（基础数学专业论文）关于smarandache问题中几个新的算术函数及其均值.pdf

中文摘要 美籍罗马尼亚数学家f l o r e n t i ns m a r a n d a c h e 教授曾提出许多重要的理 论和实际问题，其中大部分内容与数论有关一些学者对他的理论和问题 进行了深入的研究，并获得了不少具有重要理论价值的研究成果，这些工作 发表在一些国际数学期刊如 ( s m a r a n d a c h en o t i o n sj o u r n a l ) ) 以及s c i e n t i a m a g n a ) ) 等刊物上此外，日本数论专家k e m c m r ok a s h i h a r a 博士也在他所著 的( c o m m e n t sa n dt o p i c so ns m a r a n d a c h en o t i o n sa n dp r o b l e m s ) ) 一书中提 出了许多与数论及s m a r a n d a c h e 函数相关的问题，其中不少问题具有一定的理 论意义及研究价值 基于对这些问题的兴趣，我们研究了一些伪s m a r a n d a c h e 函数及其对偶方 程的可解性，定义了新的s m a r a n d a c h e 幂和函数，进而研究了这些函数的性质 主要工作包括以下三个方面： 1 研究了一个包含伪s m a r a n d a c h e 函数及其对偶函数方程的可解性，利 用初等及组合方法给出了该方程的一系列正整数解，并证明了该方程的所有奇 数解必为奇素数p ( 5 ) 的方幂 2 对任意正整数佗及给定的正整数忌 1 ，定义了两个s m a r a n d a c h e 幂和 函数p ( n ，k ) 及a p ( n ，七) ，并研究了它们的算数性质，利用高斯取整函数的性质 及初等方法给出了函数p ( n ，k ) 及a p ( n ，k ) 的均值的两个有趣的渐近公式 3 设佗为正整数，定义可加函数f ( n ) 为f ( 1 ) = 0 ，当几 1 且n 的 标准分解式为佗= 硝1 p 呈2 p ：。时，定义f ( n ) = o q p l + 0 2 p 2 + + a k p k 设p ( n 1 表示礼的最大素因子利用初等方法以及素数的分布性质研究了函 数( f ( n ) 一p ( 扎) ) 2 的均值性质，并给出一个较强的渐近公式 关键词 算术函数，s m a r a n d a c h e 幂和函数，渐近公式，均值，伪s m a r a n d a c h e 函数 a b s t r a c t ( 英文摘要) a m e r i c a nr o m a n i af a m o u sm a t h e m a t i c i a np r o f e s s o rf l o r e n t i ns m a r a n - d a c h ep r o p o s e dm a n yt h e o r i e sa n dp r a c t i c a lp r o b l e m s ，m o s t l yc o n t e n t sr e l a t e d t on u m b e rt h e o r y s o m es c h o l a r sh a ds t u d i e dt h e s et h e o r e t i c a lp r o b l e m s ，a n d o b t a i n e das e r i e so fi m p o r t a n tr e s e a r c hr e s u l t s ，t h e yp u b l i s h e di ns o m ei n t e r - n a t i o n a lm a t h e m a t i c a lj o u r n a l s ，s u c ha s “s m a r a n d a c h en o t i o n sj o u r n a l ”a n d “s c i e n t i am a g n a ”o nt h eo t h e rh a n d ，i nh i sb o o k “c o m m e n t sa n dt o p i c s o ns m a r a n d a c h en o t i o n sa n dp r o b l e m s ”，j a p a n e s em a t h e m a t i c i a nk a s h i h a r a k e n i c h i r oa l s op r o p o s e dm a n y p r o b l