（基础数学专业论文）关于banach空间中正交性的若干研究.pdf

关于b a n a c h 空间中正交性的若干研究 杨冲 摘要：h i l b e r t 空间中的正交性理论是泛函分析的重要内容论之一，由正交 性引入的正交投影算子、正交基和正交补概念等，不仅丰富了h i l b e r t 空间的理 论，而且极好地刻画了h i l b e r t 空闭的几何性质一般b a n a e h 空间中的正交性理 论是h i l b e r t 空间中正交性理论的自然推广，也是b a n a c h 空间理论的重要发展 本文应用空间理论与算子理论的方法，系统研究了一般b a n a c h 空间x 中的各种 正交性概念，研究了它们之间的相互关系，给出了各种正交性的等价刻画全文 分三章，现分述如下 第一章研究了b i r k h o f f 正交性，它是b a n a c h 空阔中应用最广泛的一种正交 性概念首先，建立了b a n a c h 空间中两个元素的b i r k h o f f 正交性和线性泛函的 关系，然后以线性泛函为主要工具，讨论了b i r k h o f f 正交性和b a n a c h 空间结构 的关系其次，在特殊的b a n a c h 空间罢和g 中，给出了两个元素b i r k h o f f 正交 的充要条件进一步，我们引入了正交孙的概念，讨论了b i r k h o f f 正交补的相关 问题 第二章讨论了i s o s c e l e s 正交性和p y t h a g o r e a n 正交性，它们都是h i l b e r t 空间 中正交性的推广首先给出i s o s c e l e s 正交性的性质，揭示了这种正交性与等距算 子的密切联系进而，将问题转化为等距算子来研究接着引入并研究了i s o s c e l e s 正交补的有关问题，并由此研究了b a n a c h 空间的一些重要几何性质最后，给 出了p y t h a g o r e a n 正交性的一系列重要性质 第三章研究其它几种正交性问题。讨论b i r k h o f f 正交性、i s o s c e l e s 正交性与 p y t h a g o r e a n 正交性之间的关系，证明了r 如果这三种正交性的任一种都蕴含另 一种，那么此空间就是内积空间 关键词；b a n a c h 空间；b i r k h o f f 正交性i s o s c e l e s 正交性；p y t h a g o r e a n 正交性；内积空间 o t h o g o n a l i t yi nb a n a c hs p a c e y a u gc h o n g a b s t r a c t t h et h e o r yo fo r t h o g o n a l i t yi nh i l b e r ts p a c ei so n eo ft h em o s t i m p o r t a n tc o n t e n t so ff u n c t i o n a la n a l y s i s t h eo r t h o g o n a lp r o j e c t i o n s ，o r t h o g o n a l b a s e s to r t h o g o n a lc o m p l e m e n t sa n ds oo n ，i n d u c e db yo r t h o g o n a i i t y , n o to n l yr i c h h i l b e r ts p a c et h e o r y 】b u ta l s oc h a r a c t e r i z eg e o m e t r i c a lc h a r a c t e r so fh i l b e r ts p a c e o r t h o g o n a l i t yc o n c e p ti nb a n a c hs p a c ei s an a t u r a lg e n e r a l i z a t i o no fo r t h o g o n a l i t y i nh i l b e r ts p a c ea n da ni m p o r t a n td e v e l o p m e n to fb a n a c hs p a c et h e o r y i nt h i s t h e s i s ，w ed i s c u s ss o m ei m p o r t a n tc o n c e p t so fo r t h o g o n a f i t i e si nb a n a c hs p a c ea n d g i v es o m ec h a r a c t e r i z a t i o n so ft h e m w ea l s oe s t a b f i s hs o m er e l a t i o n s h i p sb e t