（系统分析与集成专业论文）离散的多项分布风险模型.pdf

2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 j 我们建立了离散的多项分布风险模型，并重点研究了离散的三项分布 风险模型该模型可以在各种风险机构的风险管理中得到广泛的应用 在第一章中，首先概述了风险理论研究的背景以及过去主要研究成果 和现在主要的几个研究方向，然后引入离散的多项分布风险模型 在第二章中，探讨了完全离散的三项分布风险模型，重点研究了与风 险有关的最终破产概率、破产前一刻的盈余和破产时刻的赤字的概率律 利用一类泛函的求解事实，对任意的初始盈余“20 ，给出了上述概率或概 率律的递推公式，变换公式和显式公式其结果可以在多项分布风险模型 中得到平移我们在该章沿用g e r b e r i l 8 关于破产时刻的定义 在第三章中，继续讨论了离散的三项分布风险模型在调节系数存在 的前提下，借助于离散更新方程的一个极限定理，对于充分大的初始盈余 给出了最终破产概率、破产前一刻的盈余和破产时赤字的概率规律的渐近 解。这些结果在形式上比较简单，便于在工程上进行数值计算，其结果可以 在多项分布模型中得到平移我们在该章沿用s h i u 1 7 1 关于破产时刻的定 义。 在第四章中，首先叙述了离散鞅的基本概念和两个重要定理然后，对任 意的初始盈余，利用鞅分析方法给出了关于最终破产概率的一个l u n d b e r 9 型上界我们在该章沿用s h i u 1 7 关于破产时刻的定义。 在第五章中，给出了一点关于本文的讨论和展望。 关键词：最终破产，破产前一刻的盈余，破产时赤字，调节系数，更 新方程 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 i i a b s t r a c t w e d e v e l o pt h em u l t i n o m i a ld i s t r i b u t i o nr i s km o d e l i nd i s c r e t es e t t i n g fa n d e s p e c i a l l ye x p l o r et h et r i n o m i a ld i s t r i b u t i o nr i s km o d e l i nd i s c r e t es e t t i n g t h e m o d e lc a nb eu s e di nr i s km a n a g e m e n to fa l lk i n d so fr i s ki n s t i t u t i o n s i nf i r s tc h a p t e r ，f i r s t l y , t h e r ei st h es u m m a r i z a t i o no ft h eb a c k g r o u n do fr i s k t h e o r ya n dt h em a i nr e s u l t sa r r i v e da n dt h em a i np o t e n t i a la d v a n c e s e c o n d l y , t h em u l t i n o m i a ld i s t r i b u t i o nr i s km o d e li nd i s c r e t es e t t i n gi si n t r o d u c e d i ns e c o n dc h a p t e r t h et r i n o m i a ld i s t r i b u t i o nr i s km o d e li nd i s c r e t es e t t i n gi s e x p l o r e d p a r t i c u l a r l y , t h ep r o b a b i l i t yo fu l t i m a t er u i na n d t h ep r o b a b i l i t yl a w s o ft h es u r p l u si m m e d i a t e l yb e f o r er u i na r ed i s c u s s e dw i t he m p h a s i s w eh a v e g o tr e c u r s i v ef o r m u l a e ，t r a n s f o r mf o r m u l a ea n de x p l i c i tf o r m u l a eo fp r o b a b i f i t y o rp r o b a b i l i t yl a w sm e n t i o n e da b o v ef o ra r b i t r a r yi n i t i a ls u r p l u st | ob ym e a n s o fak i n do fr e s u l to ff u n c t i o n a la n a l y s i s t h er e s u l t sc