e m sr e l a t e dn u m b e rt h e o r ya n ds m a r a n d a c h e f u n c t i o n s ，i nw h i c hm a n yp r o b l e m sh a v ei m p o r t a n tt h e o r e t i c a ls i g n i f i c a n c ea n d v a l u e b a s e do i lt h e s ep r o b l e m s ，w es t u d i e dt h es o l v a b i l i t yo fs o m ee q u a t i o n si n - v o l v i n gt h ep s e u d os m a r a n d a c h ef u n c t i o na n di t sd u a lf u n c t i o n w ea l s od e f i n e d t w on e wa r i t h m e t i c a lf u n c t i o n s ，s m a r a n d a c h ep o w e rs u m m a n d sf u n c t i o n s t h e n w es t u d i e dt h es o l v a b i l i t yo fs o m ee q u a t i o n sa n dt h ep r o p e r t i e so ft h es m a r a n - d a c h ep o w e rs u m m a n d sf u n c t i o n s t h em a i nr e s u l t si n c l u d i n gt h ef o l l o w i n gt h r e e a s p e c t s ： 1 s t u d i e dt h es o l v a b i l i t yo fs o m ee q u a t i o ni n v o l v i n gt h ep s e u d os m a r a n - d a c h ef u n c t i o na n di t sd u a lf u n c t i o nb yu s i n gt h ee l e m e n t a r ya n dc o m b i n a t i o n a l m e t h o d as e r i e so fp o s i t i v ei n t e g e rs o l u t i o n sa r eg i v e nf o rt h ee q u a t i o n f i n a l l y , w ep r o v e dt h a tt h eo d dn u m b e rn s a t i s f y i n gt h ee q u a t i o ni fa n do n l yi fn2p 七 w h e r ep 5b eap r i m e ，a n dkb ea n yp o s i t i v ei n t e g e r 2 f o ra n yp o s i t i v ei n t e g e r 扎a n da n yf i x e di n t e g e rklw ed e f i n e d t w os m a r a n d a c h ep o w e rs u m m a n d sf u n c t i o n sp ( n ，k ) a n da p ( n ，忌) t h e nw e s t u d i e dt h em e a nv a l u ep r o p e r t i e so ft h e s et w of u n c t i o n s ，a n dg i v et w oi n t e r e s t i n g a s y m p t o t i cf o r m u l a ef o rt h e m 3 an e wa r i t h m e t i c a lf u n c t i o nf ( n ) i sd e f i n e db yf ( 1 ) = 0 ，a n df ( n ) = a ：p l + + a k p k ，i fn = 硝1 磋2 。