁c ( 3 ) 对任意的z a 【司，存在s s ，使得s z a b ，故z b 防 t a d p o l e - j i a 1 6 3 c o m ! 窘5 y i ：共2 f j 页毕业论文 第一章伪局部化与伪局部环 ( 4 ) 若8 s ，8 a ，则1 a s l ，因此有4 【s l = r s 1 g i 2 _ ，若a 吲= r i l l ，则 存在s s ，使得s = s l a ( 5 ) 一方面，( a n b ) t s a i s ，且( a n b ) s l b 旧，故( a n b ) t s a 【s 】n b s l ； 另一方面，任意的z ( a n b ) t s ，则z a 例，即存在8 1 s ，使得8 1 x a ，而z b 翻，即存在8 2 s ，使得8 2 z b ，令s = 8 1 8 2 ，贝, u s z an b ，则z a 网n b 旧，即是( a nb ) i s 2a i 司nb f s ； 反之，设z a s lnb s l ，则存在8 1 ，8 2 s ，使得8 1 x a ，8 2 x b 故 有8 1 s 2 x a n b 于是z ( a n b ) 【司 ( 6 )设z a i s b s l ，则可记z = u i v i ，其中讹a 旧，仇日m 故存 在8 1 ，8 2 s ，使得对一切i ，8 1 u i a ，8 2 v i b 故8 1 8 2 x = ( s 1 讹) ( s 2 地) a b 因此a 旧b 同( 4 b ) 旧。由( 3 ) ，( a i s l b s ) s ( ( a b ) s ) t s t = ( a b ) s 7 另一方面，对任意的z ( a b ) f s l ，则存在s s ，使得s z a b a 【司b 阶 故茁( a i s b i 司) 1 s 1 ( 7 ) 设z a s l ，则存在s s ，使得8 x a 故s ( c x ) sc a ，因此有以 s 】s ( c a ) i s ( 8 ) 由a a + b ，故a f s l 冬( a + b ) 嘲同理，b i s ( a + b ) 旧故a f s l + 召同s ( a + b ) i s 】- t ：是有( a 1 s 1 + b i s 】) i s 】( ( a + b ) 旧) i s l = ( a + b ) i s l x a + b a 旧+ 召阁，故( a + b ) t s ( a 吲+ b 旧) 【s 】于是有( a + b ) 旧= ( a s l + b s 1 ) t 司 ( 9 ) 设z ( a ：b ) i s ，则存在s s ，使得s z ( a ：b ) ，因此有s x b a 故s x b s a t s l 由于4 c s l 是g 可约的，故z b 旧sa i s l ，即z ( a t s ：b t s 】) 设b 是有限生成的设z ( a 阍：b 旧) ，则z b 嘲a 阶由于b 是有限生成， 故存在s s ，使得s x b a 因此有8 x ( a ：b ) 故z ( a ：b ) 嘲 ( 1 0 ) 由命题1 1 5 ( 4 ) ，存在s s ，使得8 ( a ：b ) 故s b a 命题1 1 6 设s 是r 的所有非零因子的乘法集，若m 是t 的蜀s 】一子模，则对任 意的z m ，a n n ( x ) = a r 司l a x = o ) 是s - 可约的 证明对于任何的芗zs s ，s y a n n ( x ) 又显然a n n ( z ) r s l ，则蹦 t a d p o l e - j i a 1 6 3 c o m 第6 页! 