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群分支法和泛函分离变量解 摘要 非线憔现象广泛地璺现在物理、化学、生禽、社会、经济等领域，随着科学的发展， 对麓 线性系统酶磷究基趋深入，对于攒述葛 线性系统媳毒 线性方程的求解研究成为醭究 者的重要课题之一。对于线性方程的求解，傅立叶分析和分离变量法是两个1 卜常商效的 方法，但对予非线性方程，由于线性叠加原理的失效，还没有办法给出本质上的非线性 方程蕊一般解，虽然类将解麓恩一种或死种方法辩戮，毽一释方法逶常不能得到各糟 类型的特解。因此，求解嚣线性方援没有统一豹方法。 众所周知，分离变量法是研究线性偏微分方程最实用、最有效的方法之一。对于鼍舅 线性馕徽分方程，个爨然的阍题是是否也存在着泛函分离变量解( f s s ) 或广义泛爱 分离变量解( g f s s ) ? 值得我们欣喜的楚，在过去的几十年里，有许多的方法被提出来研 究泛函分离交量解，其中包括直接方法，几俺法，a n s a t z 南a s e d 方法，形式分离变量法， 多线性分离交爱法等等。 在第二章和第三章中我们主要利用群分支法来分别讨论非线性扩教方程翻遗扛线性 波动方程的泛函分离变量解，这也正是本文的主要工作。我们通过引入自同构系统 ；葛篙： 令g 瓴豁) = g ( x ) 是嵇 我们分别将方程( 2 碡) 和( 3 1 ) 约化为一个关于工的函数和甜的 丞数乘积的多项式，我铜豹蘑标就是寻找所有翡丞数煮( 菇) ，鸯茗) ，器( 菇) ，d 鼯) ，q 扭) ， 以及办 ) 使得方程其有泛函分离变量解 徘) 岩静啡 专f 删方 关键词：泛函分离变量解，群分支法，爿e 线性扩散方程，非线性波动方程 g l 心u pi 墨o l i 魏鼍i o 狂i 墟e 重h o d sa 鑫df 珏珏e 鼍耋。娃a ls e p 鼗r a b l e s o l h 赫o n so f n o 黼飘n e a r 嚣q 戡a 耄i o n s a b s 它l 撩e l 秘e 鞋黼l 籍黼 露懿e 粼黼嚣蛾螽每霾p 黔r 汝馥建铸耋禚镪豢辩l 黼l i 磊e 曩e 添辎藤嚣霭l y s i 懿，酶e m i s 赶x b i 0 1 0 9 y ，蝴c i e e c o n o m y 魏n ds oo n w i t hm ed e v e l o p m e n to fs c i e n c s ，糖s e a r c h e r so nt h en o n “n e a r s y s t e m sa 糌m a k i f l gm o r ea n dm o 豫p f o g r e s 瓢a s 嚣糟s u kt od e a lw i 啦哇l en o n l 融棼解e q u a t i o n s c h 嫩d 姻c r i b e 爨el l o 鑫l 自燃姆s e 撤s 巍露啾棼so 魏e 蠢凝攥鑫谶嚣n 莲魏酿姆| c s 酝羲e 璋鬻霉矮帮涔。 菠嚣黝l 羚 s 嚣鞋透 瓷 v 猢i ep a r a t i o n a p p 脚a 诛a 陀 e 缗c t i v 学m e a 璐i | l 咖d y m g t h e1 m 拈a r p a n i a l d i f 糯r e n t i a l e q u a t i o n ( p d e ) s 洒c et h el m e a rs u p e r p o s i t i o 摊p r i r i c i p l ei sn o tv 州i 止s ot h e r e 姆n o lag e n e r a lm e t h o dt o s o l 转囊e 黝稳l 豫篷p ! ， 巍i s 、黼l l - k n o w nm 龇戗l em e t h o do fs e p a r a t i o no fv a r i a b l o si sae 镯c i e n tw a yt os o v j ec h 母1 i n e a r p d e f o rn o n i i n e 盯p