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用基于三角形网格的l d g 方法求解偏微分方程 摘要 用d g 方法求解各种偏微分方程是近年来的热门研究课题，在科 学研究、工程技术等方面有广泛的应用本文首先用l d g 方法求解 二维区域上的椭圆型方程 j 一t = ，i nq = ( o ，1 ) ( o ，1 ) 、t = t o 0 n 勰 在矩形均匀网格下，用l d g 方法得到u 在右跏a u 点处可以达到 p + 2 阶超收敛；在三角形均匀网格下，用l d g 方法得到通量1 9 r 在节 点处可以达到p + l 阶的超收敛 然后，用基于三角形均匀网格的l d g 方法求解二维对流扩散方 程 i e t + p v u = ，i nq = ( o ，1 ) ( o ，1 ) 1 仳= t 0 叽锄 证明了l d g 解的存在唯一性，并从数值上得到了如下的误差估计 ii u 一训c ( e ) ( z d 夕( ) ) 舛1 0 t 一u 0 如c ( e ) ( z d 夕( ) ) 舛主 关键词：椭圆型方程；对流扩散方程；间断有限元；超收敛 用基于三角形网格的l d g 方法求解偏微分方程 a b s t r a c t t h ed i 8 c o n t i m l o 瑚g a l e r k i nm e t h o d 蛋d r 、，a d o 瑚p a r t 瑚d j 任打印t i a le q u 跏 t i o 瑚h a 8b e e no n eo f t h eh i g h h g h t 8i nt h e8 t u ( 1 y0 f n u 卫r i c a lm e t h o d 8 ，觚dh 鹊 b e e n 印p u e dt ot h ef i e l d so f8 c i e n o e 越l de n 百n r i n gw i i e l yi i lr e c e i l t 8 瑚i n t h i 8p 印i e r ，l d gm e t h o di 8 哪e dt 0 l v et h e 咖伽d i m e 鹪i o n a le m p 乞i ce q u a t i i m f 一“= ， 气 k t 2t o i nq = ( o ，1 ) ( o ，1 ) 0 n 舰 u n d e rt h e 珈吐f o r m 阳c t 眦g u l a rm 圈h e 8 ，t i 8p + 二o r d e r8 u p e r c o m ，e r g e n ta t t h er i 粤灿r a d 剐lp o i n ：乞8b a s e d 叽l d gm t h o d o nt h e0 t h e rh a n d ，衄d e rt h e 1 i i l i f o mt r i 田1 9 l i l b r 脚l 髑h 鹤，uc a na c h i e v et h ep + 1 刊e r8 u p e r c d n 、，e r 野m c e 8 tt h e d e sc o m p a r e d 丽t ht h ep + ；础鲫嘴n o ei nl 2 一n o 衄，b 删o n l d gm e t h o d f 饥h e rl d g 耻t h o d 衄d e rt h e 衄洳唧t r i a n g u l a rm 筠h e 8i 8i m p l e m 曲t e d t o 踟厦v et h e 切删m e n 8 i 衄a lc o m 僦t i o n - 出伽s i o ne q u a t i o n ：= 砜吖兰紫皿( 0 1 ) 倒h e d 8 t e n o e 锄d 眦l i q u e n e 鹤0 ft h el d g8 0 l u t i o n 8 盯ev e r i f i e d 丘i l s t ，t h e f 0 皿o w i n ge r r o r 圈t i ma _ t e 8 踟i e0 1 啁锻v e dm l m e r i c a l l mi e 一训c ( e ) ( z 叼( ) ) p + 1 一u 0 如c ( e ) ( z 叼( ) ) 升孝 k e yw o r d s ：e l l i p t i ce q u a t i o 璐；c o n v e c t i o n - d i 缸i o ne q u a t i o 璐；d i 8 c o n - t i i m o l l sg a l e r k i nm e t h o d ；8 u p e r 删g 朗c e i i i 用基于三角形网格的l d