（机械制造及其自动化专业论文）三维弹性接触问题的数值模拟技术及其应用研究.pdf

两北工业人学坝i 掌位论义 摘要 接触问题是工程实践中一类常见、复杂、典型的非线性问题。经典的数 学方法和力学方法对大多数接触问题都难以解决，因此需要使用数值计算方 法进行求解。有限元数值计算方法的发展，尤其以有限单元法为核心的现代 c a e 技术的快速发展使有限元数值模拟技术得到了广泛的应用。本文着重采 用计算机数值模拟和经验解析解分析对比的方法，对汽车后桥传动用b 7 5 1 7 e 圆锥滚子轴承进行三维数值模拟研究。汽车后桥传动系统主要以圆锥滚子轴 承作为支承，而且为了提高整个系统的支承刚度，在装配时就使锥轴承具有 一定的预紧度。 本文在对接触问题的研究和发展现状及接触问题的基本理论进行介绍的 基础上，对汽车后桥传动锥轴承弹性接触问题的有限元数值求解方法进行了 理论分析。通过对锥轴承的特征参数、接触应力和变形及负荷分布特性的综 合分析，得出了圆锥滚子轴承的经典解析解存在局限性的结论。而采用数值 模拟技术则可以相对避免解析方法的不足。 本文针对汽车后桥传动锥轴承的接触弹性变形特点、接触应力及负荷分 布规律，采用三维实体单元及三维接触单元对圆锥滚子轴承实体模型进行特 殊的有限元网格划分，将接触单元按柔体一柔体处理，采用面一面接触分析 模式，建立了符合实际的有限元模型。在此基础上，应用商用软件a n s y s 对汽车后桥传动锥轴承进行三维有限元模拟与研究，获得了汽车后桥传动锥 轴承在两种不同情况下的求解结果。 根据有限元数值模拟结果对经典解析解中接触弹性变形量与作用负荷的 关系进行了修正利用修正过的接触弹性变形公式对汽车厢桥传动锥轴承的 接触应力和变形及负荷分布规律在无游隙及负游隙两种情况下进行研究，并 将结果与经典解析解进行了对比分析。本文的研究结果及研究方法对汽车后 桥锥轴承的工程应用、可靠性分析、优化设计等具有重要参考，对研究开发 新型锥轴承具有一定的应用价值。 关键词：接触问题，有限元，数值模拟，圆锥滚子轴承，汽车后桥，a n s y s 两北工业大学硕 学位论文 a b s t r a c t c o n t a c tp r o b l e m sb e l o n gt ot y p i c a ln o n l i n e a rp r o b l e m s ，f a m i l i a ra n ds p e c i a l l y c o m p l i c a t e dp r o b l e m si ne n g i n e e r i n g i ti sh e l p l e s sf o rc l a s s i c a lm a t h e m a t i c sa n d m e c h a n i c sm e t h o dt os o l v ec o n t a c t p r o b l e m s ；r e s o r t i n g n u m e r i c a l c o m p u t e m e t h o di s n e c e s s a r y d u et ot h e d e v e l o p m e n to ff i n i t e e l e m e n tm e t h o da n d c a e ( c o m p u t e ra i d e de n g i n e e r i n g ) t e c h n o l o g yb a s e do nf i n i t ee l e m e n tm e t h o d ， f i n i t ee l e m e n tn u m e r i c a ls i m u l a t i o nt e c h n o l o g yh a sb e e n a p p l i e dw i d e l y t h e p a p e rp u t se m p h a s i so nt h r e e d i m e n s i o n a ln u m e r i c a ls i m u l a t i o nr e s e a r c hf o rt h e b 7 517 ec o n i c a lr o l l e rb e a r i n gi na u t o m o t i v et r a n s m i s s i o nb y c o m p a r i n gc o m p u t e r n u m e r i c a ls i m u l a t i o nw i t hc l a s s i c a lr e s e t c o n e dr o l l e rb e a r i n g sa r et h em o s t i m p o r t a n ts u p p o r t i n gp a r t s i na u t o m o t i v er e a rb r i d g e ，i n t e r f e r e di n i t i a l l y , a f t e r i n t r o d u c i n gr e s e a r c h & d e v e l o p