（基础数学专业论文）几类非线性微分方程边值问题解的存在性.pdf

几类非线性微分方程边值问题解的存在性 康平 ( 山东大学数学学院，山东，济南2 5 0 1 0 0 ) ( 指导教师：韦忠礼教授) 中文摘要 世界本质上是非线性的，研究非线性现象就要用到非线性的理论与方法，于 是，各个领域就非线性化起来了，有了非线性力学，菲线性光学，非线性数 学近代物理学和应用数学地发展，要求分析和控制客观现象的数学能力向着富 有全局性的高、精水平发展，从而使非线性分析成果不断积累，逐步形成了现代 分析数学的个重要的分支学科一非线性泛函分析到上个世纪五十年代，非 线性泛函分析已初步形成了理论体系近年来，由于非线性泛函分析已经成为研 究数学、物理、航空航天技术、生物技术中非线性问题的一个重要的工具，所以 对非线性泛函分析及其应用的研究具有重要的理论意义和应用价值 二十世纪以来，非线性泛函分析的发展取得了重大的突破1 9 1 2 年l e j b r o u w e r 对有限维空间建立了拓扑度的概念，1 9 3 4 年j l e r a y 和j s c h a u d e r 将 这一概念推广到b a n a c h 空间的全连续场，后来e r o t h e ，m a k r a s n o s e l s k i i ， p h r a b i n o w i t z ，h a m a n n ，k d e i m l i n g 等对拓扑度理论、锥理论及其应用进行 了深入的研究，国内外许多著名的数学家，如郭大钧教授、张恭庆教授、陈文源教 授、定光桂教授、孙经先教授、范先令教授、v l a k s h m i k a n t h a m 、r p a g a r w a l 、 m a k r a s n o s e l s k i i 、h a m a n n 、h b r e z i s 、f e b r o w d e r 、e n d a n c e r 、 k d e i m i n g 等在非线性泛函分析的许多领域都取得了非常出色的成就( 这方面的 内容参见【1 1 2 】) 目前非线性泛函分析中的方法主要有拓扑度理论、临界点理论、半序方法、 上下解方法、不动点理论、迭合度理论、单调迭代方法、拓扑横截度研究的主 要问题为非线性算子方程解的存在性、解的唯一性、多重解、解集的结构、近似 解、解的分歧理论，构造收敛于解的迭代算法，非线性算子理论以及对偏微分方 山东大学博士学位论文 程、微分方程、积分方程和微分一积分方程的应用这些问题都是目前分析数学 中研究最为活跃的领域之一其中，第一，非线性微分方程奇异边值问题它起 源于核物理、流体力学、边界层理论、非线性光学等应用学科中，它是微分方程 领域中的一个重要的研究领域，由于在物理学、应用数学、航天、生物等领域有 着广泛而重要的应用，也引起了众多数学家的重视世界上的许多著名的数学家 用非线性泛函分析中的理论和方法，对奇异边值问题的解的存在性、唯一性、多 解性进行了深入的研究，得到了许多新结果但由于对奇异常微分方程的研究存 在许多困难，所以现在仍然足非线性分析研究的一个较为前沿的方向第二，常 微分方程非局部问题它足指常微分方程定解问题的定解条件不仅依赖于解在区 间端点的取值，而且依赖于解在区间内部的某些点上的取值尽管理论和应用中 的许多问题均可归结为常微分方程非局部问题，但由于非局部问题自身固有的难 度，人们对非局部问题的研究起步相当晚k i g u r a d z e ，l o m t a t i d z e ( 1 9 8 4 ) ，i l i n 和m o i s e e v ( 1 9 8 7 ) 开始研究二阶线性常微分方程多点边值问题解的存在性，此后 的十多年间，关于常微分方程非局部问题的研究取得了重大进展，但还足不够完 善，它仍然足一个具有浓厚兴趣并可获取有意义的新成果的研究课题第三，非 线性常微分方程组由于应用数学中许多高阶微分一积分方程、隐形式方程等可 通过适当的变量替换转化为微分一积分方程组，因此方程组的研究对于这些方程 有一定的作用 本文目的主要是利用非线性泛函分析的拓扑度理论和锥理论研究了几类非 线性微分方程边值问题解的存在性及其应用等我们得到了许多新的结果，这些 结果无论在理论还是实际上都有重要的意义本文主要内容如下s 第一章给出了非线性泛函分析的一些基本定义和性质，并且给出了后面一些 章节要用到的关于不动点存在的几个引理，这些引理在本文主要结果的证明中足 至关重要的 第二章研究下列非线性二阶常微分方程系统的奇异非局部边值问题 u ”( ) + n 1 ( t ) ( ，h ( t ) ， ( ) ) = 0 ，0 t 1 ， 口“( ) + a 2 ( t ) f 2 ( t ( ) ， ( t ) ) = 0 ，0 t o ；詹u ( s ) d i ( s ) ，苫t ，( s ) d 也( s ) ，表示r i e m a m a - s t i e l t j e s 积分，i = 1 ，2 本章给出了上述问题解的积分表达式，并且在非线性项 和g i ( i = 1 ，2 ) 满足增长条件的情况下，利用l e g g e t t w i l l i a m s 不动点定理， 得到了上述问题的至少三个正解的存在性 第三章研究下列非线性四阶微分系统正解的存在性 fu ( 4 ( ) = ( ，铒( t ) ， ( ) ，u ( ) ，( ) ) ，0 t 1 ， i i 口( ( t ) = 尼( t ，“( ) ，t ，( ) ，u ( t ) ，( ) ) ，0 t 1 ， l ( o ) = u ( 1 ) = u t t ( o ) = ( 1 ) = 0 ， l lu ( o ) = v ( a ) = ( o ) = ( 1 ) = 0 ， 其中 ，2 ：i r + r + r 一r _ r + 连续，且在 和，2 中t ，矿是表 示弯曲程度的弯曲项， i = 【o ，1 1 ，r + = 【0 ，+ o 。) ，r 一一( 一o o ，0 】通过利用乘积 锥里的不动点指数乘积公式和不动点指数理论，在非线性项 和厶具有不同性 质的情况下来研究上述问题的正解的存在性，推广和改善了一些已知结果 第四章在比较弱的条件下，我们研究了具有非局部边界条件的奇异三阶非齐 次边值问题 l 乱胛( t ) 4 - a ( t ) f ( t ，t ( ) ，t 印) ) = 0 ，0 t 1 ， u ( 。) = 夕- ( o u ( s ) d q ( s ) ) ，牡7 ( 0 ) = 仍( z 1 牡7 ( s ) d p ( s ) ) ， i iu ，( 1 ) = a ， 其中a ( 0 ，。