（应用数学专业论文）几类拟变分不等式的算法研究.pdf

摘要 本文研究了变分不等式的算法问题。我们注意到在变分不等式里最重要的也 是最困难的问题之一，是关于各类变分不等式的有效的算法的发展与研究。与以 往不同，这里讨论的是几类广义拟变分不等式的新算法，以及改进算法的情形， 并给出了此类问题的解的存在性、唯一性及其敏感分析等问题的结果。 全文共分六章。第一章前言介绍了变分不等式问题及其算法的相关背景及本 文作者的主要工作。第二章是预备知识部分。第三章我们讨论了一类广义拟变分 不等式的扰动算法。接下来，我们在第四章研究了广义集值强非线性混合变分不 等式的辅助原理及三步迭代算法。然后，第五章里我们对广义混合变分不等式的 迭代算法进行了改进。最后第六章是总结和展望。 关键词：变分不等式迭代算法辅助原理 a b s t r a c t i nt h i st h e s i sw ea r ec o n c e r n e da b o u tt h ei t e r a t i v ea l g o r i t h m sf o r g e n e r a li z e dv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s w en o t e t h a to n eo ft h em o s t i m p o r t a n ta n dd i f f i c u l tp r o b l e m si nv a r i a t i o n a li n e q u a l i t yt h e o r yi s t o d e v e ! o pa ne f f i c i e n ta n di m p l e m e n t a b l ei t e r a t i r ea l g o r i t h mf o rs o l v i n g v a r i o u sc l a s s e so fv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e sa n dv a r i a t i o n a li n c l u s i o n s at o p i co fm vt h e s i si st oc o n s i d e rt h ep r o b l e m so nt h enewi t e r a t i v e a l g o r i t h m sa n dt h ei m p r o v e m e n to fa l g o r i t h m so fv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s i na d d i t i o n ，w eo b t a i nm o r er e s u l t so nt h ec o n v e r g e n c eo ft h es e q u e n c e s g e n e r a t e db yt h ea l g o r i t h m ，t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h es o l u t i o n i nd e t a i l w ep r e p a r es i xc h a p t e r sf o ro u rt o p i c si nt h i st h e s i s t h e f i r s tc h a p t e rs e r v e sa sa ni n t r o d u c t i o nt ot h i st h e s i sw h i c hi n v o l v e st h e s u m m a r yo fm yw o r k ，a n ds o m ep r e l i m i n a r yk n o w l e d g ei sp r e s e n t e di nt h e n e x tc h a p t e r t h et h i r dc h a p t e rm a i n l yc o n c e r n san e wp e r t u r b e da l g o r i t h m f o rg e n e r a l i z e dq u a s i - v a r i a t i o n a li n c l u s i o n s t h e