（物理化学专业论文）环境涨落和拓扑无序对非线性动力学行为调控作用的研究.pdf

摘要 近些年来，随着计算机技术的发展，人们开始得以理解和模拟出许多过去无 从下手的复杂现象，从随机与结构共存的湍流图像，到自然界中各种图样花纹的 选择与生长，都展现出其内在的规律。非线性动力学研究的f 是这些非线性耦合 到一起的大量单元或子系统的空间组织或时空过程。这一类过程对物理，化学 乃至生命科学的研究郊非常重要。这些动力学过程，许多都是在远离平衡条件下 进行的非平衡非线性过程，它们往往表现出丰富的时空有序结构或非线性动力学 行为。如果我们将这些非线性动力学行为简称为“非线性态”，那么研究动力学 体系的调控就是研究这些非线性态的性质及其非线性态之间相互转变的规律，以 及刘+ 非线性态实施有效控制的途径。 自然界对动力学系统的调控是自发有效的。最近的研究表明，各种各样的随 机因素( r a n d o m n e s s ) ，如随机力和无序等对远离平衡的动力学系统形成，发展， 调控都起着决定性的作用。这些随机因素与动力学体系的相互作用，会导致形成 系列的复杂的时空动力学“有序”。如何理解这些有序的产生过程，以及调控 的机理，是一个非常蕈要的前沿课题。本论文尝试以化学和生命体系为主要研究 对象，研究了两种重要的随机因素：环境涨落( e n v i r o 衄e mn u c t u a t i o n ) 和拓扑 无序( t o p o l o g i c a ld i s o r d e r ) 对非线性动力学行为调控作用。 环境涨落对非线性动力学行为的调控作用 通常人们认为环境的涨落( 包括内环境和外环境) 起着消极作用，但是，研 究表明，环境涨落在非线性体系形成时空有序结构时候能起非常重要的作用，我 们针对化学体系，着重研究了不同性质噪声作用下的动力学行为，将重点放在了 噪声诱导的振荡以及出现的内信号随机共振上。针对生命体系，我们研究了巧i 同 来源的涨落同时作用在体系时的动力学行为，鉴于化学体系和生命体系中存在着 丰富的动力学行为，所以针对这两类体系的研究将有助于揭示内随机共振的本质 和歼展内随机共振的应用研究。 拓扑无序对非线性动力学行为的调控作用 许多复杂体系都可以看成是由大量的动力学单元按照一定的方式耦合形成， 耦合体系的动力学行为的研究一直是非线性科学的一个前沿。近年来的实验和理 论研究表明，大多数实际体系的耦合方式是处在完全规则和完全混乱之间的一种 耦合方式。可以断定，耦合方式，即体系的耦合拓扑结构，一定会对体系的动力 学行为，功能的完成有很大的影响。拓扑无序是不是会和环境涨落一样，在 定 条件下，对体系的动力学行为有积极作用呢? 我们的研究表明，答案是肯定的。 我们发现拓扑无序可以改变体系的动力学行为，可以增强相干信号在体系中的传 播，增强体系的集体行为，更有效使体系达到同步态。 最后我们对结果作了总结，并对今后的研究工作做了展望。 a b s t r a c t i nr e c e n t y e a r s ， w i t hm ep m 掣e s so fc o m p u t e rt e c l l l l o l o g y w eb e g i nt o u n d e r s t a n da n ds i m u l a t es om a n yc o m p l e xp h e n o m e n at 1 1 a ta r e s oc o m p l i c a t e dt o p e o p l ei np a s t f r o mt h et u r b u l e n c ep a t t e mw i mt h es t o c h a s t i ca 1 1 ds n l j c t u r e ，t ot h e s e l e c t i o na n dg m w i n go fp a n e m si nn a t u r e ，a us h o wi n t r i n s i cm l e s n o n l i n e a r d y n a m i c si si m e r d i s c i p l i n a r ys c i e n c ew h o s er e s e a r c ho b j e c t sa r es p 撕a 1o r g a n i z i n g a n d s p a t i o t e m p o r a lp r o c e s so fs y s t e m sc o n s i s t e do fm a l l yn o n l i n e a rc o u p l i n ge l e m e n t s o rs u b s y s t e m s t h e s en o n l i n e a ra n dn o n e q u i l i b r i 啪 p r o c e s s e s a r eo fg r e a t i m p o n a n c ei nc h e m i s t p h y s i c sa n db i o l o g ys t u d i e s t h e ya l w a ”ss h o wa b u n d a