（基础数学专业论文）具有k1和s0的（αβ）度量.pdf

具有k = i 和s = 0 的( o ，) 一度量 基础数学硕士研究生 指导教师 摘 崔宁伟( $ 2 0 0 4 0 7 8 5 ) 王佳教授 要 本文对( o t ，卢) 一度量的s - 曲率和旗曲率进行了研究首先，通过对b u s e m a n n - h a u s d o r f f 体积形式的计算，给出了s 一曲率的计算公式从而得到了( n ，p ) 一度量的 s 一曲率为0 的一个非平凡条件并且发现了在李群铲上确实存在一组黎曼度量和 整体定义的1 一形式，对由任何光滑函数妒构造的( 。，所。度量都有s = 0 受此启发在 口为关于o 长度恒定的k i l l i n g1 一形式的条件下对旗曲率做了计算，构造出了李群 s 3 上具有k = 1 和s = 0 的一组f i n s l e r 度量具体地是下面的结果； 命题；对( o t ，p ) 一度量f = o 咖( 卢n ) ，令d 硌= 卵( z ) u 1 a a w ”和d k = ( z ) u 1 a au ”分别是f 和口的b u s e m a n n - h a u s d o r f f 体积形式，则； o f ( x ) = p ( ( z ) ， 其中p ( 6 ) = 帮【j ；r 端d o ，r ( 。) 是e u l e r - 函数 定理1 ：对( a ，口) 一度量f = q 毋( 卢n ) ，当卢为关于o t 长度恒定的k i l l i n 9 1 形式 时，s = 0 例子i b s i ：设鲰= 同酽f 订印叩耳研是李群s 3 上的黎曼度量，凤= 棚蕊1 是李群s 3 上整体定义的1 形式通过计算可以得到： 俄为关于黎曼度 量o 的k i l l i n 9 1 一形式且满足i i 风= 监是常数由定理1 知段= a k t j i ( & a k ) 的s 一曲率为0 重要的是，在【b s 】中得到，当f = o t k + 凤时，最的f l a g 曲率为1 我们推广了这个结论t 定理2 ：设o t k = 0 研研f 瓜伊f i 可i 甲是李群s 3 上的黎曼度量，仇= 0 蕊日1 是李群s 3 上整体定义的l 形式则 。 ( 1 + a c l ) a 2 一c 1 僳士以可而仇。 “一了i 函一 卜 具有旗曲率k = 1 和s = 0 ，其中a ：= ( k 一1 ) k ，k21 ，c 1 k 是任意常数 关于定理1 的逆命题是否成立，我们对特殊的度量f = o + 印十知2 o ) 和 m a t s u m o t o - 度量f = n 2 一p ) 做了尝试，得到： 定理3 ：对m a t s u m o t o - 度量f = n 2 陋一p ) 和( q ，卢) 一度量f = n + e 卢+ ( 卢2 肛) ， 其中f ，k 为非零常数以下等价； ( 1 ) f 具有迷向s 曲率，即存在m 上的数量函数c ( z ) ，使得s = m + 1 ) c ( x ) f ( 2 ) f 具有迷向平均b e r w a l d - 曲率，即存在m 上的数量函数c ( z ) ，使得e = 也c ( z ) f 一1 h ( 3 ) 芦为关于。长度恒定的k i l l i n 9 1 一形式，即7 0 0 = 0 ，8 0 = 0 ( 4 ) s = 0 ( 5 ) f 为弱b e r w a l d 度量，即e = 0 关键词：f i n l s e r 几何，s 一曲率，( a ，p ) - 度量，旗曲率 n o n ( a ，) 一m e t r i c sw i t hk = 1 a n ds = 0 m a j o r ：b a s i cm a t h e m a t i c s t u t o r ：p r o f w a n gj i a a u t h o r ：c u in i n g w e i ( s 2 0 0 4 0 7 8 5 ) a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ：w es t u d yt h es - c u r v a t u r ea n df l a gc u r v a t u r eo f ( o ，p ) 一m e t r i c s f i r s t ， w ec a l c u l a t et h eb u s e m a n n - h a n s d o r f fv o l u m ea n dg i v ee x p l i c i tf o r m u l ao ft h es c u r v a t u r e f o r ( o ，卢) m e t r i c s t h e nw ef i n das u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o r ( o ，p ) 一m e t r i c so