（应用数学专业论文）对称向量拟均衡问题解集的稳定性与本质连通区的存在性.pdf

摘要 摘要 本文研究对称向量拟均衡问题解集的稳定性。在约束集值映射满足一定连 续性与目标映射是锥真拟凸的条件下证明了对称向量拟均衡问题构成的空间 m 中，大多数( 在b a i r e 分类意义下) 对称强向量拟均衡问题的解集是稳定的， 并证明了m 中的每个对称向量拟均衡问题的解集至少存在一个本质连通区；研 究了对称集值向量拟均衡问题解集的稳定性。在约束映射满足一定连续性与目 标映射是锥一真拟凸的集值映射条件下，证明了对称集值向量拟均衡问题的解集 是稳定的，且每个对称集值向量拟均衡问题的解集至少存在一个本质连通区； 引入了含参的对称向量拟均衡问题以及含参的对称强向量拟均衡问题，并在拓 扑线性空间中，得到了这两种类型的向量均衡问题的解映射的上半连续性。 关键词：通有稳定性；本质连通区；对称强向量拟均衡问题；对称集值向量 拟均衡问题：含参对称向量拟均衡问题 a b s t r a c t a b s t r a c t t h es t a b i l i t yo ft h es o l u t i o n ss e tf o rs y m m e t r i cs t r o n gv e c t o rq u a s i e q u i l i b r i u m p r o b l e m sa r es t u d i e d i nt h es p a c eo fm ，c o n s i s t i n go fs y m m e t r i cs t r o n gv e c t o r q u a s i e q u i l i b r i u mp r o b l e m ss a t i s f y i n gs o m ec o n v e x i t ya n dc o n t i n u i t yc o n d i t i o n s ， m o s to ft h es y m m e t r i cs t r o n gv e c t o rq u a s i e q u i l i b r i u mp r o b l e m s ( i nt h es e n s eo f b a i r ec a t e g o r y ) h a v es t a b l es o l u t i o n ss e t ，a n dt h a tf o re a c hp r o b l e mi nm ，i t s s o l u t i o n ss e tp o s s e s s e sa tl e a s to n ee s s e n t i a lc o m p o n e n t ；h es t a b i l i t yo fs e to f s o l u t i o n sf o rs y m m e t r i cs e t - v a l u e dv e c t o rq u a s i e q u i l i b r i u mp r o b l e m si ss t u d i e d w h e nt h ec o n s t r a i n t sm a p p i n g ss a t i s f ys o m ec o n t i n u i t yc o n d i t i o n sa n dt h eo b j e c t i v e m a p p i n g sa r ep p r o p e r l yq u a s i c o n v e x ，i ti sp r o v e dt h a ts y m m e t r i cs e t - v a l u e d v e c t o rq u a s i e q u i l i b r i u mp r o b l e m sh a v es t a b l es o l u t i o n ss e ta n dt h a tt h es o l u t i o n ss e t f o re a c hs y r m n e t r i cs e t - v a l u e dv e c t o rq u a s i - e q u i l i b r i u mp r o b l e m sp o s s e s s e sa tl e a s t o n ee s s e n t i a lc o m p o n e n t ；p a r a m e t r i cs y m m e t r i cw e a kv e c t o rq u a s i - e q u i l i b r i u m p r o b l e m sa n dp a r a m e t r