n t s p a t i o t e m p o r a ls t n l c t u r e sa n dl o t so fn o n l i n e a rb e h a v i o r s i fw ec a 儿t h e s en o n l i n e a r b e h a v i o r sa sn o n l i n e a rs t a t e s ，i n v e s t 培a t i n gt h er e g u l a t i o no nn o n l i n e a rd y n a m i c si st o i n v e s t i g a t et h ep m p e r t i e so ft 1 1 e s en o n l i n e a rs t a t e s ，t r a n s i t i o nm l e sb e t w e e nl h e s e n o n l i n e a rs t a t e s ，a n dh o wt oc o n 仃d lt h e s es t a t e se f r e c t i v e l y c o n t m l l i n gd y n a m i c a ls y s t e mi ss p o m a n e o u sa j l de f 托c t i v ei nn a t u r e r e c e n t r e s e a r c hs h o w s ：v a r i o u sr a n d o m e s s ，s u c ha ss t o c h a s t i cf o r c ea n dd i s o r d e r e d ，a r e d e t e m 订n a t i v et of o m l i n g ，d e v e l o p m e n t ，a 1 1 dr e g u l a t i o no fd y n a m i c a ls y s t e mf a rf 而m e q u i l i b r i u m t h e s er a n d o m n e s si n t e m c tw “hd y n a m i c a ls y s t e m si nd m e r e n tw a y sw i l i p r o d u c ea1 0 to fc o m p l e xs p a t i o t e n l p o r a lo r d e lh o w t ou n d e rt h ep r o d u c to ft h e s e o f d e lh o wt oc o n t r o it h e s eo r d e ra r eo fg r e a ti m p o n a n c ei nn o n l i n e a rs c i e n c ea n d h a v eg a i n e dg m w i n ga t t e n t i o ni nr e c e n t l yy e a r s h 1t h i sd i s s e n a t i o n ，w eh a v es t u d i e d t w ok i n d so fr a n d o m n e s s ：e n v i r o n m e n tn u c t u a t i o na n dt o p o l o g i c a ld i s o r d e r se f r e c t o nr e g u l a t i o no fn o n l i n e a rd ”锄i c s r e g u l a t i n ge f f e c t so fe n v i r o n m e n tn u c t u a t i o no nn o n l i n e a rd y n a m i c s e n v i r o n m e n tf l u c t u a t i o ni su s u a l l yc o n s i d e r e dt h ee n e m yd fo r d e r h o w e v e r ， r e c e n ti n v e s t i g a t i o n sh a ss h o w nt h a te n v i r o n m e n tn u c t u a t i o nc a np l a yc o n s t r u c t i v e r o l ei nf o m l i n gs p a t i o t e m p o r a lo r d e lw eh a v ei n v e s t i g a t e dt h ed y n a m i c so fs y s t e m u n d e rb o t hw h i t en o i s ea n dc o l o r e dn o i s e ，f o c u s i n go nt h en l c oa n di s s ri n c h e m i c a ls y s t e m i n1 i v i n gs y s t e m s ，w