（光学专业论文）二维声子晶体负折射成像机理与特性研究.pdf

中南大学硕士学位论文 摘要 摘要 利用光子晶体或声子晶体平板负折射成像，可以克服传统衍射极 限，实现光波或声波的完美成像。本文以声子晶体平板为模型，对平 板负折射成像的条件、规律以及成像机理进行了较为深入的研究。 首先，把多重散射理论拓展到了二维声子晶体平板，平板的结构 包括周期和准周期两种情况，平板的大小涉及无限层平板和多层有限 平板；并系统推导了声波的透射系数及压力场理论。 其次，以二维正三角形排列的钢水声子晶体平板为具体模型，分 析了平板成像中散射波的会聚特征。对声子晶体平板的研究发现： 声子晶体平板负折射成像存在方向性散射通道；该通道不同于一 般的位置波导，它是声子晶体周期散射的结果；散射通道与平板结构、 材料、声源位置、入射角大小等密切相关；只有在合适的结构、材料 组合、填充率、入射方向和平板入射面下，声子晶体平板才可能对某 些频率或频段的声波，形成负折射特征的成像；在一定的物距和入射 角范围内，平板成像可借用几何光学中的折射定律，用等效负折射率 来描述，成像的物距、像距及平板的厚度之间有稳定的规律。 当等效折射率, - - 一1 时，为理想成像情况，像的位置与入射角无关， 点物成点像，没有像差；等效折射率为负数，但门一1 ，为非理想成 像情况，这时不同入射角的声波，会聚的位置不一样，存在像差；小 角入射波可以较强地耦合进入平板，对像的贡献较大，大角入射波较 弱地耦合进入平板，对像的贡献较小；平板之前，加入适当的声阑， 利用小角信号成像，可以改善像的质量。 最后，对9 层周期结构平板中的散射体引入位置无序和大小无序， 发现：在平板导带方向上的障碍，对像的强度有较大影响；散射体位 置无序程度增大，对散射通道的破坏增大，成像会减弱；足够大的位 置无序，会导致像的消失；与位置无序相比，散射体半径无序对成像 影响较小。 本研究是对平板结构负折射成像机理、成像规律的科学探索，研 究结论对平板负折射成像应用有指导意义。 关键词：声子晶体平板，负折射，无序，多重散射，散射通道 中南大学硕士学位论文 a b s t a c t a b s t a c t t h en e g a t i v er e f r a c t i o ni m a g i n go fp h o t o n i cc r y s t a l so rp h o n o n i c c r y s t a l sc a i lb eu s e df o rc o n s t r u c t i n gap e r f e c tl e n s ，w h i c hc a i lo v e r c o m e t h ed if f r a c t i o nl i m i to ft r a d i t i o n a ll e n si m a g i n g i nt h i sp a p e r t h ei m a g i n g c o n d i t i o n s ，l a w sa n dm e c h a n i s m i n2 - dp h o n o n i cc r y s t a l ( p c ) s l a b sh a v e b e e ni n v e s t i g a t e d f i r s t ，w ee x t e n dt h em u l t i p l es c a t t e r i n gt h e o r y ( m s t ) f r o ml i g h t w a v e st oe l a s t i cw a v e si n2 dp h o n o n i cc r y s t a l ， w h i c hi n c l u d ep e r i o d i c a n dq u a s i p e r i o d i cs t r u c t u r e ，i n f i n i t es l a b sa n df i n i t es l a b s t r a n s m i s s i o n c o e f f i c i e n ta n dp r e s s u r ei n t e n s i t yo fs o u n dw a v e sw e r ed e d u c e d t h e o r e t i c a l l y s e c o n d l y ，f o rt h em o d e lo fa2 ds t e e l - w a t e rp cc o n s t r u c t e di n a t r i a n g u l a rl a t t i c e ，t h ef o c u s i n g c h a r a c t e r i s t i c sa n di m a g i n gr u l e so f s c a t t e r i n gw a v e i na9 - l a y e rp cs l a bw i t hp e r i o d i cs t r u c t u r ew e r e d i s c u s s e d t