（应用数学专业论文）半线性椭圆方程解的存在性.pdf

摘要 本文应用扰动方法讨论了一类半线性椭圆方程解的存在性问题具体讨论的 方程是： 在这里3 且p 是次临界指标，即1 p 以 让 + 、 0 足 础 一 钍 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，b yu s i i l gp e r t u r b a t i 0 m e t h o d sw es t u d yt h e 谢s t e n c eo fn o n t r i a l l s o i u t i o n sf o rt h ef 0 u 订n gs e m i 1 i n e a re l l i p t i cp r o b l e m w h e r e 3a n dpi sas u b c r i t i c a l le ) c p o n e n tn 锄e l y l p m 让 + 1 o r 耿 一 u 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工 作所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人 或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已 在文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名： 易l 两a 日期：渺3 年j ，月她日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权 中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通 过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名： 易l 冯，、1 日期：3 年歹月勰日 导獬：李王，象 日期：俨3 年f 月硇日 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本人的 学位论文提交a l i s 高校学位论文全文数据库”中全文发布，并可按“章程”中的规 定享受相关权益。圄童途塞握銮卮溢卮；旦坐生；旦二生；旦三生筮查! 作者签名： 易i 砒 日期：础年f 月船日 抑船巷二睦 日期：8 年f 月日 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 1引言及主要结果 我们考虑如下半线性椭圆问题： 在这里3 且1 p 滞该方程的解是能量泛函 狮) = 厶知砰州咖2 肛寿厶m 升1 出， 在日1 ( r n ) 中的临界点由于日1 ( ) q 1 ( r ) 非紧，即使p o 因此，寻找( 1 2 ) 的驻波解等价于找到一个u o 满足 一e 2 t + y ( z ) = w ( z ) t ，( 1 3 ) 1 d0 = 叶础 在这里y ( z ) = q ( z ) 一口为了获得( 1 3 ) 的有限能量解，我们需要让日1 ( 兄) 近些年来，问题( 1 3 ) 的研究受到极大地关注，有许多结果表明( 1 3 ) 的解有集 中现象在 6 】中，a f z d e ，和a w e z 佗s e 讥考虑了= 1 ，p = 3 ，0 ) 三l 的情况 对于给定的y ，他们构造了问题( 1 3 ) 的一个正解让。，此时，当一。时u 。集中于 y 的非退化临界点他们在结果的证明过程中使用了l y a p u n o 弘s c h i d t 约化方 法后来他们的结果被y g o 九【2 5 ，2 6 】推广到 1 且1 p o ( 1 4 ) 本文所要考虑的是y ( e z + 如) = 1 + e o 仁) ，w ( 口+ z o ) 三1 的情况，即如下半 线性椭圆问题： ( 1 5 ) 在这里3 且p 是次临界指标即1 o 令非扰动泛函而( 让) 为： 孙) = 扣| 2 _ 击厶u + 州如， 同时令扰动泛函g ( u ) 表示如下： g = 扎巾妒， 于是我们有： 。 