a nb eg e n e r a l i z e di nt h e m u l t i n o m i a d i s t r i b u t i o nr i s km o d e l w ea d o p tt h ed e f i n i t i o no fg e r b e ra b o u t t h er u i nt i m ei nt h i sc h a p t e r i nt h i r dc h a p t e r ，t h et r i n o m i a ld i s t r i b u t i o nr i s km o d e li nd i s c r e t es e t t i n gi s e x p l o r e da g a i n u n d e rt h ea s s u m p t i o nf o re x i s t e n c eo ft h ea d j u s t m e n tc o e f f i c i e n t ， t h ea s y m p t o t i cf o r m u l a ef o rt h eu l t i m a t er u i np r o b a b i l i t y , t h ep r o b a b i l i t i e so f s u r p l u si m m e d i a t e l yb e f o r er u i na n dt h ed e f i c i ta tr u i na r eg i v e nf o rs u f f i c i e n t l y l a r g ei n i t i a ls u r p l u sb ym e a n so f ad i s c r e t ek e yr e n e w a ll i m i tt h e o r e m t h ef o r mo f t h er e s u l ti ss i m p l ea n di ti sh e l p f u lf o rt h en u m e r i c a lc a l c u l a t i n gi ne n g i n e e r i n g t h er e s u l t sc a nb eg e n e r a l i z e di nt h em u l t i n o m i a ld i s t r i b u t i o nr i s km o d e l ，w e a d o p tt h ed e f i n i t i o no fs h i ua b o u tt h er u i nt i m ei nt h i sc h a p t e r i nf o u r t hc h a p t e r ，f i r s t l y ，t h e r ea r es o m ec o n c e p t sa n dt w oi m p o r t a n tt h e o r e i n sa b o u tm a r t i n g a l e s e c o n d l y ，f o ra r b i t r a r yi n i t i a ls u r p l u s ，al u n d b e r g u p p e r b o u n df o ru l t i m a t er u i np r o b a b f l i t yi so b t a i n e db yt h em a r t i n g a l ea p p r o a c h w e a d o p tt h ed e f i n i t i o no fs h i ua b o u tt h er u i nt i m ei nt h i sc h a p t e r i nf i f t hc h a p t e r ，t h e r ei ss o m ed i s c u s s i o na n de x p e c t a t i o na b o u tt h i sp a p e r k e yw o r d s ： u l t i m a t er u i n ，s u r p l u si m m e d i a t e l yb e f o r er u i n ，d e f i c i ta t 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 i i i r u i n ，a d j u s t m e n tc o e f f i c i e n t ，r e n e w a lt h e o r y 上海大学 y 6 7 8 0 6 1 1 本论文经答辩委员会全体委员审查，确认符合上海大学 硕士学位论文质量要求。 答辩委员会签名：( 工作单位职称) 掘p 够嘲季三c f 文 辟刁关 翮：狮易 答辩嗍w 、可，7 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作。 除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表 或撰写过的研究成果。