共2 9 页毕业论文 第一章伪局部化与伪局部环 r f s 】，则存在r s ，使得7 s 可r ，令t = r s s ，贝, l j t y r ，即可r 【s i y , s y a n n ( x ) ，贝l j s y z = 0 ，又z m 垦t ，x y t ，又s 是非零因子，贝l j z y = 0 ，y y r 【司， 则可a n n ( x ) e p a n n ( x ) 是g 可约的 命题1 1 7 设是t 中的r s l 一子模，若m 是的s 一可约子模，则( m ：) 是s 一 可约的 证明令i = ( m ：) ，由命题1 1 3 知，只需证明坫= i 又显然，岛反之， 对于任何z 坫，则存在s s ，使得8 x i ，即s z m ，又m 是g 可约的，因此， z m ，于是z ( m ：n ) = i ，故i s = i n i i ( m ：) 是口可约的 命题1 1 8 若 坛) 是m 的一簇r i s 一子模的定向子集，其中m 是t 中的r 【s 】模， 则下列结论成立： ( 1 ) 若舰是g 可约的，则u 舰也是g 可约的 ( 2 ) 若尬是g 可约的，则n 尬也是g 可约的 证明( 1 ) 若z t ，s s ，使得s z u 舰，则存在指标i ，使得8 x 坛，由 于尬是s 一可约的，则z 坛，故z u 舰，即是u 舰也是s 一可约的 ( 2 ) 若z t ，8 s ，使得s z n 舰，故对任意的指标i ，都有8 x 舰，由 于尬是s 一可约的，则z 坛，故z n 舰，即是n 必也是d 可约的 命题1 1 9 若m 是s 一可约的，则m 司= u b 旧，其中b 取遍m 的有限生成子 证明直接验证即可 命题1 1 1 0 若 舰) 是m 的一簇r 阍一子模的定向子集，其中m 是t 中的r 同一 模，则下列结论成立： ( 1 ) ( u ( 尬) 旧) 吲= u ( 坛) 【司，( n ( 尬) 【s 】) 【翻= n ( 坛) 【s 】 ( 2 ) ( u 舰) l s l = u ( 舰) i s l ，( n 舰) i s l = n ( 舰) 阱 证明 ( 1 ) 一方面，显然u ( 舰) 旧c ( u ( 舰) 旧) 【司 t a d p o l e - j i a 1 6 3 c o m 第7 页：共2 缈页毕业论文 第一章伪局部化与伪局部环 另一方面，若z ( u ( 脱) 旧) 【司，则存在8 1 s ，使得s l z u ( 坛) 旧，于是存在 指标i ，使得s l x ( 尬) 吲，又存在s 2 s ，使得s 1 8 2 x ( 舰) ，记s = 8 1 8 2 s ，于 是s z 磊，贝u z ( m ) t s l ，因此，z u ( a 毛) 【司即( u ( 磊) 【s 】) i s 】cu ( 磊) 【s 】同 理可得，( n ( 舰) 【司) 旧= n ( 舰) 【司 ( 2 ) 记= u 舰，一方面，对于任何指标i ，坛sn ，则( 坛) 【司c 【s 】，从 而u ( 舰) 【s 】【s 】 另一方面，由于一cu ( 坛) 嘲，而f s 】( u ( 必) 阁) 旧，由( 1 ) 可知， ( u ( m , ) t s l ) i s l = u ( 尬) 嘲，于是i 司u ( 舰) 嘲，得证同理可得，( n 舰) 吲= n ( 尬) 阶 定理1 1 1 1 设交换环r 中，s 是环冗的乘法封闭集： ( 1 ) 设p 是r 的理想，则p 嘲是r 旧的理想 ( 2 ) 设a 是月【别的理想，p = an r ，则acp 阶 ( 3 ) 设p 是同拘素理想，且pns = 0 ，则p 嘲是r 旧的素理想，且p 旧nr = p ( 4 ) 设p ，q 是r 的素理想，且p n s = 0 ，且q n s = 0 ，则p = q 当且仅当p 【司= q 旧 ( 5 ) 设a 是冗旧的素理想，p = a n r ，e p n s = 0 ，则p 是r 的素理想，且a = p f s 证明 ( 1 ) 对于任何u p 旧，则存在s l s ，使得u s l p 对于任何r r s l ， 存在8 2 s ，使得u s 2 r ，又p 是r 的理想，则5 1 s 2 仳7 - p ，又s i s 2 s ，则御p 阶 ( 2 ) 由agr l s ，则对于任何。