（基础数学专业论文）几类微分方程的同异宿轨道.pdf

几类微分方程的同异宿轨道基碚敬擎专业研究生杨丽平指导教师蒲志林教授同宿轨道和异宿轨道是非线性动力学中一个重要的研究对象，在许多方面都有重要的应用本文主要运用变分法讨论了三类微分方程的同宿轨道或异宿轨道第一章介绍了一些基本概念以及与变分法相关的定义和定理：第二章讨论了一类带超线性项和次线性项的具有对称性的二阶微分方程正值同宿轨道的存在性和唯一性：第三章讨论了一类二阶微分方程异宿轨道的存在性和唯一性：第四章讨论了一类理阶渐进周期微分方程非平凡同宿轨道的存在性关键词：同宿轨道异宿轨道变分法临界点山路引理i c el i p i n 曲1 6 3 c o w毕业论文h o m o c l i n i co r b i t sa n dh e t e r o c l i n i c0 r b i t sf o rs e v e r a lc l a s s e so fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa u t h o r ：y a n gl i p i n gs u p e r v i s o r ：p r o f e s s o rp uz h i l i nh o m o c l i n i co r b i t sa n dh e t e r o c l i n i co r b i t sa r ev e r yi m p o z m mo b j e c 协o fn o n l i n e a rd y n a m i c s ，a n da p p l i e di nm a n ya r e a s i nt h i sp a p e r , v a r i a t i o n a la p p r o a c hi su s e dt os t u d yo fh o m o c l i n i co r b i t so fh e t e r o c l i n i co r b i t sf o rt h r e ec l a s s e so fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i nc h 印。c rl ，w 蟹i n t r o d u c eaf e wo fi m p o r t a n td e f i n i t i o n sa n dt h e o r e n 塔r e l a t e dt ov a r i a t i o n a la p p r o a c h i nc h a p t e r2 ，w es t u d yt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fh o m o c l i n i co r b i t sf o rac l a s so fs e c o n do r d e ro r d i n a r yd i 岱舶即畦a le q u a t i o mw h i c ha 他s u p e r l i n e a ra n ds u b l i n e a r i nc h a p t e f3 。w es t u d yt h ee x i s t e n c eo fh c t e r o c l k l i co r b i 缸f o rac l a s so fs e c o n do l x f e i d i f f e r e n t i a le q u a t i o m i nc h a p t e r4 ，w es t u d yt h ee x i s t e n c eo f n o n t r i v i a lh o m o c l i n i co r b i t sf o rac l a s so f f o u r t ho r d e ra s y m p t o t i c a l l yp e r i o d i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s k e yw o r d ：h o m o c l i n i co r b i t sh e t e r o c l i n i co r b i t sc r i t i c a lp o i n t sm o u n t a i np a s sl e m m ai c e _ l i p i n 1 6 3 c _毕业论文绪论变分原理是一个普遍原理，它将自然界中的变分问题归结为某个泛函在一定条件下的极值问题专门研究变分问题的方法日q 变分法，主要用于研究泛函幅界点的存在性与多解性以及临界点附近的拓扑性质，在经济管理、优化与控制理论、经典力学、场论等各个不同的领域都得到了广泛的应用近三十多年来，变分法得到了飞速的发展1 9 7 3 年，r a b j l 蝴咖痢a 曲i d s e n i 共同给出的山路引理 7 等一系列极小极大定理，在临界点理论中产生了深远的影响；1 9 7 8年，黜b 矗i 捌乜r 把山路引理应用于无界泛函，成为变分法发展过程中的一个标志性成果后来，变分理论应用到了更多的微分方程研究中 1 3 ，1 6 ，2 4 ，2 6 ，4 1 ，4 3 ，同时也在研究复杂的数学物理问题( 如：偏微分方程解的存在性、非线性动力系统周期解、同宿轨道、异宿轨道等问题) 中起着重要的作用 1 8 - 2 6 同宿轨道和异宿轨道是非线性动力学中一个重要的研究对象。