（系统理论专业论文）元素迁移层次及隐形图像的分离辨识.pdf

山东大学硕士学位论文 摘要 粗糙集理论作为一种处理不精确、不确定与不完全知识或数据的表达、学习、 归纳的理论方法，由于它在机器学习与知识发现、数据挖掘、决策支持与系统分析 等方面的广泛、成功的应用而成为当前计算机人工智能、信息科学等领域的研究热 点之一唯物辩证法理论告诉我们事物总是在不断地变化发展过程中，世界上不存 在静止的、一成不变的事物在系统科学应用中，系统( 如金融系统、风险投资系统、 医疗诊断系统等) 的各种问题多为动态的经典的p a w l a k 粗糙集只是一个静态的粗 糙集，对于处理动态问题显得无能为力2 0 0 2 年，山东大学史开泉教授改进p a w l a k 粗糙集，提出具有动态特征的s 粗集( s i n g u l a rr o u g hs e t s ) ，它拓展了p a w l a k 粗糙集 的应用空间，为动态数据挖掘、动态知识发现和系统动态粗特性的研究提供了理论 支持；随着对s 粗集的研究深入，史开泉教授发现对于处理系统规律问题s 粗集遭 遇了困难2 0 0 5 年，他将函数这一分析工具引入s 粗集，提出具有动态规律特征的 函数s 粗集函数s 粗集为系统规律挖掘、系统故障检测识别、投资系统预警分析、 利润估计、图象传递、材料发现、生物医学工程等应用领域提供新的理论工具 本文在总结前人工作的基础上，主要做了以下两个方面工作： 1 元素迁移是s 粗集理论中最基本也是最重要的概念，因为提出s 粗集理论 的根本原因就是经典粗糙集缺乏动态性，而引入动态性的直接结果是元素迁移元 素迁移的包括元素迁出、元素迁出，这种迁出、迁入是具有不同层次的，如何刻画元 素迁移层次对理解元素迁移的内涵是至关重要的本文定义了元素迁移内点、元素 迁移外点、元素迁移外聚点、元素迁移内聚点等概念，并给出扩张系数函数，粗隶属 度函数等定量函数：利用这些概念，最后给出元素迁移向量的序关系和比较方法及 其它们在股市信息识别系统中的应用 2 根据函数s 粗集，定义了隐形图像、粗规律、属性距离、状态系数等概念，分 析了这些概念在图像辨识系统和风险投资系统中的意义，在这些概念的基础上给出 图像辨识准则；给出属性控制定理，属性控制准则以及它们应用 关键词函数s 粗集；元素迁移；隐形图像；规律辨识；属性控制 山东大学硕士学位论文 a b s t r a c t r o u g hs e t st h e o r y , a san e wm a t h e m a t i c a la p p r o a c ht ot h ee x p r e s s i o n ，s t u d ya n d i n d u c t i o nf o ri m p r e c i s e ，u n c e r t a i no ri n c o m p l e t ei n f o r m a t i o no rk n o w l e d g e ，h a sb e c o m e o n eo ft h er e s e a r c hf o c u s e si na r t i f i c i a li n t e l l i g e n c e ，i n f o r m a t i o ns c i e n c e sa n ds oo n ，f o ri t h a sb e e nw i d e l ya n ds u c c e s s f u l l ya p p l i e dt om a c h i n el e a r n i n g ，k n o w l e d g ed i s c o v e r y , d a t a m i n i n g ，d e c i s i o ns u p p o r ta n ds y s t e m sa n a l y s i sa n ds oo n m a t e r i a l i s t i cd i a l e c t i ct e l l su s t h a tt h i n g sa r ec o n s t a n t l yc h a n g i n ga n dd e v e l o p p i n g ，t h es t a t i ca n du n c h a n g i n gw o r l d d o e sn o te x i s t i ns y s t e ms c i e n c e ，t h es y s t e m ( s u c ha sf i n a n c i a ls y s t e m ，r i s ki n v e s t m e n t s y s t e m ，m e d i c a ld i a g n o s i ss y s t e m ，e t c ) p r o b l e m sa r eo f t e nd y n a m i c t h ec l a s s i c a lp a w l a k r o u g hs e ti sj u s ts t a t