（通信与信息系统专业论文）互补网络的病毒传播研究.pdf

西南科技大学硕士学位论文第1 页 摘要 互补结构网络以互联网为主体结构，以播存网络为次级结构，来实现信 息共享的理想状态。近年来复杂网络已成为研究热点，并广泛应用于多个领 域，其中，人们重点关注网络结构的复杂性和网络行为间的关系。鉴于此， 本文用复杂网络的研究思想和方法，来研究互补网络上的病毒传播问题，对 互补网络的网络控制和网络安全等方面的建设，提出有效的解决方案。 根据实际网络拓扑结构，建立合适的网络模型是复杂网络研究的基础。 因此，在综合分析互补结构网。络的特点后，建立了互补网络的播存结构网络 模型。根据网络中个体的普遍特性，把网络中个体分为资源端节点集团、客 户端节点集团和广播中心节点，并设计了模型生成算法。在不同的网络模型 参数所生成的网络结构拓扑结构上，根据网络度分布、聚类系数和网络平均 距离长度三种网络统计参数有效分析该结构的特点。由模型统计特性分析表 明资源端节点集团连接服从泊松分布，客户端节点集团连接服从幂律分布。 复杂网络上病毒传播模型主要采用早期研究人类传染病的传播模型。因 此，在了解整个网络拓扑结构信息条件下，分别设计了基于s i s 、s i r 模型 的病毒传播仿真算法。在具体的网络模型参数所生成的网络拓扑结构上，首 先采用s i s 模型研究了广播中心节点对整个互补网络病毒传播的影响；其 次，根据文中设计的病毒传播仿真算法，来分析客户端网络和资源端网络上 的病毒传播规律及临界值问题；最后，分析了不同传播速率和不同初始感染 比例对互补网络上病毒传播的影响。在互补网络中，上述研究可为网络控制 和网络安全等方面的进一步理论研究和实际应用提供了有效的支撑。 关键词：互补网络播存结构传播阀值病毒传播模型 a b s tr a c t w i t ht h ei n t e r n e ta n db r o a d c a s t s t o r a g en e t w o r ka st h em a i na n ds e c o n d a r y s t r u c t u r e ，r e s p e c t i v e l y , c o m p l e m e n t a r ya r c h i t e c t u r en e t w o r kr e a l i z e t h ei d e a l s t a t eo fi n f o r m a t i o ns h a r i n g i nr e c e n ty e a r s ，t h ec o m p l e xn e t w o r kh a sb e c o m ea r e s e a r c hf o c u s ，a n dw i d e l yu s e di nm a n yf i e l d s ，w h i c hp e o p l em a i n l yc o n c e r no n t h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nc o m p l e x i t yo fn e t w o r ks t r u c t u r ea n dn e t w o r k b e h a v i o r i nv i e wo ft h i s ，c o n s i d e r i n gt h et h o u g h t sa n dm e t h o d so fc o m p l e xn e t w o r k ，t h i s p a p e rm a i n l yr e s e a r c h e st h ep r o b l e mo fv i r u ss p r e a d ，a n dp u t s f o r w a r da n e f f e c t i v es o l u t i o nf o rt h ea s p e c t so fn e t w o r kc o n t r o la n dn e t w o r ks e c u r i t y , e t c a c c o r d i n gt h et o p o l o g ys t r u c t u r eo fa c t u a ln e t w o r k ，t h ee s t a b l i s h e dp r o p e r n e t w o r km o d e li sf o u n d a t i o no fc o m p l e xn e t w o r k t h e r e f o r e ，u n d e rt h ep r e m i s e o fc o m p r e h e n s i v ea n a l y z i n gn e t w o r kc h a r a c t e r i s t i c s ，t h eb r o a d c a s t 。