（基础数学专业论文）α斜线性mccoy环和αsps+mccoy环.pdf

r 学位论文独创性声明 本人承诺：所呈交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果。论文中除特别加以标注 和致谢的地方外，不包含他人和其他机构已经撰写或发表过的研究成果，其他同志的研究成果对本人 的启示和所提供的帮助，均已在论文中做了明确的声明并表示谢意。 学位论文作者签名：噬 学位论文版权的使用授权书 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规定，及学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交复印件或磁盘，允许论文被查阅和借阅。本文授权辽宁 师范大学，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库并进行检索，可以采用影印、 缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文，并且本人电子文档的内容和纸质论文的内容 相一致。 保密的学位论文在解密后使用本授权书。 学位论文作者签名：主丛迭 指导教师签名：互2 幺 签名日期： 加l 1 年厂月p 日 j ， 辽宁师范大学硕士学位论文 本硕士论文分为四部分 于商要 第一部分：介绍m c c o y 环，a - 斜a r m e n d a r i z 环和a - 斜线性m c c o y 环的研究概述以 及本文的主要工作 第二部分：我们研究了a 斜线性m c c o y 环与相关环的关系和它的一些扩张性质 主要结果： 命题1 3 若月是a - c o m p a t i b l e 的线性m c c o y 环，则月是a 斜线性m c c o y 环 命题1 4 设刀是口斜线性m c c o y 环，则月的代数扩张也是a 斜线性m c c o y 环 命题1 1 0 设a 是环r 的自同态刀是a - 刚性环，则形( 捌是西斜线性m c c o y 环 命题1 1 2 设a 是环月的自同态，且对于某个正整数，有a 7 = 厶，则r 是a 斜线性 m c c o y 环饵明是c t 一斜线性m c c o y 环 第三部分：我们推广a - 斜m c c o y 环的概念，提出了a s p sm c c o y 环的概念，并对其 性质做了研究主要结果： 命题2 3 月是环，口是月上的自同态，搿是月上的中心可逆元若a ( 功= 彭，则月是 a - s p sm c c o y 环营u r 是a s p sm c c o y 环 命题2 5 如果刀是整环，则对于任意的a ，r 都是a s p sm c c o y 环 命题2 7r 是口一c o m p a t i b l e 环，a 是刀上的自同态，l , a r 且a ( 力量i 若刷是云斜 s p sa r m e n d a r i z 环，是约化环，则月也是i x 斜s p sa r m e n d a r i z 环 第四部分：我们研究了a - 斜m c c o y 环的矩阵环的性质主要结果： 命题3 1 月是环a ，反分别是月和最上的自同态，且a ( 1 ) = l ，则月是口- 斜m c c o y 环 鼻是酉- 斜m c c o y 环 推论3 2 若a ( 1 ) = l ，则刀是口- 斜m c c o y 环丁( 冠砷是面一斜m c c o y 环 关键词：a 一斜线性m c c o y 环；a - s p sm c c o y 环；a - g lm c c o y 环 ；量 i a 喇线性m c c o y 环和a s p sm c c o y 环 口一s k e wl i n e a r l ym c c o y r i n g sa n da s p sm c c o yr i n g s w eh a v ef o u rp a r t si nt h i sp a p e r h b s t r a c t t h ef i r s tp a r t ：w ei n t r o d u c et h eg r a n dr e s u l t si nt h em c c o yr i n g a - s k e wa r m e n d a r i z r i n ga n da s k e wl i n e a r l ym c c o yr i n ga n do u rm a i nw o r ki nt h i sp a p e r t h es e c o n dp a r t ：w ei n v e s t i g a t es o m ee x t e n s i o np r o p e r t i e so fa - s k e wl i n e a r l ym