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文档简介

证明:(反证)设a1，a2，am线性相关，则其中至少有一向量可由其余向量线性表示，不妨设a1可由a2，am线性表示，即有一组数k2，km，使a1k2a2+kmam，于是(a1,a1)=(a1,k2a2+kmam)=(a1,k2a2)+(a1,kmam)=k2(a1,a2)+km(a1,am)=0这与(a1,a1)0矛盾，所以a1，a2，am线性无关.,定理1正交向量组是线性无关的向量组.,下页,2.8向量组的正交化,定理2对于线性无关的向量组a1,a2,am，令,则向量组b1,b2,bm是正交向量组.,下页,施密特正交化方法,另外：很明显，向量组a1,a2,am可由向量组b1,b2,bm线性表示.,下页,由此可知，若向量组a1,a2,am为AX=o的一个基础解系，则向量组b1,b2,bm也为AX=o的一个基础解系.,向量组b1,b2,bm也可由向量组a1,a2,am线性表示，因为：,例1已知向量组a1=(1,1,1,1)T,a2=(3,3,-1,-1)T,a3=(-2,0,6,8)T,线性无关，试将它们正交化、标准化.,解:(1)先利用施密特正交化方法将向量组正交化，即令,b1=a1=(1,1,1,1)T,=(3,3,-1,-1)T,=(2,2,-2,-2)T,=(-1,1,-1,1)T,(1,1,1,1)T,此时b1,b2,b3为正交组.,下页,(2)再将正交化后的向量组标准化，即令,此时1,2,3即为所求标准正交组.,说明：求标准正交组的过程为，先正交化，再标准化.,下页,作业：,P84页20（2）,结束,课件部分内容来源于网络
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