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东南大学硕士学位论文 光纤布喇格光栅的仿真与测量 摘要 下一代大容量w d m 光网络，要求在路由、滤波、控制、光信号放大等方面的高性能光 器件。光纤光栅和光纤与身俱来的兼容性使构建各种不同的b r a g g 光纤光栅设备成为可能， 其在频谱滤波、色散补偿、选波和传感等方面的优越特性越来越受到广泛的关注。 本文就光纤b r a g g 光栅的反射特性进行了数值仿真和实验研究，主要对折射率剖面非均 匀的少模和多模光纤光栅的反射谱进行了仿真和实验测量。 第一章中，概述了光纤b r a g g 光栅( f b g ) 的发展历程，总结了f b g 在光通信领域和传 感器领域的重要应用。简单介绍了f b t ；的制备方法。 第二章，基于电磁场理论介绍光纤的模式理论，首先介绍阶跃光纤的模式理论和本征方 程数值求解；然后介绍渐变折射率光纤的本征方程数值求解。 第三章，从m a x w e l l s 方程出发，在折射率微扰的基础上推导多模光纤b r a g g 光栅 ( m m - f a g ) 的耦合模方程，为m m - f b g 的仿真奠定了基础。 第四章，研究m m - f b g 耦合模方程的数值解法。在耦合模方程对角化的基础上，用试 射法( s h o o t i n g 法) 建立m m - f b g 耦合方程快速求解的方法 第五章，考虑了光栅制作过程中光敏特性对折射率剖面分布的影响，对少模光纤b r a g g 光栅( f m _ f b g ) 各线偏振模的反射特性进行了数值仿真。数值求解了f m - f b g 的耦合模方程， 得到了各线偏振模的反射谱。 第六章，运用前面得到的m m - f b g 耦合模方程的快速数值解法，对折射率剖面非均匀 的m m f b g 进行了数值仿真，研究了反射谱特性与折射率剖面的饱和长度、折射率变化幅 度、光纤模式分布的关系。 第七章，实验得到了不同激励条件、光栅紫外曝光深度、光栅长度的m m - f b g 的反射 谱，结合仿真结果对实验结果进行了分析。 第八章，全文总结 关键词：光纤、光纤b r a g g 光栅、少模光纤、多模光纤、饱和长度、最大光致折射率变化 摘要 a b s t r a c t t h en e x tg e n e r a t i o no fh i g h - c a p a c i t yw d mt e l e c o m m t m i c a t i o nn e t w o r k sd e m a n dt h e h i 曲一p e r f o r m a n c eo p t i c a ld e v i c e si nr o u t i n g 、f i l t e r i n g 、c o n t r o la n da m p l i f i c a t i o no f o p t i c a ls i g n a l s t h ec h a r a c t 甜s t i c so f p h o t o s 蛐s i t i v i t yt e c h n o l o g ye n di t sj n h e r e n tc o m p a t i b i l i t yw i t ho p t i c a lf i b e r h a v ee n a b l e dt h ef a b r i c a t i o no f av a r i e t yo f d i f f e r e mb r a g gg r a t i n gf i b e rd e v i c e s a c c o r d i n gt oi t s e x c e l l e n tc h a r a c t e r i s t i c si ns p e c t r a lf i l t e r i n g 、d i s p e r s i o nc o m p e n s a t i o n 、w a v e l e n g t ht u n i n ga n d s e n s i n g , f i b e rb r a g gg r a t i n g sh a v eb e c a m em o r ee n dm o r ei n t e r e s t s 1 nt i i i sd i s s e r t a t i o n , t h er e f l e c t i o nc h a r a c t e r i s t i c so ff i b e rb r a g gg r a t i n gh a v eb e e n n u m e r i c a l l ya n de x p e r i m e n t a l l ys t u d i e d t h er e f l e c t i o ns p e c t r u m so ff e w m o d ea n dm u l t i m o d e f i b e rb r a g