（基础数学专业论文）半导体量子流体动力学模型的定态解及渐近极限.pdf

摘要 这篇文章里，第一部分研究了在多维空间的半导体双极定态量子流体动力 学( q h d ) 模型。利用截断法、l e r a y s c h a u d e r 不动点定理以及椭圆型方程的估计， 在松弛时间足够小时，得到解的存在性。如果p l a n c k 常数足够大，双极模型的 解是唯一的。对于任意的p l a n c k 常数，热平衡状态方程的唯一性被获得这部 分最后，进行了松弛时间极限、d i s p e r s i o n 极限。 第二部分考虑了一维粘性单极定态q h d 模型，在“亚音速”和搬的边界条 件下，得到了强解的存在唯一性。最后进行了粘性消失的极限、d i s p e r s i o n 极限 和n e n t z a lc h a r g e 极限。先验估计依赖构造辅助函数，证明依靠截断技术、l e t 妒 s c h a u d e r 不动点定理和指数变换。 关键词：量子流体动力学；存在性；唯一性；渐近极限 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，t h es t e a d y s t a t eq u a n t u mh y d r o d y n a m i cm o d e lf o rs e n l i c o l l d u c t m si s a n a l y z e do nt h es e v e r a ld i m e n s i o n a ls p a c ei n f i l s t p a r t w es h o w i ，h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n sf o r s u f f i c i e n t l ys m a l lr e l a x a t i ( ) n t i m eb ya p p l y i n ga t r u n c a t i o nm e t h o d ，l e r a y s c h a u d e r sf i x e dp o i n tt h e m e ma n de s t i m a t e so f 。t h e e l l i p t , i ce q u a t i o n f o rt h eb i p o l a rq u a r t t u mh ) ，d r o d y n a m i cm o d e l ，t h es o l u t i o n si s u n i q u ei fp l a n c kc o n s t a n ti sl a r g es u f f i c i e n t l y t h eu n i q u e n e s si s i n w j s t , i g a t ，( 、r i i nt h i n r e a l e q u i l i b r i u mf o ra n yp l a n c kc o n s t a n t i nt h e1 a s t o ft h i s p a t t ih e r e l a x a t i o nt i m e ，d i s p m s i v el i m i ta r es h o w nf o rt h eb i p o l a _ 【a n d u u i p o l a te ( u a t i o n s ，r e s p e c t i v e l y i nt h es e c o n dp a r t t h es t e a d y s t a t ev i s c o u sq u a n t u mh y d r o d y n a m i cm o d e 1 i nt h eo n e d i m e n s i o n a ls p a c ei ss t u d i e d t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fs t i o n g s o l u t i o n sw i t hg e n r e a lb o u n d a r yc o n d i t i o n si so b t a i n e du n d e ra “s u b s t m i