h er e s u l t ss h o w ： t h ep cs l a be x h i b i tac h a r a c t e r i s t i co fd i r e c t i o n a ls c a t t e r i n gc h a n n e l w h i c hi sd if f e r e n tf r o mt h eg e n e r a lp o s i t i o n a lw a v e g u i d e ，i ti st h er e s u l t o f p e r i o d i cs c a t t e r i n go f t h er o d si np c s l a b ；t h e s es c a t t e r i n gc h a n n e l sa r e c l o s e l yr e l a t e dt ot h es l a bs t r u c t u r e ，m a t e r i a l s ，s o u n ds o u r c el o c a t i o na n d t h ea n g l eo fi n c i d e n tw a v e ；o n l yi ns o m ea p p r o p r i a t es t r u c t u r e ，m a t e r i a l c o m p o s i t i o n ，f i ll i n gr a t e ，i n c i d e n td i r e c t i o na n ds l a bi n c i d e n ts u r f a c e ，t h e s l a bc a nf o c u si m a g i n gw i t hn e g a t i v er e f r a c t i v e l i k ec h a r a c t e r i s t i cf o r s o m ec e r t a i nf r e q u e n c i e s u n d e rac e r t a i nd is t a n c ea n di n c i d e n c ea n g l e ， t h ei m a g i n gb e h a v i o ro fp cs l a b sc a nb ed e s c r i b e dw i t ha ne q u i v a l e n t n e g a t i v er e f r a c t i v ei n d e xa n dr e f r a c t i o nl a wa st h ei m a g i n gi nt r a d i t i o n a l g e o m e t r i c a l o p t i c s t h ed e f i n i t er u l ea m o n gt h es o u r c e s l a bd i s t a n c e ， i m a g i n gp o s i t i o na n ds l a bt h i c k n e s sw a sr e p o r t e d f o rt h ec a s eo fn = - 1 ，a ni d e a l i m a g i n gs i t u a t i o n ，t h e l o c a t i o no f i m a g i n gh a sn o t h i n gt od ow i t ht h ea n g l eo fi n c i d e n c e ，a n dp o i n ts o u r c e c o r r e s p o n dt oap o i n ti m a g e ；f o rt h ec a s eo fn 一1 ，an o n i d e a li m a g i n g s i t u a t i o n ，t h el o c a t i o no fi m a g i n gw i l lc h a n g ew i t ht h ew a v ei n c i d e n c e a n g l ev a r y i n g ，a n dn a t u r a l l y , ai m a g i n ga b e r r a t i o no c c u r ；t h es m a l l - a n g l e 中南大学硕士学位论文 a b s t a c t i n c i d e n tw a v e sc a nb ec o u p l e di n t oc h a n n e l sb e t t e rt h a nt h el a r g e a n g l e i n c i d e n tw a v e ，a n dc o n t r i b u t e dt ot h ei m a g i n gi n t e n s i t yb i g g e rt h a nt h e l a r g e a n g l ei n c i d e n tw a v e s