d e ，an 烈t l l f a lq u e s t i o ni sw h e t h e rt h e ya i tt h e 胁c t i o n a l p a r a t i o ns o l u t i o n s ( f s s ) 程蓼嚣鼢| l 嬲觚菠 鳓l 辨激耋l 馥辨l 暖i 雠螨述s ，聚斛袭e 癌s ，基融o f 瓣礤菇s 魏粼& 鼹 e s t 西l i s b 甜躺dd e v e i o p e dt o 嚣_ 骶ng f s st o h en o n l n e 甜p d 嚣，8 u c h 勰t h ed i 黼c tm e t h o d ，t i l e 咎e o m e 啊c m e t h o d ，t h ea n s a t z b 舔e dm e t h o d ，t h ef o 1 a lv a r i a b l es e p a r 龇i o na p p r o a c ha n dt l l em u l t i - l i n e a rv a r i a b l e 辩删l 勺嚣攀轳f o 霸凌， 强讯e 穗印t e f2 勰dc h a 船邢，w e i n d l 锵s 卵a 托t i o no f v 黻i 拍1 e ss o i 诵蝴s 蝣洲n o n l l 订e a rd i 镬弧i o n 拥d w a v ee q u a t i o n s ( 2 4 ) ( 3 1 ) b yu t i l i z i n gt l l eg r o u pf o l i a t i o nm e m o d w ei l l d u c ea 粕t o m o r p h i cs y s t e m ；终掣8 汰碡 鞠= 瓴露) l e tg ( 兢材) 勰g ( x ) 乃( 材) ，t h e n ( 2 4 ) ( 3 。1 ) i r r i p l i e sap o i y n o m i a lw h i c he a c ht e r mi n | h ee x p r e s s i o ni s 鑫 p 羚蠡霞o f 瓣攀魏蠹毽融l 两漩曩鲢善一d 龆e 羚藏| 蠡珏嚣矮潮，妇鑫蠢纛泠戆魏疆垂ls 蘸蠡爹蠡黼菠i 。瑟s 么( x ) ，客( 善) ，g 并) ，d ( 豁) ，q 定义了4 维子流形霆， 参数纯燮羹为麓 ，致嚣：。飘了2 舞袁翁拉网切嚷萋重e 出下述 - 形式张藏 蒋“一章绪论 器= 苏一嚣，蠢一臻 和 或= 出，+ ( 冀+ 致咒，缓，矗 c 的2 维积分( 局部地) 是( 1 ，7 ) 解熊的延长。注意到c 是2 - 余缎数，不考虑f ，予 是至多存在2 缝积分熬2 。参数族，所以( 1 + 6 至多商秘形式分离交登解懿2 - 参数族， 当e 可积时，极大情形蒗象。我们有 彩躺o 糯o 纛e 黎 嚣；糍最器；疋，瓦。；磁a 森激甜e 赦c 可积豢鼠仅当 ( ( 墨巾冁疋) ，丘茏尝。 予是奄到方程( 1 。6 ) 与莉形式分离变量赫羧莱条襻l 。霉) 耀容萋照莰当 ( d 嚣f 气) 。徽( ( 只+ 豁；只) e ，) 。= o ，w h 嚣辫d ，墨只+ 雒，只 同样遗，瓣2 除方程 豁l 燃f ( x ，嚣，耘，封艘) 讨论，5 维流形冗由参数化变量墨f ，鳓摊嚣，辣嚣给出，c 由下述l 形式张成 雾= 巍一嚣，教一参勰 或燃妇。一豁嚣出 9 锚嚣藩。专d z 爹；参。蠢 其巾 p x = 赫+ 嚣，苏+ 鲰+ 魏越，是2 杂维鼗，不考虑罗，我镌骞 d 8 ，a 8 x 薯q m q d c 爨 蛾拦建罗，。磁焱矗攥醚 因此，e 戮积尚且仪当 ( 致，丘) 。= o 董。董。3 轰鼗始络糯磋方法 t 第一章绪论 主要举例说明r z z h d a n o v 的a 致s 粕曲a s e d 方法【1 7 】。考察非线性波动方程 船= 甜托却一掰，南= ( 拓) ( 1 g ) 此方程可分解成2 个2 阶常微分方程，1 个2 阶常微分方程和1 个1 阶常微分方程以及 2 个l 除常微分方程来研究其变量分离法。秀方便起霓，这里我们仅考察( 1 。