（理论物理专业论文）二维颗粒系统中力分布的理论研究.pdf

学位论文独创性声明 本人郑重声明 1 、坚持以“求实、创新”的科学精神从事研究工作。 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究 成果。 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的。 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构 已经发表或撰写过的研究成果。 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示 了谢意。 作者签名 日期 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学 校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电 子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论 文进入学校图书馆被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进 彳亍检索；有权将学位沦文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在 解密后适用本规定。 作者签名 日期 二维颗粒系统中力分布结构的理论研究 摘要 本文对二维颗粒系统中的力的传递和分布作了相应的讨论和研究。首先，考 虑到实际颗粒堆积中存在着大量的“拱形”结构，而q 模型不能很好的描述这一 现象，从而我们对原有的g 模型做了相应的改进：引入两种新的概率分布p o 与n 来修正该模型，通过计算我们发现：当f 斗0 时，p ( ) 并不趋向0 ，而是趋向 区间最大值，该结论在一定程度上反映了实验的结果，克服了q 模型在f s l 处 分布曲线与实验不符的缺陷。 其次，为了更好地反映系统中存在的“拱形”结构，我们定义了种特殊的 “s t o o l ”模型，通过随机定义“s t o o l ”的长度，重量以及力的传递点来反映颗 粒堆积的无序，我们计算了系统无外力的情况，发现它和q 模型的结果在f 1 的 情况f 符合的很好，在f 1 的情况下比g 模型更能反映实验的结果。此外我们 还讨算了系统有外力的情况：发现该模型与q 模型都遵循厂。的分布规律。 再次，为了克服q 模型中所不能反映的力的矢量性，我们研究了包含力二f 衡 和转矩平衡的层状矢量模型，具体对无摩擦系统中力的非负性做了分析和相应的 简化。对于有摩擦的系统我们仍然使用了n g u y g e n 等人试探解的方法。通过计算， 我们发现系统中竖直方向力的分稚与标量q 模型的结论是一致的。 最后，我们研究了具有六角密排结构的颗粒系统在外力f 二作用p 。各层颗粒 的作用力随水平位置的分布。通过随机选取水平作用力为参量，以及对系统的不 同区域使用不同的近似方法，我们发现在层数rsn 时，每层都会出现一个双峰 的结构，并且双峰的高度会随着层数的增加呈幂函数衰减，这与实验和s r d j a n 等 人模拟的结果是很类似的。 关键词：颗粒物质，叮模型，s t o o l 模型，外力作用，六角密排，力的分布。 二维颗粒系统中力分布结构的理论研究 a b s t r a c t i nt h i sp a p e rw ew i l ld i s c u s st h ef o r c ep r o p a g a t i o na n dd i s t r i b u t i o ni n2 dg r a n u l a r m a t e r i a ls y s t e m s f i r s t l y , c o n s i d e r i n gt h e r ea r es o m ea r c h e si nt h er e a lg r a n u l a r p a c k i n gw h i c ht h e c l a s s i c a l qm o d e l c a nn o td e s c r i b ec o r r e c t l y , w er e v i s e t h e gm o d e l w i t ht w op r o b a b i l i t i e sp 0a n dn w i t ho u rc a l c u l a t i o n ，w e f i n dw h e n ，呻o ，p ( f ) i sn o t t e n dt o0 ，b u tt h em a x i m a lv a l u eo ft h ed i s t r i b u t i o n ，w h i c hi sw e l l c o n s i s t e n tw i t ht h ee x p e r i m e n t su n d e rt h ef 1 a n dt h a ti sn o to b t a i n e db yt h e q m o d e l s e c o n d l y ，w ed e f i n eap e c u l i a r “s t o o l m o d e lt od e s c r i b et h ea r c h e si nt h eg r a n u l a r p a c k i n g w ed e f i n es o m es t o c h a s t i cq u a n t i t i e ss u c ha st h el e n g t h , t h ew e i g h ta n d t h e c o n t a c td o i n t so f t h e s t o o l ”t od e s c r i b et i l ed i s o r d e rp a c k i n go f t h eg r a n u l a rm a t e r i a l ， f r o mt h i sm o d e l w ec a l c u l a t et h es y s t e mw i t h o u te x t e r n a lf o r c ea n df i n dt h a t i ti s a p p r o x i m a t e l y c o n s i s t e n tw i t ht i l eqm o d e lw h e nf - 1 ，w h e nf sl ，i ti sw e l l c o n s i s t e n tw i t ht h ee x p e r i m e n t s i na d d i t i o n ，w ea l s oc a l c u l a t ef i l ef o r c ed i s t r i b u t i o no f t h es v s t e mw h i c hi su n d e rt i l ee x t e r n a lf o r c ea n df i n dw h o s er e s u l t si sw e l lc o n s i s t e n t w i t h f l i k e q m o d e l t h i r d lv w es i m u l a t eav e c t o rm o d e lf o rr e p a i r i n gt h ed e f e c t i o no ft i r ec l a s s i c a l qm o d e l i nt h i s m o d e l ，a l lt h es i t e so ft h es y s t e mm u s ts a t i s f yt h ef o r c ea n dt o r q u e b a l a n c ea n da l lt h ef o r c em u s tg r e a tt h a nz e r o w ea n a l y z ea n ds i m p l i f yt i l er e s t r i c t i o n o f t h ef b r c ew h i c hi sn o tl e s st h a nz e r oi nt h ef r i c t i o n l e s ss y s t e m si nd e t a i l ，b u tt o c o n s i d e rt h ef r i c t i o ns y s t e mw ea l s ou s et h en g u y g e n st e n t a t i v em e t h o d w i t ha l l t 1 1 e s el i m i t s w ef i n dt h a tt h ed i s t r i b u t i o no fv e r t i c a lf o r c ei nt h es y s t e mi ss i m i l a rt o t h es c a l e q m o d e l f i n a l l y ，as p e c i a lm o d e lo ft i l e f o r