s t o r a g e n e t w o r ks t r u c t u r em o d e lo fc o m p l e m e n t a r yn e t w o r ki se s t a b l i s h e d c o n s i d e r i n g t h ec o m m o nc h a r a c t e r i s t i c so fn e t w o r ki n d i v i d u a l s ，t h en e t w o r kc a nb ed i v i d e d i n t oc d ，p w e b n o d e s g r o u p ，c l i e n t - n o d e s g r o u p ，b r o a d c a s t c e n t e rn o d e , a n d m o d e lg e n e r a t i o na l g o r i t h m sc a nb ed e s i g n e d f o rt h eg e n e r a t e d n e t w o r k s t r u c t u r et o p o l o g yc o r r e s p o n d i n gf o rd i f f e r e n tn e t w o r km o d e lp a r a m e t e r s ，t h e s t r u c t u r ec a nb ea n a l y z e de f f e c t i v e l ya c c o r d i n gt ot h r e es t a t i s t i c a lp a r a m e t e r so f d e g r e ed i s t r i b u t i o n ，c l u s t e r i n gc o e f f i c i e n ta n d n e t w o r ka v e r a g ed i s t a n c el e n g t h i ti ss h o w nt h a tc o r e w e b n o d e s g r o u ps u b m i t st op o i s s o nd is t r i b u t i o n ，a n dt h e c ，f 2 刀t t l d d e s g r o u p s u b m i t st o p o w e r 1 0 w d i s t r i b u t i o n b ym o d e l s t a t i s t i c a l c h a r a c t e r i s t ic s v i r u ss p r e a d i n gm o d e lf o rc o m p l e xn e t w o r k sm a i n l yu s et h em o d e lo f h 啪a ni n f e c t i o n t h e r e f o r e ，u n d e rt h ep r e m i s eo fu n d e r s t a n d i n gt h e e n t i r e n e t w o r kt o p o l o g yi n f o r m a t i o n ，t h i sp a p e rd e s ig n st h es i m u l a t i o na l g o r i t h mb a s e d o nt h em o d e lo fs i sa n ds i r ，r e s p e c t i v e l y i nt h et o p o l o g ys t r u c t u r ef o rs p e c i f i c n e t w o r km o d e lg e n e r a t e db yp a r a m e t e r s ，f i r s t l y , t h ei n f l u e n c eo fc o m p l e m e n t a r y n e t w o r kv i r u s e ss p r e a db yb r o a d c a s tc e n t e rn o d ei sr e s e a r c h e du s i n gs i