a ，存在8 s ，使得8 x r ，又8 嗣s 】， a 是兄的理想，贝j j s z a ，即s 。anr = l ，得z 冬p l s 因此a p 旧 ( 3 ) 由p n s = o ，根据命题】1 5 得p 吲r 阶对任何z ，y r 吲，x y p 嘲， 则存在s s ，使得s z r ，s y 冗，5 2 x y p ，又p 是同挣素理想，则s z p 或s y p ，即z p 旧或y p 即p 旧是r 旧的素理想 对于任何z p 旧nr ，则z p l s j | - x r ，则存在s s ，使得s z p ， 又p 是兄的素理想，且p n s = 0 ，则z p 即得p i s l n r = p ( 4 ) 显然p = q 时l l 网= q i s 】成立 反之，若p 同= q 旧，对于任何z p ，由于p p 旧= q 旧，则存在s s ，使 t a d p o l e - j i a 1 6 3 c o r n 第8 页! 共2 ( j 页 毕业论文 第一章伪局部化与伪局部环 得8 x q ，又qns = 彩，则z q ，即p q 同理q p 因此p = q ( 5 ) 由( 1 ) 已得a p 旧反之，对于任何z p 旧，则存在s s ，使得s z p ， 即s z a 且s z r 若s a ，则s anr = p ，这与pns = 囝矛盾，所以x a ， 即得p f 司a 因此a = p 【司 对于任何a ，b r ，a b p = anr ，则0 6 a ，又a 是r 旧的素理想，则o a 或b a ，所以a a n r 或b a n r ，即o p z j b p ，因此p 是翮拘素理想 1 2 伪局部环 定义1 2 1 设r 只有一个极大的正则真理想，则用际为伪局部环 命题1 2 2 设尺是伪局部环，m 是r 的唯一极大的正则真理想，则m 是r 的极 大理想，且不在m 中的非零因子是单位 证明设p 是包含m 的极大理想，则p 是正则理想故p = m ，即m 是r 的极大 理想若8 r m ，s 不是零因子若s 不是单位，则( s ) 是r 的真理想，于是存 在尉拘极大理想i ，使得8 p ，于是p m 矛盾，即得证 命题1 2 3 设r 是伪局部环，m 是同均唯一极大的正则真理想，则对任何8 r m 及任何a m ，o 是非零因子，有( 口，8 ) = r 证明 由( o ，s ) 是正则理想，且( o ，s ) 盛m ，即得证 设p 是翮拘素理想，则r 尸是局部环，p p 是冗p 的唯一极大理想，我们约定p p = p r p 为了记号的统一，在以下证明中，约定- p t p l = p 】r 旧 定理1 2 4 设p 是尉拘素理想，则 ( 1 ) 对任何s = r p ，s 是同拘非零因子，有；r i p ( 2 ) r f p 】是伪局部环 证明 ( 1 ) 显然 ( 2 ) 设m = p i p ，可知m 是r 【p 】的正则素理想若u r 【川是非零因子，且ugm 取s = r p ，使得5 牡r 记“= 罟，其中o ，b r ，6 是r 的非零因子记8 a = t b ， 其中t r 由于乱gm ，故gp 于是t 五1 = t 石b = s r 从而有丢r i p ， 故m 是蜀p 】中的唯一极大的正则真理想 t a d p o l e - j i a 1 6 3 c o r n 第9 页，共2 9 页毕业论文 第一章伪局部化与伪局部环 定理1 2 5 设r 是伪局部环，m 是r 的唯一极大的正则真理想，则r = r 【m 】 证明 任意的z t = 2 r 【m 】，其中口，b r ，6 是同拘非零因子若b 