fv a n i s h e ds c u r v a t u r e a n dw er e a l l yf i n dac l a s so ff i n s l e rm e t r i c so nl i eg r o u ps 3w i t hv a n i s h e d c u r v a t u r e i n t r i g u e db yd b a na n dz s h e n se x a m p l e ，w ec a l c u l a t et h ef l a gc u r v a t u r e o f ( o ，p ) 一m e t r i c su n d e rt h ec o n d i t i o nt h a t 卢i sak i l l i n g1 - f o r mo fc o n s t a n tl e n g t hw i t h r e s p e c tt oo t ，a n dt h e nw ef i n dac l a s so ff i n s l e rm e t r i c sw i t hc o n s t a n tf l a g c u r a v a t u r e = 1a m o n gt h ea b o v em e t r i c s 。 p r o p o s i t i o nf o r ( o ，卢) 一m e t r i c sf = q 妒( 卢q ) ，l e t 嘶= 盯f ( z ) u 1a a u “a n d d 魄= o h ( z ) u 1a ”b et h eb u s e m a n n - h a u d o r f f v o l u m ef o r m so ffa n dnr e s p e c t i v e l y , t h e n 卵( z ) = p ( 6 ) 。( z ) ，w h e m 肛( 6 ) = ! 笔；茅咐篆罱d 刎一1a n dr ( 。) i sb u l e r f u n c t i o n t h e o r e m1 ：f o r ( 口，p ) 一m e t r i c sf = a ( z a ) ，i fpi sak i l l i n g1 - f o r mo fc o n s t a n t w i t hr e s p e c t t o q t h e n s = 0 e x a m p l e l b s ：l e t 口k = v k 2 0 1 e + k 0 2 1 2 + k o a zb er i e m a n n i a nm e t r i c sa n d 仇= 埘蕊口1b e1 - f o r mg l o b a l l yd e f i n e do nt h el i eg r o u ps 3 ，t h e nae a s yc u l c u l a t i o ng i v e s t h a t 凤i 8k i l l i n g1 - f o r mw i t hr e s p e c tt o a n di f 厩= 牮= c o n s t a n t b y t h e o r e m 1w eh a v et h a tt h es - c u r v a t u r eo f 风= a 脚( 凤肛k ) v a n i s h e s a n di n 【b s ，i ff = a + 风， t h ef l a gc u r v a t u r eo f 凡i sk = 1 w eg e n e r a l i z et h i sr e s u l t ： t h e o r e m2 ：l e tn = 狐币甲了研甲干即甲b er m m a n n i a nm e t r i c sa n d 仇= k 2 而- k 0 1b e1 - f o r mg l o b a l l yd e f i n e do nt h el i eg r o u ps 3 t h e n 肛 0 ，y 矿； ( c ) 对任意的0 y v ，在v 上的基本形式g y 是非退化的，其中 咖m 。i 1 丽0 2 叭y + s u + t v ) l 。 这时( kl ) 称为一个m i n k o w s k i 空间 ( 2 ) f i n s l e r 度量 设m 是一个n 维流形，t m 上的函数f ( 。