（基础数学专业论文）正则算子半群的扰动及其在mm1排队模型中的应用.pdf

正樊l j 算子半群的扰动及其在m m 1 排队模型孛的应用 攀辩专她：基硝数学 攘褥教婚：李搦繁教授 戮究方内：泛滋分耩及瘥震 研究熊：整露荚 2 l 粥； 摘要 一个c 一拦粼半群| t ( t ) 。魏为聪辖懿，翔暴对殛纛戆i 蛰秘x e x 都骞t ( t ) x l lc 墨g 嶷本文审，我翅蓠毙考虑，援臻鬟裂舞子半耧熬揽凌麓题，缮臻挝下络暴昏 f 意臻2 。1 1 设a 、嚣燕x 孛静穗定缝毪簿予。筐褥鼢( 8 ) 3 0 酝) 张蹿予o 1 ，a + 掇凳e 一戴教蠡萎c a c a c ，c b c c b 姬栗 | | 阮| | 口| | 十岔嚣虬对￥聋d ( a ) 成立 遽羹o 口 l ，筘0 且对莱个t o 【0 ，l 】，r ( i 一( a + t o b ) ) = x ，猁对v # 爸 0 ，i 都 肖 r ( ! 一( a + 曩器) ) = x 定璞2 1 2 设a 生成一个压缩c 一正剥毕群，丹( a ) 5 ：a o ，晒= x 强c a c a c 设b 魁e 鼹激的，游足d ( b ) 3 d 砖) ，c b c b c 搬 8 敬nl a z8 + 露8xb 对v x d ( a ) 成立 这爨0 o 是顾客的到达率。“ o 是服务率。 戏嬲运耀舞子半群理论，证骤了戴模型农序列缀超钿主存在瞧一菲负媳对阕绞赣 解，并且研究了相应算子的谱特征。我们有如下结果： 定理3 3 。2 在铀上q 。生成正援壤c o 半群t ( t ) 。 定理3 3 3 该模型在c o 上存谯唯一的非负解p ( t ) ，且| fp ( ) l f 1 ，0 定理4 。1 ，1 繇。戆谱半缎r ( 瓯) = 2 ( a + 声) 定理4 1 2 2 ( a + 户) d ( q 。) 最后，我 l 恕基缨s 一委涮半嚣熬撬动定理应臻爨冽a 彩l 接酞模墼。蠢鳃下缝祭： 定理5 1 1 设在b a m c h 空间铀上a 生成一个压缩c 正则半群，p ( a ) 非空，丽 = x 蔑c a c a l 7 , ，梨a + 龟意e e 主生嫂一令援壤c 一燕建半释。l 如 关键词：压缩c 正则半群；c 一耗散算子；生成冗；扰动：m m 1 排队模型 气 蓬 p e r t u r b a t i o no fr e g u l a r i z e do p e r a t o rs e m i g r o u p sa n d t h e i ra p p l i c a t i o n st om m 1q u e u e i n gm o d e l m a j o r ：b a s i cm a t h e m a t i c s s p e c i a l i t y ：f u n c t i o na n a l y s i sa n d i t sa p 越i c a t i o n t u t o r ：p r o f l iy a n g r o n g a u t h o r ：s h a n gy a n y i n g ( 2 0 0 0 1 9 8 ) a b s t r a c t ac r e g u l a r i z e ds e m j ：g r o u p ；t ( t ) f oi s0 fc t m t r a c t i o n si fl l t ( t ) 0 i l i if o re v e r y t 0 蒯搿x 魏f f l i sp a p e r 。