m e n ta n db a s i ct h e o r y o fc o n t a c t p r o b l e m s ，t h e o r e t i c a la n a l y s i s o ff i n i t ee l e m e n tn u m e r i c a ls o l u t i o nm e t h o di s m a d ef o rc o n t a c tp r o b l e m so fc o n i c a lr o l l e rb e a r i n g si na u t o m o t i v er e a rb r i d g e s a c c o r d i n g t os y n t h e t i c a la n a l y s i so nt h ef e a t u r eo f p a r a m e t e r s c o n t a c tp r e s s u r e & f o r m a t i o na n dl o a dd i s t r i b u t i o no fc o n i c a lr o l l e rb e a t i n g s ，t h el i m i t a t i o ni s d i s c o v e r e d b a s e do nc l a s s i c a l s o l u t i o n c o n t r a r i l y , n u m e r i c a l s i m u l a t i o n & a n a l y s i si sa b l et oo v e r c o m e t h e s ep r o b l e m s s p e c i a lg r i d s i s a d o p t e d f o rs o l i dm o d e lo fc o n i c a t r o l l e rb e a r i n g sb y a p p l y i n g f o rt h r e e d i m e n s i o n a ls o l i da n dc o n t a c t e l e m e n t s ，a i m i n g a ti t s c h a r a c t e r i s t i c ，s t r e s sa n dl o a dd i s t r i b u t i o no fe l a s t i c c o n t a c tp r o b l e m s f i n i t e e l e m e n tm o d e lb u i l ti nt h ep a p e ri sf i tf o ro b j e c t i v ep r a c t i c e ，w i t hf l e x i b l e - - f l e x i b l ec o n t a c tb o d i e sa n ds u r f a c e s - - s u r f a c e sc o n t a c tm o d e i nt e r mo ft h a t ，t h e s o l u t i o nr e s u l ti nt w od i f f e r e n tc o n d i t i o ni sa c h i e v e db ya n s y ss o f t w a r e d e e pr e s e a r c ha n dc o m p a r i n ga n a l y s i sb e t w e e n t h ec l a s s i c a ls o l u t i o na n dt h e f i n i t ee l e m e n tr e s u l ti sm a d eo nc o n t a c ts t r e s s & f o r m a t i o na n dl o a dd i s t r i b u t i o no f c o n i c a lr o l l e rb e a r i n g sb yr e v i s e dc l a s s i c a lf o r m u l ao fe l a s t i cc o n t a c tp r o b l e m s ， a c c o r d i n gt o f i n i t ee l e m e n ts o l u t i o ni nt w od i f f e r e n ti n t e r f e r i n gc o n d i t i o n st h e i i 翌j ! 王、业叁兰塑：! 兰堡堡兰一 f i n i a ls t u d i e do u t c o m e a n dm e t h o da d o p t e d w i l l b r i n gi m p o r t a n t e f f e c to n e n g i n e e r i n ga p p l i c a t i o n ，r e l i a b l e a n a l y s i s ，o p t i m i z a t i o n d e s i g n e t c o fc o n i 。