（计算数学专业论文）同伦摄动法在非线性方程求解中的应用.pdf

内蒙古师范大学硕士学位论文 中文摘要 非线性现象出现在现代科学技术的各领域，其数学模型通常由非 线性方程( 组) 所描述，因而非线性方程( 组) 的求解具有重要的理论和 实践意义。 孤立子理论作为研究非线性科学的专门学科之一，在三十多年的 发展进程中建立了许多求解非线性方程( 组) 的系统而有效的数值方 法。如：同伦摄动法 1 】、a d o m i a n 分解法 2 】等。然而，发展求解非 线性方程( 组) 的新方法或改进原有方法是孤立子理论研究的一个重 要课题本文应用同伦摄动法研究了两个问题：给出s i n e g o r d o n 方程 一类初值问题和一类混合问题的近似解析解，并分别给出所得的近似 解析解与精确解的绝对误差；借用同伦摄动法给出完全非线性近似 s i n e g o r d o n 方程的初值问题的近似解析解，并应用改进的a d o m i a n 分解法给出完全非线性近似s i n e g o r d o n 方程的初值问题的近似解析 解，分别给出两种方法所得的近似解析解与精确解的绝对误差，比较 发现同伦摄动法比改进的a d o m i a n 分解法精度高的优点。 关键词：同伦摄动法；s i n e - g o r d o n 方程：改进的a d o m i a n 分解法；近 似解析解 内蒙古师范大学硕士学位论文 a b s t r a c t n o n l i n e a rp h e n o m e n aa p p e a ri nv a r i o u sf i e l d so fm o d e r ns c i e n c ea n d t e c h n o l o g y , w h o s em a t h e m a t i c a lm o d e li su s u a l l yd e s c r i b e db yn o n l i n e a r e q u a t i o n s ，a n dt h u ss o l v i n gn o n l i n e a re q u a t i o n sh a si m p o r t a n tt h e o r e t i c a l a n dp r a c t i c a ls i g n i f i c a n c e s o l i t o nt h e o r yi so n eo fs p e c i a l i z e dd i s c i p l i n e so fn o n l i n e a rs c i e n c e ， w h i c hh a sb e e ne s t a b l i s h e dan u m b e ro fe f f i c i e n tn u m e r i c a lm e t h o d sf o r s o l v i n gn o n l i n e a re q u a t i o n ss y s t e mi n t h e p a s t 3 0y e a r s s u c h a s ， h o m o t o p yp e r t u r b a t i o nm e t h o d ( h p m ) 1 】，a d o m i a nd e c o m p o s i t i o n m e t h o d 2 】a n ds oo n h o w e v e r , t h ed e v e l o p m e n to ft h en e wm e t h o d so r t h ei m p r o v e m e n to ft h eo r i g i n a lm e t h o d sf o rs o l v i n gn o n l i n e a re q u a t i o n s i sa ni m p o r t a n tr e s e a r c ha r e ao fs o l i t o nt h e o r y i nt h i sp a p e r , w ec o n s i d e r t w oq u e s t i o n sb yu s i n gh o m o t o p yp e r t u r b a t i o nm e t h o d ：t h ea p p r o x i m a t e a n a l y t i cs o l u t i o no fa ni n i t i a lv a l u ep r o b l e ma n dam i x e dp r o b l e mo f s i n e g o r d o ne q u a t i o nw i t ht h ea b s o l u t ee r r o r so fa p p r o x i m a t ea n a l y t i c s o l u t i o n sa n dt h ee x a c ts o l u t i o n sa r eg i v e n ；t h ea p p r o x i