（应用数学专业论文）广义双线性系统的控制研究.pdf

中文摘要 中文摘要 双线性系统是最简单且最接近线性系统的一类非线性系统，许多实际领域( 如 经济、生物、生态，化工与人口等) 的建模都可以归结为或近似认为是一个双线性系 统近几十年，对于正常双线性系统的控制问题已得到国内外学者广泛研究，但关 于广义双线性系统的控制研究尚不多见由广义系统理论可知，双线性系统只是广 义双线性系统模型的一个特殊情况，因此，研究广义双线性系统不但有实际价值， 也具有理论意义 本文仅就广义双线性系统的稳定性控制问题进行一些探讨主要内容概括如 下： ( i ) 研究了一类离散广义双线性系统的全局渐近稳定问题针对此系统，给出 了一反馈控制使得对应的闭环系统是全局渐近稳定的减弱了原始文献中的假设条 件，使所得结论具有更广泛的应用范围 ( i i ) 研究了一类具有不确定参数的离散广义双线性系统在外部输入作用下的二 次稳定问题基于无源性分析和利用线性矩阵不等式，给出了不确定离散广义双线 性系统广义二次稳定且是严格无源的充分条件并在此基础上给出了在状态反馈下 的闭环系统是广义二次稳定且严格无源的充分条件 ( i i i ) 研究了一类时滞广义双线性系统在外部输入作用下的零解渐近稳定问题 利用线性矩阵不等式给出了时滞广义双线性系统零解渐近稳定且无源的充分条件 并在此基础上设计了使闭环系统是零解渐近稳定且无源的状态反馈控制律，且给出 了依赖于矩阵不等式的控制律构造 关键词广义双线性系统；状态反馈；全局渐近稳定；无源性；二次稳定 黑龙江大学硕士学位论文 ab s t r a c t b i l i n e a rs y s t e mi st h es i m p l e s tn o n l i n e a rs y s t e m sa n dm o s ta p p r o x i m a t e st ol i n - e a rs y s t e m m a n ya c t u a lf i e l dm o d e l s ( s u c ha se c o n o m y , b i o l o g y , z o o l o g y , c h e m i c a l i n d u s t r y , p o p u l a t i o n ，e t c ) c a l lb ec o n c l u d e do ra p p r o x i m a t e dt oa b i l i n e a rs y s t e m i nr e c e n ts e v e r a ld e c a d e s ，t h ec o n t r o lp r o b l e m sf o rb i l i n e a rs y s t e mh a sb e e nw i d e l y s t u d i e db yn a t i o n w i d er e s e a r c h e r s ，b u tt h e r ea r ef e wr e s u l t si nr e s o l v i n gs i n g u l a r b i l i n e a rs y s t e mc o n t r o lp r o b l e m s f r o mt h et h e o r yo fs i n g u l a rs y s t e m ，b i l i n e a rs y s - t e mi sa s p e c i a lf o r mo fs i n g u l a rb i l i n e a rs y s t e mm o d e l ，f o rt h i sr e a s o n ，s t u d y i n g f o rs i n g u l a rb i l i n e a rs y s t e mn o to n l yh a sa p p l i c a t i o nv a l u e s ，b u ta l s oh a st h e o r y s i g n i f i c a n c e t h i st h e s i sg i v es o m ed i s c u s s e so n l yo nt h es t a b i l i t yc o n t r o lp r o b l e mo fs i n g u l a r b i l i n e a rs y s t e m s t h em a i nc o n t e n tm a yb es u m m a r i z e da sf o l l o w s ： ( i ) t h eg l o b a l l ya s y m p t o t i c a l l ys t a b l ep r o b l e mo fac l a s so fd i s c r e t e - t