g 方法求解偏微分方程 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本 论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本 文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明 本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名：纠、i 毋良 2 铲b 月日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅本人授权湖南师范大学可以将本学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 l 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密酲 ( 请在以上相应方框内打矿) 作者签名：易l 、卜石摩加萨月7 日 导师签名以财，矍1 ；禹易口稗z 月z 日 用基于三角形网格的l d g 方法求解偏微分方程 1 引言 1 9 7 3 年，鼬e d 和h i u 在文献【1 】中首先提出了间断有限元( d g ) 方法，并将其应用于求解中子输运方程，但这种方法长期以来一直 没有得到很好的研究和应用直到2 0 世纪8 0 年代后期和9 0 年代， b c o c k b 哪和s h u 【2 _ 7 】等结合r 肿驴k u t t a 方法和数值通量的思想提 出了著名的l d g 方法，将间断有限元方法推广到非线性一维守恒律 方程和方程组、高维守恒律方程和方程组，并给出了部分收敛性证 明 8 ，9 1 与此同时，f b 嘲i 和s m b a y 、c e b 羽衄加d 和j t o d 阻 分别提出b r - d g 和b o d g 方法，这一方法才引起人们的注意，并被 广泛应用到许多实际领域，比如气象学、天气预报、海洋学、气体动 力学，湍流、石油勘探、流体力学等【l o ，1 1 】 间断有限元方法能够处理复杂的区域边界，并获得与区域内部 一致的计算精度；易于网格加密和处理边界条件，并实现自适应计 算；可以得到任意阶精度的格式，同时又具有很好的局部紧致性， 可以更好地模拟解的剧烈改变由于间断有限元方法的这些优点， 近年来，其在求解双曲方程和椭圆型方程方面取得了很大的发展 对于椭圆型方程两点边值问题的伊元方法，通常认为比整体估 计收敛阶更高的点是超收敛点d o u g l 嬲和d u p o n t 在【1 2 】中证明了求 解一类两点边值问题的连续有限元方法，当逼近多项式阶为p 时，在 网格点上的超收敛阶为d ( 驴) 在文献【1 3 】中，b 枷研证明了在g a 嚼 点处导数的超收敛阶为d ( l 舛1 ) ，在【1 4 】中，他还证明了在l 0 b a t o 点 处函数的收敛阶为0 ( 扩2 ) 更多的有关伊元方法的超收敛结果参 看文献【1 5 】 近些年来，d g 方法被应用于求解椭圆型方程时，也得到了一些 超收敛结果c 鹪t n l 0 在文献f 1 6 】中证明了相容( c 帆斫s t e 位) 且守恒 ( o 帆s e r 钌口t 切e ) 的d g 方法，在g a u 鼹点处导数的超收敛阶为o ( 忍升1 ) 后来l 糊n 等人在【17 】中证明了：在一致网格下，使用i p d g 方法 和n i p g d g 方法在节点处的通量均是准确的2 0 0 7 年，x i e 和z h a n g 在【1 8 】中证明了用l d g 方法求解一维椭圆型方程混合边值问题时， 数值通量和其导数在节点处均准确在文献【1 9 】中，c e l i k e r 和c o 出 湖南师范大学高校教师在职硕士学位论文 b 啪研究了一类d g 方法求解一维对流扩散问题的超收敛性质，他 们证明了守恒( c 帆s e r 钉耐l 幻e ) 的d g 方法( 不要求相容( c 帆8 i s 抛m ) ) 的函数和导数的通量都达到超收敛，并且对于相应的椭圆型方程， 数值通量是准确的在【2 0 1 中，李璨证明了一维椭圆型方程的一些超 收敛结果，对m d - l d g 方法，p + 1 阶右r a d a u 点和左r a d a u 点分别 是u 和q 的p + 2 阶超收敛点，对于其他相容( c 帆s t s t e 位) 的且守恒 ( o 帆鲫眦z 口e ) 的d g 方法，只有p 阶g 8 脚点为导数q 的p + 1 阶超 收敛点 对于带小参数的奇异摄动问题，数值计算这类问题遇到的困难 之一就是所谓的边界层现象，即解在接近边界层的很窄的区域内变 化非常快对于科学家和工程师来说，这类方程的数值模拟是一个 极大的挑战【2 1 之6 目前，这仍然是一个很热门的领域，参看【2 7 3 0 】 和其中的参考文献 本文的模型是带有小参数的对流扩散方程，当小参数趋于。