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r 学位论文独创性声明 本人承诺:所呈交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果。论文中除特别加以标注 和致谢的地方外,不包含他人和其他机构已经撰写或发表过的研究成果,其他同志的研究成果对本人 的启示和所提供的帮助,均已在论文中做了明确的声明并表示谢意。 学位论文作者签名:噬 学位论文版权的使用授权书 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规定,及学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交复印件或磁盘,允许论文被查阅和借阅。本文授权辽宁 师范大学,可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库并进行检索,可以采用影印、 缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文,并且本人电子文档的内容和纸质论文的内容 相一致。 保密的学位论文在解密后使用本授权书。 学位论文作者签名:主丛迭 指导教师签名:互2 幺 签名日期: 加l 1 年厂月p 日 j , 辽宁师范大学硕士学位论文 本硕士论文分为四部分 于商要 第一部分:介绍m c c o y 环,a - 斜a r m e n d a r i z 环和a - 斜线性m c c o y 环的研究概述以 及本文的主要工作 第二部分:我们研究了a 斜线性m c c o y 环与相关环的关系和它的一些扩张性质 主要结果: 命题1 3 若月是a - c o m p a t i b l e 的线性m c c o y 环,则月是a 斜线性m c c o y 环 命题1 4 设刀是口斜线性m c c o y 环,则月的代数扩张也是a 斜线性m c c o y 环 命题1 1 0 设a 是环r 的自同态刀是a - 刚性环,则形( 捌是西斜线性m c c o y 环 命题1 1 2 设a 是环月的自同态,且对于某个正整数,有a 7 = 厶,则r 是a 斜线性 m c c o y 环饵明是c t 一斜线性m c c o y 环 第三部分:我们推广a - 斜m c c o y 环的概念,提出了a s p sm c c o y 环的概念,并对其 性质做了研究主要结果: 命题2 3 月是环,口是月上的自同态,搿是月上的中心可逆元若a ( 功= 彭,则月是 a - s p sm c c o y 环营u r 是a s p sm c c o y 环 命题2 5 如果刀是整环,则对于任意的a ,r 都是a s p sm c c o y 环 命题2 7r 是口一c o m p a t i b l e 环,a 是刀上的自同态,l , a r 且a ( 力量i 若刷是云斜 s p sa r m e n d a r i z 环,是约化环,则月也是i x 斜s p sa r m e n d a r i z 环 第四部分:我们研究了a - 斜m c c o y 环的矩阵环的性质主要结果: 命题3 1 月是环a ,反分别是月和最上的自同态,且a ( 1 ) = l ,则月是口- 斜m c c o y 环 鼻是酉- 斜m c c o y 环 推论3 2 若a ( 1 ) = l ,则刀是口- 斜m c c o y 环丁( 冠砷是面一斜m c c o y 环 关键词:a 一斜线性m c c o y 环;a - s p sm c c o y 环;a - g lm c c o y 环 ;量 i a 喇线性m c c o y 环和a s p sm c c o y 环 口一s k e wl i n e a r l ym c c o y r i n g sa n da s p sm c c o yr i n g s w eh a v ef o u rp a r t si nt h i sp a p e r h b s t r a c t t h ef i r s tp a r t :w ei n t r o d u c et h eg r a n dr e s u l t si nt h em c c o yr i n g a - s k e wa r m e n d a r i z r i n ga n da s k e wl i n e a r l ym c c o yr i n ga n do u rm a i nw o r ki nt h i sp a p e r t h es e c o n dp a r t :w ei n v e s t i g a t es o m ee x t e n s i o np r o p e r t i e so fa - s k e wl i n e a