c ed i s t r i b u t i o no fe a c hl a y e ri nt h eg r a n u l a r p a c k i n gw i l lb ec o n s i d e r e dt h a ti s a2 dh e x a g o n a lp a c k i n gu n d e rav e r t i c a ld o w n w a r d p o i n tf o r c ea tt h et o pl a y e r i no u r w o r k ，w ef i n dt h a tt i l ed i s t r i b u t i o ni ne a c hl a y e ro f ， t h es y s t e mi sd o u b l e p e a k e dw h e nt h el a y e rr na n dt h eh e i g h to ft h ep e a kq u i c k l y d e c r e a s ee x p o n e n t i a l l yw i t ht h ed e p t h i no u rc a l c u l a t i o nw eu s es o m ea p p r o x i m a t e m e t h o d si nd i f f e r e n tp a r t so ft h es y s t e mt od e s c r i b et h ep r o p e r t i e so ff o r c ea n dt h e r e s u i t si sw e l lc o n s i s t e n tw i t ht h ee x p e r i m e n t sa n d s r d j a n sc o n c l u s i o n k e y w o r d s ：g r a n u l a rm a t e r i a l ；q m o d e l ；s t o o lm o d e l ；e x t e r n a lf o r c e ；h e x a g o n a l p a c k i n g ；f o r c ed i s t r i b u t i o n 3 二维颗粒系统中力分布结构的理论研究 前言 0 1 颗粒系统及其性质 颗粒物质是大小介于1 0 - 91 0 - 2 米之间的一类特殊物质l ”。在自然界中，几 乎所有的自然现象都与它们密切相关。大到地球表面地貌的构造和侵蚀，小到空 气中灰尘的堆积和扰动，都涉及到颗粒物质研究的领域羽。同时，颗粒物质在我 们的生产生活中也发挥了极其重要的作用。颗粒物质是一类特殊的软物质：它既 能像固体那样发生形变；又能像液体一样流动；也能和气体一样表现为可压缩性 川。但是颗粒物质又不同于通常的固体、液体和气体，表现出非常丰富的物理现 象，因此有人称之为物质的“第四态”或“颗粒物质态”l ”】。 由大量颗粒组成的，具有一定边界条件的系统称之为颗粒系统。颗粒系统通 常具有以下儿个特点：1 、系统山大量的颗粒组成，因此对系统和相关物理量的 统计是必要的：2 、颗粒阃的相互作用是短程的：即颗粒问有相互接触时才有力 的作用，不接触则无力的作用。3 、通常的温度对于颗粒系统的影响是可以忽略 的，即颗粒系统的内能相对于重力势能而言是可以忽略的i i ”。 近几十年来，颗粒物质的研究已成为当今物理界的一个重要课题。许多物理 学者分别从理论和实验上多方面地研究了该课题，例如：1 9 8 7 年，p b a k 、汤超、 k w i s e s e n f e t d 等考虑到沙堆形成过程中会出现大小不同的雪崩，提出了著名的沙 堆模型l f 6 j ；1 9 9 5 年，a c o n i g l i o 等人研究了颗粒物质堆集时的相变问题1 1 7 。虽 然，我们对颗粒物质系统的粒子流密度、自组织现象、分离分层现象以及颗粒系 统中压力的传递情况等已有了一些初步的了解。但至今。仍有很多问题尚未解决， 还没有一致的答案。 本文主要讨论的是静止颗粒系统中的力是如何分布的。并且本文中的是指 无量纲力，定义为系统中的力与其平均力的比值。即厂= 吖f ，其中户为平均力。 