（基础数学专业论文）流形间有界失真映射和调和映射的研究.pdf

摘要 本文主要研究有界失真映射在几何和分析上的性质。经典的s c h w a r z p i c k 引理和l i o u v i l l e 定理已经被推广到几何上满足一定条件的流形之间的 映射上。出发流形的曲率有下界，目标流形的曲率为负的有界失真映射 的s c h w a r z 和l i o u v i u e 形式的结果已经有十分广泛的研究。本文的结果可以看成 是l i o u v i l l e 定理在正曲率目标流形上有界失真映射的推广。这个证明用到了几 何上著名的b o c h n e r 技巧，随后又证明了h e r m i t i a n 流形上的b o c h n e r 公式并且用 这个技巧研究了调和映射的解析性。 本文共分三章，第一章是预备知识，先介绍共形映射，g 共形线性变换， 弱群拟正则映射的调和公式等。然后详细介绍有界失真映射的发展，以及推 广的s c h w a r z p i c k 引理和l i o u v i l l e 定理的现状，包括拟正则映射的l i o u v i l l e 定 理。最后给出了复几何上的一些知识，主要包括h e r m i t i a n 复流形上的曲 率，h e r m i t i a n $ 3 量丛上的曲率和诱导的联络与曲率等。 第二章研究流形间的有界s 失真映射( m a p p i n g so fb o u n d e ds - d i s t o r t i o n ) ， 证明这类映射也具有推广的l i o u v i l l e 定理的性质。我们主要研究以下定义的映 射： 定义o 0 1 礼维定向流形之间的光滑映射f ：( m ，g ) 一( ，忍) ，关于度 量9 和九是有界s ( o 0 6 要证明该定理，首先考虑度量h 的k s h l e r 形式 ，证明如果( ，u 九) 是完备 的k a h l e r 流形并且满足曲率条件( 仉) ，那么对上任意的全纯域x ，( 1 ，1 ) 形 式k x 是正的。如果我们假设厂不是常数，那么全纯映射，的拉回( 1 ，1 ) 形式t x o ，然后选取c 几上的一个非平凡的常全纯向量域y 并且令x = y ，那么t y 0 ， 并且它的权函数1 凡y 曦是多重次调和的。另一方面，根据，是有界2 s 一失真的，所 以f y k 1 s i y i ：，然后由c n 上的多重次调和性质，于是有，y 是常数。最后 由k x 的正则性得到筹= 0 ，即厂是反全纯函数，所以是常值映射。 定理0 o 9 令m 是复维数为仡的紧的k 五h l e r 流形，并且c 1 ( m ) 0 ，则存在一 个k i h l e r 度量u 和一些8 0 ( 0 ，n ) 使得具有2 s ( 0 8 0 的紧的k s h l e r 流 形m 来说，非典型线丛k 玉是正的，所以存在k a h l e r p 变量u 和一些8 ( 0 ，礼) 使得 向量丛g = t mo 。k 。m , 1 8 是g r i m t h s 正的，即( m ，u ) 满足曲率条件( q ) ，即满足 定理0 0 8 的条件。另外，如果令8 0 是满足条件的8 的严格上界，可以证明s 0 只和 流形m 的维数有关。 推论0 o 1 0 如果，：c n p 关于标准度量是有界2 s 一失真的全纯映 射，0 8 丑导，那么，是常值映射，并且丑笋是精确的。 要证明这个定理，首先我们知道复映射空间p 是紧的k 五h l e r 流形，并且是 连通的，所以它是完备的k i i h l e r 流形。并且当0 8 丑导时，妒关于f u b i n i - s t u d y 度量u f s 是满足曲率条件( q 。) 的，所以厂满足定理o 0 8 的条件，故厂是常值 映射。 然后我们考虑一个特殊的例子f ( z 1 ，z n ) = 1 ，z ，】，通过计算得到 它关于c n 上的欧几里德度量地= 二i d z iad 手， i l k _ j ：的f u b i n i s t u d y 度 量叫f s ，是有界( n + 1 ) 失真的，并且对任意的o s 丑尹，厂都不是有界2 s 一失真 的。所以丑导是精确的。 6流形问有界失真映射和调和映射的研究 在这几个定理的证明过程中，我们用到了b o c h n e r 技巧。第三章里，我们在 那些切丛上具有任意度量联络( 比l e v i , c i v i t a 联络更一般) 的紧的h e r m i t i a n 流 形( 可能是非全纯的) 上，把b o c h n e r 技巧推广到了h e r m i t i a n 复向量丛上，并用 它研究了调和函数的解析性，主要得到了以下三个结果( 文献【】) ： 定理o 0 1 1 设v 是h e r m i t i a n 流形( m ，u ) 的一个全纯切丛t 1 ，o m 上的度量联 络，v e 是h e r m i t i a n 复向量丛e 上的度量联络，于是就有 鑫，= 鑫7 + 4 = 7 0 1 ，一，儿】+ 4 - j v v 7 + v 7 v ，虬】 这里l 2 是( m ，u ) 上的度量，l ( o ) = ua ，儿是l ( ) 的伴随算子，e 1 ，1 是曲 率e e 的( 1 ，1 ) 部分。 b o c h n e r 公式最初是由b o c h n e r 定义在黎曼流形上的，然后给出了紧的k i h l e r 流 形和紧的k s h l e r e i n s t e i n 流形上的形式( 文献f1 ) 。要证明这个定理，我们知 道h e r m i t i a n 流形的全纯切丛上的度量联络v 可以分解为v = v 7 + v ，同 时协变微分算子v 也能推广到q ) 一形式上，记为寸，于是妒存在自然的分 解9 ：寺，+ 寺，通过计算得到h e r m i t i a n 流形上的b o c h n e r 公式。