o ，as o u n dd i a p h r a g mc a ni m p r o v et h eq u a l i t y o fi m a g eb yr e s t r i c t i n gt h el a r g e - a n g l ew a v ei n c i d e n c e f i n a l l y ，a9 - l a y e rp cs l a bw i t hq u a s i p e r i o d i cs t r u c t u r ew a ss t u d i e d i tw a sf o u n dt h a tt h eo b s t a c l er o d si nt h ed i r e c t i o no ft h ec o n d u c t i o nb a n d h a v eac l o s ei n f l u e n c eo nt h ei n t e n s i t yo ft h ei m a g i n g w i t ht h ei n c r e a s i n g o fl o c a t i o nd i s o r d e ro ft h es c a t t e rr o d s ，t h e s c a t t e r i n g c h a n n e l si s g r a d u a l l yd a m a g e d ，i m a g eb e c o m em o r eb l u r r y ，a n df i n a l l yd i s a p p e a r ； c o r r e s p o n d i n g l y ，r a d i u sd i s o r d e ro f t h er o d sa f f e c tt h ei m a g eal i t t l e t h i sr e s e a r c hi sas c i e n t i f i c e x p l o r a t i o na b o u tt h em e c h a n i s mo f n e g a t i v er e f r a c t i o ni m a g i n gi np cs l a b ，t h ec o n c l u s i o ni ss i g n if i c a n tf o r t h ea p p l i c a t i o no ft h ep cs l a bi m a g i n g k e yw o r d s ：p h o n o n i cc r y s t a l s ，n e g a t i v er e f r a c t i o n ，d i s o r d e r ，m u l t i p l e s c a t t e r i n g ，t h es c a t t e r i n gc h a n n e l s 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢的 地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包 含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我共 同工作的同志对本研究所作的贡献均已在论文中作了明确的说明。 作者签名姻日期：掣年月三日 学位论文版权使用授权书 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留学位论文并根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文，允 许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内 容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文。同时授权中国科 学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库， 并通过网络向社会公众提供信息服务。 名：掘聊签趁瞧彳幽2 日 中南大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 引言 第一章绪论 近年来，以负折射介质为代表的新型人工电磁介质引起了人们越来越广泛的 关注。电磁波在负折射介质中传播时，与一般材料相比有很大的不同，比如光 在负折射材料中的行进方向与能量传播的方向相反、负折射率( n e g a t i v ei n d e x o fr e f r a c t i o n ) ，反常折射定律( i n v e r s es n e l l ，sl a w ) 乜川，反常多普勒移动 ( r e v e r s e dd o p p l e rs h i f t ) h 1 ，以及反常契伦柯夫辐射( r e v e r s e dc e r e n k o v r a d i a t i o n ) 啼1 等等，其规律是值得分析和掌握的。