（电磁场与微波技术专业论文）基于矢量偏微分算子理论的电磁场数值计算方法.pdf

摘要 摘要 本文研究基于矢量偏微分算子理论的电磁场边值问题的数值计算方法。从讨 论矢量算子的特性出发，应用广义亥姆霍兹定理，根据电磁波中场的属性，将其 在无旋场和旋量场两个子空间上进行分解，并将旋量场空间进一步分解为m 类 和n 类两个子空间，论证了旋量场空间的二维性，即它可以用两个标量函数来 表示，用本征函数展开的方法分析了非齐次问题的旋量场算子方程，讨论了算子 方程的解的般形式，并结合并矢格林函数和矢量波函数分析了激励函数，获得 了完整的电磁波基本方程组。以电磁波基本方程组为基础，建立了分析电磁场边 值问题的基本方法，用有限元法分析了波导不连续性问题，计算了波导膜片、波 导阶梯和同轴阶梯的s 参数，用有限差分法求解本征值问题，建立了求解本征方 程的迭代算法，用本征值的计算控制迭代收敛，并采用松弛因子加速收敛，计算 了三维电磁谐振腔的谐振频率和电场分布，这些计算都是在旋量场空间上进行， 因而确保了不会产生非物理解。讨论了广义传输线方程在波导分析中的应用，提 出了用有限元法提取参数的方法，并以此来分析波导的不连续性，得到了分析波 导系统的快速准确方法。 关键词：矢量偏微分算子理论，电磁波基本方程组，波导不连续性，本征值， 广义传输线方程 基于矢量偏微分算子理论的电磁场数值计算方法 n u m e r i c a lm e t h o d sf o rt h ec o m p u t a t i o no f e l e c t r o m a g n e t i cf i l e l d b a s e do nt h ev e c t o rp a r t i a ld i f f e r e n t i a lo p e r a t o rt h e o r y x i n gf e n g ( e l e c t r o m a g n e t i ct h e o r ya n dm i c r o w a v et e c h n o l o g y ) d i r e c t e db y s o n g w e nm i a o t h em a i ns t u d yo b j e c t i v e so ft h ep r e s e n td i s s e r t a t i o na r en u m e r i c a lm e t h o d sb a s e do n t h ev e c t o rp a r t i a ld i f i e r e n t i a lo p e r a t o rt h e o r yf o rt h ee l e c t r o m a g n e t i cb o u n d a r y p r o b l e m s t h ee l e c t r o m a g n e t i cf i e l ds p a c ei sd e c o m p o s e di n t oi r r o t a t i o n a ls u b s p a c e a n d + r o t a t i o n a ls u b s p a c ea c c o r d i n gt ot h e i rp r o p e r t yb yu s i n gt h eg e n e r a l i z e d h e l m h o l t z st l l e o r e m ，f u r t h e r m o r et h er o t a t i o n a ls u b s p a c ec a nb ed e c o m p o s e di n t om s u b s p a c ea n dns u b s p a c e t h er o t a t i o n a ls u b s p a c ei sp r o v e dt ob et w o - d i m e n s i o n a l i t c a nb ee x p r e s s e db yt w os c a l a rf u n c t i o n s t h em e t h o do fe i g e nf u n c t i o ne x p a n s i o ni s e m p l o y e dt oa n a l y z et h ei n h o m o g e n e o u sr o t a t i o n a lo p e r a t o re q u a t i o n b yu s i n g d y a d i cg r e e n sf u n o t i o n sa n dv e c t o rw a v ef u n c t i o n s ，t h eg e n e r a le x p r e s s i o nf o rt h e s o l u t i o no fo p e r a t o re q u a t i o ni sd e r i v e d ，t h ee x c