a 1 m l l e rb e a r i n g s ，a tt h es a m et i m e ，c e r t a i na p p l i c a t i o nv a l u e f o rd e v e l o p i n gn e w t y p eo fb e a r i n g s k e y w o r d s ：c o n t a c tp r o b l e m s ，f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，n u m e r i c a ls i m u l a t i o n c o n i c a lr o l l e rb e a r i n g s ，a u t o m o t i v e r e a rb r i d g e ，a n s y s i l l 两- i l _ t ：业大学硕i j 学位论文 第一章绪论 在工程结构中，特别是在机械传动领域，三维接触问题普遍存在，如机 器传动轴承接触、压力容器的法兰连接、发动机中叶片与轮盘的榫接及直升 机中旋翼浆叶与浆毂的连接等。接触问题一经提出便引起了国内外专家学者 的普遍重视。 上世纪，赫兹( h e r t z ) 提出的h e r t z 弹性接触理论，奠定了接触力学 的理论基础。但是，由于计算方法和工具所限，近一个世纪以来有关接触问 题的研究几乎陷于停滞。有限元法及计算机的出现使这问题的解决有了长 足的进步，并逐步得到广泛应用。 数值模拟技术是在现代数学、力学理论的基础上，借助于现代科学技术 的产物计算机来获得满足工程要求的数值解。在工程技术领域中常用的 数值模拟方法有：有限元法、边界元法以及有限差分法，但就其使用性和应 用广泛性来讲，有限元法最具优势。有限元法的发展促进了当今c a e 技术的 进步，大型商用有限元分析软件的出现使有限元数值分析仿真( c a e ) 技术得 至了更加广泛的应用。自8 0 年代以来，先进制造技术( 如c i m s 技术、并行 工程、虚拟制造技术、快速样车技术等) 发展迅速，作为先进制造技术一部 分的c a e 技术受到越来越多人的重视，美国国家“关键技术委员会”向美国 国会及总统递交的报告中，曾把“计算机仿真与建模”列为2 2 项优先发展的 关键技术之一。在信息化时代的今天，c a e 技术已经与c a d c a m c a p p p d m e r p 一起成为支撑企业信息化的主要技术之一。 1 1 弹性接触问题有限元数值方法的发展及研究现状 有限元法在接触问题中的研究始于6 0 年代末。w h s o n 和p a r s o n 。1 首先 研究了二维弹性无摩擦接触问题的有限元解法。随后，c h a n 和t u b a 。：，o h t e “3 先后将有限元分析推广到c o u l o m b 摩擦的二维和轴对称的弹性接触问题。但 这些工作未考虑加载过程中的不可逆性。 t s u t a ”1 等人提出了一种基于载荷增量理论的有限元法，用于求解带摩探 西北t 业大学顾 学位论史 的接触问题，较好地解决了加载过程中的不可逆性。f r e d r i k s s o n 3 等人从理 沦上进行了较严格的推导，建立了弹性接触体的增量控制方程，并用有限元 位移法进行求解。o k a m o t o 和n a k a z a w a ”1 等人从虚功原理出发，建立了增量 控制方程及有限元解法。c a m p o s 和o d e n ”1 等人从摄动变分原理出发，建立了 接触问题的变分不等式，证明了解的存在性，并给出了有限元解的误差估计 式。 用有限元法求解不可逆接触问题，与求解同等规模的非接触问题相比， 计算机内存及计算时间大大增加。为克服这方面的缺点，先后提出了各种有 限元求解方法，包括子结构法、广义子结构法及混合有限元法。这些方法， 都是根据接触力与位移的条件建立有限元方程求解，对接触边界条件的处理 都是基于一般力学的方法。 对于接触边界条件处理方面最有代表性，最有影响的工作是将接触问题 考虑为有约束的最小值问题。对这种最小值问题的一种解法就是罚有限元法， 将接触区域的非嵌入条件作为惩罚项引入接触系统的总势能中。将约束变分 问题转化为罚优化问题求解。 o h t a k a t e 和o d e n 泌1 等人从变分原理出发，建立了罚有限元方程，用于 求解无摩擦的弹性接触问题，从而减少了内存量和计算量。w r i g g e r s 和 z a v a r i s e “，h e e g a a r d 和c u r n i e r 3 ，s i m o 和l a u r s e n “”由交分不等式出发 建立了带有库仑( c o u l o m b ) 摩擦大滑动非线性本构关系的接触问题的罚有 限元公式，即增广的拉格朗日法( a u g u m e n t e dl a g r a n g i a nm e t h o d ) ，并可由 变分不等式讨论其解的存在性和唯一性。这种方法的精度强烈依赖于所用罚 因子的数量，但是各作者均采用相应的方法使得适当的罚因子大小能精确地 满足各种条件。