（基础数学专业论文）框架多尺度分析及其小波构造.pdf

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, a l ( x ) i s t h ee i g e n f u n c t i o no n 一d ，a l ，i e 山东大学硕士学位论文 i l 五一。】( 。) 2 o x 一日，a 】 o t h e r s t h e y a l s oc o n s t r u c t e dt h ef l a m ew a v e l e t s o f 一，庐) i nt h i s p a p e r ，w ef i r s t l yg e n e r a l i z e t h e f u n c t i o n 妒：( x ) 2 z m ( z ) b y 。o “8 i d 。i “g t h e f i m c t i o n 妒：妒( x ) = r l ( x ) z m 】( x ) ，w h 。7 i 8n o 眦强d c o n t i n u o u s o n 一a ，a ，a n d 0 1 4 w e p r o v et h a t c a l lg e n e r a t e a f m r a 形，庐 a n d 一，庐) a d m i t s a s i n g l ew a v e l e t t h e o r e m2 1 】，a n d t h e nw e c o n s t r u c t i o nt h ew a v e l e t t h e o r e m 2 5 t h e o r e m 2 1 一，) i saf m r a a n da d m i t sas i n g l ef r a m ew a v e l e t 少w 0 ， s u c h t h a t 瓦y ，k z i s af r a t f i eo f r v o ，w h e r e ：乒( x ) = q ( x ) z - o , o l ( x ) ， o 口去州州s c o n t i n u 。u sa i l d n o n z e r o o n 鸭叱= 一s p a n t k 庐，z ) ， 一= 厂2 ( r ) ，f ( 2 一，) ) t h e o f e m 2 5 y ：p ( x ) = 7 ( 委) z n ( r ) i s af r a m ew a v e l e t 。f f m r a v j ，) ， w h e r e ： ；( r ) = 叩( z ) z 【_ 。，。1 ( x ) ，。 口蔓去，叩( x ) i s c 。n t i n u 。u sa n dn 。n z e r 。n 一，口】，= s p a n t k q ) ，k z ) ，= 厂2 ( r ) ，f ( 2 一f ) ) s e c o n d l y , w ee n l a r g e af r o m0 - 1 4t ol 4 一l ，2 a n dp r o v et h a tt h ef u n c t i o n 庐：妒( 。) 2 刁( 。) z h ( 。) c a l lg e n e r a t ea f m r a ，) a n d ， d o s e n o ta d m i ta s i n g l ef r a m ew a v e l e t ，b u t a d m i t st w of r a m e w a v e l e t s t h e o r e m2 2 】k i ma n d l i r ah a v ec o n s t r u c t e dt h ew a v e l e t s 。f ) ( w h e r e 庐：躺= 砒，。一百1 a 了1 ) i i l 1 】i t h e w a v e l e t s 。f _ ，) ( w h e r e 伊：抽= 帐) z h 卅( 班； d j 1 ) c a l l b ec o n s 咖c t e d s i m i l a r l y w e o n l yc o n s i d e r c h ea s p e c t ：；a ；，t h a t i s t l l e o r e m 2 7 j上 t h e o r e m 2 2 ，) i saf m r a b u ti td o e sn o ta d m i ta s i n g l ef r a m ew a v e l e t 6 山东大学硕士学位论文 p - ，s u c ht h a t t l ，k z ) i s af r a m eo f w 0 ，w h e r e ：( x ) = 