厶( u ) = 而( u ) + e g ( t 上) 显然非扰动问题( u ) = o 等价于椭圆问题： ( 1 6 ) ( 1 6 ) 有一个径向解u 并且这个解是唯一的( 见文【1 7 】) 从文【1 7 】可以知道u 和它 的径向导数满足下列的耗散性质， u ( r ) 一e i r l l r l - 孚， ，粥_ 1 r - 1 4 因为u 是问题( 1 6 ) 的径向解，所以 翟扛) = u 扛一) ， r ) ， ( 1 7 ) 也是问题( 1 6 ) 的一个解 现在阐述本文的主要结果： 定理1 8 当口缸) l ( r ) 且l i m h 一口( z ) = o 时，对所有的l e i 1 ，问题 ( 1 5 ) 有一个非平凡解 定理1 9 当口 ) = 辛时，对所有的| e i 1 ，问题( 1 5 ) 有一个非平凡解 3u o ， u 一叶趴 一 u 硕士学位论文 m a s t e r st h e s l s 注1 1 0 文【1 】曾提到定理1 8 的结论但未给予证明，定理1 9 目前看来是一个 新的结果 在叙述主要结果的证明之前，我们先给出一些有关的定义和记号： 定义1 1 1 设z 为日1 的一个光滑c 2 流形，o 击m ( z ) o 使得w ，比彬i 川i 1 时i i p g ，( 翟+ u ) l i c 成 立若存在岛使得 ， i m 雪。( ) = 岛 + 。” 关于i c l 充分小一致成立，则对于l c j 充分小，厶= 而+ e g 有一个临界点 对于定理1 ，8 和定理1 9 中所讨论的泛函，验证命题1 1 3 中的各种条件是本文 的困难所在解决了这个困难，我们就可以知道= 铭+ u ( 铱) 是厶的临界点 最后应用a a m 打o s e 掘，z ( 沲r c 洫a z 竹e r o 和，尸盯口c 在( 3 】中的扰动方法获得问 题( 1 5 ) 关于1 p 趟的存在性结果 我们给出本文中的几个标准记号：r 中士的范数为= ( 墨lk 1 2 ) ，一” 和“一”分别表示相应空间中的强收敛与弱收敛，xqy 表示x 连续嵌入y ， xq qy 表示x 紧嵌入】， 本文是如下组织的：在第二节中我们证明了一些初步结论并且在变分环境下 找到了厶的临界点，在第三节中我们给出了主要结果的证明 5 2初步结论 本节的主要爵的是证明一些初步的结论为主要定理的证明做准备： 设磊，g 移五为弓| 言中给定，z 为毛的一个非紧憔界流形。为了下面引理2 3 的诞明，让我们介绍一些记号记 r = 2 高扩 且，表示在球坐标下的毛印1 8 秘算子，两一t 表示l 印| 纛静b e 融8 趣i 算子( 欧 氏空间中l 印l a c e 算子在黎曼流形上的推广) a 2 住一1a 趣2 丽+ _ 磊 伊一t 一去毫( 佃谚毫) 在上面的第二个公式中，标准记号被使用：幽2 = d d 表示在酽一1 上的度 量，譬一矗e i ( 筠) 霹酱彰】= 碗】- 1 设妖( 君) 满足方程 一卵一k = h 磙， ( 2 1 ) 从文阴知这个方程有一个特征值序列，即 a = 奄( 惫+ 住一2 ) ，( 露一o ，l ，2 ，) 他们的重数是肌一，皈一2 ，在这里 髋= 黼舷o ) 越= 。，鼢 o 使得 ( p 石( u ) u ，u ) 七i 1 2 ，v t j 扣) o 了0 z ，( 2 9 ) 因此算子p 彤( u ) 的剩余谱是正的 根据注2 8 的陈述，我们有： 引理2 1 0 ( i ) 存在c o 使得l l ( p 硝( 翟) ) 一1 忆( m ，) c ，w ， ( i i ) 当i | 一。时，睢冗一致有r ) = d ( 1 1 ) 成立 证明：如同 1 】中l e m 僦4 7 ，我们有下面的证明过程因为名是方程 一翟+ 翟= 的一个山路解( 见文【1 7 】) ，根据注2 8 的陈述，存在七 o 使得 ( p 石( 誓) u 】，t j ) 七i l u i l 2 ，k r ，上嘎= ( ) o 夏z ( 2 1 1 ) 我们已经指出对任意固定的r ，不妨设 = 0 ，算子p 昭( z 0 ) = p 昭( u ) 是可逆 的，从( 2 1 1 ) 可知，存在七 0 使得 ( p 石( u ) _ ，u ) 七i l 锄1 1 2 ，上面= ( u ) o 而z 9 硕士学位论文 m a s t e r 。