i t a t i o nf u n c t i o ni sa n a l y z e d ，a n dt h e b a s i ce q u a t i o ns e to fe l e c t r o m a g n e t i cw a v ei so b t a i n e d n u m e r i c a lm e t h o d sh a v eb e e n d e v e l o p e df r o mt h eb a s i ce q u a t i o ns e to fe l e c t r o m a g n e t i cw a v e w eu s et h ef i n i t e e l e m e n tm e t h o dt oa n a l y z et h ew a v e g u i d ed i s c o n t i n u i t i e s c a l c u l a t et h esp a r a m e t e r s o fw a v e g u i d ew i t hd i a p h r a g m ，w a v e g u i d es t e pa n dc o a x i a ls t e p w eu s et h ef i n i t e d i 雎r e n c em e t h o dt os o l v et h ee i g e n v a l u ep r o b l e m ，d e v e l o pt h ei t e r a t ea l g o r i t h mb y u s i n gt h ec a l c u l a t i o no fe i g e n v a l u ea n dr e l a x a t i o nf a c t o rt oc o n t r o la n da c c e l e r a t e c o n v e r g e n c e ，c a l c u l a t e t h er e s o n a n c e f r e q u e n c ya n df i e l d d i s t r i b u t i o no fa t h r e e d i m e n s i o n a le l e c t r o m a g n e t i cr e s o n a n c ec a v i t y a l lt h ec a l c u l a t i o n sa r e m a n i p u l a t e di nt h er o t a t i o n a ls p a c e ，a n dt h es p u r i o u ss o l u t i o n sc a nb ee l i m i n a t e d w e d i s c u s st h ea p p l i c a t i o no ft h eg e n e r a l i z e dt r a n s m i s s i o nl i n ee q u a t i o ni nt h ea n a l y s i so f w a v e g u i d e ，d e v e l o pt h em e t h o dt oe x t r a c tt h ep a r a m e t e r sb yu s i n gt h ef i n i t ee l e m e n t m e t h o d ，o b t a i naf a s ta n da c c u r a t em e t h o df o rt h ea n a l y s i so f w a v e g u i d es y s t e m k e yw o r d s ： v e c t o rp a r t i a ld i f f e r e n t i a lo p e r a t o rt h e o r y , b a s i ce q u a t i o ns e to f e l e c t r o m a g n e t i cw a v e ，w a v e g u i d ed i s c o n t i n u i t y , e i g e n v a l u e ，g e n e r a l i z e dt r a n s m i s s i o n l i n ee q u a t i o n i i 研究成果声明 y 白f7 1p 本人郑重声明：所提交的学位论文是我本人在指导教师的指导下进 行的研究工作获得的研究成果。尽我所知，文中除特别标注和致谢的地 方外，学位论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包 含为获得中国科学院电子学研究所或其它教育机构的学位或证书所使用 过的材料。与我一同工作的合作者对此研究工作所做的任何贡献均已在 学位论文中作了明确的说明并表示了谢意。 特此申明。 签名： j 予鳞 日期：2 删乡、垃? 。 