m a t ea n a l y t i c s o l u t i o n so fa na i n i t i a lv a l u ep r o b l e mo ff u l l yn o n l i n e a ra p p r o x i m a t i o n s i n e g o r d o ne q u a t i o na r eo b t a i n e db y ：u s i n gh o m o t o p yp e r t u r b a t i o n m e t h o d ( h p m ) a n dt h em o d i f i e da d o m i a nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d t h e 内蒙古师范大学硕士学位论文 a b s o l u t ee r r o ro f a p p r o x i m a t e a n a l y t i cs o l u t i o na n dt h ee x a c ts o l u t i o n w h i c ho b t a i n e df r o mt w om e t h o d sa r ea l s op r e s e n t e d w ef o u n dt h a tt h e h o m o t o p yp e r t u r b a t i o nm e t h o d ( h p m ) h a sh i g h e ra c c u r a c yt h a nt h e m o d i f i e da d o m i a nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d k e y w o r d s ：h o m o t o p yp e r t u r b a t i o nm e t h o d ；s i n e g o r d o ne q u a t i o n ； m o d i f i e da d o m i a n d e c o m p o s i t i o nm e t h o d ；a p p r o x i m a t ea n a l y t i c a l s o l u t i o n 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研 究工作及取得的研究成果，尽我所知，除了文中特别加以标注和 致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果，也不包含本人为获得内蒙古师范大学或其它教育机构的学位 或证书而使用过的材料。本人保证所呈交的论文不侵犯国家机 密、商业秘密及其他合法权益。与我一同工作的同志对本研究所 做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示感谢。 签名：垒兰! 弛 日期： w 。年6 月门日 。 f 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解内蒙古师范大学有关保留、使用学 位论文的规定：内蒙古师范大学有权保留并向国家有关部门或机 构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以将学 位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影 印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文，并且本人电子 文档的内容和纸质论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 签名：参芝。酗 导师签名：遵氏乍盏耷去 日期：2 - o 矽年占月7 日 第一章绪论 1 1问题的提出与背景 第一章绪论 科学的发展，正在使传统的学科划分和研究方法发生深刻的变化。学科间的相互 渗透和传统学科与同新月异的新技术结合，促使大批综合性边缘学科的孕育与发展并 以“非线性”为其发展特征。近三十年，非线性科学处于自然科学前沿，成为研究非 线性现象共性的交叉学科，被誉为2 0 世纪继相对论，量子力学之后的又一次“科学 革命 。非线性科学的发展从根本上影响和改变着整个科学体系。而极少数非线性问 题才具有简单的解析解对于一些非线性数学物理方程，特别是一些可积的非线性系 统，已建立和发展了许多求解其精确解或特解的方法，如贝克隆变换【4 】、广田直接 方法 4 】、分离变量法 5 】、函数展开法 5 】、行波映射变换法 6 】、达布变换法【7 】、双 线性导数法 8 】、反散射变换方法【9 】、辅助方程法 1 0 】等等。