c c o y r i n ga n dt h er e l a t i o nb e t w e e n a - s k e wl i n e a r l ym c c o yr i n ga n do t h e rr i n g s t h ef o l l o w i n g s t a t e m e n ta r et h em a i nr e s u l t s ： p r o p o s i t i o n1 3 i fri s 仪- c o m p m i b l er i n ga n dl i n e a r l ym c c o yr i n g ，ri s 旺- s k e w l i n e a r l ym c c o yr i n g p r o p o s i t i o ni 4 i f 尺i s 一s k e wl i n e a r l ym c c o yr i n g t h ed o r r o he x t e n s i o no fri s 口s k e wl m e a r l ym c c o yr i n g p r o p o s i t i o n1 1 0l e tai st h ee n d o m o r p h i s mo f 刀刀i sa - r i g i dr i n g ，t h e n 彬( 神i s 应- s k e wl m e a r l ym c c o yr i n g p r o p o s i t i o n1 1 2l e t ai st h ee n d o m o r p h i s mo f 月，a n d 口7 = 厶f o rs o m ep o s i t i v e h t e g e rt , t h e n 刀i ss k e wl i n e a r l ym c c o yr i n g 珥明i sa s k e wl i n e a r l ym c c o yr i n g t h et h i r dp a r t ：w eg e n e r a l i z et h ec o n c e p to f s k e wm c c o yr i n g ，a n dp o s et h e c o n c e p to fa s p sm c c o yr i n g ，a n di n v e s t i g a t es o m ee x t e n s i o np r o p e r t i e so fa - s p sm c c o y r i n g t h ef o l l o w i n gs t a t e m e n ta l et h em a i nr e s u l t s ： p r o p o s i t i o n2 3 l e tqi st h ee n d o m o 印h i s mo f r ，扎i st h ec e n t r a lr e g u l a re l e m e n to f 月i fa ( 功= z ，月i s a s p sm c c o yr i n g 亡，u t ? i sa - s p sm c c o yr i n g p r o p o s i t i o n2 5 l e trb ead o m a i n ，t h e n 尺i sa - s p sm c c o yr i n gf o ra n ye n d - o r n o r p h i s mao f 月 p r o p o s i t i o n2 7 ri s 值- c o m p a t i b l er i n g ，ai st h ee n d o m o 巾h i s mo fr ，zqra n d a ( d i fr zi s 云- s p sa r m e n d a r i zr i n g ，i sr e d u c e dr i n g ，月i sa s p sa r m e n d a r i z r i n g t h ef o u rp a r t ：w ei n v e s t i g a t es o m ep r o p e r t i e so fm a t r i xr i n go f 口一s k e wm c c o yr i n g t h ef o l l o w i n gs t a t e m e n ta r et h em a i nr e s u l t s ： 一i i 一 li 喂4 r_f ke rl， 辽宁师范大学硕士学位论文 p r o p o s i t i o n3 1l e t 刀b e a r i n ga n d 口，厅a r et h ee n d o m o r p h i s mo f 刀a n d 最， 口( 1 ) = 1 , t h e n 月i s a - s k e wm c c o yr i n gc ：，最i s 酉- s k e wm c c o y r i n g c o r o l l a r y3 2 a ( 1 ) = 1 ，t h e n 月i s 口。