w ef i r s ts t u d y 出ep e m a l m t i o np m b l ad 删越i z e do p e r a t o rs e m i g r o u p s w eh a v et h ef o i b 赢r 堰r e s u t s ： t h e o r e m2 1 1s u p p o s et h a taa n dba md e n s e l yd e f i n e dl i n e a ro p e r a t o r si nxs u c ht h a td ( b ) o d ( a ) a n d a + 盂8i sc d i s s i p a t i v ef o ro t l ，c a c a c ；c 8 c b ci f 0 腧0 口0 a zj i + 口f izi i加础删茹d ( a ) w h e r e 0 0a n d f o r $ o m e 龟【0 ，l 】，r ( i 一( a + 疆) ) = x r ( i 一( a + 避 ) = x ，j 蹄o f ft 0 ，1 t h e o r e m2 。1 2 s u p p o s et h a tag e n e r a t e sac o n t r a c t i v ec r e g u l a r i z e ds e m i g r o u p ，p ( a ) 毋。d ( a ) = xa n dc & o a c l e tb i sc d i s s i p a t i v es u c ht h a td ( b ) 3 d ( a ) ，c b b ca n d | | | l 口i i 触| | + 刚xj f f o re v e r y 卫d ( a ) w h e r eq a ，c b 8 ca n d f ij 轴i | 8a r f 十口0zi i f o re v e r y 搿d ( a ) w h e r e8 o i sac o n s t a n t i f b t h ea d j o i n to f b ，i sd e n s e l yd e f i n e d t h e n t h ec l o s u r e a + bo f a bi st h ei r d i n i t e s i m a lg e n e r a t o ro fac o n t r a c t i v ec r e g u l a r i z e ds m 衄m p c o n d l y 、w ed i s c u s st h em m 1q u e u e i n gr r 划e ld e s c r i b e db yo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ： | 茂( ) = 一静o ( t ) + 妒l ) 以( t ) = 一( 十一) 以( t ) 十 “一l ( t ) 十p “+ 1 ( t ) n l l p 0 ( 0 ) = 1玫( o ) = o n = 1 ，2 ， w h e r e ，p o ( t ) r e p r e s e n t st h ep r o b a b i l i t yt h a tt h es y s t e m i sa n p t ya tt i m et ，九( t ) r e p r e s e n t s t h ep r o b a b i l i t yt h a tt h e r ea r enc u s t o m e r si nt h es y s t e m8 t6 m e tt a 0i st h ea r r i v a lr a t eo fc u s 1 l j n e r ，p oi st h es e r v i c er a t ed t h es e r v e r 3 b yu s i n gt h eo p e r a t o rs e m i g r o u pt h e o r yw ep m r et h ee x i s t e n c eo fau n i q u ep o s i t i v es o l u t i o no f t h i sm o d e lo no na n ds t u d yt h es p e c t r a lp r o p e r t i e so ft h ec o r r e s p o n d i n go p e r a t o r w eh a v et h ef o l l o h r - i n gr e s u l t s ： t h e o r e m3 3 2 q 。