gg r a t i n g ( m m - f b g ) w i t hn o n - u n i f o r mp r o f i l eo fi n d e xc h a n g eh a v eb e e nn u m e r i c a l l y s i m u l a t e da n dm e a s u r e d i nt h ef i r s tc h a p t e r , t h em s t o r yo ff b g sh a sb e e nb r i e f l yr e v i e w e d b a c k g r o u n d so nf b g s f a b r i c a t i o n , t h e o r e t i c a le n de x p e r i m e n t a ls t u d i e sh a v eb e e no v e r v i e w e d t h ei m p o r t a n t a p p l i c a t i o n s o f f b g s i n t h e f i e l d o f o p t i c a lc o m m u n i c a t i o n s e n ds e n s i n g h a v e b e e ns u m m a r i z e d i nt h es e c o n dc h a p t e r , b a s e da ne l e c t r o m a g n e t i cw a v et h e o r yo fo p t i c a lf i b e r s ，t h em o d e t h e o r yo f f i b e ri si n t r o d u c e d t h en u m e r i c a ls o l u t i o no f e i g e n - v a l u e sa n dm o d ef i e l dd i s t r i b u t i o no f s t e p - i n d e xo p t i c a lf i b e ra r ed i s c u s s e d s e c o n d , t h ee i g e n - f u n c t i o n sa n dm o d ef i e l dd i s t r i b u t i o no f g r a d e d - i n d e xo p t i c a lf i b e ra r ei n t r o d u c e d i nt h et h i r dc h a p t e r , t a k i n gt h ef b ga sr e f r a c t i v ei n d e xp e r t u r b a t i o n ，t h ec o u p l e d - m o d e e q u a t i o n so fm m f b ga r cd e r i v e df r o mt h em a x w e l l sf u n c t i o n s t h em o d e lo ff b g sf o r n u m e r i c a ls i m u l a t i o ni se s t a b l i s h e d ，w h i c hi st h eb a s i so f f o l l o w i n gs i m u l a t i o nw o r k i nt h ef o u r t hc h a p t e r , t h en u m e r i c a lm e t h o d su s e di nt h es i m u l a t i o no f f i b e rb r a g g g r a t i n ga r e d e v e l o p e d i nt h ef r a m eo f s h o o f i n gm e t h o d ，w ed e v e l o p e daf a s tm e t h o dt on u m e r i c a l l ys o l v et h e c o u p l e d - m o d ee q u a t i o n so f m m - f b gu s i n gt h ea n a l y t i c a ls o l u t i o no f t b ei n i t i a lp r o b l e mo f t h e c o u p l e dm o d ee q u a t i o n sb yd i a g a n a l i z a t i o n i nt h ef i f t hc h a p t e r , t h er e f l e c t i o ns p e c t r u m so f f e w - m o d ef i b e rb r a g gg r a t i n g s ( f m - f b g s ) a l eo b t a i n e db ys o l v i n gt h ec o u p l e dm o d ee q u a t i o n s ( c m e s ) u s i n gn u m e r i c a lm e t h o dd e v e l o p e d p r e v i o u s l y c o n s i d e r i n gt h ei m p a c to f p h o t o s e n s i t i v i t yo nn o n - o n i f o r mp r o f i l eo f i n d e xc h a n g e ， t h er e f l e c t i o nc h a r a c t e r i s t i c so f l i n e a rp o l a r i z a t i o nm o d ei nf m f b g sl i f es i m u l a t e dn u m e r i c a l l y i nt h es i x t hc h a p t e r , t h er e f l e c t i o nc h a r a c t e r i s t i c so fm m f b gw i t ht h en o n - u n i f o r mp r o f i l e o fi n d e xc h a n g ea g ea n a l y z e da n ds t u d i e d t h ei m p a c to ft h em a x i m u mp h o t o - i n d u c e di n d e x c h a n g e ，s a r g o nl e n g t ha n dt h ed i s t r i b u t i o no ff i b e rm o d e so nt h er e f l e c t i o nc h a r a c t e r i s t i c sa r c s t u d i e d i nt h es e v e n t hc h a p t e r , t h ee x p e r i m e n t a lr e s u l t so fr e f l e c t i o ns p e c t r u mo fm m - f b gw i t h d i f f e r e n to f f s e t s ，i n d e xc h a n g ee n dg r a t i n gl e n g t ha g ei n v e s t i g a t e d c o m b i n e dw i t ht h er e s u l t sf r o m s i m u l a t i o n ，t h ee x p e r i m e n t a lr e s u l t sa r ca n a l y z e d i nt h ee i g h t hc h a p t e r , t h ed i s s e r t a t i o ni ss u m m a r i z e d k e y w o r d s ：f i b e r , f i b e rb r a g gg r a t i n g , f e w - m o d ef i b e r , m u l t i m o d ef i b e r , s a t u r a t i o nl e n g t h , m a x i m u mp h o t o - i n d u c e di n d e xc h a n g e l i 东南大学硕士学位论文 光纤布喇格光栅的仿真与测量 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 己在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 研究生签名：盔叠 日期：研究生签名：盘生日期： 加6 t r i 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位 论文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人 电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论 文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包 括刊登) 授权东南大学研究生院办理。 研究生签名：壹叠 导师签名：日期：鎏亟竺二厂 第一章绪论 第一章绪论 自h i l l 发明光纤布喇格( b r a g g ) 光栅( f b g ) 以来“1 ，f b g 在光通信领域中已经广泛应用于 滤波器、光源“、光放大器、色散补偿“、偏振模色散补偿、波分复用器以及分 插复用器( o a d m ) 等关键器件中，成为光纤通信和光纤传感“”等领域必不可少的基础 性元件。 