（基础数学专业论文）三维minkowski空间中一般螺线的几何性质.pdf

摘要 作为四维m 砒| o w 始空间的子空间的三维m i n k o w 凼空间，由于其中存在三种不同 的向量，尤其存在光锥，使得它有着与欧式空间不同的性质，因此研究其中的特殊曲线 也有着很重要的实际意义据我所知，到目前为止对三维m i n k o w s k i 空间中的m i n l c o w s k i 一般螺线及构造方法并没有相关的论文对其进行定义和阐述 本篇文章主要研究在指标数为l 的3 维伪欧氏空间( 即三维m i n k o w s k i 空间) 中， 我们给出m 毗o w 蹦一般螺线的定义及它的等价定义，并给出平面曲线和m 址o w s l 【i 一 般螺线是如何相互构造得到的 关键词：达布型向量；m i i l l 【0 w s l ( i 一般螺线；奇点 a b s t r a c t a st l l es u b 。s p a c eo f f b u rd i m e n s i o n a lm i n l ( o w s l 【is p a c e ，t h et h 陀ed i m e n s i o n a lm 证k o w s k is p a c eh a v em a n yp r o p e r t i e sw h i c ha r ed i 髓r e n t 劬m t l i r e e d i l l l e n s i o n a le u c l i d e a n s p a c e ，s i n c ei th a st h r c el ( i n d so fd i f r e r c n tv e c t o r s ，a n dh a sm e1 i g h t c o n ee s p e c i a l l y t h e r c f o r e i tw i l lh a s t h ev e r yi m p o r t a n tp r a c t i c “s i g n m c a n c et 0s t u d yt h es p e c i a lc u r v ei ni t a sf 打a sik n o w ，t h e r c h a v e b e e nn 0p a p e r sw h i c hh a v ei n v e s t 培a t e dm i l l k o w s k ic y l i n “c a lh e l i xa n dm ec o n s 虹u c t i v e m e t l l o d o f i ts o 缸 i n t h i sp a p e l o u rm a j o rs t u d yi st 0g i v et h ed e 矗n i t i o no fm i n k o w s 虹c y l i n d r i c a lh c n x a n di ni n d i c a t o r sli nt h r e e d i m c n s i 伽a lp s c u d o e u c l i d e a ns p a c e ( t h a ti s 。 t h r e e - d i m e n s i o n a l m 赫s k is p a c e ) ， 强ds 恤d ym ed 娟n i t i o no fe q u i v a l e n c eo fm i n k a w s k ic y i i n d r i c “h e 1 i x ，a n d 窖i v et h ec o n s t m c t i v em e t h o do f p l a n e c u r v ea n dm i i l l ( d w s k ic y l i n d r i c a lh e l i xe a c h 0 t l l e l t h a ti sh o wt 0u s eo n et oc o n s 缸1 l c ta n o t h e l 融 v o r d s ：d a r b o u xt y p ev e c t o r ；m i n k o w s k ic y l i n d r i c a lh e l i x ；s i n g l l l a r i t i e s i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致 谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果， 也不包含为获得东北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：壹生左宰日期：垒! 量：列 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位 论文的规定，即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机 构送交学位论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人 授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编 学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：垂量字指导教师签名： 日 期：型丘s ：2 胴 期： 学位论文作者毕业后去向 工作单位：玉盔望坠圣盘至 通讯地址： 电话： 邮编： 数y 弓 型! 