g e n e r a t e sap o s i t i v ec o n t r a c t i v ec 0 一s e m i g r o u pt ( ) c o t h e o r e m3 3 3t h i sm o d e lh a sau n i q u en o n n e g a t i v es o l u t i o m 户( t ) o n w h i c hs a t i s f i e s 0p ( t ) i l 1 。t 0 t h e o r e m4 1 1 i h es p e c u x m f lr a d i u so f qi s r ( q 。) w h i c hs a t i s f i e s r ( q ) = 2 ( a + 户) t h e o r e m4 1 2 2 ( x + p ) o ( q l ) a tl a s t ，w ea p p l yt h ep e r t u r b a t i o nt h e o r e mo fc x m l r a e t i v e c r e g u l a r i z e ds e m i g r o u p st ot h e m m lq u e u e i n gm o d e l w eh a v et h ef o l l o w i n gr e s u l t ： t h e o r e m5 1 1 s u p p o s e t h a t a g e n e r a t e sac o n t r a c t i v ec r e g u l a r i z e ds e m i g m u p ，p ( a ) o ，d ( a ) 2x a n dc a c a c t h e n a + q 。g e n e r a t e s ac o n , a c t i v ec r e g u l a r i z e ds e m i g r o u p k e yw o r d s ：c r e g u l a r i z e ds e m i g r o u p so fc o n t r a c t i o n s ；c d i s s i p a t i v eo p e r a t o r s ；g e n e r a t o r s ； p e r t u r b a t i o n ；m m 1q u e u e i n gm o d e l ；c o s m 】j g m u p s ；p o s i t i v es o l u t i o n ；s p e c t n n ns e t 4 一、引言和预备知识 1 1 引言 有界线性算子半群理论是2 0 世纪4 0 年代产生和发展起来的，作为泛函分析的一个分 支越来越被人们重视。算子半群理论在解决抽象发展方程的c a u c h y 问题及在对m a r k o v 过程的系统研究中都成为基本的数学工具，近年来在分布参数系统、现代控制理论、滤波 和信息处理、偏微分方程及随机过程等各个领域都得到了广泛的应用。我国数学家应用 有界线性算子半群理论在人口问题、弹性振动问题及中子迁移理论等具有实际背景问题 的研究中取得一批出色的成果。 排队论( 又称随机服务系统) 是研究系统由于随机因素的干扰而出现拥挤现象的规律 性的科学。它适用于一切服务系统。上世纪初，丹麦工程师爱尔朗( e r l a n g ) 用概率论方法 研究了电话通话问题，从而开创了排队论这门学科。近百年来，排队论得到迅速发展，它 的理论已相当深入，凡是具有公共服务性质的拭业和工作。凡是出现拥挤现象的领域，都 是排队论的用武之地。 m m 1 排队模型是排队论中的一个最基本的模型，它是许多排队模型的基础。本文 着力于使用分析的方法，以算子半群理论为工具，研究压缩c 一正则半群的扰动及其在 m m 1 排队模型中的应用。 1 2 文献综述 近年来，许多作者丰富和发展了积分半群和c 一正则半群的理论( 见 1 6 ， 2 6 2 9 ， 3 0 一3 2 。 