，y ) 称为f i n s l e r 度量如果f 满足 ( a ) f ( z ，y ) 在t m o 上是c o o 的； ( b ) 对v y v ，r ( ) = f ( x ，y ) 是t x m 上的m i n k o w s k i 范数，即 i ) f 关于y 是正1 阶齐次的，即 f ( a ) ：= 2 f ( y ) ， a 0 ，y y ； i i ) 对任意的0 y v ，在v 上的基本形式9 u 是非退化的，其中 舭m = j 1 丽0 2 f 2 ( y + s u + t v 儿铷 此时称( m ，f ) 为f i n s l e r 空i b - j ( 3 ) 射流( s p r a y ) 系数 定义 g = 矿昙埘川杀， 则这个向量场是整体定义在切空间t m 上的从f 的齐次性我们有 g j ( z ，入) = a 2 g i ( z ，) ，a 0 ， 我们称g 为f 诱导的一个f i n s l e rs p r a y 令 删炉筹n嘶加筹n ) 我们称叼为f 的联络系数，b k 为f 的c h r i s t o f f e l 符号 其中 其中 其中 ( 4 ) b e r w a l d 曲率与平均b e w a l d 曲率 定义b e r w a l d 曲率为 岛= 彤“圆出。如z 。刍l ，：t p m 。耳m 圆弓m 一昂m 巧材( z ，g ) = 百；褊( z ，) 定义平均b e r w a l d 曲率为 日= 弓 d x j 圆d x f p ：乃m 耳m 一冗 易一( 刎) = ；麟。( 刚) 如果口= 0 ，则称f 为b e r w a l d 度量如果e = 0 ，则称f 为弱b e r w a l d 度量 ( 5 ) 黎曼曲率 定义r i e m a n n 曲率为 吼= 哦如。昙l ，：昂m 一昂m 琏= 。篆一器矿+ z 嘉一器雾 仁。， ( 6 ) b u s e m a n n - h a u s d o r f f 体积形式和g 曲率 设( m ，f ) 为赋予f i n l s e r 度量f 的流形，抽) 警l 为瓦m 中的任意标架， 揍1 为t ；m 中对应的余标架则f 的b u s e m a n n - h a u s d o r f f 体积形式缸f = 卵( z ) u 1 a - a u n 定义为 即5 丽琢孬i i v o 叮了瓦孑习i 可 l ( b p 、 3 当f 为黎曼度量时退化为黎曼几何中的经典形式对口已m o ，定义 嘞m 掣 为( m ，f ) 的d i s t o r t i o n f 的s - 曲率定义为 s ( ) ：= 爰 r ( e ( t ) ) ) 脚 其中c ( ) 为满足c ( o ) = $ ，e ( o ) = y 的测地线 s - 曲率反映了d i s t o r t i o n 沿测地线的 变化率，它是f i n s l e r 几何中的本质几何量f 珊州在局部坐标系( x i ) 下s - 曲率的 表达式为 s ( 们= 而o g m 一! ，m 两o l n a p ( 7 ) ( a ，卢) 一度量 ( n ，) 一度量足日本数学家m m a t s u m o t o 于1 9 7 2 年提出的在一个n 维流形m 上，如果f i n s l e r 度量f 有下列的形式： f 刊( ：) 其中d = 、( 。) g 。矿为r i e m a n n 度量，卢= 瓯( $ 为1 阶微分形式，即1 一形式， = 咖( s ) 是在某区间卜r ，r 】上的正g 。函数我们称f 为( a ，卢) 一度量 定义如下： “口：= d 玩一b 钾，( 2 9 ) 其中= d x ，并且醴= 瓦如。代表n 的l e v i c i v i t a 联络形式 令 r q ：( h i j + 幻；t ) ，s 巧：( 氏j 一幻；t ) ， = a i h 8 m ， s j = b 。j t ， e i j = r q + 风8 j + 吩毗， t o o = r o y 。矿，8 b = 8 j ，8 0 = s i y 。，e 0 0 = 8 0 矿矿( 2 1 0 ) 若8 0 = 0 ，则称卢为闭的1 一形式；若r i i = o ，则称卢为k i l l i n g1 形式；若 = 0 ，则称p 关于a 平行 ( 8 ) 特殊的( a ，卢) 一度量 4 ( i ) r a n d e r s 度量 r a n d e r s 度量f = q + p 在物理和生物中有重要应用m 具有常f l a g 曲率的 r a n d e r s 度量f 一定具有常g 曲率【b 硎c h s h 2 1 关于r a n d e r s 度量g 曲率的研究可 见【s h l l s h 2 对一般( n ，卢) 一度量的s 曲率研究较少 ( i i ) m a t s u m o t o 度量 m a t s u m o t o 度量f = 孟刍是日本数学m m a t s u m o t o 在研究山路的斜坡问题f 删j 时抽象出来的度量其中。是地球引力，p 是高度 ( i i i ) 广义s h e n - 度量 称f = a + e p + ( p 2 a ) 为广义s h e n - 度量，当e = 2 ，= 1 时f = ( a + 卢) 2 加称 为s h e n - 度量b e r w a l d 首先发现这个度量，沈忠民先生对它做了系统的研究 其中 且 ( 9 ) 一个有用的引理 引理l s h g i ：对( 0 所一度量f = 倒i ( 芦加) ，f 和。