（应用数学专业论文）几个特殊的自相似集的维数计算.pdf

硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 摘要 本文主要探讨几个特殊自相似集的豪斯道夫维数与盒维数的计算方法。文中根 据自相似集的结构特点给出了相应集合的豪斯道夫维数与盒维数的结果并在此基 础上将所得的结论进行了简单推广 关键词：豪斯道夫维数；盒维数；自相似集 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , w ed i s c u s st h ec a l c u l a t i o nm e t h o do fh a u s d o r f fd i m e n s i o na n d b o x d i m e n s i o nf o rs e v e r a ls p e c i a ls e l f - s i m i l a rs e t sa n do b t a i nt h ec o r r e s p o n d i n gr e s u l t s k e yw o r d ：h a u s d o r f fd i m e n s i o n ；b o xd i m e n s i o n ；s e l f - s i m i l a rs e t 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 懈名：嗜钫唧 日期：一印年厂月砰日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权 中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通 过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名：咯矽赡 日期：知r 7 年j 月w 日 导师签名： 日期：年月 日 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库”中全文发布，并可按“章程”中的 规定享受相关权益。回塞途塞埕銮压澄厦；旦圭生；旦= 生i 旦三生筮查! 作者签名：嗜红诈 日期：弘口7 年r 月呼日 导师签名： 日期：年月 日 硕士擘住论文 m a s t e r s t h e s i s 第零章引言 本文主要探讨几个特殊自相似集的豪斯道夫维数或盒维数的计算方法。全文共 三章，其中第一章主要介绍分形几何，1 1 简单论述了分形的特征；1 2 简要概 述了分形几何的研究对象；1 3 简单介绍了分形几何的实际应用。第二章主要介绍 两种重要的分形维数豪斯道夫维数与盒维数的概念、性质以及计算方法，2 1 说明 豪斯道夫维数的概念，性质；2 2 阐述盒维数的概念、性质，并举例说明盒维数的 计算方法。第三章主要研究几个特殊的自相似集的维数计算，其中3 1 介绍自相似 集的相关概念；3 2 具体讨论几个特殊的自相似集的维数计算。 第一章分形几何简介 在这一章里，主要介绍分形几何。其中1 1 简单论述了分形的特征；1 2 简 要概述了分形几何的研究对象；1 3 简单介绍了分形几何的实际应用。 1 1 分形的特征 众所周知，欧氏几何的研究对象一般都具有整数的维数，比如零维的点、一维 的线、二维的面、三维的立体、四维的时空。最近若干年产生了新兴的分形几何， 其研究对象具有分数维数，这是几何学的新突破，从而引起了数学家和自然科学工 作者的极大关注 什么是分形几何? 简单地说分形几何就是研究无限复杂但具有一定意义下的 自相似图形或结构的几何学。它给现代科学技术提供了新思想、新方法，已成为当 代科学最有影响和感召力的基本概念之一，其深远的理论意义和巨大的实用价值在 众多学科领域日益凸显 人们谈论分形，常常有两种含义。其一，它的实际背景是什么? 其二，它的确 切定义是什么? 数学家研究分形，是力图以数学方法，模拟自然界存在的及科学研 究中出现的那些看似无规律的各种现象。