3 3 ， 3 4 ) 。一个重要的问题是：对于c 一正则半群，是否存在类似于c 。一半 群的l u m e r p h i l l i p s 定理( 见 2 9 ，公开问题6 1 0 ) ? 最近m l i 和f h u a n g ( 3 0 ，1 9 9 8 ) 和 y u ( 1 6 ，1 9 9 8 ) 讨论了上述问题。 我们知道。扰动问题是微分方程和算子半群理论中非常重要的一个问题。对于指数 有界的c 一正则半群的扰动，有很多作者得到许多结果f 3 5 - 3 ”。在本文中我们利用c 一正 则半群的l u m e r p h i l l i p s 定理，研究了压缩c 一正则半群的扰动问题。 m m 1 排队模型【1 8 1 9 1 既可用偏微分方描述 川，也可用常微分方程描述 2 7 、引。国内 外许多排队论学者研究了常微分方程形式的m m 1 排队模型并且得到了许多结 果 2 , 1 2 , 1 3 , 1 5 】。但是他们都是在下面两个假设下( 见文献 7 ，p g o ， 8 ，p 4 5 5 ， 9 ，p 7 4 ， 5 【l l ，尹拼】) 耩究稳态瓣( 势态薅) 及其性爱。 1 此排队模型存在唯一非负的时间依赖解( 动态解) p ( t ) 2 。魏动淼解酶校隈p ( t ) 一声( 瀣一o o 辩) 存在。 然而，研究动态解及其性质也魑非常重簧的。难如排队论学者d a r r y lw a y n ed o r m u t h 与a t t a h i ma f f a t 稠掰说“译多情况下嚣要进符凑态分衡，研究动态系统获绘定酶初鲶条件 出发怎样达到静态状态非常艇要。” 近年来，y u 4 0 和o g u p u ra n dx 。l i 1 】在空闻# l 上研究了m m 1 辩酞模型，证明 了此模型在z l 空间上存在唯一非负的时间依赖解。在本文中我们遨用算予半群理论 ， 绩食时间连续m a r k o v 链理论( w j + a n a e o n 4 ) 证明了此横蛩在c n ( 极限为0 的数踟空 间) 上存在嗽一非负的时间依赖解，并且研究了相应算予豹谶特征。 1 。3 预备知识 为了叙述方便，我们简单地介绍以下相关的概念及相关的结果。 定义1 3 。1 c o 一半群 设x 是b a n a c h 嶷间，i t ( t ) 。# o 是x x 的有界线性算子簇，如果它满足： ( 1 ) 丁( o ) = i ( 2 ) t ( t 十s ) = t ( t ) t ( s ) ，v5 ，o ( 3 ) l 女n r ( t ) z 一芏l | = 0 ，v z e x i u 则羚i t ( t ) ；t 0 为强连续纂子半群皴c 。类半群，蕊抟c 。一毕爨。 定义线性算子a 如下： d ( a ) = x xl 赫盥盏l 存在 ， l 0t 。 盈= 辫半：掣d t b ￥。d ( a ) f l； 。1+ 则称a 是c 0 一半群 r ( ) ；0 的无穷小生成元，简称生成元。 定义1 3 2 设 r ( t ；t 0 t 是b a n a c h 窝闻x 上的c o 一毕群，鼠对v o 有i r ( f ) j l 1 。则称 丁( t ) ；t 0 为g 压缩半群，简称压缩半群。 定义1 3 3 设x 是b a m c h 空间，x 。是接对偶空闻，对v z x 。称 f ( z ) = z 。：z 。x 。且( x 。，。 瑶8z92 = hx 。h2 ( 1 1 ) 为z 的对偶集。 6 线佳算予a 是耗散算予。鲣栗它溅是对￥茹d ) ，存农互f 知) ，楚褥毒 r e ( 触，茹。 0 ( 1 2 ) 霉l 疆1 3 4 【3 线牲篓予a 是鬏散算子豢整纹墨 0 ( a i 一 ) z i | i i z | i ，v zed ( a ) ， 0 ( 1 3 ) 定义1 3 5 ( 掭潦转移瓣数) 霹数集鸯一获态空蘑， 恕f t ) ，j e ，0 称为是 标准的转移函数。如果它满足： ( 1 ) 岛( ) 0 ，￥l 0 ；显 魏e 。，= = ：羹! 