w e e n t h e m t h i sp a p e ri sd i v i d e di n t ot h r e ec h a p t e r sa n dt h em a i nr e s u l t sa r eg i v e na 8 f o l l o w s i nc h a p t e r1 ，w es t u d yb i r k h o f fo r t h o g o n a h t yw h i c hi st h em o s tw i d e l yu s e d o n e ，f i r s t ，w eg i v et h er e l a t i o no fb i r k h o f fo r t h o g o n a i i t ya n df u n c t i o n a l si nb a n a c h s p a c e ，t h e nu s ef u n c t i o n a l sa sat o o lt oi n v e s t i g a t et h er e l a t i o n so fb i r k h o f fo r t h o g - o n a i i t ya n du n d e r l i n gb a n a c hs p a c e i nb a n a c hs p a c e sl 善a n dq ，w eg i v es o r t i e p r o p e r t i e sb i r k h o f fo r t h o g o n a l i t y i nl i g h to fo r t h o g o n a l i t y , w ed e f i n ea n dd i s c u s s o r t h o g o n a lc o m p l e m e n to fas e ti nab a n a c hs p a c e l a s t l y , w ei n v e s t i g a t es o m e p r o p e r t i e so ft h eb i r k h o f fo r t h o g o n a lc o m p l e m e n t s i nc h a p t e r2 ，w es t u d yi s o s c e l e so r t h o g o n a l i t ya n dp y t h a g o r e a no r t h o g o u a i i t y , w h i c ha r en a t u r a le x t e n s i o n so fo r t h o g o n a l i t yi nh i l b e r ts p a c e w ef i r s ti n t r o d u c e i s o s c e l e so r t h o g o n a l i t y b yi t sd e f i n i t i o n ，w ek n o wi th a sc o n s a n g u i n e o u sr e l a t i o n w i t hi s o m e t r y , t h u sw ec a l ls t u d yi s o m e t r yt oi n v e s t i g a t ei t t h ee m p h a s eo ft h e c h a p t e ri s t os t u d yi s o s c e l e so r t h o g o n a lc o m p l e m e n t a r y , a n dn s ei tt os t u d yg e o - m e t r i c a lp r o p e r t i e so fb a n a c hs p a c e l a s t ，w es t u d yt h ep r o p e r t i e so fp y t h a g o r e a n o r t h o g o n a l i t y i nc h a p t e r3 ，w ed i s c u s st h eo t h e ro r t h o g o n a l i t i e si ni nb a n a c hs p a c e ，a n dg i v e s o m ep r o p e r t i e so ft h e m t h ee m p h a s eo ft h ec h a p t e ri st os t u d yt h er e l a t i o n so f b i r k h o f f o r t h o g o n a l i t y , i s o s c e l e so r t h o g o n a l i t ya n dp y t h a g o r e a no r t h o g o n a l i t y , a n d i ti sp r o v e dt h a ti fo