i cs y m m e t r i cs t r o n gv e c t o rq u a s i e q u i l i b r i u mp r o b l e m sa r e i n t r o d u c e d ，a n du p p e rs e m i c o n t i n u i t yo ft h em a p p i n go ft h es o l u t i o n ss e tt ot h e s e t y p e so fv e c t o re q u i l i b r i u mp r o b l e m si nt o p o l o g i c a lv e c t o rs p a c e si sp r o v e d k e yw o r d s ：s t a b i l i t yo ft h es o l u t i o ns e t s ；e s s e n t i a lc o m p o n e n t ；s y m m e t r i cs t r o n g v e c t o rq u a s i - - e q u i l i b r i u mp r o b l e m s ；s y m m e t r i cs e t - v a l u e dv e c t o rq u a s i e q u i l i b r i u m p r o b l e m s ；p a r a m e t r i cs y m m e t r i cw e a kv e c t o rq u a s i e q u i l i b r i u mp r o b l e m s 学位论文独创性声明 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得直昌太堂或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与 我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示谢意。 学位论文作者签名( 手写) ：签字日期：年月日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解南昌大学有关保留、使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权南昌大学可以将学位论文的全 部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描 等复制手段保存、汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研究 所将本学位论文收录到中国学位沦文全文数据库，并通过网络向 社会公众提供信息服务。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：导师签名： 签字日期：年月日签字日期：年月日 第1 章引言 第1 章引言 是否实系统会因受到系统本身以及环境的各种扰动而导致差异呢? 这是在 稳定性研究过程中必须得回答的基本问题。我们知道数学模型是实系统的扰动。 因此，对于数学模型的稳定性研究也是相当重要的。近十多年来，对解集的本 质连通区的研究已成为研究非线性问题稳定性的重要部分。对解集的本质连通 区的研究可以追溯到1 9 5 2 年，k i n o s h i t a t l 蚓入了连续映射不动点集本质连通区 的概念，在1 9 8 6 年，k o l h b e r g 和m e r t e n s 2 】用代数几何的方法证明了每个有限对 策的n a s h 平衡点集由有限个连通区组成，而其中至少有一个连通区，在其不易 受到对策赢利的干扰的意义下是本质的。 最近，关于非线性问题解集的稳定性的研究得到了进一步的深入，即研究 解集中的本质解和本质集，尤其是本质连通区。1 9 9 9 年，吴文俊与江嘉禾所提 出了本质解概念与m e r t e n s 提出的本质连通分支的概念，研究了a u b i n 与 e k e l e n d 提出的拟变分不等式的解集的稳定性，证明了这类拟变分不等式的解集 具有通有稳定性且本质连通区是存在的，并利用这一性质证明每一个广义对策 的均衡点集至少存在一个本质连通区。例如俞建，杨辉，罗群，向淑文，i s a c 等( 见 4 1 3 ) i j i , k t 各种非线性问题解集的本质连通区的概念，如i c yf a n 点，均 衡点，重合点，向量优化问题的弱有效解等。研究了各种非线性问题的解集的 通有稳定性以及解集的本质连通区的存在性。 1 9 9 9 年，y u 和l u o 在【3 】中，介绍了广义对策问题的解集的本质连通区的概 念。