它们在许多方面都有重要的应用j # 线性偏微分方程的同宿轨道和异宿轨道对应为该方程的孤立波解 1 1 ：同宿轨道或异宿环的破裂可以导致混沌：同宿轨道与异宿轨道的分叉也是种重要的分叉情况因此，同异宿轨道和奇点及闭轨起是分叉与混沌理论中起关键作用的因素，是动力系统中产生丰富动力学行为的源泉之同宿轨道和异宿轨道的研究是一个经典的问题早在p o i n c 冶r 6 时代人们就注意到非线性动力系统的同宿轨道和异宿轨道对系统本身的性质有着极大的影响，于是开始了对它们的研究这个时期主要采用扰动方法 1 ，2 最近几十年，变分法被大量的用于研究微分方程和系统的同异宿轨道，并取得了许多重要的成果 3 - 7 。1 3 - 1 7 微分方程的同异宿轨道是个非常重要的研究方向，在非线性物理学、非线性化学、电力工程、数量经济学及生物动力系统等学科有着广泛的应用物理学和力学中的许多问题都可以归结为具有同宿或异宿轨道的微分方程 2 8 ，2 9 】哈密顿系统由微分方程( 组) 构成，微分方程的同异宿轨道在哈密顿系统的同异宿轨道问题中也起着关键的作用 3 ，l o , 2 0 本文的主要工作是应用变分法讨论三i c e _ 1 i p i n g 1 6 3 c o -毕业论文绪论类在非线性系统中起重要作用的微分方程同宿轨道或异宿轨道的存在性及唯一性问题文章将作以下安排：第一章主要介绍一些基本概念以及与变分法相关的定义和定理第二章运用变分逼近的方法讨论了一类具有对称性的二阶微分方程“( f ) 一盯( f ) “( r ) + p ( t ) u 9 ( f ) + ，( f ) “。( f ) = 0 。一 t + ，( o d e i )正值同宿轨道的存在性和唯一性方程( o d e l ) 带有超线性项和次线性项( o p 1 碍) ，推广了g o s s i n h o m i n h o s - t e r a i a 4 的结果第三章将讨论一类二阶微分方程”o ) + 口( f ) “o ) 一( f m 1 9 一u ( 0 = o ，一o o t 0 , 3 6 = 骶砂，对任意的i s 最v e g ，都有则称门生点f r e c h 6 t 可微，工通常称为，在点f r e c h 6 t 导数，记作：，( “) 如果”e 满足j o ) = 0 ，即 ：仉v 9 e ，则称为j 的临界点，对应临界点的值，0 ) 称为，的临界值定义1 3 1 1 2 】设e 是一实b a t c h 空间，j e c l ( e ，r ) ，c e r ，如果序列缸 c 层满足条件，“) _ g j r 帆) 一o ( 七寸呦，则称k 为，关于c 的临界序列定义1 4 1 1 2 设e 是一实b a n a c h 空间，e c ( ，r ) ，如果满足条件k )有界，r ( u ) i o _ 呦的每一序列瓴 在e 中都是列紧集，刚称泛函i 满足p d a i s - s r n a l e 条件，简称( p s ) 条件1 e e _ l i p i n s 1 6 3 c a -毕业论文第一章预备知识定理1 1 2 7 ( 变分法基本引理) 设q c r 。时，函数f ( x ) e “q ) 满足，( 功，7 ( 力d j ；0 ，v 印c o ( o )则在q 中，( 力；0 ，定理1 2 2 7 ( 广义变分法基本引理) 设q c r 。时，函数f ( x ) e k 满足f ( x ) 刁( x ) d xf f i0 。v 刁c o ( a )则在q 中，o ) = o 口p 定理1 3 1 1 3 ( 极小极大原理) 设泛函i c 1 饵，r ) ，a 为e 的非空子集族，记c 2 躲呀7 ( 砷如果满足条件：( 1 ) c 是一个有限数：( 2 ) 存在手 0 ，使得a 关于映射族r = 1 e c ( e ，r ) l 兀矽= 工当j ( 力 o ，使得，| 嘞。，2 口 o ，存在e e e 、瓦( o ) 使得，o 令r 是e 中连接0 与e 的道路的集合，即f = g c ( 【o ，1 ) ，e i g ( o ) = o ，g ( 1 ) = p 记f 2 蜉黝船( f ) )那么c 口，且，关于c 有临界序列如果j 再满足口s ) 条件，则c 为j r 的一个临界值下面我们介绍一下s o b o l e v 空间理论中的嵌入定理，其证明参见 3 0 怎。，定理1 5 ( s o b o l e v 嵌入定理) 设q c r “为一有界区域，l p s0 0 ，k 为非负整数。则时( q ) 哼工叮( q ) l s g ，+ = ! 芝一，印 打一舾f ( q ) ，1 s g 鹄助= 糟c 。( - ) ，o a 月肋定理1 5 中，若q 满足一致内锥条件，即存在有限维的锥矿，使得q 中的每一点，都是q 中一个全等于v 的锥的顶点，则可以把空间时( q ) 换为w k , p ( q ) 结论仍然成立定理1 6 ( s o b o l e v 紧嵌入定理) 设q c r “为一有界区域，l p ，七为非负整数，则下列嵌入是紧的：i c e _ l i p i n 醇1 6 3 t o m嘭9 ) c f ( o ) l g ，= n p _ ，切 开刀一用，( ( 耽1 s g 伸，切= c 。