n eo ft h e s ei n d u c e sa n o t h e r ，t h e nt h es p a c ei sa ni n n e rp r o d u c t s p a c e - k e y w o r d s b a n a c hs p a c e ；b i r k h o f fo r t h o g o n a l i t y ；i s o s c e l e so r t h o g o n a l i t y ； p y t h a g o r e a no r t h o g o n a l i t y ；i n n e rp r o d u c ts p a c e i i 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，论文中不包含其他个人 已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得陕西师范大学或其它教育机构 的学位或证书面使用过的材料。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均 已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者繇盟糯型堕兰璺 学位论文使用授权声明 本人同意研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属陕西师范大 学。本人保证毕业离校后，发表本论文或使用本论文成果时署名单位仍为陕西 师范大学。学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其它指定机构送交论文 的电予版和纸质版；有权将学位论文用于菲赢利目的的少量复制并允许论文进 入学校图书馆、院系资料室被查阅l 有权将学位论文的内容编入有关数据库进 行检索；有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。 作者签名：塑也隰型堕笙圭璺 主要符号表 复数域 实数域 实效域或复数域 h i l b e r t 空间 日上全体有界线性算子空间 从到耳中的全体有界线性算子空间 向量$ 与y 的内积 向量x 的范数 b a n a c h 空间 x 的共轭空间 从x 到y 中的全体有界线性算子空间 表示算子t 的值域 表示算予t 的核 直和 赋范空间 。h ：i = l 极大理想空阐 从到c 中的全体连续函数空间 n 的谱 矗 ： y ， ， k叫e计卜y 置d即 印k d黔n蹦即卵础n聃聃删趴即班擀 前言 b a n a c h 空间理论产生于二十世纪初，由于其在数学和其它学科中的广泛应 用，在二十世纪的前三十年就得到了很大的发展，并很快成为一门独立的学科 二十世纪六十年代以后，不仅b a n a c h 空间理论本身有了深入的发展，而且箕理 论方法还深入到了矩阵论，微分方程，最优化理论，统计学等众多数学分支更 值得注意的是它在量子力学、物理学等许多领域都获得了广泛的应用，已经成为 研究自然科学与工程技术理论不可缺少的重要研究工具 众所周知，在h i l b e r t 空间中由内积来定义的正交性是泛函分析的重要概念 之一，它是研究h i l b e r t 空间的重要工具而由正交性定义的正交基和投影算子， 更是丰富了h i l b e r t 空间的理论在b a n a c h 空间吼为了研究b a n a c h 空间的几 何性质，许多学者引入了一些正交性的概念各种正交性概念的引入，既丰富了 b a n a c h 空间的几何理论，又为研究b a n 8 c h 空间理论提供了一个重要工具 1 9 7 3 年，a n d e r s o n 在文献 1 】证明：对于b ( h ) 中的有界算子，s ，如果 是正规算子且n s = s ，那么对于任意的x b 旧) ，有 l i n 噬) + s 1 1 l i s l l ， 这里如( x ) = n x x n 如果定义 r ( a n ) = 5 n ( x ) ：x b ( 日) ) ，n ( a n ) = s b ( h ) ：n s = s n ， 那么我们可以说t ( a n ) 在某种意义下正交于( ) a n d e r s o n 证明：如果的 谱只包含有限个点，那么r ( ) 一on ( a n ) = b ( 日) ，在此基础上，a n d e r s o n 提 出了如下两个公开问题： ( 1 ) 有没有简单的性质来刻画r ( a ) 和( ) 中的算子的关系? ( 2 ) n ( a ) 的正交补是什么? 