o ) 是一个参数，口c ( ( 0 ，1 ) ，【0 ，+ o o ) ) 且在t = 0 或t = 1 奇 异； f ：【0 ，1 】【0 ，+ 。) 0 ，十。o ) 一f 0 ，+ o 。) ，夕l ，9 2 ：【0 ，+ o 。) 一 0 ，+ 。) 是连 续的； u ( s ) d a ( s ) ，和u ( s ) d j 3 ( s ) 表示r i e m a n n - s t i e l t j e s 积分，理，p 是定 义在 o ，l 】上的增的非常值函数且q ( o ) = z ( o ) = 0 利用锥拉伸和压缩不动点定 理，讨论当参数a ( 0 ，0 0 ) 时上述问题的正解的存在性和非存在性 山东大学博士学位论文 第五章研究具有积分边界条件的劬一2 ；阶奇异边值系统 ( 一1 ) p u ( 2 v ) = a n l ( ) ，( ，u ，一乱，( 一1 ) p 一1 u ( 2 p 一，v ，一u ， ，( 一1 ) 。一1 t ，( 2 口一2 ) ) ，0 t 1 ， ( 一1 ) 9 ( 2 口) = 肛0 2 ( t ) 9 ( ，u ，一u ，( 一1 ) p 一1 u ( 2 p 一2 1 ，u ，一u ， ，( 一1 ) 9 1 秽( 2 口一2 ) ) ，0 0 ，p ，q n ，a i c ( ( o ，1 ) ，【0 ，+ ) ) ，口 ( ) 可以在t = 0 或 t = 1 奇异，i = 1 ，2 ；，g ：【0 ，1 】( r + ) p ( r + ) g _ r + ( r + = 【0 ，+ 。o ) ) 连续； 0 ，0 ，钿0 ，0 ，p , 1 = a 叼c ，4 - d , 7 + 岛 0 ，0 7 7 p 一1 ；和 q 口0 ，岛0 ，加0 ，西0 ，p o = q 口加+ q p 西+ 胁加 0 ，0 0 q 1 本 章给出上述问题的g r e e n 函数的一种简单表达式，并讨论了其性质，进一步利用 k r a s n o s e l s k i l l 型的锥拉伸和压缩不动点定理，讨论当参数a 和p 在一定的取值 范围内时上述问题的正解的存在性和多重性，推广和改善了一些已知结果 第六章在较弱的条件下，通过建立一个特殊的锥和利用严格集压缩算子的锥 不动点理论，我们建立下列关于抽象空间中具有积分边界条件的四阶边值问题的 正解的各种存在性结果； 0 ) ( 0 = a ( t ) f ( t ，u ( ) ) + b ( t 一州( 。) = 0 1m 。( s ) - - b 2 u ( 。) = 0 1m z g ( t ，仳( t ) ) ，0 t 0 ，及m i ，啦l 1 【o ，1 】是非负的， i = 1 ，2 厂以 d 1 呱 0 m 眈 ，、【 山东大学博士学位论文 关键词不动点指数；边值问题；积分边界条件；常微分方程；不动点；非 局部边值问题；正解；格林函数 山东大学博士学位论文 a b s t r a c t t h ew o r l di sn o n l i n e a ri ne s s e n c e b e c a u s en o n l i n e a rp h e n o m e n ai ss t u d i e d b yn o n l i n e a rt h e o r i e sa n dm e t h o d s ，e v e r yf i e l db e c o m e sn o n l i n e a ra n dt h e nn o n l i n e a rm e c h a n i c s ，n o n l i n e a ro p t i c sa n dn o n l i n e a rm a t h e m a t i c sa p p e a r s i n c et h e d e v e l o p m e n to fp h y s i c sa n da p p l i e dm a t h e m a t i c sc a l l sf o rt h eg l o b a la n dh i g h l e v e ld e v e l o p m e n to ft h em a t h e m a t i c sa b i l i t yo fa n a l y z i n ga n dc o n t r o l i n go b j e c - t i v ep h e n o m e n a ，n o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i sw h i c hi so n eo ft h em o s ti m p o r t a n t r e s e a r c hf i e l d si nm o d e r nm a t h e m a t i c si sf o r m e db yt h ec o n t i n u o u s l ya c c u m u l a - t i o no fn o n l i n e a rr e s u l t s u n t i l1 9 5 0 s ，n o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i