从这个式子也 可以看出，如果v 是对称的度量，那么 尘= 公7 + x f l - 了 0 1 1 儿】 定理o 0 1 2 令厂：( ，u ) _ ( m ，t o m ) 是紧的k 址l e r 流形( ，u ) 和紧的h e r m i t i a n 流 形( m ，_ m ) 之间的一个调和映射。如果行列式t 1 ，o o 厂+ ( t 1 ，o m ) 是n a k a n o 半正 定的，并且在一些点是正定的，那么，是全纯的。 这个结果说明了流形之间的调和映射的解析性质。要证明这个定理，首先 我们知道，是调和的，则公，5 厂= 0 。然后由定理o 0 1 l 得至u ( a 脑o f ，o f ) = 0 ，并且 在( 鑫石，石厂) 的展开式中，由于行列式t 1 , o no 厂( 丁1 ，o m ) 的n a l c a _ n o 半正定性， 得到寺5 ，兰0 ，最后根据它在一些点是n a k a n o 正定的以及a r o n s z a j n 原理，得 到5 厂三0 。 摘要 7 定理o 0 1 3 令厂：( ，u ) 一( m ，0 j m ) 是紧的k a h l e r 流形之间的调和映射。 如果m 的曲率张量是强半负定的，对于内一些r a n k r d f 4 的点p ，( p ) 是强 负定的，那么，全纯或者是反全纯函数。 这是s i u 通过分析调和函数的特征值得到的著名的刚性结果( 文献 】) ，他的证 明是非常复杂的。本文通过运用推广的b o c h n e r 公式极大地简化了他的证明。 关键词：有界失真，s c h w a r z z j i 理，l i o u v i l l e s 定理，k i h l e r 流形，b o c h n e r 公式， 调和映射，解析性 a b s t r a c t t h i sp h dt h e s i sf o c u so nt h eg e o m e t r ya n da n a l y s i sa s p e c t so fm a p p i n g s o fb o u n d e dd i s t o r t i o n sb e t w e e nm a n i f o l d s t h ec l a s s i c a ls c h w a r z p i c kl e m m a a n dl i o u v i l l e st h e o r e mh a v eb e e ng e n e r a l i z e dt om a p p i n g sb e t w e e nm a n i f o l d s w h i c hs a t i s 黟c e r t a i nc o n d i t i o n s s o m es c h w a r za n dl i o u v i l l et y p et h e o r e m so f m a p p i n g so fb o u n d e dd i s t o r t i o n sf r o mam a n i f o l dw h o s ec u r v a t u r ei sb o u n d e d f r o mb e l o wt ot h et a r g e tw h i c hi sn e g a t i v e l yc u r v e dh a v eb e e ns t u d i e dt h o r o u g h l y o u rt h e o r e m sc o u l db er e g a r d e da st h ee x t e n s i o no fl i o u v i l l e st h e o r e mf o rt h e p o s i t i v e l yc u r v e dt a r g e t s w h e nw o r k i n go ni t ，w eu s e dt h ef a m o u sb o c h n e r t e c h n i q u e s t h e nw eg e n e r a l i z e db o c h n e rf o r m u l a st oh e r m i t i a nm a n i f o l d sa n d g e ts o m ea n a l y t i c i t yo fh a r m o n i cm a p s c h a p t e r1o ft h i st h e s i so f f e r sp r e l i m i n a r i e so fo u rw o r k ，b e g a nw i t ht h e d e f i n i t i o no fb o u n d e dd i s t o r t i o no ng e o m e t r ya n da n a l y s i s s i n c ew eh a v ek n o w n t h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nq u a s i c o n f o r m a l i t ya n db o u n d e dd i s t o r t i o nf o rd i f f e o - m o r p h i s m sw h i c hm e d 2 2 st h e yh a v eb e e na l w a y ss t u d i e dt o g e t h e r ，w eg i v eo u ta b r i e fi n t r o d u c t i o no fc o n _ f o r m a lm a p p i n g s ，g c o n f o r m a ll i n e a rt r a n s f o r m a t i o n s ， a n dh a r m o n i ce q u a t i o n sf o rw e a k l yk q u a s ir e g u l a rm a p p i n g s t h e nw ei n t r o - d u c et h ed e v e l o p m e n to fb