这两个问题直到现在还没解决，因此我们有必要从b a r l a c h 空间的正交性来 研究b a n a c h 空间的性质 设x 是一个f 上的b a n a c h 空间，z ，y x ，当z ，y 满足一定的条件，则可 以定义x 正交于y ，记为x j - y 对于定义在b a n a c h 空间上的正交性，我们主要从 以下几个方面来研究它的性质： 1 ，对称性：如果z k y ，那么y a _ x 2 齐次性：如果山，那么蛔上m ，其中) 、，肛是f 中任意的两个数 3 右可加性：如果z 上y ，且x 上z ，那么z j - ( 目- 4 - g ) 4 ，右存在性：v z ，y x ，存在aef ，满足z 上( 口z + y ) 5 右唯一性：v x ，”x ，存在唯一的口f ，满足z _ 1 ( a z 十萝) 如果正交性没有对称性，那么可以相应的讨论它的左可加性，左存在性，左 唯一性，即 6 左可加性；如果y l x ，且z j - x ，那么( y + z ) j _ z 7 左存在性，v x ，x ，存在o - ，满足( d g + ) 上z 8 左唯一性；地，y x ，存在唯一的口f ，满足( + y ) - l o b i r k h o f f 正交性、i s o s c e l e s 正交性和p y t h a g o r e a n 正交性是b a n a c h 空间中最 常用的三种正交性g b i r k h o f f , r b h a t i a ，c k l i 等大批学者对其性质进行了 广泛地研究本文以泛函分析和算子理论为主璺工具，在已有的理论基础上，对 这三种正交性及其关系进行了深入研究， 在本文的第一章中。我们首先研究b a n a c h 空间中b i r k h o f f 正交性和有界线 性眨函的关系，给出满足某一条件的线性泛函的存在性和空间中两元紊相互正交 的等价关系然后由线性泛函来讨论b i r l d a o f f 正交性和b a n a c h 空间的关系接 着讨论在特殊的b a n a c h 空间喀中。两个元素b i r k h o f f 正交的性质 r b h a t i a 在文献【2 】和c k l i 在文献【3 1 3 中分别给出了两个矩阵b i r k h o f f 正交的充要条 件，在第四节中，我们推广他们对应的结论，给出在g 空间中两个元素b i r k h o f f 正交性的刻画而对于正交性，我们自然希望有正交补的概念，用来讨论b a n a d l 空闯的性质，本章最后讨论的是b i r k h o f f 正交性的补的问题 第二章讨论的是由i s o s c e l e s 正交性和p y t h a g o r e a n 正交性，它们都是h i l b e r t 空间中正交性的推广本章首先对i s o s c e l e s 正交性的性质给出一些补充，对于 i s o s c e l e s 正交性，由定义知它和等距算子有密切的联系，因此可转化为等距算子 来研究本章的重点是讨论i s o s c e l e s 正交慌的补的问题，用i s o s c e l e s 正交性的补 来讨论b a n a c h 空间的性质本章最后给出p y t h a g o r e a n 正交性的性质 由于b a n t m c h 空间内容的丰富性，正交性的定义显然很多，第三章首先给出 其它几个定义在b a n a c h 空间中的正交性的概念，并讨论它们的性质本章重点 是讨论b i r k h o f f 正交性，i s o s c e l e s 正交性和p y t h a g o r e a n 正交性之间的关系，揭 示b a n a c h 空间和内积空间的关系 2 第一章b i r k h o f f 正交性 置 在上个世纪三十年代，g b i r k h o f f 最早给出了b a n a c h 空间上的一种正交性 的定义： 定义1 2 1 ( 1 4 d 设x 是一个f 上的b a n a c h 空间，。，y x 如果对任意的 f ，有忪+ | i 忙那么称zb 一正交予y ，记为上日y r c j a m e s 在文献f 5 | 中研究了在赋范空阉孛b 一正交性与线性泛函、可微 性、凸性等概念的关系，本章第二节进一步给出在b a n a c h 空间中两个元素b 一正 交和线性泛函的关系，然后用线性泛函来研究口一正交性与b a n a c h 空间的可微 性、凸性、自反性的关系 f b s a i d i 在文献f 6 j 中定义了一种新的正交性并在文献f 7 j 和f 8 j 申研究了 这种正交性在b a n a c h 空间l p ( f ) 中的性质受此启发，第三节研究b a n a c h 空间 i p ( f ) 中两个元素口一正交的性质 r b h a t i a 在文献f 2 】中给出了两个矩阵b - 正交的充分必要条件； 定理( r b h a t i a ) 设日是一个礼维空间，矩阵ab 一正交于曰当且仅当存在 一个单位元素x h ，满足j i a x lj = j j ajj ， = 0 c k l i 在文献【3 】中研究了两个矩阵在s c h a t t e n 范数下四一正交的充分必 要条件本章第四节用不同的方法来研究在b a n a c h 空间g 中两个元索b 一正交 的性质，推广r b h a t i a 和c k l i 的相应结论 本章最后一节定义b 正交性的补，通过孚正交性的补来研究孚正交性和 b a n a z h 空间的性质 1 2b i r k h o f f 正交性的性质 定理1 2 1 如果x 是f 上的h i l b e r t 空间，x ，y x ，那么。