本章主要概述了f b g 的发展历程，简要介绍了各种光纤光栅的结构和特性，综述了国内 外光纤光栅的研究现状，最后概括介绍了本文的主要工作。 1 1 光纤b r a g g 光栅的发展史 光纤b r a g g 光栅( f b g ) 是光纤纤芯经紫外曝光而形成的沿光纤轴向的一种周期性折射 率扰动。它有许多优点，如制作简单、体积小、性能稳定可靠、易与系统及其他光纤器件连 接等。光纤中永久光栅的形成是由h i l l 等人首次发现的。当时他们正用氩离子激光器的强 光入射掺饵光纤，几分钟后观察到反射光强度增大，最后几乎所有的光都从光纤反射回来， 通过应力和温度调节光纤光栅实现的频谱测量，证实一个1 米长窄带光纤b l - a g g 光栅形成了， 它被称为h i l l 光栅。 目前，大多数f b g 都是单模f b g ，并且单模f b g 的频谱特性已得到广泛的研究“f b g 已成为一个重要的光纤器件，在光通信和光电子学中的频谱滤波、色散补偿、选频和传感等 方面有很好的应用前景。但由于单模光纤的芯径比较小，它很难与除了单模光纤和激光二极 管以外的光设备耦合。而多模光纤由于芯径较大，容易与其它光源，如发光二极管耦合。多 模f b g 的优越特性，使其在光通信和光电子学领域有很好的应用前景。例如，w a s n e r “等人 计算了多模f b g 的反射谱，提出了它在弯曲传感器方面的应用。当用基模激励f b g 时，反射 率超过了3 0 d b ，基模与包层模间的耦合得到了抑制“。多模f b g 的优越特性已越来越受到人 们的关注”1 。 1 1 1 光纤光栅的制作 下面简要介绍光纤光栅的制作方法及其发展历史，以及光纤光栅制作方法的理论依据。 有些掺杂光纤在紫外( u v ) 光( 通常用2 4 4 n m 波长) 的照射下，其光学特性会永久性的 改变，称为光敏特性。利用这种光敏效应，可使光纤在长度方向上产生永久的折射率周期性 改变，即在纤芯内形成光纤光栅。光纤光栅的制作都是基于这一理论的。 1 9 8 9 年gm e l t z 等人发明了横向全息曝光法。它成功解决了f b g 写入效率低的难题， 并且得到了可以用于光纤通信红外波段的光折变光纤光栅。此外，它的优点是制作中不必去 除包层，且只需方便的调整两相干紫外光线的夹角即可改变光栅周期。但对光源的相干性以 及制作装置的稳定性要求较高。 1 9 9 3 年k o h i l l 和d z a n d e r s o n 采用相位掩模板写入技术制作光纤光栅( 如图1 1 所 示) ，使得光纤光栅有了大批量制作的能力。它是将相位掩模板置于光纤侧面，紫外光经掩 模板相位调制后的衍射光线在光敏光纤上形成干涉条纹，既可写成光栅。 此外，制作光纤光栅的方法还有光纤侧面紫外曝光法( 如图1 - 2 所示) 、双光束全息法、 单点写入法等。 东南大学硕士学位论文光纤布喇格光栅的仿真与测量 圈l - 1 基于相位掩模的光柑写入法示意图 x 爿朔比蛔r 扣惜单崎t c yd 喇j b 翔一 囊i l rt u n a b l ed y i t a m m - 1 1 2 光纤光栅的应用 圈i - 2 光纤侧面觜外曝光法写入光栅示意图 旯帆 砒 下面简要综述光纤光栅的应用情况。目前，光纤光栅已经大晕商用，在下一代大容量 w d m 电信网络中，它们在路由、滤波、控制、光信号放大等方面都有重要的应用。但是还 有很多应用没有开发出来或者说还没有达到应用的层次。下面列举了一些潜在的应用： ( 1 ) 色散补偿； ( 2 ) 波长选择； ( 3 ) 带阻滤波器( 长周期光栅) ( 4 ) 光纤分波器； ( 5 ) 光纤掺饵放大器； ( 6 ) 网络监控； ( 7 ) 级联拉曼放大； ( 8 ) 光纤激光器； 2 第一章绪论 ( 9 ) 垂直腔面发射激光器； ( 1 0 ) 光纤模式转换器；空间模转换器，偏振模转换器； ( 1 1 ) 基于光栅的传感器： ( 1 2 ) 光信号处理；相位阵列天线延迟线；光纤光栅压缩器； ( 1 3 ) 光纤光栅中的非线性效应；光交换、电光设备，波长转换设备； ( 1 4 ) 光存储；全息存储，直接写入。 1 2 光纤光栅的分类 根据不同的曝光条件，采用不同类型的光纤，可以产生折射率分布变化各异的多种类型 光纤光栅。光纤光栅主要有以下几种： 1 2 1 均匀布拉格光纤光栅( f i b e rb r a g gg r a t i n g ) 均匀光纤光栅是纤芯折射率变化的周期，沿轴向均匀分布的光纤光栅。一般的反射型 b r a g g 光栅是最常用的光纤b r a g g 光栅。图l - 3 为其结构示意图和反射谱。 圉l - 3 均匀b r a g g 光纤光橱结构示意图及反射谱 均匀b r a g g 光纤光栅在其b r a g g 波长处有一带宽很窄的反射峰，可作为滤波器，用于波 分复用( w d m ) 网络系统中的滤波以及放大系统中自发辐射源( a s e ) 的噪声抑制和光子 控制等；可以用作密集波分复用( d w d m ) 中的复用解复用器、波长转换器以及光栅路由 器等；利用光纤光栅的温度、应力敏感特性还可以制成各种光纤传感器。