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第二篇最优控制理论习题答案： 2-1、求通过 x(0)=1，x(1)=2，并使性能指标 1 2 0 (1)Jxdt=+ &为最小的曲线 x(t)。 解：本题属于无约束(无状态方程约束)，始端和终端均固定的泛函极值问题，可用变分法求解。 被积函数 2 1,0,2 ,2 LLdL Lxxx xxdtx =+= & & 代入欧拉方程 0 LdL xdtx = & , 得20 x =&, 即0 x =& 1 xc=&, 12 xctc=+ (通解形式) 由边界条件 2 12 (0)1 (1)2 xc xcc = =+= , 解之，得 1 2 1 1 c c = = 故最优轨线为 *( ) 1x tt= + 2-2、求一阶系统( )( ), (0)1x tu tx=&，当性能指标为 1 22 0 1 () 2 Jxudt=+ 取最小值时的最优控 制与最优轨线。 解：本题属于有约束，始端固定；终端时间 f t固定，() f x t自由，控制u无限制的泛函极值问题， 可用变分法求解。 构造哈密顿函数 2222 11 () () 22 HxuuLxu=+=+注： 协态方程 H x x = = & , 即x= & 极值条件/控制方程 0 H u u =+= , 即u= 由系统的状态方程 xu=&及式，,xx= = & & 由式及式，得 xx=& 故 12 ( ) tt x tc ec e=+ 12 ( )( ) tt tx tc ec e = = +& 代入边界条件 1 1212 (0)1(1)0 , (1)(0) x ccc ec e = +=+= , 终端横截条件 () f t f x t = 得 12 0.12,0.88cc= 最优轨线 *( ) 0.120.88 tt x tee=+ 最优控制 *( ) 0.120.88 tt u tee= 2-5、有一开环系统，包含放大倍数为4的放大器和一个积分环节。现加入输入u(t)， 要将系统从t=0时的x0转移 到t=T时的xT，并使性能泛函 22 0 (4) T Jxudt=+ 达到最小值，试求输入的控制 u(t)。 解：本题属于有约束，始端和终端均固定的情况。 由题意：4xu=& 0 (0)xx= ( ) T x Tx= 构造哈密顿函数： 22 44Hxuu=+ 2 H x x = = & 即 2x= & （1） 840 H u u =+= 即 2u= （2） 由4xu=&及（1） （2）两式，得： 4xx=& 22 12 ( ) tt x tc ec e=+ 代入边界条件 120 22 12 (0) ( ) TT T xccx x Tc ec ex =+= =+= 解方程组得： 2 0 1 22 T T TT xx e c ee = , 2 0 2 22 T T TT xx e c ee + = 22 *22 00 2222 ( ) TT tt TT TTTT xx exx e x tee eeee + =+ 22 *22 00 2222 1 ( )( ) 42()2() TT tt TT TTTT xx exx e u tx tee eeee =+ & 2-8、设二阶系统状态方程为 1121 , xxuxx= +=&， x1(0)=1，x2(0)=0，1u ，终端 x(tf)自由。 试确定最优控制 u(t) ,使下列性能指标J= x2(1) 取最小值。 解：本题为控制受限制； f t给定，( ) f x t自由；末值型性能指标的最优控制问题，可用最小值 4 s x u 原理求解。 令 112 1 ()Hxux=+， 2(1) x=， 1122 12 , 0 HH xx = = = & ， 故 1121 = & 112 t cec=+ 22 c= 由横截条件 12 12 (1)0,(1)1 (1)(1)xx = 那么 12 0cec+=， 2 1,c = 1 1 ce= 所以 1 1( ) 1 t te = 由极值条件*min u HH =得 1 *( )sgn( )utt= 不难发现， 1 1(0) 10e = ， 1(1) 0= 即 1 1( ) 10,0,1) t tet = 故最优控制*( )1,0,1)utt= 2-9、设线性系统为( )( ), (0)1x tu tx=&性能指标为 22 0 ()Jxudt =+ 试求最优控制 u(t) ,使性 能指标 J 取最小值。 解：本题属于线性定常系统状态调节器问题， 由系统状态方程及性能指标 0,1,1,1ABQR= 代入 Riccati 代数方程 1 0 001 1 110 TT KAA KKBR B KQ KKKK += + = 1 s 1 ( )x t ( )u t 故1K = 取1K = 最优控制 *1 ( )( )( ) T u