（通用版）2020版高考数学大二轮复习专题突破练18空间中的垂直与几何体的体积文.docx

专题突破练18空间中的垂直与几何体的体积1.(2019山东青岛二模,文18)如图,在圆柱中,点O1、O2分别为上、下底面的圆心,平面MNFE是轴截面,点H在上底面圆周上(异于N、F),点G为下底面圆弧ME的中点,点H与点G在平面MNFE的同侧,圆柱的底面半径为1.(1)若平面FNH平面NHG,证明:NGFH;(2)若直线O1H平面FGE,求H到平面FGE的距离.2.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,M是棱CC1的中点.(1)求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值;(2)求BM与平面A1B1M所成的角的大小.3.(2019陕西咸阳一模,文19)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,ABC=120,PA=PC,PB=PD,ACBD=O.(1)求证:PO平面ABCD;(2)若PB=BD=2,求点O到平面PBC的距离.4.(2019全国卷3,文19)图是由矩形ADEB,RtABC和菱形BFGC组成的一个平面图形,其中AB=1,BE=BF=2,FBC=60.将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合,连接DG,如图.(1)证明:图中的A,C,G,D四点共面,且平面ABC平面BCGE;(2)求图中的四边形ACGD的面积.5.(2019山东潍坊三模,文18)如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是边长为2的菱形,且BCD=60,平面FBC平面ABCD,EFAB,FB=FC,H为BC的中点.(1)求证:FH平面ABCD;(2)若FBC为等边三角形,Q为线段EF上的一点,求三棱锥A-CDQ的体积.6.(2019山西吕梁4月模拟,文18)如图,在三棱锥P-ABC中,底面ABC是等边三角形,D为BC边的中点,PO平面ABC,点O在线段AD上.(1)证明:PAB=PAC;(2)若AB=PB=2,直线PB和平面ABC所成的角的正弦值为34,求点C到平面PAB的距离.7.(2019湖北省一月模拟,文18)如图,在四棱锥P-ABCD中,ABPC,ADBC,ADCD,且PC=BC=2AD=2CD=22,PA=2.(1)证明PA平面ABCD;(2)已知点M在线段PD上,且PM=2MD,求点D到平面MAC的距离.参考答案专题突破练18空间中的垂直与几何体的体积1.(1)证明由题知平面FNH平面NHG,平面FNH平面NHG=NH.因为NHFH,FH平面FHN,所以FH平面NHG,所以FHNG.(2)解连接O1O2,如图所示,因为O1O2EF,O1O2平面FGE,EF平面FGE,所以O1O2平面FGE.又因为直线O1H平面FGE,O1HO1O2=O1,所以平面O1HO2平面FGE,所以H到平面FGE的距离等于O2到平面FGE的距离.取线段EG的中点V,因为O2VEG,O2VEF,EGEF=E,所以O2V平面FGE,所以H到平面FGE的距离为O2V,在等腰直角三角形EO2G中,O2E=O2G=1,所以O2V=22,所以所求的距离为22.2.解(1)C1D1B1A1,MA1B1为异面直线A1M与C1D1所成的角.A1B1平面BCC1B1,A1B1M=90.又A1B1=1,B1M=2,tanMA1B1=B1MA1B1=2.即异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值为2.(2)由A1B1平面BCC1B1,BM平面BCC1B1,得A1B1BM.由(1)知,B1M=2,又BM=BC2+CM2=2,B1B=2,B1M2+BM2=B1B2,从而BMB1M.又A1B1B1M=B1,BM平面A1B1M,BM与平面A1B1M所成的角为90.3.(1)证明四边形ABCD是菱形,O为AC,BD的中点.又PA=PC,PB=PD,POAC,POBD,ACBD=O,且AC,BD平面ABCD,PO平面ABCD.(2)解PB=BD=2且PB=PD,PBD为等边三角形,则PO=3.ABC=120,四边形ABCD为菱形,BC=2,CO=3.由(1)PO平面ABCD,得到PC=6,SPBC=126102=152.又SBOC=1213=32,PO平面ABCD,设O到平面PBC的距离为h,由VP-BOC=VO-PBC,得13SBOCPO=13SPBCh,解得h=155.4.(1)证明由已知得ADBE,CGBE,所以ADCG,故AD,CG确定一个平面,从而A,C,G,D四点共面.由已知得ABBE,ABBC,故AB平面BCGE.又因为AB平面ABC,所以平面ABC平面BCGE.(2)解取CG的中点M,连接EM,DM.因为ABDE,AB平面BCGE,所以DE平面BCGE,故DECG.由已知,四边形BCGE是菱形,且EBC=60得EMCG,故CG平面DEM.因此DMCG.在RtDEM中,DE=1,EM=3,故DM=2.所以四边形ACGD的面积为4.5.(1)证明因为FB=FC,H为BC的中点,所以FHBC.因为平面FBC平面ABCD,平面FBC平面ABCD=BC,所以FH平面ABCD.(2)因为FBC为等边三角形,BC=2,所以FH=3,因为EFAB,EF平面ABCD,AB平面ABCD,所以EF平面ABCD.因为点Q在线段EF上,所以点Q到平面ABCD的距离等于点F到平面ABCD的距离.因为四边形ABCD为菱形,AD=CD=2,ADC=120,所以SACD=12ADCDsinADC=122232=3,所以VA-CDQ=VQ-ACD=VF-ACD=13SACDFH=1333=1.6.(1)证明过O作OEAB于点E,OFAC于点F,连接PE,PF.PO平面ABC,POOE,POOF,POAB,POAC.底面ABC是等边三角形,D为BC边的中点,AD是BAC的角平分线,OE=OF,RtPOERtPOF,PE=PF.ABOE,ABPO,OEPO=O,AB平面POE,ABPE,同理可得ACPF,RtPAERtPAF,PAB=PAC.(2)解AB=PB=2,直线PB和平面ABC所成的角的正弦值为34,PO=34PB=32,VP-ABC=13342232=32.连接OB,则OB=PB2-PO2=72.OD=OB2-BD2=32,又AD=AB2-BD2=3,O是AD的中点,由AOEABD可得OEBD=AOAB=34,OE=34,PE=PO2+OE2=394,SPAB=122394=394.设C到平面PAB的距离为h,则VC-PAB=13394h=32,解得h=61313.7.(1)证明在底面ABCD中,ADBC,ADCD,且BC=2AD=2CD=22,AB=AC=2,BC=22,ABAC.又ABPC,ACPC=C,AC平面PAC,PC平面PAC,AB平面PAC.又PA平面PAC,ABPA.PA=AC=2,PC=22,PAAC.又PAAB,ABAC=A,AB平面ABCD,AC平面ABCD,PA平面ABCD.(2)解方法一:在线段AD上取点N,使AN=2ND,则MNPA.又由(1)PA平面ABCD,可知MN平面ABCD.又AC平面ABCD,MNAC.作NOAC于点O.MNNO=N,MN平面MNO,NO平面MNO,AC平面MNO.又MO平面MNO,ACMO.设点D到平面MAC的距离为x,则由VD-MAC=VM-ACD得13SMACx=13SACDMN,点D到平面MAC的距离x=SACDMNSMAC=12ADCDMN12ACMO=ADCDMNACMO=22232(23)2+(23)2=22.方法二:由(1)知PA平面ABCD,平面PAD平面ABCD.CDAD,平面PAD平面ABCD=AD,CD平面PAD,平面PCD平面PAD.又PA平面ABCD,AD平面ABCD,PAAD.又PA=2,AD=