sm o d e l ； s e c o n d l y , a c c o r d i n gt ot h ea l g o r i t h md e s i g n e di n t h i sp a p e r ，t h ep r o b l e m so f v i r u ss p r e a dr e g u l a r i t ya n dm a r g i n a lv a l u ei su s e dt oa n a l y s i sc l i e n ta n d r e s o u r c e n e t w o r kb a s e do nv i r u ss p r e a dm o d e l ；a tl a s t ，w ea n a l y z et h er a t e so fd i f f e r e n t p r o p a g a t i o nr a t ea n di n i t i a li n f e c t i o nr a t i o so fc o m p l e m e n t a r yn e t w o r kb yt h e i n f l u e n c eo fv i r u ss p r e a d i nc o m p l e m e n t a r yn e t w o r k s ，t h ea b o v es t u d i e sc a n p r o v i d ee f f e c t i v es u p p o r tf o rt h ef u r t h e rt h e o r e t i c a lr e s e a r c ha n dp r a c t i c a l a p p l i c a t i o ni na s p e c t so fn e t w o r kc o n t r o la n dn e t w o r ks a f e t y , e t c k e y w o r d s ：c o m p l e m e n t a r yn e t w o r k ；b r o a d c a s tm e m o r ys t r u c t u r e ； t r a n s m i s s i o nt h r e s h o l d ；v i r u ss p r e a d i n gm o d e l 西南科技大学硕士学位论文第1 页 1 绪论 1 1 引言 随着网民和网页数量的急剧增加，互联网出现了“带宽瓶颈 、“信息垃 圾 、数字鸿沟、安全性等众多问题。互补结构网络的播存结构通过镜像并 广播互联网上特定的主流资源或高热度信息资源，广播与存储技术相结合， 存资源于客户端，实现信息共享的零距离互动。结合利用互联网与广播网的 优势，解决带宽瓶颈、支持用户无限增长、进行信息过滤，消除垃圾信息， 实现真正的资源低成本共享。 互补网络可以看作是一个复杂系统，可以利用复杂网络研究工具的思想 和方法对其进行研究。复杂网络是近年来的一个研究热点，是研究众多复杂 系统的一个有力工具，吸引了多个行业的众多科研工作者的广泛关注。人们 往往在分析具体系统的特点后，根据系统的实际特性建立该系统的网络模 型，在模型上研究分析其统计特性、网络同步、传播动力学等问题，对实际 问题做出合理解释并提出合适的解决办法。 1 2 互补结构网络简介 美国科学家a l b a r a b a s i 等人采用统计物理学的实验方法发现，万维网 的连接数服从幂律分布，因此互联网也就演变为无尺度( s c a l e f r e e ) 网络。普 通网民对网站的点击率呈现明显的“集聚”特性。因此，只需把数千个热门 网站的资源整合起来，就可以满足绝大多数人日常所需的主流资源。由此， 提出了双结构互联网的思想，以互联网为主结构，以播存网络为次结构，主 结构采用t c p i p 双向互联技术，次结构采用单向广播与存储结构。通过映 射机制，将主结构的主流资源移植到次结构上，通过次结构的单项广播与存 储，送达用户，用户按需取用。从而，使主流资源得到分流，主结构变的“轻 松 。图卜1 演示了互补结构网络示意图。 中国工程院院士李幼平阐述了互联网次级结构播存网格的概念、结 构和示例，以帮助克服现有互联网的数字鸿沟问题，为营造“存文化于民间 的环境、实现信息共享的历史性跨跃，提供了一种新思路。更进一步提出了 双结构互联网的思想、概念和框架结构，引起了科研工作者的广泛关注并 进行了相关的一些研究，取得了很好的成绩。马建国，邢玲等人研究了广播 西南科技大学硕士学位论文第2 页 型网格的用户兴趣图谱，建立了u c l 解析、数据流控制和u c l 应用机制， 图1 - 1 双结构互联网示意图 fig l 。