s k e wm c c o yr i n g 丁( 尼砷i s 厅- s k e w m c c o yr i n g k e yw o r d s ：a 。s k e wl i n e a r l ym c c o yr i n g ；a s p sm c c o yr i n g ；仅- s k e wm c c o yr i n g -， j卫i-，- vl fj， l叫j h 辽宁师范大学硕十学位论文 引言 在本文中，刀都是有单位元的结合环给定一个环刀，月上的多项式环用坷习表示，其 中z 是未定元在n i e l s e n 1 】中介绍了右m c c o y 环的概念一个环月称为右m c c o y 的，如果 对于任意的多项式( 力，箩( 力饵卅 0 ) 满足( z ) 占0 ) = o ，则存在，月 o ) 使得 ( z ) ，= 0 左m c c o y 环的定义类似如果一个环既是左m c c o y 又是右m c c o y 的，我们称 这个环为m c c o y 环所有的交换环都是m c c o y 环【2 ，定理2 】可逆环 3 】( v a , b er ，如果 a b = 0 ，则h a = o ) 也是m c c o y 环【l ，定理2 】关 m c c o y 环的性质及与相关环的联系在文 献 4 】【1 0 】中做了详细介绍 m c c o y 环的性质可以通过斜标量乘法扩充到斜多项式环上对于一个r ，口：月j 刀 是环的自同态，刀的斜多项式( 也称之为同态a 的o r e 扩张) 研五口1 包含在俐均多项式环 中，且对于所有的，刀，有新的乘法= a ( - ) x 在l e i 【l l 】中，环月称为a - 斜m c c o y 环，如 果对于任意的多项式( 力，箩( 力q 石a 】 o ) n f ( x ) e ( x ) = o ，则存在r e 月 o ) 使得 ( z ) 厂= o 在r e g e 和c h h a w c h h a r i a 1 2 ，环刀称为a r m e n d a r i z 的，如果对于给定的 ( 力= ，箩( 力= 巧q 习有( z ) 箩( 力= o ，则对于任意的，和都有鸭= o a t - 扛0 产0 m e n d a r i z 环显然是m c c o y 环a r m e n d a r i z 环的性质可以通过斜标量乘法扩充到斜多项式 环上一个环月称为是a a r m e n d a r i z 1 3 ( 或a - 斜a r m e n d a r i z 1 4 ) 的，如果对于 ( 力= ，箩( 力= 巧q 石a 】且( 力箩( 力= o ，则对于任意的，和都有鹕= o 每o 声o ( 或，a a7 彦，) = o ) 文献 1 4 1 中对a - 斜a r m e n d a r i z 环的性质和扩张进行了详细的阐述，并 研究了a 斜a r m e n d a r i z 环与a r m e n d a r i z 环和a 冈0 性环的关系关于a r m e n d a r i z 环的性 质及与相关环的联系在文献【1 5 】和 1 6 】中做了详细介绍 宿维军在【1 7 】中推广了月的a r m e n d a r i z 性质到月的斜幂级数环4 【石a 】 上，设a 是 环r 的自同态，环r 称为具有自同态口的斜幂级数( s k e wp o w e rs e r i e s ) a r m e n d a r i z 环( 简 单地说成是a - s p sa r m e n d a r i z 环) ，如果对尸= ，矿= 月 k a 】 ，若p q = o ，则 枷卢曲 对于任意的衍口，鸦= o 并指出，a s p sa r m e n d a r i z 环的具有性质口( 却的任意子 仅喇线性m c c o y 环和a s p sm c c o y 环 环夕仍是a s p s a r m e n d a r i z 环，还研究了口s p s a r m e n d a r i z 环与其它环的联系，证明了环 月满足a - s p s a r m e n d a r i z 性的斜幂级数环矸【墨口】 的b a e r 性和右p p 性【1 8 】 在c a m i l l o 和n i e l s e n 1 9 中，环刀称为线性m c c o y 环，如果对于任意的线性多项式 ( 力= a o + a l x ，反力= z , o + 4 石坷习 0 满足( z ) 箩 ) = o ，则存在厂月 o 使得 ( 石) 厂= 0 显然m c c o