st h e s i s 成立设( z ) = p + f ) ，通过直接计算有 ( p 石( 瓷) p 】，u ) = ( p 石( u ) p 】，萨) 而且，当口上嚷时，矿上面因此， ( p 石( 毪) 如】，u ) = ( p g ( u ) 【】，莎) 七l i 1 1 2 = 七l i u l l 2 ( i ) 得证 由( 1 1 2 ) ，通过直接计算有 娥( u ) = ( 名+ u ) p 一名p p 名p _ 1 u = d ( i l u l l ) 故( i i ) 成立口 引理2 1 2 设f ( c ，：，u ) = p ( z + u ) + e p g ( z + u ) ，如果& z = k e 7 w ( 翟) 】，w 和对所有，石( 气) 是指标为。的n e d u l o l m 映射都成立，则映射 d u f ( o ，z ，o ) ：一是可逆的，并且对所有的z z ，存在坎= 坎( 名) 形 证明：如同【1 】中l e m m 口2 1 0 和l e m m 口2 1 1 ( i ) ，我们有下面的证明过程首 先，f g 1 ，f ( o ，z ，o ) = o 这是明显的因为仇f ( o ，z ，o ) ： 一p 石( z ) m ，所以对 任意的吼z ( i = 1 ，2 ，m ) ，有 ( 石( z ) g i ) = ( 石( z ) ，钉) = o ， 于是 p 石( z ) m = 石( z ) m ， 接着仇f ( o ，z ，o ) 【u 】= o ，就有嚣( z ) 【 】= o ，则口七e r 【聒( z ) 】n 彬由引理2 3 中的 ( i ) 知，u = o 这说明仇f ( o ，z ，o ) 是单射，再由引理2 1 0 中的( i i ) 知矾f ( o ，z ，o ) ： w w 是可逆的此时对所有的z z ，并对f ( e ，z ，) = o 应用隐函数定理，得 到一个解缺= 缺( z ) 彬口 引理2 1 3 如果存在c o 使得l i ( p 彤( 名) ) 一1 l i l ( ，眠) c ，比r ，和当 i l 叫i i o 时，比一致有r 0 ) = o ( i 1 ) 都成立；且存在c o 使得对任意 冗n 及满足对任意u wl i u l i 1 有l l p g 7 ( 名+ u ) i l c 成立，那么存在云 o 使得对每个i e i o 使得对每个f e l o ，l i 弑刮妒( e ) = o ， 使得m ，( 蛾，e ) ：) b ( 。) 一岛( 。) 因此，对这样的e ，方程( 2 1 4 ) 有唯一解 魄毒佼) 碱使褥l l 坎( 麓) | | 尹( ) 对所有的毒成立。口 命题2 1 5 引理2 1 2 可以允许我们应用隐函数定理证明一个局部性质：对每个 足够小，魄怎( 翟) 关于f 是c 1 的事实上，f 满足 p 嚣( 智+ 坎，) 【g + 以，】+ e p g ( 锪+ 坎，e ) 妇+ ，f 】一o ， 在这里，g 一墨lc i 雏& z 接着，对予= o ，有 p g ( 磁) k + 硝，】= o 因为q z e r 【石( z ) 】，于是有p 昭( 翟) 【g 】一o ，所以，p 石( 翟) ，】+ d ( | i 姚，i i ) = o ，再者零一。时，。( 1 姣，| | ) 一o ，剃p 嚣( 誓) 】= o ，又算子p 嚣( 翟) 是蜀逆的， 因此，“，e = o ( 见文【4 】) 引理2 。1 6 著垃= 缸豆1 ：( 髭( 珏) ，珏) = o ，毯o ) ，则存在一个与无 关的常数g o ，使得对任意牡a c ，有i f 札f i 至g 成立。特别地，对于满足 一2 l 十( 1 + 缸) ) 牡= 矿的任意非平凡弱解有陋8 至g 成立。 证明：对任意t 气有， 碘) _ ( 三一寿) z 旧砰娟+ 嘶) ) ) 词如。 硕士学位论丈 m a s t e r st h e s l s 由a ( z ) l ( ) 知，存在o o 使得当l c i e o 时，有川l o ) | i i 于是有 帅麒三一赤) 加v 砰+ 却出 则 砾) 至三( 三一南) 加v 砰肛三( 三一寿) | | 训2 又因为 脚) _ ( 三一寿) 厶妒1 如， 由s d 6 d f e 口嵌入定理得： 厶川舛1 出c 升1 ， 故有 丢( 丢一寿) l | 训2 纠乱) 蚓i 训州， 再由1 p o 将会在后面的证明过程中被选择令q = 南，由h 6 1 d e r 不等式我 们有 l a 如i ( 翟( p 叫。