1s c h e a a ticdia g r a mo fd u ai 。s t r u c t u r et h ein t e r n e t 提出了建立基于u c l 的用户兴趣图谱的方法，分析了信息的媒体结构与本 体结构的特点。马卫东，李幼平等人分析研究了不对称通信环境中动态广播 调度算法旧1 ，分别讨论了广播系统中的p u l l b a s e d 的按需广播和p u s h b a s e d 的 主动广播的动态调度算法，性能参数指标及其性能特点。文献搭建了播存 电视的实验室系统平台，证明了在有线电视广播网平台上构建播存电视系统 的可行性与有效性。文献1 指出电视系统不应停留在数字化基础上，而应以 此为基础向智能化w e b 集成化方向发展，定义了t v o d 的概念，并详细讨论 了t v o d 概念系统的关键技术。为了在繁多的中文网页中找到用户感兴趣的 资源，文献1 提出了基于u c l 的“二阶过滤法 ，通过对资源内容添加u c l 语义，对网页的语义矩阵进行计算，帅选出用户感兴趣的内容。文献 ，在分 析了互补结构网络的特点后，在实验室建立了一个互补结构网络，定义了播 存结构的分层传输协议，开发设计了播存结构收、发两端的软件系统。 互补结构网络的相关技术还有待于进一步研究与完善，而它的安全性是 一个不得不考虑的问题，对于它的发展与推广具有十分重要的意义。 1 3 网络病毒传播研究现状 近年来研究复杂网络兴起了热潮，人们广泛关注的是网络结构的复杂性 和网络行为之间的关系。要研究不同的复杂网络在结构上的共同特性，首先 西南科技大学硕士学位论文第3 页 要有一种描述网络的统一的工具，而这种工具就是图。任何一个网络都可以 看做是由一些节点和一些线按照某种方式连接在一起而构成的一个系统。 在以前对复杂网络传播动力学的研究中，科学家大多把精力放在传播规 律的研究上，却没有太多的考虑网络拓扑结构对传播特性的影响。由此提出 了多种复杂网络病毒传播模型，其中研究的最成熟最彻底的有s i ( s u s c e p t i b l e - - , i n f e c t i o u s ) 模型；s i s ( s u s c e p t i b l e 专i n f e c t i o u s 寸s u s c e p t i b l e ) 模型，在s i s 模型中，每个节点只能处于两种离散状态中的一种，一种是健 康易感态，另一种是已感染态；s i r ( s u s c e p t i b l e i n f e c t i o u s r e m o v e d ) 模 型，在s i r 模型中，节点可以处于三种离散状态中的一种，除易感态和已感 态外还有一种叫做免疫态，它既不会再被感染，也不会感染其他节点，相当 于退出了传播系统。 w a t t s 和s t r o g a t z 首次提出了小世界网络模型，。同时在该文章中也阐述 了小世界网络中的病毒传播问题，研究发现相比规则网络病毒在小世界网络 中的传播要更容易更迅速。后来，n e w m a n 和w a t t s 在一篇研究小世界性质 的文章中阳，对能够体现小世界特性的社会网络中疾病传播问题进行了深入 的研究。提出了w s 模型的一种改进模型一n w 模型，在n w 模型中，原有 边的连接并不断开，而是随机的添加一些新的连边。n e w m a n 和w a t t s 把基 于n w 网络的传播率为l 的疾病传播问题等价为座逾渗( s i t ep e r c o l a t i o n ) ， 通过分析给出了逾渗阀值的近似解。m o o r e 和n e w m a n 后来又对此工作进行 了拓展“，研究计算得到了逾渗阀值的精确解，还研究了传播率非1 情况下 可以等价为键逾渗( b o n dp e r c o l a t i o n ) 模型。更多关于小世界网路疾病传播 问题的研究，可参看文献。“1 。 p a s t o r - s a t o r r a s 和v e s p i g n a n i 对无标度网路上基于s i s 模型的病毒传播 问题做了研究1 ，研究发现不存在一个大于零的传播临界值，表明在无标度 网络中不论病毒传播率多么小，病毒都可以传播并长久存在。m o r e n o 等人 分析了基于s i r 模型的无标度网络中的疾病传播问题n ”，同样发现不存在传 播阀值，并且在网络中长期存在一小部分染毒个体，而无法完全清除。m a y 和l l o y d 首先研究了有限规模的无标度网络上的疾病传播问题n ”，研究结果 表明对于规模有限的无标度网络存在非零的传播阀值。