关于学位论文使用权的说明 本人完全了解中国科学院电子学研究所有关保留、使用学位论文的 规定，其中包括：电子所有权保管、并向有关部门送交学位论文的原 件与复印件；电子所可以采用影印、缩印或其它复制手段复制并保存 学位论文；电子所可允许学位论文被查阅或借阅；电子所可以学术 交流为目的，复制赠送和交换学位论文；电子所可以公布学位论文的全 部或部分内容( 保密学位论文在解密后遵守此规定) 。 签名： 砷烊 日期：2 多理? 。 导师签名： 出文淼 日期：z 多位，2 。 前言 第一章前言 从麦克斯韦于1 8 7 5 年以一组简明的方程总结了电磁现象的基本规律起，经 过一百多年的不断发展和完善，经典电磁场理论已进入了一个成熟的阶段，有关 微分方程、积分方程等方面的数学研究成果，特别是近年来以高性能计算机为工 具而发展起来的数值计算技术，使大多数电磁场理论的问题得到了解决，为实际 的工程应用提供了可靠的依据，促进了以电磁场理论为基础的通信、广播电视、 雷达等应用技术的高速发展。从理论研究和实际应用的结果来看，电磁场理论的 基础麦克斯韦方程组本身是不存在任何问题的，但是虽然从形式上看麦克斯韦方 程组十分简单，其求解过程却是相当复杂的，其中要用到许多有关矢量函数和标 量函数的数学变换，如果处理不当就会出现不正确的结果，如在许多具体问题中 出现了伪解和非物理解，产生这种伪解和非物理解的原因有很多，但其中一个重 要的原因可能是对电磁波中的无旋场的处理，对于无源区域来说，电磁波的场属 于旋量场，不存在无旋场，但是将双旋度运算表示成矢量拉普拉斯算子与散度梯 度算子之差时，无旋场就会被加入进来，这样就可能会产生伪解。另一方面，从 麦克斯韦方程组对电场和磁场的约束可以得到八个标量方程，但却只有六个未知 量，通常的做法是引入辅助位函数并加入一定的规范条件，但是所加入规范没有 清晰的物理意义，不同的规范也会得到不同的解，如果不采用这些规范而又可以 得到自恰的方程组，则从数学上和物理上都是严谨的。此外经典的电磁场理论的 研究都是和一定的三维几何坐标系相联系，并把电场和磁场用三个几何坐标上的 投影表示出来，这样的做法虽然可以得到正确的结果，但也有可能会对深入理解 电磁现象的物理意义产生影响，如从能量的观点来看，电磁波的场具有二维性， 但其电磁场在三个坐标上都有分量。正是这样一些原因，促使人们希望用现代的 数学分析方法来对电磁场理论进行研究，这便产生了矢量偏微分算予理论。 矢量偏微分算子理论就是用现代的数学分析方法，通过对矢量函数空问和矢 量偏微分算子，特别是有关旋量场的研究而建立起的关于电磁波动现象的理论。 实际上电磁场理论是与数学联系的非常紧密的一门科学，数学研究中的先进成果 总是很快地应用到电磁场理论的研究中来，现代数学中的分析方法也早已用于电 磁场理论中来，如本征函数展开理论在求解并矢格林函数中的应用 1 】，电磁场 理论中的泛函问题的研究【2 】，小波分析在电磁场数值计算中的应用等 3 ，但是 基于矢量偏微分算子理论的电磁场数值计算方法 这些研究都是在经典电磁场理论的框架之内，将场矢量表示为三个几何坐标上的 投影来进行研究的，而依据电磁波中的场的属性，将其在算子空间内分解则始于 文献 8 ，这部著作讨论了矢量微分算子、无旋场和旋量场空间等问题，文献【9 首次提出并系统地阐述了矢量偏微分算子理论。值得注意的是，s p r i n g e r 出版社 于2 0 0 2 年出版了g e o g ew h a n s o n 和a l e x a n d e rb y a k o v l e v 编著的( ( o p e r a t o r t h e o r yf o re l e c t r o m a g n e t i c s ) 【4 ，该著作介绍了有关算子理论的基础知识及其在 电磁场理论研究中的应用，书中许多内容和文献【8 】相类似。近年来，在国家自 然科学研究基金的支持下，有关矢量偏微分算子理论的研究进展很快，其理论体 系已基本建立并在不断的完善之中，将其运用于具体的电磁场理论和微波工程计 算的时机已经成熟，正是在这样的背景下，本论文选择了应用矢量偏微分算子理 论来进行电磁场理论的数值计算作为主要的研究内容。 在本论文中涉及到具体的研究内容有两个，一个是微波网络参数的分析方 法，包括波导不连续性的分析和广义传输线方程的应用；另一个是本征值问题的 数值计算方法。波导不连续性是一个典型的电磁场边值问题，作为微波元件分析 和设计的基础，波导不连续性问题一直是电磁场理论中受到普遍关注的问题，有 关波导不连续性的文献非常多，这里仅对各种分析方法中典型的作一介绍。