i ct h e o r ya n dh e l p l e s sf o rd e a l i n gw i t hd y n a m i cp r o b l e m s i n2 0 0 5 ， s - r o u g hs e t sw h i c hh a sd y n a m i cc h a r a c t e r i s t i cw a sp r o p o s e db yp r o f s h ik a i q u a ni n s h a n d o n gu n i v e r s i t yb yi m p r o v i n gp a w l a kr o u g hs e t s ，s - r o u g hs e te x p a n d ss p a c eo ft h e p a w l a kr o u g hs e ta n dp r o v i d eat h e o r e t i c a ls u p p o r tf o rt h er e s e a r c ho fd y n a m i cd a t a m i n i n g ，d y n a m i ck n o w l e d g ed i s c o v e r ya n ds y s t e md y n a m i cr o u g hc h a r a c t e r i s t i c ，e t c w i t ht h ei n d e p t hs t u d yo fs - r o u g hs e t ，p r o f s h id i s c o v e r e dt h a ti tw a sd i f f i c u l tf o r s - r o u g hs e t st od e a lw i t ht h es y s t e ml a wp r o b l e m s ，i n2 0 0 5 ，h eb r o u g h tt h ea n a l y s i st o o l o ff u n c t i o ni n t oi ta n dp r o p o s e df u n c t i o ns r o u g hs e t sw h i c hh a sd y n a m i cl a w c h a r a c t e r i s t i c s f u n c t i o ns - r o u g hs e t si sat h e o r e t i c a la p p r o a c ht os y s t e ml a w - m i n i n g ， s y s t e mf a u l td e t e c t i o n - r e c o g n i t i o n ，i n v e s ts y s t e mw a m i n ga y a l y s i s ，p r o f i te s t i m a t e ，i m a g e d e l i v e r y , m a t e r i a ld i s c o v e r y , b i o m e d i c a le n g i n e e r i n g ，e t c b a s e do nt h es u m m a r i z a t i o no fp r e d e c e s s o r ? w o r k s ，t h i sd i s s e r t a t i o np r e s e n t st h e p r i m a r yr e s e a r c h e sa sf o l l o w s ： 1 e l e m e n tt r a n s f e ri st h eb a s i ca n di m p o r t a n tn o t i o n si ns - r o u g hs e t st h e o r y , f o rt h e r e a s o nw h y s - r o u g ht h e o r yw a sp r o p o s e di st h a tt h ec l a s s i c a lr o u g hs e tl a c k sf o rd y n a m i c c h a r a c t e r i s t i c ，t h ed i r e c tr e s u l to fi n t r o d u c t i o no fd y n a m i cc h a r a c t e r i s t i ci se l e m e n t t r a n s f e r e l e m e n tt r a n s f e rc o n t a i n se l e m e n tt r a n s f e r - i na n dt r a n s f e r - o u t , w h i c hh a v e d i f f e r e n td e p t h s h o wt od e