( - ) o t z 打印毕业论文第一章预备知识山路引理和嵌入定理还有一些推广，这里就不作一一介绍，正是因为这些定理及其推广使得泛函分析的技巧应用在微分方程的研究中充分的发挥了作用i c e _ l i p i n g e l 6 3 c o l6毕业论文第二章超线性项加次线性项对称二阶微分方程的同宿轨道2 1 引言物理学和力学中许多问题都可以归结为具有同宿轨道的二阶常微分方程，如：倒摆运动的混沌现象 2 8 ，d u f f i n g 振荡器 2 9 等二阶常微分方程同宿轨道的研究与周期轨道和异宿轨道的研究有许多的共性，传统的研究方法是几何方法和扰动方法 1 ，2 最近几十年，变分方法被大量的用于研究微分方程和非线性动力系统的同宿轨道 1 4 1 7 ，2 0 2 5 ，特别是二阶i - l a n f i r o n i a n 系统二阶h a m i i t o n i a n 系统由二阶常微分方程( 组) 构成，二阶常微分方程的同宿轨道在二阶h a m i l t o n i a n 系统的同宿轨道问题中起着重要作用1 9 9 4 年，k o r m a n - l a z c r 3 利用变分逼近方法 6 ，9 研究了一类二阶常微分方程甜一a ( t ) u + ，( f 弦3 = o ，一 t 佃的正值同宿轨道的存在性、唯一性和对称性此方程是二阶h 缸n i l t o n i a n 系统i i - l ( t ) u + 圪以) = 0 ，一 t 佃的一维情况1 9 9 9 年，g o s s i n h o - m i n h o s t e 以a i a 4 研究了二阶常微分方程”。一口( f ) + ( f ) 口2 + ，( f ) 3 = 0 ，一 ， 佃的同宿轨道的存在性本章，受文 4 启发，我们采用变分逼近法讨论具有对称性的二阶常微分方程“。( f ) 一口o ) “9 ) + 户( f ) 甜o ) + ，( f ) ”。( f ) = 0 。- - c o t 4 o o ( o d e l )同宿轨道的存在性i c el i p i n g 1 6 3 c o -毕业论文第二章越线性项加次线性项对称二l l 卜檄分方程的同宿轨道我们知道下列问题。o ) 一口o ) l o ) + 卢( f ) ( f ) + 巾) l i ( f ) = o ，埘 f 忡，( 2 1 )【“( 佃) = u ( - - ) = ( 佃) = u ( - - - ) ；0 的解叫做方程( 0 d e t ) 的同宿轨道假设问题( 2 1 ) 满足下列条件( h 1 ) 0 p l g ，且口，c 1 ( 胄，r ) ：( h 2 ) 0 a s 口( f ) ，( f ) 0 , 0 0 ，垆( f ) 0 ，t 7 o ) 0 我们的主要结果是：定理2 1 1 如果( 2 1 ) 满足条件( i 1 ) ( i - 1 4 ) ，则方程( o d e l ) 存在唯一的正值同宿轨道社( f ) ，( f ) 为偶函数且( r ) 0 需要指出的是，方程( o d e l ) 带有超线性项和次线性项( o p l 1 ) 怒紫0 _ d亿z ，【“( 一乃= “( d =中，如果函数f ( t ，) c 1 ( 【l 刀x r + ) 满足条件厂( - f ，“) = f ( t ，豁xt ( 一五，缸 0f ( t ，0 ) = o ，t ( - t ，乃( 2 3 )矿( f ，“) 0则边值问题的任何正解“= “( f ) 都是偶函数，且“( f ) 0这显然是矛盾的。由h o p f 引理 3 1 有甜( 乃 0 不可能成立因为甜( n = 0 ，且“( f ) o , t ( 一l 乃由常微分方程解的存在唯一性定理 3 2 知“7 ( d = 0 也不能成立假设t ( t ，t i 有( f ) o ，由连续性可知甜在区间矿，刀单调递减i c e 1 i p i n g 1 6 3 c 9毕业论文第二章超线性项加次线性项对称二阶微分方程的同宿轨道现设在区间卜r ，t + 】有无限个极小值，为避免函数“在该区间上是一常量令t l t 2 t i f f i 0 i 为序列擘。l 和伍k 在区间卜f ，t 】上的元素，且满足l m i m t ，2 磐= t r以至对每个f ，t ，是严格极小值点，j ：是严格极大值点接下来证明球) = 球。) = 0 。由前面的证明可得“纯) u ( t 。) ，”瓴) ( 甜( 砒) 当y i 【 刀，乙【，】，令“f = u ( t f ) ，坼= “( ) ，贝0 “o 咯) = u ( t ，) u ( z 1 ) = “( + 1 ) 用t = 似) ，t = 屏似) t = 以 ) t = 4 ( ) 分别表示函数= “( f ) 在区间【：。】，眨。0 ，】，哦，刁】，【，y l 】中的反函数注意到其中口i 【的 珐 ) ，甜m f + i v f 】，力似) 0这也显然是矛盾的所以，函数“( f ) 在【一l 刀上只有唯一的极大值下面证明( 2 2 ) 式的任意正解都是偶函数假设解“o ) 在砸 o ) 点有极大值，记作：d = u i ，( 叫采用反证法进行证明，假设l “( n | 卜，( 列不成立，则有”( 乃- - - - v ( d 或l 7 ( di i v ( r ) | 若( d = v ( d ，由常微分方程的存在唯一性定理知两解川) 和“( d 重合若l u ( d i i v 仃) i ，则存在一点善f ，d ，使得却( 善) = v ( 善) = ：“。