ei n v e s t i g a t e dn i c oa n di s s rw i t hd i f k r e n t 4 n o i s es o u r c es i n c ec h e m i c a la n d1 i v i n gs y s t e m so r e no c c u rf 缸f b me q u i l i b r i u ma n d s h o wr i c hc o m p l e xn o n l i n e a rb e h a v i o r s ，i ti se x p e c t e dt h ei s s ri nt h e s es y s t e m si s r o b u s t w eh o l dt h a ti n v e s t 培a t i o n si nt h e s es y s t e m sa r eh e l p f u lf o rp e o p l et o u n d e r s t a n dm em e c h a n i s mo fi n t e m a ls i 龃a ls ra 1 1 d 印p l yi ti nm ef u t u r e r e g u l a t i n ge f f 色c t so ft o p o i o g i c a ld i s o r d e ro nn o n l i n e a rd y n a m i c s s om a n yc o m p l e xs y s t e m sc a i lb es e e na sn e m o r kc o n s i s t e dw i t hm a n y d y n a m i c a le l e m e n t so 矗c e r t a i nc o u p l i n gp a t t e m ni saf 而n to fn o n l i n e a rs c i e n c et o i n v e s t i g a t ec o u p l i n gs y s t e m s r e c e n t l ye x p e r i m e n t a la n dt h e o r e t i c a jr e s e a r c h e ss h o w ： t h ec o u p l i n gp a t t e mi nr e a ls y s t e mi sn e i t h e rr e g u l a rn o rc o m p l e t e l yr a n d o m ，i ti s b e t w e e nt h e s et w o t h ec o u p l i n gp a t t e mo fas y s t e mm u s ta f r e c ti t sd y n a m i c s i ti s n a t u r a lt oa s kw h e t h e rt o p 0 1 0 百c a ld i s o r d e ri ss i m i l a rw i t he n v i r o n m e n tn u c t u a t i o n t h a tw i l lb ec o n s t r u c t i v em l et od y n 枷i c a lb e h a v i o r s o u rr e s e a r c hs h o w st h ea n s w e r i sp o s m v e w ef o u n dm a tt o p 0 1 0 9 i c a ld i s o r d e rc a i l c h a n g ed y n 锄i c a lb e h a v i o r s ， e n h a n c ep r o p a g a t i o no fc o h e r e n ts i g n a l ，e n h a n c es y s t e m s c 0 1 1 e c t i v eb e h a v i o la 1 1 d m a l ( es y s t e mr e a c hs y n c l l r o n o u ss t a t em o r ee f 艳c t i v e ly _ f i n a l l y ，w es a r i z et h em a i nc o n 试b u t i o n sa 1 1 dr e s u l t so ft h ed i s s e r t a t i o nw e a l s oo u t l o o kt h ef u t u r ew o r k 5 作者简介 祁丰， 男，1 9 7 5 年1 0 月生于江苏省南京市，1 9 9 4 年考入 中国科学技术大学材料科学与工程系( 后改名为高分子科学与工 程系) ，专业高分子物理，1 9 9 8 年获得高分子物理工科学士学位， 1 9 9 7 年起进入电子科学与技术系攻读第二学位，1 9 9 9 年获得计 算机应用专业工科学士学位，1 9 9 8 年9 月免试推荐为辛厚文教 授的硕博连读研究生，就读于化学物理系，攻读物理化学专业博 士学位，主要研究方向为非线性化学。 