有了这些特性，负折射率介质 就具有很大的应用潜力。人们可以突破传统透镜的“衍射极限 ，对微细结构实 现完美成像，极大地提高了像的分辨率。这些为人类提供了一种控制光和电磁波 运动行为( 次波长聚焦) 的全新手段。随着信息技术的高速发展，新型人工电磁 介质将对我国当前的信息、国防、经济、医学等领域产生愈来愈广泛而深入的影 响。 1 2 负折射介质 1 9 6 8 年，前苏联科学家v e s e l a g o 从理论上虚构了一种介电常数和磁导率均 为负数的材料。由于自然界中尚未找到电导率和磁导率同时为负的介质材料， v e s e l a g o 的研究在很长一段时间里并没有引起人们的重视，1 9 9 6 年，英国p e n d r y 在理论文章中介绍了一种开路谐振金属环构成的三维周期结构，其等效介电特征 类似等离子体( 众所周知，等离子体的介电常数可以为负) 一1 。但是这些还是 局限于理论，人们还重视不够，真正让负折射材料引起科学界广泛重视的是于 2 0 0 0 年p e n d r y 提出的完美透镜的概念哺1 。p e n d r y 称，利用s 和同时为1 的负折射材料平板，不仅可以对传播场成像，而且还可以突破瑞利衍射极限对倏 逝场成像。这样负折射率材料将在光存储等领域具有广泛而重要的应用，它对近 场光学带来了革命性的影响。不久，美国加州大学s m i t h 教授等人根据p e n d r y 提出的方案，在实验上制备出了人工的负折射率材料，并且通过实验证明了负折 射现象旧叫，这是负折射材料研究的一次重要突破。完美透镜概念的提出和人 工负折射率材料的成功制备掀起了学术界对负折射材料研究的热潮，从2 0 0 0 年 开始，学术界发表的关于负折射率材料的论文成指数增长。在随后的研究中，人 们从理论和实验上都证明在周期性的光子晶体中同样可以实现负折射，这主要是 中南大学硕士学位论文第一章绪论 通过它的色散特征和等频率曲线来确定。虽然没有天然的负折射介质材料，但人 们首先在导线阵列和有缺口的环形共振器阵列中发现了负折射现象，继而人们提 出不借助金属，完全用电介质材料组成的光子晶体来实现负折射介质材料。以上 描述都是争对电磁波而言，那么对于声波是否可能出现负折射呢? 近年来，对光子晶体的研究已经扩展到对声波( a c o u s t i cw a v e ) 和弹性波 ( e l a s t i cw a v e ) 在周期性复合材料( 声子晶体) 和无序材料中的传播的研究1 。 由于弹性波是含有纵波和横波两种传播速度的矢量波，在复合材料的每个组元中 都有三个独立的参数，即质量密度p ，纵波波速c ，和横波波速q ，因此，对声子 晶体的研究比对光子晶体的研究具有更丰富的物理内涵。 声子晶体是一门正在蓬勃发展的、很有前途的新学科，它吸引了包括经典电 磁学、固体能带论、半导体器件物理、量子光学、纳米结构和材料科学等领域的 科学家，论文数目成指数增长。如今，人们对波受周期性调制的研究已超越光子 晶体，声波、等离子体波、水波、液体表面波等受到周期调制后出现带隙和新 现象，有可能发现新的应用。 本论文的工作在于在理论上探讨声波在声子晶体中的传播特性，通过对二维 固液平板负折射成像分析，来探讨负折射成像机理。深入研究各种因素对成像的 影响，可以为新型声子器件的设计提供理论依据，具有重要的学术意义和应用价 值。 1 2 1 负折射率的基本概念 负折射率介质( l e f t h a n d e dm e d i a ) 这一全新概念最早是由苏联理论物理 学家v e s e l a g o 提出的，他用方程证明这种材料具有负的光学折射率。指出，当 介质的折射率小于o 时，光在常规材料( 折射率介质) 和负折射介质表现出来的 特性与两种常规介质之间所表现出来的特性完全不同。在这种材料中，光波传播 方向( 波矢方向) 与能量传播方向相反，即电场、磁场和波矢方向遵守左手定则 ( 与传统介质不同) ，所以负折射率介质通常也称左手材料。图1 1 中给出了左 右手法则的示意图。其中j 为能流方向，k 的方向代表电磁波相速度的方向，e 和h 分别为电场和磁场方向。 2 中南大学硕士学位论文第一章绪论 日 g )o ) 图卜1 ( a ) 右手定则( b ) 左手定则 左手材料引起了一些非常引人注目的结论，比如辐射多普勒频移与传统材 料相反，以及c h e r e n k o v 辐射的逆转。光学中一个最基本的定理是s n e l l 定律， 光在常规材料中和左手材料的界面表现出来的特性跟在两种常规介质之间表现 出的特性刚好相反。例如当光从常规介质进入左手介质时，它的折射方向跟一般 观察到的相反，主要是由于其折射率是负的，在s n e l l 定理中，若引入负的折射 系数，就很容易解释光在常规材料和左手材料界面发生的折射跟常规的材料不一 样了，这种材料很明显的物理效应就是：负折射效应。 1 2 2 判定负折射行为的三种方式 传统的材料为正折射材料，即当光波从介质1 入射到介质2 的界面上时，遵循 传统的折射定律n 。s i n o , = i ：s i n 0 2 ，入射光线和折射光线分居分界面法向量的两 侧如图1 2 ( a ) 所示。 