到目前为止没有一种方 法可以得到各种类型非线性方程( 组) 的精确解或特解，且绝大多数非线性问题仅能给 出近似解或无穷级数解传统的解析近似方法中，摄动理论 1 1 】最为著名，已被广泛 地应用于科学和工程中的许多非线性问题摄动方法是求解非线性问题的一种常用的 方法，但摄动方法具有一定的限制，比如：基本上所有的摄动方法都要依赖于方程中 的小参数，但大多数非线性问题本身没有小参数，从而不能直接应用摄动法；在计算 过程小参数的选取是解决问题的关键，且取不当会导致严重的错误。 因此应用摄动方法求解方程的近似解时，消除限制“小参数的方法得到了广 泛的研究，从而产生了同伦摄动法【1 】、a d o m i a n 分解法【2 3 】、入- rd , 参数法【1 2 1 3 】、 变分迭代方法 1 4 】、万展开法 1 5 1 6 等特别是a d o m i a n 分解法因不依赖任何大、小 参数，因此可应用于求解更多的问题。但不管是摄动法还是非摄动方法，它们都不能 调节或控制解级数的收敛域和收敛速度。 在1 9 7 8 年，c h o w ，m a t t l e t p a r e t 和y o r k e 【1 7 】等提出了连续同伦算法，1 9 7 9 年 m k u j i n a ，h n i s h i n o 和n a r i m a 将同伦技术应用到方程求根中。在8 0 年代末，连续 同伦算法在计算映射的多个零点、映射的不动点和求解互补问题、优化问题、边值问 题等方面得到了广泛应用。1 9 8 5 年和1 9 8 7 年t y “和t s a u e r 将同伦技术应用到求 矩阵的特征值和特征向量问题中。壬则柯教授于1 9 9 0 年以同伦方法为主题，对同伦 方法的提出、应用和未来的发展方向做了详细的探讨。近年来，廖世俊教授对同伦方 内蒙古9 币范大学硕士学位论文 法进行了改进，提出了求解非线性问题的一种解析方法，即同伦分析方法 1 3 】。何吉 欢教授同样以同伦方法为基础结合摄动技术，提出了一种新的摄动理论，即同伦摄动 法【1 】。同伦分析法与同伦摄动法都是对同伦方法的改进与应用，没有本质的区别， 本文主要介绍并且运用同伦摄动法。同伦摄动法从根本上克服了摄动方法对小参数的 强烈依赖性，应用领域非常广泛。同伦摄动法不依赖任何小( 或者大) 参数，而是应用 同伦技术构造一个含嵌入参数q o ，1 1 的方程，然后把嵌入参数作为小参数，因此这 种方法可以克服传统摄动理论的不足，又可以充分应用各种摄动方法在这种方法中， 方程的近似解可以写成一系列无穷级数相加的形式，并且这个级数和收敛于它的精确 解，其结果显示这种方法简单而有效所以无论给定的非线性问题的控制方程和边界 条件中是否含有小( 大) 参数，都可以应用同伦摄动法。同伦摄动法最重要的特点是可 以将自由边界问题转化成固定边界问题。但是有一点不足就是在关于同伦方法的文章 中并没有对该方法的收敛性给出一般性的证明，因此在使用该方法之前，应该对其收 敛性进行一定的讨论。 近年来，同伦摄动法成功而广泛的应用了许多实际非线性问题的求解中，如半无 限介质瞬态热传导问题【1 7 】、美式回望看跌期权【1 8 】、求解分数阶微分方程及构造非 线性复合静电边值问题的解析近似解【1 9 】、文【2 0 】采用能量变分法和同伦摄动法研究 了双层金属旋转扁壳在均匀静态变温下的非线性轴对称自由振动问题、文【2 1 利用精 细积分技术对同伦摄动方法进行了改进，构造了一种求解非线性动力学方程的新的渐 近数值方法等等。文 2 l 】还验证了同伦摄动法和同伦分析方法具有精度高、计算量少 的优点，甚至得到了一些用其他一些数值方法都不曾发现的新解，充分显示了同伦摄 动法和同伦分析方法的有效性和优点。 1 2s i n e g o r d o n 方程的研究现状与内容 非线性物理中的著名的s i n e g o r d o n 方程( s g 方程) 在流体力学、凝聚态物理、生 物物理、气象学、非线性光学、场论、几何学等众多的领域有着广泛的应用。例如晶 体错位、磁性晶体的b l o e h 壁运动、超晶格半导量子中电磁波的传播、液体核中超流 体的旋转波、沿类脂膜的扩张波的传播、磁悬波在铁磁材料中的传播、j o s e p h e o n 线 中的磁通量的传播、铁磁膜中磁化矢量的时空运动、正压大气中波流间的相互作用等 诸多现象以及，在二维d i l a t o n 引力模型和负常曲率曲面问题的研究中也用到了s i n e g o r d o n 方程。s t r a u s s ：v a z o u e sf 1 9 7 8 年) 和p e r r i n g ，s k y r m e 。( 1 9 6 2 年) 则应用差分方法 2 第一章绪论 研究k l e i n g o r d o n 方程和s i n e g o r d o n 方程。g u ob e n y u ，y a nx i a o p u ( 19 8 6 年) 对s i n e g o r d o n 方程的某些初、边值问题进行了数值研究。b i s h o p ，k r u m h a n s l a n d ，t r u l l i n g e r ( 19 8 0 年) 对s i n e g o r d o n 方程初、边值问题进行数值研究。