，i ，( 0 i q ( 参) i用t = f 。( “) ，t = f ：分别表示“( f ) 和砸) 在区间【善，刀上的反函数同前面的方法，在区间【孝，刀上积分可得：吾( 2 3 叫”+ f ，( t l “) d l i = 0了1 ( v 2 ( ”- - v n 2 偕) ) + f ，瓴，v ) d v = o因为f 。( “) f ，“( ，7 ) = “( o ) = ，则i v ( 0 1 = 卜，( 叫 扣( 功i 用t = 屯q ) t - - 4 ( 分别表示“( f ) 在区间【o 力和区间眵，们上的反函数用前面的方法可得三2 研) _ 4 # 2 ( 0 ) ) + e ( 厂也 ) “) 一，( f 4 ( v ) ，v ) ) d v = o这意味着情况二是一定成立的再用t = ( 吐，= f 。 ) 分别表示川) ，“( f ) 在区间【o ，刀和区间所，刀上的反函数同上可得i c e _ t i p i n g 1 6 3 c 1 t毕业论文第二章超线性项加次线性项对称二阶微分方程的同宿轨道i 1 。2 ( r ) - u z ( ，7 ) ) + ，( f 。) ，“) d 甜= oj 1o 2 ( 7 3 - - v t 2 0 7 ) ) + f f ( t s ( v ) v s 2f ( t s ( v ) ，v ) d v = 0i o ”0 7 ) ) +，把上面两方程相减得三”( d v 1 2 ( 乃) + ( v ，2 ( r ) - u ( ，7 ) ) 】+ ( 厂( f 6 似) ，“) 一，( f 5 ( v ) ，v ) ) 妇= o( 2 4 )在区间【0 ，“。】，t ，( ) f 。( “) ，并由情况一和情况二的结论知( 2 4 ) 式左边肯定不等于零故矛盾因此，函数“o ) 只能在0 点取得极大值，f t u ( o ) f f i v ( o ) ，v ( o ) = - - t l ( o ) = 0 ，由常微分方程解的存在唯一性定理以及条件u ( t ) = v ( t ) = u ( - - t ) 知函数“( f ) 是一偶函数引理2 2 3 如果条件c r i i ) ( h 4 ) 成立，边值问题p ( f ) 一口( f ) “( f ) + 卢( f ) 甜( f ) + ，o ) “4 ( f ) = 0 , t e ( l n ，【h ( 棚2 却( d 。0 ( 2 5 )存在唯一正解蜥，且满足”；( f ) = o ，f 【o ，刀，则一定有一常数k o 使得o f ( f ) + 甜；( f ) ) d f s x ( 置为不依赖于r 的常数)证明考虑问题( 2 5 ) 的变形问题j “( f ) 一口( f ) ”( f ) + f l ( t ) u + n ( f ) + ，( f ) “+ ( f ) = 0 , t ( 一l d ，【u ( - t ) = 却( d = 0 ( 2 6 )其中“+ ( f ) = m a x ( u ( t ) 。o ) i c e l i p i n g 1 6 3 t o e1 2毕业论文第二章超线性项加次线性项对称二阶微分方程的同宿轨道问题( 2 6 ) 的非零解必是( 2 5 ) 的正解，这是因为若“( f ) 是问题( 2 6 ) 的解，r u ( t ) 在t o ( 也d 取负极小值，由问题( 2 6 ) 中的方程得t t ( t o ) 一a ( t o 弦也) = 0但是“。( f o ) o ，而o 口 0 且“( f ) 是问题( 2 5 ) 的解因此，只需要证明问题( 2 6 ) 解的存在性定义泛函i t ( u ) ：h r 寸r 如下：删= e 寺，2 ( 讣卿2 ( f ) 卜p f l 十( - - - 骘t ) u j 1 ( t ) 一鬻u + q + l o 渺若泛函l ( “) 满足山路引理的条件，则( ”) 的临界点就是问题( 2 6 ) 的古典解以下分三步证明第一步：泛函i r ( u ) 满足口s ) 条件设序列伽， jc - h ，假设存在常数g 和 ，当， 时有耳 ，) “，= ( ( “夕+ 口( f ) “j ) 一，( f ) “一，( f ) 7 ) a t令西= m i n o ，q + ，8 ，l r ( u ，) 一乃 ，) “= 睁爿e 竹州+ 1 百一击) 胁弘( 争剖肿枷川冲( 三一甜又因为扣， ，是有界序列，n r 多j c - t , t s o b o l c v 紧嵌入定理 3 0 知恤，) ，在日，中有强收敛子列i e o _ l i p i n g $ 1 6 3 c 毕业论文第二章超线性项加次线性项对称二阶微分方程的同宿轨道第二步：泛函i r ( u ) 满足山路引理的几何条件显然，i t ( o ) = 0 对v “h r ，有i t ( u ) ”枷一鬻f “d f扣1 2 + ( 南吖1 ) d ，由引理2 2 1 可知，存在p o ，使得当陋i i ，= 户时，i t ( u ) 鲁p 2 、驭函数= “。( f ) 日：卜l d ，满足l 0 ( f ) - l ，肛i 1 。