在近年来的有限元方法中，增广的拉格朗日法得到了广泛的 应用。 上述建立的接触问题数值求解方法，罚函数法、l a g r a n g e 乘子有限元法 等，从广义上讲，都属于有限元法的范畴。 1 2 c a e 技术的应用与发展“ 计算机辅助工程( c a e ) 是一个很广的概念，是一种综合性、知识密集型 2 西北 “业太学倾0 学位论文 的科学。随着计算机技术的发展，c a e 技术已经从主要对工程和产品进行性 能和安全可靠性分析和优化，发展为对产品未来的工作状态和运行行为进行 模拟，做到及早发现设计缺陷，并证实未来工程、产品功能及性能的可用性 和可靠性。 计算机辅助工程( c a e ) 作为一项跨学科的数值模拟分析技术，越来越受 到科技界和工程界的重视。目前，国外在科学研究和工业化应用方面，c a e 技术已经达到较高的水平。 经过多年的努力，我国在c a e 仿真分析方面也取得了长足进步，建立了 自己的计算机辅助工程科技队伍，在许多领域开展了c a e 技术的研究和应用。 但是我们的c a e 技术与发达国家相比存在着很大差距，特别在大型通用分析 软件的开发和c a e 技术在工业化应用方面，这种差距更加明显。 二十一世纪，是信息和网络的时代，伴随着计算机技术向更高速和更小 型化方向的发展和工程分析软件的不断开发和完善，c a e 技术的应用将愈来 愈广泛并成为衡量一个国家科技水平和工业化程度的重要标志，大力推进我 国的计算机辅助工程技术的科学研究和工业化应用势在必行。 1 2 1 国外c a e 技术概况 计算机辅助工程的特点是以工程和科学问题为背景，建立计算模型并进 行计算机仿真分析。一方面，c a e 技术的应用，使许多过去受条件限制无法 分析的复杂问题，通过计算机数值模拟得到满意的解答；另一方面，计算机 辅助分析使大量繁杂的工程分析问题简单化，使复杂的过程层次化，节省了 大量的时间，避免了低水平的重复工作，使工程分析更快、更准确。在产品 设计、分析、新产品的开发等方面发挥了重要作用。同时，c a e 数值模拟分 析技术在国外的迅速发展，推动了许多相关的基础学科和应用科学的进步。 影响c a e 技术的诸多因索中，人才、计算机硬件及分析软件是三个主要 的方面。现代计算机技术的发展，对c a e 技术人才培养和分析软件的开发莉 推广应用使得发达国家不仅在科技界而且在工程界已经拥有一批掌握c a e 技术的人才队伍，在分析软件的开发和应用方面也达到了较高水平。 衡量c a e 技术水平的重要标志之一是分析软件的开发和应用。发达国家 西北工业大学顺l 学位论立 在这方面已经达到较高水平，大型通用有限元分析软件的开发已商品化，如 a n s y s 、n a s t r a n 、a b a q l s 等。这些软件具有静态、动态过程分析及线性、非 线性及多物理耦合场分析等多种强大的功能，其在不同行业中的大量实际算 例的验证、解决复杂问题的能力和效率，已经得到学术界和工程界的公认。 在北美、欧洲及亚洲的一些国家的机械、化工、土木、材料、航空、船舶、 冶金、汽车、电气工业设计等许多领域得到了广泛的应用。 c a e 技术在西方发达国家目前已经达到了实用化阶段，通过c a e 与c a d 、 c a m 等技术的结合，使企业面对现代市场产品的多样性、复杂性、可靠性、 经济性等能够迅速做出反应，增强了企业的市场竞争力。在许多行业中，计 算机辅助分析已经作为产品设计与制造过程中的不可逾越的一种强制性的工 艺规范加以实施。计算机数值模拟现在已不仅仅作为科学研究的一种手段， 也已成为生产实践中的重要手段。 1 2 2 我国c a e 技术现状 我国科技界和政府的主管部门已经认识到了计算机辅助工程技术对提高 我国企业的市场竞争能力乃至整个国家的经济建设具有重要意义。近年来， c a e 技术的研究开发和推广应用在许多行业领域取得了一定成绩，但总体来 看，研究和应用的水平还不能说很高。从行业和地区分布来看，发展很不平 衡。 目前，a n s y s 、n a s t r a n 、a b a q u s 等大型通用软件已经进入我国，在汽车、 航空、机械、材料等部分行业得到了应用。我国也已经拥有一批从事c a e 技 术研究和应用的科技人员，但是，我们所研究和应用的领域以及分布的行业 和地区很有限，还主要集中于少数具有较强经济实力的大型企业、一些大学 和研究机构。 c a e 应用软件的开发在我国是一个薄弱环节，严重制约了c a e 技术的发 展；虽然c a e 软件可以引进，以解燃眉之急，但是，由于价格问题，很多企 业难以购买；人才的培养是一个长期的过程：在c a e 技术的应用方面与发达 国家相比水平比较低，大多数工业企业对c a e 技术还处于初步认同的阶段， c a e 技术的工业化应用还有相当长的路要走。因此发展我国的c a e 技术摊 西北1 。业大学坝卜学位论义 广应用c a e 技术已刻不容缓。 1 3 选题的背景和意义 在许多工程问题中，如固体力学中的位移场和应力场分析、电磁学中的 电磁场分析、振动特性分析、传动学的温度分析、流体力学中的漉场分析等， 都可归结为在给定边界条件下求解其控制方程( 常微分方程或偏微分方程) 的问题，但能够用解析方法求出精确解的只在方程比较简单，且几何边界相 当规则的少数问题。