o 2 颗粒系统中力分布的相关实验和理论局限 0 2 1 相关实验与结论： 二维颗粒系统中力分布结构的理论研究 首先，小结一下颗粒系统中力分布的相关实验：早在1 9 9 5 年，l i u 等人【6 】 就发现在力f l 的区域，分布p ( i 1 是以指数衰减的；在使用了更高精度的测量 技术之后，g l o v o l l 等人【2 2 发现在f 1 的区域，分布是幂函数衰减的，指数因 子口= 0 3 ；在f 1 的区域仍然是指数衰减的，因子口= 1 8 ；在m u e t h 等人的 测量中：在厂1 的区域，p ( i ) 是指数衰减的，指数因子卢= 1 5 o 1 ，在力很小 的区域，分布p ( 1 1 将变的很扁平，几乎接近常数；最近d l b l a i r 等人口1 1 在m u e t h 等人哪实验的基础上，得到力的分布可以拟合成口f 1 一b e 1 e - 妒这样的形式。 、， 下面，着重介绍一下m u e t h 等人脚的相关实验： 实验中的容器是一个内直径为1 4 0 m m 的圆柱形聚丙烯容器；容器的顶端和 底端是2 5 c m 厚的聚丙烯圆盖活塞( 活塞上附有一个钢棒) 。容器内装有5 5 0 0 0 颗直径d = 3 5 0 2 r a m 的s o d al i m eg l a s s 球粒。容器中颗粒 的高度是可以变化的，但通常是1 4 0 m m ，一旦容器装满颗粒， 上层的活塞通过气压机将7 6 0 0 n 的压力传递给下层封闭的 活塞。通过改变实验条件，就能得到该颗粒系统中力的分布。 通过使用改进的碳纸 1 技术，该实验能够测量从 o 8 n 到8 0 n 误差在1 5 以内的正压力。在每次实 验中，m u e t h 等人3 1 对容 器内壁和上下活塞分别取 了3 8 0 0 个和8 0 0 11 0 0 个数据点。通过这些数 据，就可以得到- 厂与分布p ( f ) 的曲线，从而 得到以下几点结论： ( 1 ) 上下活塞的p ( f ) 分布是一致的。 ( 2 ) 对于上下活塞：当厂1 时， p ( 厂) e 一( = 1 5 o 1 ) 、鸳 、。 。 、圜i o t v 一 。 水 帅帅 卅 碑 呻 b 一， 二维颗粒系统中力分布结构的理论研究 ( 3 ) 容器内壁的p ( ，) 与上下活塞的p ( f 1 具有相同的形式。同样不依赖于 高度。当f 1 时，。= 1 5 0 2 根据实验数据和相关曲线，就可以拟合出一个力分布的方程： p ( ，) = a ( t b e 一72 ) e 一 这是一个参数d = 3 ，b = o 7 5 ，口= 1 5 和实验数据符合得很好的力分布方程。 0 2 2 目前理论的局限； 必须指出方程p ( ，) = 口( 1 妇一，1 ) p 一纯粹是经验的。到目前为止， 还没有任何模型能够很好地解释上述方程的前因子l b e 一广和整个力的分布 形式。为此，只能讨论一些特定区域的情况： w ，* 0 l 三f d 目前，当 l ，p ( 厂) o ce - 珂的分布形式已由标量q 模型5 6 1 给出了很好的 解释，但是此模型中接触力的矢量性没有得到很好的说明；在随后改进的a 模 型i ”) 和层状矢量模型1 7 1 中考虑了力和转矩的平衡，其结果中也存在着这样的 指数分布：此外使用接触动力学与分子动力学方法【8 9 】也能得到类似的结果。 对于厂 0 ，表示位移向上，相反则表示位移向下。那么，层谚0 和y - 1 层i + l 列之 间的弹簧具有的能量为： e ：，： 0 如果( “。一厂“。) 0 的范围内都是线 性变化的。力与位移之间的关系将是( a ) f ( a ) = k a ( 当a 0 时) ；( b ) f ( 舢= 0 ( 当a 1 的情 况下，图像是易于辨别的；而 另外一些小系统的图像却是 模蝴不清的，这点说明了要测 量到完全可信的指数y 需要更 大的系统尺度。 该模型忽略了以下两点影响： ( 1 ) 在受压状态下，力分布区域会变宽。 ( 2 ) 较大的力会在其邻近的颗粒中被分解，这种动力学过程同样会影响系统 的网络结构。这一点类似于电路中的信号反馈现象，系统中的下层颗粒将其受到 的力会反馈给上层颗粒。构成力传递的一个环状结构。 该系统中的力的分布在力的所有区域都表现幂函数的形式在厂2 l 的区域 这是与实验n2 2 1 不相符合的，也不同予其他模型5 q - 2 1 的结论。为了和后面模型1 5 q n 1 的结论做比较，所以，我们小结了该模型。 二维颗粒系统中力分布结构的理论研究 1 2 标量g 模型 ( 1 ) 模型提出的背景： 颗粒堆积的几何无序多年来吸引了无数研究者的兴趣。最近，随着对颗粒性 质认识的不断深入，其在技术上的应用也得到了很大的发展。目前，学术界讨论 的焦点是有关颗粒系统中力分布的具体形式。有关实验 8 1 表明：二维颗粒系统中 会出现力聚集，会产生“力链”结构，这种结构同样会出现在三维颗粒系统中。 c o p p e r s m i t h 等a t , 6 1 针对上述现象，提出一种力分布模型( 即q 模型) 的详细计 算和数值模拟。