甓m ，则6 是 单位，故钍r ；若b m ，取8 r m ，使得s u r ，又b u = 口r ，我们 有( 6 ，s ) u r 由上所述，由命题1 2 3 ，有u r ，故r = r 【m 】 定理1 2 6 设兄是伪局部环，m 是冗的唯一极大的正则真理想，若，是同拘正则 理想，s = r m ，则j 是g 可约的 证明 由命题1 】3 ，只需证明丑司= i 对任何z ，嘲，则存在s r m ，使 得8 x i 又j m ，则z m 若gi ，贝u z r i 令q = r r i r x f ) 易知q 是冗的真理想，且jcq ，则q 是正则理想，又m 是同约唯一极大正则理想， 故q m ，因此r m r q ，又s z i ，则s q ，这与s r m 咒一q 相矛 盾因此z i 故蹦邑g 可约的 定理1 2 7 设r 是伪局部环，j 是翮拘有限生成正则理想，则对于任何r 的任 何极大正则理想p ，蛔是有限生成的正则理想 证明由于j 是有限生成的正则理想，故j r p 1 是有限生成正则理想于是只 需证明，r 【p 】= 丑p 】一方面，显然，r 【p 】丑p 】另一方面，对于任何z i p 】，存 在s r p ，使得8 2 ：i i r e 由定理1 2 6 ，是s 可约的，于是z i i r p 因此4 p 1 i r i p i 0 0 ! * $ i r t p l = i w i 于是丑p 1 是有限生成的正则理想 命题1 2 8 若a ，b t 分别是交换环冗的理想a b 的一簇子理想，则以下结论成 立： ( 1 ) n ( a ：b ) 旧= ( na ：b ) t s ( 2 ) a ( a ：鼠【研) = ( a ：鼠旧) 证明 ( 1 ) 一方面，对于任意的z n ( a ：b ) 阁，则对每个指标i ，z ( a ： b ) s l ，则可找到合适的i ，使得s s ，s z ( a ：b ) ，e 】s x b a ，s x b na ，s 茁 ( na ：b ) ，即是z ( na ：b ) 嘲 另一方面，对于任意的z ( n a ：b ) t s 】，则存在s s ，使得8 x f 3 ( n a i ： b ) ，s x b na t ，即对于每个s x b a ，s z ( a ：b ) ，故。a ：b ) s l ， 即z n ( a ：b ) t s t a d p o l e - j i a 1 6 3 c o m 第1 0 页，共2 5 页毕业论文 第一章伪局部化与伪局部环 ( 2 ) 一方面，任意的z n ( a ：最旧) ，则z ( a ：b t t s l ) ，x b t i s a ， l l p z b s lsa ，即是z ( a ：邑旧) ； 另一方面，( a ：b t l s ) 冬( a ：最嘲) ，而任意的z ( a ：鼠【司) ，由于z n ( a ：b i i s ) ，故( a ：b _ f l s ) n ( a ：函司) 即得 在交换环上定义t r c p 理想的根，同拘诣零根与理想的逆，即 ，= z r i 存在他n ，扩，) ，n i l ( r ) = a r i 对某个正整数n ，a 竹= o ) ，( a ) 一1 = 任 意的z t l f 吏得x a r 又兄r s l ，因此我们可定义冗旧中理想的根，r 嘲的 诣零根与冗旧的理想的逆 定义1 2 9 设是交换环r 中的理想， 硒= z r 刚存在礼n ，扩 ，【s 】 命题1 2 1 0 设，是交换环r 中的理想，则、硒是r 旧的理想 证明对于任何z 硒，r r l s l ，则存在n ，使得扩i i s ，即存在s 1 s ，8 1 x n j ，存在s 2 s ，使得s 2 7 r ，则s p r ，又，是交换环r 中的理想， 贝0 s l s ( r z ) n ，又s l s 圣s ，贝u ( r 茁) ”4 