对于太多数工程技术阅题，由于物体的几何形状较复杂 或者问题的某些特征是非线性的，则很少有精确解。 接触问题作为工程问题之一，属于典型的状态非线性问题，在载荷作用 下，接触边界条件在计算开始前无法给出，接触状态是计算的结果，两接触 物体之间接触面的面积、压力分布及接触变形量，随外载变化并与接触体的 刚度有关。 h e r t z 弹性接触理论以及后来其他学者发展的弹性接触理论，都是通过 一些简单的数学公式来解决接触问题，因而这些理论公式只能用于求解一些 简单、半无限大体、以及接触状态不复杂的接触问题。对于一些接触形状较 复杂的问题很难用这些解析公式表示，甚至不能用解析式表达的接触问题无 能为力。 接触问题数值求解方法的发展，特别是有限元法和以有限元法为核心的 c a e 技术的快速发展，为求解工程中的复杂接触问题提供了极为有利的手段。 有限元法将求解区域划分为一系列单元，单元之间以节点连接。由于单 元形状简单，易于用平衡关系或能量关系建立节点之间的方程式，然后将各 个单元方程“组集”在一起而形成总体方程组，加入边界条件后即可对方程 组求解。单元划分越密，结果越准确。 有限元技术的发展及在商业的推动下，目前，国际上比较有影响的大型 有限元分析软件有a n s y s 、n a s t r a n 、a b a q u s 、m a r c 等这些软件大都提供了 丰富的单元库、材料库及多种求解器，具有很强的工程分析能力。 本文将在对接触问题有限元数值求解方法进行研究的基础上，应用目前 在国际上比较流行的商用软件a n s y s 7 0 对汽车后桥传动圆锥滚子轴承接触 西北工业大学硕士学位论文 问题进行三维有限元数值模拟。在不同径向载荷作用下，根据有限元模拟的 轴承接触弹性变形量变化规律，进行数值插值，得到有限元接触弹性变形量 曲线拟合公式，将其与接触弹性变形量经典解析解进行对比分析，进而对轴 承的接触应力，负荷分布规律进行研究。 本课题以工程应用研究为主，通过对汽车后桥传动圆锥滚子轴承单个滚 子的研究进而研究轴承整体的力学特性。通过对汽车后桥传动圆锥滚子轴承 接触问题的数值模拟分析，希望为提高锥轴承的支承刚度、使用寿命、优化 设计、可靠性分析及开发新型轴承等提供重要参考。 1 4 本文的主要研究内容 本文研究课题以西北工业大学汽车工程中心与一汽技术中心合作研究项 目为依托，采用三维数值模拟技术对汽车后桥传动圆锥滚子轴承的应力场、 轴承滚动体负荷分布、接触弹性变形进行有限元数值模拟研究。 主要进行以下研究工作： l 、接触问题有限元数值求解方法的理论分析； 2 、在对汽车后桥传动圆锥滚子轴承接触应力解析解进行研究的基础上， 分析了泼方法存在的不足； 3 、汽车后桥传动圆锥滚子轴承力学模型的建立； 4 、接触问题有限元数值求解中关键技术问题的处理； 5 、利用大型商用有限元软件a n s y s 对汽车后桥传动圆锥滚子轴承进行 三维数值模拟： 6 、根据有限元数值模拟结果，通过数值插值，拟合接触弹性变形量蓝线 公式，并与轴承接触弹性变形公式解析解进行对比分析： 7 、根据有限元接触弹性变形公式，对轴承的接触应力和负荷分布规律进 行研究。 两北工业大学顺i j 学位沧史 第二章弹性接触问题理论基础 接触问题是指研究两个或两个以上物体受载荷作用后产生局部应力和变 形的问题。 接触问题属于典型的状态非线性问题，当两个物体在边界处发生接触时， 接触面的大小及接触应力的大小，与接触面的初始间隙、摩擦力及载荷的大 小有关。在加载过程中，接触面大小不断地改变，即边界条件在不断地变化， 且不可恢复，具有不可逆性。这种边界条件的不定性和不可逆性使接触应力 的大小不再与外载荷成线性关系，应力状态与力的加载次序有关。 2 1 接触问题基础。 2 1 i 接触问题分类 工程中的接触问题各种各样，一般可以分为两种基本类型：刚体一柔体的 接触，柔体一柔体的接触。在刚体一柔体的接触问题中，接触面的一个或多 个被当作刚体，( 与它接触的变形体相比，有大得多的刚度) 。一般情况下， 一种软材料和一种硬材料接触时。可以假定为刚体一柔体的接触，许多金属 成形问题可归结为此类。柔体一柔体的接触是一种更普遍的类型，在这种情 况下，两个接触体都是变形体( 两物体有近似的刚度) 。 根据接触物体材料的性质，接触问题可分为以下几类： 1 、弹性物体的接触。包括弹性物体与弹性物体的相互接触，弹性物体与 刚性物体之间的接触。在这种情况，材料的本构关系仍然保持线性，但存在 着表面非线性。 2 、塑性物体的接触。主要研究材料屈服后的接触，应力应变之间的关系 非常复杂，属于材料非线性和表面非线性的耦合问题。 3 、粘弹性物体的接触。主要是线性粘弹性物体的接触，应力应变仍是线 性关系，但其系数和时间、速率有关。 4 、可变形固体与液体之间的接触。属于固体和液体之间的耦合问题。 根据初始接触面尺寸的大小，接触问题可划分为点接触、线接触以及面 西北工业大学颁卜学位论文 接触。 针对以上各种接触问题有两种求解方法，即解析法和数值法。 接触问题的解析法又称为经典接触力学，经典接触力学只能求解一些几 何形状比较规则的物体，应用范围非常有限。