（信号与信息处理专业论文）pascal滤波器设计.pdf

摘要 b u t t e r w o r t h 滤波器和c h c b y s h e v 滤波器在电子系统设计中是最常用的两种 滤波器。他们具有设计简单、调整方便等优点。b u t t c r w o r t h 滤波器在通带内最平 坦但是其阻带衰减比较慢：c h e b y s h e v 滤波器阻带衰减特性比较好但在其通带有 等幅度的纹带波动。所以在滤波器的设计领域人们一直在试图找到一种新的逼近 方式，所求的传递函数其通带波动接近最平坦，而阻带衰减接近c h e b y s h e v 滤波 器的衰减特性。本文提出一种新的滤波器设计方法呻a s c a l 滤波器设计方法，并 对设计结果进行了仿真验证，取得了良好的效果。本文的创新点如下： l 、利用p a s c a l 多项式给出了p a s c a l 滤波器传递函数的计算方法，并对其进行仿 真。结果表明，在同样的阶数下，p a s c a l 滤波器通带内的纹带波动比c h e b y s h e v 滤波器的小很多，而在阻带内具有比b u t t c r w o r t h 滤波器更好的衰减特性 2 、给出了p a s c a l 有源滤波器的设计方法，并利用s p i c e 电路仿真软件对所设计 的滤波器进行仿真，从而验证了所设计的p a s c a l 滤波器的特性。 3 、根据所求出的传递函数设计了p a s c a l 无源滤波器，并给出实例验证，对其进 行电路仿真。最后综合了2 1 0 阶归一化的p a s c a l 无源滤波器设计表。 本文所提出的新型p a s c a l 滤波器设计方法，基本实现了p a s c a l 无源滤波器和 p a s c a l 有源滤波器的设计。 关键词：p a s c a l 多项式；p a s c a l 滤波器；b u t t e r w o r t h 滤波器；c h e b y s h c v 滤波器； s a l l e n k e y 电路；综合法 a b s t r a c t i nt h ed e s i g no fe l e c t r o n i cs y s t e m ，b u t t e r w o r t hf i l t e r sa n dc h e b y s h e vf i l t e s ra r e t w ok i n d so ft h em o s tc o m m o n l yu s e df i l t e r s t h e ya r es i m p l ei nd e s i g na n d a d j u s t a b l e i nt h ep a s s b a n d ，b u t t e r w o r t hf i l t e ri sm a x i m a l l yf l a t ，b u ti t sa t t e n u a t i o na t t h es t o p b a n di ss l o wc o m p a r e dt ot h a to fc h e b y s h e vf i l t e r ；o nt h eo t h e rh a n d ，t h e a t t e n u a t i o no fc h e b y s h e vf i l t e ri sb e t t e rt h a nt h a to fb u t t e r w o r t hf i l t e ri nt h es t o p b a n d ， b u tt h ec h e b y s h e vf i l t e rh a se q u i r i p p l ec h a r a c t e r i s t i ci ni t sp a s s b a n d t h e r e f o r e ， p e o p l eh a v eb e e nt r y i n gt of i n dan e wa p p r o x i m a t i o nm e t h o d ，w h o s et r a n s f e rf u n c t i o n i sn e a r l ym a x i m a l l yf l a ti nt h ep a s s b a n da n di t ss t o p b a n d sa t t e n u a t i o ni sc l o s et ot h a t o ft h ec h e b y s h e vf i l t e ra t t e n u a t i o nc h a r a c t e r i s t i c i nt h i sp a p e r , an e w t y p eo fp a s c a l f i l t e rd e s i g nm e t h o di ss u g g e s t e d ，a n dt h es i m u