主；j ( 2 ) f p o ( ) 1 ，vt 0 ，vi e ； ( 3 ) 岛( s + f ) = 嚣l 菇( s ) 终( # ) 。￥s ，f o ，￥i ，e ； ( 4 ) l i r a , o a i ( f ) ；1 ，y i 6 e ，或等价地，l i r a , 。o p o ( t ) = 以，v i ，j 6 e 畿义1 。3 ，6 踅豫q = ；f ，j 嚣 称秀q 一矩薛，如采它潢足： 0 舶 + o o ，i j 尊苛一g # 2 龟+ 一，v i e 如果对￥l e e ，q i 0 ，成崴 ( 1 5 ) 寇义l ，3 1 1 一个有界绒性算子强连续族 残t ) l 。渤称为x 上的一个压缩c 一正则 半群，螽暴： ( i ) t ( o ) = c( ) t ( t ) t ( s ) = c t ( t + s ) 对任意的t ，s 0 ( 臻) t 0 成立 ( 1 6 ) 霉l 毽1 3 。1 3 1 6 l 魏栗c a c a c ，瓣a 是c 耗散戆当置仪警，对￥z g ( d ( 矗) ) ，存 在z 。f ( z ) 。使得船 0 浚2 这爨f ( x ) = 茹+ e x ：，善+ = | | z | | 2 * l 。| | 2 是茹的对偶集( 觅f 3 】) 。 s l 理1 3 1 4 【1 6 】对于稠建的线性算子a ，如果p ( a ) 曰，c a c a c 则下述条件等价： ( 1 ) 矗擞成一个艇缩c 一正弼半群l r ( ) ；，0 ( “) a 怒c 一耗散的，且r ( a a ) = x ，对v o 。 雾l 瑾1 3 1 5 ( n ) 如暴a 是c 耗散的，尉对一留 o ， 一a 是单的。 ( b ) 如暴a 是c 耗数的和能用的，则a 的魍包a 也是c 耗散的。 ( c ) 如果a 是g 一耗散的和蘅定的则a 的可闭的。 二、压缩c w i l v j 半群的扰动定理 2 1 主簧的结豢 零文始终缓设x 凳b a n a e h 空露，嚣( x ) 表菇乏x 主掰宥有雾缓佳算予酶集会，对线瞧算 子a ，我们分别用d ( a ) ，r ( a ) 和p ( a ) 表示a 的定义域，值域和正则集。令c e b ( x ) 是 单的殷r ( c ) 燕x 上的溺榘。 懋理2 1 1 设a 、b 是x 中的稠定线性算子，使得d ( b ) d d ( a ) 翔对予o i 。a + 国怒c 一耗散的置( 羚c a 0 ，c 8 c c 嚣如果 9 | | a ” z | | + 夕0 7 c | i对v z d ( a ) 成娆( 2 。1 ) 这羹8 ，o ，艇对莱令t o 【o ，l 】，r ( x 一溆十r o b ) ) * x 。嬲慰￥l 番 0 ，l 】部蠢 r ( j 一( 矗+ t b ) ) 一x 宠壤2 i 2 莰a 囊戎一令莲缝c 歪瓣擎辨，p ) 劳。d ( a = x 量c a c a c 。设嚣 是e 一耗散熬，滤是移( 嚣) 3 d 旺) ，c t 3 c 1 3 c 爨l | 搬| | # a l 争筘茄扎露￥茹d 淤或戏 速鬃e 群 程，r ( a e a ) = 夏粼对一爨 e ，r ( 毒一a ) = x 谖嚷蠹霉l 壤l 。3 。l s 寒程设躲，瀣a = i # 时1 。一a 魏避存农。y - 基t ( t 。曩 式懿( a 。 a ) 。蹙蠢秀绞憋葵予，毽越燕鬻鹣，壶憩a 。一庶麓蘧魏，敬a 奄爨瓣魏。 令h = i ：o o ，裂辩任意辫x ，存在毛d 濑) ，使樽 菇。一a = y( 2 ，3 ) 蠢( 1 。6 ) 存农常数m 0 ，使褥| c | | c yh 船+ a 。| | 烈数一瑚a 。le o 西忿 r e ( 丁 = r e 恕，。+ ) 0 ， 引理2 2 3 设a 摄稠定的线性算予且a 撼c 一耗散的，如果存在a o o 使得r ( a o a ) = x 。爨a 楚逮懿。 