sh a si n i t i a l l y f o r m e dat h e o r ys y s t e m i nr e c e n ty e a r s ，b e c a u s en o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i s h a sb e e na ni m p o r t a n tt o o lf o rs t u d y i n gt h en o n l i n e a rp r o b l e mi nm a t h e m a t i c s ， p h y s i c s ，a e r o s p a c ee n g i n e e r i n g ，b i o l o g ye n g i n e e r i n g ，i ti sg r e a t l ys i g n i f i c a n ti nt h e t h e o r ya n da p p l i c a t i o nt os t u d yn o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i sa n di t sa p p l i c a t i o n s i n c et h e2 0 t hc e n t u r y , t h ed e v e l o p m e n to fn o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i sh a s a c h i e v e dt h eg r e a tb r e a k t h r o u g h l e j b r o u w e rh a de s t a b l i s h e dt h ec o n c e p t i o n o ft o p o l o g i c a ld e g r e ef o rf i n i t ed i m e n s i o n a ls p a c ei n1 9 1 2 t h e nj l e r a ya n dj s c h a u d e r e x t e n d e dt h ec o n c e p t i o nt oc o m p l e t e l yc o n t i n u o u sf i e l do fb a n a c hs p a c e i n1 9 3 4 ，a f t e r w a r de r o t h e ，m a k r a s n o s e l s k i i ，p h r a b i n o w i t z ，h a m a n n ， a n dk d e i m l i n gc a r r i e do ne m b e d d e dr e s e a r c ho nt o p o i o g i c a ld e g r e ea n dc o n e t h e o r y m a n yw e l lk n o w nm a t h e m a t i c i a n si nc h i n a ，f o re x a m p l e ，g u od a j a n ， z h a n gg o n g q i n g ，c h e nw e n y u a n ，d i n gg u a n g g u i ，s u nj i n g x i a ne t c ，h a dp r o u d w o r k si nv a r i o u sf i e l d so fn o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i s ( s e e 【1 - 1 2 ) t h em e t h o dt or e s e a r c hn o n l i n e a rp r o b l e m sm s a r a yh a st o p o l o g i c a ld e g r e e m e t h o d ，c r i t i c a lp o i n tt h e o r y , p a r t i a lo r d e rm e t h o d ，l o w e ra n du p p e rs o l u t i o n m e t h o d ，f i x e dp o i n tt h e o r y , c o i n c i d e n c ed e g r e et h e o r y , m o n o t o n ei t e r a t i v et e c h - n i q u e ，t o p o l o g i c a lt r a n s v e r s a ld e g r e ea n ds oo n t h em a i nq u e s t i o n st or e s e a r c h a r et h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o nf o rn o n l i n e a ro p e r a t o re q u a t i o n ，u n i q u e n e s so fs o l u - t i o n ，m u l t i s o l u t i o n ，s t r u c t u r eo fs o l u t i o n ，a p p r o x i m a t es o l u t i o n ，d i v e r g e n tt h e o r y o fs o l u t i o n ，i t e r a t i o na r i t h m e t i c ，n o n l i n e a ro p e r a t o rt h e o r ya sw e l la , st h