瑞典几何学家b a c k l u n d 在 1 8 8 3 年研究负常曲率面时，发现s i n e - g o r d o n 方程的一个有趣的性质：不用解原方程， 从该方程的一个已知解，经过变换可求得另一个新解，这两个解之间的关系就称为 b a c k l u n d 变换。文献【8 】中利用h i r o t a 方法求解s i n e g o r d o n 方程并用b a c k l u n d 变换、 双线性导数法给出s i n e g o r d o n 方程的孤立子解，且利用奇数阶等谱或非等谱a k n s 方程族约化而得出s i n e - g o r d o n 方程。黄念宁【2 2 】研究了s i n e - g o r d o n 方程的孤子 解和呼吸子解。谷超豪等 2 3 中r l l 专s 2 的标准化调和映照和s i n e - g o r d o n 方程之间 的关系，与此同时导出与s i n e - g o r d o n 方程相应的线性可积系统。谷超豪、胡和生等 【7 】中运用b a c k l u n d 变换和d a r b o u x 变换作s i n e g o r d o n 方程的解，并系统的研究了 s i n e - g o r d o n 方程。m i a b l o w i t z ，尸彳c l a r k s o n 9 】运用反散射方法给出s i n e g o r d o n 方 程的孤立子解。文献 5 】利用行波形变映射法得到了t + 1 维s i n e g o r d o n 方程和n + 1 维 双s g 方程的行波解。在文献【2 4 】中分别给出非线性s g 方程、高维非线性s i n e g o r d o n 方程和广义非线s i n e g o r d o n 方程的三种有限差分格式( 四阶三层显格式、四阶三层隐 格式、高精度三层紧致格式) 等数值解法，一一分析了这些差分格式的局部截断误差、 稳定性与收敛性，并用数值实验验证了它们的可行性文献【2 5 】中对一类非线性s i n e - g o r d o n 方程的初边值问题提出两个隐式差分格式。文献【2 6 中运用辅助常微分方程法 求得了s i n e g o r d o n 型方程的大量精确解。文献 2 7 】中研究了具有实际物理背景的双 s i n e - g o r d o n 方程、完全非线性近似双s i n e g o r d o n 方程等，并将一些经典的研究方法 加以推广和改进来求解非线性方程的精确解。文献 2 8 1 研究了一类s i n e - g o r d o n 方程 广义形式的概周期解。在文献【2 9 】中将广义t a n h s e c h 法、改进原有的f 展开法应用 到s i n e g o r d o n 方程求其孤立波解，另外利用推广的a d o m i a n 分解法，研究了一类完 全非线性s i n e g o r d o n 方程，得到它的c o m p a c t o n 解，k i n k 解、多重c o m p a c t o n 解， c o m p a c t o n k i n k 解，并通过线性化的方法结合不同形式的解得到它们一些新形式的精 确。文献 3 0 中利用h 。g a l e r k i n 混合有限元方法讨论阻尼s i n e - g o r d o n 方程，得到一 维情况下半离散和全离散格式的最优阶误差估计，并且推广应用到二维和三维情况，而 且不用验l b b 相容性条件 1 3 研究意义与内容 内蒙古师范大学硕士学位论文 孤立予理论是数学和物理学的新的交叉学科，是非线性学的一个分支学科，它 既反映类非常稳定的自然现象，又体现了一大类非线性现象互相作用的若干特征， 为许多应用问题提供了启示。这一理论为非线性偏微分方程提供了求解的方法，因 而受到数学界和物理学界的充分重视。在非线性问题中，孤立子理论的研究己成为 当前国际国内应用数学和物理学所研究的重要课题。 本文应用同伦摄动法研究一类具有实际应用物理背景的非线性波动方程，即 s i n e g o r d o n 方程和完全非线性近似s i n e g o r d o n 方程等。 4 第二章高阶非线性方程的同伦摄动解法 第二章高阶非线性方程的同伦摄动解法 2 1 同伦摄动法简介 假定给定了f 面的方程( 包括线性和非线性、确定于随机性、代数方程( 组) 、常 微分方程( 组) 、偏微分方程( 组) 以及微分积分方程( 组) 等) f ( u ) = 厂( ，) ，r q ， ( 1 ) 及其边界条件 b ( “，静o ，r 乩 其中f 为一般微分算子，b 为边界算子，厂( ，) 为已知解析函数，f 为区域q 的边界。 将算子f 分解为 f = l + n ，( 3 ) 其中l 为线性算子，n 为非线性算子。