波导 不连续性问题的分析方法可以分为解析方法、近似方法和数值方法，在电磁场理 论研究的早期，波导不连续性的分析方法多为一些解析方法和近似方法，如文献 5 6 7 3 等对模式匹配法、准静电场法和变分法等作了详细的介绍，近年来，随 着计算机技术和数值计算方法的发展，出现了许多用于解决电磁场边值问题的数 值方法，如h a f f a 用频域有限差分法分析了具有不连续性的三维电磁结构 1 l l ， k u r p e z e v i c 用时域有限差分法分析了在矩形波导中填充部分介质的不连续结构 f 1 2 ，i s e 等用有限元法分析了加有介质散射物的矩形波导，其中采用t n 罚因子 来消除伪解 1 3 1 ，v n k a n e l l o p o u l o s 和j e w e b bc r a w f o r d 用有限元法分析了e 面矩形波导结 1 4 1 ，和d a v i d o v i t z 用半离散有限元法分析了h 面不连续的无限薄 膜片，并提出了获取频率响应的快速方法 1 5 1 ，y a n g 和o m a r 用矩量法分析了e 面无限薄膜片和无限矩形窗 1 6 ，曹伟等用矩量法分析了e 面金属柱的不连续性 1 7 ，冯正和用网络边界元法求解了波导内的任意不连续性问题【1 8 】。 和波导不连续性问题一样，本征值问题也是电磁场理论中重点研究的问题， 在实际的微波工程中本征值对应与波导的截止频率和谐振腔的谐振频率，这方面 前言 也有大量的文献，比较典型的有m - j b e a u b i e n 和a ，w e x l e r 用有限差分法计算 了矩形波导、脊波导和圆波导的本征值 1 9 ，m a l b a n i 和e b e m a e d i 用有限差分 法计算加有介质块的矩形波导谐振腔的谐振频率【2 0 ，d o kh e ec h o i 和 w o l f g a n gj r h o e f e r 用时域有限差分法分析了三维本征值问题 2 1 】，p l a r l e t t 和 0 c z l e n k i e w i c z 用有限元法计算了加载介质的矩形波导、异形波导等的本征值 2 2 ，j i a n s h e w a n g 和r a jm i t t r a 用棱边元有限元法计算了加载介质的波导谐振 腔的谐振频率并以此来分析了波导不连续性问题 2 3 。 和上述两方面内容相比，广义传输线方程则是计算电磁学中的新概念，目前 这方面的文献较少，而且大多集中在微带电路的分析上，如ywl i u 等用广义 传输线方程分析了微带线的连接 2 4 1 ，j s h o n g 等用广义传输线方程分析了微带 低通滤波器 2 5 ，x i a o l o n gz h o n g 等用广义传输线方程分析了微带t 形结 2 6 。 本论文研究建立矢量偏微分算子理论上上述问题的数值解法，其中用有限元 法分析了波导不连续性问题，并将其与广义传输线方程结合起来，用有限差分法 计算了本征值问题。论文主要由两大部分构成，第部分包括第二章和第三章， 介绍了矢量偏微分算子理论的基本原理和一些最新的理论研究结果；第二部分包 括第四、五、六章，讨论了建立在矢量偏微分算子理论上的数值计算方法，各章 的具体内容如下 第一章介绍课题选择的背景，国内外进展情况，论文的内容介绍等。 第二章为矢量偏微分算子理论的数学基础，从矢量函数中最基本的算符v 出 发，讨论了几种重要的算符组合的数学性质，由此定义了矢量偏微分算子：从矢 量函数空间的观点将经典电磁场理论中的亥姆霍兹定理扩展为广义亥姆霍兹定 理，这是矢量偏微分算子理论中的重要的定理，根据该定理可以电磁场按其波的 属性来分解，讨论了无旋场和旋量场空间的基本的数学性质；重点分析了旋量场 空间的性质，利用旋量场中的对偶空间旋量电场和旋量磁场空间，推导出了 旋量场空间的二维性，即旋量场可以由两个标量函数来确定，给出了旋量场中本 征问题的方程，讨论了旋量场中本征函数的正交性，推导了旋量场本征函数展开 的表达式。 第三章介绍了以矢量偏微分算子理论为基础的电磁波基本方程组，首先利用 本征函数展开的方法分析旋量场算子方程的非齐次问题，得到了表征旋量场的两 个标量函数妒。和吼的方程的基本形式，引入广义函数理论来分析激励函数；用 基于矢量偏微分算子理论的电磁场数值计算方法 本征函数作基函数和检验函数，根据矩量法的基本原理分析了算子方程的解的一 般形式，得到了算子方程的解析解，并将其推广到矢量算子方程，得到了旋量场 算子方程的解和并矢格林函数的一般形式，讨论了一般边界条件下的并矢格林函 数问题，得到了一组通过边界耦合的标量格林函数；利用矢量波本征函数，通过 算子方程的逆反演，得到了激励函数与电流之间的关系，由此得到了一组在数学 上自恰的方程即电磁波基本方程组的完整形式。 第四章介绍了应用矢量偏微分算予理论求解电磁场边值问题的基本方法，研 究对象为波导不连续性问题，以电磁波基本方程组为基础，建立了所求解问题的 数学模型，选用有限元法作为数值计算方法对其进行求解，介绍了用有限元法解 决解决这一问题的原理和步骤，并以矩形波导加载膜片和波导阶梯为例，说明了 该方法在直角坐标系中的应用，以同轴阶梯为例，说明了其在圆柱坐标系中的应 用情况。 第五章介绍了本征问题的数值计算方法，采用有限差分法，建立了求解本征 问题的迭代算法，利用该算法可以求解通过边界耦合的标量函数妒。和饥的算子 方程，从而实现三维谐振腔的数值计算，该算法利用本征值的计算对迭代过程进 行控制，确保迭代的收敛，同时采用松弛因子来加快收敛速度，最后以加有金属 块的矩形波导谐振腔为例，计算了谐振频率和电场强度分布。 