出) 吾( k ，e 1 2 如) 毒( 2 出) 专，( 2 2 2 ) ，i z i pi 叫 户，i z i p j fj z l p 通过直接计算我们有 i 丘ha 出l c - ( 丘蚓 pa 出l o 这样( 2 2 0 ) 被证进一步地， 因为口0 ) 三( ) ，使用上面同样的技巧我们可以证明v 七【o ，p ) 下面的式子成 立 l f 慧厶a ( 砒p 七砧咖出- o ， ( 2 2 5 ) 最后我们不难发现： 厶掣西出一厶时西如，厶咄) 咄p 出一厶n ( z ) p 出，厶口翟纰一。厶掣西出一厶时西如，厶n ( z ) 咄p 出一厶n ( z ) p 出，厶口( z ) 翟纰一o 联合( 2 2 0 ) 和( 2 2 5 ) 我们可以证明 ( 坎舯咖) 2 厶p 纰一厶以( 札一兆jr 謦jr n 即 一u 。，+ ( 1 + e 口( z ) ) u 。，= 峨，p 下面证明坎。= o 根据引理2 1 3 可知，当e o 时，i l 坎，川关于一致趋 于o 任取一串序列 靠) 冗，使得当七一o 。时，i 矗i o 。并且峨，“一咄， 对任取的e 成立任取7 7 o ，使得当 l e i e o ，i & l 叼时，任取七，有l l u 。，靠0 叩 r 于是，固定任意叼 o ，存在p o 使得对所有吲 p ，不等式i o ( z ) i ，7 成立故 存在c 1 0 使得k r 有 夕p ) c l 叼， 而且有 i 口( z ) ( 翟+ 缺，f ) 缺，e i 如 | 8 ( z ) l | 泸( ) l ( 名+ 嫉，f ) 缺f l 如， ，l 霉l p _ ，i 。i p 则 丘l p 陋o ) ( 翟+ 坝石灿岛“如c 2 ( 水p 引吒d 如+ 水p k 石f 2 如) - ，i z l p ，l z l p- ，l 王i p 硕士学住论文 m a s t e r st h e s l s 对于球b p = z r ： p ) 来说，只要g 【1 ，2 ) 就有日1 ( 啡) q q 己9 ( 屏) 因此在p ( 邬) 中u 。一o ，于是当一o 。，有 l o ( z ) ( 翟+ u ) 坎，d 如一o ， 又因为 i g 7 ( 钦+ 峨，e ) ，u 。，e l l q ( z ) ( 翟+ 缺，f ) 坎，f l d z + 郇( ) ， i 王l o 和o 6 1 下列不等式成立 ( 见文【1 ，p 0 9 e 5 6 】) i ( 口+ 6 ) p o p 一矽一1 6 l c 3 ( n p 一2 6 2 + 6 p ) ，0 2 ) i ( 口+ 6 ) p 一口p p 矿一1 6 i c 4 6 p ( 1 o 使 得i l ( p 石( 名) ) 一1 l i l ( k ，峨) c ，v r ，当l 川l o 时，比冗一致有r ) = 1 5 o ( u l i ) 成立，存在c o 使得l i p ( 翟+ u ) c ，比r ，v 莓彬l 川l 冬l ，成立 若存在g 使得 ，3 i m 吼( 翟) 一骗 l 鬟 关于h 充分小一致成立，则对于f c i 充分小，厶一如+ e g 有一个临界点 证明：为读者的方便考虑，我们给出详细的证明过程如果吼三g ，则任意 z z 是敦的一个临界点，对予充分小的| | ，z + 姣( z ) 是五的一个临雾点+ 否煲| j ， 五在魏= 椎，取得局部极大值或者极小值，而且对| | 充分小，存在冗 o 使得 l & l 篷r 设菇= 蠹k ，不失一般性，当一。时假设磊一z 4e 互由弓l 理2 1 2 知， 存在d o 使得f ( ，兹，。) = o 对黼 旬有一个解姣，眩) 。事实上毒满足 p 蹭( z 十缺，f ) 【口十u ：，e 】+ e p g 秽( 名十坎，) f g + u ：，】= o ， 在这里譬= 墨l 理稚疋z ，裂对一o ，有 p 硝 + 蛐，e ) 【g + “蠢1 = o ， 因为g 正z 至意甜瞄( z ) 】，于是夕譬( z ) 赋= o ，这就意味着碣，= o ，翼| l 有 1 0 坚。