y 环都是线性m c c o y 环在c u i 和c h e n 2 0 】中，月称为对于自同态 a 的斜线性m c c o y 环( 简言之，a 斜线性m c c o y 环) ，如果对于任意的线性多项式 ( 力= + q z ，反力= a o + 4 z 属石a 】 0 满足( z ) 箩0 ) = o ，则存在厂刀 o ) 使得 ( 力厂= 0 显然，a - 斜m c c o y 环都是a - 斜线性m c c o y 环文献 i s 】中还给出了线性 m c c o y 环和a 斜线性m c c o y 环的关系和具体的例子，并且研究了这两种环一些性质和 基本扩张 在k r e m p a 2 1 】中，环r 的一个自同态a 称为刚性的，如果对于任意的口尼锹( 们= 0 可以推出a - - - - - 0 环月称为a - 刚性环，如果存在这样的一个月的自同态口环的任意刚性同 态都是单同态，口刚性环都是约化环 2 2 ，命题5 】，则a 刚性环都是a r m e n d a r i z 环o f - 冈0 性环都是a s p sa r m e n d a r i z 环【2 2 ，命题l7 】 a r m e n d a r i z 环和m c c o y 环具有很好的性质并与很多环类有密切的联系，近年来成为 国内外学者研究的热点 受上述文献启发，本文针对环的自同态a ，引入了口s p sm c c o y 环的概念，作为a - 冈0 性环的推广和m c c o y 环的一个扩张，讨论了a s p sm c c o y 环的性质和基本扩张 其次，本文研究了口斜线性m c c o y 环的性质和与线性m c c o y 环的关系，研究了o f 斜线性m c c o y 环的代数扩张，多项式扩张和特殊形式的矩阵的扩张 最后，给出了a 斜m c c o y 环的特殊上三角矩阵的简单扩张和平凡扩张，并给出了具 体的例子 2 i 辽宁师范大学硕士学化论文 1 a 一斜线性m c c o y 环 命题1 1a - 斜线性a r m e n d a r i z 环都是口一斜线性m c c o y 环 证明设 ( 力= + a l x ，反力= 磊+ 历z 坷x , a 】 o ， 且( 力箩= o 由坍是口- 斜线性a r m e n d a r i z 环，可得对任意的，和有a , a7 杉) = o 因为反力o ，所以存在 o ，1 ) 使嘭o 取厂= 嘭月 o ) ，则有( 力厂= o 即月是 a 斜线性m c c o y 环 例1 2 令月= 互。互，互是整数模2 环显然刀是交换环，因此刀是线性m c c o y 环 取自同态a ：月寸月由a ( ( 仍功) = ( 彦，力定义 这样，对于 = ( 1 ，o ) + ( 1 ，o ) x ，箩= ( o ，1 ) + ( 1 ，谚z 刀防弘】 q 有f g = o 但是对于刀 o ) 中所有元( o ，1 ) ，( 1 ，o ) ，( 1 ，1 ) ，都不能满足夕= o 即刀不是a 。斜线 性m c c o y 环 这个例子表明线性m c c o y 环不一定是a - 斜线性m c c o y 但是我们可以得出，在一 定条件下，线性m c c o y 环都是a - 斜线性m c c o y 环 在h a s h e m i 和m o u s s a v i 4 d p ，环月是口一c o m p a t i b l e 的，如果对于任意的口，彦尼 a b = o ，当且仅当锹( b ) = o 命题1 3 若刀是a - c o m p a t i b l e 的线性m c c o y 环，则r 是口- 斜线性m c c o y 环 证明设 ( 力= + q z ，反力= 磊+ x e 逼石a 】 0 c 属捌 0 ， 且( 曲占( 力= o 由月是线性m c c o y 环知，存在厂月 o ) 使得( 力广= o 即对任意的 ，= o ，l 有缈= o 再由月是a - c o m p a t i b l e 环知，对每个，都有掣7 ( 尸) = o 即月是a 一斜线性 m c c o y 环 月是环，刀= 月z = ( 谚纠a r , m e 刁，其中z 是整数环，定义 ( 儡功+ ( 勿功= ( 口+ 勿朋+ 功，( 儡功( 历力= ( 彩+ 脚+ 砌，m 朔1 ) 3 口喇线性m c c o y 环和a - s p sm c c o y 环 = _ _ ：一- 则是一个有单位元( o ，1 ) 的环，f 称作刀的代数扩张 如果我们把月和( 尼0 ) 等同起来，则刀是的理想，n _ z r 兰z 命题1 - 4 设月是口- 斜线性m c c o y 环，则刀的代数扩张也是晓斜线性m c c o y 环 证明设 i 砷= a o + q z ，反力= 么+ 4 z f 【石口】 0 ， 且( 力占( 力= o 则对于任意的可逆元p 月有 ( 训力) ( 反力力= o ， 且 - ( d ，反力p 饵正a 】 o ) ( 若对任意的，有弼= o ，则u - 1 ( 崛) = 嘭= o ，矛盾) 由于刀是a 斜线性m c c o y 环，则存在 r e r o ) 使得( 矿( 力) 厂= o 即螂7 ( 尸) = o ，= 0 ，1 所以 a , a ，( 厂) = z ，。