时， 问题从椭圆型变成双曲型受间断有限元求解双曲型方程的巨大成 功的启发，z q x i e ，z m z h 锄g 和f c e l i 虹b c o 拙o mf 1 8 ，3 1 1 考 虑用间断有限元方法求解奇异摄动问题对于带小参数的奇异摄动 问题，传统的数值计算方法，如连续有限元、有限差分法在求解时遇 到了很大的困难当小参数趋于。时，解在某些局部区域变化很剧 烈，形成内部层和边界层，数值上很难模拟，用一般的连续有限元计 算，数值上振荡非常剧烈，结果很不准确 在f 3 2 】中，s a d j e 斌和a k l b 嘲从数值上证明了对流占优问题 的l d g 解u 在右蹦a u 点具有p + 2 阶超收敛，扩散占优问题的解的 导数在p + 1 阶蹦a u 多项式的导数的零点处具有p + 2 阶超收敛 在【3 3 】中，s a d j e r i d 和k d e v i n e 给出了一维双曲守恒律的d g 解u 的空间离散误差，在每个单元的顺风点，局部误差和整体误差分别 具有劫+ 2 和2 p + 1 阶超收敛，在p + l 阶右r a d a u 多项式的其它零 点处具有p + 2 阶超收敛在阻，3 5 】中，) ( i e 和z h a n g 等讨论了一维椭 圆问题和奇异摄动问题的超收敛性，对于m d - l d g 方法，p + 1 阶右 和左r a d a u 点分别是u 和q 的p + 2 阶超收敛点，对其他的d g 方 法，p 阶高斯点是口= 的p + 1 阶超收敛点在m 】中，) ( i e 和z h a n g 2 用基于三角形网格的l d g 方法求解偏微分方程 用基于四边形网格的l d g 方法求解了一维和二维奇异摄动问题，并 证明了l d g 解的存在性和唯性，在s 豳h k i n 网格和改进的a 等级 网格下得到了数值通量的印+ 1 阶一致超收敛 受此启发，本文首先用l d g 方法求解二维椭圆型方程，在矩形 均匀网格下，l d g 解u 在右r 耐肌点处可以达到p + 2 阶超收敛，三2 模误差达到p + 1 阶丰满阶；在三角形均匀网格下，l d g 解u 的如 模误差只有p + ；阶，在节点处数值通量疗达到p + 1 阶超收敛然 后，用基于三角形均匀网格的l d g 方法求解二维对流扩散方程，证 明了l d g 解的存在唯性，并从数值上证明了数值通量在节点处具 有p + 1 阶超收敛 我们首先了解下面的预备知识s 网格的构造 ( 1 ) 矩形网格 将区域q 在z 方向上作剖分p ：o = z 吾 z 鲁 z 墓 z + 吾= l ， 步长j l = 黾+ 吾一毛一；，在矽方向上作剖分驴：o = 鸦 鸭 鸦 o ， r 一：= ec 鲫：p ，7 去，且d 1 1 ，7 = 掣，江1 ，2 ，那么方程组 p 2 ) 就存在唯一的l d g 解( 口 ，1 1 1 ) 舰v 证明：由定理3 1 的证明我们已经得到( 孓2 0 ) ，洚2 2 ) ，( 孓2 8 ) 和p 2 9 ) 式，将浯2 9 ) 代入p 2 8 ) ，并令面= 砬= t omr + ur 一，得 + 如 = h z 一脚+ ) 2 矿幽+ 三小刊啪训d s ) = 去 一z p 矿( u 去) 2 d 8 一厶p 叩+ ( 仳去) 2 幽 卜去厶l ，7 i 心 r 阻 】d s = 去 z 一( 一卢矿) ( u 去) 2 d s z + 矿( u 去) 2 d s + z 。l 卢，7 f 心d ? 】如 ( 3 3 3 ) 将p 2 2 ) 和洚3 3 ) 代入p 2 0 ) 得 l l 绷：+ 去( 上一( 一p 矿) ( 访) 2 d s 一厶卢矿( 破) 2 d s + 厶l p 刊m ，阻h 】d s ) + z 、r 。c ( u ； ) 2 d s + z 。阻 r 】出= 三z ，u 如，r r o，r o c ，n 用基于三角形网格的l d g 方法求解偏微分方程 整理得 。弧i i 。+ 去z 一( 一p 矿) ( u 去) 2 如+ 上一c ( 仳吉) 2 d s + z + ( c - 一去p 矿) ( u 去) 2 d s + 去z 。