（应用数学专业论文）lattice+graphs+and+schubert+polynomials.pdf

摘要 b e r 。8 t e i 。，g e l f a n d g e l 觑n d1 2 】和d e m a z u r e 【6 】中婺流形几何的研 究程速了s c h u b e r t 多顼式戆出褒，【l l ，1 3 ，1 4 】给窭了它憋定义，之 后它又引起了众多作者的广泛关注【l ，3 ，4 ，7 ，8 ，9 ，1 0 ，1 8 ，2 0 ，2 1 ，2 2 关于它的系统描述可以参见f 1 2 ，1 9 】 微分算子a 农s c h u b e r t 多项式理论中扮演着非常重要的角色， l a s c o u x 1 l 】曩它佟霪在多项式上寒定义鼹个霹交换字母集上的s c h u b e r t 多项式 本篇论文定义了一个耨瓣缎会物体，豁为楂墼。文章撼俸爱崧多 项式上的微分算予扩展到作用在格图空间上，而且证明它依旧满足 b r a i dr e l a t i o n ，这就允许我们用一些格图的和来袭示s c h u b e r t 多项 式，通过遗当的赋权，我们得虱一般的定义在两个可交换字母集上的 s c h u b e r t 多项式 文章给出的s c h u b e r t 多项式的组合构造有缀多优予融存在构造 的地方，例如它给出了微分算子的第一个非交换意义上的描述，丽 藏及它容器褥篷s k e ws c h u b e r t 多疆式懿格籍解释( c h e n y a n - y a n g 5 j 中已证明) ，它还是研究k e yp o l y n o m i a l s 的有效工具。 文章分成西个部分； 第一节介绍微分算子0 和s c h u b e r t 多项式以及文章中需要的其 它一些定义 第二节绘出格匿的定义，并撼黄单鬟换算子和微分算子的定义 扩展到格隧空阔上 第三节证明作用在格图空闻上的置换算子程微分算予仍然游是 b r a i dr e l a t i o n 筹蹬节绘穆熙适当的赋投，缮到定义在两个霹交换字母集上的 s c h u b e r t 多项式，并得到一些新的性质 美键字：徽分算子，s c h u b e r t 多项式，格强 l a t t i c eg r a p h sa n ds c h u b e r tp o l y n o m i a l s a b s t r a c t s c h u b e r tp o l y n o m i a l s ，d e f i n e di n 【1 1 ，1 3 ，1 4 w e r em o t i v a t e db ) - t h eg e o m e t r yo ff l a gm a n i f o l d s ，f o l l o w i n gt h ew o r ko fb e r n s t e i n c e l f a n d g e l f a n d 2 a n dd e m a z u r e 【6 t h e yh a v eb e e ne x t e n s i v e l ys t u d i e db y m a n ya u t h o r s l ，3 ，4 ，7 ，8 ，9 ，1 0 ，1 8 ，2 0 ，2 1 ，2 2 m o r ed e t a i l sc a nb e f o u n di n 【1 2 ，1 9 】 d i v i d e dd i f f e r e n c ea c t sa ni m p o r t a n tp a r ti nt h e o r yo fs c h u b e r tp o l y n o m i a l s l a s c o u xu s et h ea c t i o no fd i v i d e dd i f f e r e n c e st od e f i n es c h u b e r t p o l y n o m i a l si nt w o s e t so fc o m m u t a t i v ev a r i a b l e saa n dbi n 【i t t h i st h e s i sd e f i n e sn e w p l a n a rc o m b i n a t o r i a lo b j e c t sw h i c h a r ec a l l e d l a t t i c eg r a p h s i tg e n e r a l i z ed i v i d e dd i f f e r e n c e si n t oo p e r a t o r s ，s t i l ls a t i s f y i n gb r a i dr e l a t i o n s ，a n do p e r a t i n go nt h es p a c eo fl a t t i c eg r a p h s t h i s a l l o w su st oi n t e r p r e ts c h u b e r tp o l y n o m i a l sa ss u m so fl a t t i c eg r a p h s b y p u t t i n ga p p r o p r i a t ew e i g h t so nl a t t i c eg r a p h s ，w er e c o v e rt h eu s u a ls c h u b e r tp o l y n o m i a l si nt w os e t so fv a r i a b l e s t h i sc o m b i n a t o r i a lc o n s t r u c t i o no fs c h u b e r tp o l y n o m i a l si nt e r m so f l a t t i c eg r a p h si sd i f f e r e n tf r o me x i s t i n gd e s c r i p t i o n s ，i th a ss o m es t r o n g p o i n t s e x a m p l e ，i tg i v e st h ef i r s tn o n c o m m u t a t i v ei n t e r p r e t a t i o no fd i v i d e dd i f f e r e n c e s ，i tc a ng e tt h el a t t i c ep a t hi n t e r p r e t a t i o no fs k e ws c h u b e r tp o l y n o m i a l