r l ym c c o y r i n ga n dt h er e l a t i o nb e t w e e n a - s k e wl i n e a r l ym c c o yr i n ga n do t h e rr i n g s t h ef o l l o w i n g s t a t e m e n ta r et h em a i nr e s u l t s : p r o p o s i t i o n1 3 i fri s 仪- c o m p m i b l er i n ga n dl i n e a r l ym c c o yr i n g ,ri s 旺- s k e w l i n e a r l ym c c o yr i n g p r o p o s i t i o ni 4 i f 尺i s 一s k e wl i n e a r l ym c c o yr i n g t h ed o r r o he x t e n s i o no fri s 口s k e wl m e a r l ym c c o yr i n g p r o p o s i t i o n1 1 0l e tai st h ee n d o m o r p h i s mo f 刀刀i sa - r i g i dr i n g ,t h e n 彬( 神i s 应- s k e wl m e a r l ym c c o yr i n g p r o p o s i t i o n1 1 2l e t ai st h ee n d o m o r p h i s mo f 月,a n d 口7 = 厶f o rs o m ep o s i t i v e h t e g e rt , t h e n 刀i ss k e wl i n e a r l ym c c o yr i n g 珥明i sa s k e wl i n e a r l ym c c o yr i n g t h et h i r dp a r t :w eg e n e r a l i z et h ec o n c e p to f s k e wm c c o yr i n g ,a n dp o s et h e c o n c e p to fa s p sm c c o yr i n g ,a n di n v e s t i g a t es o m ee x t e n s i o np r o p e r t i e so fa - s p sm c c o y r i n g t h ef o l l o w i n gs t a t e m e n ta l et h em a i nr e s u l t s : p r o p o s i t i o n2 3 l e tqi st h ee n d o m o 印h i s mo f r ,扎i st h ec e n t r a lr e g u l a re l e m e n to f 月i fa ( 功= z ,月i s a s p sm c c o yr i n g 亡,u t ? i sa - s p sm c c o yr i n g p r o p o s i t i o n2 5 l e trb ead o m a i n ,t h e n 尺i sa - s p sm c c o yr i n gf o ra n ye n d - o r n o r p h i s mao f 月 p r o p o s i t i o n2 7 ri s 值- c o m p a t i b l er i n g ,ai st h ee n d o m o 巾h i s mo fr ,zqra n d a ( d i fr zi s 云- s p sa r m e n d a r i zr i n g ,i sr e d u c e dr i n g ,月i sa s p sa r m e n d a r i z r i n g t h ef o u rp a r t :w ei n v e s t i g a t es o m ep r o p e r t i e so fm a t r i xr i n go f 口一s k e wm c c o yr i n g t h ef o l l o w i n gs t a t e m e n ta r et h em a i nr e s u l t s : 一i i 一 li 喂4 r_f ke rl, 辽宁师范大学硕士学位论文 p r o p o s i t i o n3 1l e t 刀b e a r i n ga n d 口,厅a r et h ee n d o m o r p h i s mo f 刀a n d 最, 口( 1 ) = 1 , t h e n 月i s a - s k e wm c c o yr i n gc :,最i s 酉- s k e wm c c o y r i n g c o r o l l a r y3 2 a ( 1 ) = 1 ,t h e n 月i s 口。