吃 ( d 、 ? 吃 ( 功 图卜2 平面电磁波在空气介质交界面发生折射现象的示意图( a ) 正常材料中；( b ) 在负折射介质材料中。 当电磁波从空气入射至负折射介质材料，情况很不一样。这是折射角为负， 入射光线和折射光线位于分界面法向量的同侧，如图l 一2 ( b ) 。 3 中南大学硕士学位论文第一章绪论 现在主要用以下三种方式来判定负折射现象，可以根据其推倒负折射率和判 定具有左手性质的物质。 1 棱镜原理 图1 - 3 ( a ) 光在负折射介质构成的凸透镜和( b ) 负折射介质凹透镜中的传播现象 ( c ) 光在右手平板介质中的传播路线( d ) 光在等效负折射率是一1 的平板材料中的 光路图 在普通的光学透镜中，比如凸透镜和凹透镜。凸透镜对光有会聚作用，而凹 透镜对光有发散作用。但这些结论只是针对于常规材料的，对于负折射材料制作 的凸透镜和凹透镜，情况会相反，如图1 - 3 ( a ) 所示，凸透镜对光发散，凹透 镜对光会聚卜3 ( b ) 。除此之外，负折射率材料平板同样具有成像功能，并且它 的光轴有多个，与普通凸透镜不同的是，负折射率材料平板并不能会聚平行光。 入射光线在负折射介质的透镜表面具有与正折射介质所不同的传播现象卜3 ( c ) ( d ) ，可以据此来判断构成棱镜的介质是否具有负折射率的介质或者传播是否具 有负折射现象。 4 中南大学硕士学位论文第一章绪论 2 平板成像 目前负折射材料的许多独特物质已被揭示。它的一个最激动人心的特性是能 够放大倏逝波分量。p e n d r y 教授在2 0 0 0 年所发表的一个理论工作呻1 指出，因此 要想突破光学分辨率极限，必须想办法使倏逝波参与成像。一个负折射材料平板 可以放大倏逝波，通过选取负折射材料的适当参数，即占= 一1 ，= 一1 时是一个 负折射材料平板，可以成为突破衍射极限的成像透镜。光场的所有成分都无损失 地参与了成像，把这种透镜成为“完美透镜 ( p e r f e c tl e n s ) ，图1 4 所示。 一个普通介质平板，它对于光只能起到发散的作用，而对于负折射材料平板， 它能起到汇聚光的作用，也就是说假如在负折射材料平板的一侧放置一个光源， 它辐射出的电磁波包含两种成分：一种为传播模，可以传播到远场区域；另一种 为倏逝波，将随距离的增加而指数衰减，无法传播到远场区域，只能局域在物点 附近。在传统的成像系统中，当物体精细结构的变化尺度小于光波长时，相应的 光信息在成像系统中以倏逝波形式传播，因此这些光信息到达平面时已经衰减到 几乎为零。而负折射材料不会丢失这些信息，能够放大倏逝波，因此该成像系统 得以实现。 但实际中的透镜严格遵循介电常数和磁导率都等于一1 是很难做到的，所以 完美透镜引起了很大的争论n 2 13 l 。因为负折射材料中一定会存在一定的色散和吸 收，所以实际的材料不可能完全满足这一条件。“完美透镜 的分辨率本领对材 料参数非常敏感，比如吸收，都会影响完美透镜的分辨率n 钔。虽然理想的完美透 镜不存在，但能够显著提高分辨率的超级透镜已被证明是可能的n 引。 图1 - 4 完美透镜示意图 中南大学硕士学位论文第一章绪论 3 负折射穿透行为 | 童螽霉 二搴 霪 j 蓦 i 墨爹 ( a )( b ) 囤卜5 ( a ) 入射到负折射介质的光路图( b ) 入射到自折射夼质的数值模拟目 图中给出了斜入射的光线穿透负折射介质的光路图和数值模拟示意图。同样 可以据此判断负折射现象，根据光路的偏折情况来判断负折射现象。 1 3 光子晶体负折射材料 光于晶体在特殊情况下存在着负折射特性，不仅在三维的光于晶体，在二维 的光子晶体同样存在着负折射特性，这个结果非常令人激动。因为相对于负折射 介质，光子晶体的制造容易实现。 自从s m i t h 等人从实验中人工造出了左手物质以后，相关的应用研究也越来 越多，比如，利用左手介质的特殊性质有望制造出分辨率很高的扁平透镜：应用 在核磁共振( m r i ) 领域，可将辐射集中在病人的患部进行成像，减少电磁波对 病人的整体辐射。若把使产生负折射的电磁波频段扩展到光波段，必然会出现更 多的新的光学效应。另外，具有负折射现象的特殊周期介质结构在新一代的谐振 腔、发光增强探测等方面也有很好的应用。随着信息技术的高速发展，新型人工 电磁介质将对我国当前的信息、国防、经济、医学等领域产生愈来愈广泛而深入 的影响。 m i t 的j o a n n o p o u l o s 教授和英国的p e n d p 教授合作，发现在一些简单的 二维光于晶体中，虽然介电常数和折射率都为正值，但由于晶体存在的b r a g g 散射效应，光子晶体对入射光的集体散射效果也能够出现类同于负折射介质的负 折射效应和超透镜效应。并通过对等位面图的分析发现在某些频率处光子晶体 表现出全角度的负折射效应。他们还对此光子晶体平板结构对点光源的成像进行 了深入的探讨，发现存在着超透镜效应。后来他们进一步对超透镜效应的物理机 制做了分析，发现表面态的共振耦台能够放大倏逝波成分，因此得以实现负折射 介质的超透镜效应“驯”。 