证明了在映射满足一定连续性和凸性条件下，每个拟变分不等式的解集至 少存在一个本质连通区。 2 0 0 0 年，g e o r g ei s a c 在文 4 中，证明了在赋范线性空间中，单值以及集值 映射下的h a r t m a n s t a m p a c c h i a 类型的变分不等式的本质连通区的存在性。 2 0 0 2 年，杨辉和俞建在文 5 中，研究了一类向量似变分不等式解集的稳定 性，证明了对此模型下的广义向量似变分不等式问题构成的空间m 中，其解集 是稳定的，并用新的方法证明了每个广义向量似变分不等式的解集至少存在一 个本质连通区。 2 0 0 2 年，y a n g 和y u 在文 6 】中，给出了向量值映射的k yf a n 不等式的一般 第1 章引言 形式，并证明了对满足一定连续性和凸性条件下的每一个向量值映射，都至少 存在一个k yf a n 不动点的本质连通区。 2 0 0 3 年，y | u 和x i a n g 在文 7 】中讨论了k k m 点集的稳定性。 2 0 0 3 年，罗群和刘幸东在文 8 中，先得到一类广义向量似变分不等式问题 的解的存在性定理，然后讨论了广义向量似变分不等式的解集的通有稳定性。 另外引入广义向量似变分不等式解集的本质连通区的概念，并证明满足一定连 续性和凸性条件下的广义向量似变分不等式的至少存在一个本质连通区。 2 0 0 4 年，罗群和俞建在文 9 中，引入了拟变分不等式解集的极小本质集的 概念并证明了m 中每个拟变分不等式的解集都至少存在一个极小本质集，还证 明了大多数拟一似变分不等式问题的解集是稳定的。且至少存在一个本质连通 区。 2 0 0 4 年，y u 和y a n g 在文 1 0 1 中讨论了集值映射的均衡点的稳定性，并证明 了均衡点全体至少存在一个本质连通区。 2 0 0 4 年，杨辉和俞建在文 1 1 】中研究了向量拟均衡问题，得到了向量拟均衡 解的一个存在性结果，证明了该问题解的稳定性，并把已获得的结果应用于一 般非合作对策( 包括广义对策和多目标对策) n a s h 均衡点集的本质连通区问题 的研究。 2 0 0 5 年，l i n ，y a n g 和y u 在文 1 2 中研究了向量拟均衡问题系统的解集的 存在性与本质连通区的存在性。 2 0 0 5 年，l i n 在文 1 3 】中讨论了在两个不同拓扑空间中多目标下广义对策的 弱p a r e t o - n a s h 均衡点集的存在性及本质连通区的存在性。 另一方面，在2 0 0 7 年，l o a n h 和pq k h a n 在文 1 4 中给出了广义的多 值向量拟均衡问题解集的上半连续性的充分条件。 2 0 0 7 年，l o n gx j ，h u a n gn j 和k l t e o 在文 1 5 】中研究了广义的强向 量拟均衡问题，讨论了强解的稳定性。 2 0 0 4 年，c h e nj c 在学位论文( 文 1 6 】) 中，讨论了广义拟变分不等式解 集的稳定性及本质连通区的存在性。设x 是一个h a u s d o r f f 拓扑线性空间，a 为 x 中的一个非空子集，设s ：a 专2 一是么到a 的集值映射，t ：aj2 j 是a 到x 的集值映射。广义拟变分不等式问题是：求i a ，满足 i )i s ( i ) ； 第l 章引言 i i ) 存在t r ( i ) ，使得r e 0 ，v x s ( x - ) 该文证明了满足一定的连续性和凸性条件的广义拟变分不等式问题构成的 空间m 中，大多数广义拟变分不等式问题的解集是稳定的，并证明了m 中每一 个广义拟变分不等式的解集至少存在一个本质连通区。同时推广了俞建在文【3 】 中的一些结果。 在文 1 7 1 中，c h e nj c 和g o n gx h 讨论了对称向量拟均衡问题解集的通有 稳定性与本质连通区的存在性。具体模型：设x ，y 是两个实b a n a c h 空间，ccx ， d cy 是非空子集：设z 是实h a u s d o m 拓扑向量空间，pcz 是满足i n t 尸a 的 闭凸点锥；设s ：c xd 斗2 c ，t ：c x d 专2 d 是两个集值映射，厂，g ：c x d 哼z 是 两个向量值映射。根据n o o r 和o e t t l i ( 文【1 8 】) ，对称拟均衡问题是找 ，歹) c x d ， 使得i s ( r ，罗) ，歹er ( i 歹) ，并且 f ( x ，歹) 一厂( i ，歹) 诺- i n t p ，v x s ( i ，y - ) ， g ( i ，) ，) 一g ( 2 ，歹) 售一硫p ，v y r ( 夏，歹) 。 