( 耽坎，( 旅) ，需) = 吣j = l ，2 n ) 接下来考察矩阵廖一( 咯) 巧，在这里咯= ( 鼠娥，专( 旋) ，需) 。选取满足o e l 镪使 褥对任意| | l 有 陋t ( b ) i o 使得l | c 1 o 使得 厶眷如q 上n lv 砰如， 协) 郅咱) ( 三一南) 厶砰陋 硕士学位论文 m a s t e r st h e s l s 则 孙) 墓圭( 三一南) i l 训2 。 又因为 砾) - ( 三一寿) 厶如， 由舶6 以e 材嵌入定理得，存在c 2 o 使得： fl 铭r 1 如c 2 | 舛1 ， 故有 越一南链扩s 脚) 酬到州， 再由l p o 将会在后面的证明过程中被选择令口= 南，由h 6 1 d e r 不等式我 们有 l 丘i p b 出i ( 五i p 誓沪砷。出产( 水pk 石1 2 如声( 水p 陟1 2 如声， ( 2 3 9 ) - ，l 茁i p ，l 互i p，l z i p，l l p 通过直接计算我们有 it 眦l o ，当q = 南，由h 6 l d e r 不等式有 乜帮出( 鼬罱脚( 鼬叱扩崩从卯疹 ( 2 4 3 ) 因为当一时，z i r ( 篙茅) 。如一o 所以有 厂筹乎出一o ( 2 4 4 ) 山 ri 互+ f 1 2 最后我们也发现： 厶出一厶p 妒出，上筹玉一上髻出，上簿如一。 1 9 硕士学位论文 m a s t e r st h e s l s 联合( 2 3 7 ) 和( 2 4 1 ) 我们可以证明 ( 沪厶岫p 纰一上卉池，r ，r i z r 即 一缺，+ ( 1 + 奔) 坎，2 缺，? 下面证明坎，= o 根据引理2 1 3 可知，当一。时，l l u 。，f l i 关于一致趋 于o 任取一串序列 矗 ，使得当一o 。时，l & i o o 并且缺，缸一缺， 对任取的e 成立任取7 o ，使得当 i e i e 0 ，i & l ，7 时，任取七，有j j 坎，缸l is 叼 r i 正i 硕士学位论丈 m a s t e r st h e s l s 由柯西不等式有 t 学如鲕t 辛如+ ql 酗 对于球研= _ z r ： r ) 来说，只要口【1 ，2 + ) 就有日1 ( 耳) q q 口( 耳) 因此在己。( 耳) 中坎，e o ，于是当一o o ，有 厂监挚如一o ， 山口胖 又因为 f g ，( 翟地d 怪t 监锗监如吲a ， o 和o 6 1 下列不等式成立 ( 见文【1 ，凡9 e 5 6 】) l ( n + 6 ) p 一0 p p 矿一1 6 i c 3 ( 口p 一2 6 2 + 酽) ，0 2 ) ( 口+ 6 ) p 一口p p 矿1 6 i c 4 6 p ( 1 p 0 有 i ( 心( 坎，e ) ，u ) i i ( 名+ 坎，f ) p 一p p 誓p - 1 坎，e i i 坎，f i c k c 5 l i 咄，f i l 2 + 口 j 社 。 把上面的不等式和( 2 4 8 ) ，( 2 4 9 ) 联立得到 l i u 。，e1 1 2 c 6 i l u 。，f 0 2 + 口+ d ( e ) ，( i e l 一。) 接着 j i mi k e l l 2 c 6 。j i ml i 咄胛扣， i c 卜_ i c j 最后，因为魄，f 当e ，o 时在日1 中充分小，所以当j c j 1 时 i e 慨e f i = o 注2 5 0 对于o ( z ) = 由的情形，上述引理2 3 3 ，引理2 3 4 和引理2 3 5 都已被 证明，为了本文叙述的简洁，定理1 9 的证明的完成所需要的其他命题及引理均与 0 0 ) l ”( ) 的情形相同 硕士学位论文 m a s r r e r st h e s l s 3主要结果的证明 本节的主要任务是证明定理1 8 和定理1 9 ： 足理1 8 的证明：考察泛函晚( f ) = j e ( 翟+ u e ，f ) ，于是有 饥( ) = 扣翟+ 缺一1 2 一丢上口( z ) ( 翟+ 扩如一击上( 翟+ 坎。