印( x ) z 1 - o ：1 ( x ) ， ； 口 鲁 j i nt h et h i r dc h a p t e r , w eg i v et h ep r o o f so f t h e o r e m si nt h es e c o n dc h a p t e ra n d p r o p o s ea ni n t e r e s t i n go p e np r o b l e m k e y w o r d s ：m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s ；f r a m em u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s ；s c a l i n g f u n c t i o n ；f r a m ew a v e l e t ；w a v e l e tf r a m e 8 山东大学硕士学位论文 - 框架多尺度分析及其小波构造 引言 m a l l a t 和m e y e r 分别在【3 】和 4 1 中引入了尺度分析( m r a ) 的概念，它是构造 和分析正交小波的基本工具。特别的，d a u b e c h i e 在【5 】中讨论了具有紧支撑的 正交小波。近来，b e n e d e t t o 和l i m 在 1 】中把尺度分析( m r a ) 推广为框架多尺 度分析( f m r a ) 。框架多尺度分析能更好的处理窄带信号，并在信号重构时具 有比多尺度分析更大的自由度。与多尺度分析不同的是，框架多尺度分析不 一定存在一个框架小波，而b e n e d e t t o 和l i 给出了一个框架多尺度分析存在 一个框架小波的充分条件【l ，定理5 6 1 。在【6 】 7 】【8 】 9 1 【l o 】中分别从不同的角度刻 画了m r a 或者f m r a 。k i m 和l i m 在 2 】中用平移不变子空间刻画了f m r a ，给 出了f m r a 存在一个框架小波的充要条件【2 ，定理3 6 1 ，并且当f m r a 不存在一个 框架小波时，构造了两个框架小波，使其二进伸缩，整数平移构成三2 ( 尺) 的 框架【2 ，定理3 9 。 在这篇文章中，我们主要讨论了由尺度函数妒：乒( x ) = 玎( 工) z h 卅( x ) 生成 的框架多尺度分析( f m r a ) 的框架小波的存在性，其中叩是【一a ，a 】上的非零连 续函数。我们首先讨论了当o 口 ：1 时的框架多尺度分析，进而又讨论了当 11 去口詈时的框架多尺度分析，并对于口不同的范围构造了各自的框架小 波。 这篇文章共分成三部分，在第一部分中我们介绍了论文中用到的符号和 预备知识，第二部分我们将给出本篇文章的主要结果，这一部分是这篇文章 主要内容。第三章将给出主要定理的证明。 山东大学硕士学位论文 第一章基本符号和预备知识 在这一部分，我们将给出一些定义、基本结果以及我们后面将要用到的 基本符号。 我们用表示复数域c 上的h i l b e r t 空间。 d a u b e c h i e s 在【2 中给出了框架和r i e s z 基的概念。 定义ll框架 序列 妒。，n z j 成为h i l b e r t 空间h 的框架，如果 存在常数a ，b ，0 a 蔓b m ，使得对任意的f h 有下式成立 a l l f l l 2 - 。，常数m ，使。 o ) 。 对于平移不变子空间，我们将用到下面的定理。定理a ，定理b 和定理c 山东大学硕士学位论文 都是我们所熟悉的结果，【2 】【8 1 0 【1 4 分别用不同的方法给出了定理a 的证明 定理b 和定理c 的证明也可以分别在 1 4 和 1 0 】中找到。 定理a 设矿l 2 ( 尺) ，s ：= ( 埘 ) 。那么 疋：k z ) 是s 的框架，当 且仅当j 。 爿b o 。，对a e x e g ( s ) 有爿丕i o + 尼) 1 2 b 定理b 设由：= ，：。) cl 2 ( 尺) ，g ( x ) = ( f ；，o 一女) 乒， 一) ) 脚。设 矿( x ) 是当x 丁时，g ( x ) 的最小非零特征值，a ( x ) 是当x t 时g ( x ) 的最大特 征值。那么 瓦，：k z , 1 蔓i n ) 是i 葫 疋矾：k z , 1 i n ) 的框架，当且仅当 0 a b o o ，使当x 盯( 卿) 时 a i n ，f 矿( x ) s u p a ( x ) s b a ( f o ) j t 定理c 设s 是平移不变空间，s 是s 的平移不变子空间，并设s ：满足 s = s 【0 s 2 ，那么s 2 也是s 的平移不变子空间且对口丘x r ，s i ，= $ 1 1 1 ；0 $ 2 1 ：a 设( _ ) ，。