数学上所说的分形是抽象的。 事实上，到目前为止分形还没有一个严谨、科学的定义。一般地，人们常把具 有下述所有或大部分特征的欧氏空间中的集合f 称之为分形： ( 1 ) 结构的精细性：，具有任意尺度下的不规则比例细节； ( 2 ) 形态的不规则性：f 非常不规则，无论它的局部或整体均无法用微积分的 或传统的几何语言来描述； ( 3 ) 局部与整体的自相似性：f 具有某些自相似性或自仿射性，可能是近似 或者统计意义上的； ( 4 ) 维数的非整数性：f 的分形维数( 以某种方式定义的) 一般严格大于它的 拓扑维数； ( 5 ) 生成的迭代性：在许多令人感兴趣的情形下，的定义相当简单，可能由 迭代产生； ( 6 ) 通常f 有“自然”的外貌。 其中( 1 ) 、( 3 ) 这两项说明分形在结构上的内在规律性，自相似性是分形的灵魂， 2 它使得分形的任何一个片段都包含了整个分形的信息；第( 2 ) 项说明了分形的复杂 性；第( 4 ) 项所说的分形维数，是针对集合而言的；第( 5 ) 项则说明了分形的生成机 制。自相似原则和迭代生成原则是分形几何的重要原则。 维数是几何对象的一个重要特征量，它是几何对象中确定一个点的位置所需的 独立坐标数目。维数也可以是分数，是用来定量描述客观事物的“非规则”程度 分形维数作为分形的定量表征和基本参数，是分形几何的又一重要原则。 分形几何是非线性科学的前沿和重要分支，作为一种方法论和认识论，其启示 是多方面的：一是分形整体与局部形态的相似，启发人们通过认识局部来认识整体， 从有限中认识无限；二是分形揭示了介于整体与部分、有序与无序、复杂与简单之 间的新形态和秩序；三是分形从特定层面揭示了世界普遍联系和统一的图景。 1 2 分形几何的研究对象 分形几何是以复杂事物为研究对象的，或者说分形几何的研究对象是分形集 合。依据所研究的对象是否为线性，分形集合可以分为线性分形和非线性分形。线 性分形是具有自相似性的无序、无规则性的系统，其维数的变化是连续的，又称自相 似分形；其余的均为非线性分形，它是研究在非均匀线性变换群或非线性变换群下 几何图形的性质。 分形几何研究的问题主要是：( 1 ) 确定或定义分形：探索定义分形的有效方法， 例如迭代函数系就提供了确定分形的一种方法；( 2 ) 分形的局部描述：局部光滑的 曲线看起来与直线段类似，而分形没有这样简单的局部结构，诸如密度、切测度的 概念提供了分形的局部信息；( 3 ) 分形的度量：“度量”分形的常用方法是利用某 种形式的维数，然而维数只是提供了有限的信息；( 4 ) 对分形进行分类：我们寻求 根据重要的几何性质对分形进行分类的方法，一种处理方法是如果两个集合间存在 双李卜希兹但i p s c h i t z ) 映射，则将它们看成等价的( 正像在拓扑学中，如果两个集合 是同胚的，则把它们看成是等价的一样) ，并且寻求等价集的“不变性”，比如两个 双l i p s c h i t z 等价的集合有相同的维数。 1 3 分形几何的实际应用 分形几何揭示了复杂事物的形态都具有分形的性质。它是描述复杂自然形态及 其生成机制的重要数学工具，为人类建构新的自然图景提供科学基础。分形几何有 3 硕士学位论文 ，匹a s t e r st h e s i s 很强的解释能力，能说明大自然的许多形态发生和自组织过程，分形自相似原理和 分形迭代生成原理对于人们更好地认识世界起到了推动作用。 分形几何是一门交叉性的横断学科，广泛应用于振动力学、流体力学、天文学、 计算机图形学、分子生物学，生理学、生物形态学、材料科学、地球科学、地理科 学、经济学、语言学、社会学等学科；从根本上讲分形观念的引入不仅是一个描述 手法上的改变，而是反映了自然界中某些规律性的东西，因此分形几何还被用于海 岸线的描绘及海图制作、地震预报、图象编码理论、信号处理等领域，并在这些领 域内取得了令人注目的成绩；作为人类探索复杂事物的新方法，分形对于一切涉及 组织结构和形态发生的领域，均有实际应用意义，并在地质勘探、石油勘探、地震 预测、城市建设、癌症研究、股价预测、经济分析等方面取得了不少突破性的进展； 尤其要提到的是，分形几何给艺术创作增添了新的活力利用分形几何计算机可绘 制出扑朔迷离、变幻莫测的分形图形，从山峦、湖泊、云海、森林到童话世界、外 星景物，几乎无所不能。