该文证明了满足一定的连续性和凸性条件的对称向量拟均衡问题构成的空 间m 中，大多数对称向量拟均衡问题的弱解集的稳定性，并证明了m 中每一个 广义拟变分不等式的弱解集至少存在一个本质连通区。 第2 章预备知识与定义 第2 章预备知识与定义 首先，让我们回顾一下以下的概念； ( 1 ) 通有稳定性：记m 为满足一定连续性和凸性条件的映射族组成的空间， 并赋予距离p ，使其成为距离空间，记吵( “) 为u m 所对应问题的解集。若证 明沙是具有紧凸值的上半连续映射，则称其解集是通有稳定的。 ( 2 ) 本质解：设x 是拓扑空间，y ：m 一2 x ，u m ，x y ( “) 。称x 为u 的本质解，如果对x 在x 中的任一开邻域d ，存在u 在m 中的开邻域v ，使对 任意的u v ，有少( “) n o 囝；如果u 的每个解都是本质的，则称u 为本质的。 设u m ，工y ) ，y ) 中包含x 的所有连通子集的并集称为y ) 的一 个连通区。少( “) 有如下的连通区分解： 少 ) = y 口 ) ，其中人为一指标集，任取口人，i 口( u ) 为一非空连通紧 子集，且v 口，人，a ，( “) n 杪口( “) = o 。 设g 是其解集y ( “) 的非空闭子集，称g 为y ( 甜) 的本质集，若对包含g 的4 的任意开集d ，即存在万 0 ，使得对任意满足p ( u ，u ) 2 c , t ：c xd j2 d 是具有非空紧凸值的连续集 值映射，厂，g ：c x djz 是连续的，且对任意y d ，f ( x ，y ) 关于x 是p 一真拟 凸的；对任意x c ，g ( x ，y ) 关于y 是p 一真拟凸的) 。 对任意的= ( s ，互，石，g 。) e m ，u ：= ( 芝，互，五，g ：) m ，定义 p ( u i ，u 2 ) = s u p 扛( s ( x ，y ) ，是( 石，y ) ) + s u ph a r l ( x ，j ，) ，互( 工，y ) ) (jy)ecxd(x,y)ecxd + s u p 忱( 工，y ) - l ( x ，y ) l l + s u pl | g i ( 而y ) - g ：( 工，y ) 0 ， 工，y ) e c x d 工- y ) e 1 2 x o 其中啊，吃分别是c k ( c ) 与c k ( d ) 上的h a u s d o 艘量。 命题3 1 1，p ) 是完备的度量空间。 证明先证明( m ，p ) 是一个度量空间。由c ，d 是紧集以及m 中的s ，丁，厂，g 的性质，并且由扛，也是距离函数，从而j i i l ，吃连续，可知v u 。，“：m ，有 p ( u l ，u 2 ) 0 ，都存在，当甩，脚 n 时，有 p ( ，u 。) s 4 ，v n ，m n 。( 3 3 ) 从而对任意( 工，y ) e x d ，有 曩( 瓯( z ，j ，) ，& ( 工，j ，) ) 占4 ，h 2 ( r o ，y ) ，乙 ，y ) ) 占4 ，( 3 4 ) i i i ( x ，y ) - f ( x ，y ) l l 占4 ，0 9 。( 工，y ) 一( 石，y ) l l 占4 。 ( 3 5 ) 那么对任意给定的( z ，y ) c xd ， 瓯( 石，y ) ) 是c k ( o 的c a u c h y 序列， 识( x ，j ，) ) 是c k ( d ) 的c a u c h y 序列，以及 ，：，g ，y ) ) ， g 。o ，y ) 是z 中的c a u c h y i 芋 列。由引理2 3 知，空间( c k ( c ) ，h i ) ，( c k ( d ) ，) 与( z ，1 1 i i ) 都是完备的，从而存 在s ( x ，y ) c x ( c ) ，z ( 工，力c k ( d ) ，f ( x ，y ) z 和g ( x ，y ) z ，使得 疋( x ，y ) b s ( x ，y ) ，z ：i ( x ，y ) ! l 专丁( 石，y ) ，( 3 6 ) l ( x ，y ) j ! 坐专厂( x ，y ) ，( x ，y ) 煎。g ( 】， y ) 。 ( 3 7 ) 另外s ：c xd 专2 c ，t ：c x d 一2 d ，f ，g ：c xd _ z 。由于盔( ，) ，吃( - ，- ) 和 1 1 1 l 都连续，由( 3 4 ) 和( 3 5 ) 知，对任意给定的甩n 和g ，y ) c d ，令m 专o o ， 可得 向( 最( 墨y ) ，s ( x ，y ) ) 5c 4 ，红( z ( 五y ) ，r ( x ，y ) ) 占4 ，( 3 8 ) 0 ( x ，y ) - f ( x ，y ) l i 占4 ，l i g 。