n ，w ec o n s i d e rt h e a u x i l i a r y p r i n c i p l ea n dt h r e e s t e pi t e r a t i v ea l g o r i t h m sf o rg e n e r a l i z e d s e t v a l u e ds t r o n g l yn o n l i n e a rm i x e dv a r i a t i o n a l - 1 i k ei n e q u a l i t i e si nt h e f o u r t hc h a p t e r ai m p r o v e m e n to nt h ei t e r a t i v ea l g o r i t h m so fg e n e r a l i z e d m i x e dv a r i a t i o n a l i n e q u a l i t i e s i sc o n s i d e r e di nt h ef i f t hc h a p t e r f i h a l l y w ep r e s e n tt h er e v i e wa n do u t l o o ko fm vw o r k k e yw o r d s ：v a r i a t i o n a li n e q u a l i t y ，p e r t u r b e da l g o r i t h m ， a u x i l i a r yp r i n c i p l e i i l 变分不等方程及其算法 第一章前言 变分不等方程白从2 0 世纪六十年代由j ll i o f i s 和g s t a m p a c c h i a 等学者 创立以来，在欧美各国蓬勃发展，其理论日臻完善，成为当前数学方法中非常有效 的工具之一；其应用也不断拓，。，形成一个颇具规模的体系。 1 9 5 8 年，s t a m p a c c h j a 和e m a n e n e s 对偏微分方程和泛函分析领域做了大量研 究，这对偏微分方程的发展有深远影响，尤其是学者s t a m p a c c h i a ，他对二阶椭圆 型( 特别是这些带有非光滑系数的) 算子的研究做出了重要贡献。六十年代初，在 势王 | ；! 论问题的研究中，s t a m p a c c h i a 在假设系数是有界且可测条件下来进一步研究 其规则解的问题，从此变分不等式开始发展起来。 卜面的结论就是一类经典的变分不等式问题： 若h 表示希尔伯特空间，a ( u ，v ) 是h 上的连续双线性型，且满足 a ( v ，v ) 1 1 2 a o ，v p 与h ，k 表示h 中的闭凸子集，则存在唯一的解“k 满足下 面不等式 a ( u ，v 一“) ( f ，v 一“) v v k ( 1 1 ) 变分不等式( 1 1 ) 就是我们常见的变分不等式形式。 从1 9 6 6 年到1 9 6 8 年，s t a m p a c c h i a 开始着手解决一个问题。这个问题简单却 非常重要，它导致了许多关于变分不等式方面的重要发现。这个问题就是我们所说 的障碍问题。定义k = v l v 硪( q ) ，v 仍妒q ) ，函数妒表示障碍，那么相应问题 ( 1 1 ) 有唯一解。 著名的s i g n o ri n i 问题，即在弹性学中产生的所谓单侧边界条件问题，早在1 9 6 7 年tl l i o i l s 硐igs t a m p a c c h i a 2 8 就对其进行了研究，到现在为止仍有大量学 者致力于研究此问题六十午代末，自由边界问题可由变分技巧来解决的方法已被大 家所接受，们对于一给定的从数学物理中产牛的自由边界l u 题，又如何将它用变分 技巧来表_ 并求得解呢? 这一问题在1 9 7 1 年由b a i o c c h i 2 6 通过对一未知函数的 近似变换得到了解决；之后众多学者对各类变分不等式进行了大量研究。 1 9 8 2 年，ab e n s o u s s a n 利j l l i o n s 3 6 通过对脉冲控制和连续性优化控制的 研究，介绍了一类椭剧型和双曲型的非线性拟变分不等式。