的射流系数和满足关系 g = + p y 十q ( 4 ) p = 口一1 0 - 2 q a s o + r 0 0 q = o q s + m 一2 q c r s o + r o o b t e = 需鸶篱拦 q = 南 皿= 丽i 方e 丽 第3 章( o ，) 一度量的g 曲率 我们对r a n d e r s 度量的g 曲率的研究已经比较深入，但对( o ，p ) 度量璺曲率 的研究很少要研究( o ，卢) 一度量的s 曲率，关键的困难是计算f 诱导的b u s e m & n n - h a u s d o r f f 体积形式我们在一个特殊的坐标系下作计算，克服了这个困难 命题：对( 口，p ) 一度量f = q 毋( p 肛) ，令d v f = 卵( z ) u 1 a u ”和d = ( ) u 1 a au “分别是f 和o t 的b u s e m a n n h a u s d o r f f 体积形式，则； f f f ( x ) = p ( 6 ) ( z ) ， 其中p ( 6 ) = 帮【口翮s i n n - - 2 8 叫a d ，r ( z ) 是e u l e r - 函数 5 证明；取 岛 饕1 为咒m 中关于口正交的标架，此时a ( 可) = 、。n1 ( 矿) 2 适当选 择 引翟l 使得尾( g ) = 妇1 ，其中6 2 ：= 0 卢眩记b 雪：= ( ) 舻ff ( x ，矿岛k ) l 则； 磁= ，旷) 舻i 压磊嘞 6 1 ，1 厢) 1 作坐标变换： f ；z 1 = r c 砌o s 0 ，1 。 ( 5 ) l y n 一1 = r s i n 0 1s i n 0 2 s i n 8 n - 2 c o s 0 “一1 【y “= rs i n 0 1s i n 0 2 s i n o “一2 s i n o ”一1 其中r 0 ，0 0 s7 r ，0 0 ”一1 2 i = l ，2 n 一2 变换的j a c o b i a n 为 j o c ：= r n 一1s i n n 一2 0 1 s i n o n 一2 则 田= ( r 口1 ，0 ) 舻l0 伊 r ，0 0 ”1 2 ” 0 r 1 曲( b c o s 0 1 ) ，i = l ，2 n 一2 1 则毋的体积为 v o t ( b ；) = b ! 耐 ( 6 ) ： r n 一1s i n n 一20 1 s i n0 n 一2 d r d 0 1 d o n 一1 j b 苎 ： f 0 1 rs i n n - 2 0 1 枷- 卜 f o ”s i n o n - 2 d o n - 2 】1 ( 新瑚”1 i f 0 1 b ( b c o s 0 1 ) r n - 1 d r 】 = 等絮掣帮【f 堕c n ( b c 端o s 0 拶】 n r ( 咛)r ( ；) j o 1 ) 1 = 晋吁揣】 将其代入b u s e m a n n h a u s d o r f f 体积形式的定义即得 使用这个引理，我们能够计算( a ，卢) 度量的s 一曲率，从而可以得到关于s 一曲 率的较为深入的性质 引理2 ：( o ，p ) 一度量f = o ( o p ) 的g 曲率为 s = q 7 2 皿q s 一2 【皿纠( 6 2 8 2 ) 一2 ( n + 1 ) q e + 2 a s o + 2 皿+ a r o + n 一1 ( ( 6 2 8 2 ) 皿7 + ( n + 1 ) o r o o ( 7 ) 6 其中a ：= 一筹为流形上的数量函数 证明：由( 4 ) 知： g ：= g 嚣+ ( n + 1 ) p + q 嚣 首先 n n - 1 ，国m _ n 2 ( b m o r - - 8 ) 从而 i n q s 孑】m = 口一1 掣m q s 舻+ a - l q ( 6 m q 一8 可m ) 8 孑+ o q s 嚣 = q 8 0 并且 g , - 2 q a s o + r 0 0 】6 m ) m = o t - 2 ( 6 。n s y m ) 皿7 f 一2 q a s o + 7 0 0 6 m + 皿 一2 q 7 a 一1 ( 6 m o s 掣m ) s o 一2 q q 一1 y m s o - 2 q a s m + 2 r m o b m = o l 一。皿7 ( 6 2 8 2 ) 【一2 q a s o + t 0 0 】 一2 i p q 7 ( 6 2 8 2 ) s o + q s s o t o ) 所以 q 鬻= 陋q s 孑 m + 田卜2 q a s o + r 0 0 】扩) m = q 7 2 皿q s 一2 p q 】7 ( b 2 8 2 ) s o 十2 9 r o + e i ! - 1 ( 6 2 8 2 ) 皿7 r o o 代入( 8 ) 得 g 嚣一0 嚣= ( 札+ i ) p + q 3 = 0 一2 k q s 一2 m q l 7 ( b 2 一s 2 ) 一2 ( n + 1 ) q o s o + 2 皿r o + o r - 1 ( 6 2 8 2 ) 皿7 + ( 几+ 1 ) e r o o 因【6 2 】。