理学第六节独立性ppt课件

,概率论与数理统计,1,一、事件的相互独立性,二、几个重要定理,三、例题讲解,四、小结,第六节独立性,2,一、事件的相互独立性,则有,1.引例,3,2.定义设A，B为两事件，如果具有等式P（AB）=P（A）P（B）则称A,B为相互独立的事件,又称A,B相互独立。,事件A与事件B相互独立,是指事件A的发生与事件B发生的概率无关.,说明,4,两事件相互独立,两事件互斥,例如,由此可见两事件相互独立，但两事件不互斥.,(1)两事件相互独立与两事件互斥的关系.,注意：,5,由此可见两事件互斥但不独立.,结论：若P(A)0，P(B)0，则A，B相互独立，与A，B互不相容不能同时成立。因为若它们同时成立，则P(AB)=P()=P(A)P(B)=0，与P(A)0，P(B)0矛盾。,6,定理设A，B是两事件，且P(A)0(P(B)0)，则A，B相互独立的充要条件是P(B|A)=P(B)(P(A|B)=P(A)。,(2)在实际应用中,对于事件的独立性,我们常常不是根据定义来判断,而是根据一事件的发生是否影响另一事件的发生来判断.,7,举例甲、乙两射手在同样条件下进行射击,他们击中目标的概率分别是0.9和0.8.如果两个射手同时发射,问击中目标的概率是多少？,解：设A=甲击中目标,B=乙击中目标,又C=AB,且A,B相互独立,故P(C)=P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.9+0.8-0.90.8=0.98.,8,3.三事件两两相互独立的概念,一般的，当事件A，B，C两两独立时，等式P（ABC）=P(A)P(B)P(C)不一定成立，例如：,例1:假设我们掷两次骰子,并定义事件A,B,C如下A=“第一次掷得偶数”，B=“第二次掷得奇数”，C=“两次都掷得奇数或偶数”。证明A,B,C两两独立,但不满足等式P(ABC)=P(A)P(B)P(C),9,证明:容易算出P(A)=1/2,P(B)=1/2,P(C)=1/2,P(AB)=1/4,P(AC)=1/4,P(BC)=1/4,P(ABC)=0.,从而具有等式P(AB)=P(A)P(B);P(AC)=P(A)P(C);P(BC)=P(B)P(C)所以A,B,C两两独立.容易看出P(ABC)=0P(A)P(B)P(C),10,注意,三个事件相互独立,三个事件两两相互独立,4.三事件相互独立的概念,11,n个事件相互独立,n个事件两两相互独立,推广,注意，在上式中包含的等式总数为,12,证明,二、几个重要定理,13,证明,14,又因为A、B相互独立,所以有,15,（1）若A1,A2,An相互独立,则其中任意m个事件Ai1,Ai2,Aim相互独立（2mn）。（2）若A1，A2，An相互独立，则把其中任意m个事件换成各自的对立事件后构成的n个事件也相互独立（1mn）。注：若事件是独立的，则许多概率的计算可以大为简化，例如若A1，An相互独立，则A1，A2，An同时发生的概率为P(A1A2An)=P(A1)P(A2)P(An)。,性质,16,例2:若A1，A2，An相互独立，且P（Ai）=Pi，i=1,2,n,求A1,An这n个事件至少有一个发生的概率。解:所求的概率,17,解,事件B为“击落飞机”,三、例题讲解,18,19,例2甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人击中的概率分别为0.4,0.5,0.7,飞机被一人击中而被击落的概率为0.2,被两人击中而被击落的概率为0.6,若三人都击中飞机必定被击落,求飞机被击落的概率.,解,A,B,C分别表示甲、乙、丙击中飞机,20,21,因而,由全概率公式得飞机被击落的概率为,22,例3设某型号的高射炮,每门炮发射一发炮弹击中飞机的概率为0.6.现若干门炮同时发射一发炮弹,问欲以99%的把握击中来犯的一架敌机,至少需配置几门高射炮？,解：设n是以99%的概率击中敌机需配置的高射炮门数,记Ai=第i门炮击中敌机(i=1,2,n),A=敌机被击中.注意到A=A1A2An,A1,A2,An相互独立,于是要求n,使得P(A)=P(A1A2An)99%.,23,例4设某型号的高射炮,每门炮发射一发炮弹击中飞机的概率为0.6.现若干门炮同时发射一发炮弹,问欲以99%的把握击中来犯的一架敌机,至少需配置几门高射炮？