l a t i o nv e r i f i c a t i o ni sg i v e nt oi m p r o v e t h em e t h o di sr e s u l t f u l t h ei n n o v a t i v ep o i n t so f t h i sp a p e ra r ef o l l o w e d ： 1 b a s e do nt h ec h a r a c t e r i s t i c so fp a s c a lp o l y n o m i a l ，t h em e t h o dt od e r i v et h e a p p r o x i m a t i o no f t h et r a n s f e rf u n c t i o ni si n t r o d u c e da n dt h em a g n i t u d er e s p o n s ei s s i m u l a t e d f o rt h eg i v e no r d e r , s i m u l a t i o nr e s u l t ss h o wt h a tt h er i p p l ei nt h e p a s s b a n di sm u c hl e s st h a nt h a to fc h e b y s h e vf i l t e ra n dt h ea t t e n u a t i o ni nt h e s t o p b a n di sl a r g e rt h a nt h a to f b u t e r w o r t hf i l t e r 2 t h em e t h o dt od e s i g na c t i v ep a s c a lf i l t e ri sd e m o n s t r a t e d t h ef r e q u e n c yr e s p o n s e o ft h ed e s i g n e df i l t e ri ss i m u l a t e du s i n gs p i c e ，w h i c hg i v e st h es i m u l a t i o nr e s u l t s ， a n df u r t h e rv e r i f i e st h ec h a r a c t e r i s t i c so ft h ep a s c a lf i l t e r 3 b a s e do nt h ed e r i v e dt r a n s f e rf u n c t i o n ，t h ep r o c e d u r e so fp a s s i v ep a s c a lf i l t e r d e s i g ni sl i s t e d a ne x a m p l eo f 5 mo r d e rp a s c a ll o w p a s sp a s s i v ef i l t e rd e s i g ni s p r e s e n t e d f i n a l l y , t h en o r m a l i z e dp a s c a lp a s s i v ef i l t e r so f 尹t o10 mo r d e ra r e s y n t h e s i z e d i nt h i sp a p e r , t h em e t h o do fan e wt y p eo fp a s c a lf i l t e rd e s i g ni s p r o p o s e d ，a n dp r o b l e m si nt h ep a s c a la c t i v ea n dp a s s i v ef i l t e rd e s i g ns o l v e d k e yw o r d s ：p a s c a lp o l y n o m i a l ；p a s c a lf i l t e r ；b u t t e r w o r t hf i l t e r ；c h e b y s h e vf i l t e r ； s a l l e n k e yc i r c u i t ；s y n t h e s i sm e t h o d 第一章绪论 1 1 滤波器概述 第一章绪论 凡是可进行信号处理的装置都可以称之为滤波器。滤波器的功能就是允许所需 频率的信号通过，阻止其他频带的信号通过，其实质就是一个选频电路。 滤波器的发展可追溯到十九世纪九十年代。当时人们只是为了解决长距离传输 线的性能问题，采用插入线圈的方法，虽然收效甚微，但算是滤波器的“雏形”了。 到1 9 1 5 年，美国的g e o r g ea c a m p b e l l 和德国的k a r lw i l l yw a g n e r 分别各自发明 了滤波器。