另外在非线性光纤 光学领域、光纤光学开关方面也有较好的前景。 1 2 2 啁啾光纤光栅( c h i r p e df i b e rg r a t i n g ) 啁啾光纤光栅( 如图1 - 4 ) 就是在普通的均匀光栅中引入啁啾量，即光栅周期 不再是 一个恒定值，而是随位置而改变。光栅的b r a g g 反射波长是关于光栅周期的一个函数，因此 它也随位置而改变。根据b r a g g 条件，不同频率的光波在啁啾光纤光栅中不同位置发生反射， 不同频率成分的时延也就不同，因而产生了色散。如果这种啁啾是线性的，则产生的色散是 恒定而且是负的，就可以用来补偿光纤的色散。 3 东南大学硕士学位论文 光纤布喇格光栅的仿真与测量 一 圈1 - 4 两种啁啾光纤光撮结构示意图 啁啾光栅最重要的应用是色散补偿，但由于其反射谱有较大的波动，使色散特性具有较 大的不平坦，不适合实际应用，因此对光栅的强度用切趾函数进行处理，即变迹啁啾光栅。 通过切趾处理，其反射谱波动性得到了明显地改善，但是由于光栅调制折射率变化量在沿光 栅两端逐渐减少时导致了光栅平均耦合系数的减少，因此峰值反射率也随之降低，所以在反 射谱变得平滑的同时其反射峰值和反射带宽都下降了。 1 2 3 倾斜布拉格光纤光栅( t i l t e df i b e rb r a g gg r a t i n g ) 倾斜光纤光栅是折射率分布的等相位面与光纤轴夹角不为9 0 。的光纤光栅( 见图1 - 5 a ) 。 圈卜5b 同g 结构示意图及布拉格条件矢量图 由于倾斜角的存在，倾斜光栅除了能反射某一波长的光以外，还能将另一特定波长的光 耦合到辐射模中删，并随着传播逐渐泄漏，因此其透射谱中有多个损耗峰。 由于倾斜光栅不仅可以在不同的角度上提取不同的波长，而且还可以分离出同一波长的 不同模式，并利用这特性可以做成分光计 2 q 1 2 2 和模式转换器幽j ；利用倾斜光栅可对一定 带宽范围内的光功率进行衰减，从而可实现光放大器的增益平坦化1 2 4 1 ”j 1 2 6 j 田1 ；通过复合倾 斜光纤光栅还可以实现残余泵浦光反射；此外，还可以作为匹配滤波器来解调测量波长的变 化口s 1 1 2 9 1 1 3 0 j 和带宽较宽的带阻滤波器等。 1 2 4 其他类型的光纤光栅 除了以上三种基本的光纤光栅外，还有重叠型b r a g g 光纤光栅、超结构光纤光栅、取 样光栅等特殊的光纤光栅 2 0 i 。另外，也已经出现了在聚合物光纤、保偏光纤( p m f ) 、 光子晶体光纤( p c f ) 等特种光纤上刻写不同光纤光栅的新方法和新技术，这将使光纤光栅的 应用更加丰富。本文的主要研究方向是周期均匀多模光纤光栅，因此在此对以上各种光纤光 栅就不再多加描述了。 4 第一章绪论 1 3 多模和少模光纤光栅的特性 要了解多模和少模光纤光栅的特性，必须先了解光纤光栅的模式间发生耦合的条件，即 相位匹配条件。下面首先介绍短周期光纤光栅和长周期光纤光栅的相位匹配条件，然后简要 介绍了本文的主要研究对象少模和多模光纤光栅的特性。 1 3 1 相位匹配条件 假设反、只代表参与耦合的不同模式的传播常数，它们之间的相互关系直接影响耦合 效率。 光纤光栅从本质上说是一种光学衍射光栅，其光学特性可用图1 - 6 中的射线原理来描 图1 6 光纤光栅衍射原理图 述，根据光栅方程，入射光线和衍射光线之间满足： 刀咖幺= 行s i l l b + g 吴 ( 1 1 ) 其中鼠，巩分别为入射光波和衍射光线与法线的夹角，月是介质的折射率，a 是光波长，a 是衍射周期，口是衍射级次( q = 1 ) 根据射线理论可知，在光纤中，导模的纵向传播常数写为： 户= - - 7 玎d ( 1 2 ) 式中有效折射率甩；v c os i n 8 ，刀。是芯层的折射率，口是光射线与z 轴的夹角。利用上 式可将( 1 1 ) 式改写为： 以= 屈+ g 竿 ( 1 3 ) 式中届、度分别为两相互耦合的模的纵向传播常数。 在光纤中，一级衍射在各种衍射中占主导作用，是最重要的。因而总是考虑入射模式与 一级衍射形成的模式之间的耦合，因此可令q = - 1 或1 。考虑到q = l 和q = - i 时，方程 ( 1 3 ) 具有相同的形式，故在以下的分析中令q = 一l 。当q = 一1 时，有： 屈一屈= 竿 ( 1 4 ) 在式( 1 4 ) 中，假定屈为入射模的纵向传播常数，则屈为q = 一1 的一级衍射所形成 模式的纵向传播常数。式( 1 4 ) 即为光纤光栅的相位匹配条件。根据光栅周期人的大小， 可将光栅分为短周期光栅( 通常称为布拉格光纤光栅) 和长周期光栅两类。 图卜7 为两类光纤光栅的相位匹配示意图，图中实心圆代表纤芯模式，空心圆表示分立 的包层模式，虚线部分表示连续辐射模，为负值表示模式以一z 方向传输。 5 东南大学硕士学位论文 光纤布喇格光栅的仿真与测量 p 尸b 1 12 f # = = = = 乇二二兰。 + _ p 嗍一+ 卜。咖h 斗一 t _ ) 导模的布拉格反射耦合短周期光栅) ；! ：一堡 i 霄 r 。