第六章讨论了广义传输线方程在波导分析中的应用，广义传输线方程是电磁 场理论中的一个新概念，因此在这一章中首先推导了广义传输线方程和参数提取 的一般方法，通过对无限长的均匀矩形波导的等效电路的修正，建立了基于广义 传输线方程的矩形波导的等效电路，提出了两频点提取参数的方法，应用该方法 提取了第四章中的波导加载膜片和波导阶梯的参数，并用其等效电路计算了网络 散射参数。 矢量偏微分算子理论是电磁场理论中的新理论，将其应用于电磁场的数值计 算中也是一种新的尝试，因此本文中的许多内容都是电磁场理论研究中的新内 容，概括起来论文中的创新点主要有以下几个方面： 1 完善了矢量偏微分算子理论，建立了在新理论基础上的三维电磁波系统 的普遍的解析和数值方法，解决了经典场论中由于无旋场的影响，无法对三维系 统进行解析求解和数值方法中由非物理模带来的问题： 2 建立了基于矢量偏微分算子理论的电磁谐振腔的数值分析方法，得到了 前言 可消除非物理模的三维谐振腔本征模式的迭代算法，在迭代算法中加入了正交化 处理，使之能够方便地进行三维谐振腔各模式的计算： 3 初步建立了基于矢量偏微分算子理论的微波网络的数值计算方法，从理 论上建立了三维加载的和三维不连续性的网络参数的计算方法问题，用这一方法 计算了各种二维加载的微波网络，得到了与经典理论中单模方法一致的结果： 4 研究了k k m e i 教授最新提出的广义传输线方程理论在波导系统中的应 用，改进了经典理论中矩形波导的等效电路，运用矢量偏微分算子理论，提出了 基于有限元法的两频点提取参数方法，将该等效电路用于波导系统的分析，可以 在很宽频带范围内获得较高精度，在微波工程应用中具有定的实用价值。 基于矢量偏微分算子理论的电磁场数值计算方法 第二章矢量偏微分算子理论 从十九世纪末经典电磁场理论的基本体系建立以来，有关电磁场理论的研究 工作大多集中在对各种具体问题中的麦克斯韦方程组的求解上来，在此过程中数 学理论和方法起着非常重要的作用，在电磁场理论发展的早期，利用微积分、偏 微分方程、复变函数、傅立叶变换等经典的数学方法，形成了电磁场边值问题的 解析的和近似的求解方法，近年来，特别是在电磁场的数值计算中，象泛函分析 和小波分析这样一些现代数学中分析方法也被大量地采用。但是在经典电磁场理 论中，数学更多地是求解的工具，即使是对待伪解问题，也是采用加罚因子这样 的数学技巧将其排除，而从数学的发展对其他学科的影响来看，其思想性是更为 重要的，泛函分析与量子力学就是一个很好的例子。矢量偏微分算子理论就是将 现代数学分析中的基本思想引入到电磁场理论的研究中来，其基本思路就是将场 矢量在算予空间上分解为无旋场和旋量场子空间上的分量，然后再根据场的属性 在各自的子空间上研究其求解的方法，这样不但可以解决伪解和非物理解问题， 而且对深入研究电磁波的性质如二维性等也有极大的帮助。 2 1 矢量算符和矢量偏微分算子 在矢量分析和场论的发展过程中，n a b l a 算符v 起了非常重要的作用，这一 算符最早是由哈密顿于1 8 4 3 年在建立四元数论的时候引入的，此时关于算符v 的运算只有散度和梯度以及相应的组合运算符，可以将其很自然地推广到仃维欧 氏空间中去，算符v 在门维欧氏空间中的定义为 儿喜霉鲁耐一丢“z 丢+ 。+ t 番 q 1 ) 算符v 是一个欧氏空间中的矢量，但是与基矢量连在一起的不是一般矢量中的表 示矢量在子空间上射影的标量函数，而是相应子空间上的微分运算 在式( 2 1 ) 的定义中，v 运算符本身是没有维数的限制的，而且可以定义出 散度和梯度以及相应的组合运算符，但却不能定义旋度运算，只有把维数”限制 为3 时，即在三维几何空间中才能定义旋度运算。三维几何空间确实具有其它任 何非三维的欧氏空间所完全的没有特殊的数学性质，而且这种特殊的数学性质与 物质的存在形式是不可分的，正是由于这样的原因，经典电磁场理论中的场矢量 矢量偏微分算子理论 都是三维几何空间中矢量，但这些矢量都可以而且必须通过几何空间的三个子空 间上的射影来表示，而且所有的矢量的物理定律同样也都可以通过这些射影表示 成相应的标量形式。 在三维几何空间中的场矢量和位函数及其散度、梯度以及旋度运算，构成了 经典电磁场理论的基本内容，虽然散度、梯度和旋度运算是对场矢量和位函数的 物理性质的确切描述，但从数学的角度来看，这些运算的数学性质并不十分完美， 因为这种运算符只能定义正向的运算，而不存在逆运算，而存在逆运算是数学上 作为函数和映射的基础，因为只有能够进行逆运算，才能进行求解。虽然这些运 算本身存在着不足，但它们的一些组合运算却存在着很好的数学特性，其中在电 磁场理论中出现较多的组合运算有拉普拉斯算符v 2 、双旋度运算符v v 、运 算符v v 和矢量运算符v 2 ，为了讨论它们的数学性质，这里首先给出标量函数 和矢量函数内积的形式，设f 、g 和f 、g 分别为空间区域v 内连续的标量函 数和矢量函数，定义标量函数的内积为 = l ，厂g d v ( 2 2 ) 矢量函数的内积为 = l ，g d v ( 2 3 ) 式中右上角的星号表示取共轭运算，在本文中用黑体来表示矢量。 