在读期间，1 9 9 8 年获得“光华”奖学金，2 0 0 1 年获得“中 国科学院”奖学金，2 0 0 2 年获得“求是”研究生奖学金。在辛 厚文教授的指导下，顺利完成了博士论文“环境涨落和拓扑无序 对非线性动力学行为调控作用的研究”，在国内外著名杂志发表 多篇论文。 第一章非线性动力系统概述 第一章 非线性动力学概述 人们已经知道，在热力学平衡念附近，流( f l u x e s ) 和驱动力之间满足线性 的关系：即著名的昂萨格关系。但在远离平衡态时，这种关系可以是非线性的； 这种非线性会导致形成一系列复杂的时间和空间的动力学斑图，即普罩高津所称 的耗散结构，例如振荡，混沌，螺旋波和湍流等等。本章首先就一些非线性动力 学的基本概念作简单介绍。并对非线性动力学的随机理论进行说明。详细的理论， 概念和方法可以参阅有关著作“1 。 第一章非线性动力系统概述 第一节非线性动力学分析方法 本1 ，土要简要介2 f j 非线性动力学的宏观确定性理论的一些基本概念和方法，详细的理 论，概念和方法可以参阅有关著作“”。 极限集：不考虑系统空间的不均匀性时，体系的时间演化行为可以用如r 的常微分方稗 f = 1 ，2 n ( 1 1 1 ) 对丁复杂体系来说，( 1 11 ) 右边的一般是( x ，z ：，x 。) 的非线性函数，这时候可以将方 样组( 111 ) 称为1 r 线性动力系统，当方程的右端不显含时间变量时，系统称为自治系统， 否则称为非自治系统。通过上述方程组的求解，可以确定系统的各种宏观行为，因此这类方 程纲义被称为1 线性动力系统的宏观确定性方程，其中向量x 是状态变毒；：，其分昔的个数 为相空间的维数，等式的右端义可以看成一可微向量场：控制参量的p 的集合构成了一个女 维的参量空间。在一个复杂系统中，可能有很多控制参最，但通常只有为数很少的参茸起决 定作心，冈此一般p 的个数不大于3 。当控制参量受到周期扰动时，系统即是典型的1 f 白治 的。要想了解体系随时间的演化行为最好是求出方程的解析解但是对于大多数非线性微 分方料组来说，这点很难做到。不过，我们通常关心的只是系统的长时间演化行为，即当时 间趋丁无穷人时，方稃组( 111 ) 的定态解及其稳定性的问题。研究类似上述微分方科细 的解及其稳定性雨f 其他性质的科学被成为非线性动力学。在l y a p o u n o y 的稳定性理论中，首 先引入了微分方程的稳定性理论概念。一般我们可以用线性稳定性分析方法米判断定态解的 稳定性。这种方法的主要思想是，在方程组的定态解的小邻域，将非线性方程组线性化，j 4 | 线性微分方程纲来研究定态解对无穷小扰动的稳定性。我们称系统的某个定态解是稳定的， 是指系统住内外扰动r 偏离此解表征的状态以后，它仍然能自动返同该状态，即系统可以k 期稳定地处r 该状态，或至少不同偏离该状态太远。反之，如果系统在扰动r 一口稍许偏离 该状态，就再也不能返同，我们称这个定态解是不稳定的。 当时间趋r 无穷人时，方程组( 1 1 1 ) 的解会趋近丁所谓的“极限集”。按照它附近轨 道的分布方式，可以将极限集进行分类。若轨道在某个相空间的方向上流入一个极限集，则 它在这个方向上是稳定的，否则它在该方向上是不稳定的。若极限集在所有方向上都是稳定 的，i i | j 称该极限集为“吸引子”；若在所有方向上都不稳定，则称为“排斥子”；若极限集在 2 一 以墨 ( 正 l i 出一击 述描米缃 第一章非线性动力系统概述 一些方向上稳定而在其他方向上不稳定，则它是“鞍点”型的。不稳定的极限集在实验上 是观测不剑的，但可以根据观测到的稳定极限集的特征或不同初始状态f 暂态轨道的特征推 断出米。r 面对常见的极限集作进一步的描述。 ( a ) 不动点，它是线性向量场存在的唯一极限集。在相空间中，是方程组( 1 1 1 ) 右边 同时为零的点，也被称为奇点或不动点，奇点就是微分方程组的定态解。通过稳定性分析， 可以得剑四类奇点，稳定或不稳定节点，稳定或不稳定焦点，鞍点和中心点。这些分类是根 据不动点附近，向靖场的雅各比矩阵的特征值来分类的。其中节点的特征值都是实数，其中 稳定节点的特征值都小丁0 ，不稳定节点都大于o ；焦点的特征值是两个共轭的复数，当其 实部小丁o 时，是稳定的，否则是不稳定的；而鞍点的特征值的实部有人于0 的也有小丁。 的。稳定焦点的周闱有绕进的螺旋轨道，而不稳定焦点周围螺旋轨道是绕出的。在更高维的 相空间中，可以有组合型的不动点，如鞍一焦点：有直线轨道流入，但有螺旋轨道流出。如 果在同个控制参罐f ，同时存在两个或多个稳定的不动点，则系统是双稳或多稳的；由丁 向鲑场的连续性，这些稳定态之间必定存在鞍点的稳定流形，它将流向一个稳定态的轨道和 流向另一个稳定态的轨道分开。因此，鞍点在向量流形的分布上起重要作用它可以由对这 种轨道流的影响上推断出来。 ( h ) 极限环，描述了周期振荡的状态，它在相空间形成了一个闭合的曲线。州一个n 一1 维的超平面来截相空间，可以得到庞加来截面。体系的动力学可以由轨道穿越庞加来截面的 行为来描述，从而将n 维的相空间流约化为n l 维映射：x = g ( x ，) 该映射f 的不动 点就是简单的极限环：g 0 ，) = 工，g ，表示进行m 次叠代。