( z ，y ) 一g ( x ，y ) 8 0 ，存在( ，) 在c xd 上的邻域( ，) ，使 得鼻( s ( 工，j ，) ，s ( ，) ) 占，v ( x ，y ) ( ，) n ( c d ) 。因为 第3 章对称强向量拟均衡问题解集的稳定性及本质连通区的存在性 向( j ( x ，y ) ，s ( x o ，) ，o ) ) 啊( s ( x ，y ) ，鼠( x ，y ) ) + 扛( 最沁力，瓯( x o ，) ) + 盔( ( 而，y o ) ，s ( x o ，) )( 3 1 0 ) 由( 3 8 ) ，存在使得，对任意n n ，有 啊( s ( x ，y ) ，瓯( x ，y ) ) 6 4 ，v ( x ，y ) c x d 。( 3 1 1 ) 取定n n ，由鼠的连续性及引理2 5 ，存在( ，) 在c x d 上的邻域 n ( x o ，y o ) ，使得 盔( 最o ，j ，) ，( 而，) ) s 占4 ，v ( 工，y ) n ( x o ，y o ) n ( c x d ) 。( 3 1 2 ) i 主t ( 3 1 0 ) ，( 3 1 1 ) 及( 3 1 2 ) ，可得 啊( s ( 工，y ) ，s ( ，) ) 占，v ( x ，y ) n ( x o ，y o ) n ( c x d ) 。 因此s ( ，) 在c x d 上是连续的。类似地，可以证明r ，厂和g 都是连续的。 现在证明对任意给定的y d ，f o ，y ) 在x 处是p 一真拟凸的。对任意的 n 和任意的五，x 2 c ，v t 【o ，1 ，由( ，y ) 的p 一真拟凸性，可知 或者( + ( 1 - t ) x 2 ，y ) 五( 五，y ) ，或者l ( t x , + ( 1 一f ) 恐，y ) 正( 屯，y ) 。( 3 1 3 ) 由于z ( 如+ ( 1 一f ) 恐，y ) 且_ 厂( q + ( 1 一f ) 恐，y ) ，z “，y ) 山厂( ，y ) 以及 z ( 恐，y ) 山厂( 恐，y ) 。又由于生成偏序的凸锥p 是闭的，由( 3 1 3 ) 式可得 或者f ( t x i + ( 1 一t ) x 2 ，y ) 厂( 五，力，或者f ( t x l + ( 1 一f ) 恐，y ) f ( x 2 ，j ，) 。 因此，厂( ，y ) 是p 一真拟凸的。类似地，可证g ( x ，) 也是尸一真拟凸的。 由( 3 8 ) 与( 3 9 ) 式，对任意给定的n n ，以及任意的g ，y ) c xd ，有 矗( 只( x ，j ，) ，s ( x ，y ) ) s 4 ，吃( 乃( 石，少) ，r ( x ，j ，) ) f 4 ， 以及 忱( x ，y ) - f ( x ，j ，) 0 e , 4 ，0 邑( 五y ) - g ( x ，y ) | j e 4 ， 从而就有， s u p 啊( 咒( x ，) ，) ，s ( x ，y ) ) 占4 ，s u p 吃( 瓦( x ，y ) ，r ( x ，少) ) 占4 ， ( j y ) e c x d“y ) e c x d 以及 s u e 忧( 工，y ) - f ( x ，y ) | l 6 4 ， s u pl i g 。( x , y ) - g ( x , y ) l o ，使得 x ec ：d s ( 五刃) 气 co ，这里d o ，s ( 不歹) ) = 。离岛) 肛一口i i 。 由于p ( ( 鼠，z ，六，晶) ，( 墨l ，g ) ) 专0 ，( 矗，只) 兮( i ，刃，且s 在( i ，歹) 处是 上半连续的，则存在，使得对任意n n ，都有 s u p 盔( - 叉( 石，y ) ，s ( 而y ) ) 岛2 ， “y ) c x d 以及 s ( ，以) c 缸c ：d ( x ，s ( i ，习) t o 2 。 所以当厅n 时，可得 s ( ，只) c 缸c ：d ( x ，s ( ，儿) ) 气2 ) c 缸c ：d ( x ，s ( i ，歹) ) z o c0 。 由于矗鼠( x 。，y 。) ，而s ( i ，歹) ，瓯( x 。，y ) 都是紧集，由引理2 4 ，存在 _ 的 子序列 ) ，使得一x o s 何，歹) 。因为专i ，所以就有 z = 而s ( i ，歹) 。 ( 3 1 7 ) 类似地，可以证明 歹t ( y ，萝) 。 ( 3 1 8 ) 由于s 在( i ，罗) c xd 处是下半连续的，对任意的z s ( i ，歹) ，存在 a 。s ( ，儿) ，使得口。专z 。由尸( ( 最，z ，z ，g 。) ，( s ，丁，厂，g ) ) 一o ，则存在 瓯 的 子序列 最。) ，使得s u p ( 只。( x ，y ) ，s ( x ，j ，) ) l 后。