1 ( 弼a 7 ( ，) ) = o 因此厅也足口- 斜线性m c c o y 环 命题1 5 口- 斜线性m c c o y 环的直积和直和也是a 斜线性m c c o y 环 由 6 】，a 冈0 性环都是口- a r m e n d a r i z 环可以推测，a 垌0 性环都是a 斜线性m c c o y 7 环以下的例子否定了这种可能 川6 刀= ( 吾爿嘲，前，z 是整数集，夕是有理数集 。 令 a ：r - - - r , a ( ( 孑三) ) = ；乏手 ， 则a 是自同态由 6 ，刀是口一斜a r m e n d a r i z 环，即也是口斜线性m c c o y 环但不是a 刚性环 旦是我们有 引理1 7 设a 是环刀的自同态月是口刚性环，则 4 jllif 月q5 若仃是同构，且夕是卢斜线性m c c o y 环，则刀足a 一斜线性m c c o y 环 证明设 f t x ) = a o + q j ，反力= b o + 4 x 饵石a 】 o ) ， 且( 力箩= o 取 = 仃( a o ) + 仃( q ) z 研石a 】 0 ) ， ( 若= o ，则仃( 喁) = 仃( q ) = o 仃是单同态，所以a o = a i = o 这与刀o 矛盾) 同理， = 盯( 磊) + 仃( 4 ) z 珂石a 】 o ， 则= o 由是卢- 斜线性m c c o y 环可知，存在，趴 0 使= 0 即 仃( q ) 卢7 ( ，) = o ，i = 0 ，1 由仃满知，存在厂月 o 使盯( 厂) = ， 则 5 a 嗡线性m c c o y 环和a s p sm c c o y 环 盯( q ) 卢7 ( 仃( 力) = 0 ， 由图表可得加= 盯a ， 从而。 盯( 哆) a ( 口7 ( ，) ) = o ，i = 0 ，1 又仃是单同态，所以叩7 ( 厂) = o 得证 对于厅3 ，令形( 砷表示形式为( 警三 的矩阵组成的环，其中a e r , l 是刀一2 阶单 位矩阵，b 是r 上的( 刀一2 ) x 2 矩阵，彳是启上对角线元素为口的二阶上三角矩阵 命题1 10 设口是环刀的自同态月是a - 冈0 性环，则形( 神是d 谋 线性m c c o y 环 证明令历表示曰的第，行定义映射 仃：( 警匀h ，( 吾a ) ， 则容易验证仃是形( 司到3 - 2 的一个环同构，且下面图表可换 形( 砷山，。2 k 、l 万 形( 砷q 广2 由引理1 7 知，夕是瓦斜线性m c c o y 环由引理1 8 知，广2 是岙斜线性m c c o y 环 进而由引理1 9 知，形( 砷是西- 斜线性m c c o y 环 对于环刀的理想，如果a ( 力量厶则 西：卅，。可i ，( 反( + 力= a ( 口) + 厶a er ) 是商环叫上的自同态可以推测，若叫是万一斜线性m c c o y 环，是a - 斜线性m c c o y 环，则r 也是a 斜线性m c c o y 环以下的例子否定了这种可能 令 钏，是域，月= ( 吾 a 胖? ) ， 6 辽宁师范大学硕士学位论文 则a 是r 上的自同态，但月不是a - 斜线性m c c o y 环 事实上，对于 1 力= ( 三： + ( 三习石，反力= ( ：三) + ( ：) z 饵石仅，、t 。， 我们有( 力占( 力= 0 但不存在厂月 0 使得( x ) r = 0 由【6 ，例1 2 1 ，朋拘任意非零真理想 = ( 吾0 1 j = ( 砑f = ( 叫，剜，卅彤都是万斜a r m e n d a r i z 环，即也是厉一斜线性m c c o y 环z z 髟都是a 一 斜线性m c c o y 环 但这个结论对于a - s p sm c c o y 环是成立的，下文中会提到 设a 是环月的自同态，则 面：研卅专研卅 是由 厂胛、胛 厅l l _ a ( 乃) = - 0 芦0 定义的何明上的自同态一般地，我们记历也为口 命题1 1 2 设a 是环刀的自同态，且对于某个正整数，有口7 = 厶，则月是a 一斜线性 m c c o y 环营饵卅是a 一斜线性m c c o y 环 证明“j ”设 = f o + 痧，反力= g o + 蜀少饵：月口】 o ) ，涉涫纱) = 0 显然 v = 0 ，l ，易研卅 取 后= m a x d e g ( ) ，d e g 协) + l ， 则 ( ) = f o + 彳，反1 ) = 岛+ 蜀1 坷石a 】 0 ) 由于a 肌1 = a ， ( ) 占0 枷) = f o g 。