s c r i b et h ed e p t ho fe l e m e n tt r a n s f e ri sv e r yi m p o r t a n tt o u n d e r s t a n dt h ec o n n o t a t i o no fe l e m e n tt r a n s f e r t h i sp a p e rd e f i n e st h ec o n c e p t so fi n t e r i o r p o i n t ，e x t e r i o rp o i n t ，i n t e r i o ra c c u m u l a t i o np o i n t ，e x t e r i o ra c c u m u l a t i o np o i n to fe l e m e n t 山东大学硕士学位论文 t r a n s f e r , e t c ，a n ds u b s e q u e n t l ye x t e n s i o nc o e f f i c i e n tf u n c t i o na n dr o u g hm e m b e r s h i p d e g r e ef u n c t i o na n ds oo na u gg i v e n d e p e n d e do nt h o s ec o n c e p ba b o v e ，o r d e r e dr e l a t i o n o fe l e m e n tt r a n s f e re i g e n v e c t o ra n di t sc o m p a r i s i o nm e t h o da r ep u tf o r w a r d ，i nt h ee n d ， t h ea p p l i c a t i o ni ni n f o r m a t i o nr e c o g n i t i o no fs t o c km a r k e ts y s t e mi sg i v e n 2 b a s e do nf u n c t i o ns - r o u g hs e t s ，t h ec o n c e p t so fi m p l i c ti m a g e ，r o u g hl a w , a t t r i b u t ed i s t a n c e ，s t a t ec o e f f i c i e n ta n ds oo na r cd e f i n e d ，a f t e ra n a l y z i n gs i g n i f i c a t i o no f t h o s ec o n c e p t si nt h ei m a g ei d e n t i f i c a t i o ns y s t e ma n dr i s ki n v e s t m e n ts y s t e m ，i m a g e i d e n t i f i c a t i o nc r i t e r i o n ，a t t r i b u t ec o n t r o lt h e o r e m ，a t t r i b u t ec o n t r o lc r i t e r i o na n dt h e i r a p p l i c a t i o na r cg i v e n k e y w o r d ：f u n c t i o ns - r o u g hs e t s ；e l e m e n tt r a n s f e r ；i m p l i c i ti m a g e ；l a wi d e n f i c a t i o n ； a t t r i b u t ec o n t r o l i i i 山东大学硕士学位论文 i v u r ufr 【x 】只 足( x ) ，r 一( x ) ， f ，f 。函 x x l x x ， 豫，酞+ c a r d ( a ) | jy | i 符号说明 有限非空论域 属性集、二元关系 u 关于等价关系尺的划分 对象x 所在的i n d ( r ) 等价类 x 的r 下近似，上近似 元素迁移 元素迁移簇 u 上的单向奇异集合 x 的厂扩张 单向奇异集合对偶或亏集 x 的7 萎缩 实数集，正实数集 属性集口的基数 多项式y 的系数向量的2 范数 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果对本文的研究 作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本声明的 法律责任由本人承担 论文作者签名：壹：正! 