血0 ( f ) 5 1 i 1 h 三卜。舻。，圭归h 1l 0 易证，当名充分大时， ) 0 因此，与勺相应的临界点记为= ( f ) ，它是问题( 2 6 ) 的一个非零解，即问题( 2 5 ) 的乖古典解i c el i p i n 9 0 1 6 3 c 1 4毕业论支第二章超线性项加次线性项对称二阶檄分方程的同宿轨道第三步：序列k 的一致估计。容易看出，若五 r ，则r fc l ，从而o 龟c 1 , c i 一方面，膀务瑾( o u d 一等一鬻群；+ l qe ( 扣2 枷) “；) _ 而t i f f ) 一器“；+ 1 ) d fs q粤+ a 似，2 ) 二击( 多+ r ( t ) u 9 1 渺s q另一方面，用唧乘问题( 2 5 ) 中的方程再分部积分得：e + 口( 咖；) 一( f ) l 一，( f m ；+ 1 ) d r = 0则有工f f p r ( u 。 2 + 口( f 如；) l f = f r ( f l ( t ) u r l + ，o ) “；“) d fg 一剖脚枷拼) l ，s q( 三一爿五胂帅；雠sc t于是，存在与t 无关的正常数k ，使得2 ( f ) + “2 r ( t ) ) d t k再由引理2 2 2 知，i e 解- u ，是偶函数，且“；( f ) o ，f ( o ，d ，下面采用反证法证明唯一性假设问题( 2 5 ) 有两个不同的正解蜥( f ) 和吩o ) 由引理2 2 2 ，不妨设“，o ) v r ( t ) ，t ( _ l n 因为i c e _ l i p i n g l 醯c 毕业论文第二章超线性项加次线性项对称二阶微分方程的同宿轨道1蜥( 一乃：吩( d = 0 i v r ( 0 - c t ( t ) v t ( t ) + f l ( t ) ，；o ) + ，( f ) 嵋o ) = o , t g ( - t , t ) ，【v f ( 刀= 吩( d = 0 从而e ( v ，( f ) “；o ) - - u t ( f ) 嵋( r ) 皿+( v ，( f ) ( f ) “( r ) + ，( f ) “；( f ) ) 一“，( r ) 伽( f ) v # + ，o ) “；肛= 0再根据齐次边值条件 8 得以( f ) “；o ) 一z 4 7 ( f ) 嵋( r ) = 0因此l b o ) o ) 甜；( f ) + ，( f ) ；p ) ) 一掰，( f ) ( f ) 嵋+ ，( f ) ”；肛= 0 。( 2 7 )又由假设“，“) o ，甜：( o ) 0 进而，由方程( o d e l ) 得0 2 甜：( o ) = 口 o ( n 1 )( 2 9 )，、其中j 2 ( 剐q - i ， 注意到瓴) 叫( f ：) = 1 2 “( t ) d t s 压刁p o ) ；容易看出序列如。k n 1 ) 在每个闭区间卜，】o 1 ) 上是等度连续且一致有界的，因而在 一瓦，瓦坳1 ) 上有一致收敛的子列设娃 为恤) 在【互，正】上的收敛子列，同样可设鹾 为破) 在【一互，疋】上的收敛子列依次类推，考虑序列恤。 = 戤，2 ，“：，对每个固定的p 1 ，它都是媛) 的子列，因而存在( 咱佃) 的函数“= “( f ) ，使得在每个有界区间上伽 都一致收敛到= 扯( f ) 容易看出，似二) ，缸：，在每个有界区间上也都是一致收敛从 o ) 2i ( 一j ) “：i ( s ) 凼，口= 一1i c e _ l i p i n g 1 6 3 c o -1 7毕业论文第二章超线性项加次线性项对称二阶微分方程的同宿轨道可以推出u = u ( t ) c 2 ( ，+ 呦，而在每个有界区间上”二o ) 一致收敛到”( f ) 从而u = “( f ) 是方程( o d e i ) 的解再由( 2 9 ) 式知i “( o ) i 8 0 ，即“= “( f ) 不恒为零根据引理2 2 2 知( f ) 是偶函数，所以其极限函数h = u ( t ) 也是偶函数，并且甜稚) 0 。下面证明”( 士) = ( ) = 0 由引理2 2 1 可得l i r a m a n x 。m l 恕昏2 ( f ) + “2 ( f ) 皿= o ，因此一定有( ) = 0 结合定理2 1 1 的条件知，存在常数m 0 ，使得p 。酬，t e ( ，佃) 现用反证法，假设”( 佃) o ，则存在占 o 和数列 r 。x f 寸m o 寸) ，使得对任意自然数疗，都有k 也h 占应用拉格朗日定i , 对艿e ( 0 ，2 8 , t e ( t j 一最r + 艿) 有扣o h = 扣( ) 一0 7 ( f ) - u ( f ) 】卜( ) | 一k ( f ) - u o ) l 占- i u ( r 1 ) - dp m a e _ 2这里的巩是介于f i 和r 之阃的于是有心- 8 ”o ) d r 三西2 o ，这与恕k 2 ( f ) + 越2 ( r ) ) i f = o 矛盾，因此甜( 佃) = o 同理可得甜( 哪) = 0 唯一性假如问题( 2 1 ) 有两个不同的偶正解u = 甜( f ) ，v = “f ) ，与引理2 2 2 的证明类似也有i c el i p i n g e l 6 3 c o i l毕业论文第二章超线性项加次线性项对称二阶微分方程的同宿轨道e ( 心) p ( f ) “( f ) + r ( t ) u 。