i m es i n g u - l a rb i l i n e a rs y s t e m si ss t u d i e d f o rt h es y s t e m s ，w eg i v eas i m p l ef e e d b a c kc o n t r o l l a w ，s u c ht h a tt h er e s u l t i n gc l o s e d l o o ps y s t e m si sg l o b a l l ya s y m p t o t i c a l l ys t a b i l - i t y t h ea s s u m p t i o n si nt h el i t e r a t u r ea r ew e a k e n e d ，w h i c hs t a t e st h a tt h eo b t a i n e d r e s u l th a sm o r ew i d e l ya p p l i c a t i v er a n g e ( i i ) t h eq u a d r a t i c a l l ys t a b l ep r o b l e mf o ra c l a s so fd i s c r e t 争t i m es i n g u l a rb i l i n - e a rs y s t e m sw i t hu n c e r t a i np a r a m e t e r su n d e re x o g e n o u si n p u t si ss t u d i e d b a s e do n p a s s i v i t yt h e o r ya n db ym e a n so fl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t i e s ，as u f f i c i e n tc o n d i t i o ni s g i v e nf o ru n c e r t a i nd i s c r e t e - t i m es i n g u l a rb i l i n e a rs y s t e m st ob eg e n e r a l i z e dq u a d r a t - i c a l l ys t a b l ea n ds t r i c t l yp a s s i v e f r o mw h i c h ，as u f f i c i e n tc o n d i t i o ni sg i v e nf o rt h e c l o s e d - l o o ps y s t e m su n d e rs t a t ef e e d b a c kt ob eg e n e r a l i z e dq u a d r a t i c a l l ys t a b l ea n d s t r i c t l yp a s s i v e ( i i i ) t h ez e r os o l u t i o na s y m p t o t i c a l l ys t a b l ep r o b l e mf o ra c l a s so ft i m e - d e l a y s i n g u l a rb i l i n e a rs y s t e m su n d e re x o g e n o u si n p u t si ss t u d i e d b ym e a n so fl i n e a r m a t r i xi n e q u a l i t i e s ，as u f f i c i e n tc o n d i t i o ni sg i v e nf o rt i m e - d e l a ys i n g u l a rb i l i n e a r s y s t e m st ob ez e r os o l u t i o na s y m p t o t i cs t a b l ea n dp a s s i v e f r o mw h i c h ，t h es t a t e f e e d b a c kc o n t r o ll a w ，w h i c hi n s u r e st h a tt h er e s u l t i n gc l o s e d - l o o ps y s t e m si sb o t h z e r os o l u t i o na s y m p t o t i c a l l ys t a b l ea n dp a s s i v ei sd e s i g n e d m o r e o v e r ，t h es t r u c t u r e i i 垒坠! ! ! 