中南大学硕士学位论文第一章绪论 但是，有的研究团体，例如叶真流派的学者指出平板光子晶体成像的物理机 制可能来自于自我准直和光子晶体的部分带隙作用n 钔。 自从英国教授p e n d r y 教授首先从理论上研究了能够得到负的介电常数以后， 陆续有实验报告试图说明，在一些人工制造的物质系统中观察到了负折射现象。 早期的这些实验所用的样品均离不开金属线和金属环。随着人工光子晶体结构研 究的发展，1 9 9 8 年，k o s a k a 等人在三维光子晶体中发现了负折射现象啪1 ，虽然 不能通过均匀化处理获得有效介电常数和有效磁导率，但光子晶体可以通过周期 结构的布拉格散射实现负折射。光子晶体实现负折射不必激发电共振和磁共振， 可以完全由介质构成，它的损耗相对于需要激发电共振和磁共振的双负介质的损 耗非常小( 通常被忽略掉) ，因此为光频段的负折射提供了一个很好的途径，由 此掀起了近年来对光子晶体负折射研究的浪潮心卜2 3 舯2 6 7 7 0 7 。 现在发现的光子晶体的负折射行为由主要有两种机理：第一种就是所谓的左 手行为乜，在这种情形，k ，e ，日符合左手定则，即蜃k 一 o ( y o ) ，我们得到以平面波叠加方式的散射波 口卵= u ( 声) + u 尹( 卢) 其中 = 窿e x p ( i k 专声) + 曙e x p ( 壤乃) ， gg 曙= 巩。辫， 曙= 既：- g 。 把等式( 2 1 7 ) 和( 2 2 6 ) 代入到( 2 3 1 ) ，我们得到 曙= ( m 袅露+ m 巍堙) ， s g 。 嗜= ( m 基霹+ m 教髫) ， 5 g 其中m k k 被称作为单层的散射矩阵，定义为： 蜒s $ t 昭，= 霹乙w 。- - g 。 s ， m = 霸乙w ：钴。， r l r l m 鑫= 霹乙：棚硝， 哆款= - - g ：s 乙：们乃芗。 等式( 2 3 8 ) 口- - 以进一步表达为矩阵形式： 巨： = 兹兹 霉： + 簇兹 霉： ， 斛陉剐孙陈铡料 其中列矩阵妒和垆以及方阵m 盖：被定义为， 妒= 略噱暖。嘧r ， 妒= 嚼曙嗳。瞎r ， ( 2 - 3 5 ) ( 2 3 6 ) ( 2 - 3 7 ) ( 2 - 3 8 ) ( 2 - 3 9 ) ( 2 - 4 0 ) ( 2 4 1 ) 中南大学硕士学位论文 第二章有限场的多重散射理论 m 叠= m 篙1 k 。甄m 舞m 嚣1 k g 】m 枣 m 意毒hm 篙毒峨m 毒 m g l !； 。ii m 最g l m 嚣l m f h m 逸船t m f m 逸地 m 嚣滞g 。 m 逸地。 2 5 平面弹性波通过多层声子晶体的反射和透射系数计算 ( 2 4 2 ) 场。在散射平面左边从左向右以及沿相反的方向的波能够被表达为 黜 _ 料 黜： + 料 仁4 3 ， 类似地，在散射平面右边，我们有 麓h 料料 离懈： 。 p 4 4 ， 把等式( 2 4 0 ) 代入到( 2 4 3 ) 以及( 2 4 4 ) ，我们得到 嘲h ，嚣，篡豫：； + 簇驯钢， 嘲m 主钏矧+ ，箸，笺豫孙 p 4 5 ， 这里我们应该注意到所有的平面波展开，包括入射和散射波，其参考点都是 该平面上中心散射体的圆心。如果我们把散射平面左边展开中心向左移动厅：2 ， 而右边展丌中心向右移动厅：2 ，其中历：为由一维单层散射体延展为二维晶体的 平移矢量( 如图2 1 所示) ，于是 霉翻= 嚣器 匿跚+ 蒸嚣 慝翻，【- ( 2 ) jl 鲸鳓儿( 1 ) jl 练纬儿( 2 ) j 中南大学硕士学位论文第二章有限场的多重散射理论 慝跚= 曩鬈 匮跚+ 鬈鬈 慝翻。【- ( 1 ) j 【缆鳐儿( 1 ) j 【- 赈鲡儿( 2 ) j 其中 龟蔷= 蛙咖毒6 啦6 s s + 铖m 嚣咖毒， ( 2 - 4 6 ) ( 2 - 4 7 ) 这里榉被定义为 le x p ( s i k ；g , 。历2 2 )l 群= l i 。 ( 2 4 8 ) i e x p ( s i k ；, g 。a 2 2 ) i 一旦单个散射平面的散射矩阵被确定，我们很容易获得两个甚至2 n 个散射平 面的散射矩阵【2 1 ，2 2 1 。进而，通过适当的组合我们可以得到含任意散射平面数的散 射矩阵。由于纵波和横波能流可以表示为( 名+ 2 ) 缈( 咯略) k 和 缈( 么绉) k ，我们可以得到能流透射系数丁和反射系数r 为： ( 兄+ 2 ) 曙阿霹p + 堙堙卜j 丁( 尺) = 上陌面碱雾i 丽虿砺瓦广。( 2 - 4 9 ) 其中讼) g ，) g 以及吻) g 各自为入射波分量、反射波分量以及透射波分量， 幸号表示复共轭。 2 6 两类常见的排列 现在让我们来考虑二组元二维复合介质中两种常见的排列及其倒格矢和第 一布里渊( b r i l l o u i n ) 区。 2 6 1 二维正方形排列 图2 2 a 为二组元声子晶体按正方形排列时在x y 平面上的分布。此时，倒格 矢霞和简约波矢石都是二维的。相应的，其第一布里渊区也是正方形，如图2 2 b 所示。 中南大学硕士学位论文 第二章有限场的多重散射理论 为： 囝 ( b ) 图2 - 2a 、b 为正方形排列的声子晶体的结构图和其对应的第一布里渊区 在圆柱体以正方形排列时，晶格平移矢量j i 。