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1 泛函分析期中复习题 第七章 一. 度量空间的概念. 1. 判断正误. (1) 度量空间中任意有界序列有收敛子列. () (2) a,b 上的多项式函数空间 Pa,b 在度量 d(x(t),y(t) = maxta,b|x(t) y(t)| 下是 Ca,b 中的闭集. () 2. 在实数 R2上, 对 x = (x1,x2), y = (y1,y2), 令 d(x,y) = (x1 y1)2+ (x2 y2)2)p, 当 p 为何值时, (R2,d) 是度量空间. 3. 若 (X,d) 是度量空间, 证明 d1= min(d,1), d2= d 1+d 也是 X 上的 度量. 二. 可分性. 1. 判断正误. (1) 连续函数空间 Ca,b 是可分的. () (2) a,b 上的多项式函数空间 Pa,b 在度量 d(x(t),y(t) = maxta,b|x(t) y(t)| 下可分. () 2. 证明: lp(1 p ) 是可分空间. 三. 连续性. 1. 判断正误. (1) T 是度量空间 X 到度量空间 Y 的连续映射, 则 T 把开集映射为开 2 集. () (2) T 是度量空间 X 到度量空间 Y 的连续映射, 则 T 把闭集映射为闭 集. () 四. 完备性. 1. 判断正误. (1) 完备度量空间的闭子空间完备. () (2) 任意度量空间可以完备化. () (3) 在实数 R 上定义度量 d. 如果从 (R,d) 到任意度量空间的任意函数 都是连续的, 则 (R,d) 完备. () (4) a,b 上的多项式函数空间 Pa,b 在度量 d(x(t),y(t) = maxta,b|x(t) y(t)| 下完备. () 2. 证明: 有界数列集合组成的空间 l是完备的. 3. 记 C(a,b) 是闭区间 a,b 上连续函数全体构成的集合, 在 C(a,b) 上定义距离如下: d1(f,g) = b a |f(x) g(x)|dx,f,g C(a,b), C(a,b) 按 d1是否完备? 4. 设 X = 0 为线性赋范空间, 试证 X 是 Banach 空间当且仅当单位 球面 x X : |x| = 1 是完备的. 3 五. 压缩映射原理. 1. 填空. (1) 设正数列 xn 对任意 n 1 满足 xn+1= 2 + x n, 则 limnxn= . 2. 在 C0,b 上定义算子 T 为 T(f)(x) = maxu(F(x) y) + f(y) : y 0,F(x), 其中 u(x) 和 F(x) 都是连续有界函数, 0 1. 求证 T 有唯一不动 点. 3. 设 | 1, 考虑 C0,1 上的积分方程 x(s) = 1 0 sinx(t)dt + y(s) 其中 y C0,1, 证明此方程存在唯一连续解. 4. 考虑 Ca,b 上的非线性积分方程 x(s) = b a K(t,s,x(t)dt + (s) 其中 Ca,b, K(t,s,(s) 是 a,b a,b R 的连续函数, 满足 |K(t,s,1(s) K(t,s,2(s)| k|1 2|. 证明当 | 足够小时, 此方程存在唯一解 x0 Ca,b. 5. 设 aij(i,j = 1,2,n) 是一组实数, 满足条件 n i,j=1 (aij ij)2 1, 其中 ij= 1,i = j, 0,i = j . 证明代数方程组 n j=1 aijxj= bi,(i = 1,2,n) 对任何 b = (b1,bn)T R 都存在唯一解. 4 六. 线性空间和范数的概念. 1. 判断正误. (1) 线性空间上任意两种范数相互等价. () 2. 填空. (1) 设 M 和 N 是线性空间 X 的两个子空间, 且 X = M N. 则 M N =. 3. 设 Cka,b 表示定义于 a,b 上 k 阶连续可微函数的全体, 按通常函 数的加法与数乘, 已知 Cka,b 是线性空间. 对 x Cka,b, 定义 x = k i=0 max atb ? ? ?x (i)(t)? ?, 其中 x(0)(t) 表示 x(t), 求证 Cka,b 成为赋范空间. 4. 设 k 是非负整数, 证明 a,b 上次数不超过 k 的多项式全体 Pka,b 是 Ca,b 的闭子空间. 5. 对 x(t) C0,1, 令 x1= ( 1 0 |x(t)|dt) 1 2, x2= ( 1 0 (1 + t)|x(t)|dt) 1 2. 求证 1和 2是 C0,1 中两个等价的范数. 七. Hlder 不等式和 Minkowski 不等式. 1. 判断正误. (1) 若 1 p q, 则 lp lq. () (2) 设 a,b 是有界区间. 若 1 p q, 则 Lpa,b Lqa,b. () 5 2. 设 k(t,s) L2(a,b a,b), 令 T : L2a,b L2a,b 为 (Tx)(t) = b a k(t,s)x(s)ds. 证明 T ( b a b a |k(t,s)|2dsdt )1 2 . 第八章 一. 有界算子和连续算子. 1. 设 X,Y 是线性赋范空间, T : X Y 是线性算子, 则 T 不是连续 的, 当且仅当 xn X, 使得 xn 0, 但 |Txn| . 2. 设 (t) 是 a,b 上的实函数, 对 x(t) Ca,b, 令 (Tx)(t) = (t)x(t),t a,b. 证明 T : Ca,b Ca,b 是有界算子等价于 (t) Ca,b. 二. 算子的范数. 1. 填空. (1) 设 R2中有范数 ? ? ? ? ? ( a b )? ? ? ? ? = max|a|,|b|. 矩阵 A = ( 12 34 ) 作为从 R2到自身的算子, 其范数 |A| =. (2) 对于每个有界序列 (n), 定义线性算子 T : lp lp为 (x1,x2,) 7 (1x1,2x2,) 6 则 |T| =. (3) 空间 C1,1 上的线性泛函 f(x) = 0 1x(t)dt 1 0 x(t)dt 的范数 =. 2. 设无穷矩阵 (aij) 满足 sup i1 j=1 |aij| . 定义 T : l l为: 对 x = (i) l, Tx = (i), 其中 i= j=1 aijj,(i 1). 证明: T = supi1 j=1 |aij|. 3. 设 k(t,s) C(a,b a,b), 定义 T : Ca,b Ca,b 为 (Tx)(t) = b a k(t,s)x(s)ds. 证明: T = maxatb b a |k(t,s)|dt. 三. 共轭空间. 1. 填空. (1) 设 c0是所有极限为 0 的序列组成的集合.对任意 c0中元素 x = (1,