基金e l期：221 曼：兰亟 关于学位论文使用授权的声明 本人同意学校保留或向国家有关部门或机构送交论文的印刷件和 电子版，允许论文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其 他复制手段保存论文和汇编本学位论文 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名；立生：监金导师签名： 山东大学硕士学位论文 第一章前言 1 1 辨识理论的发展及研究现状 辨识、状态估计和控制理论是现代控制理论三个互相渗透的领域辨识和状态估 计离不开控制理论的支持，控制理论的应用又几乎不能没有辨识和状态估计技术随 着控制过程复杂性的提高，控制理论的应用日益广泛，但其实际应用不能脱离被控对 象的数学模型然而在大多数情况下，被控对象的数学模型是不知道的，或者在正常 运行期间模型的参数可能发生变化，因此利用控制理论去解决实际问题时，首先需要 建立被控对象的数学模型系统辨识正是适应这一需要而形成的，它是现代控制理论 中一个很活跃的分支社会科学和自然科学领域已经投入相当多的人力和物力去观 察、研究有关的系统辨识问题从1 9 6 7 年起，国际自动控制联合会( i f a c ) 每3 年召开 一次国际性的系统辨识与参数估计的讨论会历届国际自动控制联合会的系统辨识会 议均吸引了众多的有关学科的科学家和工程师们的积极参加 系统辨识是建模的一种方法，不同的学科领域，对应着不同的数学模型从某种 意义上来说，不同学科的发展过程就是建立它的数学模型的过程1 9 6 2 年，l a z a d e h 给出辨识这样的定义【1 1 ：臼弊识就是在输入和输出数据的基础上，从一组给定的模型类 ( t y p eo f m o d eo rm o d es e t ) 中，确定一个与所测系统等价的模型口这个定义明确了辨 识的三大要素：输入和输出数据( d a t ao fi n p u ta n do u t p u t ) ；模型类；等价准 贝u ( e q u i n a l e n tc r i t e r i o no rc r i t e r i o no ff u n c t i o n ) 其中数据是辨识的基础；准则是辨识 的优化目标；模型类是寻找模型的范围当然，按照z a d e h 的定义寻找一个与实际过 程完全等价的模型无疑是非常困难的而从实用性观点出发，对模型的要求并非如此 苛刻，为此，对辨识又有一些实用性的定义1 9 7 4 年，p e y k h o f f 给出辨识的定义为：阱 识问题可以归结为用一个模型来表示客观系统( 或将要构造的系统) 本质特征的一种 演算，并用这个模型把对客观系统的理解表示成有用的形式? v s t r e j c 对该定义所做 的解释是：“这个辨识定义强调了一个非常重要的概念，最终模型只应表示动态系统的 本质特征，并把它表示成适当的形式这就意味着，并不期望获得一个物理实际的确 切的数学描述，所要的只是一个适合于应用的模型? 1 9 7 8 年，l l j u n g 给辨识1 2 - 3 下的定 山东大学硕士学位论文 义更加实用：“辨识有三个要素数据，模型类和准则辨识就是按照一个准则在一 组模型类中选择一个与数据拟合得最好的模型? 总而言之，辨识的实质就是从一组 模型类中选择一个模型，按照某种准则，使之能最好地拟合所关心的实际过程的静态 或动态特性 经典的系统辨识【4 巧】方法的发展已经比较成熟和完善，包括阶跃响应法、脉冲响应 法、频率响应法、相关分析法、谱分析法、最小二乘法和极大似然法等其中最小二 乘法是一种经典的和最基本的，也是应用最广泛的方法但是，最小二乘估计是非一 致的，是有偏差的，所以为了克服他的缺陷，而形成了一些以最小二乘法为基础的系 统辨识方法，如广义最小二乘法、辅助变量法、增广最, j , - - 乘法和广义最小二乘法，以 及将一般的最小二乘法与其他方法相结合的方法，有最小二乘两步法和随机逼近算法 等随着人类社会的发展进步，越来越多的实际系统很多都是具有不确定性的复杂系 统而对于这类系统，经典的辨识建模方法难以得到令人满意的结果 随着智能控制理论研究的不断深入及其在控制领域的广泛应用，从逼近理论和模 型研究的发展来看，非线性系统建模已从用线性模型逼近发展到用非线性模型逼近的 阶段近2 0 年来出现了一些现代的系统辨识方法，如集员系统辨识法、多层递阶系统 辨识法、神经网络系统辨识法、遗传算法系统辨识法、模糊逻辑系统辨识法、小波网 络系统辨识法等他们在各自的应用领域取得了很好的成果由于非线性系统本身所 包含的现象非常复杂，很难推导出能适应各种非线性系统的辨识方法，因此非线性 系统的辨识还没有构成完整的科学体系 近二十年来，系统辨识获得了长足的发展，已经成为控制理论的一个十分活跃而 又重要的分支从线性现象和线性系统的研究过渡到非线性现象和非线性系统的研究 是科学发展的必然结果，这不仅是对科学家们一种新的挑战，而且也是人类社会向更 高级形式演化的一种必然随着智能控制理论、遗传算法理论等的不断成熟，逐渐形 成了形式多样的现代的系统辨识方法。