8 分解为 2 个l 羚鬻徽分方程： ，( 搿，) = 置( 谚和，) ) ，f * l ，2 ( 1 。9 ) 其中霆；，爱是光滑器数，字母上方翡小点表示对糕纛量戆微分。 a 鼗s a _ 垃 据0 ) = ( 而苁( 毋l x 携如( 掰2 ( 舅) ) ) 1 1 e ) 确定了方程( 1 。8 ) 在坐标彩；蛾茹2 缸) 下鹩分离变量辩，鲡果把( 1 1 0 ) 代入( 1 。8 霉 根据公式( 1 9 ) 消除导数，蛾获得一个关于硪，戎的恒等式。 该方法豹基本赢是a 辣s 跑鹣具镲形式不疲该预先固定，般来说，函数六搿；，国：翡 选取取决子菲线性形式彻) 。 下嚣，我们在( 1 9 ) 、( 1 o ) 枣选取搿l = 如，国2 = x l ，= g 旗瓠) + 乎2 ( x ；) ) ，帮 寻求 1 。8 ) 如下形式的范函分离解 荔f ( x ) mg ( 我( x o ) + 如( x 1 ) ) ，g o ( 1 11 ) 把( 1 1 ) 代入( 。8 ) 势剩用( 1 。9 ) 排滁妒，磊，i 燃 ，2 得 g ( r lr l r 2r2 ) 十g ( r ；一r ；) = f ( g ) ( 1 1 2 ) 重糖定义q = 妄群，i = l ，2 ，( 圭。1 2 ) 改写灸 g ( 嫉一q ) + 2 9 ( 嫉一姨) = f ( g ( 蛾+ 1 2 ) ) ( 1 1 3 ) 为了按照独立变量l ，虫分解( 1 。1 3 ) 用算予0 艿磊一艿，艿走作焉于( 1 。1 3 ) 有 g 缎+ 鲛) + 2 9 鲛+ 翁) = o ( 1 。1 4 ) 磊磊= g 的情形属于群不交解，已经有入讨论过。现假定磊+ 磊雾，这时 o 的情形可同样处理。最终发现： 第一章绪论 情形2 ：q = 织绞o 情形3 ：嫉，绞= o 。 情形4 ：嫉= 姥o 的分类结果包含在情形l ：翁皱o 中。其体归类结果和分离交量精确解参考【17 】。 此方法操作起来富予技巧性，它与壹接法餐类似之处，僵此法的勰s a 貔( 1 1 0 ) 有 2 个因变量磊，：约化方向是常微分方程组，而直接法的雒s 疵中哭含有一个因变景缈( z ) ， 约化方向是自变量减少一个的偏微分或常微分方程。 1 1 4 形式分离变量方法 在非线性系统的分离变量法的建立过程中，我国学者起着非常重要的作用。特别是 在形式分离变量法的研究中，主要由我国学者完成。形式分离变量法有一些不同的名称。 首先这种方法就是由曹策阏教授【4 0 】提出的泳对的非线性化方程。强前有许多我国学 者仍在继续这一方法的研究( 如营策问、耿献国、乔恚军、周汝光、马文秀、周子翔等) 。 将这种方法推广应用至2 + l 维系统时称之为对称约束方法( 程艺、李翔神、曾云波) 。 目前我国学者也直接把这种方法称之为分离变量法。通常这种方法适用于可积模型。楼 森岳和陈丽丽【4 1 】将该方法推广到了不可积系统并称之为形式分离变量法以区别于其它 分离变量法。现简单描述该方法如下。 我们知道，k d v 方程 豁f 一6 据豁；一豁。= o ( 1 。1 7 ) 有k 黔i f + 稚妒= 允缈 ( 1 1 8 ) 够= 2 ( 掰一a ) 毂一掰，9 ( 1 。1 9 ) 选取敛= 多，( 1 。1 8 和( 1 。1 9 ) 可写为 ( ；) ，= ( 三一掰：) ( ；) c ，2 。， ( ；) ，= ( 二：二一2 。甜一旯，：三! 掰一a ) ( ；) c t 。2 ；， 6 第一章绪论 k d v 方程( 1 1 7 ) 的一个对称定义为其线性化方程的解 拶f 一6 侧；一6 群g j 一秽删= o 这表明方程( 1 1 7 ) 在畿换甜一“+ 下形式赴不变的，其中g 魁无穷小参数。 我嬲知道移2 羔翻嚣，是k 叫方程麴两个典型对称，如果我们将对称约束条襻 狂，一2 x = o ，f 卫，摊一妒2 ( 1 2 2 ) 代入l a xp a r ( 1 2 0 ) 和( 1 2 1 ) ，得到 0 ) 善一( 三够一9 3 誊趸t e t 2 3 ， 口) ，一( 二至三& 一。，) 籀譬2 ( t 。