由组合算符v2 、v v x 、v v 和v2 ( 矢量) 所规定的运算可知它们满足线 性算子的定义，根据式( 2 2 ) 和( 2 3 ) 所定义的内积，可以讨论这些算子的另一重 要性质自共轭性。 ( 1 ) 拉普拉斯算子v 2 拉普拉斯算子是一个偏微分表达式，是把散度运算和梯度运算结合在起的 运算，即先对标量函数进行梯度运算，得到一矢量函数，而后再对该矢量函数取 散度运算，它的作用区域是一个三维的几何空间，所对应的函数空间就是三维的 标量函数空间。根据标量格林定理 f ( 妒2 妒一妒2 庐) = 4 ( 刃一e v e ) - 耐 ( 2 4 ) 可以证明在满足下列边界条件之一时 基于矢量偏微分算子理论的电磁场数值计算方法 a 第一类边界条件狄利克雷条件 p = 0在边界s 上 b 第二类边界条件诺曼条件 厅v p = 0 或o _ e = 0在边界s 2 上 c 第三类边界条件辐射条件 恕尺( 嚣咄加。 拉普拉斯算子具有自共轭性，即 = ( 妒，v 2 2 ：- ( 2 ) 双旋度算子v v x 双旋度算子是一个矢量算子，对所作用的矢量函数取两次旋度运算，得到的 运算结果也为一矢量函数，它的作用区域是一个三维的几何空问，所对应的函数 空间就是三维的旋量场函数空间。根据矢量格林定理 f ( g v v f f v v a ) d v = ( f v g g v f ) 五据 ( 2 - 5 ) 可以证明在满足下列边界条件之一时 a 第一类边界条件狄利克雷条件 五f = 0 在边界s ，上 b 第二二类边界条件诺曼条件 五v f = 0 在边界s ，上 c 第三类边界条件辐射条件 l i m ( v f ) ，一j k r f - 0 双旋度运算符具有自共轭性，即 = ( 3 ) 算子v v 算子v v 也是个矢量算子，对所作用的矢量函数先取散度，再作梯度运算， 得到的运算结果也为一矢量函数，它的作用区域是一个三维的几何空间，所对应 的函数空间就是三维的无旋场函数空间。可以证明在满足下列边界条件之一时 a 第一类边界条件狄利克雷条件 矢量偏微分算子理论 甲f = 0在边界s 。上 b 第二类边界条件诺曼条件 元f = 0在边界上 c 第三类边界条件辐射条件 婴m r v f j k r f 】_ 0 算子v v 具有自共轭性，即 = ( 4 ) 矢量算子v 2 矢量运算符vz 在电磁场理论中没有直接的物理内容，但它却是矢量函数空 间理论中很有用的算符，这是由于一方面它是无旋场算符与旋量场算符之差，另 一方面它又具有在几何空间的射影可以分离的特性，不论旋量场算符还是无旋场 算符，它们在欧氏几何空间的射影都是不可分离的。所以矢量运算符v2 在矢量 算符的本征函数空间与欧氏几何空间之间架起了联系的桥梁，使得可以用几何空 间中所熟悉的分析方法来研究矢量算子的本征函数空间的一般性质。矢量运算符 驴2 所对应的函数空间就是三维的矢量函数空间，可以证明在满足下列组合边界 条件之一时 a 第一类边界条件狄利克雷条件 五f ：o 和v f = 0在边界s 上 b 第二类边界条件诺曼条件 h v f = 0 和h f = 0在边界受上 c 第三类边界条件辐射条件 a l i m 月 ( v x ，) ，一脚用= 0 和恕r v f 一瑚。f = 0 矢量算子v 2 具有自共轭性，即 = 综上所述，当满足一定的边界条件时，拉普拉斯算子和矢量运算符v v 、 v v 和v 2 在所定义的函数空间上具有白共轭性，是自共轭的偏微分算子，此时 它们也是一个正算予，通过这些算子，可以将对电磁场理论的分析从三维几何空 间变为矢量偏微分算子空间，从而采用现代数学分析方法来解决电磁场理论问 基于矢量偏微分算子理论的电磁场数值计算方法 题，这不仅是单纯的数学意义上的变换，它对深入理解电磁波现象的物理意义有 着极大的帮助。 2 2 广义亥姆霍兹定理 在经典的电磁场理论中，关于场的存在性和唯一性的亥姆霍兹定理具有非常 重要的意义，这一定理可以描述如下：在空问一定区域内的任意一矢量场f ，若 已知它的散度、旋度和边界条件，则该矢量场可以唯一地被确定，并可以表示成 一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和即 f = 巧+ e = v 妒+ v a( 2 6 ) 其中e 为无旋场，p 为旋量场。 为了证明亥姆霍兹定理，首先在区域内引入如下的变换 f = 一v 2 = v x v w v v w ( 2 7 ) 设f 和满足边界条件 矗f = 0 和v f = 0在边界s 上 五矿= 0 和v w = 0在边界s 上 该变换的特点是限定f 和具有同样的边界条件，即在同一函数空间内进行变 换。在式( 2 7 ) 中，如果把f 看成是源函数，把看成是场函数，则有 ( 舻c 害筝妇t ( 28 )、7 p4 石ir r 1 、7 其中r 和尺分别为场点和源点的坐标。它们满足 v ! = 一v ， ! l r r li r r l 根据高斯定理和边界条件，并利用上式及一些矢量交换可得 v ：f ! 型l d v 一( 蛀批f ! ! 