垒! ! o fs u c has t a t ef e e d b a c kc o n t r o ll a wi sp r e s e n t e dr e l yo nt h em a t r i xi n e q u a l i t i e s k e y w o r d ss i n g u l a rb i l i n e a rs y s t e m ；s t a t ef e e d b a c k ；g l o b a l l ya s y m p t o t i c a l l ys t a b l e ； p a s s i v i t y ；q u a d r a t i cs t a b i l i t y 黑龙江大学硕士学位论文 符号说明 实7 1 维数向量空问 实m n 阶矩阵空间 复数域 矩阵a 的转置 矩阵a 的逆 函数x ( t ) 关于t 的导数 礼阶单位矩阵 a b 实对称正定 a b 实对称半正定 多项式的次数 矩阵的秩 竹 b b 0 d 1 ) 一n 山 c 矿 荆 厶 d 胗一 州 础 黑龙江大学硕士学位论文 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已 经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得黑龙江大学或其他教育机构的学位 一鹳印捌啪月尹 学位论文版权使用授权书 本人完全了解黑龙江大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅本人 授权黑龙江大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可 以采用影印、缩印或其他复制手段保存、汇编本学位论文 一签名首裂叉 签字日期易唿皓月乙 日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址； 电话： 邮编： ， 之 月 一 支 定陴 伪 哆 r7 ， 引 彪 签 日 崛 字 导 签 第1 章绪论 第1 章绪论 1 1 双线性系统理论研究概况 1 1 1 双线性系统的研究背景 在实际工业过程中，大多数对象都具有非线性的特性传统的方法是将它们在 稳态工作点附近线性化，进而基于所得到的线性模型进行控制系统分析与设计这 主要是由于线性系统理论十分完备且方法比较简单和实用 随着控制理论的深入发展，线性近似模型的局限性越来越被人们所认识因此， 迫使人们更多的发展非线性系统本身的研究然而，非线性系统的数学处理是十分 困难的如能采用一些结构比较简单却能较好地反映本质特性的非线性模型来描述 或近似原始系统，无疑有助于找到更有效的控制方法和算法，促进非线性控制理论 的研究与应用 一个连续非线性系统可以用下列方程描述 ( 1 1 ) 其中z ( t ) ：r r ”，u ( t ) ：r r m 分别表示状态向量和输入向量，( z ，仳，t ) 为 非线性函数向量 因为i 厂的形式般比较复杂且无法统一，多数非线性系统只能个别地处理，这 给非线性控制系统的分析和设计带来很大的困难 人们一直试图寻找一些便于研究的简化非线性系统的模型走入人们视野的是 个关于状态变量和控制变量分别都是线性的，而总体上由于出现状态变量与控制 变量的乘积项又是非线性的系统 圣= a ( t ) x + n ( t ) x u + b ( t ) u ( 1 - 2 ) 其中z ( ) ：r _ r ”，t l ( t ) ：r _ r ”分别表示状态向量和控制输入向量，n ( t ) x u 称为双线性项，可以表示为 m n ( t ) x u = en i ( t ) x u i ( 1 - 3 ) i = 1 其中m ( ) ：r _ r 似”为已知矩阵，为仳的第i 个分量所谓双线性系统就 是由此而得名的 黑龙江大学硕士学位论文 如此构造的双线性系统是形式上最简单，且最接近线性系统的一类非线性系 统所以，线性系统中已经建立起来的一些理论和方法有可能扩充到双线性系统 事实上，双线性系统的提出并不是出于理论上的兴趣，而是出于实践上的需 要双线性系统最早的研究可见于美国r r m o h l e r 等人【1 1 2 0 世纪6 0 年代初开展 的由美国原子能委员会发起，受到美国国家科学基金会资助的核反应器控制方面的 工作由于核裂变等动态特性可以用双线性系统很好地描述，所以这项研究非常成 功后来人们逐渐发现，双线性系统可以广泛地描述如化工、电气、机械、社会经 济、生态、生物等过程中的许多现象1 2 】 1 1 2 双线性系统的数学描述 系统的数学描述是表示一个系统的输入、状态向量之间关系的数学表达式 组合( 1 2 ) 和( 1 3 ) 得 m x ( t ) = a ( t ) x ( t ) + n i ( t ) x ( t ) u i ( t ) + b ( t ) u ( t )( 1 - 4 ) i = 1 ( 1 4 ) 就成为我们的主要研究对象 式( 1 4 ) 是时变连续时间的双线性系统状态方程在时不变的情况下，则有 m 圣( z ) = a x ( t ) + m z ( t ) u i ( t ) + b u ( t )( 1 - 5 ) i = 1 输出方程为 y ( t ) = c z ( t ) 其中z ( 亡) ，u ( t ) = 【钍l ( t ) u 2 ( t ) u 。