2 4 ， 如果我们能够得到低维方程( 1 2 3 ) 和( 1 2 4 ) 的解，由对称约束( 1 。2 2 ) 可得k d v 方程( 1 1 7 ) 的对应解。在( 1 2 3 ) 或( 1 。2 4 ) 中，只显含一个臼变攮，虽然妒和庐均 是蠢变量x 和f 的丞数，因为妒和是2 个自变量的璐数面 警群时，我们称之失泛涵分离变量 兰6 】一【3 7 】( f u 藏e 屯i o n a l s e p a r a b l es 0 1 u t i o n ) ，驻然泛函分离变萋是般分离变鬟的。个广义的延拓，许多非 线性偏微分方程都有类似的解。 ( 3 ) 翔果在上式中 ，= ，( 弼冁) 我们就称它为依赖于导数的分离变量 矮鞠 4 9 3 ( 蛰好r i v a t i v e d e p e n d e n tf u n c t i o n a l s e p 8 r 曲王es o 主醢t i o 珏) ，它麓形式如下 ( 甜，嚣茗) = 妒( x ) + 妒9 ) 在 5 0 中，作者利用这种解的假设，研究了一般的扩散方糕以及般的波动方程的分离 交量解，褥到了许多关番现实物理意义购髌。 嚣+ 露 ) q ) 孛，跌藤褥到它翻的番数分离变量解。 l e 第二章非线性扩散方程的分离变量解 第二章非线性扩散方程的分离变量解 2 1 问题的提出 众所周知，对于一个无限l i e 群下不变的偏微分方程， 的方法求到。假设演化方程 e ( x ，f ，甜，甜x ，卵，甜辩，甜州，材，f ) = 0 所满足的l i e 群为 y = s ( 蹦，摊) 兰+ 7 ( x 群) 兰+ ，7 ( 刈，醒) 兰， o xo to t l 那么演化方程( 2 1 ) 所对应的l i e 群下的不变解满足 翻j + f 一暂= o 它的不变解很容易通过下厩 ( 2 1 ) 对予具有不连续对称的演化方程来说，一个很重要的阀题就是是否可以找到该对称下的 演化方程所满足酶善篓不变解，接下来的两章我们主要解决这个溺遂。我们主要幂| j 瘸群分 支( g r o u pf o l i a t i o n ) 方法，其主要思想就是群的分刹( g r o u ps p l i t t i n g ) 5 4 一 5 7 ， 它最初是由s l i e 5 8 提出的，v e s s i a t 5 9 对其做了一些修改，最后成形予 0 v s i a n r i k o v 2 。其主要思想为：我们将给定方程的解空间分支为许多小的轨道，选择 其中具有无限维对称群的小分支，则每一个小轨道由一个自同构系统决定，即由所给方 程黎所考虑的不变微分约束决定，它的一个特性就是解可以通过选择一个对称子群，由 其他的髂傲相应的变换得到。这个性质决定了系统的完全可积性。给定方程所有鳃的轨 道集合取决于分解系统，因此求解非不变解的问题就归于尽可能的得到分解系统的特 解，并且每一个特解都对应于一个特殊自同构系统的和给定方程解空间的一个轨道。就 目前的问题而言，它和原来的问题一样难或者更难，但它是有可能发生的，因此即使是 一个方程简单的解都可以导出原方程的非平凡解。可以看出这种方法最主要的思想，筒 两富之，就是寻找棚应的逸尉构系统积分鳃系统。s 。e 矗珏c o 和s 。l i 珏 6 0 】将这种方法成 功应用予露维的半线性波方程，并且得到了很多有意思的鳃。 首先介绍群分支方法的基本操作。我们知道，如果演化方程( 2 1 ) 的表达式中不 显含f ，也就是说除了函数“不会再出现含有f 的函数，那么这个时候我们知道方程( 2 1 ) 在f 的平移变换下不变。类似的，关于时间f 的平移不变量为 第二章非线性静l 散方程的分离变餐解 掰x = g ( 精群) 掰f = ，( x ，群) 利用群分支法，我们就有 以十呱龋觋 ( 2 2 ) 互( 舅，箨，e g ，瓦，瞰，蜀，瓯) = o ( 2 。3 ) 为了得到非线性偏微分方程( 2 1 ) 的解，我们令g 惦) = g ( x ) 办( 摊) ，并代入( 2 2 ) 中 求解f 瓯材) 我们就可以褥到 飓咖揪翮蜞中删舒一麝( 腑 将g 慨掰) 与f 嚣) 豹表达式代入方程( 2 。