在非常小的传播速率 下，疾病将不会传播开来。在p a s t o r - s a t o r r a s 和v e s p i g n a n i 发表的文章中n ”， 对此做了进一步的深入研究，得到了非零传播阀值的量化结果，发现该阀值 非常小且随着网络规模的增长而趋于零。e g u i l u z 和k l e m m 构建了一个具有 高度集群性和某种关联特性的无标度网络模型，并对该网络模型上的疾病传 西南科技大学硕士学位论文第4 页 播问题做了研究，研究结果发现传播阀值相比之前的研究结果有所增大，表 明在无标度网络上网络的高度集群特性对于疾病的传播起到了抑制作用”。 以上介绍了复杂网络传播动力学的研究现状，互补结构网络也是一个复 杂系统。根据复杂网络研究工具的思想和方法，可以把网络抽象为一些节点 和边连起来的一个图。根据互补网络的特点，接连互补网络模型，设计模型 的生成算法。依据该算法的运行数据，在具体的病毒传播模型算法下，结合 复杂网络传播动力学的一些研究结构，仿真分析互补网络上的病毒传播规律 及临界值问题等。 1 4 课题研究的目的和意义 1 4 1研究目的 互补结构网络理念的提出对互联网和广播网都具有深远的发展意义，是 真正意义上的实现信息文化共享。相关科研工作者已对互补结构网络的核心 技术做了相关研究，并在小范围有了一定的实际应用。但对于互补结构网络 拓扑结构特点以及网络上病毒传播规律的研究还相对较少。 本文的研究目的是：分析互补结构网络拓扑结构特点，建立播存结构网 络模型并设计网络模型生成算法。了解计算机网络病毒传播机理、规模和传 播模型，设计在了解网络拓结构信息的条件下，分别设计基于s i s 、s i r 病 毒传播模型的仿真算法。在给定网络模型参数下生成的网络拓扑结构上，分 别采用s i s 、s i r 病毒传播仿真算法，研究互补结构网络上的病毒传播规律。 1 4 2 研究意义 要理解互补网络结构和网络行为之间的关系，并进而考虑改善网络行 为，就需要对实际网络的结构特征有很好的了解，并在此基础上建立合适的 互补网络结构模型，从而更深刻的理解网络结构特点。因此要对互补结构网 络有进一步的认识和研究，就必须建立合适的网络结构模型，在该模型上做 进一步的理论研究。 根据网络拓扑结构分析病毒传播规律、建立数学模型和进行计算机仿真 是研究病毒传播动力学的主要手段。本文重点研究了广播中心节点对病毒传 播的影响；客户端网络与资源端网络的病毒传播临界值问题；不同初始感染 比例以及不同病毒传播速率对病毒传播的影响等。这些工作对互补结构网络 在网络控制、网络安全等方面的进一步研究具有十分重要的意义。 西南科技大学硕士学位论文第5 页 1 5论文的主要内容和组织结构 全文共分为五章： 第一章主要对互补结构网络的思想、概念、框架结构以及研究进展做了 简要介绍。综述了复杂网络上病毒传播研究的方法和现状。介绍了课题的研 究目的、意义及具体研究内容。 第二章主要介绍了研究复杂网络所使用的主要统计参数。复杂网络中的 经典网络模型及其统计特性。 第三章主要介绍了复杂网络经典病毒传播模型及理论、常见网络模型的 传播阀值。 第四章详细的分析了互补网络的拓扑结构特点。建立了互补结构网络模 型并设计了网络模型生成算法。分析了该模型拓扑结构的统计特性。 第五章设计了基于s i s 、s i r 病毒传播模型的仿真算法，研究了客户端 网络和资源端网络上的病毒传播规律以及临界值问题，广播中心节点对整个 网络上病毒传播的影响，不同传播速率和不同初始感染比例对网络上病毒传 播的影响： 西南科技大学硕士学位论文第6 页 2网路拓扑模型及统计特性 在w a t t s 和s t r o g a t z 提出小世界网络，以及b a r a b 矗s i 和a l b e r t 提出的 无标度网络之后u ，人们对广大领域的实际网络拓扑结构进行了大量的研 究。由此，人们根据实际网络提出了各种各样的网络结构模型，2 0 0 3 年以 前提出的各种模型已有综述心”。本章介绍几种最常见的网络模型：小世界 网络、无标度网络。 。 2 1复杂网络统计参数 本章重点介绍无权无向网络，无权网络是指节点之间的连边都没有权 重，或权值都为l 的网络，无向网络是指任意一对节点( f ，歹) 和u ，f ) 对应同一 条连边。并且假设网络节点之间没有重边和自环。重边即任意两个节点之间 不能出现两条或两条以上的连边，自环即没有任意一个节点到该节点自身的 连边。 2 1 1 度与度分布 节点的度( d e g r e e ) 是单节点属性中最简单且最重要的属性。定义节点 f 的度岛为与该节点相关联的边的数目，或与该节点相连的其他节点的数目。 