卅1 如，( 3 1 ) 设c o = 而( 翟) 兰而( u ) ，由而( 名) = i l 气1 1 2 一南厶n ( ) 舛1 如可得 知1 2 = c o + 赤上n 矿1 如， ( 3 2 ) 而且一翟+ 翟= 窄蕴含着 ( 翟，耿) = ，- 翟p 咄出， ( 3 3 ) jr 一 把式( 3 2 ) 和( 3 3 ) 代入( 3 1 ) 得 钆( f ) = c o + 扣吣1 1 2 一南上【( + 吣) 舛1 一翟升1 一白+ 1 ) 窄叫一主厶口( z ) ( 翟+ 吣) 2 如 现在估计 厶i ( 2 乏+ 咄) 舛1 一名舛l 一白+ 1 ) 矿咄i 如c ，厶f 翟p 1 毗2 + 咄舛1 f ， ( 3 4 ) 根据引理2 1 7 ，命题2 2 6 和式( 3 4 ) ，当矧一o o 时，得 上i ( + 吣) p + 1 一翟升1 一( p + 1 ) 翟p 吣l 出一o ， ( 3 5 ) 又口0 ) l ，于是当一时，有 。口( z ) ( 翟+ 坎，) 2 一o ， ( 3 6 ) j 舻 最后使用引理2 1 7 ，命题2 2 6 和式( 3 5 ) ，( 3 6 ) ，对所有l e i e 1 ，有 k 慧吼( 名) 2 印- 于是根据命题2 3 0 得问题( 1 5 ) 存在一个解口 定理1 9 的证明：考察泛函吼( ) = 五( 翟+ 缺，) ，十是有 喇= 批饥1 1 2 一乏厶笋如一赤厶( 翟地扩+ 1 出 ( 3 7 ) 设c d = 如( 名) 三而( u ) ，由j l d ( 翟) = i l 翟1 1 2 一赤厶( 名) 升1 出可得 知1 2 - 匈+ 南厶矿1 出， ( 3 8 ) 而且一翟+ 气= 名p 蕴含着 ( 翟，) 2 厶名p 吒如， ( 3 - 9 ) 把式( 3 8 ) 和( 3 9 ) 代入( 3 7 ) 得 喇：c o + 拉一卜寿肌翟圳一矿1 舢1 w 廿兄铲出 现在估计 厶恢讹。州一矿1 一( p “) 枷i 邮c 1 厶博_ 1 2 p + 1 | ( 3 j o ) jr n j 埯1 根据引理2 3 3 ，引理2 4 5 和式( 3 1 0 ) ，当一o 。时，得 i ( 翟+ u 啪) p + 1 一翟卅1 一( p + 1 ) 誓p u i d z o ， ( 3 1 1 ) - ，r n 厂掣一o ， ，r ni z l 2 。 最后由引理2 1 7 ，命题2 2 6 和式( 3 1 0 ) ，( 3 1 1 ) ，对所有i c i e l ，有 k 吼( 麓) 2 c 0 于是根据命题2 3 0 得问题( 1 5 ) 存在一个解口 参考文献 【1 】a 凡n b r o s e t t ia n da m a l l c l l i o d i ，p e r t u r b a t i o nm e t h o 凼a n ds e 面l i n e a re 1 1 i p t i c p r o b l e n l so nr ，b i r l 【l l 苞u s e r - v b r l a g ，b a s e l b o s t o 【卜b e r l i n ，2 0 0 5 【2 】a d j m r t l l i a n da m 曲as e k a r ，r ，o l eo ft h ef u i l d 缸n e n t a ls o l u t i o ni nh a r d y - s o b o l e v t y p ei i le q h 缸i t i ，p r o c r 0 y a ls o c e d i n b u r g h l 3 6 a ( 2 0 0 6 ) ，1 1 1 1 一1 1 3 0 【3 】a a i n b r o s e t t i ，j g a r c i aa z o r e r oa n di p e r a l l ，r e m a r k so nac l a s so fs e m i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o 瑚o nf ，v i ap e r t u r b a t i o nm e t h o d s ，a d v n o i l l i n e a