+ ( f o g 。+ f l a 翩( 岛) 沙枷+ 席棚( 蜀) j 2 1 7 a 喇线性m c c o y 环和a s p sm c c o y 环 = 腐+ ( 腐+ 肛( 岛) ) + 屑( 蜀) ，”， y f o v ) g ( y ) = 0 ，则对于任意的= 0 ，1 , 2 ，有 伽7 ( 毋) = 0 i j d 故 f o 1 涫( 1 ) = 0 由于月是a - 斜线性m c c o y 环，则存在 厂月 o c 月p 】 0 使得( ) 厂= o 则由后的取法和a 棚= a 可知，对于v ，= o ，l 有伽7 ( 尸) = o m l l l t 有 厂= 0 即饵明是a - 斜线性m c c o y 环 “乍”设 删= a o + n l y ，“力= 么+ 西少饵彤a 】 0 ，u 培纱) = 0 e h f r c 研x ，且坷卅是口一斜线性m c c o y 环，则存在，( 力何卅 0 ) 使f o o r ( z ) = o 记，( 力= e ，则对于任意的，= o ，l ，o 后m 有a , a 7 ( 咯) = o 由于“力o ，则存在 扣0 o 取厂= 磊月 o ) ，则 o ，) ，= 咯+ q c c ( 磊) = 0 即刀是口- 斜线性m c c o y 环 推论1 13 设a 是环月的自同态，且对于某个正整数，有a ，- 厶， 而) 是月上可换未 定元组成的集合，若刀是a - 斜线。 生m c c 。y 环，则月 嘞) 是口- 斜线性m c c 。y 环 证明设 f , g 月 讣 0 ) ，y 2 = o ， 则 , g 缸畅，。 陟；a 】， 其中 ，强) 是有限集由命题2 1 2 ，月 知。，畅。 是a - 斜线性m c c 。y 环，所 以存在 ，缸，咆 o ) 缸 o ) 使得= 0 即证 8 辽宁师范大学硕十学位论文 2a s p sm c c o y 环 定义2 1 设a 是环月的自同态月称为对于自同态a 的斜幂级数( s k e wp o w e rs e r i e s ) m c c o y 环( 简言之，口- s p sm c c o y 环) ，如果对于任意的多项式 ( j ) = e a , e ，反力= 亏趣 石a 】 o ) ，。o j ，卸 满足( 力箩( 力= o ，则存在y e 刀 0 使得( 砂= o 命题2 2a - s p sa r m e n d a r i z 环都是a s p sm c c o y 环 证明设 ( j ) = q ，反力= 巧何 石a 】 o ) ，( 力占( 曲= 0 t 曲 ，戎 由启是伉- 斜s p sa r m e n d a r i z 环，可得对任意的，和有叩7 ( 匆) = 0 因为烈力o ，所以存在0 使嘭0 取厂= 匆，得证 命题2 3 胄是环，a 是刀上的自同态，z ，是月上的中心可逆元若a ( 矽= ，则月是 a s p sm c c o y 环u t ? 是o t - s p sm c c o y 环 证明”设 ( 力，箩( 力u a i a ；a 】 0 ) c 饵【石a 】 0 ，- ( 力乡( 力= 0 月是a - s p sm c c o y 环，所以存在，月 o 使( = 0 取，= u u r 0 ( 若= 0 ，则 ，= u - 1 ( ) = 0 ，矛盾) 由于z ，q 局， 则 f b c 、r = f 帅r 、= f 0 ，c 、p l l = 0 ， 即龆是口一s p s m c c o y 环 ”乍”设 ( 力= a x z ，双力= 哆垣【石a 】 o ) ，( 砌( 力= 0 t = 0j = 0 则 只力= 识力= 匹= ( 彬) 硎五a 】 o ， 9 a 喇线性m c c o y 环和a s p sm c c o y 环 驭力= u g ( 力硼 石a 】 0 ) 由于a ( 功= 影，则x i i = a ( z ，) z = 册即( 力= u f ( x ) 因此 只力仅力= 识力绶力= 力反力= 0 由于勰是a - s p sm c c o y 环，则存在，龆 o ) 使以为，= o 取广= ，z ，月 0 ) ， 则 ( 曲厂= ( 力( 厂= u ( f ( x ) r 3 = 以力厂。