y m = b b d l 。y “= 2 b b , l o = 2 驴【啪十s 】- 2 ( r o + s o ) ，由上面的命题得s - 曲率 为 s = g ：_ y m l o l n 沥o f - ( x ) 7 = g 翟一g 嚣- i - 2 a ( r o + s o ) = q 一2 皿q s 一2 1 皿q 1 ( b 2 8 2 ) 一2 ( n + 1 ) q o - i - 2 a s o 十2 ( + a r o + n 一1 ( 6 2 8 2 ) 皿7 + ( n + i ) e r o o 其中a ：= 一筹笛为流形上的数量函数 定理l ：对( o ，卢) 一度量f = o 毋( p q ) ，当p 为关于。长度恒定的k i l l i n g l 一形式 时，_ s = 0 。 证明：若p 为关于a 长度恒定的k i l l i n g l 一形式，即t o o = 8 0 = 0 ，由引理2 即得 s = 0 注记l ：对r a n d e r s 度量f = q + 厉用积分公式 z ”高斋羽= 器五两i 丽矿删2 币萧帝 代入以上命题可得其体积形式为a f ( x ) = ( 1 6 2 ) ( n + 1 ) 2 ( 茹) 不同的解法觅【s h 3 第4 章李群s 3 上满足k = i 和s = 0 的f i n s l e r 度量 4 1 关于李群s 3 在文【b s 】中，沈忠民( z s h e a ) 和包大卫( d b a o ) 在李群s 3 上构造出了一组 r a n d e r s 度量，具有常旗曲率k = 1 且s = 0 ( n ，卢) 一度量是包含r a n d e r s 度量的一类 重要的f i n s e r 度量受上一个定理的启发，我们想在 ，p ) 一度量中是否还存在其 他k = 1 且s = 0 的度量? 作为微分流形，s 3 的e u l e r 示性数为0 ，由h o p f 指标定理知道它是可能容许有 整体定义的1 一形式的最简单的空间另一方面，s 3 上具有幺模四元数群结构使它 成为李群如此丰富的结构和对称性也是d b a o 和z s h e n 研究它的出发点 b s l 对s 3 = ( z 1 ，z 2 ，护，一) ；( 。1 ) 2 十( $ 2 ) 2 + ( 。3 ) 2 + ( z 4 ) 2 = l 同构于幺模四元数群 日= 伽1 + x 2 i + z 十x 4 k ；( x 1 ) 2 + ( z 2 ) 2 + ( 。3 ) 2 + 4 ) 2 = 1 ) ，其中“j ，k ) 满足如下乘 法表； i 2 = j 2 = k 2 = 一1 ， j = k ，j k = t ，k i = j ， i j = - j i ，j k = - k - j ，k t = - i k 然后做线形扩充得到群的乘法 8 设 e l ，e 2 ，e 3 是s 3 上典型的左不变标架场： e 1 = 一z 2 执+ z 1 侥一z 4 侥+ z 3 岛 e 2 = 一。3 a 1 + x 4 负+ x 1 国一x 2 国 e 3 = 一x 4 巩一善3 巩+ 。2 岛+ z 1 鼠 考虑s 。的h o p f 纤维化：s 3 一c p l = s 2 ，则e l 是纤维s 1 的切向量场 e l ，e z ，e 3 ) 具有如下的李代数结构； e l ，e 2 】_ 2 e 3 ，【e 2 ，e 3 l _ 2 e l ，【e 3 ，e 1 】_ 2 e 2 令p 1 ，口2 ，p 3 为 e l ，e 2 ，e 3 的对偶标架场我们有： d 0 1 = 2 0 2 a0 3 ，d 0 2 = 2 0 3 a0 1 ，d 0 3 = 2 0 1a0 2 4 2 旗曲率的计算公式 对于一般的( n ，卢卜度量，它的旗曲率是很难计算的i b s 】中得到仇为关于。女 长度恒定的k i l l i n g1 一形式，即t o o = 8 0 = 0 我们在t 0 0 = 8 0 = 0 下计算旗曲率的公 式，此时射流( s p r a y ) 系数为 g l = g 乞+ q q s 其中国= 南我们有 sj 。= ：) 。= 一。一l s t 。，s ，- = ：) 矿= n 一3 ( b k c r 2 - - p ”t ) 且 6 m 8 孑= 8 0 = 0 ，鼽n s ? = “s m k = 一8 k o ，g m s 酽= 一8 0 0 = 0 记q = a q s b ，则 0 = f n o s 5 】l 女= - q 7 s o 岛+ a q s o 二l ( 9 ) 且 【q k 】矿”= 一q 7 s m 。s ；+ n q s o j 。) 