i st h ep r i m ep o w e rd e c o m p o s i t i o no fn l e t p ( n ) b et h el a r g e s tp r i m ed i v i s o ro f 佗i nt h i sp a r t ，w eo b t a i n e da na s y m p t o t i c f o r m u l af o rt h em e a nv a l u eo f ( f ( n ) 一p ( 礼) ) 2 k e y w o r d s a r i t h m e t i c a lf u n c t i o n ，s m a r a n d a c h ep o w e rs u m m a n d sf u n c t i o n ，a s y m p - t o t i cf o r m u l a ，m e a nv a l u e ，t h ep s e u d os m a r a n d a c h ef u n c t i o n n l 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。 本人允许论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研 究所等机构将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库或其它 相关数据库。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名： 醛建指导教师签名：銎皇! 塑 力啤多月，j 上日 们卜年6 月i 乡日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研 究工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特j 引l d r j 以标注和 致谢的地方外，本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果，也不包含为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：瘩谨 知 p 年6 只) 上b 西北大学硕士学 z 论文 1 1 研究背景与意义 第一章绪论 数论是研究整数性质的一个数学分支，它也是数学中最古老的分支之一， 它历史悠久，且有着强大的生命力数论问题叙述简明，“很多数论问题都从经 验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却 并不容易”直到目前仍有许多没有解决的数论难题近代数学中许多重要思 想、概念、方法与技巧都是对整数性质的深入研究而不断丰富和发展起来的 近几十年来，数论在计算机科学、组合数学、代数编码、信号的数字处理等领 域内得到广泛的应用 数论函数也称为算术函数这是一类重要的函数，是指定义在正整数集上 的实值或复值函数更一般地，也可把算术函数看作是在某一整数集上定义的 函数，算术函数是数论研究中的一个重要的课题，是研究各种数论问题不可缺 少的工具 我们对美籍罗马尼亚数学家f s m a r a n d a c h e 教授提出的一些问题进行了 研究主要研究了关于伪s m a r a n d a c h e 函数及其对偶函数方程的可解性，定义 了新的s m a r a n d a c h e 幂和函数，研究了它们的性质和一类算术函数地均值估 计，从而获得了一些有趣的渐近公式和恒等式及方程的解数 1 2 主要内容 本文主要内容分布在第三至第五章，具体如下： 1 研究了一个包含伪s m a r a n d a c h e 函数及其对偶函数方程的可解性，利 用初等及组合方法给出了该方程的一系列正整数解，并证明了该方程的所有奇 数解必为奇素数p ( 5 ) 的方幂 2 对任意正整数n 及给定的正整数k 1 ，定义了两个s m a r a n d a c h e 幂和 第- 嚣绪论 函数p ( n ，k ) 及a p ( n ，) ，并研究了它们的算数性质，利用高斯取整函数的性质 及初等方法给出了函数p ( 佗，k ) 及a p ( n ，k ) 的均值的两个有趣的渐近公式 3 设n 为正整数定义可加函数f ( n ) 为f ( 1 ) = 0 ，当n 1 且佗的 标准分解式为扎= p c ；1 麓2 p 警时，定义f m ) = o q p t + o z 2 p 2 + + q 毛m 设p ( n ) 表示礼的最大素因子利用初等方法以及素数的分布性质研究函 数( f ( n ) 一p ( 佗) ) 2 的均值性质，并给出一个较强的渐近公式 2 西北大学硕士学位论文 第二章数论的历史与现状 2 1 数论的起源与发展 从人类可以辨别事物的多少开始，就有了整数的概念对于整数可以施行 加、减、乘、除运算，叫做四则运算人们在对整数进行运算的应用和研究中， 