1 ) 中，经过一些麓单的运葬，我们就哥以将 ( 2 1 ) 约化为 霹= 岛( 并勰 ) = o 帮方程翡每颈都是叁关于善的函数帮关予豁的涵数豹乘积组成，一般两言，对于不溺 方程所得到的系数舔数般是不同的。在这个时候，方程( 2 i ) 的解就仪仅依赖于所 有关于x 的函数所张成的线性空间的维数，即就是依赖予这些系数醢数之阆的线性关 系。这个辩候我们霹以褥剿浚键方程( 2 1 的解为 脚) 誊静吲甜麝( 罗协 在这一章中，我们主要利用群分支方法来求解毒# 线性扩散方程 材f = ( 么囊) 移( 材) 掰至) x + q ( 嚣) ( 2 4 ) 豹解，其中蟊岛箨l 。对于嚣= l 或者么( 砖= l 的特殊情况蟊蒋均已做出了研究，请觅 参考文献 8 1 3 。 2 。2 非线性扩散方程的分离变量 在这节审我假丰要讨论非线性扩散方程( 2 4 ) 豹分离交量解箕中4 文盯l 。 翮焉上节所奔绍的群分支法，我销的籍酶就是罨我所有的函数 么( 破g x ) ，器 ) ，坌糖) 激及磊掰熬缝合，镬褥方程2 。莲) 具有这祥豹泛丞分离变量瓣 1 2 第二章非线性扩散方稷的分离变量解 脚) 兰g 静吲甜胎跏 我们令g ( x ，搿) = g ( x ) 矗国) ，则我们可以得到 m ，加砌) m ) ，其中祀) = 路一胎( y 坳“坝班 我们将g ( x ，甜) f x ，掰) 和玎( f ) 代入到( 2 。4 ) 中得到 册) = ( 匆、璐舻l 匆辨1 ( 擞、罢 ( 2 5 ) 因此力了求方程( 2 。4 ) 的函数分离变量解，我们就必须求出函数 么( x ) ，g ( 砖，d 缸) ，9 趣) 以及联材) 的表达式。由于苁刁) 不依赖于茗，所以( 2 。s ) 式关于苫求 偏导数，我们就有下式： ( 趣一) 搬擞村一1 + 文g 肘1 【办( 潞h 一1 ) 靠+ ( 磁麒) 弹】 + 匆以g j m ( 蹦州) 搿+ 印+ 1 ) ( d 向甩) 群】+ 如盯+ 2 乃( 肭疗) 袱+ 幽( 旱) 拜。o 2 6 可以看到( 2 。6 ) 式正如前商所说是关于石的函数和关予掰的函数的乘积组成，我们将根 据关于x 的函数所张成的线性空间的维数来讨论方程( 2 4 ) 的解。我们讨论下面的几 种情况： 2 2 1 情形i = o ，办= 玑 在这种情况下，( 2 6 ) 改写为 ( 以露) 溉d 甜门一1 + 彳j g 疗+ 1 印( d “疗一1 ) 群+ ( d 甜行) 站】 + 匆露乳慨( d 掰拜一1 ) 甜+ 积+ 1 ) ( 锄嚣) “】+ 如斛2 ”( m 搿) 栅十g 材( 垒) 甜：o 2 - 7 ) 为了决定函数d ) 和9 ) ，记r 表示由( 彳g 疗) 艇，以g 盯，彳g 疗鼠，彳g 以+ 2 和g 张成的空 间，我们根据r 的维数来讨论。 i ) d i m r = 1 此情形，显丽易见 譬= 土，么= 口l x 嚣+ 1 则由( 2 7 ) 我们褥到d 和q 满足： 一 第二二章非线性扩散方程的分离变量解 二二羔二二二二：= = = 二 口l 豁( d 翟一一1 ) 拜+ 口l 魏( d 矬”) 张+ 稚望3 鼯。o ， 在本文中唾，越，f = l ，2 ，3 ，4 表示任意常数。 旌) d i 擞i = 2 在这种情况下，彳和g 满足 a g ng x ；8 l g 七a 2 a g n 斗2 彳并g 疗+ l ：g + 6 2 彳g 行+ 2 ( 2 - 8 ) 将( 2 8 ) 代入到( 2 7 ) ，则函数d 和q 满足下列的0 d e 系统： 【( 口l ( 刀+ 1 ) + 6 1 ) ( 刀d 2 + 6 2 ) + 6 l ( 2 阿一1 ) + 2 d l 盯2 】甜胛一1 d + 【口l ( 2 行+ 1 ) + 2 6 l 】摊刀。