s k e wm c c o yr i n g 丁( 尼砷i s 厅- s k e w m c c o yr i n g k e yw o r d s :a 。s k e wl i n e a r l ym c c o yr i n g ;a s p sm c c o yr i n g ;仅- s k e wm c c o yr i n g -, j卫i-,- vl fj, l叫j h 辽宁师范大学硕十学位论文 引言 在本文中,刀都是有单位元的结合环给定一个环刀,月上的多项式环用坷习表示,其 中z 是未定元在n i e l s e n 1 】中介绍了右m c c o y 环的概念一个环月称为右m c c o y 的,如果 对于任意的多项式( 力,箩( 力饵卅 0 ) 满足( z ) 占0 ) = o ,则存在,月 o ) 使得 ( z ) ,= 0 左m c c o y 环的定义类似如果一个环既是左m c c o y 又是右m c c o y 的,我们称 这个环为m c c o y 环所有的交换环都是m c c o y 环【2 ,定理2 】可逆环 3 】( v a , b er ,如果 a b = 0 ,则h a = o ) 也是m c c o y 环【l ,定理2 】关 m c c o y 环的性质及与相关环的联系在文 献 4 】【1 0 】中做了详细介绍 m c c o y 环的性质可以通过斜标量乘法扩充到斜多项式环上对于一个r ,口:月j 刀 是环的自同态,刀的斜多项式( 也称之为同态a 的o r e 扩张) 研五口1 包含在俐均多项式环 中,且对于所有的,刀,有新的乘法= a ( - ) x 在l e i 【l l 】中,环月称为a - 斜m c c o y 环,如 果对于任意的多项式( 力,箩( 力q 石a 】 o ) n f ( x ) e ( x ) = o ,则存在r e 月 o ) 使得 ( z ) 厂= o 在r e g e 和c h h a w c h h a r i a 1 2 ,环刀称为a r m e n d a r i z 的,如果对于给定的 ( 力= ,箩( 力= 巧q 习有( z ) 箩( 力= o ,则对于任意的,和都有鸭= o a t - 扛0 产0 m e n d a r i z 环显然是m c c o y 环a r m e n d a r i z 环的性质可以通过斜标量乘法扩充到斜多项式 环上一个环月称为是a a r m e n d a r i z 1 3 ( 或a - 斜a r m e n d a r i z 1 4 ) 的,如果对于 ( 力= ,箩( 力= 巧q 石a 】且( 力箩( 力= o ,则对于任意的,和都有鹕= o 每o 声o ( 或,a a7 彦,) = o ) 文献 1 4 1 中对a - 斜a r m e n d a r i z 环的性质和扩张进行了详细的阐述,并 研究了a 斜a r m e n d a r i z 环与a r m e n d a r i z 环和a 冈0 性环的关系关于a r m e n d a r i z 环的性 质及与相关环的联系在文献【1 5 】和 1 6 】中做了详细介绍 宿维军在【1 7 】中推广了月的a r m e n d a r i z 性质到月的斜幂级数环4 【石a 】 上,设a 是 环r 的自同态,环r 称为具有自同态口的斜幂级数( s k e wp o w e rs e r i e s ) a r m e n d a r i z 环( 简 单地说成是a - s p sa r m e n d a r i z 环) ,如果对尸= ,矿= 月 k a 】 ,若p q = o ,则 枷卢曲 对于任意的衍口,鸦= o 并指出,a s p sa r m e n d a r i z 环的具有性质口( 却的任意子 仅喇线性m c c o y 环和a s p sm c c o y 环 环夕仍是a s p s a r m e n d a r i z 环,还研究了口s p s a r m e n d a r i z 环与其它环的联系,证明了环 月满足a - s p s a r m e n d a r i z 性的斜幂级数环矸【墨口】 的b a e r 性和右p p 性【1 8 】 在c a m i l l o 和n i e l s e n 1 9 中,环刀称为线性m c c o y 环,如果对于任意的线性多项式 ( 力= a o + a l x ,反力= z , o + 4 石坷习 0 满足( z ) 箩 ) = o ,则存在厂月 o 使得 ( 石) 厂= 0 显然m c c o y 环都是线性m c