分形图案不仅可以直接用以绘画，还可以使用于电影特技， 动画制作等方面。 分形几何目前应用于各种不同的研究领域内，新思想、新方法大量涌现，不断 充实和完善分形几何的研究内容，使其越来越成为可与传统的欧氏几何学并驾齐驱 的一种探索大自然奥秘的新手段。 4 硕士擘住论文 m a s t e r st h e s i s 第二章维数及其性质 人们用分数维数来刻画分形集的复杂程度，正如用整数维数来刻画欧氏几何中 的对象一样。在测量集合时，其测量结果与所采用的尺度有关。由于分形集合的复 杂性，对于不同的测量对象需要用不同的测量方法。 本章主要介绍两种重要的分形维数豪斯道夫维数与盒维数的概念、性质以及计 算方法。2 1 说明豪斯道夫维数的概念、性质；2 2 阐述盒维数的概念、性质， 并举例说明盒维数的计算方法。 2 1 豪斯道夫维数 分形维数是对分形的复杂程度或不规则性的定量表征，是分形几何中的核心概 念。由于自然晃的分形种类繁多，因此分形维数也具有多种形式的定义。本节将介 绍豪斯道夫( h a u s d o r f f ) 维数。 在被使用的多种多样的“分形维数”中，以c a r a t h e o d o r y 构造为基础的 h a u s d o r f f 定义是最古老的也可能是最重要的一种。h a u s d o r f f 维数具有对任何集 都有定义的优点，由于它是建立在相对比较容易处理的测度概念的基础上，因此在 数学上也是较方便的。它的主要缺点是在很多情形下用计算的方法很难计算或估计 它的值。 2 1 1e l a u s d o r f f 测度 为了能定量地描述包括非整数值在内的维数，波恩大学数学家豪斯道夫在 1 9 1 9 年从测量的角度引进了h a u s d o r f f 维数的定义。其中h a u s d o r f f 测度定义如 下： 定义1 如果u 为n 维欧氏空间r “中任何非空子集，u 的直径定义为u 内任何 两点距离的最大值，即p i l 轴p 卜一) ，f ：x , y e u ，式中的s u p 是上确界的缩写， 一 扣一6 。善g ；一6 j ) 2 表示点4 i ( 口t ，q ) 与6 - 慨，“) 间的欧氏距离。 如果影； 为可数( 或有限) 个直径不超过6 的集构成的覆盖f 的集类，即 5 f c , j u l ，且对每一个f ，都有o t 阢l 6 ，则称缸) 为，的一个6 一覆盖。 i - i 设f 为r “中的任何予集，s 为一非负数，对任何6 ，0 ，定义： 哦阱i n f 倭阢i ：e ) 为肿一覆盖 式中i n f 是下确界的缩写。 考虑所有直径不超过6 的集f 的覆盖，并试图使这些直径的s 次幂的和达到最 小。当6 减少时，上式中能覆盖f 的集类是减少的，所以下确界日；( f ) 随着增加 且当6 一。时趋于某一极限记日。( ，) - l 。i 。r a ；护) 这个极限对于科中的任何子集f 都存在，但极限值可以是。或。日) 就被称为 f 的s 一维h a u s d o r f f 测度。 上述覆盖缸 可以认为是波雷尔( 肋，d ) 集族因阢l i t l ，而闭包孑t 黾b o r e l 集。 所谓b o r e l 集是r 。中满足下列性质的最小集类： ( 1 ) 每一个开集和每一个闭集都是b o r e i 集。 ( 2 ) 有限个( 或可数个) b o r e l 集的交或并都是b o r e l 集。 特别地，对于空集m ，日。和) 一0 ；如果e 包含于f 内，则日仁) s 曰( ，) 。 若亿) 为任何可数不交肋r d 集序列，则有： ( 0 e ) 。砉) 在h a u s d o r f f 测度的上述定义中，f 可以是分形，也可以是欧氏几何空间。 