逐步熟悉了整数的特性利用整数的一些基本性质，可以进一步探索许多有趣 和复杂的数学规律自古以来，数学家对于整数性质的研究一直十分重视同时 素数性质的研究是数论中最古老与最基本的话题之一，早在公元前3 世纪，古 希腊数学家欧几里德就已经证明素数有无穷多个 两千多年来，数论有一个重要的任务，就是寻找一个可以表示所有素数的 普遍公式，为此，众多数学家花费了巨大的心血利用素数基本性质，可进一步 探索许多有趣的数学规律，这吸引了从古到今的许多数学家不断地研究和探索 自中国古代，许多著名的数学著作中都有关于数论内容的论述，比如求最 大公约数、勾股数组、某些不定方程整数解的问题等等 在国外，古希腊时代的数学家对于数论中一个最基本的问题一整除性问题 就有系统的研究，质数、合数、约数、倍数等一系列概念也已经被提出来应用 了后来的各个时代的数学家也都对整数性质的研究做出过重大的贡献，使数 论的基本理论逐步得到完善 1 8 世纪数学家们也提出自己的猜想，其中最著名的是哥德巴赫猜想与华林 问题华林问题1 9 0 9 年才由希尔伯特首次证明，哥德巴赫猜想至今仍未解决 在1 8 世纪欧拉对数论也做了重要贡献1 7 3 7 年欧拉导出了恒等式 薹嘉= 罂【南】 欧拉利用算术基本定理( 每个合数可唯一表示成素数的乘积) 证明了这个恒等 式，又用它证明了素数有无穷多个这个恒等式在数论和分析间建起了桥梁，是 解析数论的开端右边的函数被黎曼推广n ts 取复值，称为黎曼一e 函数，是 第_ 章数论的历史与现状 现代解析数论的工具欧拉另一贡献是发现了二次互反律在1 9 世纪成为数论 研究的重要课题，从而开辟了数论又一个新领域一一代数数论 在1 9 世纪以前，数论只是一系列孤立的结果，但自从高斯在1 8 0 1 年发表 了他的算术研究后，数论作为现代数学的一个重要分支得到了系统地发 展算术研究中有三个主要思想：同余理论，复数理论和型的理论其中复整 数理论正是代数数论的开端，而这个理论又是从高斯对同余理论的研究中派生 出来的如果a ，b ，m 是整数，并且a b 能被m 整除，那么这时就说a 和b 关 于模m 是同余的，高斯将这一事实记为a 三b ( m o d 仇) ，它也称为同余式对 于模相同的同余式，可以像等式那样来处理高斯特别研究了x 2 兰a ( r o o dp ) ( 其中p 是素数，a 不是p 的倍数) 这种同余式方程如果它有解，就称a 是p 的二次剩余，否则称a 是p 的二次非剩余关于二次剩余和二次非剩余，有一 个著名的定理与之相联系，高斯称之为二次互反律二次互反律是欧拉最先发 现的，但他并没有给出证明，勒让德给出的一个证明则是不完全的第一个完全 的证明是由高斯在1 7 9 6 年给出的，后来他在算术研究中又给了另一个证 明高斯非常欣赏这个定律，把它誉为“算术中的宝石”，而且在他的一生中 至少给出过二次互反律8 个不同的证明高斯在证明了二次互反律之后，试图 将它推广到三次和四次互反律，但他发现为使三次和四次剩余的理论简单、优 美，就必须超出通常的整数范围，引进复整数，即形如a + b ，其中a ，b 是整数 的复数对于复整数可以像处理普通整数那样讨论它的数论性质例如，在普通 整数论中，可逆元素是1 和一1 ，复整数论中的可逆元素是= e l 和士t 一个复 整数如果不能分解为除可逆元素及其本身以外的复整数的乘积，就称为一个复 素数因此，在复整数论中，由于5 = ( 1 + 2 i ) ( 1 2 i ) ，所以它不再是一个素数， 但3 仍是一个素数另外我们知道，在普通素数论中，有一个重要的定理称为算 术基本定理，它说每个整数都可以唯一地( 如果不考虑次序的话) 分解为素因 子的乘积高斯发现，如果不把四个可逆元素作为不同的因数，那么这个定理对 于复整数也是成立的。这样，高斯的复整数理论就开辟了数论的一个新天地在 高斯之后对代数数论作出主要贡献的数学家库默尔( e e k u m m e r ，1 8 1 0 - 1 8 9 3 ) 4 西北大学硕士学能论文 也是一位德国人，他的工作与证明费马大定理有关后来，德国数学家戴德金 ( r d e d e k i n d ) 又把库默尔的工作系统化并推广到一般的代数数域，从而创立 了现代代数数的理论 1 9 世纪分析方法的一个重要应用领域是数论事实上欧拉在数论中已 经引进了分析方法欧拉还提出母函数法，利用幂级数来整数分拆，但欧拉 在数论中对分析方法的应用是十分有限的解析数论作为有意识地使用分 析方法研究数论问题的一个分支是从狄利克雷开始的1 8 3 7 年，狄利克雷 利用分析方法证明了欧拉和勒让德最早提出的一个猜想：每一个算术序 列a ，a + b ，a + 2 b ，口+ 3 b ，o + n b 中有无穷多个素数，其中a 和b 是互素 的在证明过程中，狄利克雷引入了后来以他的名字命名的l 函数，后来狄利 克雷l 函数成为研究数论问题的主要工具不过促使解析数论取得长足进展的 重要因素是关于素数分布问题的研究，这个问题引起了黎曼的兴趣他在1 8 5 9 年发表的“论不大于一个给定值的素数个数”的文章中，将欧拉恒等式的右边 记作( ( s ) ，并且把8 看成复变数，于是就产生了我们今天所说的黎曼e 函数： o 。 