( f ) ) 一“( f ) ( f ) v ，( f ) + ，( f ) v 一( f ) ) ) l f = o 我们知道“= “( f ) 和v = v ( o 不可能在( ，4 o o ) 内恒有u ( t ) 砸) ，v ( t ) 甜( f ) ，所以它们一定相交下面分两种情况讨论：记情况一：群( f ) 孵) 至少有两个正交点设当，岛分别是最小和次小的两个正交点不妨设在编，彘) 内“( f ) 砸) ，- = “( 鼻) = “当) ，甜：= 甜乞) = “邑) ，g ( t ，) = - u ( t ) u + p ( t ) u + r ( t 。用t = t i ( u ) 表示u = o ) 在皤，磊) 内的反函数，同引理2 2 3 ，用乘方程( o d e i ) 并在( 矗，磊) 上积分得：矿2 ( 彘) 一“2 ( 轰) + 2r 2 9 ( ( 甜) 一) d “= o 同理用t = t ： ) 表示y = v ( f ) 在蟥，磊) 内的反函数，用担乘方：麓a ( o d e l ) 并在皤，彘) 上积分得： ，“( 磊) 一，2 ( 点) + 2 f 2 9 “( v ) ，v ) d v ；0 二式相减得国”吹) 一矿2 鸥) ) + 2 馐) 一2 鸲) + 2 f 2 ( g ( f 2 q ) ，鼙) _ g ( t 。 ) ，秘) = o 上式的左端三项均为负，这显然是矛盾的情况二：甜( f ) ，v ( t ) 只有一个正交点假设磊是唯一正交点，从直到+ o o 积分，也同样得出矛盾唯一性得证，整个定理的证明完毕，i c e _ l i p i n 醇l c 毕业论文第三章一类二阶微分方程的异宿轨道3 1 引言异宿轨道的研究在冲击波和孤立波问题中得到充分的重视 3 4 ，它在微分系统定性分析中作为特殊的不变集，有着非常重要的地位，受到了广泛关注 2 5 ，2 6 ，3 5 ，3 6 ，3 7 ，3 8 本章主要讨论一类二阶微分方程。( f ) + 口( f ) “( d p ( t ) l u l p - i 越( f ) = o ，- - 0 0 r f l ( t ) , a ( f ) ( f ) 0 定理3 1 1 若下列问题 f ) + 口( 咖一州” ( f ) = o f e ( 吨删( 3 1 )l “( 。) = 士l ，“( 蛔) = 0满足条件( p 1 ) 口4 ) ，则它存在唯一的解打( f ) ，即方程( o d e 2 ) 存在唯一的异宿轨道，且u ( o 为奇的严格增函数i o e _ l i p i n g e l 6 3 c “毕业论文第三章一类二阶微分方程的异宿轨道3 2 重要引理考虑如下问题j ”。( f ) + a ( t ) u - p ( f ) l f - u ( o = o , t e ( - t ，d( 3 2 )恤( d = l , u ( - 即= 一1当r 专时，问题( 3 2 ) 的极限正是问题( 3 1 ) 的解然而，问题( 3 2 ) 的解主要依靠下列问题j 。o ) + 口。弦一( f ) l “i u ( f ) = o , t g ( 一t d( 3 3 )i “( o ) = o , u c r ) = l的解在证明定理3 1 1 之前，我们先给出两个重要的引理引理3 2 1 若问题( 3 3 ) 满足条件口1 ) 4 ) ，其中t 0 ，则存在唯一正解越( f ) ，且“( f ) 为增函数证明显然“( f ) z l 是问题( 3 3 ) 的一个上解，同时o ) = a t 是问题( 3 3 ) 的一个下解，这里的口为充分小的常数由最大值原理知问题( 3 3 ) 的荏惫解一( f ) 在区间( 0 ，d 都满足o “( f ) 0 ，这显然和( 3 3 ) 式矛盾一引理3 。2 2 如果问题( 3 2 ) 满足条件( p i ) ( p 4 ) ，则有唯一解“( f ) ，扯( f )为递增的奇函数证明设“( f ) 是问题( 3 3 ) 在te 【o ，即的解把它延拓到区间卜l o 】的解为一球( _ 彳) ，这说明问题( 3 2 ) 的解是一奇函数，再由引理3 ，2 1 知问题( 3 2 ) 的解是一增函数唯一性同引理3 2 1 可得其中“( f ) e l 是其上解，u ( t ) s l 是其下解一3 3 定理3 1 1 的证明证明取一序列_ ，在区间( 一，) 上考虑问题( 3 2 ) ，即考虑下列问题 “( f ) + 口( f ) l i ( f ) 一( ，) 卜i - u 0 = o , t e ( _ ，j( 3 5 )( - ) = 1 , u ( 疋) = - 1由引理3 2 2 知问题( 3 5 ) 有唯一解”。因为i “( 叫 l ，所以有如下一致估计阻：酬sc ，f ( _ ，r ) ( 其中c 为常数) ( 3 6 )又因为“。o ) 是单调的，所以( 3 6 ) 式蕴含第三章一类= 阶微分方程的异宿轨道辟：( 叫c o 使得对任意的n 都有材：( o ) 岛( 3 。9 )事实上，对t 0 ( 即“。o ) o ) ，引入能量函数即) = i 1 m i l 啪) 一六o m ) ，密t 3 群瓦霜即) = 三口，( f ) “：( f ) - p + l l _ l p ，( f ) “，( f ) 配) 酬赫由( 3 9 ) 式知“不恒等于0 ，再由( 3 8 ) 式知”7 ( f ) o 既然一l ( f ) s 1 ，说明。