参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：日期 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学 校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可 以公布论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名 翩魏烨嘲幽 第一章前言 1 1 随机流系统与风险模型 随机流系统的研究来源于电讯业的a t m ( a s y n c h r o n o u st r a n s f e r m o d e ) 技术许多输入线都汇入到有缓冲库的a t m 交换中心，输入线连续不断地向交换 中心输入信号，同时交换中心不断地通过输出线输出信号。由于输出和输入部分是 随机发生的，所以在很短的时间区间内，输出和输入的发生可能并不同步发生结 果当输入率大于输出率时，将有部分信号在交换中心的缓冲库中排队并等候输出。 因此，在设计该系统的时候，有必要考虑与缓冲库相关的各个因素。为优化该系统 的设计和运作，有必要建立数学模型进行有关的研究。 简单地看，该系统主要包括三个部分：输入部分、缓冲中心和输出部分一个 由随机输入部分和随机输出部分以及一个或者多个缓冲中心构成的系统，即构成了 随机流系统它可以定义为： 丑( t ) = i ( t ) 一d ( t ) ， 其中( t ) ，o ( t ) 分别表示输入部分和输出部分，h ( t ) 表示缓冲中心的库存。反射布 朗运动、排队模型，库存模型等都可以归纳为该类系统 随机流系统在工程上( 比如通讯电信业，计算机网络) 和风险经营机构( 比 如保险公司，投资银行) 都有非常广泛的应用以保险公司等风险经营机构为背 景，对其研究便形成了风险理论( r i s kt h e o r y ) ，在保险数学( 也称为精算数学 ( a c t u a r i a lm a t h e m a t i c s ) ) 的范畴内，风险理论的核心内容是破产论( r u i n t h e o r y ) 研究。破产论的研究可以追溯到精算师f i l i pl u n d b e r g 于1 9 0 3 年发表的博士论文 ( 【l 】) 事实上，一类很重要的随机过程，即p o i s s o n 过程，正是l u n d b e r g 首次在他的 这篇博士论文提出的。不过，l u n d b e r g 的工作不符合严格意义上的数学讨论，对 其严格化是以h a r a l dc r a m d r 为首的瑞典学派完成的。是c r a m d r 将l u n d b e r g 的 工作奠立在坚实的数学基础之上( 2 】 3 】) 同时c r a m d r 也发展了严格的随机过程理 论，现已公认，c r a m d r 和l u n d b e r g 的工作作为经典破产论的基本定理。 1 2 经典风险模型 本小节将给出l u n d b e r g c r a m d r 经典风险模型的严格表述，及有关假设和主 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 2 要结果，以备在后文作对比分析 1 2 1 l c 经典风险模型 设保险公司在时刻t 的盈余( s u r p l u s ) u ( t ) 由( 1 1 ) 式给出 ( 幻 u ( t ) = “+ c t 一x i ，t 0 ( 1 1 ) 其中u = u ( o ) 表示保险公司初始准备金，c 表示保险公司单位时间内征收的保费， 玉0 1 ) 表示保险公司支付的第i 个索赔额，g ( t ) 表示到时刻t 为止，保险公司 共支付的索赔次数 该模型的第一个基本假设为独立性假设： 假设1 ( 独立性假设) 设 x k ；k 1 ) 为取正值的，独立同分布( i i d ) 的随 机变量序列，记 f ( x ) = p r ( x l z ) ，v z 0 卢垒e x i ：f 0 。d f ( 。) = f ”( 卜f 出 j 0j 0 ( ) i t o ) 是以a ( a o ) 为强度的p o i s s o n 过程， x ( i ) ；i 1 与 ( t ) ；t 0 ) 相 互独立。 下面记 n o s ( ) = x i ， v t 0 ( 1 2 ) s ( f ) 表示保险公司到时刻t 为止的支付的索赔总额( a g g r e g a t ec l a i m ) 根据模型的 独立性假设知： 口p ( t ) j = 置f ( ) j e p i = a 单 而保险公司在经营运作过程中考虑到安全性的需要，可以要求 0 0 ，称为相对安全负荷( r e l a t i ”e s e c u r i t y l o a d i n g ) 易知口= 矗一l = ! i 竽 0 满足了( 1 3 ) 式的要求 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 3 考虑到p o i s s o n 过程 ( ) ，t o ) 具有独立增量和模型的独立性假设，易知 c t s ( t ) ；t o ) 也为独立增量过程这样，由强大数定律便知 ；i _ + m o 。