o u n d e dd i s t o r t i o n ，e s p e c i a l l yf o rg e n e r a l i z e ds c h w a r z l e m m aa n dl i o u v i l l e st h e o r e mr e c e n t l y , a n dm e n t i o n e dl i o u v i l l e st h e o r e mf o r w e a k l yq u a s ir e g u l a rm a p p i n g s t h e nw ed e s c r i b es o m ek n o w l e d g eo fc o m p l e x g e o m e t r y , w h i c hw i l lb eu s e di nt h i st h e s i s c u r v a t u r e so fh e r m i t i a nc o m p l e x m a n i f o l d s ，c u r v a t u r e so fh e r m i t i a nv e c t o rb u n d l e sa n di n d u c e dc o n n e c t i o n sa n d c u r v a t u r e sa r ea m o n gt h e m i nc h a p t e r2 ，w em a i n l yd i s c u s sm a p p i n g so fb o u n d e ds d i s t o r t i o nb e t w e e n m a n i f o l d s a n dt r yt of i n di ft h e r ee x i s tl i o u v i l l et y p et h e o r e m so ft h e s em a p - p i n g s t h em a p p i n g sw em a i n l ys t u d ya r ed e f i n e db y ： 1 0 流形问有界失真映射和调和映射的研究 d e f i n i t i o n0 0 1as m o o t hm a p p i n gf ：( m ，g ) 叫( n ，h ) b e t w e e no r i e n t e d n - d i m e n s i o n a lm a n i f o l d si ss a i dt oh a v eb o u n d e ds d i s t o r t i o n ( 0 o i nf a c t ，t h ec u r v a t u r ec o n d i t i o nh a sa g e o m e t r i ce x p l a n a t i o n i ti se q u i v a l e n tt o t h eg r i f f i t h sp o s i t i v i t yo fv e c t o rb u n d l eg = p n 固k 篙知w ek n o wf o ra n y c o m p a c tk 戋h l e rm a n i f o l dw i t hc l ( m ) 0 ，t h ea n t i c a n o n i c a ll i n eb u n d l e 蝻i s ap o s i t i v el i n eb u n d l e ，s ot h e r ee x i s ts o m es m a l l8 ( 0 ，n ) s u c ht h a tt h ev e c t o r b u n d l egi sg r i f f i t h sp o s i t i v e ，t h a ti st h ec u r v a t u r ec o n d i t i o nq 8c o u l db es a t i s f i e d l e ts ob et h el e a s tu p p e rb o u n do fs u c h8 i ti so b v i o u st h a t8 0d e p e n d s o n l yo nt h em a n i f o l dn t h e o r e m0 0 9l e tmb eac o m p a c tk 弛_ l e rm a n i f o l dw i t hc o m p l e xd i m e n s i o n na n do ( m ) 0 t h e nt h e r ee x i s t sak 五h l e rm e t r i cua n ds o m e8 0 ( 0 ，佗) s u c h t h a ta n yh o l o m o r p h i cm a p p i n g ，：c 竹叫( m ，u ) w i t hb o u n d e d2 s d i s t o r t i o n ， 0 8 0 ，t h e r ee x i s t sak i h l e rm e t r i cua n ds o m e8 ( 0 ，钆) s u c ht h a t ( m ，u ) s a t i s f i e s t h ec u r v a t u r ec o n d i t i o n ( q s ) t h e nw ec o u l dg e tt h e o r e m0 0 9e a s i l yb yt h e o r e m 0 0 8 c o r o l l a r y0 0 1 0i f ，：c n _ pi sa 2 s d i s t o r t i o n ，0 8 n + 2l ，w i t hr e s p e c t c o n s t a n t ，a n dn + 2 l i sa c c u r a t e h o l o m o r p h i cm a p p i n gw i t hb o u n d e d t