h a u s d o r f f 测度进一步推广了长度、面积和体积等概念。对于长度、面积和体积具 有下述的比例性质：当研究对象的比例放大a 倍时，相应曲线的长度放大a 倍，平 面区域的面积放大矛倍，三维物体的体积放大牙倍。对于5 维h a u s d o r f f 测度而言， 放大的倍数应是倍。这个比例性质是分形几何理论的基础。 6 上面的比例性质就是h a u s d o r f f 测度的比例性质，它可以用数学语言描述并证 明如下： h a u s d o r f f 测度的比例性质设f c r “，a o ；令灯- 舡：xe e f ，即f 按 比例放大a 倍。则有：h ( 舻) 一x h ( f ) 。 证明若缸) 为f 的一个6 一覆盖，则协以) 为肛的一个a 6 一覆盖。所以 h 乞) s 眦i - 刀附 因为上式对任何6 一覆盖移0 都成立，所以有： 日乞沁) 刀h ；( f ) 令6 0 ，可得： h 。沁) 墨( ，) ( 1 ) 上式中a 用 替代，f 用腰替代，可得： 汀7 ( 扣) s ( 护例 即5 a h 陋) s h l ( 艚) ( 2 ) 比较( 1 ) 和( 2 ) ，则命题得证。 以下列举了h a u s d o r f f 测度的一个性质。 命题z j 日( 0 e ) 墨砉化) 。 证明v e ，0 ，对每个f 考虑e 的6 一覆盖p f l 。： 荟i 1 1 0 ，c 2 0 ，使得 c 2 ( d 。似_ ) ，) ) sd ：( ，o ) ，( ) ，) ) c 1 0 。 ，_ ) ，) ) ，毛y e f 则f 称为双李卜希兹映射。 容易看到，若f 满足口阶赫尔德条件，则，为连续映射。特别，若f 为双李h 希兹映射，则f 为单射，从而，1 存在。 命题2 2 设，c 五，f ：，一x ：满足口阶赫尔德条件，则对任意s 苫o ，有 ，j 日i ( ，( f ) ) c = 日( f ) 。特别地，如果f 为李h 希兹映射则有 8 僻 盼 日 r 。擎 h i 。p 。善 、厂 e 0 。沙m 。儿d “忙， u m 项士学位论文 m a s t e r st h e s i s ( ，妒) ) s c h ( f ) ； 如果，为双李卜希兹映射则有 曰( ，( 力) 一c h ( f ) 。 命题2 3 设，c x ，：，一x ：是保距映射，即i ，仁) 一，( ) ，】一p y i ，则有 h ( ，( ，) ) 一日俨) 。特别地。豪斯道夫测度是平移不变的，而且是旋转不变的。 2 1 2h a u s d o r f f 维数 h a u s d o r f f 维数是以h a u s d o r f f 测度为基础，是各种分形维数中最基本的一种， 其定义如下： 定义3 对于任何给定的集f 和6 ( 1 ，从方程： 彤( ，) _ 甜 薹阢r ：礼 为f 的6 一覆盖 很容易看出日；( ，) 对，是不增的，而由式：h 驴) 一姆日；( ，) ，可知日护) 也是不 增的。事实上，有更进一步的结论：t s ，且移； 为f 的一个6 一覆盖，我们有 阱4 艺时 取下确界得成陋) s d “彤p ) 。令6 一o ，可见对于f ，s ，若h 护) 一c * ，则 h ( ，) - o 。由此表明，存在s 的一个临界点使得日护) 从* “跳跃”到o 。这个临 界值称为f 的h a u s d o r f f 维数，以d i m _ i j r f 表示。 集合f 的h a u s d o r f f 维数d i m hf 的精确数学描述为： d i m ，- m f s ：h ，) 一o l s u p ：嚣5 ( ，) 。* 所以有 i ，l - o 羞若= s ， o ，j 七使得6 。6 t 以，即 话了丽1 s6 t 面击百由不等式及对数性质可得： 如果p l - 6 c j l ，七是满足南6 面击酉的整数，则u 最多能覆盖 e 三，j 1 ，丢) 中的一个点，因此覆盖f 最少需要直径为6 的集七个另一方面如 果。