之后，滤波器的发展越来越迅速，也日趋完善。滤波器理论沿着“经典 滤波器理论 和“现代滤波器理论”两个方向发展起来。经典理论是由坎贝尔、若 贝尔等人在十九世纪二十年代发展起来，其中心内容是用影像参数法来设计无源集 总参数滤波器。使用这种理论虽然可以轻而易举的得出满意的结果，但是要得出更 精密和准确的结果，还是现代滤波器理论更好。现代理论是由柯尔( c a u e r ) 、达林顿 ( d a r l i n g t o n ) 等人在十九世纪三十年代发展起来的，它比经典理论更有普遍性，更有 效。 滤波器的发展经历了从无源滤波器到有源滤波器、从分立元件滤波器到集成滤 波器的阶段。早期的r l c 滤波器是分立元件无源滤波器，但其损耗大、非线性、 体积大、很容易引入噪声等固有缺点无法改善，后来人们着力于有源滤波器的研究。 1 9 4 5 年b o d e 提出了用高增益反相放大器作为有源元件与无源回路组成反馈放大 器理论的基本思想。之后，人们不断研究出各种有源滤波器。其中由r - p s a l l e n 和e - l k e y 提出的r c 有源滤波器一般设计理论最具经典。上世纪七十年代，集 成电路的发展为集成滤波器的迅速发展和普及提供了物质基础。进入八十年代以 后，集成有源滤波器设计迅速发展。如今，有源滤波器已经广泛应用于各种领域， 进入实用阶段。 从技术的角度来看，滤波器的发展经历了由模拟到数字再到模拟的阶段。滤波 器最早以模拟形式出现，但是由于集成电路固有的不准确性和非标准化，使得模拟 滤波器有很多的缺点，使得数字滤波器最先得到发展。在数字信号处理中，数字滤 波器有很好的低频特性。但是在处理高频信号时，数字滤波器需要用到数模、模数 转换等模块，受到采样率的限制，极大地限制了其应用范围。所以数字滤波器发展 到一定阶段，又不能完全满足某些领域中处理高频信号需求，使得模拟滤波器又有 第一章绪论 了一定的发展空间。 随着各种应用的需求，滤波器的理论和技术方法也在不断地完善和更新，早期 的l c 滤波器也得到了极大的提高和改进。近些年来，各种新型滤波器的不断出现， 相互弥补彼此之间的不足，在很多领域完善和弥补了应用中的不足。 1 2 滤波器的分类 1 2 1 模拟滤波器的分类 滤波器的种类很多，而且随着技术的发展，种类还在不断地增加。总的来说， 滤波器可以分为两个类：无源滤波器和有源滤波器。 1 无源滤波器 无源滤波器中，所使用的都是无源元件。它们在组合的情况下，能够把一种形 式的能量变换为另一种形式，并重新变回到原来形式，换言之，他们必须是调谐共 振的。在一个谐振体中，用来标志能量交换效率的一个参数为品质因数或者q 值。 在某一规定的条件下，如果有几种可供选择的元件，通常选用q 值较高的一种。 无源滤波器主要有l c 滤波器、晶体和陶瓷滤波器、机械滤波器、分布参数滤波器 等等。 l c 滤波器是一种历史最悠久的滤波器。对l c 滤波器的设计，普遍采用镜像 参数法。这种方法优点是数字计算简单，但其实际衰减特性与理论相差较大。另外 一种设计方法为插入衰减法。按照这种方法设计的滤波器，其实际特性与预先规定 的非常接近。 2 有源滤波器 有源滤波器是一种具有特定频率响应的放大电路，由运算放大器和一些r 、c 等元件构成，这些器件都是可以集成化的，所以使得有源滤波器有很多特点： 1 ) 重量轻、体积小。 2 ) 电路集成，可靠性高。 3 ) 高质量的元件易实现，电路特性好。 4 ) 设计过程比无源滤波器简单。 除了以上优点之外，有源滤波器克服了数字滤波器和开关电容滤波器在处理连 续时间信号时由于混叠响应而降低信道信噪比以及产生量化噪声的缺点。目前，全 集成滤波器已经成为学术界关注的前沿课题。 第一章绪论 1 2 2 数字滤波器的分类 数字滤波器总体上可以分为两类：经典滤波器和现代滤波器。经典滤波器使用 范围仅限于输入信号中有用信号频率和噪声频率在不同的频带，通过选频网络将噪 声信号滤除，就可以达到滤波的目的。但是当遇到信号和噪声频带相互混叠时，经 典滤波器就无法提取出有用信号了，只能借助现代滤波器按照随机信号内部的一些 统计分布概率，从干扰中提取有用信号达到滤波的效果。常用的现代滤波器有维纳 滤波器、卡尔曼滤波器、自适应滤波器等。 数字滤波器按照单位脉冲响应，又可以分为无限冲激响应( i 瓜) 滤波器和有 限冲激响应( f i r ) 滤波器。无限冲激响应( i i r ) 滤波器的设计方法有两种，第一 种是借助模拟滤波器的设计方法，将数字滤波器的技术指标转换成模拟滤波器的技 术指标，按照转换之后模拟滤波器的技术指标设计模拟滤波器，再利用冲激响应不 变法、阶跃响应不变法或双线性法转换成数字滤波器的系统函数。第二种方法是最 优化设计法，借助计算机辅助设计法。先确定一个最佳准则然后再在这个准则之下 确定系统函数。有限冲激响应( f i r ) 滤波器的设计方法主要有有窗函数设计法和 频率采样法，其中窗函数法常用的几种窗口是矩阵窗、三角窗、汉宁( h a n n i n g ) 窗、海明( h a m m i n g ) 窗、布莱克曼( b l a c k m a n ) 窗、凯塞( k a i s e r ) 窗。 