另外，存在 ( ，只) ) 的子 j 。y ) e c x d 第3 章对称强向量拟均衡问题解集的稳定性及本质连通区的存在性 序列 ( ，) ) ，使得啊( 瓯。( x nk , 。) ，s ( 。，只。) ) 1 后。由此可知，存在 & ( 吒，) ，使得k 一0 0 ，存在万 0 ，当p ( u ，u ) 万时， 有五( 沙( “) ，y ( 甜) ) 0 ，存在u iu ，m ，使得 p ( u l ，u ) 万，p 2 ，u ) 0 ，使得对任意满足 p ( “，u ) 0 ，由( 3 2 1 ) 矢n ，存在u l ，, u 2 m ， 使得 p ( 材，u i ) 万2 ，p ，u 2 ) 占。2 ，j f ，( ) n u i = o ， f ，( “2 ) n = o 。 ( 3 2 3 ) 由“i ，u 2 m ，有u l = ( s ，石，f o ，g o ) ，u 2 = ( ，互，f o ，g o ) 。定义s ：c xd 专2 c 和t ：c xd 专2 d 如下： 第3 章对称强向量拟均衡问题解集的稳定性及本质连通区的存在性 以及 s ( z ，y ) = a ( x ，y ) s ( x ，y ) + i t ( x ，y ) s r x ，y ) ，v ( x ，y ) c x d ， ，( x ，y ) = 五( 工，y ) 正o ，y ) + l t ( x ，y ) t 2 ( x ，y ) ，v ( x ，y ) c xd ， 其栅咖丽蔫 v ( x ，y ) c x d 。 州，= 丽蔫， 易见，a 和都是x x y 上的连续函数，满足对任意的“y ) 彳x 】，有 旯( x ，y ) 0 ，( x ，y ) 0 ，旯( x ，力+ ( x ，y ) = 1 。注意至0 墨( x ，y ) ，最( x ，力，互( x ，少) 与 互( z ，y ) 都是连续的集值映射， 由引理3 2 2 ，引理3 2 3 可知 ”。= ( s ，r ，五，g o ) m 。而由引理3 2 1 ，可知 扛( s ( 工，y ) ，s 。( 工，y ) ) x ( x ，j ，) ( 7 l l ( s ( x ，y ) ，s ( 工，y ) ) + ( x ，y ) ( s ( 工，y ) ，叉( x ，y ) ) 盔( s ( x ，y ) ，s ( j lj ，) ) + | l i ( s ( x ，y ) ，( 石，y ) ) ，v ( j l y ) c x d 以及 ( 丁( x ，y ) ，r 。( x ，y ) ) 见( x ，y ) ( h 2 ( t ( x ，y ) ，石( x ，y ) ) + ( x ，y ) h 2 ( t ( x ，y ) ，互( x ，y ) ) 吃( 丁( x ，y ) ，巧( x ，少) ) + ( 丁( z ，力，五( x ，y ) ) ，v ( x ，力c x d 结合( 3 2 3 ) 得 p ( 甜，“) =s u p ( s ( x ，y ) ，允( x ，y ) s ( x ，夕) + ( x ，y ) 受( x ，) ，) ) u ，y ) e c d + s u p ( 丁( x ，y ) ，x ( x ，y ) t i ( x ，y ) + ( 工，y ) t 2 ( x ，y ) ) j ，y ) e l 口 + s u pi v o ( x ，y ) - f o ( x ，y ) | i + s u p i g o ( x ，y ) - g o ( x ，y ) ( j y ) e c x d( j ，y ) e c d s u p扛( s ( 工，y ) ，s ( x ，y ) ) +s u p啊( s ( 石，y ) ，- 叉( z ，y ) ) x , y ) e c x dj y ) e c x d + s u ph z ( t ( x ，y ) ，互( 石，y ) ) + s u ph 2 ( t ( x ，y ) ，互( x ，y ) ) u y ) e c x d “y ) e c x d = p ( u ，u i ) + 户( “，u 2 ) 万2 + 6 。2 = 万。 由( 3 2 2 ) ，可得 少( “。) n ( uu u ：) a 。( 3 2 4 ) 女口果( 工，y ) u ，贝0 旯( x ，y ) = 1 ，( z ，y ) = 0 ，s ( 工，y ) = s ( 工，y ) ，z ( x ，y ) = 石( x ，y ) ， 第3 章对称强向量拟均衡问题解集的稳定性及本质连通区的存在性 如果( 工，y ) 少( “。) ，贝l j x e s ( x ，y ) ，y e t ( x ，y ) ，r l ( x ，y ) ( “，( i ，歹) ) mx ( c x d ) ，这 里u 。