6 三，取七满足南6 以。，即以是七的单调递减函数。从而对v d ，o ，j t 使得吼“s 6c 以， 即石赫s 6 c 芸争由不等式及对数性质可得： 一l 。l 。三一 ( 3 ) i 磊2 k + 磊3 面i 磊2 k + l u 1 4 如果i 【，j - 6 t 3 4 ，t 是满足话器s 6 丢篆的整数，则u 最多能 覆盖仁；，歹1 ，爿中的一个点，因此覆盖f 最少需要直径为6 的集七个 另一方面如果0 6 ：4 3 - ，取七满足石器s 6 ( 为6 的区闯覆盖1 i ，1 】，余下的部分最多由 个区间覆盖。即 丝三 致+ 3 ( 七+ 1 ) 2 + 2 ) 2 2 七+ 1 丽： 七巩阶“筹一百3 k 2 + 7 k + 4 从而有 l o g ka l o g 机m l o g 哿 由( 3 ) 、( 4 ) 两式得： _ l o 面g k 矿s l 。g ( k + 1 ) 2 ( k 。+ 2 ) 2 。 变形后可得： ( 4 ) 丽+log_k谰k3log 2 1 0 9 ( 1 1 2 1g o 2 l o g ( 2 3s 等 七+ + 习+ 。 + 二) 一+ i ) 。一l 。9 6 彤蓐七 则k 个长度 善 b 一 一 (、，一 伊一6 一g 一b堕一 l o g 七+ l 。g ( 3 + i 4 ) + l o g ( 1 + i 1 ) 一l o g ( 2 + 3 3 1 0 9 k + 2 1 。g ( 1 + i 1 ) 一l o g ( 2 + 令七，e p a 0 ，$ 1 有l i r a l o g n 6 ( f ) 1 一 j q l 0 9 6 3 7 集f 的盒维数d i m 。f 三。 一般地，我们有 命题设f - 0 ，i 古，歹1 ，万1 ，砉，) 刚h f - o ；d 硫，f i 六 ( a ，0 ) 。 证明：f 0 ，1 歹1 ，歹1 ，万1 ，砉， ，则n 曲* f l 。 令以表示集f 中第七个点与第七+ 1 个点之间的距离，即 盈- 古一南 显然当n 一时，6 。一0 。 鼢老。罴-帮翻kk ( + 1 r ( + 2 厂 r 。 ，j 考察函数f ( x ) 一善4 ( 工，0 ) ，贝4 由拉格朗日中值定理有 ( k + 1 ) 4 一k 。- a 。4 ，ks 岛- k + 1 ( k + 2 r 一( 七+ l r 一口鬈4 ，七+ 1 s 邑s k + 2 进一步有 七邑j 忙+ 2 ) s ( k + 2 ) 皇 1 6 于是 去- 曙芋- 【警陪- 五。 七。a 邑4 - 1 i 七岛 l毛 即以是七的单调递减函数。从而对v 6 ) 0 ，3 k 使得6 t 。6 t 以，即 i ! ! ! 二坠垡s 6 坠! ! ：生： ( 忌+ l r ( 七+ 2 rk 4 ( 七+ 1 r 当口，1 时，上式进一步变形可得： 坐! ：s 噬二 ；6 。竺虽：二5 坐型： ( k + 1 r ( k + 2 r ( k + 1 ) 4 ( k + 2 rk 4 ( k + 1 r k 4 ( k + l r 即南k 拙南( + 1 ) ( 七+ 2 厂旷弘+ 1 ) 考虑到覆盖f 且直径为6 的集的个数虬仁) 满足条件 七s 。( f ) s 七+ i 器 再次利用拉格朗日中值定理可得： 丘s c 咖七+ 警小警( 字) a - i 出警m - 乖 于是有 即七圯( ，) s 譬竽 h m 坐丝。土 d o l 0 9 6 口+ 1 1 7 等 崦一一 一子 ，l 魄 堕一 s 赢印 - 七 令 类似地当o a l 时，妞警- 六 因此当口，o 时，d i m b f 一l _ 。 硕士学住论文 m a s t e r st h e s l s 第三章几个特殊的自相似集的维数计算 本章主要研究几个特殊的自相似集的维数计算，其中3 1 介绍自相似集的相关 概念；3 2 具体讨论几个特殊的自相似集的维数计算。 