诚明： 由引理1 3 1 5 ( c ) 可知，a 是可闭的，用a 表示a 的闭包，则n c _ a 下面诚明 a c _ a 设z e d ( a ) ，y = ( i 0 - - 磊洽，交爱( a 8 一a ) = x 褥，存在z e d ( a ) 夔褥，( n 一矗) 鬈= ，故( a 0 - - a ) z = ( a o a ) z 又由a c a 知z d ( a ) 凰a o a c a o a ，从而( o a ) g = ( 盂0 - - 菇) 。= y ，所淡( 孟。一五) 。( 0 - - 蔗) z ，又斑萼l 瑾1 3 1 5 ( a ) 耪( 6 ) 鞠 o 一磊为擎瓣，获 而z = 。，所以z d ( a ) ，故a c a 定瑾2 。1 1 的证鞘：我朗将指窭，翔架r ( 1 一弛+ r o b ) ) = x ，燹存在与t 。笼关酶常数 占 0 ，使得对一切满足i t t o j 艿的t 【0 ，1 ，r ( i 一( a + b ) ) = x 乎是在 o ，1 】上通过 有限次扩大这种长度势艿静嚣蔺鄄可褥鹫我们的结栗。 由引理1 3 1 5 得，卜。( a + 8 ) 是单的，对v t e 0 。1 成立。假设对某个t o o ，1 ，r ( j 一+ r o b ) ) = x 掰f 一( a + t o b ) 的逆存程，甩r ( t o ) 表示( f 一( a + r o b ) ) 一，剜由弓f 理2 2 ，3 知j 一( a + o o b ) 是阂的，从丽r ( t 。) 悬闭的，陡闭图象定理得r ( t 。) 题x 上的有 界线愧算子，令8r ( t 。) 8 m 现在我们证明擞( t o ) 怒一个有界线性算子。 出( 2 1 ) 秘三角不等式，对茹d ( a ) 有： l 鼠嚣n a8 ( a + t o b ) 。i l + a t o8 盥r 十口”zl i 1 0 8 | | a 十t 0 1 3 ) zl + # | | 露rl + 声l 嚣| | 陶此 ”击( a + t o b ) x 十忐怯o ( 2 4 ) 霆秀r ( t n ) ：x d ( a ) 稳( a + t o b ) r ( t 。) = r ( t e ) 一f ，爨以毒 o 嚣姥慰一切o # l ，a + t b 怒c 一耗散豹。这是嚣势：建罢l 璎2 2 2 对y x e c ( d ( a ) ) 秘 z + f ( z ) ，如( 触，冀。 o 又由于b 是c 一耗散的和d ( b ) d d ( a ) 。则对每一x e c ( d ( a ) ) 存在z + f o 楚霉& g 。又c ( a + b ) c ( a + t b ) c ，故由引理1 3 1 3 得，对v t 【0 ，1 ，a + t b 撼c 一耗散的，从简a + b 是 c 一耗散鳃。癫定理2 1 。l 麓，瓣￥t 毫 0 ，l 】，靛f 一( a 趱 = x 。特臻缝，敷( 1 一( 众 b ) ) = x 因为d ( a 十b ) = d ( a ) 在x 中稠密。c ( a + b ) = c a + 四c c ( a + b ) ，并鼠由 季l 瑾2 2 3 黧，( j 一( a + 嚣) ) 楚耀懿，获嚣( 1 一弛+ 嚣) ) 。是鬻秘，自鬻蚕像定理褥( f 一 ( a + b ) ) - 1 是有界线性算子，从而p ( a + b ) 非空，所以由引理1 3 1 4 知，a 十b 是一个压 缩e 一正弱率群翡生成元。 幽此定理可得到一个简单的扰动定理一有界扰动定理。 猴论2 2 4 设a 生成一个压缩c 一正粥半群，p ( a 菲空，丽一x 虽c a c a c ，设 b 是露界线性算子且怒c 一耗散的，如果b 满足 6 置r8 口触+ 卢6z | | 。对v z d ( a ) ( 2 5 ) 这里o a o 就充分了。又r ( a 一( 万涵) ) 是闭的，因此只需说明 r ( i 一( 丽) 在x 审稠密就宠努7 。 设y 。x 。与j ( 五了舀) 的值域是“赢交的”，即( y ，g = 0 对每一个c - r ( j 一 ( a 器 ) 戚囊。设y e x 蓰彳馨y 。( y + ，镑 崮定理2 。1 。1 褥a + 遵霹乎o t ，( 1 一) 溉罴一致毒器楚，困憩壹( 2 。