rs t u d 1 ( 2 0 0 1 ) ，1 1 3 【4 】a a m b r o s e t t i ，a m a l l c b j o d ja n dw m n i ，s i n 刚a r l yp e r t b e de l l i p t i ce q u a - t i o 璐谢t hs y m m e t 珂：e 托s t e n c e0 fs o l u t i o n sc o n c e r t r a t i i l go s p h e r ei ，c o m m m a t h p h y s 2 3 5 ( 2 0 0 3 ) ，4 2 7 - 4 6 6 【5 】a a m b r o s e t t i ，v e e u i a 口da m 甜c h i o d i ，g r o u n ds t a t e so fn o i l l i n e a r s c h r 6 d i n g e re q u a t i o 璐w i t hp o t e t i a l sv a 丑i s h i i l ga ti n 丘i l i t y j e u r m a t h s o c ， 7 ( 2 0 0 5 ) ，1 1 7 - 1 4 4 【6 】a f l o e r 衄da w b i n s t e i n ， n o n s p r e a d i n gw a v ep a c k e t s f o rt h ec u b i c s c h r 6 d i n g e re q u a t i o s j f u n c t a n d 6 9 ( 1 9 8 6 ) ，3 9 7 - 4 0 8 【7 】d a n a 西i o aa n dg r 0 船j m ，ap e r t u _ r b a 土j o nt h e o r e mf b rt h ee q u a t i o n 一让+ 入t 正= 舻i nl l l l b 0 1 m d e dd o m a i l l s ，n o i l l i 】1 e a ra n a l y s i st m a2 8 ( 1 9 9 7 ) ，1 8 6 7 - 1 8 7 7 【8 】d c a 0 ，e s n o u s s a i ra n ds y a n ，s o l u t i o n s 耐t hm u l t i p l ep e a k s f o rn o n l i n e a u r e l l i p t i ce q u a t i o i l s ，p r o c r o y a ls o c e i 抽1 b u r g h1 2 9 a ( 1 9 9 9 ) ，2 3 5 - 2 6 4 【9 】d c a 0a n de s n o u s s 出，m 心i - b 岫ps t a n d i n gw a e s 而t h ac r i t i c a l 丘e q u e n c y f o rn o t l l i n e a rs c h r 6 执g e re q u a t i o n s ，j d 赶e q u 2 0 3 ( 2 0 0 4 ) ，2 9 2 3 1 2 【1 0 】d c a 0a n dh p h e 尬，u 1 1 i q u e n e 鹃o fp o s i t i v e 趾d t i b u m pb o u n d s t a t e so f n o n l i n e a rs c h r 6 出n g e re ( 1 u a t i o n s ，m a t h z 2 4 3 ( 2 0 0 3 ) ，5 9 9 6 4 2 【1 1 】d g i l b a r ga n dn s n u d i n g e r ，e u i p t i cp a r t i a ld 证f e r t i a le q u a t i o n so fs e c o n d 0 r d e r ，s e c o n de d i t i o n ，s p r i n 分v e r l a g ，b e r l n h e i d e l b e r 分n e w