3 1 自相似集的相关概念 自相似集是广泛存在的一类分形集合，也是研究得较为透彻的一类重要集合。 本节将简单介绍自相似集的相关概念。 定义1 称映射s ：r 。一掣为压缩自相似映射，若存在o c l ，使得 d ( s ( as 6 , b 耐o ，y ) ，v x ，y ( e r 4 这里d 表不r 。上的欧氏距离，此处的参数c 被称为s 的压缩比。 注：根据线性代数的知识，欧氏空间上的压缩自相似映射一定形如下式： s ( 力i b + c 出，这里b 是一个向量，实数0 t c t l ，而a 是一正交矩阵，它由一系列的 旋转、平移生成。 定义2 设拇，最，是) 是r 4 中的相似压缩映射族，即对魄，y e 9 4 ，有 晦 ) 一s ( ) ，) | 一q k y i ，i 一1 2 ，m ，其中o c ；t 1 为映射s 的压缩比。则存在唯 一的紧不变集e ，使得e 0 墨口) ，不变集e 就称为关于压缩映射族$ ；) ：= ，的自相 似集若s ) ，是俾) ，& 但) 是互不相交的集合，即s 口) ns j ( f o - 0 ，则 称压缩映射族 s ，是，瓯 满足强分离条件，相应的自相似集e 就称为满足强分离 条件的自相似集。 定义3 设$ 。乜是r 。上的压缩自相似映射族，其中s 的压缩比是q 。如果存在 的开集u ，使得 ( 1 ) 置) n 毛 ) i 彩，对f ， l o 项士学位论文 m a s t e r st h e s i s ( 2 ) 置( u ) c u ，对所有f 。 则称仅乜满足开集条件或者说包) ：= i 的不变集e 满足开集条件。 换言之，对于r 。上压缩比分别为c l ，c 。的相似压缩映射墨，满足集合 方程e - u s , ( e ) 的唯一的非空紧致集合e 称作自相似集 矿- s i m i l a rs e t ) ：如果存 i - i 在r 。的非空开集u ，使得s 秽) ， & ) 互不相交且u 墨) c ，那么称自 i - 1 相似集e 满足开集条件( 叻明s e tc o n d i t i o n ) 。 引理1 设翟，】二是上的满足开集条件的压缩自相似映射族，则有 ( 1 ) 存在唯一的的紧集e ( 称为不变集) ，使得占一u 墨但) 成立； i = i i ( 2 ) e 的h a u s d o r f f 维数s ( 是个实数) ，由下述指数方程唯一决定： 其中仁；乜是奴乜的压缩比； c ：+ c ；+ + c ：- 1 ( 3 ) 对任意紧集届，令巨一u s 但。) ， i - ie 。g 墨( e 一) ，则集合磐e l e 即集 合序列收敛于不变集。 具有自相似性的集合称为自相似集，经典分形集都属于自相似集，如c a n t o r 集 和k o c h 曲线，它们的整体完全可以看成是局部的放大。是严格的自相似结构，所 以其局部与整体有相同的维数。 _ 上述自相似集的h a u s d o r f f 维数等于其相似维数，即下述方程了c ；- 1 的解。 舒 此式可以作为自相似集的h a u s d o r f f 维数计算公式。 设e 是有限相似压缩族s i ( 1 is m ) 生成的自相似集，那么我们知道e 是这有 限个相似压缩经过逐次迭代生成的。在每次迭代中，压缩方式都与前一次相同，从 硕士擘住论文 m a s t e r st h e s i s 而压缩比不变，而且在逐次压缩中，同阶基本元的相对位置是确定的在开集条件 下，e 具有很好的性质：它是，一集；h a u s d o r f f 维数与相似维数相同。即使开集条 件不满足，它仍然具有强正则性，即它的h a u s d o r f f 维数与盒维数相同。自相似集 是迄今所知的最重要的分形集，该集类的性质已被广泛而深入地研究。特别是2 0 世 纪9 0 年代以来，人们研究自相似集的各种不同类型的推广和它们的几何结构与维 数。 以下我们给出几个自相似集的例子。 例l 令s 。g ) 一言，s ：仁) 。毒+ i 2 ，则相应的自相似集为经典的三分c 4 玎 集。 ，j 为看到这一点，令e 为s ，s ：相应的自相似集，因此e - s ，隹) u s ：位) 。另一方面， 直接验证知c a n t o r 集f 也具有此性质，由不变集的唯一性，即知，一e 。 仞z 令s 一( 褂巩小( 舄拿+ 扣，k y ) 一( 拇量) ， 则相应的自相似集为s i e r p i n s k i 垫片 例3 令s - k y ) 。( 三，詈) ，s ：g ，y ) 。( 三+ i 3 ，专) ，墨b ，y ) 。( ；，詈+ 詈) ， 只k _ ) r ) 一( 三+ i 3 ，三+ 詈) ，则相应的自相似集为函印妇淑地毯。 我们熟悉的三分c a n t o r 集，s i e r p i n s k i 垫片，s i e r p i n s k i 地毯，k o c h 曲线都是满 足开集条件的自相似集。 3 2 几个特殊的自相似集的维数计算 本节具体研究几个特殊的自相似集的维数计算。 例1 设，为康托尘，它由单位正方形按照如下的构造办法得到：构造的每一 1 步是将正方形分为1 6 个小正方形，小正方形边长为原正方形的 ，四个同样排列 4 模式的小正方形被保留下来。则有下列结论成立： ( i ) 1 s h l ( f ) s 2 ，所d i m h f 。1 ；( i i ) d i m 口f 一1 。 首先证明结论( i ) 。 由豪斯道夫测度的定义日- j n f t l 。：礼灿胁覆盖) 知 联( f ) 善阢l ( 1 考察构造过程中的第七步毛中的4 个边长为4 4 的正方形，它们的直径为 6 。4 。芝，这些正方形显然是f 的一个6 一覆盖。从而由( 1 ) 可得： 哦妒) 4 j ( 4 4 _ ) ( 2 ) 易知当s - 1 时( 2 ) 式可以表示为哦( ，) 2 。令k m ，则6 0 ，于是有 h 1 ( ，) 2 另一方面估计日1 伊) 的下界。设p r o j x 表示点x 到x 轴的垂直射影映射，由于 垂直射影映射满足关系式i 脚一p r 叻1 墨卜一) ，i ，薯y 6 r 2 ，所以映射p ，班为李卜 希兹映射。根据f 的构造特点，易见f 在x 轴上的垂直射影p 弼，为单位区闻【0 ，1 】。 由豪斯道夫测度在李卜希兹映射下的性质h ( 厂( ，) ) 墨c h 妒) ( 其中，为李h 希兹 映射，c 为大于零的常数) 可得 1t l e n g t h o , 1 - h 1 o - h 1 ( p r o j f ) sh 1 妒) 综上所述，1 h 1 ( f ) 2 ，d i m h f - 1 。 再证明结论( i i ) 由康托尘f 的构造过程即知：在构造的第k 步有4 个4 q e 方形，每个小正方 形的边长为4 4 j 于是氏- 4 - t ，6 。1 4 文也可记为瓯+ 。z 以；屯( ，) 一4 。1 0 9 n 以( ，) 迪。f 一匦半- 匦 i l o g 以t - 一。一坐坠盟7-dimsf l i ml i r a- _ = 二- 三生二二一 “。一l o g 屯 一 从而鲍口f - 一d i m j f - 1 。 进而有结论：f 是反复地将正方形分成肼：个边长为三的小正方形且在每一柱 集内只保留一个小正方形而得到的集，则1 露1 扩) i ，d i m ，f - 1 ，d i m 。f - 1 ( 研是大于1 的自然数) 。如果在每一柱集内不只保留一个小正方形，那么上面的结 论就不一定成立。 例2设f 是由0 与1 之间的其十进制表达式中不含数字5 的数组成的，则 d j m r f = 五l o 面9 9 ；f 的盒维数存在且d i mf - l o i o g g _ _ _ 1 9 9 u 先求f 的豪斯道夫维数 经分析可知f 是按照如下方法构造得到的：将【o ，1 】区问十等分后去掉其中的 第6 个区间，然后将余下的九个区间分别十等分后再依次去掉其中的第6 个区间， 这样的过程继续下去。 