即当k 依赖于解x 时，那 么我们称问题( 1 1 ) 为拟变分不等式问题( q v i p ( f ，k ( x ) ) 即： “世( “)( 12 ) i 口( “，v 一“) ( f ，v 一“) ，v v 彪( “) 反过米，拟变分不等式也可用来解决各类力学问题，如c 8 a i o c c h j a 通过用未 知函数的变换来解非矩形水坝( 即渗流) 的问题；j n e c a s 及其研究小组应用拟变 分不等式来解决磨檫问题；k a m a l l a ，n n a s s i f 也应用拟变分不等式解决了晶体 管问题等等。 另外，在非线性泛函分析中，由于次微分概念的建立，特别是各种次微分概念 的引入，使得许多与次微分相关的多值非线性微分方程与相应的变分不等式相等价， 凶此，可应用已有的微分方程的结果和变分不等式所具有的特点来处理和解决该变 分不等式近似解的存在、唯一性问题，而且更重要的是，以变分不等式为桥梁，可 以使我们看到各类多值非线性微分方程与具有自由边界和运动边界的具体的偏微分 方程密切相关，而这些偏微分方程覆盖了大量的具有具体物理背景的实际问题，从 而使得我们可以用一种统一的观点和方法来处理这些问题 6 9 。由此町见，我们对 拟变分不等式问题的研究有着非常重要的作用。 尤其在近年来，古典变分不等式问题已经被拓展和推广来研究在力学、物理、优 化和控制、非线性规戈口、经济学、结构运输利应用科学中产牛的大量问题。如在 二 程和物群中的应用，包括轴承的润滑，液体在多孔介质中的渗流及液体通过已知侧面 的绕流等等。 众所周知，变分不等式中最重要也是最困难的问题之一就是关于各类变分不等 式的有效算法的研究。因此关于变分不等式算法的研究有着菲常重要的意义。人们 对变分不等式领域的理论和应用方面都在进行着积极的探索和研究。通过使用各种 新的方法利技巧，各类变分不等式已经在不同的方向被推广并取得了突破性进展。 为解决变分不等式问题及其相关的控制问题，已出现过许多不同的数值方法。其 中，最有效的方法有投影法 2 7 和它的推广形式、w i e n e r h o p f 方程、辅助原理方 法及罚函数法等等。我们丰要研究以上常见的几种重要方法。1 9 8 5 年，n o o r 3 7 就 通过使用投影法研究了拟变分不等式问题( 1 2 ) ，由r ie s z f r e c h e t 理论得出式了 a ( u ，v ) = 冈此由迭代算法“。= ( “。一肌( t u 。一厂) ) ( 其中是投影算了) 得到不等式的近似解：1 9 9 0 年，s i d d i q i 和a n s a r i 进一步应用投影法研究了非线性 强拟变分4 i 等式 求u k ， ( 1 3 ) 其中，t 、a 是珂斗非线性算子，可见 3 7 中的拟变分不等式是( i 3 ) 的特 例。其后，曾六川 6 8 又改进了s i d d i q i 和a n s a r i 研究的变分不等式解的收敛性结 论。我们知道，投影法的收敛分 厅要求算了必须是强单调且l i p s c h i t z 连续的，而 这些条件恰恰限制了投影法的适用范围。因此人们选择了新方法及w i e n e r h o p f 方 程法对投影法进行了改进 1 51 9 。值得注意的是投影法并不能用来觯决带有非线性 项的混合变分不等式。因而，为了克服这些困难，人们采用了预解算了法。 对于各类拟变分不等式问题，以n o o r 、s i d dj q i 和a n s a r i 等人为代表的大批国 内外学者研究了此类不等式的许多问题。之后，h a s s o u n i 、m o u d a f i 介绍和研究了 一系列变分问题，并发展了为寻找近似解的扰动算法。现在，这一领域已成为力学、 经济学等的研究热点。 2 本文工作的概述 本文中，我们主要研究如下类型的变分不等式的新的算法和改进算法。 岩变分不等式的非线性项是常态、凸而且下半连续的，则变分不等式问题等价与 不动点问题和预解方程利用这种等价性，可证明多类变分不等式解的存在性并构建 利分析它们的各种迭代算法，以及对它们进行敏感分析，参见n o o r 2 9 ，2 1 。s a m i r a d l y ( 1 9 9 6 ) 2 6 中。为寻找一利，强收敛于一类拟变分问题 找h h ，使得0 ( 爿一b ) ( “) + 丁( s ( “) ) ( 1 4 ) 的精确解的算法( 其中s ，t ：- - 月的映射：b ：- - h 非线性连续峡射：t ： h 寸h 表刁多值极大单调映射) ，提出了一种新的迭代算法和新的扰动近似算法， 并分析研究了算法所产牛的序列的收敛性、解的存在性及唯一性。