0 得证 则由 引理2 4 设刀是a - s p sm c c o y 环，则a 是单同态 证明任取仍乃月，若a ( 功= a ( 0 5 ， 知，口= b 即a 是单同态 x ( a - b ) = a ( a b ) = 0 命题2 5 如果刀是整环，则对于任意的a ，月都是口一s p sm c c o y 环 证明设 ( 曲= e o , e ，反力= 钐饵【石a 】 o ) ，( 力占( 力= 0 i - - 0 j = o 取 石= m i n o ，则对任意的o ， 有卵7 ( 厂) = 0 即月是a s p sm c c o y 环这与引理1 5 矛盾因此口是单同态 由于a 是单同态，则嘭= o 所以对任意的有叩( 巧) = o 即刀是a - 斜s p s a r m e n - 1 0 辽宁师范大学硕士学位论文 d a r i z 环因此是a s p sm c c o y 环 对于a 斜s p sa r m e n d a r i z 环，我们有 引理2 6 月是环，倪是刀上的自同态，则刀是口斜s p sa r m e n d a d z 环营对于任意的多 项式 ( 力= q ，反力= 嘭，饵 石a 】，( 力占( 力= 0 ，却j - - - o 则对于任意的0 o o 有扫，= 0 证明”j ”显然可得 ”仁”因为 0 = ( a o + q j + q ，4 + ) ( 磊+ 历z + + 匆，“十) = a o ( + 么z + 多矿+ ) + ( q + a 2 x + 口州+ ) z ( b o + 4 z + 包卢+ ) ， 所以 ( q + a 2 x + q ，产1 + ) ( a ( 幺) z + a ( 4 ) j r 2 + + a ( 吃j z 蒯+ ) = o 由题设可知，对任意的都有q 够) = o 以此类推，对任意的，和有叩7 ( 巧) = o 即月是 a 斜s p sa r m e n d a r i z 环 命题2 7 月是a - c o m p a t i b l e 环【3 】，a 是刀上的自同态，l ) r r o t ( 1 ) 若利是云 斜s p sa r m e n d a r i z 环，是约化环，则月也是a 斜s p sa r m e n d a r i z 环 证明设 ( 力= 哆，反力= 巧饵【石a 】，( 力箩( 力= 0 t t 电j = 旬 则 只力= 矽，驭力= 矽卅砸五司】，以力6 【力= o j = 旬 j = 旬 由于剧是云斜s p s a r m e n d a r i z 环，所以对于任意的o o o 有石万= 石即巧 下证对于任意的0 0 0 有 0 6 = 0 即证月是a 斜s p s a r m e n d a r i z 环 假设存在使得巧0 ， 取 后= m i n o _ o o l a o b j o ， 则 v 0 ， 惫，喁6 i = 0 a 唰线性m c c o y 环和口一s p sm c c o y 环 由于月是a - c o m p a t i b l e 的，则有 a o a 扣( 易，) = o 由 ( 仅扣( 巧) 缸) 2 = o r 扛7 ( 巧) 以卵扣7 ( 嘭) ) 缸= o ， 且 a k - y ( 巧) 缸 是约化环，知仅k - j ( 匆) 缸= 0 因此 ( 尸- j ( 钐) ) ( 么) 2 = 靠尸扣( 彦) ( 彦j ( a ur a 扣( b ) xc o d = o ， 即 ( 尸k - j ( 易，) ) ( 么) 2 = o 由( 砌( 力= 0 知， 七- 1 0 = 么+ q a ( 红。) + + a , f a 。( 磊) = 么+ 户k - j ( 嘭) j = o 两边同时乘以( 勿) 2 ， 则 k - - i o = ( 么+ 啄扣( 哆) ) ( 岛么) 2 = ( 4 ) 3 - o 而巧，且是约化环，所p a a o b , = o ，矛盾即对于任意的o o 。有钐= o 得证 3a 一斜m c c o y 环的矩阵环 下面我们研究以下形式的矩阵环 月是环定义 s = 1 2 厅 乃 儡 huuhn 吼； 口 讯口；o铌口0 ；o d d ；d 辽宁师范大学硕十学位论文 其中刀2 ，刀矿 设a 是月上的自同态，则月的刀，7 矩阵环( 砷上的自同态酉可由 厅( ( 乃) ) = ( a ( 乃) ) 来定义 命题3 1 月是环仪，面分别是月和最上的自同态，且a ( 1 ) = l ，则刀是a - 斜m c c o y 环 最是酉- 斜m c c o y 环 证明“j ”不失一般性，可设r 0 i 设 l( 力，g ( x ) 疋 z ；百】 0 ) ，( j ) 占p ) = o 下证存在f ：鸠。o 使得( 砷f = 0 其中，厂月，乞表示通常的矩阵，它在坐标 ( 力处是l ，其余位置都是o 即可证最是反- 斜m c c o y 环 珍 若( z ) 互。= 0 ， 取 f = 塌。= 互。，互。，厂刀 o ， 则存在f 疋 o ) 使得 ( 力f = ( z ) 互，嵋。= o ， ? 得证 i i ) 若( 力互。