这种模型在很多方面和实验结果【3 l2 2 1 符合得很好。 ( 2 ) 模型的定义： d = l o - 2 o = 3 c o p p e r s m i t h 等人5 ，6 1 考虑了一个规则 的三角颗粒系统，忽略其中每个颗粒的几 何形状，并认为其具有单位质量。任意d 层 的每一个格点i 都与d + l 层的个近邻格 点相接触。同样，只考虑相互作用力的竖 直分量，定义一个随机变量q ，表示上层第 i 个颗粒将其作用力传递给下层第，个颗粒的几率，如上图所示( 图中，为了方 便起见：我们取= 2 ，即上层每个格点只有两个下层近邻格点，并规定g 。只 能取0 或者1 ，即力只能传递给下层两个格点中的任意一个。通常称这种限制为 q 。j 限制) 。则任意d 层中第f 个格点所受的力必然满足下列方程： f ( d + i ，) = l + q 。( d ) f ( d ，i ) 其中q 。( d ) 是【0 , i 】区问的随机变量，由竖直方向力的守恒，则必然有 g j ，= i 。再定义格点的概率密度为 p ( 叮，a ，：，t - ，g ，。) = 丌，f ( q ，) ) 占( ，a ，一- ) 。 则概率分布叩( q ) = 兀f d q 。p ( g ，q = q ，q 叫) = i 因为p ( ，g 州) 是概率密度，并且有。ng 。= 1 ，则必然有： 二维颗粒系统中力分布结构的理论研冗 0 l 由叩( g ) = 1 和 ) 力的分布呈指数衰减。为了更好地得到 ( ) l 情况下力分布的行为，可以取力分布的双对数关系。从图中可以看出： 当n ( ) l 时，力的分布表现为幂函数衰减。并且可以看出力的分布并不依赖 于样品颗粒的大小。 其分布函数为p 。j ”8 le 芦( 1 一”( ”) ) n ( ) 其中口= 一0 3 ，口= 1 4 同样切向力t 的分布如下图所示，同样取无量纲切向力。并且也能得到该分 - 43_ 2 一lol l o g i 。) z育，nd)0i3 do一3 o q 也 弓 4 ci爻l上dv口lso一 0v2奶。一 二维颗粒系统中力分布结构的理论研究 布是从幂函数分布过渡到指数分布。 其分布函数为p 。c ( r ( r ) ) 。 r ( r ) 其中口= 一0 5 ，口1 4 f 面将着重讨论一个与有关，独立于，7 的统计结论。无论n 取什么值， 摩擦力都必须在【o ，p 】内变化。可以通过一个简单的假设将p n 转化为p 7 ，并令 p ( n ，t ) 为正压力和摩擦力的联合概率分稚。既然，7 独立于n ，我们可以将 p ( u ，t ) 写成p ( ) 和p ( q ) 乘积的形式。则稚町比变换( n ，t ) 一( n ，呷) 可写成： p ( ，丁) d n d r = 专所( ) b ( ，7 ) d n d 丁 ( 1 ) 可以得到方程( 1 ) 关于和r 在区间【o ，+ 叫内的两个积分形式。对方程( 1 ) 的 右边使用替换r = ，7 和限制，7 【o ，】，并引入一种均匀分布岛( ，) = 1 ( 【o ，】) ， 完成n 在【0 ，+ m 】范围内积分，并在方程右边使用替换= t q ，就可以得到以下 p 。与p l 的关系： 岛( r ) 2 去j p ，( x 丁) 睾 该方程表明p 。和岛的幂函数分布应该是相同的。即：口= 口。此外，正压 力指数分布的裁断必然导致摩擦力指数的截断。 最后，对方程( 2 ) 中的丁进行积分就可以得到下面平均值之间的关系： ( t ) = 等( ) 这个关联近似地反映了四种结构中的结论 当前的研究表明：该方法对于一个只有1 2 0 0 个颗粒的系统需要数十年时间 的精确定义，因此，通过增加颗粒数目的方法来改进该模型是不可取的，只有改 进统计方法。 该方法是处理颗粒问题的一种基本方法，所以我们做了点小结。 二维颗粒系统中力分布结构的理论研究 第二章改进的标量q 模型 2 1 引言 近年来，科学界对颗粒系统中的力的传递和分布做了大量的研究工作1 。 在真实的颗粒系统中存在着大量的无序，而这种无序既包含了颗粒大小的无序， 也包括了颗粒排列上的无序。而这些无序在颗粒系统中非线性的传递，形成了系 统中的力链，力链的出现是颗粒系统中力分布各相异性的反映。我们可以认为颗 粒系统中的力主要是沿着“力链”的方向传递的。 由于颗粒堆积的复杂性，对于确定层中力的分布p ( f ) 与，的关系曲线，科 学界至今没有取得一致。c o p p e r s m i t h 5 和l i u 【6 1 等提出的叮模型在f 1 的情况 一f ：p ( ) 是指数衰减的，这一点和实验符合的很好；但是在，i 的情况下，p ( ，) 表现为幂函数形式，并且当厂寸0 时，p ( f 1 斗0 。