= 蟊+ 刀：云：中的基矢厅。和厅： 一 0 口l2 d z 一 皂 a 22a j ， 相应的，倒格矢露为： ( 2 - 5 0 ) k = n l b l + n 2 b 2 ， 云：丝；，( 2 5 1 )执= z ，二一o l ， a ： 2 z ： b 22 j 口 其中 1 。，刀：为整数，a 为晶格常数；五和丘分别是x 方向和y 方向上的倒格 子基矢。由此可见，在倒空间中，无论是倒格子元胞，还是第一布里渊区，都是 正方形的。 2 6 2 二维三角形排列 以三角形排列的二维声子晶体在x y 横截面上的分布如图2 - 3 a 所示，与之对 应的第一布里渊区如图2 - 3 b 所示。 在圆柱体以三角形排列的情况下，晶格平移矢量j i 。中的基矢为： 一 0 口l 2a l ， 厅，：旦；+ 鱼? ， ( 2 5 2 ) 口22 了2 + _ 厂， 二一。z 7 2 3 中南大学硕士学位论文第二章有限场的多重散射理论 o oo ( a ) ( b ) 图2 - 3a 、b 为三角形排列的声子晶体的结构图和其对应的第一布里渊区 那么，其倒格矢可以表示如下： k = 月l b l + n e b 2 ， ( 2 - 5 3 ) 式中确， 2 为整数；五，匠是倒格子基矢，分别为： f 2 万?2 万乞 轨2 了卜瓦j 一：拿7 ，(254)b2 2 瓦j ， 。矿 由上可见，在倒空间中，倒格点还是三角形排列。但此时的第一布里渊区是 正六变形。 2 7 结果和讨论 本章我们给出了二维声子晶体有限场的多重散射理论。该理论可用于研究二 维固体一固体和二维固体一液体声子晶体。对于这个理论，主要结论如下： 1 、弹性波( 声波) 在声子晶体中传播所满足的方程是弹性动力学方程，该 方程适用的条件是介质一定要连续、线弹性、均匀和各向同性。 2 、层间多重散射理论容易处理高弹性失配的固流混合组分体系 3 、适用范围很广，对于任意结构的圆柱体排列都是成立的。 4 、圆柱按正方形和三角形排列时，填充率是不同的。 2 4 中南大学硕士学位论文 第三章二维声子晶体平板成像规律 3 1 引言 第三章二维声子晶体平板成像规律 在1 9 9 2 刀年，提出了声子晶体的概念，这是一个全新的领域，研究时间甚短。 由于声子晶体是一种周期性排列的规则结构，受光子晶体呻吲1 的启发，发现在一 些平板声子晶体结构中也会出现类似光子晶体中的负折射特征成像，2 0 0 4 年， 张向东教授用多重散射方法模拟了声子晶体三棱镜中的折射过程胁1 ；南京大 学f e n gl i a n g 提出了第一日- - 匕i a 带回波负折射现象，并首次分析了固固体系中横波 的负折射效应列；q i uc h u n y i n 等从理论分析了声子晶体中理想与非理想成像。 这些现有理论对平板内部声波的会聚过程基本没有描述，对平板成像的宏 观物理图象和微观机制不太清楚；对成像过程中像差的产生原因，以及如 何消除也不清楚；入射角变化下，成像变化规律等有待与研究。各种负折射特征 的成像方法仍在检验、发展和完善之中。 本文主要采用的是圆柱体排列的平板声子晶体，因此采用m s t 方法进行模 拟，研究了声子晶体在入射角变化时的成像规律，试图达到等效负折射率和自准 直效应的统一。 3 2 基本模型 本文主要研究二维三角形排列的声子晶体的负折射行为，以二维钢水声 子晶体为模型，材料参数，水：p ：1 0 1 0 3 k g m - 3 ，c i = 1 4 9 x 1 0 3 m j ，c t = o m j ； 钢柱：p = 7 6 7 x1 0 3 k g m 4 ，c ，= 6 0 1x1 0 3 m s ，q = 3 2 3x1 0 3 m s 一。其中夕，c t ， c t 分别为材料密度，纵波波速，横波波速。 3 3 高斯波源下平板的折射现象 在模拟中，选取上面的基本模型，采用2 0 层排列，并且选择样品表面的法 向方向为t x 方向( 在整篇文章中，若没有特别说明，所选取样品表面都是沿着 t x 方向) 如图1 ，入射高斯波的频率选取f = 0 6 5 ，柱体半径为1 3 ，平板填充率f 为0 4 0 3 。 2 5 中南大学硕士学位论文 第三章二维声子晶体平板成像规律 图3 - i 二维铜，水声子晶体排列示意图，小三角图为基本结构单元的排列方向 在图3 - 2 中，分别模拟了高斯光束吼不同角度入射时，声波在晶体中的 偏折情况。 图3 2 ( a ) 正三角结构中， 射角为15 。和2 0 。时的女折射光路图。 囤3 - 2 ( b ) b 正三角形结构中，八射角为2 5 。和八射角为3 3 。时的负折射光路图 - - - - - - - - 中南大学硕士学位论文第三章二维声子晶体平板成像规律 图32 ( e ) 正三角形结构中，八射角为4 2 。和八射角为4 5 。时的女折射光路图 雷一譬一蚕 中南大学硕士学位论文第三章二维声子晶体平板成像规律 八i。旷 t 图33 最虚线代表负折射路径，线虚线描述正折射路径，口，口，y 分别 为八射角，自折射角，正折射角 在圈3 - 2 一系列圈中，可以清楚看到声波的偏折情况，入射波方向和折射波 方向明显地分居法线同一侧，显示出负折射特征传播。