1 2 3 按照滤波器选频分类 根据滤波器的选频特性，可以分为低通、高通、带通、带阻、全通滤波器。低 通滤波器在0 和截止频率皱之间的为通带，高于皱是阻带，其带宽为b = c o 。高 通滤波器在0 和截止频率皱之间为阻带，高于婢是通带。带通滤波器在两个截止 频率功p ic o p 2 ( c o p 2 f o p i ) 之间为通带，在0 和彩p l 之间以及彩p 2 以上为阻带。其 带宽为b = 。，一c o 。带阻滤波器c o ， 2 为阻带， l 时，频率响应幅度按照特定比例提高： 当k 。 l ，频率响应幅度按照特定比例减小，如图2 7 所示为其频率响应幅度变换 前后图。 i z o o o ) i 1 0 10 0 1o o o 图2 7 频率响应幅度变换前后图 转换前电路中电阻、电容和电感元件的电抗值为： 电路中各个元件值都乘以如： 乙= r i 乙i = 励 i ，i 1 2 瓦 k 。z r = k m z r ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) ( 2 - 3 3 ) 第二章预备知识 k i z j = 政, k l g , l z c l = 丽恧1 转换后电路中电阻、电容和电感元件的电抗值为： ( 2 3 4 ) ( 2 3 5 ) ( 2 3 6 ) 在介绍了频率响应幅度的变换之后，我们来分析在不影响频率响应幅度的情 况下，通过除以频率变换因子巧来改变滤波器的频率响应，频率响应变换如图2 - 8 所示。 1 0 10 0 1 0 0 0 图2 - 8 频率响应变换前后图 反归一化的频率响应中，频率的变化对滤波电路中的纯电阻元件没有影响，所以变 换前后电阻元件的电阻值不变。 r 。= r 砌 对于电感元件，在经过反归一化的频率变换之后 ( 2 3 7 ) 乙i - - - - t t t j l = ( k r , o ) z k i = ( 髟国) k ( 2 - 3 8 ) 、- v 第二章预备知识 其中 k 专 对于电容元件，经过反归一化的频率变换之后 其中 ( 2 3 9 ) z ri l _ ：l 一：! 一( 2 - 4 0 ) 川功c ( k o ) ) c 足，( k f o ) ) o 专 ( 2 - 4 1 ) 所以综合幅度和频率变换，我们可以得到，反归一化时电路中电阻、电容和电 感元件值变换为： 1q r 。= k m 氏| d 2 h ( 2 - 4 2 ) ( 2 - 4 3 ) ( 2 - 4 4 ) 1q 图2 - 9 归一化电路 例如，将如图2 - 9 所示电路进行反归一化，假设电路中阻抗变换因子如= 5 0 ， 频率变换因子k = 1 0 5 ，在反归一化之后电路如图2 一1 0 所示。 苦乒 = = k 第二章预备知识 5 0 q1m h 图2 - l o 反归一化电路 5 0 q 第三章p a s c a l 滤波器的逼近 第三章p a s c a l 滤波器的逼近 全极点型滤波器的逼近问题我们已经比较熟悉，c h e b y s h e v 滤波器1 9 1 就是最常 用的全极点型滤波器之一，另外还有b u t t e r w o r t h 滤波器等。本章介绍一种新的滤 波器近似方法呻a s c a l 滤波器的逼近。 3 1p a s c a l 滤波器的逼近 下面我们利用p a s c a l 多项式研究p a s c a l 滤波器的逼近方法【l o 】。 n 阶p a s c a l 多项式】为： 乞( x ) = ( 一1 ) ( 玎! ) 一1 x ( x 一1 ) ( x 一2 ) ( x 一刀+ 1 ) ( 3 1 ) p a s c a l 多项式具有下列性质： 当0 咋时，因为只( 旦缈) 是单调i s 增或者单调递减的，所以 。 国 要( 砰( 旦国) ) 0 或者4 - ( 砰( 旦缈) ) o ，则日( 缈) 在阻带没有纹带波动。 口f o 缈 “f _ d 缈 当彩 咋时，有可能出现使晏( 砰( 旦国) ) = 0 点，所以日( 彩) 在通频带有纹带 o d 缈 波动。计算可得1 日( - 缈) 1 2 在通频带波动范围为l 一 2 时，l o n ( o 5 7 7 + l o g l o 胛) 1 0 n ，所以p a s c a l 滤波器幅频响应的过渡带 衰减速度要比b u t t e r w o r t h 快。 3 4p a s c a l 滤波器的传递函数 令s = j n c o 蛾，占= 1 则 日( s ) 日( 一s ) = 雨丽1 ( 3 1 2 ) 将p a s c a l 多项式代入上式中，再进行计算可以得到p a s c a l 滤波器传递函数。 