c o y 环在c u i 和c h e n 2 0 】中,月称为对于自同态 a 的斜线性m c c o y 环( 简言之,a 斜线性m c c o y 环) ,如果对于任意的线性多项式 ( 力= + q z ,反力= a o + 4 z 属石a 】 0 满足( z ) 箩0 ) = o ,则存在厂刀 o ) 使得 ( 力厂= 0 显然,a - 斜m c c o y 环都是a - 斜线性m c c o y 环文献 i s 】中还给出了线性 m c c o y 环和a 斜线性m c c o y 环的关系和具体的例子,并且研究了这两种环一些性质和 基本扩张 在k r e m p a 2 1 】中,环r 的一个自同态a 称为刚性的,如果对于任意的口尼锹( 们= 0 可以推出a - - - - - 0 环月称为a - 刚性环,如果存在这样的一个月的自同态口环的任意刚性同 态都是单同态,口刚性环都是约化环 2 2 ,命题5 】,则a 刚性环都是a r m e n d a r i z 环o f - 冈0 性环都是a s p sa r m e n d a r i z 环【2 2 ,命题l7 】 a r m e n d a r i z 环和m c c o y 环具有很好的性质并与很多环类有密切的联系,近年来成为 国内外学者研究的热点 受上述文献启发,本文针对环的自同态a ,引入了口s p sm c c o y 环的概念,作为a - 冈0 性环的推广和m c c o y 环的一个扩张,讨论了a s p sm c c o y 环的性质和基本扩张 其次,本文研究了口斜线性m c c o y 环的性质和与线性m c c o y 环的关系,研究了o f 斜线性m c c o y 环的代数扩张,多项式扩张和特殊形式的矩阵的扩张 最后,给出了a 斜m c c o y 环的特殊上三角矩阵的简单扩张和平凡扩张,并给出了具 体的例子 2 i 辽宁师范大学硕士学化论文 1 a 一斜线性m c c o y 环 命题1 1a - 斜线性a r m e n d a r i z 环都是口一斜线性m c c o y 环 证明设 ( 力= + a l x ,反力= 磊+ 历z 坷x , a 】 o , 且( 力箩= o 由坍是口- 斜线性a r m e n d a r i z 环,可得对任意的,和有a , a7 杉) = o 因为反力o ,所以存在 o ,1 ) 使嘭o 取厂= 嘭月 o ) ,则有( 力厂= o 即月是 a 斜线性m c c o y 环 例1 2 令月= 互。互,互是整数模2 环显然刀是交换环,因此刀是线性m c c o y 环 取自同态a :月寸月由a ( ( 仍功) = ( 彦,力定义 这样,对于 = ( 1 ,o ) + ( 1 ,o ) x ,箩= ( o ,1 ) + ( 1 ,谚z 刀防弘】 q 有f g = o 但是对于刀 o ) 中所有元( o ,1 ) ,( 1 ,o ) ,( 1 ,1 ) ,都不能满足夕= o 即刀不是a 。斜线 性m c c o y 环 这个例子表明线性m c c o y 环不一定是a - 斜线性m c c o y 但是我们可以得出,在一 定条件下,线性m c c o y 环都是a - 斜线性m c c o y 环 在h a s h e m i 和m o u s s a v i 4 d p ,环月是口一c o m p a t i b l e 的,如果对于任意的口,彦尼 a b = o ,当且仅当锹( b ) = o 命题1 3 若刀是a - c o m p a t i b l e 的线性m c c o y 环,则r 是口- 斜线性m c c o y 环 证明设 ( 力= + q z ,反力= 磊+ x e 逼石a 】 0 c 属捌 0 , 且( 曲占( 力= o 由月是线性m c c o y 环知,存在厂月 o ) 使得( 力广= o 即对任意的 ,= o ,l 有缈= o 再由月是a - c o m p a t i b l e 环知,对每个,都有掣7 ( 尸) = o 即月是a 一斜线性 m c c o y 环 月是环,刀= 月z = ( 谚纠a r , m e 刁,其中z 是整数环,定义 ( 儡功+ ( 勿功= ( 口+ 勿朋+ 功,( 儡功( 历力= ( 彩+ 脚+ 砌,m 朔1 ) 3 口喇线性m c c o y 环和a - s p sm c c o y 环 = _ _ :一- 则是一个有单位元( o ,1 ) 的环,f 称作刀的代数扩张 如果我们把月和( 尼0 ) 等同起来,则刀是的理想,n _ z r 兰z 命题1 - 4 设月是口- 斜线性m c c o y 环,则刀的代数扩张也是晓斜线性m c c o y 环 证明设 i 砷= a o + q z ,反力= 么+ 4 z f 【石口】 0 , 且( 力占( 力= o 则对于任意的可逆元p 月有 ( 训力) ( 反力力= o , 且 - ( d ,反力p 饵正a 】 o ) ( 若对任意的,有弼= o ,则u - 1 ( 崛) = 嘭= o ,矛盾) 由于刀是a 斜线性m c c o y 环,则存在 r e r o ) 使得( 矿( 力) 厂= o 即螂7 ( 尸) = o ,= 0 ,1 所以 a , a ,( 厂) = z ,。