( z ) 】t 分别为状态向量和输入向量，( t ) 是 输出向量；a r 似”、心r 似“、b r 似”、c r 仅叫啕为常数矩阵 如果批= 0 ，i = 1 ，2 ，m ，则( 1 5 ) 退化为线性系统 在式( 1 5 ) 中，如果b = 0 ，则有 丌l 圣( t ) = a x ( t ) + n i x ( t ) u i ( t )( 1 - 6 ) i = 1 称为状态齐次双线性系统如果a = 0 ，则有 m 圣( t ) = n i z ( t ) u i ( t ) + b u ( t )( 1 - 7 ) i = 1 称为输人齐次双线性系统如果a = 0 且b = 0 ，则有 m 圣( t ) = m x ( t ) u i ( t ) ( 1 - 8 ) 一2 一 第1 章绪论 称为严格双线性系统 时不变离散时间双线性系统状态方程为 m x ( k + 1 ) = a x ( k ) + m 让i ( 七) z ( 后) + b u ( k ) 2 1 ( 1 - 9 ) y ( k ) = c z ( k ) 其中x ( k ) 和u ( k ) = u l ( k ) u 2 ( k ) 札。( 南) 】t 分别为状态向量和输入向量，u ( k ) 是输出向量；a r n x ”、心r n x ”、b r 似”、c r 投叫匈为常数矩阵 1 1 3 双线性系统的研究现状 自2 0 世纪6 0 年代后期开始，双线性系统方面的研究大量地开展起来，特别是 7 0 年代左右达到高潮 2 0 世纪7 0 年代初期，r r m o h l e r 在文献f 1 】中，系统地总结了他们早期在 双线性系统方面的工作c b r u n i 等人【2 l 在1 9 7 4 年发表了第一篇综述文章 1 9 8 0 年，r r m o h l e r 和w j k o l o d z i e j ( 3 】发表了有关双线性系统理论与应 用的综述文章，列出了7 0 多篇参考文献以前述研究为开端，研究者陆续针对双 线性系统进行了系统的探索 4 - 1 2 】 随后的几十年，双线性系统的研究逐渐扩展与深入，出现许多研究成果 m e e v a n s 等人 1 3 - 1 9 1 先后针对各种连续、离散双线性系统的能控性进行了研 究；p s e n 等人 1 8 , 2 0 - 2 2 】研究了双线性系统的能观性和能达集问题；v r k a x a n a m 等人 2 3 - 2 6 】对双线性系统辨识问题进行了深入研究，得到较好成果另外，国内外 多位专家学者分别对各种形式连续、离散双线性系统的参数估计 2 7 - 2 9 1 与故障诊断 3 1 i 、观测器1 3 2 - 3 4 】与滤波器设计【3 5 】、规范型构造【3 6 3 7 1 、实现删与线性化 【3 9 】、鲁棒与最优控制 4 0 - 4 6 1 等问题进行了深入研究 文献 4 7 - 6 5 1 进一步研究了有关正常的双线性系统稳定与镇定，涉及到输出镇 定、渐近稳定、指数稳定及b i b o 稳定性等控制器设计问题 由于双线性系统含有非线性项，双线性系统的研究比线性系统要困难许多，现 在的研究成果还是没有线性系统那样完善尽管双线性系统在各方面的研究成果已 有很多，但其中许多足纯理论的，并且有不少只是针对特殊形式的双线性系统进行 研究对一般形式双线性系统的理论研究以及结合实际应用的研究有待于加强 黑龙江大学硕士学位论文 1 2 广义系统介绍 2 0 世纪7 0 年代初期，著名控制理论专家h h r o s e n b r o c k 在讨论复杂电网络 互联系统时，对线性广义系统做了初步研究，并于1 9 7 4 年在国际控制杂志( i n t e r - n a t i o n a lj o u r n a lo fc o n t r 0 1 ) 上发表了题为“线性动态系统的结构性质”一文例，首 次提出了广义系统的概念 s l c a m p b e l l 和l y d a i 分别于1 9 8 0 年【6 7 】和1 9 8 9 年| 6 8 l 出版了全面阐述广义系统理论的专著 近几十年来，在理论研究与实践中，人们用广义系统来描述与刻划一些实际系 