8 ) ， 当t - * l 时，( 1 一t ) b g 辫弱收敛到零。特别地，由y 。的取法，我们有 ，l y ， = ( ，g 毽一a c , t t , l 地o t ) = y 。l f ) 承逾 一o ，懑一l 辩 融此推出y 。= 0 朔i 一( 撕) 的值域在x 中稠辩。 设x 是一个自反的b a n a c h 空间，r 是x 中的一个冒闭的稠定义的算子。众所周辩。 1 2 t + 是溺懿基d ( t ) 在x 。孛溪密。溪忿，黠挚塞反魏糙凌空惩我织蠢 推论2 2 5 设x 是自反b a m c h 空间，a 是x 中个压缩c 一藏则半群的生成觉，p ( 矗) 嚣空，c a c a c ，蕊= x 设b 憝e 一耗散麴虽c b c b c ，p ( 露) o d a ) 鼹 j f 圆睫| | zj j 十口| z | |对干z d ( a ) 成立 这墨夕o 。蘩a 十昱懿耀包；了季筵x 孛一个歪臻c 一歪蟋拳臻静生戒元。 识q 秀瓣下矩黪 q 。 兰、算子q c 。熊成的毕群 3 。1q 一矮簿q 辱壅的算子的定义 一aa 声一( 盂+ 芦) 0 声 oo 0 一( a + 芦) 声 0 0 一( 孟十卢 取b a n a c h 空间。o = 。：墨一o ，i - 为状态空间，。o 中元素p = ( p o ，p l ) r 的 莛数必# p # 气= 8 嗲l 敷l = 。 设声( t ) = ( o ( t ) 。声1 ( ) 。p z ( t ) ，) t ，则常微分方程形式的m 删1 排队模型可霹为 接象褥嚣瑟舔； 掣= 辄b涵， l p ( o ) ：( 1 。0 ，0 ，) r 本文始终假设服努强度声= 砉 0 ，遮鸯嚣一8 ( i 一+ c o ) ，掰竣存迤；8 ，楚得； j 。避f 墨i2 忆从而 | | ( 硝一q 玲k * 阪砑o ) zk 。掣薰( 减霹均f 2 泌批一麓9 鹕1 2 s i u p ( y + 口i ) 瓣一蓦口彩l l ( y 壤。) 曩一窜磷| ( y + ) jx 1 卜q 谚】 引 钆嗣。卜( 萋) z ：9 c 。 ( y + ；。硼z 一q i 。限 。y 娅 所以q 。魁耗散算子。 ( 3 ) 对y 了d ( q ，) 耧y 茹g d f 毡) c 钿，不妨毂设茹= ( 翻，茹l ，现。，有继：酝，蠢 且 k 赔。 。差善蝴= 蒸荟x , q a y j = ( 酝= ( 瓯z 渤。 t 6 ，t 5 j f e e o 爨潍，移( q 之) 爨有勉芝。赡；，扶纛q ，c q 之 魇之，对v y d ( q 之) 和v x e d ( q 。) c o o ，不妨设y = ( y o ，y l ，2 。，“。) 。我们 毒 = 如，蹯毒 。特鬟戆，取。= 勺岛，凌靛鸯 略，确之 所以，莓；，瀑艘，即辩 y j e e ，；量炒，收敛刭每。因势q 是f e l l e r r e u t e r ? - r i l e y 霉矩蓐，所以对任意固定的j e ，有l 吼一+ * q # = 0 ，从而存在0 的 + o o ，使得对v i e e ，有1 q l m 所以 l 漱l 麓ly il 磁ly 戮。 从而；秘憎d 绝对收敛，又因为嚣z 1 ，所以 l 蹶l = l z ji = 忆 0 ，射一q f 在z l 上是擎瓣，获瑟瑟一龟。在l + 上是擎瓣，q 显然是 f e l l e r r e m e r r i l e yq 一矩阵，即对v j e 。嬲i 一。时，有q i 一0 ，所以c o 上的q 一矩阵q 的最小q 一溺数f ( t ) 必是f e l l e r u e u t e r - r i l e y 转移黼数貉】，从而盘文献【6 】弼镶在c o 上 生成一个连续正压缩半群，且该半群溉是q 的最小q 函数f ( t ) ，目pt ( ) 。f ( t ) ， 定理3 3 3 的逶猬：蠢( o ) = ( 1 。0 。