这是与实验不符合的。到目 前为止，由于实验测量精度的原因，该区域内力的分布还没有得到一个统一的结 论。q 模型在f l 处是不成功的，这就意味蕾该模型不能很好地反映系统中存 在的一定概率的“拱形”结构，在本章中我们将引入两种新的概率风与n 来描 述系统中的这种结构，从而修正q 模型在f s l 区域内的缺陷，并与实验结果做 了比较。 2 2模型和方法 在我们改进的g 模型中，我们必须考虑“拱形结构”的产生和表示，而这些 结构存在于真实的颗粒系统中，并且是形成力链的重要原因。我们考虑一个二维 的无摩擦的颗粒堆积系统，并且我们认为每个颗粒最多有n c 个下层近邻的接触颗 粒。在我们的模型中取 ，= 2 ，那么就有，产o ；l ；2 这三种情况，在系统中的概 率分别为p o ，n ，岛，根据颗粒数守恒，必然有p 2 = l 一风一岛。那么系统中的 二维颗粒系统中力分布结构的理论研究 “拱形结构”的概率就可以用岛来表示。那么系统中任意位置( - ，i ) 的颗粒所受 的作用力就可以表示为： f ( j ，i ) = ( 1 - q ( j l ，i 一1 ) ) f ( ，一i ，i - 1 ) + q ( j - i ，i ) f ( j l ，f ) + w ( ，i ) 这里的w ( j ，f ) 是颗粒自身的重力，在我们的模型中可以设定为常数l 。q ( j ，i ) 是位置为( ，f ) 的颗粒的力传递给左下方颗粒的概率。显然q ( ，f ) 【o ，1 】。 ( 1 ) 对于那些概率为岛的颗粒下层没有接触颗粒，是不能平衡的。可以 认为其将作用力传递给同层有下层接触颗粒的那些颗粒，在真实颗粒 系统中，可以把近似水平接触的那些“拱形”结构看成这样的情况， 该情况必然有q ( j 一1 ，i - 1 ) = l ，q ( j l ，f ) = 0 。 ( 2 ) 对于n 的那些颗粒下层只有一个接触颗粒，必然有q ( j l ，i i ) = 1 ， q ( j l ，f ) 0 或者有q ( j l ，i 一1 ) l ，q ( j l ，) = 0 ； ( 3 ) 同样对于那些概率为p ：的颗粒而言下有两个接触颗粒，是最一般的 情况，这与经典g 模型是一致的该模型必然有q ( j l ，i 1 ) l 并且 q ( j 一1 ，i ) 0 。 对于整个系统而言有岛+ n + p ：= l 。这样修正的q 模型如图( 1 ) 所示： 图1 修i e 雕 1 9 模型 2 0 二维颗粒系统中力分布结构的理论研究 2 3数值结果与分析 我们模拟了2 0 0 x 1 0 0 0 的颗粒系统，并且认为该系统在水平方向满足周期 性边界条件，对于相同的p o ，n 我们完成了1 0 0 0 次相对独立的模拟过程， 通过计算最底层的作用力f 和其平均力f ，并且定义f = 州f ，从而得到力 分布p ( f ) 与厂的曲线。最后对其结果进行分析和总结。 ( 1 ) n = 0 的情况，我们得n y p ( 厂) 随着岛的变化曲线，在具体模拟 过程中：对于同一岛我们取了1 0 0 0 次不同的系统结构，统计精度区间为0 0 1 ， 我们得到了p o = o 0 ，0 0 5 ，o 1 ，0 2 ，0 4 的曲线如图2 所示： 图2 届= 0 ，p ( f ) 随着p o 的分布曲线 当p o = 0 ，, o l = 0 ，就是经典的g 模型，当f 1 时，p ( ，) 以幂函数形式 趋向0 ，而当p o 0 时，不管成的取值如何，当，斗0 时，p ( ) 总是趋于最 大，而原来经典g 模型在f * 1 处的最大值也随着风的增大而减小；对于 f 1 的区域，所有的p ( ，) 都是指数分布，但当p o 0 2 的情况下，已经有 幂函数分布的趋势。 ( 2 ) p o = 0 时，我们得到了p ( ，) 与f 的分布随p l 的变化曲线。在计算 二维颗粒系统中力分布结构的理论研究 过程中我们同样取了1 0 0 0 次不同结构，统计精度区间为0 0 l ，我们得到了 n = o 0 ，0 0 5 ，0 1 ，0 2 ，0 4 ，0 5 ，0 8 ，1 0 的曲线如图3 所示： 图3p o = 0 时，l o g 。p ( f ) 与l o g ，。厂随着n 的分布曲线 对于所有的n ，分布p ( f ) * f e x p ( 一f l f ) 。显然这里的参数口和卢依赖于 n 的变化，即使是n = 1 的情况下，p ( ，) 也不是幂函数的变化，这点与g 模 型的q 0 1 情况所得到的结论是截然不同的。 ( 3 ) 最后，我们还计算了p ( ，) 与，随着风与n 的变化曲线，在具体模 拟过程中我们同样取了1 0 0 0 次不同结构，统计精度区间为0 0 1 ，我们得到了 ( 扁，n ) = ( 0 0 ，0 0 ) ，( 0 0 5 ，0 0 5 ) ，( o 1 ，0 1 ) ，( o 1 ，0 2 ) ，( o 1 ，0 3 ) ，( o - 3 ，0 5 ) 的曲线如图4 所示。 在具体的取值过程中我们取了p o n ，在实际的颗粒系统中的确存在着 这样的情况，这些曲线的一个共同点就是，斗0 ，分布p ( f ) 都达到了最大 值。我们猜想这主要是风起了主要贡献，当，接近1 时，p ( ，) 表现出类似 图( 2 ) 的情况，当f 1 时，分布p ( ) 是指数衰减的，和经典g 模型的结论 十分类似，这里就不再讨论了。 二维颗粒系统中力分布结构的理论研究 图4l o g ，。p ( ，) 与l o g 。f 随着( 岛，n ) 的分布曲线 在传统的g 模型中，p ( f ) = 2 f e x p ( - 2 f ) ，这与我们在图2 与图3 ，以及图4 中分另j j p o = 0 0 ，岛= 0 0 ，( p o ，, o i ) = ( 0 0 ，0 0 ) 的情况是一致的。而在q o ，分 布中p ( ，) * 厂“3 ，只表现为幂函数衰减的规律。这与我们的模型是不同的。 2 4结论 本章我们主要通过引入参数风和p 1 来构造颗粒系统中无序的“拱形” 结构，通过计算了p o ，岛以及( 风，n ) 对于系统力分布p ( ，) 的影响，在，1 的情况下，我们的模型继承了经典g 与实验相一致的结果，在，1 的区域， 我们的模型表现出截然不同的特点，在，斗0 时，力的分布表现为最大值， 但在一定程度上反映了实验中在，斗0 时p ( f ) 0 的事实，这是经典g 模型 所不能反映的，通过对以上三种情况的模拟，我们可以认为，在真实的颗粒 结构中存在着一定概率的“拱形”结构，并且这些“拱形”结构( 即参数p o ) 是f 1 时，p ( f 1 0 主要原因。 二维颗粒系统中力分布结构的理论研究 第三章标量s t o o l 模型 3 1 引言 颗粒系统结构的无序来源于颗粒大小和排列位置上的无序，丽这些无序又被 非线性地放大，从而产生力链，力链的出现是颗粒系统中力分布各向异性的反映， 具体表现为系统中少量的颗粒却传递了系统中的大部分作用力，这与系统中出现 的“拱形”结构有着密切的关系。 在描述系统中力分布的模型中，c o p p e r s m i t h 等人的q 模型【5 ，6 】在描述厂 1 时 的分布取得了巨大的成功，但是由于这种模型没有很好的描述系统中出现的“拱 形”结构，因此在厂 l 的区域内的分布是与实验不相符合的。为了克服这个困 难，更好的描述系统中出现的“拱形”结构，我们在第二章中已经提出了一种“改 进的g 模型”，该模型在q 模型的基础上考虑了“拱形”结构出现的一定概率风来 修正q 模型与实验不符合的缺陷，在本章中，我们将提出一种新的模型一一 “s t o o l ”模型，用来构造系统中力传递的无序结构，该模型能够进一步反映系 统中存在的“拱形”结构，我们计算得到了， l 时力的分布，并与q 模型和相 关的实验【2 2 1 进行了比较。 3 2 模型和方法 在模型和计算颗粒系统中力的分布 的过程中，必须考虑一个非常重要的因 素，那就是系统中的力的传递主要是通过 “力链”来实现的( 如图1 所示) ，并且 这些力链的产生主要来源于颗粒堆积中 的“拱形”结构( 如图2 所示) 如何在模 型或者计算过程中来构造这样的结构是 至关重要的。 图1颗粒系统中的“力链”我们知道：要完整地描述一个二维的 二维颗粒系统中力分布结构的理论研究 = 一一一 一， 图2颗粒系统中的“拱形”结构 或者三维的颗粒系统就必须清楚地知道每个 颗粒的位置，大小，以及形状，这对于一个很 大的颗粒系统而言显然是不可能实现的，但是 在具体描述系统中力的传递过程，我们只要知 道这些接触颗粒的拓扑结构就可以了。在很多 情况下，系统中的力是可以看成由颗粒逐层往 下传递的，为了表示系统中力传递的方向和大 小，我们只要知道颗粒与下层的接触点的位置 以及颗粒传递力的概率就可以描述力的传递 了，根据上述的假想，我们可以定义这样的一个s t o o l 模型( 如图3 所示) ： 矾u ，j ) h ( i ，d t ( i ，j ) 图3s t o o l 模型图4 由s t o o l 构造的颗粒系统 我们可以把系统中的每个颗粒看成是一个“s t o o l ”。每个s t o o l 有两个“脚接 触点”，通过这两个点与下层s t o o l 相接触。并且，每个s t o o l 具有相同