统比用线性系统更加自然、精确随着现代控制理论与方法应用于工程系统的深入 和向其它学科( 如电力、生态、航空、通讯、人口、能源和经济等) 的渗透，人们在许 多领域发现了广义系统的实例 6 9 - 7 2 1 f l l e w i s 7 3 1 指出，从物理学的观点来看， 在某些情形下，特别在一些耦合系统中，某些物理量之间确实存在着由代数方程所 刻划的约束，同时不少实际系统只能用广义系统描述而不能用正常系统描述 因此，广义系统是描述与刻划实际系统的有力工具，对广义系统的深入研究具 有重大的理论意义及应用前景 广义系统，又称为奇异系统( s i n g u l a xs y s t e m s ) 、描述系统( d e s c r i p t o rs y s t e m s ) 一般形式的广义系统用微分代数方程描述为 e ( t ) 2 ( t ) = ，( z ( t ) ，钍( ) ，t ) u ( t ) = 9 ( z ( t ) ，u ( t ) ，t ) ( 1 一1 0 ) 其中，( z ( ) ，仳( ) ，t ) 和9 ( z ( z ) ，乱( ) ，t ) 表示z ( z ) ，u ( t ) 和t 的n 维向量函数；x ( t ) 、仳( ) 和t 依次表示状态向量、输入向量及时间变量，u ( t ) 为输出向量；e ( t ) ：r _ r 似n 通常r a z l k e ( t ) 0 使得 r a n k p n za t p n a z ( ) 一1 p a ”_ 1 z 】= 钆 对任意的非零向量z r ”成立 易见：假设2 2 使得系统( 2 1 ) 是l y a p u n o v 意义下稳定的，即矩阵a 的所有 特征值落在单位圆盘上，这比【6 4 ，a s s u m p t i o na 1 】( 即a t p a p = 0 ) 要求矩阵的 所有特征值落在单位圆上要弱；假设2 3 与【6 4 ，a s s u m p t i o na 2 】不同之处在于它 不要求矩阵a 是非奇异的，这也比【6 4 ，a s s u m p t i o na 2 】要弱由于条件的减弱， 从而使本文的结果适用范围更广 本文采用文【6 4 】中使用的渐近稳定控制律 t | ( 后) = 一p 丽a x ( k ) ，。 o ( 2 - 3 ) 其中p 为控制增益，为一任意小的正数p 0 的选取是为了避免被零除的情形 发生) ， ( 七) = 2 x t ( 七) a t p n x ( k ) k ( 七) = x t ( 七) 舻p n x ( k ) 由假设2 2 中p 0 可知k ( 七) 0 引理2 4 考虑系统偿一与控制律偿一砂，若系统偿一j ，满足假设2 只并且 a z ( k + ) = 2 x t ( 七+ i ) a t p n x ( k + i ) = 0 ，i = 0 ，1 ，2 ，m 一1 ( 2 4 ) 则x ( k + 1 ) = 0 证明 由( 2 4 ) 知n 。( 七) = 0 ，于是由( 2 - 3 ) 推出u ( k ) = 0 从而由( 2 - 1 ) 易推出 等式 x ( k + i ) = a z ( 七) ，i = 0 ，1 ，2 ，m l ( 2 - 5 ) 一8 一 第2 章离散广义双线性系统的稳定控制 使用( 2 4 ) 及( 2 - 5 ) 得到 即 o = ( i + i ) = 2 ，( 后+ i ) a t p n x ( k + i ) = 2 x r ( 后) ( a i ) 丁p a i z ( 后) ，i = 0 ，1 ，2 ，m 一1 【x t ( k ) a t p n x ( k ) x t ( 七) ( ) 2 p n a x ( k ) x t ( k ) ( a t ) m p n a m - 1 z ( ) 】_ 0 进一步有 ( a z ( 七) ) t p n x ( k ) a t p n a x ( k ) ( a t ) ”一1 p n a m - 1 z ( 七) 】= 0 根据假设2 3 知矩阵【p n x ( k ) a t p n a x ( k ) ( a r ) 一1 p a - 1 z ( 后) 】是行满秩 的，从而a x ( k ) = 0 ，故由( 2 - 5 ) 得到x ( k + 1 ) = 0 定理2 5 在假设2 2 和2 3 下，系统偿一j j 在控制律偿一砂下的闭环系统是全 局渐近稳定的 证明 选取l y a p u n o v 函数 y ( z ( 克) ) = x t ( k ) p x ( k ) 0 其中p 是假设2 2 中的正定矩阵从而 ( 2 - 6 ) y ( z ( 后) ) 垒y ( z ( 七+ 1 ) ) 一y ( z ( 膏) ) = x t ( 七+ 1 ) p x ( k + 1 ) 一x t ( k ) p x ( k ) = 