c ” c o n d i t i o n v i s c o s i t yv a n i s h i n gl i m i t d i s p e t s i o nl i m i ta n dn e u t r a lc h a r g el i m i t “r c c a r t l e do u ti nt h el a s ta p r i o re s t i m a t ei sb a s e do nc o n s t r u c t i n ga na u x i l i a t y f u n c t i o na n dt h ep r o o f sr e l yo i lt h et r u n c a t i o nt e c h n i q u e ，t h el e r a y s c h a u d e r f i x e dp o i n tt h e o r e ma n da ne x p o n e n t i a lv a r i a b l et ia n s f o r m a t i o n k e y w o r d s ：q u a n t u mh y d r o d y n a n l i c s ；e x 疏c 1 1 ( 。e ：u n i ( 1 1 l ( ! l l e s s ；a w l ) t o t i c i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导f 进行的研究 工作及耿得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致 谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果， 也不包含为获得东北师范大学或其他教育机构的学位或证书使 用过的材料。与我- - i q 工作的同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位沦文作者签名：扯h 期：蛆 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学化 论文的规定，即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机 构送交学位论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人 授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编 学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名 学位论文作者毕业后去向 工作单位： 通讯地址： 指导教师签名 日期 电话 邮编 引言 半导体偏微分方程的理论研究从上世纪9 0 年代以来，发展迅速，已经成为国际应用 数学界的主流研究方向之一。pd e g o n d 、p am a r k o w i c h 、o l n e 、fb i e z z j 、i 。 h s i a o 、a j i n g e l 、ig a m b a 、ig a s s e r 等数学家在这个领域做出了重要贡献。量子模型 的数学分析工作近年来引起了广泛关注，虽然已经有些结果，但还有更深入的问题有待 解决 本文分两部分进行，分别探讨了高维双极和一维粘性单极量子流体动力学模型( ( 3 h 1 ) ) 的相关数学分析问题。 第一部分主要研究双极量子流体动力学模型： 鲁十d l 叫。扎 繁v ( 警) + v 晰。，- - a 2 n a v ( 等) = n , , v v - 凳， 警十d i v j 6 _ 【) ， 繁+ a i v ( 警) + v 酬- 5 2 n b v ( 等) 一m v 肛j a 吧， 其中，i 、啦、k 、只、c ( i = a ，b ) 分别表示半导体的电子流密度、电子密度、电势、 压强、d o p i n gp r o f i l e 。