1 ( 弼a 7 ( ,) ) = o 因此厅也足口- 斜线性m c c o y 环 命题1 5 口- 斜线性m c c o y 环的直积和直和也是a 斜线性m c c o y 环 由 6 】,a 冈0 性环都是口- a r m e n d a r i z 环可以推测,a 垌0 性环都是a 斜线性m c c o y 7 环以下的例子否定了这种可能 川6 刀= ( 吾爿嘲,前,z 是整数集,夕是有理数集 。 令 a :r - - - r , a ( ( 孑三) ) = ;乏手 , 则a 是自同态由 6 ,刀是口一斜a r m e n d a r i z 环,即也是口斜线性m c c o y 环但不是a 刚性环 旦是我们有 引理1 7 设a 是环刀的自同态月是口刚性环,则 4 jllif 月q5 若仃是同构,且夕是卢斜线性m c c o y 环,则刀足a 一斜线性m c c o y 环 证明设 f t x ) = a o + q j ,反力= b o + 4 x 饵石a 】 o ) , 且( 力箩= o 取 = 仃( a o ) + 仃( q ) z 研石a 】 0 ) , ( 若= o ,则仃( 喁) = 仃( q ) = o 仃是单同态,所以a o = a i = o 这与刀o 矛盾) 同理, = 盯( 磊) + 仃( 4 ) z 珂石a 】 o , 则= o 由是卢- 斜线性m c c o y 环可知,存在,趴 0 使= 0 即 仃( q ) 卢7 ( ,) = o ,i = 0 ,1 由仃满知,存在厂月 o 使盯( 厂) = , 则 5 a 嗡线性m c c o y 环和a s p sm c c o y 环 盯( q ) 卢7 ( 仃( 力) = 0 , 由图表可得加= 盯a , 从而。 盯( 哆) a ( 口7 ( ,) ) = o ,i = 0 ,1 又仃是单同态,所以叩7 ( 厂) = o 得证 对于厅3 ,令形( 砷表示形式为( 警三 的矩阵组成的环,其中a e r , l 是刀一2 阶单 位矩阵,b 是r 上的( 刀一2 ) x 2 矩阵,彳是启上对角线元素为口的二阶上三角矩阵 命题1 10 设口是环刀的自同态月是a - 冈0 性环,则形( 神是d 谋 线性m c c o y 环 证明令历表示曰的第,行定义映射 仃:( 警匀h ,( 吾a ) , 则容易验证仃是形( 司到3 - 2 的一个环同构,且下面图表可换 形( 砷山,。2 k 、l 万 形( 砷q 广2 由引理1 7 知,夕是瓦斜线性m c c o y 环由引理1 8 知,广2 是岙斜线性m c c o y 环 进而由引理1 9 知,形( 砷是西- 斜线性m c c o y 环 对于环刀的理想,如果a ( 力量厶则 西:卅,。可i ,( 反( + 力= a ( 口) + 厶a er ) 是商环叫上的自同态可以推测,若叫是万一斜线性m c c o y 环,是a - 斜线性m c c o y 环,则r 也是a 斜线性m c c o y 环以下的例子否定了这种可能 令 钏,是域,月= ( 吾 a 胖? ) , 6 辽宁师范大学硕士学位论文 则a 是r 上的自同态,但月不是a - 斜线性m c c o y 环 事实上,对于 1 力= ( 三: + ( 三习石,反力= ( :三) + ( :) z 饵石仅,、t 。, 我们有( 力占( 力= 0 但不存在厂月 0 使得( x ) r = 0 由【6 ,例1 2 1 ,朋拘任意非零真理想 = ( 吾0 1 j = ( 砑f = ( 叫,剜,卅彤都是万斜a r m e n d a r i z 环,即也是厉一斜线性m c c o y 环z z 髟都是a 一 斜线性m c c o y 环 但这个结论对于a - s p sm c c o y 环是成立的,下文中会提到 设a 是环月的自同态,则 面:研卅专研卅 是由 厂胛、胛 厅l l _ a ( 乃) = - 0 芦0 定义的何明上的自同态一般地,我们记历也为口 命题1 1 2 设a 是环刀的自同态,且对于某个正整数,有口7 = 厶,则月是a 一斜线性 m c c o y 环营饵卅是a 一斜线性m c c o y 环 证明“j ”设 = f o + 痧,反力= g o + 蜀少饵:月口】 o ) ,涉涫纱) = 0 显然 v = 0 ,l ,易研卅 取 后= m a x d e g ( ) ,d e g 协) + l , 则 ( ) = f o + 彳,反1 ) = 岛+ 蜀1 坷石a 】 0 ) 由于a 肌1 = a , ( ) 占0 枷) = f o g 。