u ( t ) = + o o ， 8s ( a l m o s t s u r e l y ) ，( 1 5 ) 根据( 1 5 ) 式可以看出，如果保险公司“长寿”的话，保险公司最终将会很富有但 保险公司未必能“长寿”，因为在其经营过程中，在某时刻盈余过程u ( t ) 可能取负 值，这时我们称保险公司发生“破产”用t 表示保险公司首次发生破产的时刻， 简称破产时刻( r u i nt i m e ) ，即令 t 兰i n f t ；u ( t ) o ) ，i n f o = o o ( 1 6 ) l u n d b e r g 与c r a m d r 很深入地研究了保险公司最终破产的概率： ( t ) = p r t o 。l u ( o ) = “) ，vu 0 ( 1 7 ) 我们称皿( “) 为破产概率( r u i np r o b a b i l i t y ) 破产概率( u ) 可以作为评价保险公 司经营安全性的一个可取的数量指标l u n d b e r g 与c r a m d r 的研究结果( 稍后的定 理1 2 1 ) 可以直观地表述为：当初始准备金“足够大，那么保险公司在只支付“小 索赔”的理想环境的条件下，其破产是不易发生的关于“小索赔”我们引出下面 的假设 假设3 ( 调节系数存在唯一性假设) 设个体索赔( 这里用x 表示) 的矩母函 数： r o 。，o o m x ( r ) = e z d f ( x ) = l + r ( 1 一f ( x ) ) d x ， ( 1 8 ) j 0 j 0 在包含原点的某领域内存在；而且要求( 1 , 9 ) 式方程具有正根。 m x ( r ) - = l + r ；， ( 1 9 ) 由于m x ( r ) 在其包含原点的收敛域内是严格递增的凸函数；所以，如果方程( 1 , 9 ) 有 正根，则必唯一我们将其唯一的正根记为r ，并称为调节系娄鳆a d j u s t m e n tc o e f y i c i e n t ) 联合( 1 8 ) ( 1 9 ) 两式，可以得到： ；z ”e 唧卅瑚如= t ( 1 1 0 ) 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 4 同时，注意到 ：胁- f ( 圳如= 鱼c 舻而1 1 ( 1 1 1 ) 由( 1 1 1 ) 式知，g ( 。) = a ； 1 一f ( z ) 】不能成为一个概率函数现在作变换 9 + ( ) 垒g ( z ) e 船= e m 扣一f ( z ) 1 ，v z o 有( 1 1 0 ) 式即知9 + ) 为一概率函数，这正解释了调节系数r 的命名的来源 定理1 2 1 ( l u n d b e r g c r a m d r ( 1 2 3 ) ) 在假设1 - 3 成立的条件下，则有： 1 ( 1 ) 皿( 0 ) 2 南， ( 1 1 2 ) ( 2 ) l u n d b e r 9 不等式皿( u ) se r “，vu 0 ( 1 1 3 ) ( 3 ) l u n d b e r g c r a m r 近似：存在常数岛，使得 皿( “) 一c o e 一“，( “_ 。)( 1 ，1 4 ) 在定理1 2 1 中，( 1 1 2 ) 式告诉我们：初始盈余为0 时，破产概率m ( o ) 的确切解仅 依赖于相对安全负荷0 ，而和个体索赔分布的具体形式无关 ( 1 1 3 ) 和( 1 1 4 ) 式告 诉我们：若初始盈余足够大，如果在只需要支付“小索赔”的理想环境的条件下， 破产是不易发生的 1 2 2 经典风险模型研究方法的改进 尽管c r a m d r 的证明( 3 】) 是严格的数学讨论，但比较繁冗。f e l l e r 的更新论证 方法( 4 ) 和g e r b e r 的鞅方法( f 5 ) 给出( 1 1 2 ) 一( 1 1 4 ) 式较为简便的证明从 现有的研究文献中，我们可以看到在c r a m r 之后的破产论研究中，最令人瞩目的 方法论改进应该是f e l l e r 的更新论证技巧和g e r b e r 的鞅证明技巧之后，这两种工 具已经成为了研究经典破产论的主要的数学工具。而且，近期关于破产论大量的研 究中，虽然其研究模型有不同程度的推广和变换，但所使用的数学方法绝大部分是 围绕这两种技巧展开的。这两种技巧的论述可以参阅文献( 4 , 5 ，6 】及有关文献 1 2 3 经典风险模型研究内容的拓广 起初，对经典风险模型的研究( 【7 】 8 ) 主要集中在最终破产概率： 皿( u ) = p r t o 。f u ( o ) = “) ， 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 5 之后，也有研究有限时间内的破产概率： 皿( “，t o ) = p r ( t t o l g ( o ) = “) 后来，g e r b e r 等( 【9 ，1 0 ，1 1 ) 等引入了另外两个变量： x i = 矽( 2 2 ) ，磁= f 矿( t ) f = - u ( t j ， 其中，表示保险公司破产前一瞬间的盈余，j b 表示保险公司破产时刻的赤字。 