ea p p l i - c a t i o nf o rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，i n t e g r a le q u a t i o n a n dd i f f e r e n t i a l - i n t e g r a le q u a t i o n a l lt h e s ep r o b l e m sa r ea m o n gt h em o s ta c - t i v ed o m a i ni na n a l y z i n gm a t h e m a t i c sa tp r e s e n t a m o n gt h e m ，f i r s t l y , s i n g u l a r 、r l 山东大学博士学位论文 b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo fn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i th a sr e s u l t e df r o m t h ea p p l i e dd i s c i p l i n e so fn u c l e a rp h y s i c s ，h y d r o m e e h a n i e s ，b o u n d a r yl a y e rt h e - o r y , n o n l i n e a ro p t i c sa n ds oo n i ti sa ni m p o r t a n tr e s e a r c hf i e l do fd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sf i e l d s b e c a u s ei tp l a y sav e r ye x t e n s i v ea n di m p o r t a n tr o l ei nt h e f i e l d so fp h y s i c s ，m a t h e m a t i c s ，a e r o s p a c ee n # n e e r i n g ，b i o l o g ye n g i n e e r i n ga n d s oo n ，i th a sr e c e i v e dh i g ha t t e n t i o no fn u m e r o u sm a t h e m a t i c i a n s b ya p p l y i n g t h et h e o r i e sa n dm e t h o d so fn o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i s ，t h en u m e r o u sf a m o u s m a t h e m a t i c i a n si nt h ew o r l dh a v ed e e p l ys t u d i e dt h ee x i s t e n c e u n i q u e n e s sa n d m u l t i p l i c i t yo fs o l u t i o n so fs i n g u l a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sa n do b t a i n e dl o t s o fn e wr e s u l t s h o w e v e r ，b e c a u s et h e r ea r el o t so fd i f f i c u l t i e si ns t u d y i n gs i n g u l a r o r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，a tp r e s e n ti ti ss t i l lt h ea d v a n c eo r i e n t a t i o ni n t h es t u d yo fn o n l i n e a ra n a l y s i s s e c o n d l y , n o n l o c a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o r o r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h em e a n i n go ft h en o n l o c a lp r o b l e m si st h a t t h ed e f i n i t ec o n d i t i o no fd e f i n i t ep r o b l e mo fo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sn o t o n l yd e p e n d so nt h ev a l u eo fs o l u t i o ni nt h ee n do fi n t e r v a l b u ta l s od e p e n d so n t h ev a l u eo fs o l u t i o ni ns o m ep o i n t so ft h ei n t e r i o ro fi n t e r v a l a l t h o u g hl o t so f p r o b l e m si nt h e o r ya n da p p l i c a t i o nc a l lb er e d u c e dt on o n l o c a