极限环可以是谐波或是弛豫 波笛。极限环的概念在研究时空有序现象中具有重要的意义，因为它可以用来模拟某些稳定 而持久的周期振荡现象。 ( c ) 混模振荡，指的是不同周期模的混合结构，它不同于多周期极限环，因为它的周期 性必须由十分复杂的交替变化的大小振荡序列来描述，并且它们也来自于不同的分叉行为。 ( d ) 准周期，指的是具有两个不可公约的周期的振荡。吸引子中的轨道是致密的，它嗣 绕个：维环面，其庞加米截面是一条闭合曲线。 ， ( e ) 混沌( 奇怪) 吸引子，混沌是一种对初值高度敏感的非周期运动。任意靠近的初始 轨道最后都将指数分开，尽管描述运动的方程是完全确定的，但运动却显的很随机。区别混 沌序列和复杂的周期序列及完全随机的噪声序列可以有很多方法：大部分方法都是估计初始 轨道信息丢火的速度，如k 0 1 m o g o r o v 熵和l y a p u n 。v 指数等等。混沌可以有特定的分义过科 3 笫一章非线性动力系统概述 产生，如倍周期分义等。通常在实验上观测到这种分叉序列，即意味着存在有混沌吸引子。 事实上，系统除了包括状态变量外，还包括控制参量，他代表外界环境对系统的控制条 什，上面对方稃纲( 1 1 1 ) 的稳定性说明，是在假定系统的控制参量不变的前提下进行的。 剥含有控制参颦的1 f 线性动力系统：通常控制参量的变化会影响方程组定态解的数目及稳定 性。当控制参耸连续变化并通过临界值时，如果系统的定性状态突然发生变化，则称系统在 此临界值出现分叉( b i f u r c a t i o n ) 。发生分叉所需状态变量的最小数目称为分义的嵌入维： 而所需改变的控制参量的最小数目称为分叉的余维数( c o d i m e n s i o n ) ，通常余维数不人丁3 。 分义附近的动力学行为是普适的，即它不依赖于体系动力学行为的细节。局域分义特性可以 由不动点附近线性化雅各比矩阵的特征值的变化来描述。对于动力系统，当雅各比矩阵的特 祉值的实部变为o 时，不动点的稳定性发生了改变，即发生了分义；而对于映射，其雅各比 矩阵特征值通常称为弗洛克因子，当其模变成1 时，分叉发生。常见的分义有：鞍1 ，点分义： 个稳定点和一个鞍点相互碰撞并消失；例如在有滞后的双稳体系中，即发生鞍h 点分义。 o p f 分义：焦点改变稳定性，生成一个极限环。若生成的极限环是稳定的，成为超临界h o p 分义，否则成为次临界h o p f 分义。超临界h o p f 分叉是从不动点中生成极限环的最常见的方 式，随着控制参蛄离分义点越来越远，极限环的振幅越来越大。 极限环也能发生类似的分叉行为：鞍点型极限环和节点犁极限环相互碰撞澄灭，即周期 轨道鞍1 ，点分义( s p n ) ，或发生二次h o p f 分叉，极限环改变稳定性，生成一个环面。由丁 峡射的分义发生住弗洛免网子模为l 的时候，它还有一种动力系统没有的分义行为：倍周鳓 分义。 余维数为2 的分义行为也很多。常见的有尖点分义( c u p s ) ：当s 形滞后曲线的两个s n 分义点重合时，即发生了尖点分义；当然这种重合是在改变另一个控制参簧时出现的。其他 还有一些特殊类硝的分义彳亍为，详细的内容可以查阅有关文献剐专著。 一般的，对方程组( 11 1 ) 中的向量场的要求只是连续可微的。当对丁实际的化学体 系，还有其它的约束条件，例如所有的状态参量和控制参量都是非负数。虽然几乎所有的化 学反应动力学方程都是j i 线性的，但要出现多稳态或是振荡，必须引入新的特征，例如反馈 机制。戍_ 【+ j 分义理论可以对机理的研究有所帮助，冈为发生特定的分义对机理有一定的要求。 在建立复杂的机理室，分义理论可以帮助找出：哪些变量对分义行为是必须的；以及为了得 剑更复杂的分义行为，义必须进一步考虑哪些新的变量。应该指出，化学体系中状态变鼙的 数目往往比分义的嵌入维数大。例如，实际的单组分体系不会出现烈稳态，而必须和另一种 纲分相互作川，但鞍1 ，点分义实际上只需要一维的相空间。大致说米，化学网络中出现火稳 4 一笙二垩韭垡堡垫查墨簦塑垄 必须要求强的或是临界的白催化过程存在，而出现振荡，还需要一个负反馈过程。两个这样 的反馈循环可以导致多周期和混模振荡；而一个网络中存在多个自催化过群时，更复杂的动 力学行为，例如混沌，就可能出现。当体系的变量还包含有位置函数时候，就出现了复杂时 空有序结构。我们将在r1 ，讨论动力学体系中的时空有序结构。 5 第一章非线性动力系统概述 第二节时空有序结构 时空有序结构，也可以称为花样或斑图( p a t t e r n ) ，在近几十年来，引起人们越米越人 的注意力”“。1 | 线性动力学体系在空间扩展的意义上，便出现了丰富而复杂的图形，研究 这些倒形山现的规律，对应结构的特征和稳定性，不同图形之间相互转变的规律，已经形成 了一j 独立的学科，斑图动力学。它的研究领域涉及物理，化学，生物，生态等各个方面。 从宏观到微观，从单一个体到集体行为，斑图在自然界无处不在。斑图动力学探索各种系统 之间共同存在的，具有普遍指导意义的斑图形成的基本规律。目前，斑剧动力学理论雨实验 的研究对象，主要是流体中的瑞利一贝纳德系统，非线性光学系统，反应扩散系统及振荡沙 龠系统。