注意到已有文献 中对此问题的算法的收敛性证明中，都要求对映射s 加一定的条件，而此文收敛性 的证明中未剥s 加任何条件另一方面，由最近的d i n g 3 2 ( 2 0 0 1 ) 我们知道它研 究的f 1 义拟变分不等式更为一般化，但作者关于此不等式的结论也是在对g ( x ) 的假 设基础h 得出的( 不等式( 1 4 ) 是它的特例之一) ：因此我们试图对如下的彳i 等式 1 我x h ，百a ( 爱) ，可b ( x ) ，乏g ( i ) ，s t 、 【0 n ( 西，可) + t ( g ( i ) ，乏) ( 其中t ：h h j2 “，t ( ，z ) 表示极大单调多值算了，v 固定的z h g ： h 专h 的单值映射，且r ( g ) n d ( r ( ，z ) ) 中，v z 日。a ，b ，g ：辛2 ”的集值映射， 其中2 “表示h 的所有非空子集n ：h 日斗日的映射) 应用 2 6 中的类似方法来研 究，通过构建不同的迭代算法，初步证的不等式解的收敛性可通过巧妙的变换而不对 g ( x ) 加任何条件就可得出结论。我们还可继续对转换的不等式的有效算法做进一 步的研究。问题( 15 ) 在纯科学及应用科学中有广泛应用，如对弹塑性问题的研究： 参见 3 8 j 另一方面，在使用预解方程法时，可将给定的算子被分裂成为几个单调算了的总 和：它们的预解算予比给定的初始算子要容易估计在n o o r 2 9 ，i 5 - 1 6 中，作者使用 了预解算子和预解方程法发展了各种分裂( s p l i t t i n g ) 方法来解决混合变分不等式 及相关的控制问题注意到混合变分不等式的非线性项是一闭凸子集上的指示函数， 则预解算子就是从空问到凸集上的投影算子相应地，预解方程就相应w i e n e r h o p f 方程，参见s h i 3 0 和r o b i n s o n 1 9 ( 最近的w i e n e r h o p f 方程法的应用参阅 n o o r 3 1 ) 因此，预解方程法和w i e n e r - h o p f 法一样在变分不等式中起着重要的作 用 广义拟变分不等式是对拟变分不等式的一个重要且有用的扩展。丁 9 研究了一 类广义拟变分不等式，在希尔伯特空间中，通过应用带有极大单调映射的预解算了 的性质，证明了拟变分不等式与不动点问题的等价性。其后，k a z m i 3 2 、丁 3 3 对 此类变分不等式及其算法进行了进一步的研究n o o r 2 4 由预解算子的概念证得广 义集值变分不等式问题与预解方程是等价的，因此得到新的迭代算法来研究不等式 问题我们知道大量文献在研究各类变分不等式所提出的迭代算法在证明收敛分析 时，总要求算子是强单调的或较弱的一些条件，如c o c o e r c i v e 条件等，参见 6 ，4 0 。 因此我们可试图通过构建更好的算法来解决这一问题。 当变分不等式的非线性项是不可微时，则对于解决混合类变分不等式就不能使 用预解方法，更不能用来构建两步和二步分裂算法这就促使我们考虑其它方法 g l o w i n s k i 6 建议使用另一种方法，它也不依赖于投影算子，这种方法叫做辅助原理 法他使用这种方法来找辅助变分不等式并使用不动点方法来证明辅助问题的解就 是初始变分不等式的解这种方法可用来找等价的可微控制问题的解因此，人们构 造了一个g a p 函数，这种函数对于构建一些有效的迭代法解决变分不等式问题起着 非常重要的作用 下面我们分析当问题( 1 1 ) 中y - x 扩展为，7 ( _ y ，z ) 时的变分不等式形式。n o o r 3 4 使用辅助变分不等式技巧来研究了一类广义混合似变分不等式并进行其解的存在性 和唯一性分析。但作者对解的唯一性证明并不严密，且是通过假设辅助变分不等式 有解的情况下，进行了对其解的收敛分析。最近h u a n g 3 5 改进了n o o r 3 4 的研究结 果，证明了辅助变分不等式解的存在性并提出了求近似解的有效算法。但作者未对 辅助变分不等式辑的唯一性加以讨论，因此我船可试图解决这一。阃题，境丽改递承 近似解的迭代算法，得出更为有效的结论 由上可见，本文对变分不等式算法的研究可归为以下方面的研究。 1 一类义拟变分不等式的扰动算法 我们研究具有如下形式的一般拟变分不等式问题： 刚，邶，叽， 麓嚣嚣瓮譬互印 九金。 s ， 其中： 1 ) t ：h h j2 ”，t ( ，z ) 表示极大单调多值算了，v 固定的z h 。这里h 表示希尔伯特空间，( ， 表示内积且| 1 表示范数。 