参数d ， 和n ( 扣a ，b ) 分别表示p l a n c k 常数，d e b y e 长和松弛 时间， 在这里，我们考虑的是定态情形，j i i n g e l 1 3 应用截断法获得了单极q h d 方程的解 的存在唯一性，在他的文章中，等温和等熵情形解的估计能够很好的进行然而，在本部 分双极q h d 的情况下，为了控制电势矿的上界，我们需要熵函数有较高的指数这个 原因导致等温情形的解不易获得困难的本质是由于不能从p o i s s o n 方程得到电势的一致 界这里我们假设流密度是无旋的，这时方程转化为二阶椭圆组于是，通过椭圆型方 程的估计以及b a t l a c h 空间的l e r a y s c h a u d e r 不动点定理，可以得到解的存在性为r 获 得唯一性，我们采取一些数学的技巧去克服p o i s s o n 方程带来的困难对于任意的p l a n c k 常数，唯一性可以得到，但是，推广到双极是困难的不过，利用j i l n g e l 1 3 】和g a s s e l 、 j i i n g e l 9 的方法，如果p l a n c k 常数足够大，唯一性能够保证我们对双极模型进行伸缩 变换得到不依赖于松弛时间的估计，获得相应的渐近极限结果最后考虑r 单极q h d 山。 程d _ ( 】的极限，单极模型的存在性可以参考【1 3 我们的估计不能进行a _ 0 的极限， 这个问题仍然是不清楚的 第二部分研究粘性半导体量子流体动力学模型： 瓮+ d i v j = z ，a 巩 筹+ a i v ( 掣) + v 跏m v y 一譬n v ( 等) = 一她 a 2 a v = n g ( z ) ， 1 其中n ，j ，v 分别表示电子密度、流密度和静态电势，是p l a n c k 常数，a 是d e b y c 长， h n ) 足压强函数，r 是松弛时间，v n 和”j 是粘性项( v ( 1 是粘性系数) 。 对于定态模型，可以把其化为二阶方程来处理，z h g n g 、，j e l o m e 2 0 利用格林函数以 及二阶椭圆方程的估计得到了一维情形的一个初步开创结果，后来，g ：t m b a 、j i i n g e l 7 1 改进了结论。fb r e z z i 、i g a s s e r 、p a m a r k o w i c h 和cs c h m e i s e r l 6 1 在热平衡态把模型 化为四阶椭圆型方程来解决，在g y i 、j i i n g e l 1 2 1 和g u a l d n i 、j i i n g e l 31 ) 中，这个办法 解决了更一般的q h d 方程并进行了p l a n c k 常数趋于零的极限。我们的目标是获得粘性： 四阶方程的存在唯一| 生以及各种渐近极限。 2 1 高维双极定态q h d 模型 1 1 方程的变形 我们研究一下双极定态量子模型 a i v ( 警) 十v 胁。，礼u a i v ( 警) + v 晰。，礼6 d i v 孙= 0 ， 鳓。v ( 等) 一删一篆， d i v j = 0 ， ( 1 11 ) 编。v ( 等) 一m v v 等， a 2 y = n 。一mc ( ) 对方程( 111 ) 进行关于松弛时间的伸缩变换r “。罢- ，v _ v ( f m b ) d i v 凡= 0 ， ，- ：d i v ( 警) + v 跏。，- a 2 n a v ( 等) 一v l ， d i v 以= 0 ， ( 1 卜2 r f f d i v ( 警) + v 咖，挑。v ( 等) 一m w “ 2 y = n n 一”b c ( x ) 我f f l r 设 ：n i v s i ，p 。( ) ：r ( ) d e 2 p ( ) 其中只( z = n ，b ) 称作f e r m i 势，方程( 1 1 2 ) 成为 v ( 譬l v 甜椰m “筹) d i v ( n 。v ) m v ( 譬j v 吼晰2 等) 选取下面的边界条件 n , b = j b o v = ， ( 1 l 3 ) = 一r 乜v s n ， = 0 ：一”b v 鼠， ( 1 14 d i v ( n 6 v 乳) = 0 ， a 2 矿= n 。 s 。= s 。0 s b = s b i l o na f 2 f ll5 其中q r d ( 1 d 3 ) 是一个有界区域， ( ，) 是熵函数满足： n ； ( n ，) = p ( n ，)“= n ， 令 n = 瓜”b = v 疗瓦得到 d 2 = w 。( 萼1 v 咒 2 + 死 _ 韵一v + r + 上。) ， d i v ( ：v 咒) = 0 ， 铲”。