有向网络中一个节点的度分为出度( o u t d e g r e e ) 和入度( i n d e g r e e ) 。节点 的出度是指以该节点为起点连接到其他节点的边的数目，而节点的入度是指 以其他节点为起点连接到该节点的边的数目。一般认为，网络中一个节点的 度越大意味着这个节点越重要。网络的平均度定义为网络中所有节点f 的度 岛的平均值，记为 时，度为k 的节点实际是不存在的。因此这类网络也称为均匀网络( h o m o g e n e o u s n e t w o r k ) 。 近年来大量研究表明，现实生活中许多真实网络的度分布都可用幂律分 布来表示，形如尸( 后) k 一。如图2 2 所示，在双对数坐标下幂律分布为一条 西南科技大学硕士学位论文第7 页 直线。常把幂律分布也称为无标度( s c a l e f r e e ) 分布，具有幂律分布的网络 也称为无标度网络。 图2 - 1 p o is s o n 分布心钉 f i g 2 1 p o is s o nd is t ri b u t i o n s 在一个度分布服从幂律分布的大规模网络中，并且具有适当的幂指数， 通常2 y 3 ，只有少数的节点度非常大，而大多数节点的度都相对较小， 那些度很大的节点称为网络的“集线器( h u b ) ，所以常把幂律分布也叫长 尾分布，这类网络也称为非均匀网络( i n h o m o g e n e o u sn e t w o r k ) 。 图2 - 2幂律分布瞳2 1 f i g 2 2 p o w e r ia wd is t ri b u t i o n 西南科技大学硕士学位论文第8 页 2 1 2 聚类系数 在你的朋友关系网络中，你的两个朋友很可能彼此也是朋友，这种属性 称为网络的聚类系数，它描述了节点和网络的聚集程度。 定义节点f 的聚类系数a 为n 加： c = 志 - 浯1 ) 在式( 2 1 ) 中，匆为节点i 的邻居。显然在这也个节点之间最多可能有 岛( 向- 1 ) 2 条边。而乓为这颤个节点之间实际存在的边数。 从几何特点上看，上式的一个等价定义为： ，一与点湘连的三角形的数量 ，o 0 、 乙，2 i 酝丽甄硅磊面瓣 心吃j 1 与点湘连的三元组的数量 其中，与节点i 相连的三元组是指包括节点i 的三个节点，并且至少存 在从此节点到其他两个节点的两条边，如图2 3 所示。 图2 3三元组的两种可能形式 fig 2 3t w op o s siblef o r m so ft riple s 定义网络的聚类系数c 为所有节点聚类系数的平均值，即， c ：面1 ng 。 ( 2 3 ) n 急i 由式( 2 3 ) 可见，0 c 1 。当且仅当所有的节点均为孤立节点时c = 0 ： 当且仅当网络是全局耦合的，即网络中任意两个节点都直接相连时c = i 。 对于一个含有个节点的完全随机网络，当很大时，网络聚类系数为 c = o ( 1 v 1 ) 。而诸多的大规模实际网络都具有明显的聚类效应，尽管他们的 聚类系数远小于1 ，但却比c = o ( n - 1 ) 要大得多。这表明这些实际网络并不 是完全随机的，而是在某种程度上具有类似社会关系网络中“物以类聚，人 以群分 的特征。 西南科技大学硕士学位论文第9 页 2 1 3网络平均路径长度 定义网络中任意两个节点i 和j 之间的距离略为从节点i 到节点j 的最短 路径上边的数目。 定义网络直径为网络中任意两个节点之间的距离的最大值，记为d ，即， d = m a ) 【略 (9-4)l - + j 定义网络的平均距离长度三为任意两个节点之间的距离的平均值，即， ：上y d ； ( 2 - 5 ) n ( n + 1 ) 一i 2 j 网络平均路径长度也称为网络的特征路径长度。一个含有个节点和m 条边的网络的平均路径长度可以用时间量级为o ( m t v 3 的广度优先算法来确 定。例如，对于图2 - 4 所以的一个含有5 个节点和5 条边的网络，有d = d 4 5 = 3 ， 5 = 3 6 图2 - 4一个简单网络的直径和平均路径长度 f i g 2 - 4 as i m p i en e t w o r kd i a m e t e ra n dt h ei e n g t ho ft h ea v e r a g ep a t h 三= 1 6 。近期研究表明，尽管许多实际网络的节点数众多，规模巨大，但网 络的平均路径长度却非常小。具体地说，假如一个网络具有小世界效应，对 于固定的网络节点平均度( 后 ，平均路径长度的增加速度最多与网络规模 的对数成正比。 2 2小世界网络模型 2 2 1w s 小世界网络 前面讲到，规则的最近邻耦合网络具有高聚类特性，但并不是小世界网 西南科技大学硕士学位论文第1 0 页 络。