2 ) g ：h j h 的单值映射，且r ( g ) n d ( r ( ，z ) ) 中，v z h 3 ) a ，b ，g ：h j2 ”的集值映射，其中2 ”表示h 的所有非空子集 4 ) n ：h h - - - h 的映射 我们知道已有文献中对此问题的算法的收敛性证明中，都要求对映射g ( x ) 加 一定的条件，才能得出结论如 3 2 ；而s a m i ra d l y ( 1 9 9 6 ) 2 6 中，研究如下一类拟 变分问题 找“h ，使得0 ( a 一口) ( “) + r ( s ( “) ) ( 1 7 ) 时，在收敛性的证明中未对s 加任何条件，我们受其启发，吸收了s a m i ra d l y 的思 想来研究问题( 1 6 ) ( 它比问题( 1 7 ) 更一般) 通过使用巧妙的变换我们不对g ( x ) 加任何条件就可得出解的收敛性结论。同时对转换的不等式提高了算法的有效性 2 考虑如f 问题 + b ( u ，v ) 一b ( u ，u ) o ，v v p l ， ( 1 8 ) 这里b ( ，) ：h x h - - r ，不可微，满足如下条件： ( i )b ( u ，v ) 关于u 是线性的； ( i i )b ( u ，v ) 是有界的即，存在v 0s t b ( u ，v ) y v l ，v u ，v h ； ( i i i )b ( u ，v ) 一b ( u ，w ) b ( u ，v w ) ，v u ，v ，w h ： ( i v )b ( u ，v ) 关于v 是凸的 n o o r 3 4 研究了此类问题，但他对解的唯一性证明并不严密，且是通过假设辅助 变分不等式有解的情况下，j 圭t l t t 对其解的收敛分析。最近h u a n g l 3 5 改进了 n o o r 3 4 的研究结果，证明了辅助变分不等式解的存在性并提出了求近似解的有效 算法。但作者未对辅助变分不等式解的唯一性加以讨论，我们这里有效的解决了这 问题，从而改进求近似解的迭代算法，得出更为有效的结论 3 ，h 表示一实希尔伯特空间， r u 懈) 的映射 对给定的非线性算子t ，g ：h - - h ，考虑如下问题： 找 h ，使得 + 妒( g ( v ) ) 一妒( g ( “) ) 0 ，v g ( v ) h ( 】9 ) 我们称此类变分不等式为广义混合变分不等式或第二类广义变分不等式，在纯 科学和应用科学中产生的大量线性和非线性问题，都可经由研究变分不等式( 1 9 ) 得 到解决人们使用这种方法为解决变分不等式问题构建并分析了各类迭代算法，但 这些迭代算法的缺点是，进行其收敛分析时，要求对算子要么是强单调的，要么是满 足c oc o e r c i v e 条件的；因而我们提出一种全新的迭代算法，其收敛分析只要求算 子满足比c o c o e r c i v e 条件更弱的条件刘可因此，我们提高了先前已知方法的收敛 结果，而且得到的结论更为一般。 第二章一类拟变分等式的扰动新算田法 ：引言 变分不等式理论是解决科学及应用问题非常有效的工具之，如对微分方程、 弹性力学中的紧问题、控制问题、经济和运输方面的平衡问题，以及单层、移动 及自由边界等方面的问题等 1 3 ，6 ，8 。通过各种方法，人们研究了各类变分不 等式并在不同的方向对其进行了拓展。本文分析和研究了一类非常重要并具有广 泛应用背景的变分不等式一类拟变分不等式的定性分析与数值方法问题。 正如大家了解到的，在变分不等式里最重要的也是最困难的问题之一是解决 各类变分不等式的有效的算法的发展与研究。1 9 9 4 年，h a s s o u n i ，m o u d a f i 5 介 绍和研究了一系列变分问题并发展了为寻找近似解的一个扰动算法。其后为解决 变分不等式及其相关的控制问题，出现了一些不同的数值方法，其中最有效的方 法是投影法和它的推广形式、w i e n e r h o p f 方程、辅助原理及罚函数法。众所周 知，投影法的收敛分析要求算子必须是强单调且l i p s c h i t z 连续的。这些条件限 制了投影法的适用范围。因此人们选择了新方法和w i e n e r h o p f 方程法对投影法 进行了改进 1 5 1 9 。值得注意的是投影法不能用来解决带有非线性项的混合变分 不等式。而为了克服这些闲难，通常人们采用预解算子法。 本章将介绍利研究更一般的多值拟变分不等式问题。由希尔伯特空间中极大 单调映射的预解算予的性质，我们可以知道拟变分不等式问题与不动点问题是等 价的。