ot h ec a n o n i c a lm e t r i c sit h e n i s s i n c et h ec o m p l e xp r o j e c t i v es p a c epi sac o m p a c ta n dc o n n e c t e dk 画h l e r m a n i f o l d ，w h i c hm e a n si t i sc o m p l e t e a n dw h e n0 s 丑笋，ps a t i s f i e s t h ec u r v a t u r ec o n d i t i o n ( q s ) w i t hr e s p e c tt of u b i n i - s t u d ym e t r i co ) f s s ob y t h e o r e m0 0 8 、 i sc o n s t a n t 。 t og e tt h eu p p e rb o u n do fs ，w ec h o o s eas p e c i a lc a s e ，：c 竹一p ，f ( z l ，锄) = 1 ，z l ，】b yf u n d a m e n t a lc o m p u t a t i o n ，w ef i n dt h a t ，i sb o u n d e d 佗+ 1 一 d i s t o r t i o nw i t hr e s p e c tt ot h ee u c l i d e a nm e t r i c = 、j d z 八彬o nc na n d f u b i n i s t u d ym e t i r co j f so np i nt h ep r o o fo ft h e o r e m0 0 8 ，w eu s e dt h ef a m o u sb o c h n e rt e c h n i q u e s i n t h et h i r dc h a p t e ro ft h i st h e s i s ，w eg e n e r a l i z et h e mt ot h ec a s eo fh e r m i t i a nc o i n - p l e x ( p o s s i b l yn o n - h o l o m o r p h i c ) v e c t o rb u n d l e s o v e rc o m p a c th e r m i t i a nm a n i f o l d w i t ha n ym e t r i cc o n n e c t i o n ( m o r eg e n e r a lt h a nt h el e v i - c i v i t ac o n n e c t i o n ) o i lt h e t a n g e n tb u n d l ea sf o l l o w s ： a sa p p l i c a t i o n s ，w ec o u l du s ei tt op r o v et h ea n a l y t i c i t yo fh a r m o n i cm a p s b e t w e e nc u r v e dm a n i f o l d s t h em o s tv a l u a b l ep a r to fo u rt e c h n i q u ei st h a tw e c o u l dd e a lw i t ht h ep o s i t i v e l yc u r v e dt a r g e t w eh a v e ( s e e 【 ) t h e o r e m0 0 1 1 vi sam e t r i cc o n n e c t i o no nt h eh o l o m o r p h i ct a n g e n tb u n - d l et 1 , 0 mo fah e r m i t i a nm a n i f o l d ( m ，叫) a n dv ei sam e t r i cc o n n e c t i o no nt h e h e r m i t i a nc o m p l e xv e c t o rb u n d l ee ，t h e nw eh a v e 鑫，：鑫，+ 、j 【e 1 ，a a + f ：- v v 7 + v 7 v ，屯】 w h e r ea ua d j 。i i l to p e r a t o ro fl ( ) = 。a w i t hr e s p e c t t ot h e 三2m e t r i co n ( m ，) a n de 1 ，1i st h e ( 1 ，1 ) p a r to ft h e c u r v t u r ee e b o d = l n e rf o r m u ：i aw a sf i r s tg i v e nb yb o c h n e rw h i c hw a sd e f i n e do nr i e m a n - n i a nm a n i f 6 1 d s ，a n dl a t e rs i m i l a rf o r m u l a sd e f i n e do nc o m p a c tk s h l e rm a n i f o j d s a n dc o m p a c tk s h l e r - e i n s t e i nm a n i f o l d s ( s e e 】) w e r eg i v e n t op r o v e t h i st h e 伊 r e m f i r s tw ek n o wt h a ta m e t r i cc o n n e c t i o nvo nt h eh o l o m o r p h i ct a n g e n tb u n d 崦 t 1 ，o mo fah e 咖i t i a nm