幽d v ， j ，4 石i 赏一定f占4 7 c f 届一贾7 fj ，4 丌f 矗一月f 同样，根据矢量斯托克斯定理和边界条件可得 v 。w ：f ! ：兰里堕d v - 一( f ! 羔堕! ! 一矗，：f 坠! 幽咖， p 4 石l 置一r l母4 厅l 且一显lj ，4 石l r 一月l 于是得到无旋场和旋量场的解 o 矢量偏微分算子理论 e = v v = 一v l 器咖 和 e 汛v w = v x 怒西 上面证明了无旋场和旋量场的存在性，为了证明其唯一性， 量函数和，它们都满足式( 2 7 ) 和边界条件，令 册= 彬一 则有 ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 假设存在两个矢 翼影豢0 。v 一0 器 m i 五删= 和删= 在边界s 上 、 满足上式的5 w 只存在唯一的平凡解b w = 0 ，即形= 暇，因此矢量f 只能分解 为唯的无旋场和旋量场之和。 上面证明了在封闭区域内的亥姆霍兹定理，对于包含无穷远处的自由空间来 说，只要在无穷远处矢量f 以1 r 2 的变化率趋于0 ，则亥姆霍兹定理同样是成立 的。将矢量f 根据亥姆霍兹定理分解时，无旋场和旋量场具有如下的性质 1 一个无旋场在整个域上满足v e = 0 ，则该无旋场在整个域上恒等于0 ； 若个旋量场在整个域上满足vxp = 0 ，则该无旋场在整个域上恒等于0 ； 2 任意的旋量场和无旋场之间是正交的，取f 和为相同的域和边界条件， 且f = v 2 ，则有 j ，巧f , a v 3j ，( v v x 矿) 。( v v ) = 0 ( 2 1 2 ) 3 旋量场和无旋场满足各自的齐次边界条件，令f = v v w 和 e = v v ，则他们满足的边界条件为 五e = 0 和v e = 0 在边界s 上 ( 2 1 3 ) 和 】；e = 0 和v e = 0 在边界s 上 ( 2 1 4 ) 实际上，对旋量场只要南e = 0 ，对无旋场只要v 正= 0 就足够了，另一半边 界条件可以自动满足。 根据投影定理，希尔伯特空间中的任一元素，可以分解为其完备的正交子空 基于矢量偏微分算子理论的电磁场数值计算方法 间中的投影之和的形式，用函数空间的术语来说，亥姆霍兹定理可以表述成：一 矢量函数空间( 该矢量函数空间的定义是满足一定空间边界条件的所有连续可导 矢量函数的集合) 可以唯一地分解为两个完备的互不相交的子空间，即 f = 巧) u e )( 2 1 5 ) 其中 e 和 只 分别表示无旋场空间和旋量场空间。 矢量函数空间在分解为无旋场空间和旋量场空间后，其旋量场子空间还可以 作进一步的分解，这可以借助于经典电磁场理论中矢量波函数的分解来实现，关 于这方面的工作最早可追溯到h a n s o n 将电场强度矢量表示为上、m 和三类矢 量函数之和 3 1 ，s t r a t o n 关于这一问题也有详细的叙述 8 】，戴振铎则在此基础上 提出了并矢格林函数的本征函数展开的求解方法 2 7 1 ，从矢量函数空间理论的观 点来看，三类矢量函数对应于无旋场空间，m 和类矢量函数之和对应于旋量 场空间，即旋量场空间 e ) 可以进一步分解为m 和类的子空间，式( 2 1 5 ) 可 以写成 妒) = f f u 民 u e ( 2 1 6 ) 其中 e ) 和 e ) 分别表示旋量场空间的m 类和类的予空间。 式( 2 1 6 ) 为广义亥姆霍兹定理的一般形式，根据这一定理可以对电场矢量 用下面的分解形式来表示 1 e = e ，曼+ e ，多+ e ：乏= v 妒f + v 0 。量) + v v ( p 。五) ( 2 1 7 ) 其中五为一任意方向的单位常矢量，称为领示矢量，为方便起见，如不特别说明 领示矢量均选用z 方向的单位矢量。 实际上式( 2 1 7 ) 也可以用来表示调和矢量函数空间中的任意矢量函数，即 满足电磁波全反射的边界条件亦即满足电场在完纯导体上的边界条件，并具有两 阶以上导数的任意的连续矢量函数均可以用该式来进行分解。式中第一个等号表 示在三维几何空间上的射影，第二个等号后面表示在矢量偏微分算子的本征函数 空间上的射影。可以看出，在矢量偏微分算子空问上的射影，同样有三个独立的 标量函数与基矢组合而成，只是其组合的方式与几何空间中的方式不同而已，它 的第一项 e t = v 仍( 2 1 8 ) 为无旋场函数，属于无旋场子空间，而后面两项 矢量偏微分算子理论 e = v x 。旬+ v v x 劬。)( 2 1 9 ) 几 为旋量场函数，属于旋量场子空间，这两个子空间是正交的，因而麦克斯韦方程 组在矢量偏微分算子的函数空间上进行分析，就可以得到对于无旋场和旋量场算 子的两个独立的算子方程。无旋场算子中k 恒为零，它表示由电荷所产生的电场， 在微波电子学中称为空间电荷场：旋量场中包含这两个独立的标量函数曰。与妒。， 所以从矢量偏微分算子空间上看，旋量场只是一个“二维”的矢量。 