= ( 瓯，乙，e ，q ) ， u = ( s ，t ，f ，g ) 。 由于( ，咒) 少( “。) ， 所以有 & ( ，只) ，以瓦( ，儿) ， 以及 f ( x ，儿) 一f ( ，儿) 旺- i n t p ，v x 最( ，儿) ， ( 4 1 ) g ( ，y ) 一g ( 吒，儿) 旺一i n t p ，v y 瓦( 吒，儿) 。 ( 4 2 ) 对s ( i ，y ) 在c 上的任意开邻域0 ，由于s ( i ，y ) 是紧的，由【2 4 矢n ，存在 e o o ，使得缸c ：d ( 工，s ( i ，y ) ) e o co ，这里d ( x ，s ( 瓦歹) ) = 。嚣y ) i x - - a t l 。 由于p ( ( s ，乃) ，( s ，丁) ) 。0 ，( ，虼) 寸( i ，歹) ， 以及s 在( i ，歹) 处是上半连 续的，则存在，使得对任意n n ，都有 s u pj l z l ( 瓯( x ，y ) ，s ( x ，y ) ) 岛2 ， j y ) e c x d 以及 s ( ，儿) c x c ：d ( x ，s ( g ，歹) ) e o 2 j 。 第4 章对称集值向量拟均衡问题解集的稳定性及本质连通区的存在性 所以当r l n 时，就有 最( ，只) c 扛c ：d ( x ，s ( ，以” 毛2 ) c 仁f t c ：d ( x ，s ( 孑，歹) ) 岛 c 7 0 。 由于s 。( ，儿) ，并r s ( - 夏，y - - ) ，墨( ，) 是紧的，由引理2 4 ，存在 ) 的子序列x n k ，使得一而s ( i ，y - - 3 。又由一z ，可得 i = s 何，刃。( 4 3 ) 类似地，我们可以证明 y一r(i，歹)。(44) 由于s 在( i ，刃c x d 处是下半连续的，对任意的x s ( i ，歹) ，存在 q s ( ，只) ， 使 a n 专x 。由户( ( 最，z ) ，( 墨r ) ) 一0 ，则存在 瓯) 的子序列 瓯。 ， 使得 s u p j j l i ( 瓯。( x ，y ) ，s ( x ，y ) ) 1 k 。 ( j y ) e c x d 另外， 存在 ( ，儿) ，的子序列 ( ，) ， 使得 囊( 瓯。( ，儿。) ，s ( 。，虬) ) l k 。 那么，存在a t & ( ，) ，使得i l 口t - - a n kl 1 k ，这里 是帆) 的 子序列。由于 陋乏一x i i - - k o 时， 我们 有以乏u c x ) ，u ( i ) 以及u ( 歹) 。由( 4 8 ) 和( 4 9 ) 知，当尼 - - k o 时， 有 ，( 口t ，) c f ( x ，y ) + c b ， ( 4 1 0 ) 以及 ，( ，) cf ( y ，力+ c b 。 ( 4 1 1 ) 结合( 4 7 ) ，( 4 1 0 ) ， 以及( 4 1 1 ) ， 可以得到 f ( 口- ，) 一f ( ，) c i n t p ， ( 4 1 2 ) 这与( 4 。5 ) 式矛盾。 因此， ( 4 6 ) 成立。 由x s ( i ，歹) 的任意性，知对任意的石s ( y ，歹) ，有 f ( x ，刃一，( i ，歹) 旺一i n tp ，( 4 1 3 ) 类似地，我们可以证明，对任意的y t ( y ，夕) ，有 g ( y ，y ) - g ( y ，歹) 岱- i n t p 。 ( 4 1 4 ) 由( 4 3 ) ，( 4 4 ) ，( 4 1 3 ) ，以及( 4 1 4 ) ，可以得到 ，( z ，歹) ) g r a p h ( 驴, ) 。因 此， g r a p h ( , ) 是闭的。从而| i c ，是上半连续的。 显而易见，对任意u m ， ( u ) 也是闭的。 由c x d 的紧性，可知y 是具有紧值的集值映射。从而， 杪：m 专2 d 是u s c o 映射。 引理4 1 2u 为本质的当且仅当集值映射沙在u 点是下半连续的。 第4 章对称集值向量拟均衡问题解集的稳定性及本质连通区的存在性 定理4 1 1 存在m 中的稠密剩余集q ，使对任意的u q ，“为本质的。 证明由于m 是完备的，从而是b a i r e 空间，由引理2 1 ，引理4 1 1 和引理 4 1 2 ，即得。 定理4 1 1 与【1 6 中的引理1 5 表明，对任意的”q ，任取占 0 ，存在万 0 ， 当p ( u ，甜) 万时，有| j i 缈 ) ，少( 甜) ) 占。即由甜决定的对称集值向量拟均衡问题 的解集是稳定的。 4 2 ( s v q e p ) 解集的本质连通区 本节将证明，对每一材m ，其解集缈 ) 至少存在一个本质连通区。 