= w 。( 萼i v 晶i 2 + 丁b ( u ；) + v1 民+ l 。) ， ( 1 ，“， d i v ( w ；v s b ) = 0 ， a 2 v = ”：w ；一g ( z )i n n ， 关于边界条件： w = w o ，r = & o ， ”b = w b o ，鼠= 岛o ，( 1 l7 1 v = y o o i la q 其中w a o = 扣面和w h o = 万蔚，l 。和l b 是积分常数( 表达式见( 1 28 ) 和( 129 ) ) 对于 古典解，问题( 1 1 6 ) 一( 1 1 7 ) 等价于( 1 14 ) ( 1 1 5 ) 满足附加的边界条件： 黜一萼1 v ( z 。) 1 2 = 死h ( ”：。如。) ) ( z 。) + 乳。( 叫) + l 。 ! ；会美誉i 吐一萼i v ( 。) f 2 = t b h ( 。南( 。) ) + ( 。) + 岛。( 。) + 。， 1 引 其中z o a q 作为参考点 在l5 节，考虑了单极q h d 模型： d i v 。气= 0 ， m ( 警) + v 晰。- 6 2 n 。v ( 等) 一删一鲁 n ， 2 g v = n 。g ( z ) ， 的扩散极限。类似双极q h d 方程的讨论和变换，单极模型可以表为： d 2 ”n = ”。f 萼1 v 1 2 + ( w ：) 一v + s o ) ， d i v f ：v s o ) ：0 ( 1 l l ( ) ) a 2 y = ：一e ( ：l ：- ) i n q ， 关于边界： = w a ? 0 s 1 = sr l n 、 y ： 。na n 【1 1l i ) 其中通过选取电势的参考点，积分常数可以假设为0 1 2 解的存在性 在这部分，我们去证明边值问题( 1l6 ) - ( 117 ) 解的存在性，下面的假设是必要的 ( a 1 ) nc 刑是一个有界区域，并且a n c 1 r ，1 d 茎3 ( a 2 ) c o ( 0 ，o 。) 是一个单调不减函数并且满足 。l 。i r a 。+ ( s ) = 一 o i。与s 2 h ( s 2 ) 2 十。 其中h n 0 是一个正常数 ( a 3 ) c l 0 。( q ) ；正 0 ，r i 0 ，1 ， ( 0 ，1 ) ，i = o ，b ( a 4 ) 1 0 f o h 2 ( n ) ，瓣叫t 。 o ，s 。c 1 , ；( 丽) ；h 1 ( q ) n l ( q ) ，# = “，b 我们能够说明满足( a 2 ) 的函数确实存在，例如熵函数 )：百生(s8一1)(fih(s 2 是一个常数) ) = 矗( s 肛1 1 ) 2 是一个常数) a l 注1 2 1 如果边界函数足够光滑，我们的结论能推广到d 维空间( d 3 ) 读者可以参考 l s 注1 2 2 如果 ( s ) = l r l 8 ，我们称熵h 是等温的，如果 ( s ) = 格( s 。一 ) ( f l 1 ) ，称 熵h 是等熵的。等温的熵函数不满足r a 黝，应用这篇文章的方法难以得到解的先验估 计，但是在单极等温的情形容易做到，特则是在一维空间。 为r 获得方程( 1 1 6 ) 一( 1 17 ) 解的存在性，我们首先研究一个截断系统： 抛w 。= 毗( 等2 i v 剐2 + 如m 。2 ) - v + s 。+ l , 0 ， d i v ( t 。( 。k ) 2 v ) = 0 ， 6 2 w 。= ”。( 萼l v 岛1 2 + 死 ( w ) + 矿+ 瓯+ l “) ， o2 ” d i v ( t 。( ”b n ) 2 v 岛) = 0 ， a 2 a v = 1 u ：托一w b 2 一c ( x ) i nn ， 关于边界条件： “j n = w o ，= s a 0 ， 6 = “，6 0 ，= 乳。， ( 122 ) v = v o o na n 、 其中5 k = r n a x ( o ，m i n ( a ，k ) ) 和t m ( s ) = 1 t 1 3 x ( i z ，s ) ，s 冠，0 ，m 0 是当d - + o 。时保持有界的常数 证明：在( 1 21 ) 1 和( 1 21 ) 3 中分别取u ) i = m i n ( o ，t 吨) h o ( n ) 作为检验函数有 j i2 0ae i n n ( z = n ，b )( 12 ) 应用最大值原理推得 掰s os & 船& 。 