前二类的时空有序结构，人们已经对它们形成的具体机制有了系统的了解，后一类 还只有一些阶段性成果，没有统一的理论。斑图就是在空间和时间上具有某种规律性的1 | 均 匀宏观结构。自然界中存在的斑图可以分成两类，一类是在热力学平衡态条什f 形成的，如 品体的结构等等：男一类姓在远离热力学平衡条件f 形成的，如天上的云，动物体表的花纹 筲。对丁前一类斑幽，人们对他们的形成机理己经有了比较系统深入的了解。这类斑幽的形 成可以川平衡态热力学及统计物理原理解释。我们这里主要谈到的是后一类斑图，就1 e 线性 动力系统中形成产生的各种时空有序结构，这类结构的形成总是发生在远离热力学平衡态的 情况r ，能量最小原理形成空间有序结构的原理不再适用。人们需要从动力学角度对这类斑 幽形成的原冈及规律进行探讨。虽然不同体系表现出来的时空结构，无论在时空尺度上还 是在斑图形成的具体机制上，都是各不相同的，但它们在形态上都有一定的相似性。斑幽动 力学就是研究这些时空有序结构的自组织形成，选择，演化的动力学性质。 在远离平衡态的条件r ，系统均匀定态的动力学失稳与平衡相变之间有许多相似之处。 例如，两者在临界点附近都存在着巨涨落，即系统关联长度发散的情况；两者的动力学行为 存临界点都有临界慢化现象；相变时系统都发生斑图自组织过程，并伴随着一定的时空对称 性破缺。即相变前系统的时空对称性比相变后要高；系统的序参量在临界点附近有类似的临 界指数规律：等等。这些现象使人们利用分叉理论，来研究动力学体系问题，从而对远离平 衡的动力学系统中的i 临界行为做出明确的动力学分类。那么，对于1 f 线性动力系统中的时宅 有序结构的研究，重要的是抓住系统在i 临界点附近动力学行为的共性，即系统火稳时表现山 的时空对称性破缺，和1 由不同对称性破缺所规定的新的时空结构的臼组纵形成，选择，稳定 性，以及如何使州外加条仆调控这些时空结构的形成，发展，甚至是相互转变。 6 第一章非线性动力系统概述 时空有序结构的山现的核心仍然是非线性动力系统理论，对丁所有远离平衡态的时空有 j 托 构的形成，其动力学系统的非线性项都是起主导作用的。如果将这些动力学系统的1 ：线 性项忽略，时空有序结构就不复存在。一般来说，化学反应( 包括生命活动中的化学过料) 中的动力学问题人多数是1 f 线性问题。在远离平衡态情况下，非线性效应变成系统动力学行 为的土导冈素。这种前线性行为与系统的线性扩散行为耦合，可以使系统白发地产生箨种有 序或无序的时空结构。从数学角度讲，也就是将( 1 1 1 ) 方程组中的状态变鼙变成不仅仅 是时间的函数，而且与空间坐标也有依赖关系，那么演化方程就可以变成如r 反应扩散方程： 掣：d f v 2 x + e ( x ，声) ( 1 2 1 ) 研 其中d 为扩散系数，v2 为拉普拉斯算符。空间有序结构的出现，增加了体系的复杂性。值 得注意的是，反应扩散方程描述的是自然界运动的基本形式，它可以_ 【 j 来描述生态系统市的 捕食被捕食模删，物理系统的气体放电模型1 ，植物生长模裂1 ”，森林火：j c = 蔓延模叫1 。 等。， 有( 1 2 1 ) 可知，反应扩散方程中的扩散项为线性项。从数学的线性微分方程理论知 道一个线性微分方稃所规定的无穷大系统，不可能从一个空间均匀态白组织形成一个有序 的，1 f 均匀的渐近稳定结构。因此，时空存序结构的自组织形成要求方群的反应项是廿线性 的。由丁系统的动力学方程在热力学平衡态附近总可以近似看成是线性的。那么出现斑图的 白组织行为的第一个必要条件就是动力学体系必须远离热力学平衡态。另外，还可以证明， 支持出现时空结构的动力系统必须存在一个反馈回路，如自催化或反麻自阻滞过张。 化学动力学体系中的白组织的时空有序结构最早是在1 9 2 1 年步雷研究碘酸盐碘分子 系统催化舣氧水的分解时发现的”。在后来近五十年的时间里，这个反应中的周期振荡现象 还是彼人们认为是由丁反应中产生的氧气引起的。但是人们的普遍看法是，均匀态化学反应 中的振荡现象违反了热力学第一二定律。在1 9 5 1 年，前苏联的生物学家别洛鸟索夫在研究铈 离子催化r 溴酸盐氧化柠檬酸时又发现了化学振荡，他的发现一再被化学界否认。在1 9 6 0 年，另一何前苏联生物学家扎步亭斯基充实了别洛乌索夫的发现，他用一系列严谨的实验结 果，让明了化学振荡现象的客观存在。到7 0 年代，以普里高津为首的比利时步鲁塞尔物理 化学组，从理论上论证了化学振荡与化学波现象存在的可能性。他们指出，这类现象是系统 住远离平衡态条什r 产生的一种稳定的时空结构，并将其命名为耗散结构“i 。从理论上理解 动力系统的稳定时空结构山现的机制屙，人们在越来越多的动力学体系中发现了斑幽的存 扫。 第一章非线性动力系统概述 本文主要考虑的是，在存在环境涨落等随机因素的情况f ，动力系统中原有的时空有序 结构会有什么变化，这些随机因素对时空有序结构的形成过程产生什么样的影响。是破上1 、已 有的时空结构，还是形成新的时空结构。在现实条件下，环境涨落等各种随机因素是普遍存 在的，冈此，白然界中存在的时空结构必然是体系动力学和随机因素共同作用，相且影响的 结果。如何理解这些作_ 【_ 的机制，如何预言不同随机因素作用后的结果，随机因素如何使动 力系统的不同时空结构之间相互转变，是非线性科学中1 f 常重要的课题。 