设f ，g ：c xd 一2 z 具有紧值的连续映射。 对每一固定的y d ，f ( x ，y ) 关于x 是p 一真拟凸的；对每一固定的x c ， g ( x ，力关于y 是p 一真拟凸的。 记满足条件的约束映射组成的集合如下： m = ( s ，即：s ：c xd 一2 c ，t ：c xd 专2 d 是具有非空紧凸值的连续的 集值映射) 。 设“e m ，力 ) ，少似) 中包含点( x , y ) 的所有连通子集的并集称为 g ( u ) 的一个连通区。注意到吵似) 的连通区都是y ) 的连通闭子集，由c x d 是 紧空间，可知所有的连通区都是连通的紧子集。吵 ) 中分别包含相异两点的连 通区，或者重合或者不相交，故沙 ) 被分解为一簇两两不相交的连通区的并集。 即吵 ) 有如下的连通区分解： y ) = y 沙。 ) ， 其中人为一指标集，对任意口人， ) 为一非空连通紧子集，且对任意 口，人，口，y 口 ) n 少口 ) = g 。 下面我们讨论( s v q e p ) 的本质连通区的存在性。 类似 2 5 1 q b 定理2 9 的证明， 可以得到如下引理。 引理4 2 1 对每个t , m ，杪( “) 中至少存在一个极小本质集。 引理4 2 2 对每个“= ( t ，s ，f ，g ) m ，少( ”) 每个极小本质集都是连通的。 第4 章对称集值向量拟均衡问题解集的稳定性及本质连通区的存在性 定理4 2 1 对每个砧m ，( “) 中至少存在一个本质连通区。 证明 由引理4 2 1 与引理4 2 2 ，y ) 中至少存在一个连通的极小本质集 g ，而g 必包含于缈 ) 的某个连通区 ) ，由g 是本质的及定义，可知 ) 就是吵 ) 的本质连通区。 第5 章含参对称向量拟均衡问题解集的上半连续性 第5 章含参对称向量拟均衡问题解集的上半连续性 目前研究的向量均衡问题，研究其解的稳定性问题是一个重要课题，而研 究含参的向量均衡问题解集的稳定性是另一个重要的课题。到目前为止，有许 多人研究了含参向量均衡问题。例如，a n h 和k h a n h 在【1 4 ，【2 8 ，【2 9 】中研 究了含参多值向量均衡问题解集的稳定性，以及含参多值向量拟均衡问题解集 的稳定性。l i ，c h e n 与【3 0 】证明了有限维空间下的含参多值向量拟变分不 等式解映射的上半连续性，以及变分不等式解映射的下半连续性。k h a n h 与 h l u 【3 l j 在h a u s d o r f f 拓扑线性空间下，研究了向量拟变分不等式解映射的上半 连续性。k h a n h 与l u u l 3 2 1 研究了含参的标量化的多值拟变分不等式解映射的 上、下半连续。c h e n g 与z h u t 3 3 】讨论了在有限维空间中，弱向量变分不等式解映 射的上、下半连续性。g o n g 3 4 】讨论了单调向量均衡问题弱有效解映射的连续性。 在这一节中，我们在拓扑线性空间中，讨论含参对称向量拟均衡问题及含 参的对称强向量拟均衡问题解映射的上半连续性。 设x 和】，是实h a u s d o r f f 拓扑向量空间，设矽是一拓扑空间，特别地， 设c 和d 分别x 和y 的非空紧凸子集。设z 是实h a u s d o r f f 拓扑向量空间， p c z 是具有i n t p 1 2 j 性质的闭凸点锥。根据f u l 2 2 1 ，对称向量拟均衡问题( 简 称，s v q e p ) 是，找到( i ，歹) c x d ，使得其满足i s ( i ，歹) ，y r 何，歹) ，并 且对任意x s ( i ，歹) ，y 丁( 夏，歹) ，都有 厂o ，刃一厂( i ，刃诺一i n t p ， g ( i ，y ) 一g ( i ，歹) 萑一i n t p 。( 5 1 ) 设r 是矿的非空子集。设s ：c xd x fj2 c 和t ：c xd xf 专2 d 是两集 值映射，给定，g ：c xd xfoz ，则含参的对称向量拟均衡问题( 简称， ( p s v q e p ) ( m ) ) 是找( 只歹) c xd ，使其满足i s ( i ，歹，p ) ，歹丁( i ，歹，q ) ，且 对任意的x s 何，歹，p ) ，y 丁( i ，歹，q ) ，都有 ( 石，y ，p ) 一厂( i ，y ，p ) 仨- i n t p ， g ( i ，y ，q ) 一g ( i ，只g ) 萑一i n t p 。( 5 2 ) 引理5 1 1 2 2 j 假如 i ) s ：c x d 一2 c 和t ：c x d 专2 d 是连续映射，对每一对( z ，y ) c xd ， s ( x ，y ) 和r ( x ，y ) 都是非空的闭凸子集；