1 e ( s ) = 嘉 黎曼认为素数性质可通过复变函数e ( s ) 探讨，他还建立了与( ( s ) 有关的表 示7 r ) 的公式因此，研究素数分布关键在于研究( ( s ) 的性质这样黎曼开创 了解析数论的新时期，并使得复分析成为研究这个领域的重要工具同时黎曼 还提出一个猜想：( ( s ) 在带型区域0 r e s 1 中的一切零点都位于r e s = 互1 这条线上，其中r e s 表示复变数s 的实部，这就是著名的黎曼猜想，它至今没有 解决，1 8 9 6 年阿达马和瓦莱普桑根据黎曼的方法和结果，应用整函数理论，终 于证明了素数定理，从此解析数论开始得到迅速发展，并成为2 0 世纪最为活跃 的数论分支之一 在中国近代，数论也是发展最早的数学分支之一从二十世纪三十年代开 始，在解析数论、丢番图方程、一致分布等方面都有过重要的贡献，出现了华 罗庚、闵嗣鹤、柯召等一流的数论专家其中华罗庚教授在三角和估值、堆砌 5 第_ 章数论的历吏与现状 素数论方面的研究是享有盛名的1 9 4 9 年以后，数论的研究的得到了更大的发 展特别是在“筛法”和“哥德巴赫猜想”方面的研究，已取得世界领先的优 秀成绩特别是陈景润在1 9 6 6 年证明“哥德巴赫猜想的“一个大偶数可以 表示为一个素数和一个不超过两个素数的乘积之和”以后，在国际数学界引起 了强烈的反响，盛赞陈景润的论文是解析数学的名作，是筛法的光辉顶点至 今，这仍是“哥德巴赫猜想”的最好结果 2 0 世纪以来，哥德巴赫猜想，黎曼猜想等的研究很大程度上推动了解析数 论的发展，围绕这些问题的解决产生了很多好的方法，不仅是数论也是其他数 学分支的宝贵财富 同时，2 0 世纪以来随着计算机的发展，很多数论专家们在计算机上进行了 人工不可能完成的巨量计算，不仅得以证明一些已知的困难定理，还帮助他们 猜测新的事实，发现新的定理，高斯、勒让德就是通过大量计算猜测素数分布 公式现在通过计算归纳数学定理，然后用演绎法证明，这种方法的威力无疑由 于计算机无可比拟的计算速度而极大加强了 2 2 数论的魅力 首先，这个数学领域产生了至今仍没有解决的很多难题希尔伯特说：“一 个科学分支若能提出大量的问题，则它充满着生命力，而缺乏问题却预示着独 立发展的衰亡或中止”数论就是这样一个包含着大量尚未解决问题的领域，至 今仍有各德巴赫猜想、孪生素数对问题等许多仍未解决的难题，这也向一代代 数学家提出了挑战 其次，这个领域有些问题看起来非常简单，很多人都能看懂，却使一代又一 代世界一流数学家为它付出了艰苦的努力，而至今尚未解决的问题在数论中还 有很多问题表述的分外简洁与解答的极端复杂，作为数论独有的特点吸引着 无数的数学专家与爱好者 再次，人们为了解决这些问题使用了很多非常复杂的方法，例如代数，几何， 6 西北大学硕士学位论文 分析，概率论等方法。哥德巴赫猜想就是一个极好的例证要解决这一猜想，仅 有初等数学知识和微积分是远远不够的，需要全新的观念与更先进的工具才行 人们的确很难解释，人的认知机制为什么非要这么七弯八转兜上一个大圈子， 才能在一个假设条件和另一个看上去跟它那么相近的结论之间建立起联系来 不过，这种定理陈述的简单性，所用方法的深奥性，却以极其明显的形式体现了 数学内部深刻的和谐一致性，或许正是这些极为独特的风格带来的迷人魅力终 使数论能高居“数学皇后”的宝座之上，从而深深地吸引了世世代代的数学家 和数论爱好者 还有一部分数学家是因为它脱离实用的“纯正洁白”而着迷这门学科的 研究可能不会立刻看到它在现实生活中的应用，但真正的数论学家们是不在乎 那些定理会有很么作用的，他们体会到的是一种“纯粹的数学”带给他们的享 受 尽管数论居于数学中最美妙的思想之列，但很长一段时期内却从未被用于 任何非常实际的目的不过，这一现象现在已被改变数论在多个领域都发挥了 自己的作用 2 3 数论的应用 首先，数论之于现实生活是有用的数论曾被英国数学家哈代看成是“无 用”和“清白”的学问，哈代说“至今还没有人能发现有什么火药味的东西是 数论或相对论造成的”但近年来，哈代所钟爱的“清白”学问数论，已经在密 码技术( “公开密钥”系统) 、卫星信号传输、计算机科学和量子场论等许 多方面发挥重要的或关键的作用事实上，目前与普通人生活密切相关的银行， 通讯等领域使用的密码体系也是基于数论的2 0 世纪数论空前广泛的应用，与 它的更高的抽象化趋势并行发展着我们看到，一方面其核心领域正变得越来 越抽象，一方面数论的应用也变得越来越广泛核心数学创造的许多高度抽象 的语言、结构、方法与理论，被反复地证实是其它科学技术和人类生产与社会 7 第一，蕈数论的历史与现状 实践中普遍适用的工具，这恰恰反映了数学抽象理论与客观现实世界之间的深 刻、复杂而又奇妙的关系数论的高度抽象性和内在统性，不断在更高的层 次上决定着这门科学应用的广泛性 可我们接着会提出问题：现代社会数论是有用了，可数论若从欧几里德证 明素数的个数是无穷的这个定理算起，也有两千多年了，几千年来，数论对现实 生活没什么用，可为什么这么多人乐此不疲的从事这方面的研究呢? 