由此得到f 到f 的压缩映射： 最- 矿1 + 等，l - 1 , 2 , 3 4 , 5 墨一矿1 + 五i ，i t 6 , 7 ，8 , 9 而且有 f 。譬置( ，) 所以下述关系成立： h ( ，) - 9 - h ( f ) ) _ 9 ( 意日仃) 不妨假设o h ( ，) ( * ，从而上式可表达为 9 ( 刍。- 故 ，。盟 l 0 9 1 0 即 d i m s f - m l o g g 9 石 ( ，) - 缸r 倭附：矽t 渺胁覆盖 得 郴，互新，附】 若取s - 器，拶。附卜( 此处利用公甜岍障鹕6 _ 。时有 月vj s l 再求f 的盒维数。 由，的构造过程易知以一万1 ，n 6 。( f ) 一9 ，t 5 k 1m 击以也可以写为 k ，扣 d i _ m m 小鬲l i r a 等等一鬲l i r a l o g羔l o g t u - 黑l o g l u t 一一o t 一 一d i m 小一l o - 1 0 9 9 n s , 以( f ) - 匦盖l o g l o 一望l o g l u t 一一1 0 9 6 t 。一 a j 面d i m s f = 一d i m 小器 故f 的盒维数存在且d i m s f - 器 进而有；设f 是由r 1 中的点x 满足其十进制表达式中不含数字5 的数组成的， 舢i n l 一，一嚣d i 啦一器“数字5 也可以换麒它数字) 设f 是由0 与1 z n 的其十进制表达式中不含数字5 或8 的数组成的，则 ”，一器川m 器 设f 是由0 与1 之同的冥十进制表达式中小雷胁个数子的数组成阴，则 d i m h f - 生笔当产，击m 。，- 塑笔轰导( 其中脚是满足不等式o m l o 的自 然数) 。 把单位区间 0 ，1 】分成等份，去掉其中的肌份；然后把保留下来的一肘份 中的每一份再分成等份，依次去掉其中的m 份；这样的过程继续下去。设f 就是 从单位区间出发，按照上述方法通过一系列不断地去掉部分子区间的过程构造出来 的集合。则 d ；m * f 一! ! ：l 笋，d i l n 。f - ! ! 铲 三分康托集可以看成是上述集合的特例，其豪斯道夫维数、盒维数分别为 m 啦- 警一器， s f - 警一等。 例3 设f 是由r 2 中的点似) ，) 满足x 或y 的十进制表达式中不含数字5 而组 航贝l j d i m s f - 鬻 首先考虑 o ，1 】【o ，1 】上单位正方形。 先将该正方形平均分成1 0 0 份，去掉其中的1 9 份；再将余下的8 1 份5 h 的每一个 正方形平均分成1 0 0 份，依次去掉其中的1 9 份；这样的过程继续下去。 相应地可以得到映射墨o _ 1 ，2 ，8 1 ) 且b ( p ) 一s t ( q h 。盍p e l ( 其中 c t 。而1 ) 满足开集条件( 开集y 可取单位正方形内部) 。若将该正方形记为e ，则 e - 曼置( f 3 ，从而有荟8 1 。一1 ，即8 1 ( 刍- 1 。 盐 再考虑r 2 平面f 。 s 。2 1 0 9 9 l 0 9 1 0 因为，- 豆弓，每一个b 都是长度为1 的正方形，d i m 一一i 2 1 面0 9 9 ，所以由 豪斯道夫维数的可列稳定性得： 帆f i s ，u 。p d i m 。弓- m m 。弓- 篇j o gj吐nj 综上所述，集合f 的豪斯道夫维数为d i m u f - 2 1 0 1 9 0 9 _ 盟1 u 9 进一步有：设f 是由r 2 中的点( 砖y ) 满足x 且) ，的十进制表达式中不含数字5 而组成鼽贝1 1 d i m a f - 等。 把单位正方形【o ，1 】 o ，1 】平均分成2 个小正方形，每个小正方形的边长为原 正方形边长的三，保留其中的m 个小正方形；对保留下来的m 个小正方形中的每 n 一个小正方形不断重复上述过程。若由这种方法构造得到的集合记为f ，则 d i m z f - 器 康托尘就是集合f 的特殊情形，其豪斯道夫维数为 击m 器等乩 参考文献 f