+ ( f o g 。+ f l a 翩( 岛) 沙枷+ 席棚( 蜀) j 2 1 7 a 喇线性m c c o y 环和a s p sm c c o y 环 = 腐+ ( 腐+ 肛( 岛) ) + 屑( 蜀) ,”, y f o v ) g ( y ) = 0 ,则对于任意的= 0 ,1 , 2 ,有 伽7 ( 毋) = 0 i j d 故 f o 1 涫( 1 ) = 0 由于月是a - 斜线性m c c o y 环,则存在 厂月 o c 月p 】 0 使得( ) 厂= o 则由后的取法和a 棚= a 可知,对于v ,= o ,l 有伽7 ( 尸) = o m l l l t 有 厂= 0 即饵明是a - 斜线性m c c o y 环 “乍”设 删= a o + n l y ,“力= 么+ 西少饵彤a 】 0 ,u 培纱) = 0 e h f r c 研x ,且坷卅是口一斜线性m c c o y 环,则存在,( 力何卅 0 ) 使f o o r ( z ) = o 记,( 力= e ,则对于任意的,= o ,l ,o 后m 有a , a 7 ( 咯) = o 由于“力o ,则存在 扣0 o 取厂= 磊月 o ) ,则 o ,) ,= 咯+ q c c ( 磊) = 0 即刀是口- 斜线性m c c o y 环 推论1 13 设a 是环月的自同态,且对于某个正整数,有a ,- 厶, 而) 是月上可换未 定元组成的集合,若刀是a - 斜线。 生m c c 。y 环,则月 嘞) 是口- 斜线性m c c 。y 环 证明设 f , g 月 讣 0 ) ,y 2 = o , 则 , g 缸畅,。 陟;a 】, 其中 ,强) 是有限集由命题2 1 2 ,月 知。,畅。 是a - 斜线性m c c 。y 环,所 以存在 ,缸,咆 o ) 缸 o ) 使得= 0 即证 8 辽宁师范大学硕十学位论文 2a s p sm c c o y 环 定义2 1 设a 是环月的自同态月称为对于自同态a 的斜幂级数( s k e wp o w e rs e r i e s ) m c c o y 环( 简言之,口- s p sm c c o y 环) ,如果对于任意的多项式 ( j ) = e a , e ,反力= 亏趣 石a 】 o ) ,。o j ,卸 满足( 力箩( 力= o ,则存在y e 刀 0 使得( 砂= o 命题2 2a - s p sa r m e n d a r i z 环都是a s p sm c c o y 环 证明设 ( j ) = q ,反力= 巧何 石a 】 o ) ,( 力占( 曲= 0 t 曲 ,戎 由启是伉- 斜s p sa r m e n d a r i z 环,可得对任意的,和有叩7 ( 匆) = 0 因为烈力o ,所以存在0 使嘭0 取厂= 匆,得证 命题2 3 胄是环,a 是刀上的自同态,z ,是月上的中心可逆元若a ( 矽= ,则月是 a s p sm c c o y 环u t ? 是o t - s p sm c c o y 环 证明”设 ( 力,箩( 力u a i a ;a 】 0 ) c 饵【石a 】 0 ,- ( 力乡( 力= 0 月是a - s p sm c c o y 环,所以存在,月 o 使( = 0 取,= u u r 0 ( 若= 0 ,则 ,= u - 1 ( ) = 0 ,矛盾) 由于z ,q 局, 则 f b c 、r = f 帅r 、= f 0 ,c 、p l l = 0 , 即龆是口一s p s m c c o y 环 ”乍”设 ( 力= a x z ,双力= 哆垣【石a 】 o ) ,( 砌( 力= 0 t = 0j = 0 则 只力= 识力= 匹= ( 彬) 硎五a 】 o , 9 a 喇线性m c c o y 环和a s p sm c c o y 环 驭力= u g ( 力硼 石a 】 0 ) 由于a ( 功= 影,则x i i = a ( z ,) z = 册即( 力= u f ( x ) 因此 只力仅力= 识力绶力= 力反力= 0 由于勰是a - s p sm c c o y 环,则存在,龆 o ) 使以为,= o 取广= ,z ,月 0 ) , 则 ( 曲厂= ( 力( 厂= u ( f ( x ) r 3 = 以力厂。