接触问题的数值解法又可以称 为非经典接触力学。随着计算机技术的发展，接触问题的数值解法发展迅速， 尤其有限元法得到了广泛应用。 2 1 2 弹性接触问题基本方程 1 、平衡方程 瓠p 虹，y ) a x a 少= 0 式中 q 一作用载荷 r 接触应力 a 。一接触区域 2 、变形协调方程 壶烧鸶等导小z y ， e ，：上生+ 生蔓 巨e 2 占一接触体之间的弹性趋近量 z 一接触表面之间的初始间距 i 、e 2 杨( y o u n g ，t ) 氏模量 ”l 、”2 一泊松( p o i s s o n ，s d ) 比 2 2 经典h e r t z 弹性接触理论 ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) 1 8 8 1 年，德国人h e r t z 首先对弹性接触问题进行了研究并取得了重要豹 进展。h e r t z 研究了两个相互接触的物体在施加载荷后在接触面上产生的局部 压强分布以及由此引起的应力和变形。 西北r 业大学颂l 学位论义 h e g z 理论的基本假设： 1 、触物体只产生弹性变形，并服从虎克( h o o k e ) 定律。 2 、荷垂直于接触表面，也就是说，接触表面完全光滑，不计及接触物体 之间的摩擦力。 3 、接触面的尺寸与接触物体表面的曲率半径相比是很小的； 4 、接触区域为椭圆，表面压力符合半椭球分布。 基于以上假设，h e n z 得出了如下结论。 占= 百2 k ( e ) 、f 1 m i 3 l 百i - u + 簪) 】2 q 2 p ( 2 4 ) 式中 k ( e ) 一第一类椭圆积分 m 。一与椭圆偏心率有关的系数 p 一主曲率和 胪吾笔 亿s ， 式中 口、6 一椭圆长、短半轴 p o 一接触面最大应力 根据h e r t z 接触理论，经过积分变换，可以完成解析积分并求出点接触 问题的理论解。用同样相似的方法，可完成对线接触问题的求解。 2 3 弹性物体的非h e r t z 接触问题 h e a z 弹性接触理论虽然在解决工程上的一些实际问题中还在应用，但 是，由于其只能处理表面外形光滑连续的情况，并且两物体之间不应存在摩 擦，导致其应用的范围、领域受到极大限制。在工程实际中，许多非h e r t z 接触问题没有封闭形式的解析解。在滚子轴承中，滚子的有效长度一般都而 等于滚道的宽度。这类问题，接触表面最初的间隙已不能用一个简单的二次 表达式来描述。在涉及滑动，考虑摩擦的问题中更是如此。因此，对于非h e r t z 接触问题只能借助计算机进行数值求解。 9 西北工业大学坝 一学位论文 2 4 本章小结 本章对接触问题的特征进行了分析，介绍了工程中存在的各类接触问题， 同时介绍了对接触问题研究产生深远影响的h e r t z 弹性接触理论。指出了工 程中大量存在的属于非h e r t z 接触问题只能借助于计算机进行数值求解，经 典的解析方法已无法胜任。 西北工业大学坝七学位论丘= 第三章锥轴承三维弹性接触问题有限元分析基础 采用三维弹性接触问题有限元法对工程实践问题进行分析，可以更准确 地分析接触物体的应力和变形。但是三维弹性接触问题相对二维弹性接触问 题而言，接触界面条件、刚体位移和整体平衡条件的处理更为复杂。 图3 1 表示两个物体a 和b 相互接触的情形。o v 4 和o v 8 是它们接触前 的位置，y 。和v 8 是它们在t 时刻相互接触时的位置；。s 是该时刻两物体相 互接触的界面，此界面在两个物体中分别是7 掣和。掣。 o 一 图3 - 1两个物体的相互接触 3 1 接触界面条件呲- “ 3 6 1 接触问题的状态在初始时难以确定， 处于何种接触状态。接触界面条件包括： 3 1 1 法向接触条件 只有通过接触条件来判断接触物体 法向接触条件和切向接触条件。 法向接触条件判定物体是否迸入接触以及已进入接触应该遵守的条件。 不可贯入性( i m p e n e t r a b i l i t y ) 物体a 和物体b 的位置和矿在相互接触过程中不允许相互贯穿( 侵 入或覆盖) 。 设x ：为s “上任一指定点p 在t 时刻的坐标，该点至s 8 面上最接近点 q ( 7 x ：) 的距离g 可表示为 弋型澎蛰 x 一 鼽乒 西北工业太学倾士学位论文 。g = g ( x j f ) = l x ：一x ：l = m i n i7 z p a 一x 8 l ( 3 1 ) 式中 8 一s 8 面上任意点的坐标 当s 8 是光滑曲面的情况下，g 应沿n 8 法线方向。 。g = g ( 1 x p a ，f ) = ( x ；一x ：) 7 n 。b ( 3 2 ) 为了满足不可贯入性要求，对于s “面任一指定点p ，应有 g = g ( x p a ，f ) = ( x p at x ：) 以d b 0 ( 3 3 ) g n o 表示p 点和s 8 面分离，g n = 0 表示p 点已和s 8 面接触。而g n 0 则表示 p 点已侵入s 8 面，也即t v “和t v 8 已相互贯穿，如图3 2 所示。 