矿9 ” = 一f q 7 8 胡矿8 ”田一q 7 s 6 s m 七 十n 一1 y k q s ；m + 口一2 q 7 ( b 。2 一卢可k ) s ；m + a q s i m y m = q 7 8 加s j + 口一1 y k q s i o l o + a - 2 q 7 ( b k o ：2 一卢g k ) s o l o + q q 4 1 0 = q 7 s k 。s 6 + n 一2 ( f a q - q p y k + a 2 q 7 b ) s i o l 。+ s o s ：i 。 ( 1 0 ) 9 则 q ”阿】p m 矿= q q s 孑 n q s ； 翟m 矿 n q s 孑 a - l y m q s i o + o f ：q 7 ( b m o ? - - p ) 5 。+ n 。s ) 矿 。q s 孑 a - 2 。q 一州8 i 。+ 6 m 。+ a q s ) 矿 。q s 孑 【a 2 ( a q q 卢) o 】矿。+ n 一2 ( a q q p ) s i o n 。 + b m q g o 矿+ 陋q 】矿s ) = n 一1 q a q q p 】s k 0 8 o + a q l a q u k s 孑s = a - l q f , ，q - q 7 卢s k o s i o + 。一1 白 陋q q 7 纠瓤+ 。2 句7 b k s 孑s q 。】”m 【q m 】矿 = 。一2 【n q q 卢】肌n s 。+ m t 一40 + a q s 鲁) n 一2 f 。q 一用s ”。+ 6 q s ”。+ n q s ) 。一1 q 【n q - q 7 z y k + a 2 q b k s 酽s 十口2 q 2 s s 一o t - i q n 口一q 纠s 七。一0 ( 1 2 ) 磁一危= 2 q k 一【q k 】矿v ”+ 2 q “【q 。l ”m 铲一【q 4 】v m 【q ”】矿 = 3 ql q q 7 s 】- q ，) s 舻8 + q q 8 】g m + a q 7 b k q s 孑s 一口一1 s 3 i 。) + 2 a q s s l 一o l ，i 。i o d 2 q 2 s s ( 1 3 ) 命题2 ：对( o t ，卢) 一度量f = a ( p o ) ，如果p 为关于。的长度恒定的k i l l i r g l - 形式， 即：r o o = 0 且8 0 = 0 ，则f 的曲率张量磁和。的曲率张量危有如下关系 趣一磁= 3 q i q q s i q 7 l s * 。s 6 + 【q q s j t + a q 靠) 口s 孑s 未一n 一1 s j l 。) + 2 a q s * o l k a q s ；i o 0 2 q 2 8 s 4 3 李群s 3 上k = i 的f i n s l e r 度量 定理2 ：设舰= 同硐f 忍眵f 砰砰是李群s 3 上的黎曼度量，展= 诉；f 忑口1 是李群s 3 上整体定义的1 形式则 肚 ! ! 型堕二! 1 1 堡+ 圭a c 塑l 至变：垒 ( - 4 ) 具有旗曲率k = 1 且s = 0 ，其中a ：= ( k 一1 ) k ，k 1 ，c 1 k 是任意常数 取定c l = 0 ，f = q + 仇就是【b s 】中构造的具有k = 1 且s = 0 的r a n d e r s 度 量 证明： 下面我们假设k = i ，然后将o k = 研研巧忑黟r 干可万甲和仇= 孑【忑日1 代 入上述公式进行计算 在单位正交标架场( e 1 i 去e 2 去e 3 下，p 的分量为： 6 1 ：! 旱，6 2 ：o ，6 3 ：o 0 1 2 t ，抛2 o ，魄5 ” p 的协变微分的分量为： b x l l = 0 ，b 1 1 2 = 0 ，b 1 1 3 = 0 b 2 1 2 = 0 , 6 。i 。：一塑k 王，6 3 l 。= 。 其余的由虬b + b | t = 0 确定 口的2 次协变微分的分量为： 。旷一罕岫。旷v 伊害- k a a m 川剐 其余的由b i l j l k + b j l 。i k = 0 确定 经过计算，我们有下面的等式： 8 k o s 4 0 = b k l o b l l o ，s 孑s = b m l o b i , i m ，g o t o = b i l o o s 6 = b i l o l k ，s l o = b i l k l o ，8 m 8 ”k = 以m 6 m i 下面计算o t k 的黎曼曲率 屈觚定义为； 叫一口i 穆= ；勘驴删 经过计算得： 羁1 2 = 1 ，袁5 1 3 = 0 ，矗 2 3 = 0 ， 威1 3 = 1 ，届1 2 = 0 ，鲳2 3 = 0 ， 震。= ；一3 ，霹- 。