这样，就引出如下概率律： f ( u ，z ) = p r u ( t _ ) s $ ，t o 。i u ( o ) = n ) ， g ( u ，g ) = p r u ( t ) 一玑t o o l u ( o ) = “) ， 其中，u ，。，和口皆非负实数，上述概率律具体含义稍后解释。显然有 皿( “) = f ( u ；o 。) = g ( “；o 。) 从数学角度分析，t ，u ( t ) 和u ( t _ ) 这三个变量中，其中c ，( 卫) 为最关键的变量， 因为只要知道了u ( 卫) 的概率律就可以求出u ( t ) 和t 的概率律。 1 3 经典风险模型的拓广 由于经典风险模型具有很多的局限性，为了更恰当地刻划保险公司的经营状 况，有必要对经典风险模型进行相关拓广。对其拓广研究是多方面的 1 在经典风险模型中，p a i s s o n 过程 ( t ) ；t o ) 是齐次的独立的平稳增量过 程。然而事实上，保险公司的经营状况很难满足这一很强的约束条件比如保险公 司经营过程中不得不面对的风险波动和规模波动的影响 2 在经典风险模型中，保费率是常数然而保险公司在经营过程中，保费率往 往是依赖于经营成果和经营环境的。为此我们可以将保费率扩展为关于时阅t 的函 数c ( t ) ，或将其扩展为一个随机过程的函数c ( x 。) 。 3 在经典风险模型的大多数研究中，没有考虑货币时间价值的因素。 4 关于经典风险模型的研究，是在“小索赔”的情形下展开的。然后，大额索 赔或理赔额分布为重尾分布( s u b e x p o n e n 抚a td i s t r i b u t i o n ) 却在某些保险领域时常 发生的。 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 6 1 3 1 _ 非齐次p o i s s o n 模型 定义1 3 1 令a ( t ) 是一连续的非减函数，且a ( o ) = 0 ，va ( t ) o 。，若随机过程 n ( t ) 满足如下条件； i ) n ( t 、南独i 增量， ，缈n ( t ) 一n ( s ) 的分布为p o i s s o n 分布，且e n ( t ) 一( s ) j = a ( t ) 一a ( s ) ， 我们称n ( t ) 为非齐次p o i s s o n 过程，其强度为j 4 定义1 3 2 设常数p 为相对安全负荷，a ( t ) 为非齐次p o i s s o n 点过程的强度，e f 反j a 则称 ( t ) x ( ) = ( 1 + p ) a a ( t ) 一f 反 t = l 为非齐次p o i s s o n 模型。 注1 3 1 在齐次p o i s s o n 过程中，a ( t ) = a t ，其中为常数。 注1 3 2 强度函数a ( t ) 的连续性保证了随机过程n ( t ) 是简单的，即同一时刻到达 的京赡至多为1 ；k ， 对非齐次p o i s s o n 模型的研究，通常是把非齐次p o i s s o n 模型转化为经典p a i s s o n 模型来展开讨论的 1 3 2 c o x 模型 在齐次的p o i s s o n 模型中，如果a ( t ) 不是确定性函数，而是一个随机过程，则 相应的风险模型更适合于刻划风险的波动 定义1 3 3 随机过程a = a ( ) i t 0 ) ，a ( 0 ) = 0 ，a ( t ) o 。，vt ：x 。， n 兰0 ，( 1 1 5 ) f = l 为离散的风险模型。 其中，“= y ( o ) 表示保险公司的初始准备金，个体索赔额置是仅取正整数的随机 变量，且 ；n 1 ) 是独立同分布的随机序列，( n ) 表示前n 个时间区间内共支 付索赔次数，假设f ( n ) ；n 1 ) 与f 蜀。；n 1 ) 相互独立的。 在离散的风险模型中，关于破产时刻有两种略有不同形式的定义： n = i n f n ，u ( o ) m o 假定 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 1 2 z 。，z 2 ，磊，为独立同分布( j i d ) 的随机变量，并假定z 与诸z i 同分布的记 p l ( k ) = p r z = 自) ，vk 1 l ( o ) = 0 ) p l ( n ) = p l ( ) ， vn l ( p 1 ( o ) = o ) 缸= l 乒l ( n ) = 1 一马( 礼) ，v 佗0 肛l 竺e i z j m o 假定 m ，托，k ，为独立同分布( j i d ) 的随机变量，并假定y 与诸k 同分布的类 似地记 p 2 ( k ) = p r y = 曰，vk 2 1 o p 2 ( o ) = 0 ) p 2 ( 佗) = p 2 ( 女) ， vn 三l ( o ) = o ) 女= l p 2 ( n ) = l 一尸2 m ) ， vn 0 # 2 兰e y 】 o o 至时刻n 为止，保险公司所支付的索赔额记为 ”l ( n )啦( n ) 岛= 五十m m 0 ，并约定q l ( o ) = q 2 ( o ) = s o = o ) ，( 2 1 ) i = ii = l 其中，町i ( n ) 表示至时刻n 为止，共发生z 类索赔的次数；q 2 ( n ) 表示至时刻n 为 止，共发生y 类索赔的次数；q 1 ( n ) 和啦( n ) 服从联合分布 p r 胁( n ) = k h 啦( n ) = 。