l i r a 。甜o ) 存在因为“。( f ) 在f 增大时一定减小，唯一的可能是骢甜( f ) = lr又因为“( f ) 是非减的，说明熙“。o ) = o 事实上，以( f ) 是严格增函数，否则。能找到一点f o o 使得“o 。) = 0 把问题( 3 1 ) 中的方程在区间o 。，呦上积分，缛第三章一类二阶微分方程的异宿轨道出矛盾下面证明唯一性设地) 为问题( 3 1 ) 的另一解，有四种可能情况一：“( f ) 和砸) 在区间【o ，a o ) 上至少相交两次即能找到f i ，f ：( o t i4 2 嵋) ，t ( f i ，t 2 ) 由引理3 2 1 可得2 0 ( f 2 - v ( f 2 ) ) 一q g 瓴) 一v ( f 1 ) ) + rj 即) z n 和，_ 1 ( ，) 一”1 0 ) ) d ，= 0( 3 1 0 )因为u ( t i ) y ( f i ) ，( f ：) o 的情况，即相当于无阻尼时的d l l 伍n g 方程现对睾取“一”号的情况进行讨论，则( 3 1 4 ) 式可改写为万d 2 u4 a u - - 伽3 ：o( 3 1 5 )万用刈。官等价千平而秦缔i c e 1 i p i n g e l 5 3 c o od “巧2 妒等叫毕业论文第三章一类二阶微分方程的异宿轨道它有三个奇点：( o ，o ) 是一个中心，芳，o ) 和卜芳，0 ) 是两个鞍点显然它有一条满足“( 。) = 石，甜( ) = o 异宿轨道，经计算得到其对应的孤波解为“似f ) 2 括蛐恪叫) 如果方程( 3 1 5 ) 中a = l , p = 1 则有堡+ “一“3 ：o( 3 1 8 )蝣这正好是定理3 i 1 的一种特殊情况由定理3 1 1 知方程( 3 1 6 ) 存在一条满足u ( + o o ) = l ，“( 士。) 的奇的异宿轨道用”乘方程( 3 1 6 ) 并积分可计算出该异宿轨道为”= 伽1 1 l 去另外，当等取“+ ”号时，其孤波解正好对应为方程的同宿轨道，这里就不再作详细说明i c e _ l i p i n g e l 6 3 c 毕业论文第四章超线性四阶渐进周期微分方程的同宿轨道4 1 引言四阶微分方程“+ p u + a o ) “- f l ( t ) u 2 一r ( t ) u 3 = 0 ，t r( 4 1 )是物理学中重要的广义f i s h e r - k o l m o g o r o v 方程，文献 4 1 - 4 3 对其作了相关研究四阶动力系统横截性的验证是非常困难的工作，通常需要转化为方程( 4 1 ) a m i c k - t o l a n d 2 2 讨论过当口= 卢= 1 ，= 0 , t t l = 2 ，p s - 2 方程( 4 1 ) 存在同宿轨道；b u f f o n i 3 9 用山路引理和集中紧致原理把 2 2 的结果推广到p 2 ：c o t i - z e l a t i ，e k e l a n d 4 4 等把它应用到了凸的h a m i l t o n i a n 系统本章，我们将讨论更为一般的四阶微分方程砧扣+ ，。+ a ( o u 一声( f ) h 。- r ( t ) u 。= 0 ，t r( o d e 3 )同宿轨道的存在性假设方程( o d e 3 ) 满足如下条件：( g 1 ) l m 以，且a f t ) ，俐，删c ( r ) ：( g 2 ) 存在卜周期函数口。( f ) ，屁( f ) ，凡o ) c ，使得当，寸时，a ( t ) 一1 7 t 。( f ) 专0 ，f l ( t ) 一风( f ) 0 ，r ( t ) - r 。( t ) 啼0 ：( g 3 ) 存在正数a 。，a 2 ，b ，七l ，k 2 使得对于v t r ，有0 口l 口8 ) 1 7 l , , ( ，) a 2 ，一b s l 3 ( t ) s 见( f ) b ，0 毛，。o ) s r ( t ) s k 2 ；( g 4 ) p o 使得 ”一p u 2 + 口( f 弦2 ) 巾c 。肛4 2( 4 2 )让明看p 0 ，令q = m i n ( 一p , a i ，i ) ，绪果显然成立下面讨论o p 2 、石的情况令露( 0 是“( f ) h 2 俾) 的f o u r i e r 交换，假设存在i e ( o 固使得【p + 1 ) 卜”l s 孝( 1 ) 善胄( 4 3 )令q = l 一孝，由p a 蹴a l 不等式可得 ”一p u “+ 口( f 如2 ) d f f “一彤2 + a l u 2 ) m把( 4 3 ) 式变形为：i c e _ l i p i n 【g e l 6 3 c = 【一蟛2 + a i w g ) d 善= l ( p + 孝2 + 1 一+ l 增2 + q 1 ) 1 五1 2 ( 孝) d 善= ( 1 一锄2毕业论文第四章超线性四阶渐进周期微分方程的同宿轨道o s 善+ ( 1 - 掣) 善：+ ( 1 + 掣) ，v f 足膏t 由根的判别式得。( - 一半 2 4 ( + 剡0 k 2 + 2 k ( p + 2 a l - 1 ) - 3 q + 1 ) 2则l p 一2 a 。