要回答这 个问题，就不得不提数论的第二个用处了数论对训练人的心智有用事实上， 在古希腊，数学( 包括数学论，另外重要的一门是平面几何) 是用来培养高级 人才的重要课程，用以提高人的心智水平，我们的确看不到很多定理以及它的 证明过程对现实生活有什么用，但看到这些优美的严密的证明，我们不应怀疑 其对思维训练的作用事实上，如果哈代的说法“激励数学家做研究的主要动 力是智力上的好奇心，是谜团的吸引力，是穷究真理的需要”可以被接受的话， 那么，这种对好奇心，这种对真理的渴望难道能说没有用吗? 正如希尔伯特这 个数学史上最后一个百科全书式的人物所说“问题就在那里，你必须解决它” 这种永不满足的激情不但能解决一个个老问题，还能产生一个一个的新问题， 而这正是我们提倡的“问题意识”、“创新精神” 8 两北大学硕士学位论文 第三章一个包含伪s m a r a n d a c h e 函数及对偶函数的方程 3 1 引言及结论 对于任意正整数n ，著名的伪f s m a r a n d a c h e 函数z ( n ) 定义为最小的正 整数m 使得n 整除掣即就是z ( n ) = m i n m ：m n ，佗l 掣) 从z ( n ) 的定义容易推出z ( n ) 的前几个值为：z ( 1 ) = 1 ，z ( 2 ) = 3 ，z ( 3 ) = 2 ， z ( 4 ) = 7 ，z ( 5 ) ；4 ，z ( 6 ) = 3 ，z ( 7 ) = 6 ，z ( s ) = 1 5 ，z ( 9 ) = 8 ，z ( i o ) = 4 ， z ( i i ) = 1 0 ，z ( 1 2 ) = 8 ，z ( 1 3 ) = 1 2 ，z ( 1 4 ) = 7 ，z ( 1 5 ) = 5 ，z ( 1 6 ) = 3 1 ， 关于z ( n ) 的算术性质，许多学者也进行了研究，获得了不少有趣的结果 1 - 5 】 此外，j s a n d o r 在文献【6 】中引入了函数z ( 礼) 的对偶函数及( 礼) 如下：五( 几) 表示最大的正整数m 使得型竺2 山整除n 即就是五( 礼) = m a x m ：m n ，掣i 礼) ，其中n 表示所有正整数之集合显然由函数z ( 扎) 及五) 的 定义不难推出： 五( 佗) 塑坐2 z ( n ) ( 3 1 ) 同时在【6 】中，j s a n d o r 还证明了对任意素数p 5 及正整数扎有 五p n ) = 1 ，五( 3 n ) = 2 在第四届国际数论与s m a r a a d a c h e 问题研讨会期间，我的导师张文鹏教授 建议我研究方程 z ( 佗) + 五( 佗) = n( 3 2 ) 的可解性，同时他提出了下面的： 猜测：( a ) 方程( 3 2 ) 只有有限个偶数解，也许只有一个偶数解扎= 6 ； ( b ) 方程( 3 2 ) 的所有奇数解必为奇素数p ( 5 ) 的方幂 本章利用初等及组合方法研究了这一问题，并部分地解决了张文鹏教授的 猜测具体地说也就是证明了下面的结论： 9 第一孽个包岔伪s m a r a n d a c h e 函数及对偶函数的方程 定理3 1 设r t 为任意正奇数，则佗满足方程( 3 2 ) 当且仅当t t 为素 数p ( 5 ) 的方幂即就是n = p 南，其中p 5 为素数，忌为任意正整数 显然我们的定理彻底解决了上面的猜测( b ) 猜测( a ) 是否成立仍然是一 个公开的问题，有待于我们进一步研究 3 。