为寻找一种强收敛于一般拟变分问题精确解的算法，我们提出了一种新的 迭代算法和新的扰动近似算法，并分析研究了算法所产生的序列的收敛性、解的 存在性及唯一性。注意到已有文献中对此问题的算法的收敛性证明中，都要求对 映射g ( x ) 加一定的条件，而本文中可以消去对它的条件限制。本文研究的一般拟 变分不等式问题比许多已经研究过的变分问题更一般化，它可以看做是诸多相关 问题的拓展 4 ，5 ，7 ，9 ，2 0 2 5 本文将研究具有如下形式的一般拟变分不等式问题： 圳，邶，c ，s ，僻嵩三篇焉e b 伍l 珏q 习，s 。 c z ， 其中： 1 ) t ：h h 2 “，t ( ，z ) 表示极大单调多值算了，v 固定的z h 。这里 h 表示希尔伯特空间， 表示内积且| 1 表示范数。 3 ) g ：h 寸h 的单值映射，且r ( g ) n d ( ，( ，z ) ) m ，v z h 4 ) a ，b ，g ：h _ 2 ”的集值映射，其中2 ”表示h 的所有非空子集 5 ) n ：h h 斗h 的映射 1 2 问题v i ( t ，n ，a ，b ，g ，g ) 的等价形式可以写为： 【找i h ，瓦4 ( i ) ，可b ( i ) ，三g ( 牙) ，s 【 o ，对于所有的( v ，v + ) g r a p h ( t ( - ，z ) ) 1 3 特殊例子 1 ) 当y ( ，z ) = a ( ，z ) ：h 斗月u + o 。) 表示一常态、下半连续凸函数m ( ，z ) 的次微分时，则问题( 2 1 ) 等价与如下问题 找并，甜爿( x ) ，v b ( x ) ，孑g ( x ) ，s r + 矿( ，z ) 一( g ( x ) ，z ) 0 ( 2 2 ) l v y h 问题( 2 2 ) 我们称之为集值混合准变分不等式。n o o r 2 0 ，2 1 使用预解算了 法对其进行了研究。 2 ) 当y ( g ( x ) ，z ) t ( g ( x ) ) 时，对于所有的v h ，问题( 2 1 ) 等价与如下问题 搬5 ，“6 4 ( 曲，”5 b ( 。) 皿( 2 3 ) 1 0 n ( u ，v ) + 丁( g ( x ) ) n o o r 2 1 使用预解算子法对其进行了研究，r o b i n s o n 2 2 ，u k o 2 3 研究了它 的一些特例。 3 ) 当t ( g ( x ) ) = a ( g ( x ) 表示一常态、下半连续凸函数：h - - + r u + o o ) 的次 微分时，问题( 2 1 ) 约化为如下问题 撖h ，“爿( z ) ，v 5 b ( x ) ，n( 2 4 ) 【 + ( y ) 一( g ( x ) ) 0 我们称此不等式为集值混合变分不等式，n o o r 对其进行了研究，参考 2 4 。 二：预备知识 定义l ：映射g ：h - 4h 1 ) 是y 强单调的，假如存在一常数y 使得 7 l x y l ，v x ，y h 1 ) 映射是o - l i p s c h i t 连续的，假如存在一常数d ，使得 l g ( x ) 一g ( y ) i s g x y l , v x ，y h 定义2 ：a ：h - - 2 ”是集值映射，n ：h h - - h 1 ) n 是关于a 是d 左强单调的，假如存在一常数口 o 使得 - ( z o g ( x ) 一g ( y ) 1 ) i g ( z ) 一g ( _ y ) 1 2 ， v x ，y h ，村爿( z ) ，v 爿( y ) 2 ) n 是关于a 是一l i p s c h i t z 左连续的，假如存在一常数 o ，使得 1 ( w ) 一n ( v ，1s h v i , v u ，v h 定义3 ：映射g ：h 寸h ，p ：r + - - r + 1 ) a ：日斗2 ”是关于g 是舻一强单调的，假如 ( p ( i g ( x ) - g ( y ) 1 ) l g ( x ) 一g ( y ) 1 2 ， v x ，y h ，u a ( x ) ，v a ( y ) 2 ) a 是关于g 是l i p s c h i t z 连续的，假如 6 ( a ( x ) ，a ( y ) ) + ( k ( x ) 一g ( y ) d l g ( x ) 一g ( y ) l ，v x ，y h 巧( ，) 表示2 “中的度量，a ( a ，b ) = s u p r a b i ：a a ，b b , v a ，b 2 ” 注意：由于预解算j 弘= ( ，+ 见r ( ，z ) ) ，其中t ( ，z ) 是极大单调的t 因 此v 五 0 ，p 是非扩张的，即： i ，；一( z ) 一_ ，j 。