上by 当且仅当 = 0 证明充分性如果 = 0 ，那么对任意的a f ，有 j l + a j | 2 = l l z i l 2 + i a l 2 0 1 1 2 + 2 r e 页 】 1 2 ， 3 所以l z + a y i i i i x i i ，z 上日y 必要性如果z 上by ，那么对任意的 ef ，有忙+ 知i l 蚓| 则 f f 嚣+ a 可f f 2 = f 扣f f 2 + 陋f 2 f g f f 2 + 2 r e 区 j 恻一 如果 0 ，只要2 i m 2 - 2 p 。e x l 就有忪+ 1 1 2 i n l 2 ，这与 已知矛盾，所以 = 0 证毕 注1 2 2 由定理1 2 1 可以看出，口一正交性是h i l b e r t 空间中正交性的推 广 定义1 2 3 设x 是一个f 上的b a n a c h 空间，$ x ，m 是x 的子集，如 果对任意的y m ，有za - by ，那么称z b - 正交于m ，记为。上月m 定理1 2 4 ( h ) 如果z b 一正交于y ，那么y 不一定b 正交于x 如果x 是 一个三维或三维以上的b a n a c h 空间。则b 一正交性有对称性当且仅当x 是一个 内积空闻 定理1 2 5 如果za - by ，那么对任意的o ，b f ，有o z 上口岵 证明当n = 0 时，结论显然成立对于任意的。，b f ，a 0 ，如果z 上_ 日y ， 则对任意的a f ，有 l i 口+ a 6 可0 = i a i x + a 三| | l 川舅0 = i i n z i l ， 所以a x 上日珂证毕 定理1 2 6 设x 是一个f 上的b a n a c h 空间，。，y x ，则z - k sy 的充分 必要条件是存在f x + ，i i f l = 1 ，并且f ( x ) = l i x i , ，( y ) = 0 证明充分性 如果存在一个线性泛函，x 满足f f = 1 ，扣) = 忙队l ( y ) = 0 ，那么v a f ，有 | | z l i = ，( 茹) = ，( z + a y ) l | ，| | z + 可| 1 = l i $ + 材 所以$ - k by 必要性如果。上b ，当。= 0 或y = 0 时，结论显然成立当z ，y 都是非零 元素时，显然。和y 线性无关对于z ，由h a h n ，b a n a c h 定理知，存在一个线性泛 函，满足i | 刑= 1 ，( 。) = 俐i ，由于k e r f 是一个超平面，所以k e r ，s ( y ) = 0 ， 证毕 4 注1 , 2 7对于x 中的任意两个非零元素z ，g ，根据h a h n - b a n a c h 定理， 存在一个线性泛函，满足j = l ，( z ) = 俐f ，只要a = 一f ( y ) f ( x ) ，就有 x 上b ( a o + 口) ，也就是b 正交性有右存在性 推论1 2 8 对于x 中的任意一个非零元素z ，存在一个超平面m ，使得 z 上bm 定理1 2 9 设x 是一个实数域上的b a n a c h 空间，2 ，y x 如果存在实 数a ，b ，a b ，并且。上口( a x + 9 ) ，善上b ( b x + f ) ，那么对于a a b ，有 z 上日( a x + g ) 证明如果a b 且z 上ff a x + ) ，。上b ( b x + ) ，根据b 一正交性的定 义，对任意的实数，有+ k ( a x + y ) t i 叫i ，忙+ ( b + 圳| 如果 a so b ，当 20 时，有 j j z + k ( a x + y ) 1 1 = l i 1 + ( o a ) z 十k ( a x + v ) 0 i i 1 + 女一a ) i z i i | 当0 时，有 。+ k ( a x + y ) l i = i i 【1 + k ( a 日) 1 z + k ( b x + y ) l l 三”f l + 七一丑) 扛” 2 l _ 由上知对任意的实数k ，都有忙+ k ( a x + y ) l l i ，所以z 上日( o z + g ) 证毕 如果霉是b a n a c h 空间x 的一个非零元素，则在点。处的支撵泛豳是指x 的对偶空间x + 中的一个有界线性泛函仉，满足i l d 。| | = l 和d 。( 。) = l i ：1 1 如果 在点z 处存在唯一的支撵泛函三b ，则我们称。是半径为牡”的球面的一个光滑 点设( x ，i i ) 是一个b a n a c h 空间，是x 的一个非零元索。如果对任何一个 元素y x ，极限 l i m 崆剑二删 存在，则称范数”8 在点z 处是g a t e a u x 可微的在这种情况下， 啪莉) = t i m 。