1 。t 一一 !二二：o ， i n - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 + _ p 卿一+ 卜。卜+ _ ( ”导模到同向包层模的藕合( 长周期光栅) 图1 - 7 两类光纤光栅的相位匹配示意图 一短周期光纤光栅( 布喇格光纤光栅) 丌 对应于光栅周期a 较小的情形，如图卜7 ( a ) 所示由于= 较大，届和展必须符号 a 相反才能满足相位匹配条件。在单模光纤中，导模是唯一的，即l p o - 模，经过光栅后，耦合 到反向传输的同一基模中，即房= 属，代入( 1 4 ) ，并利用( 1 2 ) ，相位匹配条件可写 为： 五= 2 n 够a ( 1 5 ) 满足式( 1 5 ) 的波长成为布拉格波长，而这种发生在同一导模的正、反向传输模式之间的耦 合，称为布拉格反射。 在光栅周期一定的情况下，当入射光波长明显偏离布拉格波长时，式( 1 5 ) 的布拉格条 件不再满足，耦合模式也随之变化。事实上，只要满足式( 1 4 ) 的普适相位匹配条件，短周 期光纤光栅中能鼍交换也可以发生不同模式间。随着波长由布拉格波长向短波长一边逐渐偏 移，先是不同导模之间( 仅发生在少模或多模光纤中) 的耦合，然后是导模与反向包层模之 间的耦合，当波长更短时，能蹙将以辐射模的形式泄漏，这也是造成布拉格波长短波长一边 的较宽范围内存在损耗带的原因。满足相位匹配公式只是光纤光栅中模式发生有效耦合的必 要条件之一，耦合系数的大小将决定耦合效率的高低。耦合效率与发生耦合的两模式横向电 场在芯层中的重叠程度有关，基模与包层模以及包层模之间的耦合系数都远小于基模之间的 耦合系数，所以导致耦合效率较低。因此布拉格反射是短周期光纤光栅中的主要现象。 二长周期光纤光栅 图卜7 ( b ) 对应于光栅周期a 较大的情形，此时堡较小，届和及符号相同，屈 a 其中口为光纤的半径，刀l 、行2 分别为纤芯和包层的折射率，一 疗2 分析光纤中光波的传播特性时，通常假设理想光纤，且场量随时间变化具有简谐特点。 因此，光纤中的光波的电磁场矢量豆、詹可表示为： 阱徽磬脚埘= 始：复浍舻嘶) 此处( 肛弘z ) 是把光纤轴线取作z 轴方向的圆柱坐标系中的坐标变数， 的原频率，f 是光波频率，而口为光波的轴向传播常数。 v 算符表示成纵向分量和横向分量的叠加形式： v = v ，+ 三昙 眩 将( 2 2 ) ，( 2 3 非入麦克斯韦方程组，解得： 巳一石j 。占p 一。r m 户p o v t 锄z + v t e z 】 咖一南唔v , x j e ：+ v i h z 】 f d 。j 。( 旦力 巳2 k ( 量力 l4 fb o j 。( u p ) t 力2 d 水。( 堡力 l口 p 口 p 口 在利用纵向分量和横向分量的关系( 2 4 ) 、( 2 5 ) 可解出其余分量。 在p 口， 睁= j a 2 ( 2 8 ) 胛u ( 争一半“纠 一笺囊，一景姥 ， 一号争删”( 形争 一 钟叫( w p - 口) 一等“争i 利用场在边界上连续的条件，即 篆1 p = 口芯层户萎1 = a 包层， f j o ( u ) + 茎! ! 兰2 1 r 三l ! 盟+ 茎! f ! 1 1 u j o ( u ) 臌u 缈) “2w u ) 脒u ( ) 1 o ) 叫2 c 古+ 嘉，c 芸嘉+ 嘉， 式中，i 、2 分别为芯、包层的介电常数。此即为光纤中的模式特征方程。 对t e 模，模式特征方程为： 黑：一i u 黑 1 ) ，o ( u )矿k o ( 矿) 、 7 对t m 模，模式特征方程为： 缫：一生旦黑 ( 2 1 2 ) ，o ( u )占lwk o ( ) 、7 对e h 模，模式特征方程为： 葛等= 警+ u 芳州2 彬告+ 嘉x 古+ 詈嘉胪 ( 2 ， 对h e 模，模式特征方程为： 箦等一警+ u 芳州警n 以吉+ 嘉x 古+ 詈扣 ， 用图解法1 1 1 ，解方程组( 2 1 l h 2 1 4 ) , t u ：( | i 。2 行1 2 一2 ) 口可以求得对应的模式传播 o o k 卜p 胪口萨口萨口喝口 ， p p 一一 w w o 半= 马口 口) 的解 e z = 似。s i n n # 互2 c 警群一d 雩局 咖矽2 c 鲁弼一d 芳k 卜 易十雾毛加等e 卜妒= c 雾e 加等e 卜 耳2 _ c 等蚝柚警e 卜= - c e 一, e 2 n 毛加鲁群卜 q 2 【c 竽e i 一# k 叩l 舢2 c 等e d 雾e 卜 对于确舭 叩s 抽卜舢以以卜匀 对于，偏振，t ，易，日s i n ( n # ) ，日，日：，h ，取c o s ( 妒) 然后根据公式( 2 1 5 h 2 2 6 ) 得到光纤中各模式的电磁场分量。 2 1 3 系数的确立 ( 2 6 h 2 7 ) 中糸致a o 、b o 、c o 、d o 的彤自豆。 传播常数由电磁场在纤芯与包层界面r = a 处的连续条件决定。 籽碳，a o = 0 , b o = 7 0 * l o - 3 , c 0 = 0 缸器6 。 