例如以= 2 时，具有如下的形式： 耶) 日( 叫= 百南 ( 3 - 1 3 ) 设她是p a s c a l 滤波器的3 d b 衰减点，那么 - 2 0 1 0 9 l h ( j o , c ) l = 3 ， 进而 一l oi o g h ( j w , ) 2 = 3 ， 也就是 设占= l 那么 h ( 吐) 1 2 = o 5 只( x ) k = l ( 3 - 1 4 ) 嗥 对于 = 2 b ( 加三几昙 将( 3 一1 5 ) 式代入( 3 - 1 4 ) 式中，得 x 2 = 詈 所以有( j o j ) 2 = 三 进而 国2 = 一三 由2 3 节幅度函数求转移函数可知， 缈2 ：一旦j 2 j ( 3 - 1 5 ) 第三章p a s c a l 滤波器的逼近 代入( 3 1 3 ) 式中，得 踯) 脚加瓦赫 ( 3 1 6 ) 如果选择p a s c a l 滤波器传递函数日( s ) 的极点都在s 域的左半平面上，那么 p a s c a l 滤波器就是有界输入有界输出的稳定系统。所以选择( j ) 何( 一j ) 位于s 域左 半平面上的n 个极点为h ( s ) 的极点，那么所设计的滤波器是稳定的。 进而求出2 阶p a s c a l 滤波器的传输函数 日( s ) = 孬再历8 瀛 同理可求n = 3 1 0 阶p a s c a l 滤波器的传输函数 n = 3 tt 、0 8 1 7 1 8 2 6 4 6 5 0 6 7 7 2 0 9 1 7 7 劝4 - 7 7 5 1 8 11j 。，i j 譬- = s + o 8 1 7 1 睁1 6 5 ( 舰，+ 0 8 1 7 1 8 2 6 4 6 5 0 6 7 7 2 s + 0 9 1 7 7 8 7 4 7 7 7 5 1 8 11 n = 4 月 n = 5 月= ( 3 1 7 ) ( 3 1 8 ) q 贷弱2 4 6 1 6 1 2 孓l a 回 ，+ 1 1 9 5 8 1 9 4 7 5 2 3 8 5 5 3 s + 0 6 9 6 1 7 8 2 4 5 8 5 2 9 5 8 ，+ q 4 5 l & 迟粥9 4 4 1 3 8 盘+ q 贷5 薹四6 1 6 1 2 9 l a 移 ( 3 1 9 ) 0 7 4 4 1 3 1 1 0 5 7 9 7 1 7 00 授蜘l7 i 淌8 5 = 9 5 8 s + 0 7 4 4 1 3 11 0 5 7 9 7 1 7 0 ，+ 1 1 9 5 8 1 9 4 7 5 2 3 8 5 5 3 s + 0 6 9 6 1 7 8 2 4 5 8 5 2 9 5 8 q 篼淌1 6 1 2 孓1 2 6 9 e + 0 4 5 i 6 9 9 3 6 9 4 4 1 3 8 3 s + 0 9 5 3 2 4 6 1 6 1 2 3 4 2 6 9 n = 6 月= ( 3 _ 2 0 ) s 2 + 1 3 9 0 8 2 0 4 5 8 0 7 7 6 2 9 s + 0 5 4 8 1 3 8 3 6 5 3 6 7 3 2 7 ，+ 1 0 瞪湛5 l ；4 9 l & 扣4 晒，+ 0 7 r 4 1 8 鲥1 0 8 0 9 4 3 4 1 4 o 9 6 3 1 7 【) 4 1 6 0 8 1 7 3 6 3 s 2 + 0 3 t 记懿图阻仃0 弼犸7 夸+ 0 9 6 a l7 i 明6 0 8 1 7 3 国 ( 3 2 1 ) n = 7 川s ) = 0 7 0 2 9 2 8 2 7 12 0 510 00 5 7 7 3 7 6l5 7 8 2 5 9 5 6 占+ o 7 0 2 9 2 8 2 7 1 2 0 5 1 0 0s 2 + 1 2 5 9 7 2 5 2 4 1 6 2 8 9 2 如+ 0 5 7 7 3 7 6 1 5 7 8 2 5 9 5 6 0 7 8l2 4l5 7 7 6 9 3 6 3l 0 9 7 0 18 6 8 6 8 0 8 9 5 8 2 墨2 + 0 8 5 7 8 7 3 2 1 9 4 4 3 4 0 & + o 7 8 1 2 4 1 5 7 7 | 6 9 3 6 3 l n = 8 - ( s ) = - 3 j s 2 + o 3 0 1 0 硎9 0 1 9 5 8 m + 0 9 7 0 1 8 6 8 6 8 0 8 9 5 8 2 ( 3 - 2 2 ) + 1 3 4 8 4 0 1 6 3 6 6 1 0 4 3 4 s + 0 5 2 8 ，十1 1 3 2 2 3 燃1 s + 0 6 1 6 1 4 8 8 1 5 2 1 3 6 7 5 q 8 1 3 二孙6 ( 亿弼么硒 q 9 7 5 3 1 3 二脚d c o d 4 晒 ，+ q 凇1 2 6 e ) b 9 7 4 1 2 = b + q 8 1 互羽i 6 i 匝9 览弱6 舄，+ q 2 熨想萝乃2 自甥鼢+ q 9 r 7 s 3 1 3 = ；4 a d c d 牺 ( 3 2 3 ) 第三章p a s c a l 滤波器的逼近 n = 9 日( 曲= o 6 7 6 0 1 8 9 0 6 9