从而方程( 1 ) 改写为 l ( “) + ( “) = 厂( r ) ( 4 ) 建立同伦映射： v ( r ，g ) ：q 【o ，1 】jr ， 则它满足 砸矿( ；g ) = ( 1 一日) l y ( 刈；9 ) 一l ( ) ) + g f y ( 刈；g ) 一厂( r ) - - o ，( 5 ) 这里v ( x ，f ；g ) 为方程( 5 ) 的解析解，其不仅依赖于满足方程( 1 ) 的边界条件的初始近似 值( x ，t ) ，而且也依赖于嵌入参数9 【o ，1 1 当g = o 时，方程( 5 ) 变成 日 y ( 工，f ；o ) ，o - - l v ( 工，t ；o ) - l u ox ，0 - - o ， ( 6 ) 当g = 1 时，方程( 5 ) 变成 u v ( x ，f ；g ) ，1 = f 矿( z ，川) 卜厂( r ) - - o ( 7 ) 根据方程( 6 ) 和( 7 ) 可以看出，当矗9 , o 转变到1 的过程时，v ( x ，t ；q ) 从初始近似值 x ，f ) 变化到原始方程( 1 ) 的解u ( 石，t ) 。在同伦理论中，这种连续变化成为同伦变形。 内蒙古师范大学硕士学位论文 应用泰勒展丌定理，将v ( x ，t ；q ) 口 展丌成q 的幂级数 y ( x ，r ；g ) = “。( x ，r ) + 兰n = l n l ! 旦二匕砉孝掣i 。：。g “兰艺n = o _ ( x ，r ) g ”， 当q = 1 时得到方程( 1 ) 的级数解 u ( 蹦) - l ，i + m 。v ( 硼) = 萎匕( 叫 2 2s i n e - g o r d o n 方程初值问题与混合问题的近似解析解 ( 8 ) ( 9 ) 本节将s i n e g o r d o n 方程的一类初值问题与一类混合问题作变换后用同伦摄动法 进行了求解。 2 2 1 s i n e - g o r d o n 方程初值问题的近似解析解 首先我们研究下面s i n e g o r d o n 方程的初值问题 丝一鲁“n “：。，x 趾f o ， 一o t 2 一丽+ s 1 舢= d x 尺 f u ， “( 枷) _ 2 a r c t a n c s c ( 厄) ， 石万， 暑( 加) = 之s e c ( 厄) ， x 赢 s i n e g o r d o n 方程的初值问题( 1 0 ) 的精确解为 “( 彬) = 2a r c t a n c s c ( 厄+ r ) 对s i n e g o r d o n 方程的初值问题( 1 0 ) ，作变换 u ( x ，t ) = 2 a r e t a n vx ，f ) ， 则把初值问题( 1 0 ) ，化为 ( 1 0 ) ( 1 2 ) v f f + v 2 屹一2 1 ，( v ) 2 一一，2 + 2 v ( 匕) 2 + 1 ，+ 1 ，3 = o ，x r 十；f o ， v ( 删) = c s c ( 厄) ， x 万，( 1 3 ) v ( 五o ) = 一c s c 而( 厄) c o t h ( 厄) ， x 万 为借用同伦摄动法求解，我们取线性算子及非线性算子如下 6 第二章高阶非线性方程的同伦摄动解法 r a 2 l 萨 ( 1 4 ) v ( 刈) = 窘窘一2 v ( 害) 一万a 2 v 丽a 2 y + 2 v ( 塞) 2 + y ， 设初值问题( 1 3 ) 的精确解v ( 工，t ) 的初始近似值为v o ( x ，t ) ，并取 ( 彬) c s c ( 厄) 毗s c 五( 厄) 砷( 厄) ， 由( 1 6 ) 式知初始近似值( 工，f ) 满足问题( 1 3 ) 的初值条件。 建立同伦映 ( 1 6 ) h g ( x f ；g ) = ( 1 一g ) 三 矿( x ，t ；q ) - v o ( x ，f ) + 矿( f ；g ) = o ， ( 1 7 ) 这里g 为嵌入参数且g 【o ，1 1 当g = 1 时得到方程( 1 7 ) 的近似解析解 y 2 珊矿( 彬；g ) = v o + v , + v 2 + ， 其中矿( 五f ；g ) 满足下列初值条件 i 矿( 硼；g ) = c s c ( 厄) ， 1 警( 和；g ) 一渤( 厄) m ( 厄) ， 将函数矿( x ，f ；g ) 展开成关于g 的泰勒级数，有 矿( 五f ；g ) = n = o 由( 1 6 ) 式和( 1 9 ) 式，得 去鼍掣b 一： ，z ! 锄” 呵”1 x r + ， x r + 心( 石，f 为“， 一 x r ， 一 石r ，n = 1 ，2 ，3 ， 将式( 1 4 ) 、( 1 5 ) 和( 1 9 ) 代入方程( 1 7 ) ，得 伸伸m o = ( 1 - q ) l z q ”- v o l + q y ? v 州q “+ ( t = o +4-oo n = o + o o n = o + v ，g ”) 2 ( v 棚q ”) 一 n - - - o 2 ( g “) ( y q ) 2 一( g ，f ) 一( v q ) 2 ( i i = o + 付= o n = on = on = o 2 ( y v 。q ”) ( v 。q ”) 2 + 1 ，。q ”+ ( 1 ，。q ”) 3 】 n = on = on = o，n = o ，脚g ”) + = q l ( v 1 ) + 1 ，o f f 壬1 ，0 2 “- 2 v o ( v o ，) 2 一。