sw h i c hi sg i v e ni nc h e n - y a n - y a n g 5 ，a n di t i sap o w e r f u l t o o lt os t u d yt h ek e yp o l y n o m i a l s t h i st h e s i sc o n t a i n sf o u rs e c t i o n s s e c t i o n1r e c a l l st h ed e f i n i t i o no fs c h u b e r tp o l y n o m i a l sa n dd i v i d e d d i f f e r e n c e sa n ds o r t i eo t h e rn e c e s s a r yd e f i n i t i o n s s e c t i o n2d e f i n e st h el a t t i c eg r a p h s ja n dg e n e r a l i z e st h e s i m p l et r a n s p o s i t i o n sa n dd i v i d e dd i f f e r e n c e si n t oo p e r a t o r sa c t i n go nt h es p a c eo f l a t t i c eg r a p h s s e c t i o n3p r o v e st h a tt h es i m p l et r a n s p o s i t i o n sa n dd i v i d e dd i f f e r e n c e sa c t i n go nt h el a t t i c eg r a p h ss a t i s f yt h eb r a i dr e l a t i o n s l a t t i c eg r a p h sa n ds c h u b e r tp o l y n o m i a l s s e c t i o n4r e c o v e r st h eu s u a ls c h u b e r tp o l y n o m i m si nt w os e t so fv a r i a b l e sb yp u t t i n ga p p r o p r i a t ew e i g h t so nl a t t i c eg r a p h s k e y w o r d s ：d i v i d e dd i f f e r e n c e s s c h u b e r tp o l y n o m i a l s ，l a t t i c eg r a p h s i i i l a t t i c eg r a p h sa n ds c h u b e r tp o l y n o m i a l s 辩u il i n l i n t r o d u c t i o n l e tv = p l ，v 2 ，1b ea p e r m u t a t i o ni nt h es y m m e t r i cg r o u p6 。o n 他 e l e m e n t s 1 ，2 ，。，扎 l e ts id e n o t et h es i m p l et r a n s p o s i t i o nt h a ti n t e r c h a n g e s i ，z + 1 i ti sw e l lk n o w nt h a ts l ，8 2 ，8 n - 1g e n e r a t ea n 、a n d s a t i s f yt h eb r a i d r e l a t i o n s s t = 矗f o r i j 1 ， 1 i ) 3 i s i + l s i 2 s i + l8 i 8 f + i t o g e t h e rw i t hs ；= 1 。f o r # 8 。，= 1 ，n ，l e tc i ( v ) = 孝 j ：i v a t h e ne ( v ) = e l ( v ) ，c 2 ( ) ，c ( u ) i sc a l l e dt h ec o d eo fv ， a n d ) = 袅lc i ( v ) i st h el e n g t ho f 封，i e 。，t h en u m b e ro fi n v e r s i o n so f 口 a d e c o m p o s i t i o nu = 8 r l s n 8 i sr e d u c e di 臻p = 0 y v er a t h e rn s et h e r e d u c e dw o r df l r 2 - 一r p ，l e tn ( v ) d e n o t et h es e to fa l lr e d u c e dw o r d so fa p e r m u t a t i o n 口，t h em a x i m a lp e r m u t a t i o nv 0o f6 ni sh n 一1 ，l j o n e i n a yc h e c kt h a t ( 8 n - - 1 s 1 ) ( s n 一1 一8 2 ) - - - ( s n ，- 1 8 n - - 2 ) ( s n 1 ) i sar e d u c e dd e c o m p o s i t i o no fv 0 w ea d dp a r e n t h e s e si no r d e rt od i s t i n g u i s h c a n o n i c a lf a c t o r s ) t h ef o l l o w i n gl e m m ai s s t r a i g h t f o r w a r d ： l e m m a1 1 g i v e n 口p e r m u t a t i o n 可毫_ s n ，l e te = f c l je 2 ，e n jb ei t sc o d e j t h e nt h ec o n c a t e n a t i o no f r i g h t 铷c t o r so ft h e 铷e t o r so s ( 8 n - 1 s 1 ) ( s 。一1 s 2 ) ( s n - - 1 ) ( ) o fr e s p e c t i v el e n g t h s 。1 5 2 ，c n ，i sar e d u c e dd e c o m p o s i t i o n 巧” f o re x a m p l e ，计= f 3 ，1 ：6 ，2 ，5 ，4 】h a sc o d ec ( v ) = 【2 ，0 ，3 ；0 。