lb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m sf o ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，p e o p l es t a r t e dt of a i r l yl a t es t u d y t h en o u l o c a lp r o b l e m sf o rt h ed i f f i c u l t i e so fn o n l o c a lp r o b l e m si t s e l f k i g u r a d z e ， l o m t a t i d z e ( 1 9 8 4 ) ，1 1 i na n dm o i s e e v ( 1 9 8 7 ) b e g a nt od i s c u s st h ee x i s t e n c eo fs o l u - t i o n so fn o n l i n e a rm u l t i - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s w i t h i nt h ef o l l o w i n gt e ny e a r s ，t h es t u d yo nn o n l o c a lb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m sf o ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sh a sb e e nm a d eg r e a tp r o g r e s s h o w - e v e r ，i ti sn o tg o o de n o u g ha n di ti sa l s oar e s e a r c ht o p i ct oh a v eas t r o n gi n t e r e s t a n dm a y b eo b t a i ns o m en e ws i g n i f i c a n ta c h i e v e m e n t s t h i r d l y , s y s t e mo fn o n l i n - e a ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s s i n c el o t so fh i g h e ro r d e rd i f f e r e n t i a l - i n t e g r a l e q u a t i o n sa n di m p l i c i tf o r me q u a t i o n sc a n b er e d u c e dt ot h es y s t e mo fd i f f e r e n t i a l - i n t e g r a le q u a t i o n sb yt h ea p p r o p r i a t ev a r i a b l es u b s t i t u t i o n ，t h er e s e a r c ho ft h e s y s t e mo fe q u a t i o n sp l a y sav e r yi m p o r t a n tr o l ei ns t u d y i n gt h o s ee q u a t i o n s t h ep r e s e n tp a p e rm a i n l yi n v e s t i g a t e st h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n sf o rs e v e r a l k i n d so fb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m so fn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n di t sa p - p l i c a t i o nb yu s i n gt o p o l o g i c a ld e g r e et h e o r ya n dc o n et h e o r y w eo b t a i nm a n y n e wr e s u l t sw h i c hh a v et h ev i t a ls i g n i f i c a n c ew h e t h e ri nt h et h e o r yo ri nn a t u r e 山东大学博士学位论文 i h em a i nc o n t e n t sa r ea sf o l l o w s ： c h a p t e r1g i v e ss o m ep r e l i m i n a r yd e f i n i t i o n sa n dp r o p e r t i e so fn o n l i n e a r f u n c t i o n a la n a l y s i s ，a n dg i v e ss e v e r a ll e m m a so nt h ee x i s t e n c eo ff i x e dp o i n t ， w h i c hp l a ya ni m p o r t a n tr o l ei nt h en e x tc h a p t e r s c h a p t e r2c o n s i d e r st h ef o l l o w i n gs i n g u l a rn o n l o c a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s