0 尸e d ( q ) ，新以由定理3 3 2 及 3 】知方 程组( 3 1 ) 存谯唯一非负解并且可表j j 毫为：p ( t ) = t ( t ) ( 1 ，0 ，0 ，) 7 j | ：外，p ( t ) 满足| | p ( t ) | | = lr ( t ) ( 1 ，0 。0 ，f l ( 鼗邵证孵了m m 1 排队模型 在c 。上存在唯一的非负对间依赖解) 。 霆、算子q 。的谱謦誊薤 4 1 主要的结粜 以下始终假设p ( a ) 为算乎a 的难则集，萨( a ) ，a p ( a ) ，吼( a ) 分别为a 的谱，点谱，连 续潜。 定理4 1 1ly c j iy + a + 户i + p c p ( q 吒) 禽麓4 1 。2 ( 1 ) o e 舔( 旗。) ( 2 ) 一( a + ) 如( q ) 庭瑾4 1 3 r ( 瓯) = 2 , c z + p ) 拱蠹沦4 1 4 2 ( a + 产) 口( q 咯) 。 4 。2 主要结果的证明 慰理4 1 1 的证明：由谱理论知p ( q c 。) = p ( q 五) = p ( q c 。) 。 蠢文献 1 】的弓l 理1 知， y c | l y 十 + 产l 十产 c 产( 龟) 敌结论成立 命题4 1 2 的证明：( 1 ) 幽文献c 1 】的引理1 知，o 口( q ) 下证。荨勺( q ) 。 考虑如下方程 = o ，其巾户= ( 声o ，声l ，趣，) r e o 解之得以= p o ，n = l ，2 ，虫h 果 1 6 多o ，翔多葶f o 获爵上述方程在f o 童无嚣零勰，数等& ( ) 叉由泛函分析理论知网在铀中稠的充要条件是q 之在z ，上是单射，由于o e 即 ( q 之) 。故丽在c o 中不搿，故o c - a , ( q 。) ( 2 ) 由【l 】的引理1 知：一( a + 乒 亭( q f ，) + 所以 一a + 声) 萨 盂，粼。1 i r a 。焉i 。o 。t 获秀。虿铀 游产2 a ，则z 弓c o 即： ( + 产) 。+ o x 。o 只有零解，所以，( a + ) 荨幻( q 。) ；若p ，员l 地磊。0 ，所以，z f o 扶丽f ( 十| c ) + q k = o 宥非零解。邵 1 7 一( i 牛产) 勘( q 。 交予我懿骥裁p = a - - i ，鄹a 产，获瓣一熹+ 产) 却( + 又蠢i 西糕粕孛举嚣，爨戳 一( 盖十产) 芭如( 龟) ， 为诞甥逡鬓4 i 3 ，我们需瑟征甥潋下觅个萼i 蘧： 孽l 壤4 ，2 。1 谗鼙驴秀搿懿嚣滚，勰攀i 十，+ 摊为偶数 l 章敷巍i + j + m 海奄数 瓣q o 轴0 ， 迸毒撵= i 醛，豢然。 镁设墨箨= * 群l 薅缕论蕊囊 鬟| | 姿箨= 拼+ 1 糖，囊譬铲+ 1 ) 。秘参辩： 童g ，十辫十1 弹攥数，i m 凳奇数时，j 十l 势鸯数越酵对程意嚣受整数# 。；十m + x 每j + 柑串1 必霹魏鸯数躐阚为偶数，悫缎设翔叮0 即譬争+ d 田， 固攥可诞当i + 麟为援数醅+ o ；港l + ，+ 辫+ 1 舞鸯数瓣，鞠毽霹疆 鼙敷敬续激黯一臻巍然数n 都旗嶷， 孽l 臻4 ，2 。2 令g 秀搿鹣元繁，粼| 漆蓼l x 鬈| g 窑 。 谖段i + ，十黠秀诺数，掰辫+ 肆舞疆熬。，落诲羧瓯对联意德羧# ，i 十柠+ g 为馁 数，j 牛+ l 为奇数，瘫萼l 理毒2 1 得；蓼o ； 辩镁窳瓷效描。# 十撵十# 势鸯歉，+ 齄+ i 必慑数，越榉蠢鎏k 睡， 阚理霹避，巍i + j 十摊势奇数对，譬塾e 瓣蟹塞嚣爨整数榉郡蠖妻， 霹懋g 窑黪祷弩哭与i ，j ，* 褰奖，扶鬻 魏擘| = 嚣| 譬彗l 。 霉l 璞霹，2 。3 警f 撵酵，蹦“s 2 盖+ 群】4 。箕审p 妒海留蘸第褥备觉黎缝黠藏 之穰。 试蓬雒= i 辩。结谂鼹稳。 缓设当牲= ( # 1 ) 辩缝论玻立。测巍，l = 拱+ 1 对，巍引理4 + 2 ，2 翘 p 吵= l 譬鎏 ，_ + = 譬嚣 l 瓣l j辩 l 冀 = g 窭 l 则由假设知，嬲i 十1 时 p ；+ 1 = 【2 ( 十芦) 3 。2 c a + 牟) = 【2 ( i + ) 3 “1 故对一切自然数