：，妒) 是一个f m r a 。矽v o = s p a l 庐，k z ，因为d 疋t = 疋d 从而k = d ( v o ) = s p a n d t i f ) ：k z _ s p a n t 女d ，q w ：七，1 z ) 。从而= s ( 矿) ) ，k = s ( d 庐，_ d 丁) ) 。k i m ，l i m 用平移不变子空间理论刻画一下在u 中的正交余空间。 由于( 。聊5 ( 加击e 一8 蛙) ，从而 或忙= s p a n ( d i 牡，( d r 妒i 一 = 删”形( 学k ：心一e 一“ ；t x - k m e z ， 吃牡= 阳 ( ；o 一七) ) 。) 山东大学硕士学位论文 = 印” ( 州下x - k ) 矿“( x f - k ) ) m 对固定的x 丁，令d _ ( ( 主一圭) ) t 。ze f 2 ( z ) ，记： f d ( ) t 是偶数 口e 户1 0七是奇数 f 0 女是偶数 d 。产1 口( t 是奇数 那么a = a 。+ ，显然 ，z = 0 令 6 = ( ( 一1 ) e 一；( 毒一等) ) 。：= e d 。- - e - j m a o ， 从而 e k = s p a n a ，6 = s p a n a 。，) 令 m 。= m ( 主) ，m 。= m ( 主一圭) ， 从而 吭旷聊鼢( 孚) ( 学仇e z ) = 删 m e a e + m o a o ) ， 从而 记 州) _ x 出d i m l 2 o ) - 泓r ：乏l # ( ；l o 或冰孚叫l o )t e z k e z i l 2 = x t ：d i m v q ，2 2 ) 却出踟刊2 。且球掣峋1 2 0 ) = z t ：口。0 且a 。o ( 2 ) a l = i x t ：d i m 7 1 1 1 ；5 1 ) = x e t ：踟刊2 和出孚一七4 2 山东大学硕士学位论文 一个等于0 且另一个不等于0 = x t ：a e 和口。一个等于o 而另一个不等于o ) e = x a ! ：m 。= m 。= 0 ) ( 3 ) ( 4 ) h a n g o h k i m 和j a e k u n l i m 在 1 1 中给出了一个f m r a 存在一个小波的充 分条件： 命题1 5 如果吲= 0 ，那么存在一个小波y w o ，使= s ( 咖) 命题1 5 中的i e l 是指集合e 的l e b e r s g u e 测度a h a n g o h k i m 和j a e k u nl i m 在 1 中证明了 吭扩印“n 瓦心一瓦l l a , 0 2 a o 在第一章我们已经得到 = s p a n a ，6 - s p a n a 。，吒) ， 矿0 h = s p a n m + 。) 由= 。哦可得 吮“= s p a n c 以一) ， 其中c 。和c 。是常数。又由 v o 。上w o m ， 可得 = 0 ， 即： c 。i 1 2 + c 。瓦1 2 = o ( 5 ) 我们取c 。= i 恢1 12 ，q = 一瓦慨nq 和气显然满足( 5 ) 式。从而我们有： 哦旷s p a n ( 瓦h 一瓦h ) ( 6 ) 山东大学硕士学位论文 下面我们构造( ) 瓜，) 的框架小波at = ( 丁盯( _ ) ) u ：u ，且 t 盯( 嵋) ，：和a 互不相交。假设i e l = 0 ，即存在一个框架小波， 使 巩：z ) 构成的框架。 ( i ) 当x n 盯( k ) 时，或k = 0 ，从而喊1 ，= 0 。从而当x ( r 盯( k ) ) + z 时，我们定义p ( x ) ：= 0 。 ( i i ) 当x ：时，因为旧= 0 ，所以d i m 吭k = 1 ，从而d i m 唬b = 1 。又由( 1 1 ) 式此时我们定义： ( 驴( x 一) ) 。：= e “i o a o 一e “瓦he 吭 那么对每个k z ， g ) ( x - 2 k 一“鬲c 孚，c 洳孚棚陬 争 邮肛叫- - _ ) xt 踟 刊x2 液三一掣，a 从而对每个k z ， t 妒( x - k ) = - - f f * x ( x - l o m ( 拿拿) ( 弦( 与拿_ f ) 陬下x - k ) 。 e z l i 所以当x ：+ z 时，我们可以定义： 帅一鬲c 丁x - 1 ，c 踟等叫陬 ( i i i ) 下面我们考虑x ：( n 盯( ) ) u ( ，n 仃( ) 。) 的情况。 当x n 盯( k ) 时，d i m v o 耻= 1 ，从而d i m 睨卜= 1 。