眇训牡 九】幽+ 厶c t - 】t 】幽= 三上 出 ( 3 3 4 ) 由定理条件，且设，= o ，只要取c l - 去时，问题( 孓3 ) 和( 孓4 ) 同样 存在唯一的解 3 3数值例子 我们考虑用上节介绍的l d g 间断有限元方法来解带小参数的对 流扩散方程 一出+ 声v 牡= ， 饥 q = ( o ，1 ) ( o ，l ( 3 3 5 ) l 让= o 帆斑2 其中p ( z ，可) = ( 1 ，1 ) ，( z ，y ) = ( z + ) ( 1 一e 一 孑e 一与卫) + ( z 一矽) ( e 一半一 e 一半) ，其真解为u ( $ ，箩) = 硼( 1 一e 一半) ( 1 一e 一半) 在z 方向和方向同时将【0 ，l 】区间等分为个小区间，因此所 得到的三角形单元都是等腰直角三角形，且单元数为2 胪个，步长 1 7 l = = 专，z = b = 专，i ，j = 1 ，2 ，我们用基于l d g 方法的线性 有限元求解上述例子由于计算机内存不够，下面的计算中如误差 只算到6 4 网格 表孓1 均匀网格下让取两个通量时的误差和收敛阶 n l i t 一u i l l 2 o r d e r 0 t 正一u 0 o r d e r 41 2 9 e - 0 0 31 2 8 争0 0 3 85 6 4 e - 0 0 41 2 04 4 5 争0 0 41 5 2 1 62 2 5 e 0 0 41 3 21 9 7 争0 0 41 1 8 3 25 8 1 e - 0 0 51 4 16 3 3 争0 0 5 1 6 4 6 4 3 1 1 e _ 0 0 51 4 5 1 7 8 争0 0 51 8 3 1 2 84 7 5 争0 0 6l 。9 1 2 1 湖南师范大学高校教师在职硕士学位论文 表2 均匀网格下钍取两个通量时的误差和收敛阶 n f i t 一u l i l 2 o r d e r 0 t 上一u f i o r d e r 43 8 4 争0 0 33 0 3 e - 0 0 3 81 7 7 争0 0 3 1 1 2 1 3 1 e - 0 0 31 2 1 1 67 2 7 争0 0 4 1 2 8 6 8 3 争0 0 4 0 9 4 3 22 7 9 争0 0 41 3 82 3 6 e - 0 0 41 5 3 6 41 0 3 争0 0 41 4 46 8 9 争0 0 51 7 8 1 2 81 8 6 争0 0 51 8 9 表3 3 均匀网格下u 取两个通量时的误差和收敛阶 n 陋一u i i l 2 o r d e r i j 让一i l o r d e r 42 0 0 e 0 0 22 0 4 争0 0 2 8 1 2 5 争0 0 20 6 94 8 2 争0 0 32 0 8 1 66 2 l 争0 0 31 0 l4 8 1 e - 0 0 30 0 0 4 3 22 6 6 争0 0 31 2 23 3 l 争0 0 30 5 4 6 41 0 4 e 0 0 3 1 3 71 3 0 争0 0 31 3 4 1 2 84 0 4 e - 0 0 41 6 9 表“均匀网格下铭取一个通量时的误差和收敛阶 n i l 钍一训l 2 o r d e r l l t 上一u i i 。o r d e r 41 3 4 e - 0 0 31 2 8 争0 0 3 85 6 7 e - 0 0 41 2 44 4 b 0 0 41 5 2 1 62 2 6 e - 0 0 41 3 31 9 7 e - 0 0 41 1 7 3 28 51 争0 0 5 1 4 16 3 4 e - 0 0 51 6 4 6 43 1 1 e - 0 0 51 4 51 7 8 e - 0 0 51 8 3 1 2 8 4 7 5 e - 0 0 61 9 1 用基于三角形同格的l d g 方法求解偏微分方程 表3 _ 5 均匀网格下牡取一个通量时的误差和收敛阶 n 一u o l 2 o r d e r i i t 上一u i i o r d e r 44 1 1 争0 0 33 0 2 争0 0 3 81 7 9 e 0 0 31 2 01 3 1 e 0 0 31 2 l 1 67 2 9 e - 0 0 41 3 06 8 4 争0 0 40 9 3 3 22 7 9 e - 0 0 41 3 92 3 7 e _ 0 0 41 5 3 6 41 0 3 争0 0 4 1 4 4 6 9 0 e - 0 0 51 7 8 1 2 81 8 6 e - 0 0 5 1 8 9 表均匀网格下t t 取一个通量时的误差和收敛阶 n 0 仳一u 0 驴 o r d e r 0 t 一u l i 帆。o r d e r 43 1 0 e 0 0 25 8 5 e - 0 0 3 8 1 3 7 e - 0 0 21 1 82 8 5 e - 0 0 31 0 4 1 66 5 7 争0 0 31 0 65 2 7 e - 0 0 3o 8 9 3 22 6 9 争0 0 31 2 93 3 6 e 0 0 30 6 5 6 41 0 4 争0 0 31 3 71 3 1 e - 0 0 31 3 6 1 2 84 0 5 e 0 0 41 6 9 表孓7 均匀网格下u 取一个通量时的误差和收敛阶 n i i u u 8 胪 o r d e r 0 t t u | l 。 