( y ) | ix y f 。 我们记 t ”i ) ，”( ，z ) 旦_ 丁( ，z ) 表示图收敛 下面条件是等价的 1 ) r “( ，z ) 里寸丁( ，= ) 2 ) 以”脚( 并) 斗i ，j 的( z ) ，v x h ，五 0 3 ) ，：脚( x ) 畸蟛一( x ) ，v x 日，一给定值 o o j = 丰要结果 引理3 1 ：( x ，u ，v ，z ) 是v i ( t ，n ，a ，b ，g ，g ) 的一个解当且仅当( x ，u ，v ，z ) 满足 g ( x ) = 。1 ( g ( z ) 一z n ( u ，v ) ) ( 2 5 ) 其中“4 ( x k v b ( x ) ，z g ( x ) 证明：假如( x ，u ，v ，z ) 满足关系( 2 5 ) ，也就是说 g ( x ) = 以“。( g ( x ) 一 ( “，v ) ) 因为，= ( 1 + 2 t ( ，z ) ) ，则上式成立当且仅当 一n ( u ，v ) r ( g ( x ) ，z ) 即： 0 n ( u ，v ) + r ( g ( x ) ，z ) 因此( x ，u ，v ，z ) 是问题v i ( t ，n ，a ，b ，g ，g ) 的一个解 注3 1 假如这样定义f ，h ，1 ：h 斗2 “，f ( u ) = a ( x ) ，h ( u ) = b ( x ) ，l ( u ) = g ( x ) ， 其中v x = g 。1 ( m ) ，那么问题v i ( t ，n ，a ，b ，g ，g ) 与问题v i ( t ，n ，f ，h ，1 ) 是等价的： 刚，蚰，1 ) 嚣0n 焉旗慨侬妒叫魂引i ( 玎，可) + 丁( i ，三) 其中订厂( i ) ，可向f i ) ，孑，f i l 注3 2 若a 关于g 是庐一l i p s c h i t z 连续的( 或关于g 是p 强单调的) ，则f 是 庐l i p s c h i t z 连续的( 或是妒强单调的) ，并且问题v i ( t ，n ，f ，h ，1 ) 有解当且仅当解 满足 s ( 1 ) _ 。e u 小刮咖e u 。) j t ( 。( x 一九n ( u ，v ) ) ( 2 6 ) 其中= ，( x ) ， f 缸1 ，v g ( x ) 下面我们证明问题v i ( t ，n ，a ，b ，g ，g ) 解的存在性及唯一性 定理3 2 假若下面的条件满足： l a ，1 3 ，g 分别是l ，如，丸l i p s c h i t z 连续， 2 n ：关于a 是左口强单调的，且是左卢l i p s c h i t z 连续，右fl i p s c h i t z 连续， 3 1 j j 4 ( z ) 一j ：( z ) l 拉i x y i 4 ， 牙f 2 掰( f ) 一( 融( f ) 一以( f ) ) 2 + 2 ( 2 f l o 。( t ) 一九( f ) ) 2 a a ( t ) 1 + 牙f 2 彰( f ) ，v f r + 则问题v i ( t ，n ，a ，1 3 ，g ，g ) 至少有一个解，且当g 一一对应时解是唯一的 证明：由注意3 1 可知，问题v i ( t ，n ，a ，b ，g 。g ) 等价于问题v i ( t ，n ，f ，h ，l ，) 则只须证明映射s 有一固定点即证得结论 对任意给定的x e h ，y h ，a s ( x ) ，b s ( y ) 存在 u 。f ( x ) ，v 。h ( x ) ，z 。l ( x ) ，u 。f ( y ) ，v 。h ( y ) ，z 。l ( y ) s t l u 。一u ，f 6 ( f ( x ) ，f ( y ) ) ，i v 。一v y l 6 ( h ( x ) ，h ( y ) ) ，l z 。一z ，l 6 ( 1 ( x ) l ( y ) ) 知 l a - b l = l i ，j 4 ( x 一五( “；，v ，) ) 一片( y a n ( u y , u ) ) i ：曙2 x ( x 一心( u 。