,24,注意：这是关于系统可靠性的问题,其特点是确定元器件的个数,常用公式：,25,例4：电路系统的可靠性。如图，两个系统各有2n个元件，其中系统先串联后并联，系统先并联后串联。求两个系统的可靠性大小并加以比较。,系统,解：.设Ai表示第i个元件正常工作。P(A)：中第一条支路的可靠性，P(B)：中第二条支路的可靠性。所以AB表示正常工作（并联）,26,同理P(B)=rn所以P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=rn+rn-r2n=R,第一对元件可靠性P(A1B1)=P(A1)+P(B1)-P(A1)P(B1)=2r-r2，第二对元件的可靠性P(A2B2)=P(A2)+P(B2)-P(A2)P(B2)=2r-r2,27,第n对元件的可靠性P(AnBn)=P(An)+P(Bn)-P(An)P(Bn)=2r-r2于是R=r(2-r)n=rn(2-r)n比较大小.比较2-rn与(2-r)n的大小。显然:2-rn(2-r)n.,28,例5要验收一批（100件）乐器，验收方案如下：自该乐器中随机地取3件测试（设3件乐器的测试是相互独立的），如果3件中至少有一件在测试中被认为音色不纯，则这批乐器就被拒绝接收，设一件音色不纯的乐器经测试查出为音色不纯的概率为0.95；而一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯的概率为0.01，如果已知这100件乐器中恰有4件是音乐不纯的，试问这批乐器被接收的概率是多少？,29,解:设以Hi（i=0,1,2,3）表示事件“随机地取出3件乐器，其中恰有i件音色不纯”，H0,H1,H2,H3是的一个划分，以A表示事件“这批乐器被接收”。已知一件音色纯的乐器，经测试被认为音色纯的概率为0.99，而一件音色不纯的乐器，经测试被误认为音色纯的概率为0.05，并且3件乐器的测试是相互独立的，于是有,30,31,伯恩斯坦反例,例6一个均匀的正四面体，其第一面染成红色，第二面染成白色，第三面染成黑色，而第四面同时染上红、白、黑三种颜色.现以A，B，C分别记投一次四面体出现红、白、黑颜色朝下的事件，问A，B，C是否相互独立?,解,由于在四面体中红、白、黑分别出现两面，,因此,又由题意知,32,故有,因此A，B，C不相互独立.,则三事件A,B,C两两独立.,由于,33,例7同时抛掷一对骰子,共抛两次,求两次所得点数分别为7与11的概率.,解,事件A为两次所得点数分别为7与11.,则有,34,解,“甲甲”,“乙甲甲”,“甲乙甲”;,35,“甲乙甲甲”,“乙甲甲甲”,“甲甲乙甲”;,36,37,四、小结,38,第六节贝努利概型,考虑一个简单的试验，它只出现（或只考虑）两种结果，如某产品抽样检查得合格或不合格，射击命中或不命中，试验成功或失败，发报机发出信号0或1。掷一次骰子点数“6”是否出现。一般地，试验E只有两种结果A和A,而P(A)=p（0p1）,则称E为贝努利试验或贝努利概型。,39,设E为贝努利试验，将E独立地重复进行n次，（这里的“重复”是指试验E在相同条件下进行）而且每次试验中结果A出现的概率保持不变。我们把这n次独立重复贝努利试验总起来看成一个试验，称这种试验叫n重贝努利试验。总之，n重贝努利试验有下面四个约定：（1）每次试验的结果只能是两个可能的结果A和A之一,（2）A在每次试验中出现的概率p保持不变,（3）各次试验相互独立,（4）共进行了n次.,40,定理对于n重贝努利试验，事件A在n次试验中出现k次的概率为,证明：由n重贝努利试验，事件A在某指定的k次试验中出现，而在其余n-k次试中不出现的概率为pk(1-p)n-k=pkqn-k,由于恰好是展开式(p+q)n中的第k项，所以常称为二项概率公式。,而在n次试验中事件A发生k次共有Cnk种不同情况，对应的事件为互不相容的，由概率的可加性,41,例1:对某种药物的疗效进行研究，假定这药对某种疾病的治愈率0.8，现有10个人患此病的病人同时服用此药，求其中至少有6个病人治愈的概率。解:假定“病人服用此药后治愈”为事件A，按题意P(A)=0.8，,10人同时服用此药可视为10重贝努利试验，因而由公式所求的概率为,42,例2:某厂生产的过程中出现次品的概率为0.003，求在该厂生产的1000件产品中恰好有10件次品的概率。解:设A表示事件“该厂生产的一件产品为次