0 得证 则由 引理2 4 设刀是a - s p sm c c o y 环,则a 是单同态 证明任取仍乃月,若a ( 功= a ( 0 5 , 知,口= b 即a 是单同态 x ( a - b ) = a ( a b ) = 0 命题2 5 如果刀是整环,则对于任意的a ,月都是口一s p sm c c o y 环 证明设 ( 曲= e o , e ,反力= 钐饵【石a 】 o ) ,( 力占( 力= 0 i - - 0 j = o 取 石= m i n o ,则对任意的o , 有卵7 ( 厂) = 0 即月是a s p sm c c o y 环这与引理1 5 矛盾因此口是单同态 由于a 是单同态,则嘭= o 所以对任意的有叩( 巧) = o 即刀是a - 斜s p s a r m e n - 1 0 辽宁师范大学硕士学位论文 d a r i z 环因此是a s p sm c c o y 环 对于a 斜s p sa r m e n d a r i z 环,我们有 引理2 6 月是环,倪是刀上的自同态,则刀是口斜s p sa r m e n d a d z 环营对于任意的多 项式 ( 力= q ,反力= 嘭,饵 石a 】,( 力占( 力= 0 ,却j - - - o 则对于任意的0 o o 有扫,= 0 证明”j ”显然可得 ”仁”因为 0 = ( a o + q j + q ,4 + ) ( 磊+ 历z + + 匆,“十) = a o ( + 么z + 多矿+ ) + ( q + a 2 x + 口州+ ) z ( b o + 4 z + 包卢+ ) , 所以 ( q + a 2 x + q ,产1 + ) ( a ( 幺) z + a ( 4 ) j r 2 + + a ( 吃j z 蒯+ ) = o 由题设可知,对任意的都有q 够) = o 以此类推,对任意的,和有叩7 ( 巧) = o 即月是 a 斜s p sa r m e n d a r i z 环 命题2 7 月是a - c o m p a t i b l e 环【3 】,a 是刀上的自同态,l ) r r o t ( 1 ) 若利是云 斜s p sa r m e n d a r i z 环,是约化环,则月也是a 斜s p sa r m e n d a r i z 环 证明设 ( 力= 哆,反力= 巧饵【石a 】,( 力箩( 力= 0 t t 电j = 旬 则 只力= 矽,驭力= 矽卅砸五司】,以力6 【力= o j = 旬 j = 旬 由于剧是云斜s p s a r m e n d a r i z 环,所以对于任意的o o o 有石万= 石即巧 下证对于任意的0 0 0 有 0 6 = 0 即证月是a 斜s p s a r m e n d a r i z 环 假设存在使得巧0 , 取 后= m i n o _ o o l a o b j o , 则 v 0 , 惫,喁6 i = 0 a 唰线性m c c o y 环和口一s p sm c c o y 环 由于月是a - c o m p a t i b l e 的,则有 a o a 扣( 易,) = o 由 ( 仅扣( 巧) 缸) 2 = o r 扛7 ( 巧) 以卵扣7 ( 嘭) ) 缸= o , 且 a k - y ( 巧) 缸 是约化环,知仅k - j ( 匆) 缸= 0 因此 ( 尸- j ( 钐) ) ( 么) 2 = 靠尸扣( 彦) ( 彦j ( a ur a 扣( b ) xc o d = o , 即 ( 尸k - j ( 易,) ) ( 么) 2 = o 由( 砌( 力= 0 知, 七- 1 0 = 么+ q a ( 红。) + + a , f a 。( 磊) = 么+ 户k - j ( 嘭) j = o 两边同时乘以( 勿) 2 , 则 k - - i o = ( 么+ 啄扣( 哆) ) ( 岛么) 2 = ( 4 ) 3 - o 而巧,且是约化环,所p a a o b , = o ,矛盾即对于任意的o o 。有钐= o 得证 3a 一斜m c c o y 环的矩阵环 下面我们研究以下形式的矩阵环 月是环定义 s = 1 2 厅 乃 儡 huuhn 吼; 口 讯口;o铌口0 ;o d d ;d 辽宁师范大学硕十学位论文 其中刀2 ,刀矿 设a 是月上的自同态,则月的刀,7 矩阵环( 砷上的自同态酉可由 厅( ( 乃) ) = ( a ( 乃) ) 来定义 命题3 1 月是环仪,面分别是月和最上的自同态,且a ( 1 ) = l ,则刀是a - 斜m c c o y 环 最是酉- 斜m c c o y 环 证明“j ”不失一般性,可设r 0 i 设 l( 力,g ( x ) 疋 z ;百】 0 ) ,( j ) 占p ) = o 下证存在f :鸠。o 使得( 砷f = 0 其中,厂月,乞表示通常的矩阵,它在坐标 ( 力处是l ,其余位置都是o 即可证最是反- 斜m c c o y 环 珍 若( z ) 互。= 0 , 取 f = 塌。= 互。,互。,厂刀 o , 则存在f 疋 o ) 使得 ( 力f = ( z ) 互,嵋。= o , ? 得证 i i ) 若( 力互。