竖学制 定义了在点z 处的唯一的支撑泛西风x + ，并且玩是x 的单位球西的一个 端点这也就是说z 是半径为恻l 的球面的一个光滑点( 见文献【9 1 1 0 1 ) 5 定理12 1 0b 正交性在b a n a c h 空间x 中有右唯一性的充分必要条件是 x 是g a t e a u x 可微的 证明充分性如果b a n a c h 空间x 是g a t e a u x 可微的，那么对任意的非零元 素z x ，在点名处都有唯一的支撑泛函丘满足厶( z ) 一忙n 如果z 上b ( a x + y ) ， 那么o = 一f ( y ) f ( x ) ，a 唯一 必要性对b a n a z h 空间x 中的任意非零元索o ，只要证明存在唯一的线性 泛函，x ，满足j j f t j = 1 ，f ( x ) = 删i ，那么x 就是g a t e a u x 可微的 因为对任意非零向量z ，根据h a h n - b a n a c h 定理，存在一个线性泛函，满足 f f l f = 1 ，和) = 陋如果存在另一个线性泛函g x ，满足矧j = 1 ，旦囊) = 8 z ， 必存在一个ye k e r f ，使得g ( y ) 0 ，否则，k e r rc k e r g ，且，( z ) = g ( 。) = 1 ， 则，= g 由于，( 轳) = 0 ，由定理1 2 6 知。上by ，丙同时z 上丑( g z + y ) ，这里 a = 一g ( y ) g ( x ) ，这与右唯一性矛盾证毕 定理1 2 1 1b 正交性在b a n a c h 空间x 中有右可加性当且仅当岔正交性 在x 中有右唯一性，也就是当且仅当x 是g a t e a u x 可微的 证明充分性如果b 一正交性有右唯一性，那么满足j i f l i = 1 且f ( x ) = 陋| 的线性泛函，是唯一的，若x - k by 且z 上bz ，根据定理1 2 6 有f ( y ) = 0 ，f ( z ) = 0 ， 则f ( x + ) = 0 ，z - k b ( + z ) ，日一正交性在b a n a c h 空间x 中有右可加性 必要性如果x 上层( o $ + y ) ，x - k b ( b x + y ) 且b 正交性在b a n a c h 空间x 中有右可加性，那么由oj - b ( b x 十y ) 有z 上b - ( b x + ) ，则$ 上日( a 一6 ) $ ，所以 n b = 0 ，a = b ，因此b 一正交性在b a n a c h 空间x 中有右唯一性证毕 定义1 2 1 2 设x 是线性赋范空间，j ：x x “是自然嵌入映射，如果 ，) = x ”，则称x 是自反空间， 定理1 2 1 3 设x 是一个自反的b a n a c h 空间，m 是x 的凸子集，则存在 。加x 矿，使得z o 上口材 证明任取z x m ，由于x 是自匣的b a n a c h 空间，则存在y o m ，使得 忙- y o l f = d i s t ( x ，m ) 令x 0 = 扛一珈) ，则x 0 x m ，根据h a h n b a n a c h 定理，存 在一个线性泛函，满足1 = l ，( z o ) = l i x o l l = d i s t ( x ，m ) ，f ( y ) = 0 ，v y m 根据定理1 2 6 知，对任意的y m ，郡有。o 上by ，所以z o 上b m 证毕 定义1 2 1 4 ( f 1 1 3 ) 设x 是一个b a u a c h 空间，m 是x 的一个子集。如果对 每个z x ，都存在g m ，使得1 i x 一圳= d i s t ( x ，m ) ，那么称m 是逼近集 引理1 2 1 5 ( f l l j )设x 是一个b a n a c h 空间，f x ，那么k e r ，是逼近集 当且仅当存在一个z x ，恻i = 1 ，使得，( z ) = i 6 引理1 2 1 6 ( 1 t 1 ) b a n a c h 空间x 是自反的当且仅当x 中的每一个超平面 都是逼近集 定理121 7设x 是一个b a n a c h 空间，那么x 是自反的充分必要条件是 对x 的任一个真子空间m ，存在x 0 x m ，使得x o 上b 们 证明充分性设m 是x 的任何一个超平面，则存在一个线性泛函 不妨 设1 1 1 1 i = 1 ，使得k e r r = m 如果存在z o x m ，使得o o 上口m ，对于z o ，根据 h a h n b a n a c h 定理，存在一个线性泛函g ，满足j i g lj = 1 ，g ( x d ) = j 1 5 0 1 1 因为m 是 一个超平面，所以k e r 9 = m = k e r s ，因此g = 8 厶n f 又因为吲1 = 8 州，所以 j o i = 1 ，由上知，( z o ) = j ：l l x o 肌从而存在一个z x ，i i x l l = 1 ，满足1 ( 5 ) = 1 1 1 1 根据引理1 , 2 1 5 ，k e r