o r d e r 4 1 2 9 争0 0 31 0 8 争0 0 3 85 6 7 e - 0 0 41 1 83 9 1 e - 0 0 41 4 7 1 62 2 6 争0 0 41 3 31 8 2 e - 0 0 41 1 0 3 28 5 2 争0 0 51 4 16 0 9 争0 0 51 5 8 6 43 1 1 e _ 0 0 51 4 5l 7 5 e - 0 0 51 8 0 1 2 84 7 0 争0 0 61 9 0 湖南师范大学高校教师在职硕士学位论文 表3 - 8 均匀网格下u 取一个通量时的误差和收敛阶 n 0 u 一酬驴 o r d e r i i t 正一u 0 。 o r d e r 43 8 2 昏0 0 3 2 4 2 e 0 0 3 81 7 8 争0 0 31 1 l 1 1 0 争0 0 3 1 1 4 1 67 2 9 争0 0 41 2 86 2 9 争0 0 40 8 0 3 22 7 9 昏0 0 41 3 92 2 7 e - 0 0 41 4 7 6 41 0 3 争0 0 41 4 4 6 7 6 争0 0 51 7 5 1 2 8 1 8 4 e - 0 0 51 。8 8 表孓9 均匀网格下u 取一个通量时的误差和收敛阶 n 一u i i 驴o r d e r扎一痧0 。o r d e r 42 0 0 e - 0 0 23 4 8 e - 0 0 2 81 2 4 e - 0 0 20 6 9 7 9 6 争0 0 32 1 3 1 66 1 9 争0 0 31 0 04 0 6 争0 0 30 9 7 3 22 6 6 争0 0 31 2 23 1 7 争0 0 30 3 6 6 4 1 0 4 e 0 0 31 3 51 2 8 争0 0 31 3 1 1 2 8 4 0 1 争0 0 41 6 7 表孓l 至表3 - 3 分别列举了t 取两个通量砬和讽且e = 1 ，s = o 5 和= o 1 时，在三角形均匀网格下的误差及收敛阶，其中三。模定义 如下 川忆= ( 乏上( 一咿5 k t 。“ 离散的l 误差定义为 0 u c ，| | 5 。当萝。辫。l 一矿) ( 戤j ) l 这里的戤j 是节点，并取迎风值作为每个节点的数值解 结果表明，采用三角形线性元时，l d g 方法的近似解的收敛阶为 1 5 阶，通量在节点处具有2 阶的超收敛图3 1 3 9 分别给出了在均 匀网格下，t 取两个通量缸和面，且s = l ，s = o 5 和e = o 1 时，真解 2 4 用基于三角彤网括的l d g 方法求解偏徽分方程 围 l 均匀网格下的真解图， p = l ，= 6 4 ，e = 1 图3 均匀网格下真解与通量的 误差图，p = 1 ，；“，e = 1 图 5 均匀圃格下的l d g 解围， p = l ，= 6 4 ，e = 05 图 2 均匀网格下的l d g 解圉 ，= 1 ，= 6 4 ，e = 1 图均匀网格下的真解图， p = 1 ，= 6 4 e = n 5 4 卜涪= 、 围 6 均匀网格下真解与通量的 误差图p = 1 ，= 6 4 ，e = o5 令 湖南师范大学高校最师在职硕士学位论文 i o ! 卜 图0 9 均匀网格下真解与通量的 误差图，p = 1 ，= 6 4 ，e = 0 1 图 8 均匀网格下的l d g 解圈 p = l ，= 6 4 ，e = 0 1 图 1 0 均匀网格下l 。j k 的收 敛曲线，p = 1 用基于三角形网格的l d g 方法求解偏微分方程 和l d g 解的图象，以及真解与通量的误差图很明显，误差主要分 布在边界层。= 1 和秒= 1 的附近，且误差随e 变小而增加图孓1 0 是牡取两个通量砬和包，且= 1 ，= o 5 ，= o 1 时慨的收敛曲 线，从图3 1 0 和表3 1 善3 可以看出，l d g 解有如下的误差估计 一砬| | sc ( e ) ( 2 凹( ) ) 升1 0 u u 0 切d ( e ) ( z 0 9 ( ) ) p + ( 3 3 6 ) ( 3 3 7 ) 同时，表孓4 到表孓9 列举了札取一个通量砬，即砬= 缸时，c l l = 1 或 c l i = l o ，g = 1 ，= o 5 ，s = o 1 时，解的误差与收敛阶，表孓6 中有误 差增大的情况发生，说明此时解是不稳定的，但当c l - 去时，式子 件3 6 ) 和( 3 - 3 7 ) 仍然成立 用基于三角形网格的l d g 方法求解偏徽分方程 4 总结 间断有限元方法本身具有很多优点，如具有很好的局部紧致性， 在节点处具有比连续有限元更强的超收敛阶，能够很好地模拟解的 剧烈变化本文我们用l d g 方法在两种网格下求解二维椭圆型方 程，在矩形均匀网格下，从数值上证明了l d g 解u 在右r a d a u 点处 达到p + 2 阶超收敛，如误差估计达到p + 1 阶的丰满阶；在三角形 均匀网格下，l d g 解u 在节点处达到p + l 阶超收敛 另外我们用三角形网格下的l d g 方法求解了二维对流扩散方 程，证明了l d g 解的存在唯一性，从数值上证明了矿在节点处有 p + 1 阶超收敛性 很明显，对于对流扩散问题，u 的岛误差只有p + ；阶的收敛 性，且当减小时，误差主要集中在。= l ，秒= 1 附近，误差随减小 而增大，为了解决这个问题，我们有必要研究在s 妇h l d n 网格和a 等 级网格下解的超收敛情况，还有椭圆问题和奇异摄动问题的q 的超 收敛性，这些都是我们正在进行的工作 用基于三角形网格的l d g 方法求解偏微分方程 参考文献 【1 】w h r e e d 蚰dt r h m m i 肌啦m 铝hm e t 蛐f o rt h en e u t r o nt r 锄强p o n 唧m t i o n 【r 】t e c h r e p 哦l a - u r 得4 7 9 ，l a k u n s c i e n t 抵l a b o r a t o 啦 【2 】b c k b 啪a n dc w s h u t h er 1 m g e - k u t t 8l o c a lp r o j e c t k mp 1 一 d i 叩t h 珊嘲g 小础i i lm e t h o d 妇8 l a r 瑚e r 、阻t i 伽k 巾1 m 2 a ，1 9 9 1 ， 韶7 ：3 3 7 嬲1 t 3 】b c o 拙眦柚dc w s h u t v br 眦驴k u t t a l o c a lp r o j e c t t o n 蚴嘶瑚 g 眦i n 觚t e 蛐m 砒0 df o r 伽鼢v a t i o n 椭：g e n e r a l 丘删【j 】 【4 】b c o d 【b 啪衄ds y l i n i i v br 衄g e - k u t t al o c a lp r o j e c t i ( md i 8 n t i i l u 伽g a i e r i 【i i l 腼t ee l e 咖t 圯l t h o df o cc o n 翻强v a t i o nl 习隔噶：o d 鲥i m e n s 蛔i n 8 l 8 y b t e m 【j 】zc ：鲫叩珊妒，1 9 8 9 ，8 4 ：9 啦! 1 3 【5 】b c o d 【b 哪，s c h 0 u 蛆dc w s h u t v br u n g b d i 咖t i n i l o 岫g a l e r | d n m e t h o d 五d rc 0 瑚e r v a t c o 出b 哪，i h 哪：t h e 础m i d i l n e 瑚i 伽mc a 【j 】 【6 】b c o c k b 哪a n dc w s h u t v br 衄驴k u t t ad 鼬i n u o 邶g 如k i nm e t h o d 3 1 湖南师范大学高校教师在职硕士学位论文 f o r 伽舰v a t i o nl 栅v ：m u l t i d j m 锄i o n 8 l 咖【j 】z 唧脚妒，1 9 9 8 ， 1 4 4 ：1 9 9 - 2 2 4 【7 】f b a 鹄i 叽ds i b b a y h i g h 埘d e ra u c c u r a t ed 娃；c o n t i n u o u sl l n i t ee l e m e n t l u t i o n o ft h e2 fe u l e re q u 8 t i o n 【j 】zc l d m p f 仇妒，1 7 ，1 3 8 ：2 5 1 参2 8 5 【8 】b c o d c b u m 明dp a g 姗蚰d a 两鲥饥d re 8 t i m a t e sf o r 耻m 枷喇m e t h - o d s6 8 c a l a rc 0 曲e n 砒i o n 蛔，p 8 r ti ：t h eg e 弛r a l 印p r 出【j 】m 口冼竹l p ， 1 9 9 6 6 5 ：5 3 孓5 7 3 【9 】g j i a j 唱蛆dc w s h u o 础e n t r 0 阿岫1 1 a q l i 坶f o rd i 8 0 t 山。