1 ，0 1 ，a n dt h e a b o v ed e c o m p o s i t i o ni sv = ( s 2 s 1 ) ( ) ( 船s 4 s 3 ) ( ) ) ( ) l e t z a l 。a 2 ，。窿n 】d e n o t et h er i n go fp o l y n o m i a l si n 靛c o m m u t a t i v ev a l i a b l e sn + i t hc o e f f i c i e n t si nzf o r a n y1 i 凡一l ，t h es i m p l ed i t i d e dd i f f e r e , c e 1 l a t t i c eg r a p h sa n ds c h u b e r tp o l y n o m i a l s a ，i sc h eo p e r a t o r o 。f ( a 1 ，a 2 ，a 。) = ，( ，a i ，a i + 1 ，) 一，( ，a 川，a 。) o z a i + l d i v i d e dd i f f e r e n c e ss a t i s f yt h eb r a i dr e l a t i o n s i 一| “ a i a t + 1 t o g e t h e rw i t h 砰= 0t h a n k st ot h e s er e l a t i o n s ，o n ec a nd e f i n e 巩b yt a m i l g a n yr e d u c e dw o r dr l r 2 _ a n dp u t t i n g 况= 辞l 西2 辞，w h e nr lr 2 ，0 i sn o tr e d u c e d ，t h e n 辞1 屏2 辞。= 0 w ed on o tf o l l o wt h ec o n v e n t i o n so f l a s c o u ) 。s c h n t z e n b e r g e ra n dw r i t ed i v i d e dd i f f e r e n c e so rp e r m u t a t i o n so nt h e l e f to ft h eo p e r a n d d i v i d e dd i f f e r e n c e ss a t i s f yl e i b n i t zf o r m u l a s ，a se a s i l ys e e nf r o mt h ed e f i n i t i o n ： a , ( g ) = ( o j ) g + ，“( a 9 ) = ( og ) f + 9 “( a ，) ，( 1 3 ) w h e r e ，a n dga r ep o l y n o m i a l s i np a r t i c u l a r ，s y m m e t r i cf u n c t i o n si n 甄+ 1 a r es c a l a r sf o ra ，i e g = 9 “ o , ( 9 1 = g ( o i f l s c h u b e r tp o l y n o m i a l si nt w os e t so fc o m m u t a t i v ev a r i a b l e saa n db h a v e b e e nd e f i n e di n 1 l j ，s t a r t i n gf r o mat o pe l e m e n t ( a ，皿) ，a n du s i n gt h e a c t i o no ft h es y m m e t r yg r o u p 6 no na o n l y d e f i n i t i o n1 2 j ( a ，b ) = i i l ：j 州+ ，。( 。一b j ) 【k ( a ，b ) =岛一。( a ，b ) t h e p r e c e d i n gd e f i n i t i o ni m p l i e st h er e c u r s i o n a 蜀( a ，b ) = 。k “( a ，b ) ，i ，口： 仉。1c 14 ) 2 2 n j r 1 0 +，魏魂弘 | | | j 岛魏 鼠 “a 侥 l a t t i c eg r a p h sa n ds c h u b e r tp o l y n o m i a l s g i v e n m 扎，移= u 1 ，v 2 ，】g n ，w e i d e n t i f yuw i t hu = f u l ，u 。，n + 1 、 铂6 。s c h u b e r tp o l y n o m i a l sa r es t a b l ew i t hr e s p e c tt ot h i se m b e d d i n go f6 n i ng m ，s ot h a to n em a y c o n s i d e rt h a tt h e ya r ei n d e x e db ye l e m e n t s o f6 。= u 。6 n ( i n f i n i t ep e r m u t a t i o np e r m u t i n go n l yaf i n i t en u m b e ro fe l e m e n t s ) w ea l s on e e dt h ed e f i n i t i o no fc o m p a t i b l es e q u e n c e s 3 d e f i n i t i o n1 3f o ra n y s e q u e n c er ；p 1 咋) ，op - t u p l ec p = ( 印l o fp o s i t i v ei n t e g e r si sr c o m p a t i b l e 矿 c p l c p 2 一c p p ， 嘞q ，o r1 j p ， c p j e p j + i j7 s t3 札，f o r1 j p 3 l a t t i c eg r a p h sa n ds c h u b e r tp o l y n o m i a l s h u il i n 2 l a t t i c eg r a p h s d e f i n i t i o n2 - 1al a t t i c eg r a p hi sac o l l e c t i o n0 ，l e n g t h1 v e r t i c a le e sz nt h e n nl a t t i c e - t h ee e 加m ( i ，j ) t o ( i ，j + 1 ) i sd e n o t e dk j e u s e 跏e s o u t h e a s tq u a d r a n t ) b e w a r et h a t ，f o ru s ，i = 1 ，2 ， i 5t h ec 。