= o ，扁，z = o ， 1 1 首先k = 1 等价于磁= f 2 ( 吼一矿f 一1 巳t ) ，其中f = o 且t = n _ 1 一 8 ) 矿+ k 由命题2 知，k = 1 等价于 n 妒【a 文k 一曲，6 k y 】一曲( 一s ) = 磁+ 3 q q - q s - q b i 。以i 。 + 【q - q s y k + a q 7 b k q b m l 。吼m n 一1 b i l 。i 。) + 2 0 e q b i l o l k o t q b i l k l 0 一q 2 q 2 b , i m b m l k k 旱 a ：= 1 + 0 s 十q 7 肛一5 2 】 b ：= 1 一q 2 + q 1 + q s 】 。 c ：= 1 + 8 2 + 2 q s + 州q 2 1 】 将t ，= l ，2 ，3 ) 代入( 1 5 ) ，注意到礅= 髟削矿，经过一个很长的计算得到 当( i ，) = ( 1 ，1 ) 时，有 盼一8 2 h 妒( 一s ) 一a 】= 0 当( i ，k ) = ( 1 ，2 ) 和( 2 ，3 ) 时，有 妒( 一s ) 一a = 0 当( i ，) = ( 2 ，1 ) 和( 3 ，1 ) 时，有 ( 1 5 ) ( 1 6 ) ( 1 7 ) f ( 妒一s ) 一a s a a q 一曲】= 0 ( 1 8 ) 当( i ，) = ( 2 ，3 ) 和( 3 ，2 ) 时，有 毋( 曲一s ) 一a + 4 a b = 0 当( i ，k ) = ( 2 ，2 ) 和( 3 ，3 ) 时，有 庐z g + 3 ( a - s 2 ) b 一 庐( 咖一s ) 一a + 4 a b ) ( 笔) 2 = o 其中 = 2 ，3 1 2 ( 1 9 ) ( 2 0 ) 观察得到( 1 6 ) 一( 2 0 ) 等价于 庐( 一s ) = a ，b = 0 ，曲2 = c 将q 代入上述方程得到o d e s 曲”( a s 2 ) 一( 庐一s 咖) ( 曲一s 一1 ) ( 毋一s - i - 1 ) = 0 矿+ ( 一s ) 舻一( 1 + s ) 毋，】f 毋+ ( 1 一s ) 7 】= 0 ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 庐一s 毋，) 【( 毋一s ) ( 护一1 一s 2 ) 一2 西7 s 】 + a 眇一( 1 + s ) 妒】降+ ( 1 一s ) 】= 0 ( 2 3 ) 至少，由 b s l 知道，妒= 1 + 8 是此o o e s 的一个解幸运的是，这个o d e s 可解 下面，我们解这个o d e s 首先解方程( 2 1 ) 令，= 一s ，则f ，_ 一8 杪将( 2 1 ) 代入 。f ( f 2 1 ) = f s 一1 ( s 2 一a ) 则得到 1 ，。万= 两 因此 8 一+ 万专旁面_ 0 此方程的通解为 = 警+ c 2 s ( 2 4 ) 其中c l 和c 2 为常数 其次用方程( 2 2 ) 和( 2 3 ) 来定出常数c l 和c 2 将方程( 2 4 ) 代入2 2 ) 得 志 1 螂_ i ) c - 一c 考( i + a c l ) 2 ) = o 则 睨=士案、l+(a-1)el 将c 2 代入但4 的：笪耍垂五垦至孚 鬈p 亚 ( 。) 简单的验证可得( 2 5 ) 满足( 2 3 ) 则( 2 5 ) 为此o d e s 的通解这样我们就得到了一族 定义在李群s 。上满足k = 1 的f i n s l e r 度量 这样得到的一组度量仍然是r a n d e r s 度量f = a k c l + 仇 c 1 ，其中： = 志厕雨百万面丽阿两f 丽而 - 反。= 幽k 4 型- ( k 盟- 1 ) 兰c l 口1 这组度量是2 参数的，具有如下性质： ( 1 ) ：k = 1 ( 2 ) ：s = o ( 3 ) ：v o i f ( s 3 ) = v o i e u c ( s 3 ) 性质( 3 ) 说明用上述度量f 测量的s 3 的体积等于s 3 的欧式体积 性质( 3 ) 的证明： 在s 3 上取关于吼。的单位正交标架： ( 1 = 志一l ，( 2 = ：7 志一2 ，e 3 = ：7 志一3 ，则： ，4 砒”。叫1 ( 2 吣32 矸而d v e u c 酽 在这组标架下；反。= 丛三j ；压王( 1 从而； d w = ( 1 一慨，。嵫。) 2 d 坛缸。 邓一半】2 殍为跚砌伊 第5 章特殊( q ，p ) 一度量的曲率 关于定理1 的逆命题是否成立，我们对广义s h e n - 度量f = n + e 卢+ k ( z 2 n ) 和 m a t s u m o t o - 度量f = n 2 一p ) 做了尝试，得到： 定理3 ：对m a t s u m o t o - 度量p = a 2 陋一卢) 和广义s h e n - 度量f = 口+ e p + k ( 卢2 口) 其中e ，k 为非零常数以下等价： 1 4 ( 1 ) f 具有迷向s - 曲翠，剧存在m 上的数量函数c ( z ) ，使得s = + 1 ) c ( x ) f ( 2 ) f 具有迷向平均b e r w a l d 一曲率，即存在m 上的数量函数c ( z ) ，使得曰= 也笋c 扛) f h ( 3 ) 卢为关于n 长度恒定的k i l l i n g l 一形式，即r 0 0 = 0 ，8 0 = 0 ( 4 ) s = 0 ( 5 ) f 为弱b e r w a l d 度量，即e = 0 。 