0 2 。，6 )( 126 ) 和 嚣一聂( 2 西2 + 州n ) ) 矿( _ s 口u 5 p 2v o + 嚣( 2 ，f 2 + m n ) ) ， ( 1 27 ) 其中c 2 是仅依赖n 和d 的常数。我们选择 k = 瓣一船s 。一聂( 2 k 2 + c o 。) ， = 一s a u n p v 。一s a u n p s b o 一笔( 2 k 2 + i i c l l a l * ) 0 na n 一 ( 128 ) ( 12 9 ) 令k m “( 怕。o 忆叫。n ) ，l l w b oh p ( 。n ) ) ，在( 1 2 1 ) 1 和( 121 ) 3 中，分别用( 。一r r ) + “= n 、b ) 作为检验函数： d 2 二i v ( w 。一k 2 a z = 一萼五w n k ( ”n k 川v l 2 血 也五“虬州) + m 似州2 ) r “2 ”血 + 上w 。( w 。一k ) + ( 矿一一l n 一 ( 2 曲 厶眦( ”n ) + ( s 锄u p v o 一骆 ，n2 + 去( c l + 0 2 ) ( 2 k 2 + e 1 1 l 。( n ) ) + 絮鼠一瓣s , m 一死“( 舻) ) 血( 1 2 1 0 a n a so 类似地 铲z f v ( w “= 一孚正”。k ( w b - k ) + l v l 2 d z 一死训6 耳( 叫6 一耳) + ( 九( u 7 k ) 一h ( k 2 ) ) d 茁 + t u 。( 6 一k ) + ( 一v s b l b t c j h ( k 2 ) ) d j n 茎n w b k ( w b k ) 十( s u p i 0 一臻 1 ，0 j n 疗n d so + 雨1 ( c l + c 2 ) ( 2 k 2 + 1 1 p 0 l ( n ) ) + 船昆。一 s b 。一码“( k 2 ) ) 血( 1 2 , 1 1 ) 6 利用假设( a 2 1 ，存在足够大的常数 k m a x ( i i 。o i i l 。( o n ) ，【l b o i l l 一( 。n ) ) 使得( 1 21 0 ) 和( 1 2 1 1 ) 的右端是非正的，k 仅依赖a 。于是 2 k ( i = ，b ) aei n n h 6 l d 目估计给出下面的椭圆估计 h s o , i g - ，。f 瓦1 c a c 4 ( m ) l l t m ( 训。) 2 i i c 。一( 丽) 1 1 o | | t ，e ( 再) ， i i s b l l e k f 瓦】s 。5 c 6 ( m ) l l t m ( “) 2 i i c ”( 瓦) l l & 0 1 1 c 一( 而) 对于所有的0 0 仅依赖m c 4 ，c r 一0 0 ( 121 2 1 f 12t3 门214 利用椭圆型方程的口估计( 1 1o ，t h e o r e m 9 1 5 ) 和【a 2 ) ，我们有 占2 i i 。i i hz ( n ) c ( 5 2 | i 叫。o l l h 。( n ) + | | 删。( 等l v 2 + 死h ( u k 2 ) 一v + s n + l 。) t l l 。f n l ) s c ( d 2 + 钏s n 吩女( 面+ t a k h ( k “+ ks d u n p l v c 】i + k l 蠕v o l + k ( c 1 + 2c 2 ) f 一2 9 2 + g 1 1 l 。( n ) ) + 2 ks u pl s 。o ) a n 墨c ( 1 十6 2 十c i ( 酬w 。k ) 2 咯洒) sc ( 1 十5 2 + 。“2 m 川训d 2 l l 一2 砖f _ 1 ) 墨c ( 1 十5 2 + c j ( m ) f _ ) ) c ( 1 + 5 2 + 聋( m ) | | w 。i l c o , r 啊1 ) 茎翔 。慨n ) + 譬， ( 12 1 5 ) 其中我们已经用到了内插不等式1 1 w 。i i g 。 _ 1 曼e i i n 恼。【n ) + c ( s ) 1 1 w “i i f ，一( s zj ，。 表示一 般常数，依赖于6 ，t n ，a ，r 和k c 7 0 依赖d ，n ，a 。