此时我们定义 ( 痧( x 一) ) m ：= 0 ，即当x a l n a ( v o ) + z 时，我们定义： 痧( x ) ：= 0 山东太学硕士学位论文 而当x in 仃( ) 。时，d i m , v o h = o ，从而吭= 以f 从而 d i m w o ，h = d i m s p a ” g , a o ) = 1 由a 。和a 。的正交性，我们可以定义：( 驴0 一) ) 。：= a 。+ a 。，即当 x ( a 1n o - ( ) 。) + z 时，我们可以定义： 驴( 工) = ( 委) 综合( i ) ，( i i ) ，( i i i ) 我们定义少：痧( x ) ：= n ( x ) 9 ；( 兰) ，其中： 门( x ) ：= 扩鬲c 孚，c 洳z 孚卜瓠妒z 时 ki 】 o 当j ( ln 仃( ) 。) + z 时：( 7 ) 其他 容易证明n ( x ) z ( r ) 。 当框架多尺度分析( _ ) 间，) 不存在一个框架小波时，k i m 和l i m 在 1 】中 构造了两个框架小波，即定义： y ，：痧，( x ) ：= 一( x ) 庐( 三) ， i _ l ，2 t 其中 行，( x ) 当x ( a2n a ( v o ) ) + z 时 当x ( 2n a ( v o ) 。) + z 时 当x ( ln 盯( ) ) + z 时 其他 ，、1 p “ 当x ( a2n 盯( ) 。) + z 时 心。r 2 其他) 。 使矾，疋缈：，女z ) 构成的框架。 d 一 生： 田r m孚 丽 扰 p 1 l o 山东大学硕士学位论文 第二章主要结果 在这一章中，我们将给出这篇文章的主要结果，即从尺度函数出发构造框 架多尺度分析，进而再构造其框架小波。 j j b e n e d e r o 和s l i 在 2 中已经给出了下面的定理2 1 ，在这里作者用平 移不变子空间的理论给出这个定理的另一证明，并且逐步扩大口的范围，分别给 出了定理2 2 ，定理2 3 ，以及推论2 4 。 定理2 1 设庐： ；( x ) = 呷( x ) 而。】( x ) ，其中0 口去，町( x ) 是【一口，口 上 的非0 连续函数，= s p a n t k 庐，k z ) ，= f e 上2 ( r ) ，f ( 2 7r ) ) ，则 ，) 构成框架多尺度分析，并且存在一个框架小波，使仉y ，k z 构成的 框架。 定理2 1 讨论了当o 口土4 时，函数：# ( x ) = 1 7 ( x ) z h 川( x ) 能够生成框 架多尺度分析，而且这个框架多尺度分析存在一个框架小波。作者通过扩大a 的 范围，得到了下面的定理2 2 。 定理2 2 设( x ) = 叩( x ) z 卜川( x ) ，其中三4 cac ；，节( x ) 是 一n ，n 上的非 0 连续函数，= s p a n g o ，七z ，= ( 厂工2 ( r ) ，f ( 2 一。f ) v o 。则下面的结 论成立： ( 1 ) ( 一) 间，) 是一个f m r a 。 ( 2 ) ( _ ) 膨，庐) 不存在一个框架小波- 经过上面的讨论，我们已经知道了当o d 互1 时，即当区间 一口，口】c r 时， 尺度函数： ；( x ) = 玎( x ) z h 川( x ) 能够生成框架多尺度分析( 一) 懈，) ，而且讨 论了( 一 脚，庐) 是否存在一个框架小波。那么当口i 1 时，即当r _ 口，d 】时， ( 彤) 皿，妒) 是不是一个框架多尺度分析呢? 如果是的话，框架小波是怎样的呢? 山东大学硕士学位论文 关于这个司趑，我们有下面的定理2 3 ： 定理2 3 设乒( x ) = 刁( x ) 五。】( x ) ，其中昙s 口昙，7 ( x ) 是 一a ，n 上的非。 连续函数，= s p a n t k q j ，k z ) ，一= 厂l 2 ( r ) ，f ( 2 一。f ) v o 。那么( 形) ，z ，柳 是一个框架多尺度分析，并且存在一个框架小波p ，使 瓦：k z ) 构成的 框架。 通过定理2 1 ，定理2 2 以及定理2 3 的讨论，n 0 ；，玎( x ) 是 一盯，口 上的非。连续 函数，则不能生成框架多尺度分析。 上面我们讨论了函数：( x ) = r ( x ) z h 川( x ) 生成的框架多尺度分析以及这 个框架多尺度分析的框架小波的存在情况，下面我们将用平移不变子空i 郇的理论 分别构造定理2 1 ，定理2 2 以及定理2 3 中的框架小波。 h o n go hk i m 和j a e k u n l i r a 在 1 】中用平移不变子空间的理论构 造了框架多尺度分析( 巧) ，“，) 的框架小波，其中( x ) 2 z h 。l ( x ) ，其 中 d 妄。下面我们也用这个方法构造框架小波。 