5 1 m a t s u m o t o - 度量 ， 对m a t s u m a t o - 度量f = o t 2 ( a p ) ，可表示为f = o ( 8 ) ，其中妒= l ( 1 一s ) 由 引理1 知 e = 万硒1 - - i 硒4 8 可 口= 而1 q 。两丁；j 萨面 v2 丁= 瓦 m 。矸面2 而矛 母2 币i f 面。皿q2 币_ = _ 夏万再 两 ( 蚴7 = f 蒜等警研 ( 2 6 ) 我们对m a t s u m o t o - 度量证明定理2 ( 1 ) 辛( 2 ) ：显然 ( 2 ) 辛( 1 ) ：假设f 具有迷向平均b e r w a l d - 曲率，即e = 骂卫c ( 茁) f h ，这等价 于 s = ( n + 1 ) c f + q )( ；7 ) 其中玎为流形m 上的1 一形式， 将( 2 6 ) 代入( 7 ) 和( 2 7 ) 得 s = 志一殍菇面一祭蒹器 一( n + 1 ) ( l - 4 s ) + 2 a s o + 2 ( 1 - 2 s ) 1 + 2 b 2 - 3 s r 击+ a ) r 。一十2 1 r ；j 萨可十“j o l 口。 黼+ 糌) 伽 ：n - 1 + 2 ( n + 2 、) b 2 + ( 3 、一- 7 n 一一- 8 n b 2 ) s + 6 ( 2 n - 1 ) s 2 + 2 a ) s 。一一一 j ” + 2 再杀瓦+ a ) r o 仃1 堡旦糍筠剖掣h = ( n + 1 ) c 击+ q ) ( 2 8 ) 在等式( 2 8 ) 两边乘以2 ( 1 一s ) ( 1 2 s ) ( 1 + 2 b 2 3 s ) 2 得 2 ( i 一8 ) h 一1 + 2 ( n + 2 ) b 2 + ( 3 7 n 一8 n b 2 ) s + 6 ( 2 n 一1 ) s 2 】 + 2 a ( 1 2 8 ) ( 1 十2 b 2 3 8 ) 2 + 4 ( 1 一s ) ( 1 2 s ) ( 1 + 2 b 2 3 s ) l 十a ( i + 2 b 2 3 s ) r o + n 一1 ( 1 一s ) ( 1 2 8 ) 6 ( b 2 8 2 ) + ( 1 + 2 5 2 3 s ) ( 1 4 s ) ( n + 1 ) r o o = 2 ( n + 1 ) c a + ( 1 一s ) q ( 1 2 8 ) ( 1 + 2 b 2 3 8 ) 2 ( 2 9 ) 将( 2 9 ) 乘以矿得 2 ( a p ) h 一1 + 2 ( n + 2 ) b 2 】n 3 + ( 3 7 n 一8 n b 2 ) 0 2 卢+ 6 ( 2 n 一1 ) o 卢2 + 2 a ( q 一2 p ) ( 1 + 2 b 2 ) q 一3 8 2 ) o s o + 4 ( a 一卢) ( a 一2 p ) ( 1 + 2 b 2 ) o 一3 8 a 十a f ( 1 + 2 b 2 ) o 一3 8 a r o 十( 。一p ) ( o 一2 ? ) 6 ( b 2 a 2 一卢2 ) + f ( 1 + 2 b 2 ) a 一3 8 ( a 一4 p ) ( 佗+ 1 ) ) r c 时 = 2 ( n + 1 ) a c 口2 + ( a 一卢) 叩 ( a 一2 p ) 【( 1 - i - 2 b 2 ) a 一3 8 2 ( 3 0 ) ( 3 0 ) 等价于 尬+ 尬d 2 十+ m 4 a 6 十o ( 地+ 地0 2 + 坼) = 0( 3 1 ) 其中。 m ：= 1 2 ( 2 n + 1 ) r v o ，4 尬：= 6 一( 1 3 - i - 8 b 2 ) 2 a ( r o + 8 0 ) 一( n + 1 ) 喇- i - 2 ( 2 n 一1 ) s o 一2 r 0 1 8 3 + 1 4 ( 7 - + l o ) b 2 + 3 5 n + 2 9 r 0 0 8 2 m s = 一6 ( n + 1 ) ( 7 + 8 b 2 ) c 8 2 + 2 一3 ( 3 + 2 b 2 ) ( 1 + 2 b 2 ) 【2 a ( r o + 8 0 ) 一( 礼+ 1 ) 叫 + 2 1 5 n b 2 + 4 n + 2 b 2 2 】印一1 2 ( 1 + b 2 ) r o 8 + f ( 1 + 2 b 2 ) n + 1 + 8 b 2 】r 0 0 舰：= 一2 ( n + 1 ) ( 1 + 2 b 2 ) 2 c