对于t m 一乩b o r n 0 铲器“= 。 对于h e 、e h 模， 口。= 1 ， ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) ( 2 2 0 ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) 东南大学硕士学位论文 光纤布喇格光栅的仿真与测量 。却。畅。 却，+ 争一c 即乏黔 2 2 抛物线型多模光纤光栅的电磁场理论 2 2 1 标量波动方程 弱导近似下，电场的横向分量e 或者e v 满足标量方程： v 2 p ：z o p 。n 2 尝 ( 2 2 7 ) 若打2 沿光纤轴向不变，则可在圆柱坐标系中将妙表示为： y ( ，妒，z ，) = y ( ，妒弦7 ( 耐一卢) ( 2 2 8 ) 将( 2 2 8 ) 代入( 2 2 7 ) ，得到 ( v 2 一善! ；) + 【竺 n 2 ( ，l l f ，) 一声2 】妒= 0 ( 2 2 9 ) 在大多实际应用中，疗2 只与，有关，则 軎七警+ 砉鲁小弦2 ( ，) 妒= o 式中k = 詈= 筹一蔗1 ，厶砌三 f 氐 o 由于波导具有圆柱对称性，可用分离变量法求解 y ( ，妒) = 胄( ，) 似) ( 2 3 1 ) 代入并除以兰二拿丝。得 i r 2 ( 矿d 2 r + 吾警) + r 2 【聆2 ( ，) 爵一2 卜面1 万d 2 1 ) - 2 ( 2 3 2 ) ，是常数。由于的形式为s i n # 或c o s l # ，又由于物理上要求中具有圆柱对称性，即 m ( + 2 石) = 似妒) ，因此必然有 i = 0 , 1 2 ( 2 3 3 ) ，= 0 时模式简并度为2 ，l 时模式简并度为4 场的径r e 分量表示为 ，2 窘+ 7 石d r + 【( ，) 】r 2 _ 1 2 炉o ( 2 3 4 ) 两个偏振方向的解可表示为 删而归删洄懈仁荔 1 4 第二章光纤的电磁场理论 2 2 2 抛物型折射率分布光纤的解析解 抛物型折射率分布光纤的折射率分布可由下式表示 n 2 ( ，) = 讯1 2 a ( 勺2 】 标量波动方程的解 ( ，) = _ ，e x p 一去，2 f 2 】e l ( ，2 r 2 ) 式中归一化系数 “矿【端p 确保f 阻f 腑= 1 佗3 6 ) r 2 3 7 ) ( 2 3 8 ) ( 2 3 9 ) ，： n 。k o ! 丝】啦：! ! ( 2 4 0 ) 口口 y 钱州2 ) 1 2 , a = 孑 1 ) e ( x ) = 毫( 一) 石i 二；：! ；：j 芸f 砑x ，= 砉( 一) 石i 二j ；i j 妻；两x g 4 z ， 则有 吐( x ) ：l ，露( 曲：k + l + x t ( d ：昙( 七+ 2 ) ( j i + 1 ) 一( 七十2 ) z + 吾x z 2 4 3 传播常数 凡= 氐加2 ( 2 m 七。+ 啊i - 1 ) 1 f 口2 】”2 ( 2 4 4 ) 另瑚加去妻缸( 叫 p 川t ( 瑚2 出= 尘( 2 + 1 ) r ，砖( x ) 艺( x ) 出= ! 竺专燮6 。 = k o 啊 广而 1 - 4 a 1 厂 2 2 3l p 模y 偏振的场表示形式闭 一场量之间的关系 爵= 南【一等i 啦】 虿叫南【啦+ 等五旺】 f 2 4 5 ) ( 2 4 6 ) 东南大学硕士学位论文 光纤布嘲格光栅的仿真与测量 k 为光纤轴向单位分量。 榭v u = 等i + ! r 罢i ， d 驴 令z ：1 一善 m 。q ，b ( ，) = q 【1 一，( ，) 】 将( 2 4 5 ) 展开 耳i + i = 。丽杀而【等孑弓嚣i 一詈i ( 等孑七等动 叫志【等i + 等；等i + ；io 却e , - ，_ 一警警_ 】 4 = 。高t 等+ 考等， 叫丽f l - 7 1 瓦a e , 一等等】 以孑+ h c e 一, = 南r 等孑+ 等i + 詈i t 等i + 吾雾动 叫南【等i 一万o m 瓦o e z 吾等i + 万t o ei 0 e , 叫- - 耻两t 等一芳静 q 叫两e 券+ 詈等， 令j e 一竺笋似，) s i n ( 柏+ ) 【j l = 傩r 1 甲( ，) c o s ( 行秽+ 吼) 舰模矿：o ：甲，r ( ，) ：一_ ，l 【掣+ 兰纠 z ，d r r 驴一歹南t 等+ 芳等， 懒， =忑善可学堡in帆咖芳嬲。卅sill(no+oel(1f ) a d r ) 】) 。国2一 一2 pq 。y ”。j 防w 6 1 p 洲、 7 1 叫南击字t 警+ 涉嘶口= - r s i n c n 口训 岛= 雨哆器一詈争 1 6 第二章光纤的电磁场理论 叫南击r 等细删训一号嬲。警c o s ( 行口+ 纯 ：与( 一1 ) f 妒+ 譬】e o s ( n 口+ ) = - r c o s ( n 9 + 纯) z 一) r国 2 3 本章小结 本章介绍了光纤的模式理论，得到模场分布，是建立光纤b r a g g 光栅耦合模方程的基 础。 