第一章非线性动力系统概述 第三节非线性动力系统随机理论 在第一1 ，中我”j 提剑的方程组( 1 11 ) 义可以称为动力系统的宏观确定性方程，通过 求解方科，可以确定系统的各种宏观行为，但当系统的控制条件越过分义点后，系统可以有 多种状态，宏观确定性方程不能给出系统选择某种特定状态的概率，也不能提供不同状态之 司跃迁的规律，这是冈为在宏观确定性方程中完全忽略了涨落的作用。另一个方面，对r 有 n 个臼由度的经典哈密顿系统，给定哈密顿量 h = 日( g ，p ) ( 1 3 1 ) 其中g 币p 分别代表正则坐标和动量，我们可以得到p ，q 满足的正则方程 型 ( 1 3 2 ) 田 若以p ( q ，p ) 代表相空间的点落在( g ，p ) 的概率密度，则描述轨道运动的止则方科( 132 ) 司以川描述概率密度演化的刘维方程来等效表示。原则上，在给定系统的初始动鼙干坐标或 初始概率分布斤，可以州哈密顿方程或刘维方程唯一的确定一条轨道或概率密度的演化过 科。如果能精确的解出止则方程或刘维方程，则系统的性质就一目了然。物理上i 将基丁止 川方科承l 刘维方 望描述动力系统的层次称为“微观”层次。对系统微观层次的描述，原则上 提供了系统演化的详细信息，但在实际应用的许多场合往往不现实。对丁人们感兴趣的宏观 体系，内部白由度1 r 常人，首先的困难就是我们不能详尽的掌握体系中每个粒子的初始条俐 即使知道了这些初始条件，严格的求解这么多联立的方程也是不实际的。实际问题中，我们 亓不需要去详细了解每个粒子的运动轨道信息，而感兴趣的只是这些众多粒子的集体行为表 现山米的宏观性质。那么只需要在宏观层次上对系统加以描述。我们可以把引起宏观变鼙演 化的原冈唯象的分成两个部分：一部分是持续对宏观变量的动力学起作_ l i j 的因素，由方榉组 ( 1 1 1 ) 表示，另一部分反映的是微观粒子对宏观变量的影响。它的变化时间尺度和宏观 延动相比要小的多，具有快速变化，随机的特性，将这类影响称为“随机力”，“噪卢”或“涨 落”。在很多情况r ，随机力的强度很小，并且又反映了微观运动对宏观域的杂乱无章的作 川，人们白然认为随机力对体系的宏观行为的影响是很小的，而且往往是起着消极破坏作j + j 。 但是，随机力对体系的演化行为可以产生重要影响，在体系形成时空有序结构中可以起积极 作川。 。 = 觑百 塑慨 i i 嘞百 第一章非线性动力系统概述 在宏观确定性方科中加入随机力米描述微观运动对宏观物理量演化的影响，就是对复尔 动力系统的介丁微观和宏观层次的介观层次的描述，又被称“随机层次”描述。与微观描述 相比，它的数学处理简单得多，而和宏观层次描述相比，它仍然只涉及n 个宏观变蟮，但通 过对随机力考虑了微观作的影响。事实上，随机力对系统行为的影响由其统计性质块定的 斤不涉及它具体的变化细1 7 。 上述的随机力是由系统内部动力学所导致的，因此又可以被称为“内噪声”，它的强度 止比丁l 万，对宏观体系来说往往比较小。噪声还有外部起源，来源于外界环境的干扰， 冈此称为外噪卢”，它不受体系尺寸影响。由控制参量涨落引发的噪声就是典氆的“外噪 声”。 1 r 线性动力学的随桃理论中，把宏观确定性理论中的n 个宏观变量都视为随机变量，如 果川p ( x ， ，f ) 表示随机变量取值为 x ， 的概率密度，随机理论最重要的就是确定这个概 率密度随时间演化的方程，在一定条件f ，它满足： 掣= 萎附( f ，沪咿化f ) ( 1 33 ) 其中，称为转移概率，通常把( 1 3 3 ) 成为主方程( m a 8 t e re q u a t i o n ) ，它是关丁| 概 率密度的常微分方程，主方程方法是随机理论方法之一，它通过将宏观变量视为随机变鼙从 而考虑进了涨落的作用。 当扫二宏观确定性方程中加入随机力时，摄早是刚丁朗之万对步朗运动的描述，冈此，这 样的方拌义被称为朗之万方科( l a n g e v i ne q u a t i o n ) 。通常情况r ，一维的朗之万方程可以 弓成如r 的形式： 窘_ ，( 卅出 ( 13 4 ) 其中# ( f ) 表示随机力，一般州噪声来代替，统计行为满足 = o ， 2 d 每( f l f 2 ) 2 d 是噪声的方莘，通常我们用_ d 来衡量噪声的强度。当g ( x ) = l 时候，噪卢与随机变 昔x 无关，这时称亏( ，) 为加性噪卢，加性噪声通常来源丁系统的内涨落。当g ( x ) 毡x 的某 种函数时，随机力的强度将随x 变化，这时善( f ) 就是乘性噪声，外噪声通常表现为乘性噪声 它是通过控制参量的随机性引入的。如上所述，通过引入随机力，可以把宏观动力学微分方 1 0 第一章非线性动力系统概述 科转变为l a n g e v i n 随机微分方程，通过求解l a n g e v i n 方程可以得到运动轨道的统计性质。 可以证明“1 ，这种随机理论方法和主方程有密切的关系，也就是说，由l a n g e v i n 方程，可 以推倒出随机变鼙概率密度所遵循的方程，如下所示： 至等一嘉+ 训嘲( 删时力+ 嚷她矿施力 ( 1 3 6 ) 这个方科就是福克一菏朗克方程( f o k k e r p l a n c ke q u a t i o n ：f p e ) 。