但随着八射角度的增大， 特别当入射角度大于等于4 5 度时，这种特征不明显，直至消失，借助于s n e l l 定律，看是否遵守其规律，当为理想负折射材料，则最大折射角最大只能是4 5 度，从图3 2 ( e ) ( f ) 可以看到负折射现象模糊、甚至已经消失，可见s n e l l 定 律在声予品体中一定范围内也起着一定的作用。 中南大学硕士学位论文第三章二维声子晶体平板成像规律 3 04 0 图3 - 4 随入射角口的变化，折射率的变化曲线图 图3 4 分析了入射角变化和折射率之间的联系。当入射角在o 一3 5 度之间变 化时，折射率基本遵循反s n e l l 定律，可以说明我们可以采用等效负折射率对声 波在声子晶体中的负折射进行研究。 3 4 点源成像规律 上述高斯光源在晶体中出现了负折射偏折现象，受此启发，为了研究负折射 特征成像机理，我们选取点源观察成像情况。 负折射效应的出现使得扁平透镜的制作成为可能。与曲面透镜相比较，扁平 透镜易于制作，产生较小误差，增大分辨率。人们已经在光子晶体中发现了负折 射成像效应，而且可以根据光子带结构确定有效折射率。通过对光子晶体研究的 启发，这一章，我们研究二维声子晶体平板成像。几何光学中，折射率是用来描 述各向同性均匀介质的光学性质的，无须考虑介质的微观结构。但周期结构的声 子晶体是各向异性的，其结构常数与入射波波长处在同一数量级，很难看作是均 匀介质，这样就存在各向异性如何与负折射率等效的问题。而且对于等效负折射 率成像，n 一1 是理想的成像情况，更多的现实情况是折射率为负，但n 一l 的 非理想成像，具有怎样的特征，目前也不清楚。自准直成像和等效负折射率成像 是否存在统一的解释也是有待探讨的问题。但是无论何种成像方法，散射波的会 聚是它们的共同特征，声子晶体平板呈各向异性也是客观存在的事实。下面以二 维钢水声子晶体平板为模型，借用几何光学中光路成像方法，从散射波会聚的 中南大学硕士学位论文第三章二维声子晶体平板成像规律 角度分析平板成像中散射波的会聚特征，并由此探讨周期结构平板负折射特征成 像的机制和物理图像。 3 4 1 一般规律 借用几何光学中光路的概念，分析平板成像。图3 5 给出了负折射成像 的示意图： ：j，二。j o j v- l | 1 7 旁 t | 彩n 7 狳 貉g _ ? 。? 。，? ? “每嘞 图3 - 5 声波在二维声子晶体中几何传播示意图 平板的厚度为d 点源s 距平板左端面距离为物距u ，平板右端面到外部像 的距离为像距n 板的等效折射率为r 。口，y 分别为入射角和折射角。经平板 偏折，将会形成内部像点s o 和外部像点s i 。x ，_ ，y ，y 。见途中标识。根据 s n e l l 定律： 则 由图又可知 推出 s i n 口 s i n ，= 刀 c o s7 = 订i 而 t a i l 口：旦 甜 y t a n 72 二_ x 甜t a n 口甜f 丽 x = = 一 t a nyc o s 口 3 0 中南大学硕士学位论文第三章二维声子晶体平板成像规律 得出 s s 。：( 1 + 石( 而c o s 口) 甜( 3 一1 ) 同理根据右端界面的参数可以得出 s sl ：( 1 + c o s 口以f 而) d ( 3 2 ) 根据光路分析得到( 1 ) 和( 2 ) 式，很明显，当n 一1 时，s s 。在物距一定 时，会随着入射角的变化而变化，即内部像并不是固定的一点，砜在板厚度一 定时，也不是固定一点，而呈现一定的长度。 3 4 2 理想成像与非理想成像 刀= 一1 时，为理想成像情况，式( 3 1 ) 、( 3 2 ) 变为s s o = 2 u 、s s , = 2 d ，像 的位置与入射角无关，点物成点像，没有像差，正如图3 - 6 所示，是理想成像的 情况。 么岔太么委 图3 - 6 理想成像示意图 对于具有负等效折射率，但n 一1 的系统，按照折射定律，入射角大的声波， 折射角亦大。因此，不同入射角的声波，会聚的位置不一样。在平板左端面折射 时，大角入射的声波会聚趋左，小角入射的声波会聚趋右，具体位置由( 3 一1 ) 、 ( 3 2 ) 式确定，内部形成会聚的线斑。声波从平板内部经右端面出射时， 在平板右端面会出现类似的折射情况，最终，在平板右边形成线特征的像， 正如图3 - 9 ，是非理想成像的情况。 中南大学硕士学位论文第三章二维声子晶体平板成像规律 图3 - 7 力一1 时成像示意图 非理想平板成像中( 图3 - 7 ) ，这种因为入射到平板的声波角度不同而形成 的像差，类似于几何光学中球面透镜的球差，可称之为平面像差。 下面我们仍以前面提到的模型为基础，好多文献都已显示出负折射行为能够 由带结构和等频线( e f c ) 曲线得到，这种思路已经延伸到声子晶体中，并得到了 一定的肯定1 。图3 8 是该声子晶体的带结构和第二条带上的等频色散线。 ：o|oe：e：o：s_oooll：=eoooo：|：o：e：|：!eoo：ee皇 v o o e 8 i 。 ：a i f f = ：0 9 8