a i l i f 0 1 d ( m ，u ) h a sad e c o m p o s i t i o nv = v + v ”，a n d w ec o u me x t e n dt h ec o v a r i a n td i f f e r e n t i a lo p e r a t o rt o ，q ) f o r m s t h e nt h e r e e x i s t san a t u r a ld e c o m p o s i t i o n 寸= v 7 + v ，a n dc o n s e q u e n t l yb o c h n e r f o r m u l a o nh e r m i t i a nm a n i f o l d s m o r e o v e r ，i fv i sas y m m e t r i cm e t r i cc o n n e c t i o n t n e n w eh a v e 岔：鑫，+ 5 - 0 1 , 1 , 虬】 = 7 +虬j a sa na p p l i c a t i o no ft h ef o r m u l a s ，w eg e tt h ef o l l o w i n ga n a l y t i c i t yo fh a r - m o n i cm a p s ( s e e 】) ： t h e o r e m0 0 1 2 l e t ，：( ，u ) 一( m ，u m ) b e ah a r m o n i cm a pb e t 、e e na c 。m p a c tk i h l e rm a n i f o l d ( ，) a n da c 。m p a c th e r m i t i a nm a n i f o l d ( m ，m ) i fd e tt 1 ，o np ，+ ( t 1 ，o m ) i ss e m i n a k a n op o s i t i v ea n dp o s i t i v ea ts 咖ep o i 斌s ， t h e n i sh o l o m o r p h i c f i r s t ，i sh a r m o n i ci m p l i e s 鑫石，= 0 t h e nb yt h e o r e m0 0 1 1 明吁h ! * p a n s i o n 。f ( 世。一f ，o f ) ，s i n c et 1 ，。n 。+ ( 删m ) 1 ss e m i n a k a n 。，w eh a v e v a ，三 0 a tl a s ts i n c et 1 ，o n 圆广( t 1 ，o m ) i sp o s i t i v ea ts o m ep o i n t ，t h e n ，i sh o l o m o r - p h i ca n da r o n s z a j n sp r i n c i p l e s ，w eh a v e5 ，三0 。 t h ef 0 1 l o w i n gi st h ef a m o u sr i g i d i t yr e s u l to fs i u h ep r o v e di tb ya n a l y z i n g t h ee i g e n 试u e 8o ft h eh a r m o n i cf u n c t i o n sw h i c hw a sv e r yc o m p l i c a t e d ，a n dw e a b s t r a c t 1 7 c o u l dh i g h l ys i m p l i f yi tb yg e n e r a l i z e db o c h n e rf o r m u l a s ( s e e ；】) ： t h e o r e m0 0 1 3 l e t ，：( n ，u ) 叫( m ，w m ) b eah a r m o n i cm a pb e t w e e n c o m p a c tk i i h l e rm a n i f o l d s i ft h ec u r v a t u r et e n s o ro fm i ss t r o n g l ys e m i n e g a t i v e a n ds t r o n g l yn e g a t i v ea tf ( p ) f o rs o m ep o i n tp nw i t hr a n k r d f 4a tp ， t h e n i sh o l o m o r p h i co ra n t i - h o l o m o r p h i c k e y w o r d s ：b o u n d e dd i s t o r t i o n ，s c h w a r z l e m m a ，l i o u v i l l e st h e o r e m ，k a h l e r m a n i f o l d s ，b o c h n e rf o r m u l a ，h a r m o n i cm a p s ，a n a l y t i c i t y 第一章绪论 本章是后面两章内容的预备知识。我们首先在第一节介绍与有界失真映射 相关的定义，包括h o d g e , 算子，共形变换，g - 共形的线性变换，弘拟共形映射， 弱k 一拟正则映射等。同时介绍了有界失真映射在几何和分析上的发展，以及 它上面的推广的s c h w a r z p i c k 引理和l i o u v i l l e s 定理的现状，包括弱拟正则映射 的l i o u v i l l e 定理。黎曼流形和h e r m i t i a n 复流形上的弱k 拟正则映射的定义我们 将放在第二章。第二节主要讨论复几何的知识，包括黎曼流形上的近复结构，复 化的切丛与向量丛，h e r m i t i a n 复流形上的度量、联络与曲率，k 五m e r 流形上的度 量，h