o ,由于口( 1 ) = l ,则对任意的 吐 捌 钡力= 4 疋p ;厅】, ( 其中4 = ( 衫q ) 疋) 有 ,_、村 历履力易= 易i 4 i 易= w ( 乞) 扛0k = o = a ( 1 ) 易,= 乞,= 衫砷o t 黜o | i 站-廿 扛o扫0 0 由于( 力o ,则存在后l 使得瓯乡( 力易0 取 ,= m a x 纠后l ,z 么占( 力z 0 , 则由( z ) 乡( 力= o 得 口喇线性m c c o y 环和a s p sm c c o y 环 o = 乞( ( 力占( 力) 易= 彤( z ) ( 国( 力) = z ( z ) i f 船l 占- ) z 如i = 互( 力( 占( z ) 乞) = 互p ) ( f p ) z j = p p ) ) p p ) z j i = ii s ,量s , = ( 历,( 力反) ( 磊( 力乞) = ( 历以力磊) ( 勖( z ) 乞) i s 7 其中z 为刀刀单位矩阵 又 互“力磊,乞箩( z ) 易月 五贯】 0 , 由于月是a - 斜m c c o y 环,则存在厂月 o ) 使得( 磊( 力磊) ,= o 所以由矩阵最的性质, ( 互( 力互。) 厂= 0 取f = ,互。疋、 o ) ,则根据矩阵运算, ( 力f = ( 力( ,互。) = ( 互。( j ) 互。) ( ,互。) = o 得证 “仁”设 ( 力= ,占( 力= 嘭研石a 】 o ) ,( 力多( z ) = o # 0 j = o 取 只力= 以力f = l q i 肚砸7 ( 句= ( 掣( 1 ) 句= ( 哆句最【石厅】, # - - 0南=0南曲扣0 由于| o ,则只力0 同理, 戗力= 反力厌最【石反】 o ) , 且 只力q 力= ( 以力句( 苁力句= 久力( 磁力) 肚久彦爱旁e = 0 由最是反- 斜m c c o y 环知,存在f 疋 0 ) 使得,( 力f = o 记f = ( 勺) ,其中= f , 则 ,( 力f = ( 力影= ( 4 c = o 由于f o ,则存在,1 使勺o 取厂= 白刀 o ) , 则 ( 力,= ( 力乃= o 1 4 7 f f j 目 赶 辽宁师范大学硕十学位论文 证毕 给定环月和一个双模斤,月通过做成的平凡扩张为环丁( 冠卸= r m ,其中 加法为普通d n 7 去乘法定义为 ( r l , 弼) ( 呓,) = ( 彳呓,彳+ n 写r 2 ) 显然 ,c 忍4 力兰 ( 二习l 尸尼朋以, 推论3 2 若a ( 1 ) = 1 ,则月是口- 斜m c c o y 环营厂( 尼砷是反一斜m c c o y 环 显然可以看出,a - 斜a r m e n d a r i z 环都是a - 斜m c c o y 环但反之不一定成立即存在环 月,它是口- 斜m c c o y 环,但不是a - 斜a r m e n d a r i z 环 例3 3 ( 1 ) 月= 互,互是整数模4 环贝0r 是厶一斜a r m e n d a r i z 环,那么刀也是厶一斜 m c c o y 环 由推论3 2 ,( 尼砷是万一斜m c c o y 环,但,( 冠砷不是万一斜a r m e n d a r i z 环事实上, ( ( 2 ,o ) + ( 2 ,i ) d 2 = o , 但 ( 2 ,1 ) 万( ( 2 ,o ) ) = ( o ,2 ) 0 ( 2 ) 月= 互【卅,互是整数模2 环令a :刀一月是由a ( ( 力) = ( o ) 定义的月上的自 同态,则月是口- 斜m c c o y 环 事实上,任取 ( 力= i y ,箩杪) = r y ;a 】 o ) ,( 少) 反力= o 声o 卢0 由于( 力o ,则存在o ,朋使得z o 取后= m i n o 七所阮o ,则 v 0 , 危= 0 由( 力反力= 0 得: 0 纪+ 缸( 晶一。) + + 缸( 岛) = o 所以伽。( 繇) = o ,即庸j ( 0 ) = o ,又石o ,故口。( 晶) = 晶( o ) = 0 由 a 喇线性m c c o y 环和a s p sm c c o y 环 腐+ ,+ 屑( 繇) + + 加。( 蜀) + 五。口“( 岛) = 0 , 得:f , a 。b ) = o ,即铂( 0 ) = o & g l ( o ) = o 以此类推,对任意的o ,7 都有邑( o ) = o 由于反力0 ,则存在0 ,7 使得乃0 取 ,= 毋月 o ) ,( 力厂= 肛7 ( ,) 少7 = z 1 s , ( o ) y = o 南0,t0 即刀是口- 斜m c c o y 环 由推论3 2 ,厂( 冠砷也是酉- 斜m c c o y 环,但厂( 冠砷不是酉- 斜a r m e n d a r i z 环 事实上, ( ( o ,1 ) + ( 五力力2 = ( o ,1 ) ( o ,1 ) + ( ( o ,1 ) ( 五z ) + ( 五力酉( ( o ,1 ) ) ) 少+ ( 五力反( ( 五力) 少2 = ( o ,o ) , 但 ( 力反( ( o ,1 ) ) = ( o ,z ) 0 即证 1 6 i
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