并且己在实际问题应用中取得了较好的使用效 果可以预见对不确定性的复杂系统的辨识研究很难或根本不可能找到一种统一的辨 识方法来处理，这就需要人们分门别类地去研究，去解决所遇到的各种具体问题系统 辨识未来的发展趋势将是经典系统辨识方法理论的逐步完善，同时随着一些新型学科 的产生，有可能形成与之相关的系统辨识方法，使系统辨识成为综合性多学科理论的 科学 2 山东大学硕士学位论文 1 2 租集理论概况 经典逻辑中只有真、假二值，但实际上有大量含糊现象存在于真和假二值之间， 因此，长期以来许多逻辑学家和哲学家就致力于研究含糊概念早在1 9 0 4 年，谓词逻 辑的创始人f r e g e g 就提出了含糊( 德文v a g u e ) 一词，并把它归结到边界线区域，也就 是说在全体论域上存在一些个体既不能在某个子集上被分类，也不能在该子集的补集 上被分类1 9 6 5 年，z a d e h l a 创立了模糊( 用英文词f u z z y 翻译德文v a g u e ) 集合论，不 少理论计算机科学家和逻辑学家，都试图通过这一理论解决f r e g e g 的含糊概念，但 模糊集是不可计算的，没有给出数学公式描述这一模糊概念，故无法计算出它在边界 线上的具体的含糊元素数目1 9 8 2 年，z p a w l a k 针对f r e g e g 的边界线思想提出了粗集 1 6 ，他把那些无法确认的个体都归属于边界线区域，而这种边界线被定义为上近似集 与下近似集之间的差集，由于上近似集和下近似集都可以通过等价关系给出确定的数 学公式描述，所以含糊元素数目可以被计算出来，即在真假二值之间的含糊程度可以 计算，从而实现了f r e g e g 的边界线思想粗糙集理论主要兴趣在于它恰好反映了人们 用粗糙集方法处理不分明问题的常规性。即以不完全信息或知识去处理一些不分明现 象的能力粗糙集自提出以来就一直得到z a d e h 的重视，并给予很高评价，将粗糙集 与模糊逻辑、概率推理、信度网络、神经网络、混沌理论、遗传算法及其他进化优化 算法等一起列为他所提倡的软计算的各种基础理论 粗集理论作为一种处理不精确、不确定与不完全数据的新的数学理论由于最初 关于粗集理论的研究大部分是用波兰语发表的，因此当时并未引起国际计算机界和数 学界的重视，研究地域也仅限于东欧一些国家，直到2 0 世纪8 0 年代末才逐渐引起各 国学者的关注特别是近十年来，由于它在机器学习与知识发现、数据挖掘、决策支 持与分析等方面的广泛、成功的应用而成为当前计算机人工智能、信息科学等领域的 研究热点之一在国际上，19 91 年，z p a w l a k 出版了第一本粗集学术专著( t h e o r e t i c a l a s p e c t so fr e a s o n i n ga b o u td a t a ) 【色1 9 9 2 年，第一届关于粗集理论的国际学术研讨会 在波兰召开；1 9 9 5 年，a c mc o m m u n i c a t i o n 将它列为新浮现的计算机科学的研究课题； 19 9 8 年，国际信息科学杂志( i n t e r n a t i o n a lj o u r n a lo fi n f o r m a t i o ns c i e n c e s ) 为粗集理论 的研究出了一期专辑；2 0 0 4 年，国际粗集协会主办的第一本粗集国际期刊( a d v a n c e s i nr o u g hs e t s ) ) 出版发行：波兰华沙大学、工业大学、信息技术与管理大学和加拿大 3 山东大学硕士学位论文 r e g i n a 大学和圣、玛丽大学、英国e d i n b u r g h 大学、u l s t e r 大学和c a r d i f f 大学、意大 利c a t a n i a 大学、印度统计研究院、美国s a nj o s e 州立大学等对粗集理论有着深入研 究在国内，第一届粗集与软计算学术研讨会于2 0 0 1 年在重庆邮电学院召开；2 0 0 3 年 1 0 月，重庆邮电学院成功承办了第九届国际粗集、模糊集，数据挖掘与粒度计算学术 研讨会：中国人工智能学会于2 0 0 3 年正式成立粗集与软计算专业委员会；第四届中国 粗集与软计算学术研讨会2 0 0 4 年1 0 月在浙江海洋学院成功召开曾黄麟、王国胤、 刘清、张文修、史开泉等先后出版了关于粗集理论的多本专著5 1 ；该理论的主要研 究人员大多来自计算机科学领域，也有来自信息科学、数学、系统科学、管理科学、 控制科学等领域的学者即使随便翻阅一本近年国内的计算机类学术期刊，都很可能 看到和粗集有关的理论或应用论文从研究地域来看，欧洲国家比较注重理论研究， 北美学者比较注重应用，日本在粗集和概率论相结合方面以及在医学的应用比较突出， 我国在知识约简、与信息论的结合、粗逻辑、粒计算、知识的不确定性研究方面取得 了较大成功 1 3s 粗集与函数s 粗集研究现状 经典粗糙集是由p a w l a k 在1 9 8 2 年提出的，此后很多学者在此基础上提出了各种 改进形式，如变精度粗糙集、概率粗糙集等等这些改进形式大都是基于解决实际问 题的需要而提出的，因此比传统的p a w l a k 粗糙集的应用范围更广，但是由于这些改进 形式基本上是在原有粗糙集理论基础上的修修补补，因此仍然受到很大的应用限制 2 0 0 2 年山东大学史开泉教授对z p w a l a k 粗集做出改进，给出动态r 元素等价类 【x 】的概念，提出了s 粗集( s i n g u l a rr o u g hs e t s ) 1 睨1 】的概念s 粗集是一种建立在元素 迁移的基础上的动态粗集。