它是关于概率密度的偏 微分方程。目前，人们利用福克一普朗克方程研究随机力对非线性系统的动力学行为的影响， 例如噪声诱导的1 平衡相变，随机共振等，都取得了满意的成果。 住平衡相变理论中，势函数的概念起着十分重要的作用，但对丁非平衡体系，只有当系 统符合细致平衡原理时，才可以建立其势函数形式。势函数的最人值( 最小值) 对麻r 体系 的不稳定( 稳定) 的非平衡态：考察势函数的拓扑结构随控制参量的变化，便可以了解体系 的分叉行为及相变特征。但当体系受到随机力的作用丽必须用l e 描述时，体系不会处在某 个稳定的相，状态参鼙会随机地取不同的值，因此不在有确定意义r 的相变。这种情况f ， 关键的问题是必须选择一个合适的物理量，以它的特征的变化来描述随机体系的“相变”： 这种描述在随机力趋r0 时必须包含有原有的确定性系统的相变内容，同时在随机力不为0 时，这中描述又能真止反应实验中观察到的突变现象。“随机势函数”便是满足这些条件的 物理茸，它的定义为： u 卯( x ) = 一d l n p “( x ) ( 1 37 ) 它描述的是随机变量x 的定态分布性质，它的极小值位于随机变域的最可儿值处，代表了体 系的一个稳定的相，它的拓扑性质的变化反应了体系的“相变”。 利_ l 随机势函数我们可以方便的讨论随机里对体系相变特征的影响，经过变换，我们可以得 剑： 吲沪一糍出捌蜘) l 。- s ， 可以发现，当占( z ) = 1 时，u ( z ) = u ( z ) ，因此对一维系统，加性噪卢升不能改变体系 的相变特征。对丁乘性噪声，u ( x ) 的极值点由r 式给出： 以) = 鬻一岩洲b ) _ d g 办) ( 1 & 9 ) 第一章非线性动力系统概述 叮址，住d 趋ro 时，所有的u o ) 的极大，极小值点都同样是u 。( x ) 的极人，极小值。 所以在噪声强度趋下。时，随机势函数u ”( 石) 可以包含确定性势函数描述的全部内容。当 噪声强度不为。时，( 1 3 9 ) 中第二项的引入必然使u ( x ) 的极值点不同丁u ( x ) 的极值 点。往噪卢强度远小丁l 的时候，这种变化仅仅表现在极值点位置或相变点的参数何置的小 移动，而不会根本改变确定性系统的相变性质。但当强度足够人时，( 1 3 9 ) 中的第一项将 可能使【，”( x ) 的相变特点和【，( 工) 根本不同，从而产生新的相变机制。另外，即使在噪声 强度很小，乃至升不能根本改变确定性系统的相变性质；但随机力本身具有奇异性时( 即 譬( x ) = 0 ，o 。在变量空间有解) ，小的随机力甚至能同时改变确定性系统的相的整体和局域稳 定性。通过这些分析可以看出，随机非线性动力学体系的相变特征可以非常不同于确定性体 系，随机力的存在能够导致相变点位置的移动，能够使体系从一个相( 非平衡定态) 跃迁到 另一个1 f 平衡定态( 冈为改变了相的相对稳定性) ，甚至能诱导体系产生出新的相( 时空有 序结构) ，这些行为冈此被称为“噪声诱导相变”。本文主要研究的内容就是这些随机冈索利 h 类似“噪卢诱导相变”的机制达到控制体系动力学行为的目的。 上面曾经指出，对一维系统而言，加性噪卢不能影响系统的相变特征；但当改变系统的 维数或噪声的性质时候，。加性噪卢也能够引起相变。如一维的色噪声系统或_ 二维的加性噪声 系统：对更高维的系统，甚至是无穷维的时空动力学体系，噪卢诱导山来的行为就更丰富了。 当然，这里需要注意的是，在这种情况下，从理论上来预测和描述体系动力学行为是比较幽 雉的，冈此通常我们采_ l 的都是数值模拟的方法，结合实验l ：作，来研究随机因素诱导的时 空有序结构的特性。从而最终达到更好调控非线性动力系统的目的。 第一章非线性动力系统概述 第四节非线性动力学调控研究概述 随着理论研究的发展，人们运用了一系列的工具，可以对各种各样的动力学系统进行分 析，找剑其中的规律。人们想要理解动力系统运转规律的一个重要目的就是想要调控它们 让它们发挥不同的功能，产生不同的应用。因此，人们开始尝试着使用各种方法来凋控动力 学系统。可以说，从1 f 线性科学发展以来，尝试调控非线性动力学的研究就一直没有中断过。 为了达到不同类型的调控的目的，人们使用了各种方法，各种数学r 具，在理论和实验上都 得剑了许多有意义的结果，有许多已经在实际工程上得到了广泛的应用。详细的可以参阅有 关的著作【”1 ”。我们这里仅作一个简单的介绍。 晟初的1 | 线性动力学控制的研究是从如何有效，简单的控制混沌开始的。由丁自然界中 混沌现象的广泛出现，混沌的调控就成为一个很实际的课题，不仅在理论上，而且在实际i 群上，混沌动力系统的调控都是十分重要的问题。混沌的控制有两个主要方向，一是止混沌 系统住某种调控作_ l jr ，不再山现出混沌的时间序列，而是根据需要，拣出指定周期的状态 参餐的运动序州，也就是说，在对相空间进行调制，使奇怪吸引子变成类似极限环的结构， 或是混模振荡的结构。这当中人们研究比较透彻的有目标轨道跟踪法，延时反馈法，周期力 驱动法等等。另一个重要的方向是让混沌系统同步起来，这在保密通讯，l ：秽应用上都十分 重要，相应的方法和l ：具也很多，这里也不详细介绍了，详细的内容和研究进展可以参