萨 幽3 2 接触点对及点对间的距离 图3 3接触界面上的局部坐标系图3 - 4 接触界面上的力和位移 3 1 2 切向接触条件摩擦力条件 切向接触条件是判断已进入接触的两个物体的接触面的具体接触状态， 以及它们各自应服从的条件。为了便于分析假想将两接触物体分开一定距离， 见图3 - 3 及3 - 4 所示。 1 、无摩擦模型 如果两个物体的接触面是绝对光滑的，或者相互阃的摩擦可以忽略，此 时分析可采用无摩擦模型，即认为接触面之间的切向摩擦力为零。亦即 e “= 。= 0( 3 - 4 ) 2 、有摩擦模型库仑( c o u l o m b ) 摩擦模型 如果接触面间的摩擦必须考虑，则应采用有摩擦的模型。这时首先要考 虑选择那种摩擦模型。在工程分析中，库仑摩擦模型因其简单和适用性而被 广泛地应用。库仑摩擦模型认为切向摩擦力，即摩擦力的数值不能超过 它的极限值川可l ，即 i 。fi = 【( 。只“) 2 + ( f ) 2 】“ai ( 3 5 ) 式中“一摩擦系数 i 掣l 、i 。剐i 一切向和法向接触力 当f 。f 7 。i ur f f 时，接触面之间无切向相对滑动：当掣f = ul 硝 时， 接触面间将发生切向相对滑动。 3 2 三维弹性接触问题有限元求解汹“ 3 2 1 接触问题求解过程 接触过程通常依赖于时间，接触界面的区域和形状以及接触界面上运动 学和动力学的状念也是未知的。这些特点决定了接触问题通常采用增量方法 求解。 由于接触界面条件都是不等式约束，也称为单边约束，以及接触问题自身特 西北r 业大学碳t 学位沦殳 性决定了接触问题需要采用试探校核的迭代方法进行求解。 每一增量步的试探校核过程如下： 1 、根据前一步的结果和本步给定的载荷条件，通过接触条件的检查和搜 索，假设此步第一次迭代求解时的接触面的区域和状态。 2 、根据上述关于接触面的区域和状态所作的假设，对于接触面上的每一 点，将判定条件的不等式约束改为等式约束作为定解条件引入方程并进行方 程的求解。 3 、利用接触面上和上述等式约束所对应的接触面区域和状态的不等式约 束条件作为校核条件对解的结果进行检查。如果物体表面的每一点都不违反 校核条件，则完成本步的求解并转入下一增量步的计算：否则回到步骤1 再 次进行搜寻和迭代求解，直至每一点的解都满足校核条件。然后再转入下一 增量步的求解。 3 2 2 接触界面的定解条件和校核条件 为了应用增量方法求解，需要将接触问题的法向接触条件和切向接触条 件进行改写。假设物体a 和b 在t 时刻的解已经求得，需要求解什t 时刻 的解，此时接触界面条件相应变为： 1 、t + a t 时刻的不可贯入性条件( 3 - 3 ) 式应表示为 + 甜g = ( + 出x a i + x 8o 。+ 门8 0( 3 6 ) + 出x 。= 7 x 。+ “+ 出x 8 = x 8 + 。“8( 3 - 7 ) 式中 u 、u l t 至t + t 时涮间隔内的位移增量 2 、粘结接触时无相对滑动条件为 一u t = “? 一“? = 0 当p fl ur “日i ( 3 8 ) 式中 “? 、“；一接触点在t 至t + t 时间间隔内的切向位移增量 i 一接触点对的相对切向位移增量。 4 西北丁业大学碳 学位论文 3 2 3 接触问题的虚位移原理 将物体a 和b 作为隔个求解区域，各自在接触面上的边界可以视为给定 面力边界条件( 即第一类边值问题) ，和时间t + a t 平衡条件相等效的虚位移 原理可以表示为 f + 。r 。一。e ，。d v 一“w t 一“”“彬 ：+ 。一r 藏。e d + “町一一w _ l + z 。町 = 0 84 ，t l “w l = “町= l t 。+ & t _ r “，r “豳+ k ? “p l 嚣f 油l r “。d v ：差k 一一p r “五，r 国j d 矿 + m 旺= a , b 一嘭= a , b 。雕f 缸i d s“旺= “嘭= k “f 缸i ”“ ( 3 - 9 ) ( 3 一1 0 ) ( 3 1 1 ) = l 吣? “f ? 面“i “d s + l 岬“6 群面；“d s ( 3 - 1 2 ) 式中 “”矿t + t 时刻外载荷的虚功 “，_ t + t 时刻惯性力的虚功 “旺t + t 时刻接触面上接触力的虚功 “f 。，“f 8 一接触面”“s ? 和“s ? 上接触力“，。和“f 8 沿总坐标 x y z l i = x 。y 函钓分量 面，一现时位移分量“，的变分 “f 。t + t 时刻的e u l e r 应力 0f t + t 时刻并在同一时刻度量的体积载荷 阿北工业大学颤l 学位沦史 等f ，- - t + z 、t 时刻并在同一时刻度量的面积载荷 “。v 一物体在t + t 时刻的体积 “s 一物体在t + t 时刻的表面积 “p 一物体在t + t 时刻的质量密度 3 2 4 接触问题的有限元方程和解法 根据弹性力学问题的有限元法，分别建立相互接触的两物体a 和b 在整 体坐标下的矩阵方程。 艟臻别r r 耍 浯 i 【岛慨) = 她 + 。 ”“ 式中 k 。】、k 。】一物体a 、b 的刚度矩阵 概 、 以卜物体a 、b 的位移向量 只 、 只 一物体a 、b 的载荷向量 r 。 、 r 。 物体a 、b 的接触力向量 由于接触力取。 、俅。 