12i 丁赫 同时，易知 蕊9 蹦2 疗。1 吨，( o sk ln ；0 墨 2s n ) ( 22 ) p 州n ) = h 2 k 2 = 0 蕊而p 潸醇呐 嘞咄 = 篆瓣番两毋孝声h k 2 ( 0 1 n ) ( 2 3 ) h ，( o 七2 n ) ( 24 ) 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 1 3 我们假定e s 1 ：p t # l + p 2 p 2 0 另外，我们假定保险公司在每个单位时间区间内收取一个货币单位的保费这样， 保险公司在时刻n 的盈余可表为 = u + n 一靠，n = 0 ，1 ，2 ，( 2 5 ) 其中，u = u 0 表示保险公司的初始盈余( 即初始资本) ，在该模型中，我们假定u 仅 取非负整数考虑到下文讨论的需要，我们记k = s 。一n ，v n 1 ，这样，= u 2 1 2 破产时刻的定义 在本章中，我们沿用g e r b e r 对破产时刻的定义( 1 8 1 ) 令 t 垒i n f n ，o ) ( i n f 0 = 0 0 ) ( 2 6 ) 并称t 为破产时刻保险公司感兴趣的是与破产时刻t 有关的以下几个主要的风 险变量： x l 垒叻“ x 2 垒i 嘶【， x 3 垒x 1 + x 2 + 1 其中，x l 表示保险公司破产前一刻的盈余，托表示破产时刻的赤字，托表示导 致保险公司破产的最后一个索赔额本文将探讨与上述风险变量有关的概率或概率 律具体的有 尸，i t 。1 u 0 = 词， p r p 0 ) p ，。 t o o ；【吁一i = “j ，( y 0 ) p r i t o ) p r t c o ；蜥= - y g o = “j ，( y 0 ) 尸r ? 。；u t 一y 1 9 0 = 叫，( y 0 ) p r t 0 ) ( y 0 ) p r p o o ；蜀= z l u o = 叫， 一一 = l i | | = = l | = ；i) 们动们们们 似 叫 w 峨 蛾 叫 叫妒m沁“纵以“烈叫“ 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 1 4 在上述定义中，妒( u ) 表示在初始资本为u 的条件下，保险公司最终破产的概率； ，( u ；z ) 表示在初始资本为u 的条件下，保险公司破产前一刻的盈余为x 的概率； 妒( u ；g ) 表示在初始资本为u 的条件下，破产时刻的赤字太子或等于y 的概率，f ( ；r ) 表示在初始资本为u 的条件下，保险公司破产前一刻的盈余小于或等于x 的概率 9 ( 吣y ) 表示在初始资本为u 的条件下，破产时刻的赤字为y 的概率，( “；墨y ) 表示 在初始资本为u 的条件下，保险公司在破产的前一刻的盈余为。，在破产时刻的赤 字为的联合概率 ( “；z ) 表示导致破产发生的索赔额为z 的概率其余的量可以 类似理解。我们可以容易得到 f ( n ；z ) = ，( “；i ) ， i = 1 母( u ) = f ( ；o 。) = g ( “；o 。) 我们首先将重点研究，( u ；z ) 2 1 3 调节系数 首先我们引进母函数的定义和若干符号 p ( n ) ；n 1 为z 的分布列，z 的母函数定义为 o 。 a z ( s ) 垒e 【s 5 = p i ) s ” n = l p 2 ( n ) ；n 1 ) 为y 的分布列，y 的母函数定义为 ( 2 7 ) g y ( s ) 垒球y - p 2 ( n ) s n ，( 2 8 ) n = 1 再j 己 q i ( s ) 垒珂( n ) s n ，( 2 9 ) n = o q 2 ( s ) 垒巧( n ) ，( 2 1 0 ) n = o 不难验证q l ( s ) 和q 2 ( s ) 分别与z 的母函数a z ( s ) 和y 的母函数g y ( s ) 满足以下 关系式： q i ( 扣掣， ( 2 1 1 ) q 2 ( s ) = 1 1 - = g y f ( s ) ， ( 2 1 2 ) 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文1 5 引理2 1 1 设x l ，x 2 ，为独立同分布的随机变量序列，且与x 同分布 是取非负整数的随机变量，且与 弱，n 1 ) 独立，它的母函数记为g ( r ) 设 n s ( ) = 恐，( 约定s ( o ) = o ) t = l 则复合随机变量s 的母函数为 “s 【r ) = g n ( g x ( r ” 该引理的证明可以参阅文献 2 6 的第二章根据引理2 1 1 ，我们得到 e s 8 1 】_ p l g z ( s ) + p 2 g y ( s ) + p 3 定义21 - 1 我们在该模型中将调节系数定义为( 2 1 3 ) 式的不等于1 的最大正 根 e 【s h = 1 f 2 1 3 ) 由= s l l 我们容易得到( 2 ，1 3 ) 式与( 2 1 4 ) 式等价 p l c z ( s ) 十p 2 g 1 ( s ) + p 3 = s f 2 1 4 ) 2 2 关于，( “；x ) 的推导 我们先给出关于一类泛函求解的事实，为了方便后文的使用，在这里我们将该 事实以引理形式给出 引理2 2 ，i 设9 ( ，) 为任意的非负的有界实函数，定义 则 妒( “：9 ) 垒e 妇( 洳一1 ) ；? 。 ：“】 纵嵋们_ p 1 鼍? 州1 沏掣怕咖) f 1 圳训( 2 1 5 ) + p 2 ：= l 妒( u + 1 一卫；g ) p 2 ( 。) + p 2 9 ( ) i a 一最( u ) 】十p 3 妒( u + 1 ；9 ) 、一叫 事实上，我们以第一个单位时间区间内是否发生索赔，发生的索赔是z 类索赔还是 y 类索赔，以及发生索赔额的大小为条件，使用全概率公式；并结合独立性的假定， 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 1 6 容易证得该引理参照文献【1 9 】，可得如下证明 妒( ；9 ) = e 旧( u r 一1 ) ；t 。j = “】 = p 3 e g ( u t i ) i t o o l v 0 = “，( 1 = 0 】 + ( p l + p 2 ) e 9 ( 吩一1 ) ；t o 。i u o = u ，( 1 = 1j = p 3 妒( u + l ；g ) + p l 墨l e g ( v r 一1 ) ；t o o l v o = “，e l = 1 ，z l = z p i ( z ) + p 2 墨le 9 ( u r 1 ) ；t o o l u o = u ，( 1 = 1 ，h = z 】互2 ( z ) = p 3 妒( “+ 1 ；9 ) + p l ：= 1n g ( u r 一1 ) ；t o o l u o = 钍，( 1 = 1 ，z i = z k l ( 。) + p l 墨。+ 1n g ( v r 一1 ) ；t 。0 1 u 0 = “，( 1 = 1 ，z l = z 】p 1 ( 茁) + p 2 ：1e g ( u t 一1 ) ；t o o l u = u ，( 1 = 1 ，y l ：z 】p 2 ( z ) + p 2 墨1 f + ie g ( u t 一1 ) ；t o o l u 0 = “，e l = 1 ，y l = 咖2 ( 茹) = 尸3 妒( + l ；9 ) + p l ：= l 砂( + 1 一。；g ) p 1 ( 。) + pz 墨。+ 【雪( u ) p l ( 岔) 十p 2 ：1 1 ；f ( u 十1 一z ；g ) p 2 ( 。) + p 2 墨。+ 1 9 似) p 2 ( 。) = p 3 妒( u + l ；9 ) + p l ：= 1 妒( 让+ l z ；9 ) p l ( 茁) + p 1 9 ( u ) 1 一p l ( ) 1 + p 2 ：1 妒( + 1 一。；9 ) p 2 ( z ) + p 2 9 ( u ) 【l p 2 ( ) 】， 引理获证 2 2 1 推导f ( u ；x ) 的递推公式 现在，我们令 州归t 鲫e a 江峋 其中，a = f 。) 则 妒( “；9 。) 羔p r t o - l o ；舞繁】：，n 仁研 = c ，j 1 一l = 。 = u 】= ，( u ；。) 、 7 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 1 7 再根据引理2 2 1 立刻可得 im f ( z 十1 ；口) + p t ：1 ，( z + 1 一i ；z ) p t ( i ) + p 1 1 1 一p i ( 。) ，、j + p 2 墨l ，( z 十1 一 ；。) p 2 ( i ) 十p 2 1 一p 2 c x ) 】 lp 3 f ( u + 1 ；。) + p 1 1 ，扣十1 一i ；x ) p i ( i ) l+ p 2 羔1 f ( u 十1 一咖：) p 2 ( i ) ， 移项整理得 f ( z + 1 i 。) f ( u + l ：z ) p i l ，( 。；5 ) p i l ，( 让；。) 