l 是逼近集，根据引理1 , 2 1 6 ，x 是自反的 必要性对x 的任一个真子空间跗，必存在x 中的一个超乎面m ，使得 m m 对于超平面m ，存在一个线性泛函，不妨设1 i 刑；1 ，使得k e r ，= m 如果x 是自反的，那么对于工存在如义，使得f ( z o ) = i i $ o j i ，根据定理1 26 ， z o 上日m 证毕 推论1 , 2 1 8 设m 是自反b e n a c h 空阅x 的一个子空间，劂膨在x 中稠密 的充要条件是不存在o o x m ，使得z o 上b m 定理t 2 1 9b - 正交性在b a n a c h 空闯x 中有左存在牲，也就是对于x 中的 任意两个元素z ，y ，存在f 中的一个数口，使得( a x + y ) - l - b 七如果x 是一个实数域 上的b a n a c h 空间，并且存在实数4 ，b ，a b ，满足( a ：r + y ) i - bz 。( b x + u ) 上口z ， 那么对于a a s b ，有( o o 十y ) 上b o 证明根据定义，( a x + y ) 上b 当且仅当对任意的k f ，有f f ( + g ) + k x l i2 l l o z + 训，也就是1 1 z + 训是l i 妇+ 训的最小值令i ( k ) = 0 b + 洲，则s ( k ) 在实数域是连续的，当一o 。或静一一o 。，都有，一，所以a 存在如果 ( a z + y ) j - bz ，( b x + 口) 上b # ，则有i i a r c + ，4 = l i b x + g 若a 口b ，由于 ，( ) ；f f 。十礼是凸的，所以f l a x + v | | = f l a x + 8 一f f 占o + 可m ( a s + 们- - b 。， 证毕， 定义1 2 2 0 设x 是一个线性赋范空间，若，y x ，当。y ，且恻i = i = 1 时，有 l l 半f f l ， z 则称x 是严格凸的 引理1 , 2 ，2 1 ( 【h 】) b m a a c h 空间x 是严格凸的当且仅当对于每个，ex + ，x 的闭单位球上至多有一个点z o ，使得厂) = f 州 7 定理1 2 2 2b 正交性在b a n a c h 空间x 中有左唯一性当且仅当x 是严格 凸的 证明必要性反证法如果x 不是严格凸的，那么存在，x + ，x 的闭 单位球上至少有两个点z 。，3 2 2 ，使得f ( x 1 ) = ，( 。) = i f l l 所以有，( z 。一z ，) = 0 ， ，k - + a ( x 2 一z 1 ) 】= i i i l 从而 i i l l i i i x - + a ( 。z x x ) l i ，k ，十a ( x 2 一x 1 ) 】= i i l l i = i i l l l l l x l l l ， 因此z 1 l 毋( $ 2 一z 1 ) 同理，z 2 上口( $ 2 一x 1 ) 由上知 f 0 0 2 一嚣1 ) + 。l j _ l 8 ( 现一趴) ，( 1 ( 嚣2 一。1 ) 4 - z l j 上口( 茹2 一饥) ， 即b 一正交性在x 中不是左唯一的。与已知条件矛盾，故x 是严格凸的 充分性反证法如果b 一正交性在b a n a c h 空间x 中不是左唯一，那么存在 z ，y x 和口f ，使得y3 - b 。和( + y ) 上口z 。根据定理1 2 1 9 知，i i 口+ 洲 是1 | 幻+ y l l 的最小值，而由j - 日$ 有l i k x + y l i i ，所以0 0 4 - y l l = i l y l l 由于v 上b 根据定理1 2 6 ，存在一个线性泛函正满足，( ) = 州f 和 ，( z ) = 0 ，所以 l ( a x + y ) = i i f l l l t y l 卜f ，i 十y l l ， 因此 ，( 南) = i l f l l i ，( 晶h 帆 由引理1 2 1 8 知x 不是严格凸的，这与已知矛盾证毕。 1 3l p ( i f ) 空间中b 正交性的判定及性质 定义i 3 1 在b a n a c h 空间p ( f ) ( 1 p so o ) 中，如果v n 有忙+ a b l l p j ，那么称口b 一正交于b ，记为a 上bb 注1 3 2 当1 p 。o 时，”在每个非零点都是g a t e a u x 可微的，所以 在z ，中，b 一正交性有右可加性和右唯一性同时f ，又是严格凸的，所以b 一正 交性有左唯一性 对于1 p o 。，s 是有限或可数个正整数集合，由所有满足 j | ( z 。) 。s l l p = ( e 。e s i z 。1 ) 1 厅 。o ，( $ 。f ) 的元素( g 。) = ( x n ) 。s 构成一个b a n a c h 空间瑶) 8 如果a = ( a j ) ，s f ：( f ) ，定义s u p p ( a j ) = j ：a j 0 ) ，对于瑶( f ) 中的两个元 素。