k + 甜( 旦) “：o 豁 【胛口；( ，彳+ 1 ) + 口2 ( 6 2 ( 2 刀+ 1 ) + 2 胛2 ) + 6 2 ( 6 2 + 2 刀一1 ) 】掰坩一1 d + 【现( 2 刀+ 1 ) + 2 色】帮拧d 0 + 帮( 都嚣d i ) “材= 0 下面我们分四种情况来求解这个方程组： ( a ) 勉一似+ 1 ) 也屹雾一堕 撑 d = c l 豁“+ ( 1 一以) + 掰芦+ ( 1 一九) q = 妇a 一( 嬲l 趣垮p + 1 + q 箨 在本文中g ，f = l ，2 ，3 表示积分常数。这里 = 巾2 + ( 箨+ 1 ) 挤2 】 黟= 一( 嚣痒2 6 2 + | ) j i ：旬p l + 凇l + 照塑坠坳) ( b ) 6 2 而+ 1 ) 日2 疗2 ：一堡垒 刀 d = c l 却l 一疗+ 砧2 一肘一口2 q = c 2 龆一( 2 6 l + 2 麒唧+ 以1 ) 都2 一口2 1 4 ( e ) 。如：一印+ 1 ) 摇2 ，路2 一堡垒 疗 d = c 1 材1 一押+ z f 口2 一捍 q = c l ( 口2 1 ) 【( ”+ 1 ) d 1 + 6 1 】摊l n “一( 玎口1 + 6 1 ) 搿a 2 + c 2 材 ( d ) 6 2 ：一0 + l 如2 眈：一丛 p = e l 掰l 一撵+ 豁l 一，| l n 掰 q = c 2 掰一( 群i + 2 撑口1 + 2 魄) 掰l | 1 拓 迸) 。d i 糙f ：3 在这种情况下，么獠满足下列方程组 a x g 韵专= a t g 岱2 矗g ng x 鹾3 a g 封寺2 t a g n 、) 鼍x = b l g + b 2 a g “g x + b 3 a g n 冉2 将其代入( 2 7 ) ，我们有方程组： 【6 2 + 口2 ( 2 刀一1 ) + 2 ，7 2 】z ，胛一1 d + ( 1 + 2 口2 十2 阿) 甜村刀么= o 6 l + d l ( 2 疗一1 ) 】z ，一】d + 2 口l 甜丹四o + 材名) 摊；o 【6 3 + 群3 ( 2 野一1 ) k 坩一1 d + 2 q 掰胛+ 材 以d ) 群嚣絮。 下丽我们分两种情况来求解这个方程组： ( a ) 口2 一2 ：量，6 2 一( 口2 + 刀+ 1 ) d = “a q ：查l ! 兰譬掣豁g + 嚣+ c i 嚣 d 十胛一j 其中岱：一鱼娑螋至， 2 露+ 2 拜l 系数满足约束条件为毛= _ ( 2 狞+ 2 疆一1 ) + 印+ g ) 研+ 瑾一1 ) 】 饨一莩，兄掣电1 ) - 第二章非线性扩散方稳的分离变量解 参= 豁l 一棵 霪= q 鼯一犯l + 热殛融龆 系数瀵足约束条件恕一嘞。 羚。d i 黻r = 凄。 在这种情况下，蔗橼满足 0 鸯蚶) 瓣慧毯奄摊g 善每搽2 鸯g 撵+ 1 + 辑么誉摊+ 2 舷鬈 将冀代入( 2 ? ) ，我镌京下面煞方程缝： 0 礁+ 2 辨2 ) d + ( 2 稚+ 1 ) 馘阮= o ( 躁2 + 2 嚣一1 ) d + 2 帮域然e 妁+ 嚣2 一捧 d + 2 蛾串嚣2 圾鼙茹o 鳓箨嚣一2 移专嚣垒嚣： 我街掇据常数嚣f 的不圈取值祷谯来分裂求解： ( 鑫 。蛾喾( 嚣+ l d = 村礴 q = c t 矩一点摊搿小一搿+ 嚣一i 其中髓燃一堡妻兰芝， 2 艘十l 并虽系数满足如下约束睨= 一2 裾+ 2 氆一l x 姆= 一 蹬) 妇+ 撂一1 ) 。 ( b ) 掰l = 一( 蝶+ l x 席2 喾一1 ! = 兰竺：丝 移= 嚣 2 q 唧+ 罴辫彳 系数满懋瓣约柬条件是壤= 蹩趣兰一三，如= 兰。 第二章非线性扩散方税的分离襄媾解 ( e ) 。群l = 一0 + 1 ) ，砚= 一1 移= 据l 一嚣 g = l 挺一镪撵l 臻鞑 这耱情况下可以得患露 = 蛰。 2 。2 。2 情形甄= 筑螽= 1 在这种情况下， + 如娌数2 嚣书1 ) 壤+ 舷撵+ 2 域豁+ 苫级= 2 。譬) 霹情形l ，诧r 表示奁匆嚣 涮，是g 撵州，奄露数，鸯黠+ 2 弱g 张藏麴空麓，我嬲援据f 翁 维数来讨论。 主) 。d i m f = l 。 此情形，我们有 g ：羔，4 訾盯l x 弹+ l 则由( 2 。9 ) 我们得到d 和q 满足： 口l d k + 甜l 巩嚣+ q 撵盘o 。 i i ) 。