f o rs y s t e m so fn o n l i n e a rs e c o n do r d e ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ： u ”( ) + a 1 ( t ) f l ( t ，钆( z ) ，u ( ) ) = 0 ，0 t 1 ， u ”( t ) + 0 2 ( t ) 止( ，钆( t ) ， ( ) ) = 0 ，0 t o ；u ( s ) d q 6 i i ( s ) ， ，1 ，o a n d v ( s ) d i ( s ) d e n o t et h er i e m a n n - s t i e l t j e si n t e g r a l s ，i = 1 ，2 w es h a l lg i v e a ni n t e g r a le x p r e s s i o no ft h es o l u t i o nf o rt h ea b o v ep r o b l e m t h e nb yu s i n gt h e l e g g e t t w i l l i a m sf i x e dp o i n tt h e o r e m ，w eo b t a i nt h ee x i s t e n c eo fa tl e a s tt h r e e p o s i t i v es o l u t i o n sf o rt h ea b o v es y s t e m si ft h en o n l i n e a rt e r m s a n d 绑( i = 1 ，2 ) s a t i s f yg r o w t hc o n d i t i o n s c h a p t e r3c o n s i d e r st h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n sf o rt h ef o l l o w i n gn o n - l i n e a rf o u r t h - o r d e rd i f f e r e n t i a ls y s t e m s 0 t 1 0 t 1 w h e r e ，止：，r + r + r 一r 一_ r + a r ec o n t i n u o u sf u n c t i o n s ，a n dt h e 心，li n1 、a n d 2a r et h eb e n d i n gm o m e n tt e r m sw h i c hr e p r e s e n tb e n d i n ge f f e c t 。， ， 杪 矿 ， ， - _ _ 帆帅卜 卜 ，l，l 1 【 以以m m 、，、j ： = = u u ) ， ， ，rl、j 、，、，l 1、 t y i ， r 一 机蛳州州 ，l，i、 矧 d d = i | 忱叫 1 。【0 ，1 】，r + = 【o ，+ o 。) ，r 一= ( 一o o ，0 】a p p l y i n gt h ep r o d u c tf o 咖u l af o rt h e 触e dp o i n ti n d e xo np r o d u c tc o n ea n dt h ef i x e dp o i n ti n d e x t h e o d r , w es t u d yt h e e x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n sf o rt h ea b o v es y s t e m si nt h e c 鹊et h a tt h en o i 山n e 盯 t e r n i sh a v et h ed i f f e r e n tf e a t u r e s o u rr e s u l t si m p r o v ea n de x t e n d8 0 如l e 玉【】吡m m r e s u l t s c h a p t e r4i n v e s t i g a t e st h ef o l l o w i n gs i n g u l a rt h i r d - 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a r yc o n d i t i o n si na b s t r a c ts p a c e su n d e rv a r i o u sw e a k e rc o n d i t i o n sb ye s t a b l i s h i n g as p e c i a l l yc o n s t r u c t e dc o n ea n du s i n gt h ef i x e dp o i n tt h e o r yi nc o n ef o ras t r i c t s e tc o n t r a c t i o no p e r a t o r w h e r ea ，b c ( o ，1 】， 0 ，+ 。) ) ；厂，g ： 0 ，1 】尸_ pa r ec o n t i n u o u s ；a 0 ，玩 0 ，c i 0 ，吨0a n d 胁= a i c i + a i d i + b i c i o ；m i ，n i l 1 【0 ，1 】a r en o n n e g a t i v e ， i = 1 ，2 k e yw o r d sf i x e dp o i n ti n d e x ；b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ；i n t e g r a lb o u n d a