【a x ( k ) + z ( 七) 仳( 忌) 】t p a x ( k ) + n x ( k ) u ( k ) 】一x t ( k ) p x ( k ) = z t ( 七) 【a t p a p l x ( k ) + 2 x 丁( k ) a t p n x ( k ) u ( k ) + z ( 七) 】丁p n x ( k ) l u 2 ( 七) = x t ( k ) a t p a p x ( k ) + ( ) 乱( 后) + k ( 詹) 乱2 ( 后) = z t ( 后) a r p a p 】z ( 后) + ( ”【一p 蠢象冬】+ k ( 七) 一p 蠢篆冬】2 = ，( 膏) 【a t p a p m ) 一( ) 2 p 慧秽 0 ( 2 7 ) 对于假设2 3 中的正整数m ： 一9 一 黑龙江大学硕士学位论文 ( i ) 若存在正整数q 使得 a v ( z ( q + i ) ) = 0 ，i = 0 ，1 ，2 ，m 一1 则由假设2 2 及( 2 7 ) 知 ( n z c 。+ 。) 2 p 旦! ；三觜= 。，i = 。，1 ，2 ，竹z 一， 于是 凸z ( g + i ) = 0 ，i = 0 ，1 ，2 ，m 一1 由引理2 4 得z ( g + 1 ) = 0 再使用( 2 1 ) 推出 x ( k ) = 0 ，v k q + 1 因而 l 。i m 。z ( 七) = 0 ，即系统( 2 - 1 ) 在控制律( 2 - 3 ) 作用下所得的闭环系统是全局渐近 稳定的 ( i i ) 对于任意的正整数后，存在非负整数m k 0 推出 七l 。i m 。ox ( k ) = 0 ，即系统( 2 - 1 ) 在控制律( 2 - 3 ) 作用下所得的闭环系统是全局渐近稳定 的 定理2 5 运用了l y a p u n o v 稳定性理论，按照全局渐近稳定定义直接给出证明， 不同于1 6 4 】中运用l a s m l e 不变集原理的证明方法 2 4 离散广义双线性系统的全局渐近稳定控制 广义双线性系统是一种比正常双线性系统更具有广泛形式的动力系统，它更接 近于实际模型，应用价值大【刊而有关广义双线性系统的稳定控制研究结论还很 少 s 2 - 9 0 】，解决方法种类也不多显然，对广义双线性系统的研究将会具有更大的 实际价值和理论意义 第2 章离散广义双线性系统的稳定控制 考虑如下单输入广义双线性系统 e x ( k + 1 ) = a x ( k ) + u ( k ) n x ( k )( 2 - 8 ) 其中e r 似”、a r n ”与n r 似叫匀为定常矩阵，z ( 后) 为系统状态向量， u ( k ) 为标量控制输入，并设r a n k e = 7 0 使得 a t p ：a a 只0 ( 2 1 0 ) 假设2 1 2 设存在正整数m 0 使得 r a x l k p 1 n i za 弘n 1 a a z ( a t ) 一1p 1 1 a t - 1 z 】= r 对任意的非零向量z r 7 黑龙江大学硕士学位论文 即 设p - 1 z c 后，= 二： ：； ，由引理2 9 及假设2 。，系统c 2 8 ，受限等价于 邕：； = a 1 圳0 骝 + 1 挑矧m ， x l ( k + 1 ) = a l x l ( k ) + 1 2 1 ( 后) u ( 后) 0 = z 2 ( 后) + n 2 2 2 ( 后) u ( 后) 引理2 1 3 在假设2 1 0 下有x 2 ( k ) 三0 ( 2 一1 1 ) ( 2 1 2 ) 证明 由( 2 1 2 ) 得到( j + u ( 后) n 2 ) x 2 ( k ) = 0 ，根据2 是幂零阵，从而对任意 的仳( 后) ，矩阵，+ u ( 后) 2 可逆，故x 2 ( k ) 三0 考虑渐近稳定控制律 u ( 啦一p 蒜舞，o 0 的选取是为了避免被零除的情形 发生) ， ( 砷= 2 x r ( k ) p t ，o ta t p ，n i jo p - i x ( k ) k ( 。) = z t ( 后) p t jo tn t p l n , jo p - x ( k ) 由假设2 1 1 中p 1 0 可知k ( ) 0 引理2 1 4 在假设2 1 0 下，若系统俾一j j j 和控制律俾一j 砂构成的闭环系统是 全局渐近稳定的，则系统偿一纠和控制律偿一j 砂构成的闭环系统是全局渐近稳定 的 证明 由引理2 1 3 ，定义2 1 和定义2 8 易见 引理2 1 5 考虑系统偿一1 1 ) 与控制律俾一j 纠，若系统偿一j j j 满足假设2 1 2 ，并 且 n z ( + d = 2 z r ( 七+ i ) p t ，o 丁a t p i n , ，o p - l x ( k + i ) = o ( 2 1 4 ) i = 0 ，1 ，2 ，m 一1 ，那么x l ( k + 1 ) = 0 证明由引理2 4 易证 第2 章离散广义双线性系统的稳定控制 定理2 1 6 在假设2 1 1 和2 i 2 下，系统俾一：f j j 在控制律俾一f 砂作用下的闭 环系统是全局渐近稳定的 证明 由定理2 5 易证 定理2 1 7 在假设2 d 一2 j 2 下，广义双线性系统俾一砂在控制律俾一j 圳作 用下的闭环系统是全局渐近稳定的 证明由定理2 1 6 和引理2 1 4 立即得证 2 5 结束语 本章给出了一类单输入离散( 广义) 双线性系统的一种反馈控制律运用l y a - p u n o v 稳定性理论，证明了系统在此控制律下是全局渐近稳定的由于减弱了【6 4 】 的假设条件，因而结论的适用范围更广泛，也更有利于工程实现2 4 的内容已 发表于第2 6 届中国控制会议论文集【9 2 】 黑龙江大学硕士学位论文 第3 章不确定离散广义双线性系统的稳定性 3 1 引言 耗散性理论在系统稳定性研究中起着重要作用其本质含义是存在一个非负的 能量函数( 即存储函数) ，使得系统的能量损耗总小于能量的供给率，而无源性是耗 散性的个重要方面，它将输入输出的乘积作为能量的供给率，体现了系统在有界 输入条件下能量的衰减特性事实上，基于李亚普诺夫函数的稳定性理论，也可从 无源性的角度加以解释，可以说，无源性是稳定性的一种更高层次的抽象在对系 统进行稳定性分析时，人们常常需要构造一个李亚普诺夫函数，现有文献表明，这 一过程可转化为构造一个使系统无源的存储函数f 矧 系统的无源性是电子网络的无源性概念的推广直观地讲，系统的状态发散一 般需要能量例如一个机械系统，如果我们能够证实，在没有外力施加能量的情况 下，其动能势能均趋近于零的话，那么该系统的位置和速度都会趋近于零，即该系 统是稳定的或者，我们能证明不论外力如何施加能量，该系统只会消耗能量而不 能将外部提供的能量放大，那么只要外力停止作用，则系统必逐渐衰减为零，从而 系统稳定，显然无源性有着直观的物理意义 多位学者在无源性理论方面做了大量的工作，c b f e n g 等 9 4 - 9 8 1 讨论了非线 性系统的无源性问题；l y u ，c n l i 与m s m a h m o u d 等- 1 0 1 l 讨论了不确定 线性系统的鲁棒无源控制问题；x z d o n g ，f x c h e n ，b y z h u 与x z h a n g 等 1 0 2 - 1 0 7 1 讨论了广义系统及其不确定情形的无源控制问题；z h g u a n 等 1 0 8 l 研究 了切换系统的鲁棒无源性问题而关于广义双线性系统无源控制的研究结果还很少 1 0 9 1 3 2 预备知识 考虑如下离散广义双线性系统 e z ( 七+ 1 ) = ( a + a a ) z ( 露) + 至酬后) z ( 后) + b u ( 七 ( 3 - 1 ) z ( k ) = c x ( k ) + d u ( k ) 其中e r ”x ”、a r ”、b r ”、c r p x ”、d r p ”与i r ”x n 均为定常矩阵，z ( 七) 为系统状态向量，u ( k ) 为外部输入，z ( k ) 为输出变量，月 第3 章不确定离散广义双线性系统的稳定性 为不确定实矩阵 假设不确定实矩阵a 有形式a a = m f n a ，其中m 和：是有合适维数的 定常矩阵，f 是满足f 丁f i 的不确定矩阵 定义3 1 如果存在可逆对称矩阵尸r 似”使得对所有允许不确定性有 e t p e 0 ( a + a a ) t p ( a + a a ) 一矿p e 0 使 得对所有允许不确定性有 t e t p e 0 ( 3 - 2 ) 与 a r p a e t p e + 兰 n tp a b 丁p a c 讶p a 謦p n k 1p n b tp n 孵p n a t p b c t n tp b 一= 1 m tp b 蟹p m n tp m b t p m - e i 其中 三= 【e _ 1 + 入一( m 胪) 】孵虬 三1 = d t + d b t p b 则系统p 砂是广义二次稳定且严格无源的 0 满足 从而 f t m t p m f a 。( m m t ) ， 一1 7 一 ( 3 - 5 ) 1j 印们盼 护。u o 印胛肿 厂l厂l ri- _ r 一 一 3 n _ 一 黑龙江大学硕士学位论文 醚i 4 篡e a t p n a t p b c 丁l n t p nn t p b i b t p n 一三1 i + 量三 p m 朋伊p a 唯一制 ( z ( 后) ) o j ia 0 使得 e t v a + a t y e ：一上尹w e( 缸3 ) 4 3 时滞广义双线性系统的无源控制 当m = 0 时，系统( 4 - 1 ) 变为 e i c ( t )