璐g a l e r l 【i n 础t h o d s f j j 朋a 饥仍仃i p ，1 9 9 4 ，6 2 ：5 3 l 5 3 8 【1 0 1b c b d 【b 啪a n dc w s h u t h el o c a ld 碱m o 璐g 妇k i nm e t h o d 妇 t i 删刈印e n d e n tc o n v i e c t i o n - d i 压h 8 i 叩踟毗瑚【j 1 s z a 腻z 阮m 盯a n 以，1 9 9 8 ， 3 5 ：2 4 4 m 2 4 6 3 f 1 1 】lk 忸t e y 锄dg k 缸n i a j 阳a k i s ad i | 瑚m 汹u o 珊q l l 刊 【i i lm e t h o d 矗篮t h e n 枷e rs t o k e se ( 1 u a t i o 璐【j 】伽哪1 m e 地用u i 幽，1 9 9 9 ，2 9 ：5 8 7 6 0 3 【1 2 】j d ( 儿l g l a sa n dt d u p o n t s o m es u p e r n v 嘲雪印c er e 叭l t 8f o rg 妇k i nm e t h 0 d sf b rt h ea p p i 切c 证l a t i o n l u t i o n0 ft 阶p o i n _ tb o m l d a 昭v a l u ep r o b l 即陷【c 】 i n ：t o p 洒i nn 1 】m 鲥叫a n a l y 豳，p r o c 咖i 蚰ha c a d c o 吐d u b l i n ， a c a d e m i cp r 鹤s ，1 9 7 2 ，8 争9 3 【1 3 】m b a k l 漪n o t e0 nc og 出r k i n 脚t h o d s 勋t w 伊p o 毗b 0 i l n d a 口p r 0 1 ) l e 】嘲【j 】 用基于三角形网格的l d g 方法求解偏微分方程 肌仇既肘口地，1 2 ，3 8 ：4 4 7 - 4 5 2 1 1 4 】m b a u 【e r o n e - d 蛐b n a lg 山e r 】i nm e t h o l d 8a n ds u p e r c o n v e r | 5 衄伪a ti n t 争 r i o rn o d a l lp o i l 妇【j 】驯肘z t 埘：a 似正，1 9 8 4 ，2 l ：1 0 1 - 1 l o 【1 5 】陈传淼有限元超收敛构造理论【m 】湖南：湖南科学技术出版社，2 0 0 1 【1 6 】p c a s t m o a8 u p e r o o 姗孵峨瑚l d t 艋d i s c o n t i i l u 0 瑚g a l 池m 毗h 0 幽咿 p i i e dt 0e m p t i cp r o b l e n 姆伪，唧t 肌统d 幽a p p 己 如c 五枷四，2 0 0 3 ，1 9 2 ： 4 6 7 5 1 4 6 8 5 f 1 7 】m l a r 8 8 n da j n 越a 蹈咂舢1 a l y 8 i 80 f8 鼬础y0 fd i | 啪n t i n 瑚g 山刚血 m e t h o d s 蠡e l l i p t 互ce 哪t i o 珊：t h eo 弛d i m e 瑚i o 】嗯l 【j 】h 册限朋a 玩， 2 0 0 4 ，9 9 ：1 1 孓1 3 0 f 1 8 】z q x i ea n dz m z h n g s u p e 砌) n 1 瞅学哪0 fd g 础t h o d 五伽睁 d i m s i 伽a l8 i n g i l l i 址l yp e r t u r b e dp r o b l e 瑚【j 】z 咖肘狮，2 0 0 7 ，2 5 ：1 8 墨 1 1 9 】f c e m 唧a n db c 0 出b 啪s u p 铡1 v e r g e n o eo ft h e 删附i i 谢t r a 嘲0 fd 诲 毗i m i 讲1 8g a l e r k i a n dh y b r i d i z i e dm e t h o d 8f 缸c 0 蛐，e c t j 伽卅i 缅l s i o np r o b l e m 8 i no 8 p a d 洫e 珊i o n 【j 】 妃冼m p ，2 0 0 7 ，7 6 ：6 7 - 【驯李璨求解椭圆型方程间断有限元方法的超收敛性【d 】湖南师范大学数学 与计算机科学学院，2 0 0 8 【2 1 