d i m r = 2 。 在这种情况下，爿和g 满足下列系统 爿g 疗g x 嚣口l g + 口2 爿g 刀+ 2 一x 舒释+ 1 = 6 1 9 十6 2 彳g 嚣2 代入到( 2 9 ) ，刚溺数d 和q 满足下期的o 漉系统： ( 稳1 ( 聍+ 1 ) + 籼) ( 托哟+ 如) d + f 口1 ( 2 玎+ 1 ) + 2 务l 】巩+ 瓯蠲0 【露兰嚣撵1 ) 据2 吃( 2 筇l + 砖】移【爨2 2 释+ 1 ) + 2 阮】固+ 域静= 下瑟我们分四种情况来求鳃这个方程组： ( a ) 。如一( 羚+ 1 ) 露，。 - 、， 栅 d = q 孽妇+ q # 戈+ 撂2 冷 第二章j 线性扩散方程的分离变量解 q = 妇加一吃嬲l 魂弦( a + 群2 + q 这里a ： 如+ 铆+ 1 净2 】，露：兰型量垒型曼二攀二鱼删。 几 ( b ) 6 2 = 一( ”+ 1 ) 口2 d 2 o d = c l + p 口2 却 q = c l 盯2 ( 口l + ，娥l + 6 1 ) 材一( 凇l + 饥) f 口2 ”+ c 3 ( c ) 。6 2 o 口2 = o d = q p 一6 2 + c 2 瓣一6 2 材 q = 船一6 2 搿+ 幻一如站+ 3 其中z = 一( 删l + 现) ， 老= 鱼丝k 掣一m l 一6 l d ， ( d ) 6 2 = 甜2 = o d = 材 q = c i 一( d 1 十2 ，z d l + 2 6 1 ) 甜 i i i ) d i m r = 3 在这种情况下，彳和譬满足下列方程组 爿x g 抑+ l = d l g + d 2 彳g 玎g j + d 3 爿g 撑+ 2 ( 彳g 露) 默= 翻g + 6 2 爿g 摊g 工+ 6 3 名g 群+ 2 将其代入( 2 。9 ) ，我们有方程组： 6 l d + 2 据l d 0 + 绞= o 恐d + ( 2 露2 + 2 秘1 ) 玩= o 鑫3 d + 2 口3 0 0 + 巩撑= o 下翁我们分三种情况来求解这个方程组： ( a ) 。露芋一如 魄如o p = e l 矽南掰+ e 2 8 磊2 帮 l 叠 第二章非线性扩散方穰的分离变量解 坌：她垫丛a g a t 搿+ 塾生 。 锨 1 如 丝q p a 2 群+ e 3 il 其中也= 一口3 十( 毋一6 3 ) 2 ，恐一咱一( 8 ；一6 3 ) 2 系数满足约束条件为乞= 嚷鑫2 = 嘲一三 ( b ) 考一6 3 = 绣牙3 o d = c i p 一如帮+ 潍一露3 撵 q = 毒l p 一露3 髹+ 蠢2 船一# 3 材+ q 其帕。坠垒警苎趔 a ，七2 ：也 系数满足约束条件为篼= q ( 2 据2 + 2 ”+ 1 ) ，球2 = 一嚣一吉 ( e ) 。毋一幻 痒2 篼( 2 鼯+ 1 ) + 磅写l + 如2 + 疆2 3 + 毒4 嚣。 潋 。d i 黼f = 3 在这种情况下，彳和g 满足下列方程组 4 9 雕+ 1 ；d l g + 撑2 g 以g 茹+ 铅崖g 糟+ 2 ( 4 9 疗) 涨= 6 l g + 6 2 彳g 胛g 毒+ 6 3 彳g 糟+ 2 将其代入( 2 1 0 ) ，则函数允d 和q 满足下列的0 d e 系统： 轨 l + 掰l “警+ 争素档芒 对( 3 5 ) 关于耐闻f 求导数，有： 2 磊= 字坝等”，k ，等 + 玎! 丝兰塑 k 鲤 f 如t 警”扣老小蹴警，豁 押h “g 矗绣，“ 将( 3 5 ) ，( 3 6 ) ，代入( 3 2 ) ，我们就可以得到函数满足的约束条件 ( g 嚣) 默l + g 拧g 工；2 + g 挣+ 2 9 3 + 砸亭4 + 戳告5 = o 箕中磊，f = l ，2 ，3 ，4 ，5 都是搿的函数： 卵譬+ 兰办c 等，撑 驴断+ 1 ) 等+ 拧必“ + 扣删警+ 拧譬卜栅川 铲竽+ 圭壤警卜缈，甜 卵警+ 海卜詈 2 4 ( 3 6 ) ( 3 7 ) 第三章非线性波动方程的分离变量解 妒老+ 扣老，摊 接下来，我们分两种情况讨论： 3 2 1 口= 