现在我们用上面的分析来构造定理2 1 ，定理2 2 以及定理2 3 中的框架多尺 度分析的框架小波v 。 定理2 5 p ：痧( x ) = 7 7 ( i x ) z n ( x ) 是框架多尺度分析( _ ) 皿，) 的框架小波， 其中妒( f ) = q ( x ) z i - a , a l ( ) ，0 口曼，q = 【一2 a ，- a ) w ( a ，2 a ，刁( x ) 是 一口，口 上 的非。连续函数。 图2 _ 1 是取日2 壶，7 ( x ) 2 z - a , , q ( x ) 的的图像。 山东大学硕士学位论文 图2 1 下面我们构造定理2 3 中的框架多尺度分析的框架小波。 定理2 6 设函数：乒( x ) = n ( x ) z 【- d 川( x ) 生成的框架多尺度分析是 ( 一) 皿，) ，其中1 2 a 蔓；，r l ( x ) 是【一d ，口 上的非。连续函数，那么 ：驴( x ) 厄”犯+ 1 ) 州孚) 可( 争瓠 - 2 a , a - 1 】时 厄“咖_ 1 ) 玎( 孚) 玎( 主) 瓠 - a + 1 , 2 a 矾 0其他 是框架多尺度分析( ) 脚，庐) 的框架小波，事实上，是一个p d e s z 小波。 1 图2 - 2 ：是i r a = 导，町( x ) = z | 盯川o ) 的p 的图像。 j 图2 2 由定理2 ，2 我们知道框架多尺度分析( 巧) 闰) ，f ；( 工) ：而，。1 ( x ) ， j 口 ，不存在一个框架小波y ，使 疋：z ) 构成的框架。胁馏崩伽 和如e k u n l i m 1 r 9 “m p l e 3 1 0 已经构造了框架多尺度分析( ) 。，矿) ， ( 。) 2 而一a 】( x ) ，i 1 d i 1 的框架小波和：，使 瓦y 。，瓦：z ) 构成的 框架，进而和y ：的整数平移，二进伸缩构成上：( r ) 的框架。用类似的方法可 以得到框架多尺度分析( _ ) 心，) ， ；( z ) = 叩( x ) 五、。l ( r ) ，丢c nc ；的框架小波。 现在我们构造构造框架多尺度分析( ) 婶，) 的框架小波p 和p ：，其中 妒： ( x ) = 刀( x ) z 卜。驯( x ) ， i 。 专，叩( 。) 是 _ 口，口】上的非。连续函数，使和：的整数平移，二进伸 缩构成l 2 ( 尺) 的框架。 定理2 7 设函数庐：乒( 工) = 7 7 ( x ) 而。l ( 了) 生成的框架多尺度分析是( 。，) ， 其中 d 。又当x e t 一圭，一a ) u ( a 毒 时， o 0 d 当 x 州- _ 1 刊u ( d ，争时， 队，恶，玎2 驴) 卜m 十a 州x 即2 m 山东大学硕士学位论文 当j t 时，令： r e ( x ) = 0 - , j 2 r ( 2 x ) 叩( x ) 任何有界函数 当x e h a 2 ( a y 耐 n x 一萄时； 当州一圭，刊u ( 亿； 时 且m ( x ) 在r 上是周期为l 的函数。显然m ( x ) 满足( 1 ) 式。从而满足命题1 4 的条 仟，【 p j ，j e z 尹j 足一1 、f m k a 。 ( 2 ) 当去 a o ，从而吲 0 ，由命题1 5 可知，这个f m r a 不存在一个框 架小波v r v o ，使 瓦y ：k z 构成w o 的框架。# 山东大学硕士学位论文 当x e 一圭，一争时，我们有： 驴川) 一o 。m c 刮! ， 叭，船。z 叩2 耖c x m 巾a 。x 】z - ： c 。； 类似的，当x j a ，争时，有： 驴，h m c 刊2 ， 叭；珊，2 刁2 渺( x 州卜m 十a 州x 2 叩2 。： n x e ( 一兰，兰) 时，我们同样有： 叭。孵，刁2 蔓驴川) 伴1 2 茎黝，矿 l ，l 一q 兰 l = ；a l ，所以m ( x ) 在r 上不可能是 周期为1 的周期函数，从而不存在周期为l 的m 上2 ( 丁) ，使( 1 ) 是成立，所以不 能生成框架多尺度分析。# 定理2 5 的证明：由定理2 1 中( i i ) 的分析我们可以知道a2 是空集 a = - 2 a ，2 a 】 所以有： 盯( ) = 缸r d i m v o o ) = x r ，阢+ 女) 卜o = h 口】， e z 。 a ln ( d ( ) ) 。= 一2 a ，一d ) u ( 口，2 口 由( 7 ) 瓦j 得 吣，= 亿蕊卜2 即叫啦小耐 从而我们可以定义： ：驴( x ) = 玎( x ) 矿( 妄) ， r 甑 矿( x ) = 7 7 ( 兰) z 。( x ) ， 其中q = 卜2 a ，一口) u ( d ，2 a 显然y w o ，又当 x r ( 一；，一2 口) 【一口，日 ( 2 口，