2 定理的证明 下面我们利用初等及组合方法直接给出定理的证明事实上由伪s m a r a n - d a c h e 函数z ( 佗) 的性质知对于任意奇素数p 及正整数k ，我们有z ( p 七) = 矿一1 而当素数p 5 时，互南) = 1 ，所以z ( p 七) + 五知) = p 庇从而r t = 矿是方 程( 3 2 ) 的正整数解，其中p 5 为素数，k 为任意正整数但是z ( 3 七) = 3 七一1 ， 互( 3 后) = 2 ，所以z ( 3 七) + 五( 3 七) = 3 七+ 1 3 知所以扎= 3 詹不是方程( 3 2 ) 的解现在我们证明方程( 3 2 ) 除了以上正整数解之外，在没有其它正奇数解 显然几= l 不满足方程( 3 2 ) 于是如果方程( 3 2 ) 有其它大于1 的奇数解n ， 则n 至少含有两个不同的奇素因子不妨设z ( n ) = m ，于是由z ( n ) 的定义 知t ti 型堡2 丝2 设( 绍，m ) = 钆= i t - 秽，m = 锃m 1 则( u ) = 1 且移l ( 仇+ 1 ) 不失一般性我们假定乱 移于是由vi ( m + 1 ) 可得让m l + 1 兰0 ( r o o dt ，) ， 由此推出m 1 三一面( r o o dv ) 或者恒等式： m l2 口一面 其中1 面v l 且u 面三1 ( r o o d 口) 所以m = 珏( v 一瓦) 。当2 露su 一1 时，显然有 m = 乱( v 一面) u 一2 ) ( 3 3 ) 而由( 3 1 ) 式并注意到u 可得： 狮) = 孙学以吼 ( 3 4 ) 于是结合( 3 3 ) 及( 3 4 ) 式可得 z ( n ) 4 - 五( 佗) 乱( u 一2 ) + 讵u 仳口= 佗 1 0 两北大学硕士学能论文 当面= 1 时，此时札兰1 ( r o o d 钉) ，所以珏= k vq - 1 若尼= 1 ，则m = ( v + 1 ) ( v 1 ) = 口2 1 ，n = u 钞= ( 钞+ 1 ) 口，磊( 礼) = 口，所以 z ( n ) + 五( n ) = v 2 1 + u u 2 + 口= + 1 ) - 口= u u = n 若k 2 ，则此时n = ( k v + 1 ) 口，m = ( k v - t - 1 ) ( v 1 ) 显然有 孙) 掣以诉 丽 于是我们有不等式 z ( 礼) + 五( 他) = r nq - 乙( 佗) ( k v - k1 ) 一1 ) + 、乏而 = ( 砌4 - 1 ) 口一( 砌+ 1 ) - b 以而万 1 ，m b e n c z e 曾定义了两个s m a r a n - d a c h e 和函数s ( n ，k ) 及a s ( n ，k ) 如下： s ( 死，南) = 一嘲 i n - k i l 1 ，我们有渐近公式 p ) = 鑫l i l z + 冗( 霉，奄) ， 其中i n ( x ，k ) l 譬+ 甍 鬻+ 由z 一告+ 堑堡垒丝2 i 尘n k 堡崆 定理4 2 设七 1 为给定的整数那么对任意实数z 1 ，我们有渐近公式 4 p ( 啪) = 鑫i n x + r 1 ( z ，后) ， 其中i r ( z ，k ) l 2 x 2 + 南兰三翁笋 从下面的证明过程也不难看出这两个定理的估计实际上是很粗糙的，是否 存在更精确的渐近公式也是一个有趣的问题 4 2 定理的证明 下面我们利用初等方法以及高斯取整函数的性质直接给出定理的证明首 先我们用高斯取整函数将函数p ( n ，k ) 进行简化，表示成更简单的形式注意 到i n - l 礼当且仅当一铭死一是i 珏或者0 一i ! 堂i n 盟k1 j ，其中p 】为高 斯取整函数，即就是i x 】表示不大于z 的最大整数于是函数p ( n ，k ) 可表示为： 尸( 佗，后) 5 乙( n k 4 ) i n - k i i n 掣i n k1 j ，一忆，唑礼) 1 后【鼎】+ 1 _ 1 。萎“诤卅 【等j 并 i = 0 l 。j 一 一 ：百n - l n ( 2 n ) + n - nil n l i l ( 2 后n ) 卜型掣 ：百n - l n ( 2 n ) 击一nl n ( 2 n ) ) _ 样( 4 1 )2 1 五i 一+ n 十两一n 一i 二1 _ ，( 4 1 1 3 第f 7 q 章关丁s m a r a n d a c h e 幂和的均值 其中 z ) = z 一【z 】表示z 的分数部分，0 z ) 1 ，由e u l e r 求和公式( 参见定理4 9 【1 2 】) 可得： 或者 z 。