6 = 珊f o ，不失一般性，我们取b ：1 如果“= o ，( 3 3 ) 的形式变为： ( g 一) 材d 西群一1 + g 撑g 工【( 1 + 功( d 厅疗) + 办( d 办疗一1 ) 甜】 + g 棚办( d 办栉) “掰+ 醇( ：o 3 8 如果群0 ，函数满足下列的约束条件： ( g 月) 泓 = 识磊= l 巩群级= o i i i ) 0 这种情况下魏历9 满足下式： 亭3 + f 4 = o 情形二d i m r = 2 在这种情况下，我们取： 容易得到 第三章非线性波动方程的分离变量解 g 对g 工= 口1 9 + 口2 9 嚣+ 2 g 疗) 搿= 搿( 露+ 1 ) 露2 ( 群1 9 撑2 9 疗+ 2 ) 主) 。魂勰= 辑磊= 箨 d ，q 满足下捌方程组： 淞+ 1 ) 嚣2 + 2 雄舻l d + ( 2 州) 掣嚣域州詈) 玎= 。 【栉( 玎+ 1 ) 口三+ 2 2 d 2 + 玎( 栉一1 ) 】“栉一1 d 十【( 2 栉+ 1 ) d 2 + 2 栉】群疗三+ 掰辩十1 d o 甜= o 下面分溺种情况来求解这个方程组： ( a ) 舀2 州，蟛嘞一籍。 _ d = c 1 髭五+ c 2 都恐 q = 一刀口l c i 甜一封口2 + c 2 珊 ( 1 + 群) 拉2 善中麓= 嚣( 1 + 群2 ) ，恐= l 一岔2 一嚣( 1 + 球2 ) 搬= ( 1 + 嚣 痊l 一露1 8 2 一拜( 搿2 ) 群l 撂2 讷川砘一等，旷o d = c 1 掰磊l + c 2 甜孟2 1 一( 一+ 1 ) d 2 一c 3 摊 q = 一栉口l q + c 2 ( 玎+ 1 ) 口l 摊l n 甜一c 3 甜 ( c ) 咿一嘉砘旭垆一1刀+ l d = e l 甜2 十c 2 q = 一( ”+ 2 ) 疗l e l “刀+ 2 一，缎l c 2 甜力十c 3 甜 ( d ) 垆一熹心“ 嚣+ l 。 第三章非线性波动方程的分离变量解 q = 孚叩- 雄百一等响l + c 3 即 主薹) 。群= 侥纛= l d ，q 满足下列方程组： 嚣( 嚣+ ) 球l 窃2 d 2 撵争1 ) 嚣l d 羹+ 盆鑫= o 抑( 行+ 1 ) d ；d + ( 2 门+ 1 ) 蹦2 巩十仇甜= o 我们根据鬻数缉的不圃取值情况来分别求解： ( a ) 痒1 喾o ，口2 o d = q 毋弹+ q p a 2 “ q = 等珈鼙一警础嚣+ 岛 其中丑= 型学，恐= 型半 ， c = 4 玎一3 ，掰= c 糟十( 2 刀+ 1 ) ( h 一2 ) ，= 阴一( 2 胛+ 1 ) ( ，l 一2 ) ( b ) 。唾簪瓴鲤= 0 进) 如豁喾9 d = c 1 帮+ q q = q ( 2 胛+ 1 ) 口l 掰+ 咚 鬼d ，q 满足下列0 d e 方程组： 嚣嚣+ 1 ) 唆您l + 甓善+ 霉= 0 刀( 疗+ 1 ) 甜i 掌1 + 口2 f 2 + 一致( 9 + 鳓( 鼽：o 媳9 力厅 如果矬o ，菡数满足下列的约束条件： 吨鹩) 糕 g 鞘g 嚣鼍2 g 积专2 善专8 9 4 器= q 记r 表示眭i ( g 行) 材，g 疗g x ，g 肘2 ，船和投张成的空间。我们下面分四种情况对方程( 3 2 ) 来讨论，并得到丞鼗q d 熬形式。 情形一d i mr = 1 在这种情况下，我们取g = l ，为了决定反g ，我们再分别考虑下歹| 三秘愤形： 主) 掰嚣侥舞= 嚣 此时d ，q 满足下式： 积( 拜l 净聍一1 移一积+ 1 ) 冬嚣圆豁一羟豁秘嚣一1 d ) 甜 + 甜( d 掰，) 削槲一材l ( 刀+ 1 ) 垒十口l 群( 垒) 甜：o 甜雄 i i ) 。= 毽蠢= l 刀( 刀+ 1 ) d 一( 1 + 2 玎) d 0 + 妇0 h 一( ”+ 1 ) d 1 q + 口1 缆= o 迸) 。豁喾o 这种情况下魏d ，q 满足下式： 刀( 胛+ 1 ) g l 9 2 + 白+ d l 掌4 一q ( 雅+ 1 ) g s = o 情形= d 溉f = 2 。 在这种情