它具有三类基本形式：单向s 粗集( o n ed i r e c t i o ns i n g u l a r r o u g hs e t s ) ，双向s 粗集( t w od i r e c t i o ns i n g u l a rr o u g hs e t s ) ，单向s 粗集对偶( d u a lo f o n ed i r e c t i o ns i n g u l a rr o u g hs e t s ) s 粗集为动态数据挖掘、动态知识发现等研究提供了 理论支持但在系统中利用s 粗集进行规律挖掘、规律发现研究却遇到了困难这是 因为s 粗集( 或r 元素等价类【x 】) 不具有规律( 函数) 特征 2 0 0 5 年，史开泉教授把函数这一分析工具，引入到s 粗集中并对s 粗集进行了扩 展，给出具有动态特征的r 函数等价类陋】的概念，提出函数s 粗集( f u n c t i o ns r o u g h s e t s ) 2 1 函数s 粗集是以具有动态特征( 单向动态，双向动态) 的尺函数等价类定义的， 4 山东大学硕士学位论文 它具有三类基本形式：函数单向s 一粗集( f u n c t i o no n ed i r e c t i o ns i n g u l a rr o u g hs e t s ) ，函 数双向s - 粗集( f u n c t i o nt w od i r e c t i o ns i n g u l a rr o u g hs e t s ) ，函数单向s - 粗集对偶( d u a lo f f u n c t i o no n ed i r e c t i o ns i n g u l a rr o u g hs e t s ) 函数s 粗集将s - 粗集的研究从单个元素延伸 到函数，为研究系统中潜藏的规律开辟了一个全新的研究方向，并提供了必要的理论 保证 在集合的静态动态，点点构成线的双重条件下，z p a w l a k 粗集是s 粗集的特例， s 粗集是函数s 粗集的特例目前，s 粗集与函数s 粗集已经引起越来越多的学者的 重视，与其他学科如密码学 2 3 , 2 4 】、生命科学、系统管理、经济系统【2 5 , 2 6 】等通过交叉、 渗透，联系也越来越密切s 粗集和函数s 粗集的研究已经成为粗糙集理论研究中的 一个重要分支 1 4 论文的内容和结构安排 本文理论和应用相结合，在研究s 粗集和函数s 粗集的性质的基础上，给出了典 型应用，具体的章节安排如下： 第一章前言，主要介绍了辨识理论的发展与现状；阐述粗集理论提出的背景与 发展状况；介绍s 粗集和函数s 粗集提出的背景和意义 第二章s 粗集与函数s 粗集，主要介绍了单向s 粗集与函数单向s 粗集的结构 和基本概念 第三章元素迁移特征向量生成与层次信息识别，利用s 粗集中的元素迁移，给 出元素迁移特征向量生成概念，元素迁移特征向量它的特征定理；利用这些结果，给 出元素迁移的层次属性识别，提出识别的排序方法并给出应用 第四章隐形图像生成与它的分离一辨识，利用函数s 粗集，提出隐形图像的概念， 并给出隐形图像的构成结构；给出隐形图像的属性特征；提出隐形图像分离定理与还 原定理，给出隐形图像在图像信息系统中的应用根据函数单向s 粗集，给出粗规律 的结构和它的属性控制，给出属性控制准则，属性控制定理和应用 第五章论文总结及展望 山东大学硕士学位论文 第二章s 粗集与函数s 粗集理论 2 1 集合理论与z p a w l a k 粗集 集合是现代数学和逻辑学的基本概念之一在上个世纪里，关于集合的理论 集合论，对现代数学和逻辑学的发展产生了巨大的影响，今天它已成为数学和逻辑学 的一种基础理论集合论的创始人康托( g c a n t o r ，1 8 4 5 1 9 1 8 ) ，他所做的工作一般称为 朴素集合论，由于在定义集合的方法上，会导致悖论为了消除这些悖论，经过许多数 学家的努力，二十世纪初又创建了更精致的理论公理化集合论，集合论至今仍然 在发展中出于一些问题的需要，l a z a d e h 教授1 9 6 5 年提出了模糊集合( f u z z ys e t s ) 的概念，模糊集理论在很多控制领域取得了很大的成功近年来，波兰华沙理工大学 z p a w l a k 教授等一批科学家提出了粗集( r o u g hs e t s ) 理论，用来研究不完整数据，不精 确知识的表达、学习、归纳等为了更好的理解粗集，我们首先对集合论进行简单的 介绍 2 1 1 集合理论i 2 i 定义2 1 1 两个元素口，b 组成的序列记做( 口，b ) ，称作二元组或序偶 定义2 1 2 集合a ，b 的笛卡儿乘积记为彳b ，它是二元组集 ( 口，b ) i 口a ，b b ) 彳x b 的子集叫做么到曰的一个二元关系 关系是一个集合，若尺是一个关系，( 口，6 ) r 记为a r b ，读做a 和b 有关系r 定义2 1 3 给定集合a = 口l ，a 2 ，a m ) 和b = 6 l ，6 2 ，以) 及一个从彳到b 的二元 关系r ，称= 【】是关系尺的关系矩阵，其中： = 忙鬻j 亿， 2 1o 口勃， u 1 u 这里：i = l ，2 ，m ，j = l ，2 ，刀 定义2 1 4 设关系r 是集合彳到集合彳的二元关系如果对于v a a ，有( 口，口) r ，则称r 是么上的自反关系；如果对于v a ，b a ，有( t , b ) r ，同时( 6 ，口) r ，则 称r 是彳上的对称关系；如果对v 口，b ，c 彳，有( 口，b ) r 和( 6 ，c ) r ，则称r 是彳上 的传递关系 6 山东大学硕士学位论文 定义2 1 5 设r 是集合么上的二元关系，如果它是自反的，对称的和传递的，则它 是彳上的等价关系 定义2 1 6 设灭是彳上的一个等价关系，对每一个a 爿，a 关于r 的等价类是集 合缸i x r a ，x a ) ，记为陋k ，简记为【口】，称口为等价类【口】的表示元素 定义2 1 7 给定非空集合a 和非空集合簇s = 4 ，4 ，4 ，) ，如果 1 彳= u4 ； i = l 2 4 n 4 = g 或者4 = 4 瓴= l ，2 ，优) 则称集合簇s 为彳的一个划分 定理2 1 1 设a 是非空集合，r 是a 上的等价关系，r 的等价类集合 【口】ri 口a ) 是a 的划分 2 1 2z p a w l a k 粗集1 6 ，7 l 1 9 8 2 年波兰数学家z p a w l a k 教授提出粗集的概念，给出粗集的一般数学结构 设c ，是有限元素论域，x 是u 上的集合，石cu ，r 是u 上的元素等价关系， 【x 】是r - 元素等价类；称足( x ) 是x c u 的下近似，而且 足( r ) = o x 】= x i x u ，i x 】v ) ( 2 1 2 ) 称r 一( x ) 是x c u 的上近似，而且 r 一( x ) = u 【明= x i 工u ， x f l x a ) ( 2 1 3 ) 由足( x ) ，r 一( x ) 构成的集合对，称作集合xcu 的尺一粗集，简称粗集；而且 ( 足( x ) ，r 一( x ) )( 2 1 4 ) 称b n r ( x ) 是x c u 的r 一边界，而且 b n r ( x ) = r 一( x ) 一足( x ) ( 2 1 5 ) 2 2s 一粗集1 1 3 , 1 4 , 1 6 - 2 1 i 在p a w l a k 粗集中，若元素集x 给定，元素等价类尺给定，那么xcu 的上近似 r 一( x ) 与下近似足( x ) 确定，即x 的粗集( 疋( x ) ，r 一( x ) ) 完全确定；也就是说：既不 允许x 之外的元素进入其内，也不允许x 之内的元素离开p a w l a k 粗集是具有静态特 7 山东大学硕士学位论文 征集合x 的粗集，层口它是静态的这一特征限制了粗集的广泛应用史开泉教授于 2 0 0 2 年改进了p a w l a k 粗集，提出s - 粗集( s i n g u l a rr o u g hs e t s ) ，s 一粗集具有三类形式：单 向s - 粗集( o n ed i r e c t i o ns - r o u g hs e t s ) ，单向s - 粗集对偶( d u a lo fo n ed i r e c t i o ns - r o u g h s e t s ) ，双向s - 粗集( t w od i r e c t i o ns - r o u g hs e t s ) 2 2 1 元素迁移厂与元素迁移7 概念 定义2 2 1 设x = 而，而，) cu 是元素集合，口= 吼，吼) cr 是x 的 属性集，y = m ，y 2 ，y m ) 是x 的特征值集合，称【口，b 】是】，生成的特征值区间，而且 口= m i )n(y, 。8 1 ( 2 2 1 ) b = m a x ( y j ) y j ，y ，r + 一 对于元素x p u ，x p 琶x ；显然的特征值y p _ 【口，6 】；如果存在变换f ，使得 f ( y r ) e a ，6 】，则有x ；变换称作元素迁移，它用下面的式子表示： x p u ，x p 毛xjf ( x p ) x ( 2 2 2 ) i i 黼x - - 而，恐，) c “，x 2 ，厂( ) ) = x u ( ) ) 定义2 2 2m 个元素迁移z 构成的集合f ，称作元素迁移族，而且 f = 石，五，厶) 把定义2 2 1 和定义2 2 2 的概念应用到属性集口= 他，哆，吼) 中，则有属性迁 移厂，它用下面的式子表示： 3 p , v ，层毛t ；tj 厂( 尼) = 群口( 2 2 3 ) 显然有： 口。