一盯+ 2 v o ( v o ，) 2 + v o + 谅】 7 ( 1 8 ) ( 1 9 ) ( 2 0 ) m 脚 q 枷 = 口卜吣 o l 枷“ l 、 旦r， 从饥百 内蒙古师范大学硕士学位论文 比较方程( 2 1 ) 等号两边g 的同次幂，得 - 2 v v ，纠， 1 = 0 ( 2 1 ) q ：l ( h ) + v 矗+ v 0 2 v o “一2 v o ( v o ，) 2 一v o 。一v 0 2 v o 盯+ 2 v o ( v o 、) 2 + v o + v 0 3 = o ， ( 2 2 ) n - k俨t n - k g 肿：( + 。) 一+ + h v ，屹- 七- 厂2 k m 。，匕小，- - v k 。v ，一。一 n - kn - k + 2 uz v , ，屹一。_ ，一 i v k v ，一。一，】= o ，( 玎= l ，2 ，3 ，) ( 2 3 ) 将( 1 6 ) 式代入到方程( 2 2 ) ，并作用于逆算子f 。= ff ( 灿，得 m = 1 6 0 风c 矗( 厄) ( 3 0 _ 1 t h ( 厄) + ( 9 0 + r c o m ( 厄) ( 一5 0 栅c o m ( 厄) ( 一s + 泐m ( 厄) ) ) ) c s c 厅2 ( 厄) 一2 0 ( 一3 + r c o t h ( 厄) ) c s c h 4 ( 匝) 眦2 ( 一s + 3 r c o m ( 厄) ) c s c h 6 ( 厄) ) ， ( 2 4 ) 取n = 1 ，并将( 16 ) 式和( 2 4 ) 式代入方程( 2 3 ) 作用于逆算子，得 吃= 志( t 2c s c 而( 厄) ( _ 8 4 r 2 ( 一s + c 。t h ( 厄) ) + 1 2 ( 一2 1 ( 2 0 9 0 f 2 + 2 7 t 4 ) + f ( 一1 4 0 2 9 4 “8 1 t 4 ) c o m ( 厄) ) c s c h 2 ( 厄) 二3 ( 7 ( 7 2 0 3 8 6 0 t 2 + 1 3 6 8 t 4 8 1 t 6 ) + t ( 5 6 0 + 5 4 0 4 t 2 6 2 4 t 4 + 6 3 f 6c o t h ( 厄) ) c sc 再4 ( 厄) 一2 ( 5 0 4 0 4 2 8 4 0 t 2 + 2 0 1 7 4 t 4 - 8 9 1 t 6 + 7 t ( 2 4 0 + 2 1 8 4 t 2 7 2 2 t 4 + 9 f 6 ) c o t h ( 厄) ) c s c h 6 ( 厄) 3 0 2 4 0 2 4 2 4 8 t z - 4 5 2 7 t 4 + t ( 一1 9 4 8 8 + 2 1 5 1 2 t 2 + 1 0 7 1 f 4c o t h ( 厄) ) c s c 五8 ( 厄) + 1 6 t 4 ( - 3 5 0 圳3 t 2 + 2 f ( 3 1 9 + 6 3 f 2 ) c o t h ( 厄) ) c s c 矿( 厄) + 9 6 f 6 ( _ 4 7 + 7 fc o t h ( 厄) ) c s c h 2 ( 瓜) ) ) ( 2 5 ) 由( 1 6 1 ，( 2 4 1 ，( 2 5 ) 式知初值问题( 1 3 ) 的近似解： 8 b一“ v 叶 柑枷 栅 v q以 矿 柑枷 m v rl 。脚 + 矿+ 眦 v一 、j + v ，l l ，-t + g 删 + 、t ， 叫七 一 yv 枞枷 丘 y十 一f v 础枷 矿2+ 第二章高阶非线性方程的同伦摄动解法 矿。场手巧十哆 2 丽1 ( 埘( 一52 4 + 1 2 f l + t 4 ) + f 1 2 0 + 2 0 f l + t 4c o t h ( 厄) ) c s c ( 厄) + 3 6 t 2 ( 7 ( 4 0 + 9 0 t 2 2 7 t 4 ) + f c 。t h ( 压x ) ( - 2 8 0 9 8 t 2 + 2 7 t 4 + 4 2 t c o t h ( , f 2 x ) ( 一5 + tc o t h ( - f 2 x ) ) ) ) c s ch 3 ( 厄) 一3 f l ( 7 ( 2 4 0 3 8 6 0 t 2 + 1 3 6 8 t 4 8 1 t 6 ) + t ( 1 6 8 0 + 5 4 0 4 t 2 6 2 4 t 4 + 6 3 t 6 ) c o t h ( 4 互x ) ) c s c h 5 ( 厄) - 2 t 2 ( 5 0 4 0 4 11 6 0 t 2 + 2 0 1 7 4 t 4 - 8 9 1 t 6 + 7 t ( 2 4 0 + 2 0 4 0 t 2 - 7 2 2 t 4 + 9 t 6 ) c o t h ( 厄) ) c s c h 7 ( 厄) 3 0 2 4 0 2 4 2 4 8 f l - 4 5 2 7 t 4 + t ( 一1 9 4 8 8 + 2 1 5 1 2 t 2 + 1 0 7 1 t 4 ) c o t h ( 厄) ) c s c 矗9 ( 