掣匆薹掣s 计1 掣匆 羔山陋，一等掣 n z 锱1 n ( 2 x + 2 ) 一半( 4 2 ) 于是由( 4 2 ) 式立刻得到估计式： 睦掣一丽x 2 一j + x 2l 燮喾一劫 于是结合( 4 1 ) 及( 4 3 ) 式可得 p ( n ，后) n x = 三( 掣击弋l n h ( 2 七n ) - ) _ 掣) = 篆掣+ n x ( 击扎 絮) _ 掣掣) ：羔1 n ( 2 卅，n 其中i r ( x ，k ) l 譬+ 由z 一告+ 2 z l n 一( 2 x 豇) + n l n 颤( 2 z ) + 2 一x 于是证明了定理4 1 现在我们证明定理4 2 与证明定理4 1 类似，我们先对a p ( n ，k ) 进行简 化由a p ( n ，意) 的定义我们有 a p ( n ，忌) = l n 一l = l n - k i 1 ，我们有渐近 三c 跏m ) 2 nq 厩x 2 i n i + 1t + o ( 赤) ，( f ( 佗) 尸( n ) ) 2 = q 一+ ( 志) ，n r t ，k 的所有素因子q 满足q n j l 七) ；c = n ，r t n ， n 有两个素因子p l 及p 2 满足n = p l p 2 k ，p 2 p l n i l 尼) ；d = n ，n n ， t t 的所有素因子p 满足p 礼 ，其中表示所有正整数之集于是由集合a ， b ，c 及d 的定义可得 ( f ( n ) 一p ( n ) ) 2 = ( f ( n ) 一p ( n ) ) 2 + ( f ( n ) 一p ( 讥) ) 2 n zn zn n e an e b + ( f ( 礼) 一p ( 扎) ) 2 + ( f ( 礼) 一p ( 礼) ) 2 n z n z n e cn e d 三矾+ w 2 + w 3 + w 4 ( 5 1 ) 现在我们利用初等方法以及素数分布理论来估计( 5 1 ) 中的各项首先我 们估计肌注意到f ( n ) 为完全可加函数且当n a 且n = p k ，k 的所有素因 子q 满足qsn 亏1 时，f ( k ) n i n n 以及素数分布定理( 第三章定理2 ( 1 6 1 ) 巾，5 薹1 。q 毫+ 。( 赢) ， 2 ， 其中c ( i = 1 ，2 ，k ) 为可计算的常数且c l = 1 我们有估计式： 肌= ( f ( 礼) 一p ( 佗) ) 2 = ( f ( 砧) - p ) 2 n z p k x n e a o ，k ) e a = f 2 ( 七) ( p k ) ii n 2 ) p k x 詹面七 p 詈 o ，k ) e a ( 1 n x ) 2 尼；p 2 3 七、压七 p 差 1 7 第珏章类算数甬数的均值估计 ( 1 n 扩篆后( 丢) 3 唾1 凼也 知西 。詹 f 二一 1 七 z 3 ( f ( 七) + p ) 2 p 2 后 p 、手七。七 p s 、手 墨 墨 z 2 z 2 k 2i n x 面 ( f ( n ) 一p ( 佗) ) 2 n i l n 2 佗z j 5i n 2z 礼 佗 k 如果k p l n j l ，这种情况属于w 1 的估计如果k p 1 陇 知 p ( 佗) ) 2 ( f 仞p 2 k ) - p 。) 2 + d ( z 沁z ) | i c z 吾k p l 诓p 2 毒 ( f 2 ( 七) + 印- f ( ) + 衍) + d ( 训5n 2 z ) 三七 邑p 。系“。(七z 七 p 1 、信p l p 2 系 + o ( z i l n 2z ) p 七z 七 p 1 诉 + d ( z i l n 2z ) l + di u z f n ( q i = l 七z 矗k p l s 、吾p l p 2 赤 意+ 。( 赢南 一衍 知吾k p l 诉p 2 s p l 詹 p l 以p l p 2 索 1 8 9 叶 坳1 ) ) ) ( 5 6 ) p p f 鬻 = p np nf 鬈 l l 商 旷 疃 两北大学硕士学位论文 注意到e ( 2 ) = 百7 1 2 ，应用a b e l 恒等( 参阅定理4 2 1 2 】) 及( 5 2 ) 我们有 p ； 七9 k p l s 诓 厂厂 - o i = 1 七 工吾 i = 1 n i = 1 + 0 kc - 1 + 。( 煮) ) k p l 以 ff t ：一t 一 后9 p 1 5 根 舞+ 。b 掣i n p l + 0 。 一iff t 一t 0 七z 墨m s 艉 三( 禹丌( 向一j 2 ( c i y 3 、) = ；n 而d i x 2 + 。( 2 n z 2 1 1 1 n - i 2z 其中也( = 1 ，2 ，) 为可计算的常数且d l = 百7 r 2 七 吾 幼k p t 七 p l 、厚p 1 p 2 看-七z 墨p l 、厚 墨亘 x 2z 3 娠i n 2 z 知立k p i 以 i n s x k i n n 琶+ 1 z 、 z 2z 2 k s l n n + s o p l k l n x ( 5 7 ) ( 5 8 ) ( 5 9 ) 同理应用a b e l 恒等，( 5 2 ) 式以及( 5 7 ) 的证明方法我们也可以得到渐近式 衍 知$ k p l 锈 ” i = 1 l n i + lz p 意l k