2 3 电场和磁场的旋量场空间 由于自然界中没有独立存在的磁荷，麦克斯韦方程组具有不完整的对称性， 但是如果对麦克斯韦方程组作一些补充，在相应的方程中加入磁荷和磁流，即可 以将麦克斯韦方程组写对称的形式，其中电场强度和磁场强度具有对偶性，这种 对偶性在经典的电磁理论中起着重要的作用，当直接求解某一边值问题有困难 时，可以利用对偶性将其转换为另一容易解决的问题，如把小圆环天线变为磁基 本振子来计算就是典型一例。在矢量偏微分算子理论中，这种对偶性可以引申为 对偶空间，在旋量场子空间中，其特征和作用更加明显。由广义亥姆霍兹定理可 知，电磁场实际上包含两种性质完全不同的场，一种是电磁波的场，另一种是非 电磁波的场，从数学上来看，电磁波就是由双旋度算子所表示的旋量场，非电磁 波的场就是无旋场，这里主要研究电磁波问题，因此将针对电磁场的旋量场子空 间进行讨论。旋量场中电场算子方程中的本征问题可以表示为 v v 易一牙= 0 ， 在域v 内 f 2 2 0 ) l 五e 。= 0 ，在边界岛上 。 旋量场巨可以在m 和n 两个子空间上进行分解 e m = e 。 + e 。i = v 如。z 三) + v v ( 妒以三) ( 2 2 1 ) l 对于纯旋量场方程两边取旋度后得到的方程与原方程等价。这里所有运算都 必须在矢量偏微分算子空间尺度上的进行，其中纯旋量场方程实际上就是对于旋 量场算子空间内的元素所组成的方程，旋量场算子空间内的元素就是纯的旋量场 函数，它实际上是指不仅有旋度运算的形式，同时还必须满足旋量场算子的边界 条件，如e 。是纯的旋量场算子，因为它满足式( 2 2 0 ) 中的边界条件，而e 。 或e n 基于矢量偏微分算子理论的电磁场数值计算方法 不一定是纯的旋量场函数，因为还没有证明它能满足式( 2 2 0 ) 的边界条件，所以 对式( 2 2 1 ) 中的e 。的方程可以在两边取旋度运算，而方程能够保持等价，但对 单独的e 。或e 。的方程，则在方程两边加旋度运算后，一般说来方程不再等价。 下面令 v e m = 口m ( 2 2 2 ) 和 v x h n = 五正 ( 2 2 3 ) 实际上只要式( 2 2 2 ) 成立，则从式( 2 1 9 ) 立即可以得到是式( 2 2 3 ) 。上面这两个 方程的联立实际上是麦克斯韦方程组本征问题的原始形式，由此可以得到一组等 价的在磁场空间上的齐次算子方程 v栅xvx巩h,：-a，：v0 ”0 搿上 ( 2 z a ) 【而何。= ，在边界毋上 、 这两个算子组成的两个空间，称为对偶空间，它们之间可以相互进行完全等价的 空间变换。在物理上磁场本身就是纯旋量场，一般不加下标，此处为了一致起 见都加上下标。磁场空间同样可以分为两个子空间，只要对式( 2 2 1 ) 两边取旋度， 再代入式( 2 2 2 ) ，可得 巩= 瓯。+ 峨。= - - v x v x 如) + v 皓v 2 三 ( 2 2 5 ) l、矿j 式( 2 2 5 ) 两边仍可以进行旋度运算，然后代入式( 2 2 3 ) 得 e r a - e m x + e 。= v ( 砉v 2 妒。三 + i 1v v ( 嘉v 2 妒。三) c z z e ， 式( 2 2 6 ) 应该与式( 2 2 1 ) 保持等价。这样可以得到对于妒。 和妒。2 的偏微分方程 组： v 知+ 譬2 0( 2 2 7 ) 【v2 妒。 + 妒。z = 0 从式( 2 2 1 ) 和( 2 2 6 ) 可以得到对于两个子空间上电场与磁场的共轭关系 v x e 。= 旯耳。 ( 2 2 8 ) 和 v 。= 上o ( 2 2 9 ) 与 矢量偏微分算子理论 v x e 。= 舡乙 ( 2 3 0 ) 和 v x 圮。= 五e z ( 2 3 1 ) 式( 2 2 5 ) 也可以改写成与式( 2 2 1 ) 对称的形式 王乙= 正乙+ 。2 = v 0 ，。童) + v v 。z 三) ( 2 3 2 ) l 从这里己可以看到，对子空间中的场函数取两次旋度运算相当于乘矛，也就是 说，虽然子空间内的场并不满足边界条件，但它在域内都独立地满足各自的齐次 矢量波动方程，即 v 。v 。疋a2 玩z( 2 3 3 ) 【v v e o = 五e 。 在可分离的边界条件下，实际上与兄纸。与e 有完全相同的函数形式， 只差个常数，从物理上说，妒。 在产生横向电场上与见有完全相同的功能，但 是从式( 2 2 1 ) 可以看到，在产生磁场上虽然得到的纵向磁场与息仍有相同的场 型，仅仅差一个常数，但是从逻辑的严格性来说，“纵向磁场又产生了横向磁场 和与本身形状相同的纵向磁场”，会造成逻辑上的不严密性，更重要的是经典场 论中用总和最作为独立变量对于不规则边界则很难处理，而矢量偏微分算子理 论则可以处理不规则边界的三维电磁场问题。 旋量电磁场中电场和磁场互为对偶空间，这一概念为深入分析旋量场的性质 提供了一条重要的途径，从数学上看，该对偶空间为旋量场提供了两组完备的本 征函数电本征函数和磁本征函数，通过这两组本征函数的不同组合。就可以 得到旋量场空间的一个重要性质，即旋量场的二维性。 2 4 旋量场算子的二维性 旋量场算子或旋量场空间的最重要的特性是它的“二维性”，旋量场算子的 二维性不是指其函数本身是两个变量的函数，而是指旋量场算子，作为一个矢量 函数和