厄) + 1 6 t 6 ( 一3 5 0 - 6 0 3 t 2 + 2 f ( 3 1 9 + 6 3 f 2 ) c o t h ( 厄) ) c s c h ( 厄) + 9 6 f 8 ( 4 7 + 7 f c o t h ( 厄) ) c s c h ”( 厄) ) ( 2 6 ) 由( 1 1 ) 式知，初值问题( 1 3 ) 的精确解为 v ( 彬) = c s cj i l ( 厄+ r ) ( 2 7 ) 我们给出，初值问题( 1 3 ) 的精确解，( x ，t ) 与近似解析解帚( x ，t ) 的绝对误差比较如下 表所示 工t v ( x ，t )谚( x ，t )i v ( x ，f ) 一影( 刈) l 2 o 20 0 9 7 0 10 6 0 0 9 7 0 1 2 1 4 8 9 5 1 0 - 6 2 0 4 0 0 7 9 3 6 410 0 7 9 3 9 2 2 7 8 7 5 4 x 1 0 5 2o 60 0 6 4 9 4 4 20 0 6 5 0 6 4 7 1 2 0 5 7 1 0 3 40 20 0 0 5 7 2 0 50 0 0 5 7 2 0 5 2 2 6 8 0 x1 0 1 0 40 40 0 0 4 6 8 35 4 0 0 0 4 6 8 3 5l 3 1 9 0 5 9 x 1 0 8 4o 6 0 0 0 3 8 3 4 5 50 0 0 3 8 3 4 1 6 3 9 2 2 5 x1 0 - 7 60 2 0 0 0 0 3 3 8 11 20 0 0 0 3 3 81 1 2 3 5 6 0 7 5 l o 一 60 4 0 0 0 0 2 7 6 8 2 2 ， 0 0 0 0 2 7 6 8 2 2 3 5 6 0 7 5 1 0 一 6o 6 0 0 0 0 2 2 6 6 4 30 0 0 0 2 2 6 618 2 4 6 2 2 9 x1 0 - s 表一 9 内蒙古师范大学硕士学位论文 初值问题( 1 3 ) 的精确解的图像与同伦摄动法得到的二阶近似解析解的图像如图1 及图 2 所示 图像1 图像2 由上表可知，初值问题( 1 3 ) 的近似解析解具有较高的精度。我们通过变换( 1 2 ) 可得 s i n e - g o r d o n 方程初值问题的近似解析解。 2 2 2 。s i n e - g o r d o n 方程混合问题的近似解析解 接下来我们研究下面s i n e g o r d o n 方程的混合问题 a 2 u a 2 u 萨一丽+ 8 1 舢2 d “( o ，t ) = 4 a r c t a ne 叫) ， 詈( 钠) = 之s e c h ( 一4 r 2 x ) ， “( 工，o ) ；4 a r c t a n ( e 4 至x ) ， x r + ，t 0 ， t 0 ， 工r ， z r t 混合问题( 2 8 ) 的精确解为 “x , t ) = 4 a r c t a n ( p 西) ， 对s i n e g o r d o n 方程的混合问题( 2 9 ) ，作变换 ( f ) = 4 a r c t a n y ( 五f ) ， s i n e g o r d o n 方程的混合问题( 2 8 ) ，化为 l o ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 3 0 ) 第二章高阶非线性方程的同伦摄动解法 v f f + 1 ，2 一2 1 ，( v ) 2 k v 2 k + 2 1 ，( 匕) 2 + 1 ，一v 3 = o ， x 尺+ ，f o ， v ( o ，t ) = e ，t 0 ， v ( x ，o ) ：2 瓜， 工万， ( 3 1 ) 象( 五。) = 一e 瓜， x 万 为借用i 司伦摄动法求解，我们取线性算子l 及非线性算子n 如卜 ， a 2 l 2 萨 y ( 彬) = 窘窘一2 v ( 暑) 2 一窘缸a 2 z ：+ 2 v ( 塞) 2 + v 设混合问题( 3 1 ) 的精确解y ( 五t ) 的初始近似值为v o ( x , t ) ，并取 ( x ，f ) - - ( 1 一t ) e 4 i 。， 易知( 3 4 ) 式，满足下列混合条件 f v o ( o ，t ) = l - t ，t 0 ， v o ( 加) = e 瓜， x 万， h ( 加) 寻一8 屈， 工万 建立同伦映射 矿( 刈；g ) = ( 卜q ) l v ( x ，t ；q ) - v o ( x ，f ) + 矿( z ，t ；q ) 3 = 0 ， 这里垡为嵌入参数且g o ，1 】，v ( x ，f ；g ) 满足下列混合条件 r iy ( o ，钾) = 厂( f ；g ) ， f o ， y ( z ，o ；g ) = p 也。， x r + ， 【0 研z ( x , 咖) 一声，艇万 将函数v ( x ，f ；g ) 展开成关于g 的泰勒级数，有 矿( 工，r ；曰) = 挚n = o 土n ! 