2016年全国高中数学联赛(B卷)试题及答案.docx

2016年全国高中数学联赛（B卷）试题及答案一试一、选择题：（每小题8分，共64分）1.等比数列的各项均为正数，且则的值为 答案：6解：由于且故另解：设等比数列的公比为，则又因而，从而2.设，则平面点集的面积为 答案：7解：点集如图中阴影部分所示，其面积为3.已知复数满足（表示的共轭复数），则的所有可能值的积为 答案：3解：设由知，比较虚、实部得又由知，从而有即，进而于是，满足条件的复数的积为4.已知均为定义在上的函数，的图像关于直线对称，的图像关于点中心对称，且，则的值为 答案：2016.解：由条件知 由图像的对称性，可得结合知， 由、解得从而另解：因为， 所以 因为的图像关于直线对称，所以 又因为的图像关于点中心对称，所以函数是奇函数，从而 将、代入，再移项，得 在式中令，得 由、解得于是 5.将红、黄、蓝3个球随机放入5个不同的盒子中，恰有两个球放在同一盒子的概率为 解：样本空间中有个元素而满足恰有两个球放在同一盒子的元素个数为过所求的概率为6.在平面直角坐标系中，圆关于直线对称的圆为则直线的方程为 答案：解：的标准方程分别为由于两圆关于直线对称，所以它们的半径相等因此解得故的圆心分别是直线就是线段的垂直平分线，它通过的中点，由此可得直线的方程是7.已知正四棱锥-的高等于长度的一半，是侧棱的中点，是侧棱上点，满足，则异面直线所成角的余弦值为 解：如图，以底面的中心为坐标原点，的方向为轴的正向，建立空间直角坐标系不妨设此时高从而由条件知，因此设异面直线所成的角为，则8.设正整数满足，且这样的的个数为 这里，其中表示不超过的最大整数解：由于对任意整数，有等号成立的充分必要条件是，结合知，满足条件的所有正整数为共有个另解：首先注意到，若为正整数，则对任意整数，若，则这是因为，当时，这里是一个整数，故因此，当整数满足时，容易验证，当正整数满足时，只有当时，等式才成立而，故当时，满足正整数的个数为二、解答题：（共3小题，共56分）9.（16分）已知是各项均为正数的等比数列，且是方程 的两个不同的解，求的值解 对，有即因此，是一元二次方程的两个不同实根，从而即由等比数列的性质知，10.（20分）在中，已知（1）将的长分别记为，证明：；（2）求的最小值解 （1）由数量积的定义及余弦定理知，同理得，故已知条件化为即（2）由余弦定理及基本不等式，得等号成立当且仅当因此的最小值为11.（20分）在平面直角坐标系中，双曲线的方程为求符合以下要求的所有大于的实数：过点任意作两条互相垂直的直线与，若与双曲线交于两点，与交于两点，则总有成立解 过点作两条互相垂直的直线与易知，与交于点（注意这里），与交于点由条件知，解得这意味着符合条件的只可能为下面验证符合条件事实上，当中有某条直线斜率不存在时，则可设，就是前面所讨论的的情况，这时有若的斜率都存在，不妨设注意这里（否则将与的渐近线平行，从而与只有一个交点）联立与的方程知，即这是一个二次方程式，其判别式为故与有两个不同的交点同样，与也有两个不同的交点由弦长公式知，用代替，同理可得于是综上所述，为符合条件的值加试一、（40分）非负实数和实数满足：（1）；（2）是奇数求的最小值解：由已知条件（1）可得：于是（注意） 不妨设则 若，并且令 则于是由条件（2）知，是奇数，所以是奇数，这与矛盾因此必有，或者则 于是结合得又当时满足题设条件，且使得不等式等号成立，所以的最小值为1二、（40分）设是正整数，且是奇数已知的不超过的正约数的个数为奇数，证明：有一个约数，满足证明：记，则的不超过的正约数的集合是若结论不成立，我们证明对，因为是奇数，故，又，而没有在区间中的约数，故，即，故反过来，对，设，则，是奇数，又，故从而所以故的不超过的正约数的个数为偶数，与已知矛盾从而结论成立三、（50分）如图所示，是平行四边形，是的重心，点在直线上，使得证明：平分解：连接，与交于点由平行四边形的性质，点是的中点因此，点在线段上 由于，所以四点共圆，并且其外接圆是以为直径的圆由相交弦定理知 取的中点注意到故有因此关于点对称于是 结合、，有，因此四点共圆 又所以，即平分 四、（50分）设是任意一个11元实数集合令集合求的元素个数的最小值解：先证明考虑到将中的所有元素均变为原来的相反数时，集合不变，故不妨设中正数个数不少于负数个数下面分类讨论：情况一：中没有负数设是中的全部元素，这里于是 上式从小到大共有个数，它们均是的元素，这表明情况二：中至少有一个负数设是中的全部非