咒和k ：并且当d _ 0 1 或a 一_ 0 1 c 。_ o 。我们最后得到 1 1 w 。1 1 日2 fn 1 c 7 ， ( 121 6 ) 同样的手续对w b ， i 【”b 1 1 h t fn 1 c 8 ， 其中。：8 的性质类似c ， 1 利用引理l2l 和l e r a y s c h a u d e r 不动点定理，我们能获得存在性 定理1 ，2 1 ( 存在性j 假设似u 。似纠成立，那么存在一个常数0 m i 。n f ( u ，n o ，w b 。) 使得 厄瓦、 v 碉丽 ，、7 m 0 依粕d ，a ，f 2a n dd 。4 ，。6 分别给出在( 1 21 3 ) 和( 1 2 4 ) ，h 与 无关。 证明：在这篇文章里，【口= 怯1 幢+ 怯2 幛定义了b & n a c l 空间口口的泛数( ，一 ( u 地) b b ，b 是一个b a n a c h 空间) 令“= ( “。，“b ) c o ， ( 丽) c o , ；( 豆) ，v 日1 ( q ) 是方程 a 2 v ；“：一u k g ( 。) i n n ， v = o n 跚2 ， 的唯一解，令最h 1 ( q ) 是方程 d i v ( t 。( u 。k ) 2 v s 。) = o i n f l ， & = oo n a n ( i = o ，b ) 的唯一解利用最大值原理和h 6 1 d e r 估计，我们能推得v l 。( n ) ，& g 1 ，j ( 丽) ( i 一“b ) 令w 。h 1 ( f 2 ) 是方程 6 2 划。= 盯u 。h ( 萼i v & 2 + 足矗( 2 ) 矿+ + 三。) m g f 1 22 3 1 w n 2r 丁“0o n a n ， 的唯一解，令w b h 1 ( n ) 是方程 ，2 5 2 w b = 盯“6 ( 等f v l 2 十死 ( 4 詹k ) 十y + + l b ) i n q , f 1 2 f 2 4 1 w b 2o w s o o n a n 的唯一解，其中口 o ，1 由“= ( u 。，) c o ，i 1 ( - - f 2 ) c o , ( 再) ，我们有 型( t w 。) 2 ( 1 2 ) 日2 ( n ) l c q , ( 孬) c o , i 1 ( 豆) 因此可以定义算子 t ：c o ，i i ( - - q ) c o , i i ( 豆) o ，1 1 c o , ( 豆) c o ， ( 孬) ( ( “o ，t 地) ，口) 时( w w b ) ， ( ，们r w 易证r ( “，o ) ：0 对于“c o ， ( 丽) c o ，i 1 ( - - 5z ) 对所有的w = ( 。，b ) c ， ( 豆) c o ， ( 竭满 足t ( w 口) = ，类似引理1 2l 的证明，忡i h 2 n ) c ，其中c 0 不依赖和一由紧嵌 入h 2 ( n ) h 2 ( n ) qc o ，i 1 ( 瓦) c o ，i 1 ( 瓦) ，得到t 是紧连续的l e r a y s c h a u d e z 不动点定理 给出( 1 2 蚺( 1 22 ) 解的存在性为了完成定理证明，我i f 3 还- 需说明和w b 有正下界 8 l ， nm 伟 o 足够小使得t 1 , ( m 2 ) 0 依赖d ，a ，n 和d 因此， 1 3 唯一性 w m 0i n n 、i = 日b 在( 11 1 ) 中，令五= o “= o ，氓得到热平衡态方程，首先研究这种情况解的唯一陆 铲叫。= 叫。( 死 ( u 韵一v + l 。) ， 铲a w b = 叫6 ( 巩九( ”；) + v + 上b ) ，( 13 1 ) a 2 a v = ： ；一a ( z )i n n ， 关于边界： 。2t u n 0 ，”62 ”6 0 t v = o n a q f l32 1 t 理1 3 1 假设f a i ) 一( a 4 ) 2 k 立- ，那么满疋l i 2 。i 9 1 一( i i 2e 8 j 的i l3i j ( i ? 。2 1 的解连唯，一 9 竽 m 。 0 m 叫 厶 一 0 一 zdm 证明：假设( 1 31 ) 一( 1 32 ) 有两个解( w 幽w b l ，) 和( 虬2 ，w b 2 ，k ) 用( u ，：l w ：2 和( 叫1 w ) 作为方程( 1 3 1 ) 一( 1 3 2 ) 的检验函数，我们有 a 2 五( 堕w a l 一鲤w a 2 慨2 “潮。 = 咒( ( w ：1 ) 一h ( u ，。2 2 ) ) ( ：l w ：2 ) d x ( 133 ) 一( v 1 一k ) ( w ：1 一w 。2 2 ) d z 利用分部积分，经过基本的运算有 d 。_ f 鲤一竽1 ( ，。：。一。狮。 n ”a l”a 2 ；4 1 ：一6 2 | v ( 1 n w n l 一l n w 。圳2 ( ：14 - ：2 ) d x 因此 类似地 6 2 i v ( 1 n w n l 一i n w 。2 ) i2 ( 。2 l + w 。2 2 ) d z j s ! = 一( ( 叫：1 ) 一 ( 叫：2 ) ) ( 制：1 一w ：。) d x j o ( 1 3 5 ) + ( 一班) ( ”：l 一，u ：2 ) d x js2 ( h 一) ( 训：1 一叫：2 ) d x d 2 i v ( 1 n w b l 一i n w 6 2 ) i2 ( u j ；1 + w ；2 ) d x = 一孔( ( 训；，) 一h ( 训邑) ) ( 训 。一叫) d 。 。o “( 1 36 ) 一( 一) ( w ；，一w 岔) d z 茎一( v l k ) ( w ；1 一”) d z 用一场乘以( 13 1 ) 3 对和的方程，分部积分后： 厶( 一班) ( w ：1 一u ：l w 。2 2 + w 毛) d 。= 一a 2j i v ( v 1 _ 一场) i2 出 ( 7 ) j n1 1 d ， 利用( 135 ) 一( 137 ) ，我们有下面的估计 d 2 正l v ( n + d 2 i v ( 1 n w b l j n 曼，( 一k ) ( 。2 。 j n 0 使得如果5 d o ，则最多存 柱一个满足( 12i 9 ) 一l i 27 2 0 ) 的亩程1 1 i6 1 一( 1 i 17 ) 的解 证明：假设( 1 1 6 ) 一( 1 1 7 ) 有两个解( 。l ，w b l ，s 。1 ，s 叭) 和( w mw ) 2 ，s ms ) 以；s s 。2 作为方程( 1l6 ) 2 对z ，2 的差的检验函数有 。2 1i v ( s o l s 2 ) 1 2 d x = 一( w 矗一w ：2 ) v s 。2 v ( s 。1 s 。2 ) d z( 139 ) ，n，n 由上二式得到估计： v ( & l s 剖1 2 如墨等i 【v 又2 忆o 。( 蚓。l w 。2 i i 州n ) i i v ( 一。) i i 伊 进而， i i v ( s 。1 一& 2 ) 慨n ) 2 m k 。v s 。2 怯( n ) i i r 饥2 ( n ) 对鼠1 ，玩z 同样的过程有 v ( s b l 一岛z ) i i l 。( n ) 茎筹t l v s b 2 l i l 。( n ) 1 1 w 6 1 在( 11 6 ) l 中选择1 一u 。2 捌( q ) 为检验函数 一萼上( w 圳v t 2 _ _ z o a 2 i v 。1 2 ) ( t l a l - - , t o a 2 ) d 。 一死( 叫。l 九( 删：1 ) 一叫。2 h ( 叫：2 ) ) ( 叫。1 一训。2 ) d z j n 十厶蛳一呦) ( 蛳一毗) 血呲1 3j n1 1 0i j 一( 州n l 1 一叫。2 瓯2 ) ( 叫1 一t n 2 ) d z l 。( 。l 一7 n 2 ) 2 d x = 1 1 + 1 5 利用( 131 1 ) 和h s l d e r 币等式： 1 ，s i n i ( 叫。l ( v s 。1 + v z ) v ( s o l 一& 2 ) + l v s a 2 1 2 ( w n l 一叫。2 ) ) ( 训n 1 一训n 2 ) l d * 2 ) ，令( 氐。，) 是 r - 6 一r 列的一个解那么存在( 。，”岛，k ) 一个子列使得 训n f 1 s ”一 w 6 t 一 ，一 亿一 w n 弱收敛在h 2 ( n ) 中且强收敛在c o ，j ( 豆) 中 弱收敛在日1 ( n ) 中、 ”6 弱收敛在h 2 ( n ) 中且强收敛在c o j 1 ( 丽) 中 鼠弱收敛在h 1 ( q ) 中， v 弱收敛在h 1 ( n ) 中， 并且( 。