旦：1 5 孝三9 q = o q n = 茎心( z ，r 为“ 当g = 1 时得犁混合问题( 3 j ) 的近似解 v ( x ，f ) = l 。i ，m 。卸- v , ( z ，f ) g “2 + m + v 2 + ， 砷 q $ 哪 忉 桫， 设 l 川i m 厂( f ；g ) = e ( 吡) 彰一；+ 嘉 内蒙古师范大学硕士学位论文 ，t 0 ， x r ， ( 。f ) = - - t 2 _ 詈广+ 鲁r 4 + 吕r 5 7 3 。r 6 一去t 7 + 去r 8 一去 t 。， ( x ，0 ) = 0 ， 鲁( 棚) _ o 将式( 3 2 ) 、( 3 3 ) 和( 3 8 ) 代入方程( 3 6 ) ，得 o = ( 1 - q 一2 ( + 2 ( = g 【 4 + + 月兽o + n = 0 n - ，o g c 艺n = o ，。“g ”r ( 艺n - - o v 。g ”) 2 ( 艺n = o 、_ 。g ”)j ，。g “) 2 一( 茎g “) 一( 茎_ g ”) 2 ( 茎g “ g ”) 2 r 艺n = o 、_ g “( 艺n = o t g ”) 3 ， g ”| + g “一i g ”i 】 ( u ) + ，+ v 0 2 v o “一2 v o ( v o ，) 2 一v o 。 n n - h g 肿! l ( + 。) 一：+ + n - k 【 k = 0 i = 0 一2 v o 。+ 2 v o ( ，) 2 + 一v 0 3 】 v n k l n - k n - kn - k - 2 v k m 。k 制，- v t , , o , 小， + 2 v z v , ，_ 一。一，- - v k 叶一。，】 i = 01 = 0 比较方程( 4 3 ) 等号两边q 的同次幂，得 i = 0i = 0 ( 4 0 ) ( 4 1 ) ( 4 2 ) ( 4 3 ) q ：l ( v 1 ) + v o ”+ v 0 2 v o 一2 ( 。) 2 一噼一v 0 2 v o 。+ 2 ( ，) 2 + 一3 = o ， ( 4 4 ) 一正 q 肿1 ：( + 。) 一，+ k + 【吒一。一- 2 v k n - k k ；01 = 0 h 一七 月一膏 i = 0 n - k v ，士，f 一v ，十， i = 0 + 2 u z v , ，v , , - , - i x - - v k m k _ ，】= o ， ( n = l ，2 ，3 ，) ( 4 5 ) 1 = 01 = 0 将( 3 4 ) 式代入到方程( 4 4 ) ，并作用于逆算子，得 1 2 + 一尺x ， q o i i k q棚b “钆百 ， + 一rx + 一尺x 哪 ”棚”脚 ”d脚w八八 r1 g g u， v v h 第二章高阶非线性方程的同伦摄动解法 m = 1 6 0 e 4 i x t 2 ( 一l o ( 一3 + r ) + e 2 6 x ( 3 0 + r ( 1 0 斗3 ( 一5 + r ) r ) ) ) ， ( 4 6 ) 取甩= 1 ，并将( 3 4 ) 式和( 4 6 ) 式代入到方程( 4 5 ) ，并作用手逆算子，得 吃2 丽1 ( 产* 2 8 ( _ 5 + f ) t 2 + 4 e 撕x ( - 4 2 。+ f ( - 1 4 0 + t ( 7 7 0 + 3 t ( 7 。+ 9 ( 一7 + ) ) ( 4 7 ) 一e 4 f i x ( 1 6 8 0 + t ( 1 6 8 0 + t ( 一1 5 4 0 + t ( 一1 4 0 + t ( 2 8 + t ( 1 6 4 + 7 ( 一9 + f ) f ) ) ) ) ) ) ) ) i z l ：1 ( 3 4 ) ，( 4 6 ) ，( 4 7 ) 式知，混合问题( 3 1 ) 的近似解析解为 移= v o + m + v 2 = 3 1 6 0 ( 4 e 3 - z 。t 4 ( 5 6 0 + 9 t ( 2 8 + 3 ( 7 + f ) f ”一2 8 e , - z ( _ 1 2 0 + f ( 1 2 0 + f ( 6 0 + f ( 2 0 + ( 5 + f 弘) ”) ( 4 8 ) 一e 5 压2 ( 1 6 8 0 + f ( 1 6 8 0 + f ( _ 1 5 4 0 + f ( - 1 4 0 + f ( 2 8 + f ( 1 6 4 + 7 ( 9 + f 弦) ) ) ) ) ) ) 由变换( 3 9 ) 知混合问题( 4 0 ) 的精确解为 v ( x ，f ) = e 瓜叫 ( 4 9 ) 我们给出，混合问题( 3 1 ) 的精确解1 ，( 五f ) 的图像与二阶近似解析解谚( 工，t ) 的图像如图3 及图4 所 示 图3图4 同样给出，混合问题( 3 1 ) 的精确解y ( x ，t ) 与近似解析解蚕( x ，t ) 的绝对误差比较如下表 所示 工 f v ( x ，t )影( x ，t )l v ( x ，f ) 一哥( 五f ) 1 00 110 o 10 0 0 0 l1 1 5 1 7 91 1 5 1 7 9 1 0 1 4 1 6 x 1 0