一p i l p l 墨1f ( x + 1 一i ；x ) p 1 ( i ) 一p i l p l 【1 一p i l p 2 ：l i ( 5 + 1 一f ；5 ) p 2 ( i ) 一p i l p 2 1 一p i l p l 羔i ，( “+ 1 一 ；z ) p 1 0 ) 一p i l p 2 坠1 ，( u + 1 一；z ) p 2 ( f ) ， ( u = z ) ( u 5 ) ( 2 1 8 ) p l ( 。) p 2 ( z ) 】，( “= 5 ) ( u z ) ( 2 1 9 ) 后文，我们将得到 ，( o ；z ) = p l 1 一p 1 ( 。) + p 2 1 1 一局 ) 】，( 2 2 0 ) 这样，( 2 1 9 ) 式和( 2 2 0 ) 式就构成了f ( u ；x ) 的递推公式 2 2 2 推导f ( u ；x ) 的变换公式 我们先作变换 冗驴) 垒，( u ：叫s “， ( o 1 ( 2 2 9 ，) 其中n n ( j ) 表示一切从 a h - ，o 。) 中可以重复地取出无次序的j 个。f ( 记为口。o l ：，口。， 所作的乘积之和，且指标满足i i 十i 2 + + ，= n n 。f ，) 表示如下： o n ( ，) = 乙乜l l a 幻o i i + 2 j + + u = n ( 2 2 9 ) 式的证明参见文献i 9 1 。 关注( 2 , 2 4 ) 式，利用( 2 , 2 5 ) 式和( 2 2 7 ) 式可得 蔓1-piql(s)-p。q2(s)5pi=0如。z啡z，dt-*+i至。吾“，(23。) so 渤 = s 2q2p s qp 一 咖 掰 ，、l 中其 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 1 9 利用( 23 0 ) 式，根据氕s ；z ) 的定义，我们可以求得( 2 2 0 ) 式和下式 m ：。) ： l d u - j p i 1 一肺) 】地f 1 一p 2 ( 珊( 1su z ) ( 2 3 1 ) l 釜l 乱一，( p l ( i p 1 ( 圳+ p 2 1 1 一p 2 ( 。) 】) ，扛 “) 、 其中出( = 0 ，1 ，2 ，) 已由( 2 2 s ) 式和( 2 2 9 ) 式给出这样，( 2 2 0 ) 式和( 2 3 1 ) 式就 构成了，( u ；。) 的显示公式 2 3 关于妒( 扎) 的推导 与前面推导，( “；z ) 公式的思路相一致，我们同样可以推导出妒( u ) 的递推公式 变换公式和显式公式；下面从简给出推导过程 2 3 1 推导妒( u ) 的递推公式 下面我们回到引理2 2 1 ，令 础，2 z 仁。， 其中，a = 【0 ，+ o 。) 则 妒( “；吼) = e 乩( u r 1 ) ；t 。f = “】= p r t o 。i 吩一1 。f 砜= “ = 妒( “) ，( 2 ，3 3 ) 再根据引理2 2 1 立刻可得 砂“2 m 砂如+ 1 + p 1 至- 妒! “+ 1 一f ) p “i ) + p t 1 一p 1 ( “) 】( 2 3 4 ) + p 2 ；：l 妒( “十1 一i ) p 2 ( 2 ) 十p 2 1 p 2 ( u ) 】：( 0 5 “) 、叫 整理得 妒( “+ 1 ) 2 p i l 妒( “) 一p i l p l 叁1 币( “+ 1 一i ) p l ( i ) 一p i l p l 1 一日( u ) 1 一p 亍1 p 2 警i 妒( “+ 1 一i ) p 2 0 ) 一p i l p 2 1 一p 2 ( ) 】，( os “) ( 2 ，3 5 ) 后文，我们可推得 妒( o ) = p t g l + p 2 卢2 ， f 2 3 6 1 ( 2 3 5 ) 式和( 2 3 6 ) 式便构成了妒( “) 的递推公式 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 2 0 2 3 2 推导妒( ) 的变换公式 我们作变换 万( s ) 垒币( “) 矿， ( o o ) 的显式公式来求妒( u ) 要方便许 多。 2 4 关于妒( “；y ) 的推导 2 4 1 推导妒( y ) 的递推公式 回到引理2 2 1 ，取 引归艺喾揣蚓帮 其中t 与y 为非负整数，则 l p ( “；y ) = 妒( u ；g y ) ( 24 7 ) ( 2 4 8 ) gs s 一如 e = “ s扎 妒 一一“ 眇 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 参照文献 1 9 ，( 2 4 8 ) 式的证明如下： 证明：根据妒( y ) 与妒( 训g ) 的定义， 妒m ；y ) = p r ( t 。o ，u ts - - y u o = “) = 研0 丁 ，) i u o = t z 】 = e e 0 r ，) f = “，u t l ，t o o l u o = “ = e ( 1 t 9 ) 【= “，c 厅一1 ，t 。】f 砜= “】 = 斛呜杀嵩糍蹦删，队叫f = “】 = e g g ( “，u t 一1 ) 0 r 。) 砜= u 】 = 妒( “；鲂) 由( 2 4 8 ) 式，再根据引理2 2 1 得： 妒( u ；y ) = 妒( “；g ) = p 3 砂( “+ 1 ；g ) + p l ：】妒( u + 1 一x ；g y ) p l ( x ) + p l g y ( u ) 1 一p 1 ( u ) + p 2 ：l 妒扣+ 1