s 】，因此r z 、= 冗i o ) 定义1 2 1 1 设r 是一般交换环，n 订( r 【s 】) = a 冗训对某个正整数几，矿= 与命题】，2 1 f ) 证明方法相似，我们可证明倒z ( r 旧) 是r 旧的理想 命题1 2 1 2 若j 是交换环r 的理想，则以下结论成立： ( 1 ) ( 以) 旧= 俪 ( 2 )若旧巧s 】，则、仃鬲俩 ( 3 ) ( 厮) 【s 】= 厢 ( 4 ) n i l ( n s ) = 砸f ( r ) 【司 证明 ( 1 ) 一方面，任意的z ( 以) 【s 】，存在s s ，使得s z 以，存在礼 n ，使得( s z ) n 、，仃，a pg s n 扩，j 此时令s 7 = 8 n s ，则扩确，即是z 而 t a d p o l e _ j i a 1 6 3 c o r n第1 1 页，共2 9 页毕业论文 第一章伪局部化与伪局部环 另一方面，任意的z 、鬲，存在礼n ，使得妒i i s l ，同样存在s s ，使 得s z 住i ，a p s 一1 s z n 8 n i i j ，即( s z n ) i , s x 、厅，故z ( 、7 ) 司得证 ( 2 ) 任意的z 石，则存在n 使得扩i t s 也s 】，即正 两 故妒面石 ( 3 ) 一方面，以厢，因此( 蛔旧( 衙) 旧，即得饰( 衙) 【司 另一方面，任意的z ( 万) 嘲，则存在s s ，使得s z 刁，又存在 正整数乃，使得( s z ) n 以，于是又有正整数m ，使得( ( s z ) n ) 仇= ( s z ) m i ， 而m n 于是，s $ 以，因此，z 硒故( 、以) 吲= 硒 ( 4 ) 由( 1 ) 即得 命题1 2 1 3 若j 是交换环r 的理想，则对任何正整数n ，有( p ) i s 】= ( ( 厶s 】) n ) 【s 】 证明 由于若m 是t 中的皿子模，有( m ) 旧= ( 丑s 1 懒) 旧，因此令j = m 即 可 定义1 2 1 4 设a 是交换环r 中的理想，( a s 1 ) 一1 = _ 【任意的z t i 使得z a 【司冬 冗旧) 根据定义，可看出这与文献 4 2 】中定义的整环上理想的逆一致与之证明方 法相似，容易得到r 旧的理想的逆的基本性质 命题1 2 1 5 若a ，b 是交换环冗的理想，则以下结论成立： ( 1 ) 若a 【司b 【s 】，则( b f s 】) 一1 冬( a 【司) 一1 ( 2 ) ( a 吲+ b 同) = a i s i ) - 1n ( b i s ) ( 3 ) a l s ，b l s l 是r i s 】的理想，若( a i s l ) 一1 = ( b i s ) 一1 = r i s i ，则( a g l b i s l ) _ 1 = 冗旧 定理1 2 1 6 若a 是交换环冗的理想，贝j j ( a 一1 ) 【s j ( a i s l ) - 1 ；特别的，若a 是有 限生成的，则( a 一1 ) 【司= ( a t s ) _ 1 = ( a r s 1 ) 证明对任意的z ( a 一1 ) 阎，存在s s ，使得s x a ，且p s x a r ，于 是z a r 旧，而由命题1 ，1 5 ，得x a l s ( z a ) 旧( r 【司) 阁= r s l ，故z ( a 【司) ，因 l 5 ( a 一1 ) 嘲c _ q ( a s 1 ) a d p o l e - j i a 1 6 3 c o r n 第1 2 页，共2 9 页毕业论文 第一章伪局部化与伪局部环 特别地，若a 是有限生成的，则设a 1 ，a n ，是a 的生成系，设z t ，使 得z a 旧冗阁，则z o i r s l ，其中凸i a i s l ，故存在s s ，使得s z 啦r ， i = 1 ，n ，于是s z a ，故z (