，口2 ，) c ，吼，厂( 层) ) 口c 口u ( 尼) ) 定义2 2 3 设x = “，x 2 ，) cu 是元素集合，口= ，吒) cr 是x 的 属性集合，】，= y t ，奶，y m ) 是x 的特征值集合，称【口，b 】是y 生成的特征值区间，而 且 口= r a i n ( y , ) 。8 1 ( 2 2 4 ) 肘 、 b = m a x ( y ，) ，y i ，y j r 对于元素黾x ，如果存在变换f ef 一，使得7 ( ) 乏【口，6 】，则有邑ex ；变换 8 山东大学硕士学位论文 7 f 称作元素迁移，它用下面的式子表示： 而xjf ( x a ) = 毛x ( 2 2 5 ) 这里：儿是而的特征值，儿r + 显然有x - f ( x a ) ) = x ( 屯) ) cx 定义2 2 4 刀个元素迁移z 构成的集合尹，乒称作元素迁移族，而且 f = z ，五，z ) 把定义2 2 3 和定义2 2 4 的概念应用到属性集口= q ，吼) 中，则有属性迁 移7 ，它用下面的式子表示： 3 a , 口j 厂( q ) = 屈毛口( 2 2 6 ) 显然有： 口。，吒一 ( q ) ) = 口 ( q ) ) c 口 2 2 2 单向s 粗集 约定：u 是有限元素论域，【x 】是u 上的r 元素等价类；f - z , ，正，厶) ，户= 顶，z ，z ) 是元素迁移族，莎= f u p 定义2 2 5 称x ：cu 是u 上的一个单向奇异集合( o n ed i r e c t i o ns i n g u l a rs e t s ) ，简 称单向s 集合。如果 x 。= x u “i u u ，“毛x ，( “) = x x ( 2 2 7 ) 称x ，是x c u 的扩张，如果 x ，= i u u ，“善x ，厂( ”) = x x ) ( 2 2 8 ) 这里：x 是p a w l a k 粗集( 足( x ) ，r 一( x ) ) 中的集合，xcu 定义2 2 6 设x 。是【，上的单向s - 集合，x 。cu ，分别称( 尺，f ) 。( x 。) 、( r ，f ) 。( x 。) 是单向s 集合x 。的下近似、上近似，如果 ( 尺，f ) 。( x 。) = u x 】= x i x u ，【x 】x 。)( 2 2 9 ) ( r ，f ) ( x 。) = u x 】= x lx u ， x f lx 。a )( 2 2 1 0 ) 这里：f f 2 j 定义2 2 7 设x 。是u 上的单向s 集合，x cu ；( 尺，f ) ，( x 。) ，( 灭，f ) ：( x 。) 分别是 x 1 的下近似、上近似，称 ( ( 尺，) 。( x 。) ，( 尺，d 。( x 。) )( 2 2 1 1 ) 是x 。cu 的单向s 粗集( o n ed i r e c t i o ns i n g u l a rr o u g hs e t s ) 9 山东大学硕士学位论文 称b n r ( x 。) 是x “cu 的r 边界，而且 召虬( x 。) = ( 尺，f ) 。( x 。) 一( 尺，) 。( x 。) 显然，在定义2 2 5 2 2 7 中元素u u ，“毛x ，f ( u ) = x x ，f ( u ) 关于x 的关系 具有特征函数值z ；扣= 1 定义2 1 5 称4 ( x 。) 是( ( r ，) 。( x 。) ，( r ，f ) 。( x 。) ) 生成的副集合( a s s i s t a n ts e t ) ；如果 4 ( x ) 是由具有特征函数值0 以扣 1 的元素构成，而且 a s ( x 。) = x i u u ，u 乏x ，厂( 材) = x x )( 2 2 1 2 ) 集合4 ( x 二) 的含义：因为元素迁移f f 存在，导致u 上某几个元素x ，它们不 能被f f 完整的由x 之外迁入到x 之内，这些元素构成了集合4 ( x “) ，这些元素x 与集合x 具有特征函数：0 以扣 ( 2 3 8 ) ( 2 3 8 ) 的直观意义：不在q 。内的函数，1 ，在f f 的作用下，v 变成f ( v ) = 材， f ( v ) = l d 不被完全迁入到q 内，用符号“笔”表示，f ( v ) 与q 的关系满足特征函数值： 0 彬哪 l ；在( 2 3 3 ) 中( ，) 与q 的关系满足特征函数值：z y 枷= 1 2 3 2 函数双向s 粗集 定义2 3 6 设9 是函数论域，q = 材，u 2 ，) c9 是函数集，如果存在变f f ， 使得，9 ，v - gq ，在厂f 的作用下变成厂( 1 ，) = q ；如果存在变换7 一f ，使得 “o ，“在7 的作用下变成7 ( - ) = _ 毛q ；f ，7 称作9 上的函数迁移， f = “，厶，厶) ，f = 。，f ：，f 。) 称作9 上的函数迁移族，或者 3 v 9 ，百qj ( ，) = 甜q 3 u qjf