f 札m n z n d e z a n d j t h em i n d e x , t h eo r i g i ni s ( 1 ，1 ) 01 f i g u r e2 l al a t t i c e g r a p hr e s t r i c t i n gn nt oad o m a i nw h e r ea l l e d g e s a p p e a r w es h a l la l s ou s et h r e eo t h e re q u i v a l e n tr e p r e s e n t a t i o n so fl a t t i c eg r a p h s t h ef i r s to n ei sas e q u e n c eo fs t r i c t l yd e c r e a s i n gw o r d s 0 n1 2 3 ，t h a t 、ec a l lc o l u m nw o r d ，b yr e a d i n gu p w a r d st h ec o l u m n sf r o ml e f t t or i g h ta n d r e p l a c i n gt h ee d g em 】b yj v o i dc o l u m n sm u s tb ew r i t t e na s f i g u r e21 g i v e s 她1 j ，f 5 ，4 ，【心，f 5 ，f 】 t h es e c o n do n ei saw o r di nc o m m u t a t i v eb i l e t t e r s i j f w es & vb i w o r d ) ， r e p l a c i n ge a c he d g e i ，j b yd i + 1 ) it h e n u m b e r 7 一i + 1i sc a l l e dl a b e fo f h ee d g e i ，no u rl a t t i c eg r a p h ，w i t h e d g e s 1 ，1 ， 1 ，2 ， 2 ，4 ， 2 5 ， 4 乱 5 ，5 g i v e st h eb i l e t t e r s1 1 ，2 1 ，3 2 ，4 2 ，1 4 ，1 5 h o w e v e r 】w es h a l lw r i t eb i w o r d s u s i n gt h e d e c r e a s i n gl e x i c o g r a p h i co r d e r ( o r d e r i n gf i r s tt h el a b e l s ，t h e nt h ee x d o n e n t s l a sal i s to fb i l e t t e r s f i g u r e21 g i v e sf 4 2 ，3 2 ，2 1 ，1 5 ，一1 1 1 _ t h e t h i r do n e i s a 0 - 1 m a t r i x a = ( a i j ) b e l o n g st ol a t t i c eg r a p ho t h e r w i s eq t = 0 4 w h e r e i ，j n a j i = 1 i fe d g e 【i j 】 f i g u r e21g i v e sal o w e rt r i a n g u l a r l ， -tjj-_，r，【 、 ” -1l 州 i l a t t i c eg r a p h sa n ds c h u b e r tp o l y n o m i a l s 0 im a t r i x l0 10 o 0 0l 01 o 0 0 o 0 0 0 0 0l 0 0 o 0 o 0 o o 00 0 0 10 0 0 ( 2 5 ) a l le d g e sl y i n gi nt h es a m ed i a g o n a lh a v et h es a m el a b e l sa c c o r d i n gt o t h ed e f i n i t i o no fl a b e lo fe d g e ，w h i c ha l l o w su st ol a b e ld i a g o n a l sd o w n w a r d s ， a n di t sc l e a rt h a tt h em a i nd i a g o n a li s 1 - d i a g o n a l g i v e ns ，f o ra n y w e s a yt h a tt w oe d g e sb 叫a n d 【s + 1 k + 1 a r es p a i r e d p a i r e de d g e sl i ei nt h es a m ed i a g o n a l w es h a l ld e f i n en o w o p e r a t o r so i ll a t t i c eg r a p h s ，t h a tw es t i l lc a l ls i m p l e t r a n s p o s i t i o n s ( d e n o t e db y 盯) a n dd i v i d e dd i f f e r e n c e s ( d e n o t e db ya ) a sf o l l o w s ( f o r m u l a t i n gt h e m i nt e r m so fb i w o r d s ) ： d e f i n i t i o n2 2g i v e nab i w o r d w = w l j w 2 】，w m ，w h e r ew 1 w 2 ，w ! a t eb i l e t t e r s ，t h e ni 拈i m a g eu n d e rt h es i m p l et r a n s p o s i t i o no - 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