未知，方程式3 - 1 3 无法直接求解，需要补充对应 接触点对的接触连接条件。首先假定备接触点对的接触状态，并代以相应的 接触定解条件，再求解方程式3 - 1 3 。可以求得 删= 燃哆! b 。4 ， 嗽) = k r 她 “ 式中 k ：j 一代入补充方程后形成的修改后的刚度矩阵( i = a ，b ) 忙 一代入补充方程后形成的修改后的载荷向量，也包含了接触力 根据求出的节点位移，利用求节点力的方法求出接触点上的接触力向量。 随后，根据接触点上的位移和接触力向量，依次按接触判定条件判断各点对 西北f 。业大学颂l 学位论芟 接触状态是否和假定接触状态相符，不符则重新修改接触状态，重新代入接 触定解条件于式3 1 3 。反复迭代直到该次计算前后结果相符。 3 3 三维弹性接触问题有限元模拟系统。”1 1 随着计算机技术和计算方法的发展，复杂的工程问题可采用离散化的数 值计算方法并借助于计算机等得到满足工程要求的数值解，数值模拟技术成 为现代工程学形成和发展的重要推动力之一。在工程领域中应用最广泛的数 值模拟方法是有限单元法，它不但可以解决工程中的结构分析问题，也成功 地解决了传热学、流体动力学、电磁学和声学等领域的问题，有限元数值计 算结果已成为各类工业产品设计和性能分析的可靠依据。a n s y s 软件是国际 流行的融结构、热、流体、电磁、声学于一体的大型通用软件，该软件9 0 年代开始在我国的机械制造、航空航天、汽车、交通等领域得到应用，为各 领域中产品设计、科学研究做出了突出贡献。本文将采用a n s y s 软件来分析 汽车后桥传动圆锥滚子轴承的接触问题。 美国d r j o l l i la s w a n s o n 于1 9 7 0 年成立了s a s i ( s w a n s o na n a l y s i s s y s t e m ) 公司，后重组为a n s y s 公司，开发a n s y s 软件。经过3 0 余年的发展， a n s y s 软件已从仅提供热分析及线性结构分析的功能发展为融结构、热、 流体、电磁、声学于体的大型通用有限元分析软件。该软件已广泛地用于 核工业、航空航天、铁道、石油化工、机械制造等国防、民用工业及科学研 究，可运行于多种计算机及操作系统中，从p c 机到工作站直至巨型计算机。 a n s y s 软件在所有的产品系列和工作平台上兼容，a n s y s 具有多物理场耦 合的功能，允许在同一模型上进行各式各样的耦合计算，确保了其对多领域 多变工程问题的求解。 a n s y s 软件提供了不断改进的功能清单，具体包括：结构高度非线性 分析、电磁分析、计算流体动力学分析、设计优化、接触分析、自适应网袼 划分、大应变有限转动功能以及利用a n s y s 参数设计语言( a p d l ) 的扩展宏 命令功能。其参数设计语言( a p d l ) 为实现参数化建模及分析具有极强的助 能。 西北i - 业大学坝卜学位论文 有限元程序 前置处理过程 ( p r e p r o c e s s i n g ) 求解器 ( s o l u t i o i l ) 后置处理器 ( p o s t p r o c e s s i n g ) 图3 - 5 有限元分析流程图 8 西北工业大学硕士学位论文 3 3 1 有限元分析的典型过程 有限元分析是对物理现象( 几何实体及载荷工况) 进行求解的数值模拟，是 对真实情况的近似，通过将分析对象划分为有限个单元，通过求解有限个节 点的未知量来近似模拟真实环境的无限个未知量。 有限元分析的一般流程，如图3 5 所示。 a n s y s 分析的三个主要过程 l 、有限元模型建立 采用a n s y s 软件的建模功能创建或在其它c a d 软件中创建几何模型，然 后读入a n s y s 中，在a n s y s 中定义模型的材料属性，对几何模型进行网格划分。 2 、施加载荷并求解 进入求解器中，根据所研究问题的实际情况确定所施加的载荷及载荷选 项，并设定约束条件，然后进行有限元求解运算。 3 、结果后处理 用p o s t l 或p o s t 2 6 查看分析结果，并根据经验或试验对结果进行检验。 3 3 2 前处理器 前处理器是指创建实体模型及有限元模型。包括创建实体模型，定义单 元属性，划分网格，模型修正等几项内容，用于在模型里面划分节点和单元， 还可以在几何模型的边界上方便地施加载荷，但是实体模型不参与有限元分 析，所有施加在几何实体边界上的载荷或约束必须最终传递到有限元模型的 单元节点上进行求解。 a n s y s 软件创建几何模型，分为下面三种方法： ( 1 ) 用m o d e l i n g 创建实体模型，然后进行有限元的划分； ( 2 ) 用直接建模的方法创建节点和单元； ( 3 ) 通过接口技术，从其它软件中输入已创建好的实体模型或有限元模 型。 a n s y s 软件的图元包括体、面、线及关键点，可以在坐标空间直接创 建三维实体单元，然后通过体单元之间的布尔运算( 包括粘接、分解、加、 西北t 业人学坝t 学位沦史 减、交等) 完成几何模型的创建；也可以通过定义关键点，然后用这些关键 点生成线、面、体，建立几何模型。 建立模型之后，设定单元属性。单元属性在网格