另外e r 随机图虽具有小的网络平均路径长度但却没有高聚类特性。因 此，这两类网络模型都不能再现真实网络的一些重要特性。例如在现实生活 中，人们通常都会认识他们的邻居和同事，但也有少数远在异国他乡的朋友。 w a t t s 和s t r o g t z l 9 9 8 年提出了小世界网络模型，作为从完全规则网络 到完全随机图的一个过渡模型，称为w s 小世界网络模型。w s 小世界模型 的构造算法如下： ( 1 ) 从规则图开始，即在一个含有个节点的最近邻耦合网络中，且 个节点围成一个环，其中每个节点都与它左右各k 2 个节点相连，k 是自 定义偶数。 ( 2 ) 随机化重连，以概率p 随机地重新连接网络中的每个节点，即将 边的一个端点保持不变，而另一端点取网络中随机选择的一个节点，且规定 网络中不能有重边和自环。 根据上述构造算法，当p = 0 是规则网络，当p = 1 时是完全随机图，通 过调节p 的值就可以实现从完全规则网络到完全随机图的过度。 由上述算法得到的网络模型的聚类系数和网络平均距离长度都应是重 连概率p 的函数。图2 5 详细的显示了w s 小世界网络平均距离长度三( p ) 和 聚类系数c ( p ) 关于p 的变化曲线。其中c ( o ) 和( 0 ) 分别表示最近邻耦合网络 的聚类系数和网络平均距离长度。由图可见，当p 大于o 远小于1 时，网络 的聚类系数变化不大，但网络平均距离长度下降很快。因此把这种即具有较 大的网络聚类系数和较小的网络平均距离长度的网络就称为小世界网络。 kowten d ， o 姐 性卜特引 络 锎 网f 界 。世o小吼et 5 c a 2 r图5 2 g f 西南科技大学硕士学位论文第1 1 页 2 2 2 n w 小世界网络 w s 小世界网络的随机化重连规则有可能破坏网络的连通性。n e w m a n 和w a t t s 提出了另一个常见的小世界网络模型，称为n w 小世界网络模型幢”， 该模型也是从规则图开始，但使用随机化加边代替随机化重连。 在n w 网络中，当p = 0 时是最近邻耦合网络，p = l 时是随机图网络。 当p 足够小和足够大时n w 小世界网络在本质上等同于w s 小世界网络。 小世界网络模型反映了朋友关系网络的一种特性，即大部分人的朋友都和他 住的比较近。然而也有一些住的很远的朋友，这种情形对应小世界网络中随 机重连或随机加边而导致的一些远程连接。 2 2 3小世界网络统计特性 w s 小世界网络聚类系数为他： c ( 加黼( 1 刊3 ( 2 _ 6 ) n w 小世界网络聚类系数为恤7 】 c ( p ) = 砥面3 ( 而k - 瓦2 ) 而 ( 2 7 ) 到目前为止，科研t 作者还没有得到w s 小世界网络的平均距离长度的 精确表达式。但可利用重正化群方法得到下式嘲，： 上o ) ：了2 n 厂( 胍p 2 ) ( 2 8 ) 其中f ( u ) 为一普适标度函数，并且f ( u ) 满足 f c o n s t a n t ， u 1 八2 1 ( h ， 伪1 q 曲 n e w m a n 等人利用基于场均方法给出了f ( u ) 如下的近似表达式1 2 。1 ： 似) 丽蝴叫壶 ( 2 1 0 ) 对于w s 小世界网络，当k k 2 时有m 1 ， 一唧r n - - o ”p ，p ( g 2 ) - n 踹一2 ( 2 - 1 1 ) 而当k l 时，。l i r a 。p 唧寸l ；相反当感 染率小于治愈率，即五 屯时，疾病能够在网络中传播；当 传播率小于传播阀值，即名 丸时，病毒就能在网络中传播，并长久存在；当名 以时，病毒便 以指数速度消亡幢“。 对于均匀网络首先给出以下三个基本假设条件： ( 1 ) 均匀性假设：均匀网络的度分布都服从p o i s s o n 分布，在平均度 出有一个尖峰，而当k ( 后 时便以指数衰减。因而可以认为均匀 网络中每个节点的度岛都近似等于( j | 。 西南科技大学硕士学位论文第1 9 页 ( 2 ) 均匀混合假设：即网络任意两个节点之间的“接触 概率是相等 的。也就是式( 3 - 1 0 ) 中的和万都为常数。 ( 3 ) 假设病毒的时间尺度远小于个体的生命周期，因而不考虑个体的 自然出生和自然死亡，网络节点数目不变。 在上述假设条件下，并忽略不同节点之间的度相关性，由此可以得到 p ( o 的演化方程为钉： o p _ ( t ) = p ) + 五( 后) 尸o ) 【1 一p o ) 】 ( 3 11 ) 仍 式( 3 1 1 ) 中，等号右边第一项表示感染节点以单位速率被治愈恢复为 健康节点，第二项表示一个感染节点在传播