o ，由于口( 1 ) = l ，则对任意的 吐 捌 钡力= 4 疋p ；厅】， ( 其中4 = ( 衫q ) 疋) 有 ，_、村 历履力易= 易i 4 i 易= w ( 乞) 扛0k = o = a ( 1 ) 易，= 乞，= 衫砷o t 黜o | i 站-廿 扛o扫0 0 由于( 力o ，则存在后l 使得瓯乡( 力易0 取 ，= m a x 纠后l ，z 么占( 力z 0 ， 则由( z ) 乡( 力= o 得 口喇线性m c c o y 环和a s p sm c c o y 环 o = 乞( ( 力占( 力) 易= 彤( z ) ( 国( 力) = z ( z ) i f 船l 占- ) z 如i = 互( 力( 占( z ) 乞) = 互p ) ( f p ) z j = p p ) ) p p ) z j i = ii s ，量s ， = ( 历，( 力反) ( 磊( 力乞) = ( 历以力磊) ( 勖( z ) 乞) i s 7 其中z 为刀刀单位矩阵 又 互“力磊，乞箩( z ) 易月 五贯】 0 ， 由于月是a - 斜m c c o y 环，则存在厂月 o ) 使得( 磊( 力磊) ，= o 所以由矩阵最的性质， ( 互( 力互。) 厂= 0 取f = ，互。疋、 o ) ，则根据矩阵运算， ( 力f = ( 力( ，互。) = ( 互。( j ) 互。) ( ，互。) = o 得证 “仁”设 ( 力= ，占( 力= 嘭研石a 】 o ) ，( 力多( z ) = o # 0 j = o 取 只力= 以力f = l q i 肚砸7 ( 句= ( 掣( 1 ) 句= ( 哆句最【石厅】， # - - 0南=0南曲扣0 由于| o ，则只力0 同理， 戗力= 反力厌最【石反】 o ) ， 且 只力q 力= ( 以力句( 苁力句= 久力( 磁力) 肚久彦爱旁e = 0 由最是反- 斜m c c o y 环知，存在f 疋 0 ) 使得，( 力f = o 记f = ( 勺) ，其中= f ， 则 ，( 力f = ( 力影= ( 4 c = o 由于f o ，则存在，1 使勺o 取厂= 白刀 o ) ， 则 ( 力，= ( 力乃= o 1 4 7 f f j 目 赶 辽宁师范大学硕十学位论文 证毕 给定环月和一个双模斤，月通过做成的平凡扩张为环丁( 冠卸= r m ，其中 加法为普通d n 7 去乘法定义为 ( r l , 弼) ( 呓，) = ( 彳呓，彳+ n 写r 2 ) 显然 ，c 忍4 力兰 ( 二习l 尸尼朋以， 推论3 2 若a ( 1 ) = 1 ，则月是口- 斜m c c o y 环营厂( 尼砷是反一斜m c c o y 环 显然可以看出，a - 斜a r m e n d a r i z 环都是a - 斜m c c o y 环但反之不一定成立即存在环 月，它是口- 斜m c c o y 环，但不是a - 斜a r m e n d a r i z 环 例3 3 ( 1 ) 月= 互，互是整数模4 环贝0r 是厶一斜a r m e n d a r i z 环，那么刀也是厶一斜 m c c o y 环 由推论3 2 ，( 尼砷是万一斜m c c o y 环，但，( 冠砷不是万一斜a r m e n d a r i z 环事实上， ( ( 2 ，o ) + ( 2 ，i ) d 2 = o ， 但 ( 2 ，1 ) 万( ( 2 ，o ) ) = ( o ，2 ) 0 ( 2 ) 月= 互【卅，互是整数模2 环令a ：刀一月是由a ( ( 力) = ( o ) 定义的月上的自 同态，则月是口- 斜m c c o y 环 事实上，任取 ( 力= i y ，箩杪) = r y ；a 】 o ) ，( 少) 反力= o 声o 卢0 由于( 力o ，则存在o ，朋使得z o 取后= m i n o 七所阮o ，则 v 0 ， 危= 0 由( 力反力= 0 得： 0 纪+ 缸( 晶一。) + + 缸( 岛) = o 所以伽。( 繇) = o ，即庸j ( 0 ) = o ，又石o ，故口。( 晶) = 晶( o ) = 0 由 a 喇线性m c c o y 环和a s p sm c c o y 环 腐+ ，+ 屑( 繇) + + 加。( 蜀) + 五。口“( 岛) = 0 ， 得：f , a 。b ) = o ，即铂( 0 ) = o & g l ( o ) = o 以此类推，对任意的o ，7 都有邑( o ) = o 由于反力0 ，则存在0 ，7 使得乃0 取 ，= 毋月 o ) ，( 力厂= 肛7 ( ，) 少7 = z 1 s , ( o ) y = o 南0，t0 即刀是口- 斜m c c o y 环 由推论3 2 ，厂( 冠砷也是酉- 斜m c c o y 环，但厂( 冠砷不是酉- 斜a r m e n d a r i z 环 事实上， ( ( o ，1 ) + ( 五力力2 = ( o ，1 ) ( o ，1 ) + ( ( o ，1 ) ( 五z ) + ( 五力酉( ( o ，1 ) ) ) 少+ ( 五力反( ( 五力) 少2 = ( o ，o ) ， 但 ( 力反( ( o ，1 ) ) = ( o ，z ) 0 即证 1 6 i