首先简要介绍了阶跃光纤中矢量模的特征方程，通过图解法求得导模归一化传播常数， 然后得到各模式的电磁场分量的横向分布。 简单介绍了抛物型折射率光纤的模场分析，解得各线偏振模( l p 模) 的传播常数，给 出了y 偏振下l p 模的场表示形式。 参考文献： 【l 】杨春、夏志超，大芯径大数值孔径阶跃光纤传导模特征方程求解，光学学报，第2 4 卷， 第7 期，p p 9 5 7 - 0 2 0 0 4 2 大越孝敬、阁本胜就等通信光纤，人民邮电出版社，1 9 8 9 1 7 第三章光纤b r a g g 光栅的耦合模理论 第三章光纤b r a g g 光栅的耦合模理论 本章从m a x w e l l s 方稃出发，在折射率微扰的基础上推导多模光纤b r a g g 光栅的耦合模 方程，建立f b g 的仿真模型，是后几章仿真工作的基础 3 1m a x w e l l s 方程 v 。童：一塑 出 v 詹：o d a f d 、e 、曰、日为实型矢量，代表真实的场量。 用复数形式。 2e o ) = e ( x ，y ，z ) e x p ( j m t ) + c c 2 日( f ) = h ( x ，y ，z ) e x p ( j o t ) + c r 8 ( x ，y ，= ) 为复型矢量，c r 为复共轭。 d = 晓= 函+ p p = e 试。e p = p - - 6 0 ) e 若占有一扰动5 ，则 声= ( 占+ a e 一6 0 ) 置= ( 占一8 0 ) 面+ 云= ( 占一6 0 ) 营+ 尹删 复数形式m a x w e l l 方程( e j o , t ) v x e = j o u h 可x 叠= j 雠琶 3 2 正交关系 设e l 、h 1 为m a x w e l l 一解；e 2 、h 2 为另一解。 v e l - 一_ ，如聆胛l v x h fj 雠e l ( 3 1 1 ) 成 云。) 成= 一，硎膏。雹 ( 3 1 2 ) e t ( v 日：) e 1 = 一j c 0 6 e ；e l ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) ，利用公式v ( a x b ) = b ( v a ) 一面( v 6 ) v ( e 。日；) = h ；( v x e 。) 一e 1 - ( v 日；) = 一j 伽hr h j 七j o , 6 雹e l 将( 3 1 6 ) 中下标。1 ”和“2 ”对调，并求复共轭。 v ( e ；日1 ) = j m u h 2 h 广_ ，嬲e l e ； ( 3 1 6 ) + ( 3 1 7 ) ，得到 1 8 ( 3 1 ) ( 3 2 ) ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) o 1 4 ) ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) $ d 乃 的 缈 p o o o 0 东南大学硕士学位论文 光纤布喇格光栅的仿真与测量 v ( e 1 x h ；+ e 厅1 ) = 0( 3 1 8 ) 若场i 和2 分别为波导的两个导模 豆i = 应，( x ，y ) e 一4 ”，豆2 = 重。( x ，y ) e j 励。( 3 1 9 ) 且横向微分算符v ，= ( ，o ) ，这里的下标，表示与光纤轴线垂直的横向分量。 利用算符关系v = ( v ，+ 刳，由式旺，得到： v ，( 云。膏；+ 云；膏1 ) ，+ 导( 重i 雷；+ 云；膏1 ) ：= 0 ( 3 2 0 ) 进一步推导可得： v ，( 云，或+ 或娟，) ，_ ，( 一p ( 云。或+ 豇詹j ：= o ( 3 2 1 ) 其中，( e l 膏；+ 雪；膏1 ) ：为( 应。厦+ 霹膏，) 在z 向的投影。 注：( 童。膏；+ 豆；膏。) ： = 【置，x 或+ 或膏j ：p 1 戽一以扣 = 【( 毛+ 置。匆【或+ 膏二2 ) + ( 豇+ 砭句( 膏朋。z ) 2 e - j 厅一 k = ( 或或+ 髟疗a p 叫戽以k( 3 定义符号季= ( 豆，或+ 或豆，) ，。( 3 2 1 ) 两边对光栅横截面积分，利用场在光纤径 向无穷远处为零的条件得到 f ( v 季) d a = d s 亭，= o 其中翻为面积元，c 为位于光栅横截面处的半径无穷大的圆周，好为这个半径无穷大 圆周上的线元，孑，为围线的外向法向量。 得： 妫( 豆。髟+ 豇勘= o ， 对于反向传播的第y 阶模，考虑正向模与反向模间场量的关系 j 凼方( 雷。厅二一面二詹j = o 由( 3 2 3 ) 和( 3 2 4 ) 得： j 幼( 雷。a d = o ， ， ，。( 3 2 3 ) 得到1 1 1 ： ( 3 2 4 ) 3 3 用介质极化表示波导中分布的激励源 x e = 一j 嗍h v x h = j 扰e + j c a p 注：p 即，表示微扰，占的微扰为a e ，即占=