，鼠。w b ，v ) 是方程 占2 。= w 。( 咒 ( w ：) 一v + & + l 。1 d i u ( ：v ) = 0 ， 5 2 a w b = w b ( 如 ( 训；) + v + s 占+ l 6 ) d z u ( ：v ) = 0 ， a 2 a v = “毫一w ；一g ( 。) i nn 关于边界 w n 。w 8 0 ，= s a o ， w b = w b o ，s b = 瓯o ， v = w 1o na q ( 14 1 ) ( 1 42 ) ( 1 43 ) f l44 1 ( 1d5 ) ( 146 1 f 147 1 的一个解 注1 4 1 如果我们对r ，不进行松弛时间的伸缩变换，r _ 0 的极限研究将是挑战性 的工作这种情形需要一个新的先验估计手段 证明：应用引理1 21 和紧嵌入h 2 ( n ) l c o , ( q ) ，存在f w 。，) ( z = n ，6 ) 的- 个子列使得 ( 1 41 ) 和( 143 ) 成立用，一o 作为( 11 6 ) 2 的检验函数并利用椭圆型方程的估计有 上i v r ，i2 出磊k 4 上l v & 。 2 d z ， 正l v 驯2 a z 孑k 4 工v 驯2 a z ( 1 48 ) ( 149 ) 以u v o 作为( 1 l6 ) 5 的检验函数 a 2 正| v v 1 2 d x = 1 、2 正v w v k 血一五( w ：一w 。2 一g ( z ) ) ( u 一) ( 1 。 s 萼正iv 学z lv ”a z + j c z 、2 2 删吼一) 2 ( 141 1 其中c 是一般常数依赖n 和d 。因此，( 14 8 ) ，( 14 9 ) 和( 14 1 1 ) 能够分别证得( 142 ( 1 44 ) 和( 145 ) 。 用妒e 矿( n ) 乘以( 1 16 ) ，分部积分得到 一2 ：v t z ，。，v 妒a z = 萼：u ，。，| v s ：， 29 9 d ：c + j ，：z ，h ，n cv t 尝，妒c - ，j 一：n u 。，- ；o d x + 。：u 。，s ：，妒a z “n 丘咿曲， ( 14 1 2 ) | 。u 弓t 可s f 。v o d z 1 n d 2 v w 。，v o d x ，n u 巷v ，v ，o d x 32 一a 2 v v r v q o d z ，n = 萼z w 州v 鼠，j2 。o d x + 死z w ” ( “丢) 删。 + 五”打k 9 d x + 小，吣 + l b l o b r 妒d $ ， j n =0 = ( ：，玉一c ( x ) ) t f l d x ，i n f t ，n ( 141 4 ) ( i4 1 5 ) f l4 1 6 ) 应用w 。v s i ，w 0 = 。，b ) 的工o 。界和( 1 41 ) 一( 14 5 ) 式，我们能在( 141 2 ) 一( 141 6 ) 中 进行极限r _ o ： 6 2 v w 。v 妒d 。： j n w ：v s v 妒出 j n d 2 v w 6 v ( 1 0 d z ，n 死六吣( 吣一正州汕 + 以”。瓯c p d x + l 互”。妒a 。， 霸五蚴( w ) 咄+ j 乞”肌d 。j nn 十小& c p d x + l 5 卜皿、nn ( 1 41 7 ) ( 141 8 】 l g+ 2 k2 三一 +出 2 v 厂，垃 5 2 2 ) ，令( d ，文d ，) 是万程 ，j z 叫一r j ，7 ，满足0 的一个解，那么存在( 血s 豳k ) 的一个子列使得当n ，0 ， t m a x ( 堑产，1 ) 时 w 甜f + “j n 强收敛在l p ( q ) 中( 对任意的1 ? 】j 】5 2 2 q 4 其中c 不依赖于d 由于嵌入圩- ( q ) l 寸 2 ) ，我们获得 ( z i v ( v a - 5 + 1 2 & ) 。c ( 厶 oi ( - 0 + l d q ( z v ，n f c 一，+ ra z ) i ( 1 _ 55 c ( r j ) ( m e a s m j ， 其中r j 因此，由( 1 ，54 ) 和( 1 5 5 ) ，对任意的f f f 。， m e a s f 呀 玎兰孑兰而( m e a s f ) ； ( 1 56 j 应用s t a m p