，v 。) ) 一j ；! ( ，2 x ( y l n ( u y ，v y ) ) + j ：6 ( y a n ( u y , v y ) ) 一j ：2 y 1 ( y a n ( uy v y ) ) l j x 一五( “，v ，) 一y + 丑( u y , v y ) i + “f z ，- z y 卜一y a ( n ( u x , v x ) 一n ( u ，v ，) ) 1 = k - y 一丑( ( “：，v ，) 一n ( u ，v ，) ) 一2 ( n ( u ，v ，) 一n ( u y , v y ) ) l i x y 一五( ( “，v ，) 一n ( u y , v x ) ) l + 五j ( “，v x ) 一n ( u e , v y ) l 我们知道 l x y 一兄( ( “，v ，) 一n ( u y , v ，) ) 1 2 1 x y 1 2 2 2 + 名1 ( u x ，v x ) 一( q ，k ) 1 - i x y j 2 2 口( 卜y 1 ) l x y 1 2 + 以2 i n ，一“，1 2 1 - 2 2 a ( i x - y 1 ) + 2 c 2 簖( k y 1 ) 且 2 i n ( u y , v 。) 一n ( u y , v y ) 降筇i v ，一v ，1 2 删。( k y 1 ) l x y l 又因为 “l z ；- z y 占( ，( x ) 一，( _ y ) ) 丸( 卜一y i ) l x y i 因此我们可得 p b i ( 1 2 丑口( b 一一i ) + 刀f 2 霹( 卜一y | ) + t 岛a ( i x y i ) k y l + 九( 卜一y 1 ) 卜一y 1 l x - y i 设妒( r ) = ，i ( 1 2 口( d + 井f 2 疗( ，) + 。妒办【叫x y 1 + 鹏( f m x y 1 由条件4 可知妒( f ) f 由s i d d i o i 和a n s a r i 1 2 的定理3 1 知，s ( x ) 有固定点妒h ，由s ( x ) 的定义 存在u + a ( x + ) ，v 4 b ( x + ) ，z + g ( x + ) 使得3 2 成立得证 设妒( f ) = 口( f ) + 孝( 吐p ? ( f ) + 伊；( r ) = 衍( f ) + f 2 妒；( r ) + 哆彳z 孵( f ) 则由 4 的推论3 3 知道，条件4 可以略去，结论仍然成立 3 1 扰动新算法：为了获得近似解，我们考虑下式中序列 “扣n ) 给定x o h ，u o f ( x o ) ，v o h ( x o ) k ，z o l ( x o ) a t x 。+ i = j j “ ( x 。一九n ( u 。，v 。) ) + e 。 其中，u 。，v 。z 。分别在f ( x 。) ，h ( x 。) ，o ( x 。) 中任意选取 定理3 4 1 ，”( ，z ) 与r ( ，= ) g ：表示图收敛，其中z h 2 a ，b ，g 分别关于g 是k - l i p s c h i t z ，y t i p s c h i t z7 一l i p s c h i t z 连续的， 3 j j n 。( z ) 一j ；o 。( z ) 蔓卢扭一y l 4 n 是瑾左强单调的，是眚右强单调的，是左连续的，是f 右连续的 5 、l i m l e 。| _ 0 则由a 产生的序列 x 。) ，扣。) v 。) ， ：。) 强收敛到问题v i ( t ，n ，a ，b ，g ，g ) 的一个 解( x ，u ，v ，z ) 证明：由定理3 2 可知到存在唯一解( x ，u ，v ，z ) v i ( t ，n ，a ，b ，g ，g ) 设，( x ) = x 无( 批，v ) ，f ( x 。) = x 。一 ( 材。，v 。) ，贝0 ： h x i = 引( f ( “) ) 一j ( f ( x ) ) + e 1 | _ ， ( f ( h ) ) 一，j ” ( f ( 工) ) + 一 ( f ( 矗) ) 一，；订( f ( x ) ) l + i 屯i 因为t 一极大单调，丁”( ，z ) 旦一丁( ，z ) 及条件5 有 i x + l x i 兰l f ( _ ) 一f ( x ) l + i z 。一z l i f ( ) 一f ( x ) i + ，7 卜。一x i + 1 l i f ( x 。) 一f ( x ) l | x 。一x 一五【( 。，v 。) 一n ( u ，v ) 】| ( 4 1 2 a a + 斧f 2 v 2