】h g r 0 l a y * a d 印t e d 嘶出f o r8 i i l g u kp e r t u r b a t i o np r o b l e 瑚【j 1 z a 删 湖南师范大学高校教师在职硕士学位论文 五a ，l 夕e 坝m a 统肘，1 ，1 8 ，7 8 ：2 9 1 3 0 9 【2 2 】h r d 饼，g m s 咖绡蛆dl t o b 培hn u m 鲫酷a lm e t h o d 8f o rs 咄u l a r l yp e r - t l l r b e dd i 舐n t i a le q u a t i o 璐【m 】s p r i 明b e r l i n ，1 9 9 6 【2 3 】j j m i i l e r ，e o r j o d 衄踟1 dg i s h b h k i n f i t t e dn 山】1 a c i 8 lm e t h d d sf o r s j ng i l l 8 rp e r t u r b a t i 0 p r o b l e n 玛【m 】w o r l ds c i e n t 逾c ，s i i 堰印。舱，1 9 9 6 【2 4 】k w m o 而n 眦r c “ns o l u t i o no f g v e c t i o n - d i 妤u 8 i p r o b k m 8 【m 1 c h a p 盥吲m s 幻m 国s t 嘲d ” t a t eo d n v e c t i 锄删蚀p 曩o b l e m s 嗍i na c bn 衄1 e r c i a 2 0 0 5 ( a i s e r l 鹤，e d ) ，c 锄b r i d g eu 咖时p r s ，c 锄_ b m g e ，4 4 5 5 僻 【2 6 】g i 8 h i s h k i l l d 妣印p r 暇i m a t i 蚀o f8 m i 蝴p e l r t l l r b de m p t i ca d p 缸a b o h cp r o b l e 脚( i nr 璐s i 趾) m r u 8 8 i 眦a c a d 咖y 0 fs c i e o 鹊，u r a ls e c t i 【2 7 】w b l i u 衄dt - i 她e r r o r 跚埔l y s i s 蠡ag a 】艘忆n - 唾帕c t r a lm e t h o dw i t h o r d i n g t et 功珊f b r m a t i o nf o r l v i n gs m 出l yp e r t l l i b e dp r o b l 即唱【j 1 a 即工 “m e r 肘h 统，2 0 0 l ，3 8 ：3 1 5 - 3 4 5 【2 8 】f b a 鹳ia n ds b a y ah 蚺o r d 凹a o c u r a t ed i 8 c o n t i m u 0 瑚6 i l i t ee l e m e n t 珊吡1 1 0 df o rt h e 珊l 皿l e r i c 8 l 鼢l u t i o n0 ft h ec o m p d 嘲i b l en a 、，i 盱s t o k e se q 峥 t i o n s j 】z 踟唧鼢妒，1 9 9 7 1 3 1 ：2 6 7 - 2 7 9 陋】z c h 钮a dg j i s h a r p 工lap 0 8 t l e r i 砸姗o r 吣i sf o rn o n l i n e 篮c 0 d v 盼 用基于三角形网格的l d g 方法求解偏微分方程 t i o n d “f i l s i o np r o b l e 瑚【j 】肘a 纨踟f r l p ，2 0 0 6 ，7 5 ：4 孓7 1 q l 证觚dn 。c o n s t r u c t i o n 驵da i 岫o f h i g h 丘d e n tf i 幽e l e i 吲妇 汹c h i n e ) 陋御i i e b e iu n i v 郴n yp r 嘲，p r c h i m ，1 9 9 6 【3 1 】f c e b e r 蛐db c o d 【b u r n s u p e r 0 0 嘴n o e0 f t h e 删c a lt r a 嘲o f d i s c o n - t i 】吣。瑚g m e r k i n 觚dh y b r i d i z e dm e t h o d 8 五d ro d n v e c t i - d i 胁i o np r o b l 伽鹪i n e8 p a c ed i l m 珊i f j 】肘a 现咖，2