+ 石i ；j i i ：石f ：j 丽七 3因为k e ) ，令岛= l p 一2 口l + ( p + 2 q - 1 ) 2 + 3 ( p + 1 ) 2 3等价于o + 2 a i - 1 ) 2 + 3 ( p + 1 ) 2 2 + p + 2 a lp 2 4 a 1可选择七心，3 ) 使得( 4 2 ) 式成立，中q = l 一喜考虑方程越+ 删+ a o 扣- d ( t ) u 。一7 ( t ) u 。= 0 ，ter计+ ，+ 口。( ，) 群一几( f ) 甜- 一y ( o u 。= 0 ，t e r一( o d e 3 )( o d e 3 ) 。对v ueh ，定义方程( o d e 3 ) 和( o d e 3 ) 4 泛函分别为：2 胯”叫2 枷一熹胁一南m 矿1 皿l 盼i 扣“一+ 屹伽2 ) 一m - - 南f l 。( t ) u 一n - 南r ( t ) u “砂j 一又因为，0 ) l ( “) 满足条件( g 3 ) 所以，0 ) ，l 0 ) 在h 2 上是f r 6 c h c t 可微的对v u h ，它们的f r 6 c h e 导数为：i c e _ l i p i n 9 9 1 6 3 c o o毕业论文第四章超线性四阶渐进周期微分方程的同宿轨道 ，( “) ，v x o v 一刖y + a ( o w - p c t ) 。 ，一y ( f ) 。v ) d f一 e ( “) ，1 ，扣fm v p u v + 瓯( f 炒一几o m 。v 一o ) i 。v ) d f则对v u 日有，( o ) = l ( 0 ) = 0 ，以) s l ) 我们知道，) 和l 似) 的临界点分别是方程( o d e 3 ) 和( o d e 3 ) 。的同宿轨道以下的巳均为正的常数由s o b o l e v 嵌入定理 3 0 h 1 ( 丑) c 上，( 尺) 2 s p 令常数岛，岛使得似叫“_ o 万 o 使得l ( ) ，o ) 艿 o ：( 2 ) 存在p h 使得 p 和，( 力 l ( 0 o即l ( “) l ( u ) 艿 0( 4 6 )( 2 ) 选择石h ，使得v t e 见矾f ) 0 当旯充分大时i c e _ l i p i n g e l 6 3 c o -毕业论文第四章超线性四阶渐进周期微分方程的同宿轨道力4 j ( 勉)= 三妒2 一+ 确d r 一三m - ii 舢d ，一磊i - i 挑) d fs 三i 何“一p 护+ 口( f ) 丽2 皿+ 熹音6 f ”1 出一熹毛f ”1 出存在p = 舸，其中名 0 ，使得j ( d 0 ( 4 1 0 )由引理( 4 2 2 ) 及e k e l a n d 变分原理的推论 4 0 3 知在序列伽 c 日， ) c 日中使得当胛辛o o 时，有l o 。) 寸气，阪( ) 4 矿- - - 0 ，( 4 1 1 )，( m ) 呻c ，i ，( m l 。寸o 如果( ) o 是l 似) 的一个临界点，则( + _ ，) ，_ ，e z 也是l ) 的i i 缶界点，但是序列 。+ 歹”在日上没有任何收敛子列，所以l q ) 不满足( p s ) 条件需要证明序列伽 。在日上是有界的，事实上i 丽m - 1q s 赤【位：一倒：帆( f 砖) d fi c e _ l i p i n g 1 6 3 c _3 1毕业论文第四章超线性四阶渐进周期微分方程的同宿轨道= 讹卜熹 一蒜灿m “d ，l 。) + i b i l v ( ”搬牡。用反证法，假设协， 有一无界子序列，仍把它记作秘。 ，由上面不等式和( 4 1 1 ) 式可得。 o 使得肛。8 q ，( 4 1 2 )因此有i i - - , o 以及o - l 。) 一j i = 云i 眦 “m + 东南i 几“出s 蒜i ( 6 盯“+ 啦圹) d ，因此。存在常数c - ，岛使得o c ls 啦。l _ + l + l u 1 - + 1 ) d r 。由集中紧性原理知，能找到一序列 。使得舰i n fn 。i ( f + l ) d f o 定义( ) = 甜。( + 厶) e h ，有m = 恢8 s 岛进而，存在一子序列，使得当以哼0 0 时，一v 在h 2 中，h 呻1 ，在吃中，。寸，在c l 中，一v4 p r 由( 4 1 4 ) 和( 4 1 7 ) 知v 0 ，因为a 。( r ) ，凡( ，) ，k ( ，) 为卜周期函数，i c e _ ) i p i n g e l 6 3 c ( 4 1 4 )( 4 1 5 )( 4 1 6 )( 4 1 7 )( 4 1 8 )则有毕业论文第四章超线性四阶渐进周期微分方程的同宿轨道对玎e h 有l 。) = l n ) 。i | = f f慷( ) l i 1 | 1 7 ( - j ) r= 伽。) ，7 0 0因此，咒( ) 一0 在h 里由( 4 1 5 ) ( 4 1 7 ) 知艺( d = 0 ，即i ，e h 是泛函l 的一个非平凡临界点同理 。在h 上是也有界的，那么 。存在一无界子序列，仍把它记作 。，使得使得当疗时，w ，一w 在日2 中：- - w 在吃( r ) 中于是，( 们= o 接下来，必须证明w 0 ，即w 是川i 勺非平凡临界点假设w = 0 ，则对所有的4