= ( 吁) j s ，6 = ( b j ) i 5 ，定义：s u p p ( a 3 ) n “p p ( 6 j ) = d ：吁白o 定理1 3 3 设，b 蜉( f ) ， ( 1 ) 如果j = 垂，那么a 上86 ； ( 2 ) j 圣，女日果( 唧b 上日( 乃) j j ，那么8 上日6 ； ( 3 ) j 是有限个或无限个互不相交非空集合的并集，j ；u k 。i j ，如果对每个 女，( 唧) j e 驴上日( b ) j 小，那么( 町) ，上b ( 吩) 坩，因此8 上日6 证明( 1 ) 如果j = 西，那么 0 n + a 6 l l ：= n f i o n + k r e = z s l a 。r + 。s l a b 1 9 2 n e s f a n f 9 = ；， 所以口上口b ( 2 ) 如果( o j ) ，j 上目( b j ) j ，那么有e 。e j i 口。+ a b 。i p e 。e j i n 。h 则 n 6 s l a n 十a 6 n l p = e n e j l n 。+ k 1 p + e 。s j a 。+ a “1 9 & ，口。尸十& 烈j k 尸= 器硝j 一 所以口上ob ( 3 ) 因为对每个j ，( ) j 小上b ( b ) j 一，那么e 。e 小i 口。- 4 - ，x b 1 p e 。p i o 。l p 所以& e ，k + a 如 易j k f 9 ，因此( a j ) j e ，上置( 吩be j i 由( 2 ) 知，上占b 证 毕 注1 3 4如果口上fb ，那么( ) ，e ，不一定b 正交于( 每诀7 ，下面给出一个 例子： 在b a n a c h 空间盟) 中，令8 = ( 2 ，2 ，0 ，o j ，6 = ( 1 ，1 ，l ，1 ) ，f n + 舳“l = 2 ( j 2 + a i + ) 4 一l l ，a 上日b ，然而( 2 ，2 ) 不b 一正交于( 1 ，1 ) 1 4g 中b 一正变的判定及性质 设口是一个复数域上可分的h i l b e r t 空间，b ( 日) 是日上的所有有界线性算子 组成的空间对予1 p o o ，q 是由b ( 日) 中所有满足i i a 峙= t r ( a + a ) ； o 。 的算子a 组成的空间，( g ，j j fj 是一个b a n a c h 空间周知，岛是g 的对 偶空间，这里v p + l 向= 1 当p = o 。时，g k 表示b ( h ) 中的所有紧算子 9 组成的空间若a 是一个紧算子， s j ( a ) 是按降序排列的以的奇异值，那么 i i a t 。：= s - ( 4 ) 就是a 的一般的算子范数，因此”怯就是一般的算子范数按 照b i l k h o f f 的定义，对于算子a ，b g ，a 正交于日是指 a + z b i ，i i a i i p ，咖c 当p = 2 时，可定义 ( a ，b ) = t r ( a b ) ， 则 是q 上的一个内积，相应的范数为i h 因此，在空间g 中，a 正 交于b 等价于( a ，b ) = o 当p = 1 时。我们知道一个非零元素a c 1 是一个光滑点当且仅当a 或小 是单射当a 是单射时，a 的支撑 艺函是 d a ( b ) = t r ( u 4 b ) ，v b c t ， 这里a = u i a l 为a 的极分解 当1 p 0 0 时，由于g 是一个严格凸的b a n a c h 空间，因此g 空间中的 任个非零元素a 都是光滑点，且a 的支撑贬函是 。n ( b ) = t r ( 上等；等) ，v b ( 石， 其中a = u i aj 为a 的极分解( 见文献 9 l 【1 2 】) 定理1 4 1设a ，b q ，且= u i a i 为a 的极分解，则当1 p 。或 p = 1 且以是光滑点时，a 正交于b 当且仅当t r ( j a l p _ 1 u b ) = 0 证明充分性设t r ( 1 a l v 。u + b ) = 0 则当1 p o ， - 0t 因此t r ( j a i p “u + b ) = 0 ，证毕 引理i ，4 2 ( f 1 2 】) 如果a q 且f i a l l l = 1 ，那么a 是g 的单位球上的端 点的充分必要条件为以是一个一秩算子 引理1 4 3 ( 1 l ”设口是一个h i l b e r t 空间，那么f 是口( 厅) 的单位球的端 点的充分必要条件是f 或p 是一个等矩算子 引理1 4 ，4 ( 【1 1 】) 设h 是一个h i l b e r t 空间， 。) 是日中的一个序列且z 。 弱收敛于z 且1 1 z 。i i 一i ( n 一。) 。那么$ 。一m o 。) 引理1 45 ( f 2 j ) 如果a 和b 是可分的h i l b e r t 空间h 上的两个有界线 性算子，那么a 正交于b 当且仅当存在一个列单位向量 z 。) 黯lc 日满足 l l a x 。0 0 a i | 且 一o ( n o 。) 定理l