芏：呈 1 引言 奇点理论是分析学科中的个新分支，它是处在分析，微分拓扑，微分几何，交换代 数与李群以及微分方程等数学学科交汇处的一们学问，又在诸多领域如微分方程，震荡 积分，动力系统，分歧理论中等学科中有很广泛的应用随着理论的深入发展，奇点理论 在微分几何方面也有突出的应用，包括对各种非欧几何空间的微分学进行的研究。将各 种不同空间的曲线或曲面按奇异性进行分类，得到与欧氏空间不同的结果m i n k o w s h 几何为爱因斯坦的狭义相对论提供了数学上的理论模型，尤其四维m i n k o w s k i 空间更 有着很强的物理背景，作为四维m i n k a w s k i 空间的子空间，研究三维m i n l ( 0 w s k i 空间 中可展曲线和可展曲面的性质，以及可晨曲线和可展曲面的关系，并对三维m i n k o w s k i 空间中可展曲面进行分类，也有着很重要的实际意义 在欧氏空间中，有一些关于对曲线和曲面的奇点分类研究文章，在【2 0 】中，研究了 柱面螺线和贝特朗曲线的通有性质文章证明了柱面螺线可由平面曲线构造，见特朗曲 线可由球面曲线构造，并且这种构造是一一对应的因此，平面曲线和球面曲线的性质 就分别和柱面螺线和贝特朗曲线的性质联系了起来并且作为有关平面曲线的奇点定 理的应用，文章给出了贝特朗曲线的达布可展曲面的奇点分类前几篇文章都是与曲线 有关的奇点分类在【l l 】中给出了直纹面的通有奇点之前已有已有若干文章研究了各 种类型可晨曲面的奇点分类，简而言之，可展曲面的奇点类型有三类，分别是尖点边， 尖点交叉套和燕尾在【2 1 】中研究了在n 维空间中高维子流形的局部微分性质通过局 部性质的研究来确定在欧氏高维空间中的奇点的分类及性质在 2 6 】【2 7 中讨论了在欧 氏空间中映射的奇点分类及子流形问切触的实质含义，并且讨论了在此基础上两子流 形切触程度与奇点问的联系在 1 9 中给出了三维欧氏空间中斜螺线与锥面测地线的 定义，并给出了以它们作为 1 9 i 地线的可展曲面的分类以上是在欧氏空间所作的工作 对于m j i l l ( o w s k i 空间，在 6 7 中介绍了类时曲线和类空曲线的性质在 3 0 】中介 绍了非类光曲线l o i r e n t z i a n 高度函数和l o i r c n t z i a i i 距离函数，定义了副法线标型和非 类光曲线的焦可展曲面，并且建立了两类曲面的奇点和曲线在l o l ”n t z i a n 群作用下的几 何不变量之间的联系在【l8 】中定义了三维m i n k o w s k i 空间中的光锥高斯映射光锥垂足 曲线和类空曲线的光锥可展曲面，同时详述了光锥可展曲面的奇点和曲线在l 0 1 r e n t z i a i l 群作用下的几何不变量的关系在以上论文的基础上，本文在三维m i l l k o w s k i 空间中定 义了m i l l k o w s k l 一般螺线，它是三维欧氏空间中一般螺线概念的推广，给出这种曲线 所特有的性质 在2 中，我们给出三维m j l l l c o w s k i 空间中的基本概念和性质在3 中，我们给出 m i n k o w s k i 般螺线的定义，并给出曲线f 作为m l n k a w s k i 般螺线的等价定义在4 中，给出三维m i n k o w s k i 中平面曲线和一般螺线相互构造的方法，并加以具体证明 中，给出三维m i l l k o w s k i 中平面曲线和一般螺线相互构造的方法，并加以具体汪明 2 三维m i n k o w s k i 空间中的基本概念和性质 设r 3 = l ( x l ，托，奶) l 札勋，码e 埘是三维向量空间对于只3 中的任意两个向量 z = o l ，托，x 3 ) ，y = ( y i ，妇，乃) ，x 与y 的伪数量积定义为 = 工l j ，i + 撇+ z j ) ( r 3 ， ) 称为三维伪欧式空间或三维m h l k d w s h 空间，通常我们记啤3 ， ) 为月； 对任意的x = ( x l ，犰，物) ，y = ( y l 兕，如) r ；，x 与y 的伪向量积定义为 卜p l 龟旬i x y = ix 1 x 2x 3l = ( 一( z 2 y 3 一x 3 ) 乜) ，x l x l ，工l j 乜一x 2 y i ) l y i此乃l 对于x 眉，如果 o ， = o 或 o ， = o 或 o ，则我们分别称亍 为空间型曲线、光型曲线和时间型曲线如果y 是时间型或空间型曲线，则我们称y 为 非光型曲线以y ( f o ) ( f o i ) 为始点的非光型曲线，的弧长为 。( ，) ：h 衲l i 卉 j m 这样亍的弧长参数s 由ij 7 0 ) i | = l 确定其中亍怡) = 宝( s ) ，所以我们说非光型曲线亍 由弧长参数化，如果l i 亍( s ) i b1 在本文后面部分，如无特别说明，我们记s 为空间曲线的弧长参数，蓝线皆为非光 型曲线 我们记f ( 曲= y ( s ) ，称t ( s ) 为曲线亍在点s 的单位切向量 定义曲率( j ) = ：i 砑两了i 两习如果x ( j ) o ，那么曲线7 在点s 的单位主法向量 n ( s ) 由y ”( j ) = k ( j ) n ( s ) 给出记s ( “5 ) ) = s t 即( f ( 曲) ，6 ( y ( s ) ) = s 瞎印( ”( s ) ) 称单位向 量6 ( 审= ，( 曲 n ( s ) 为亍在点s 的单位副法向量我们有如) 月( j ) = 6 ( s ) ，6 ( s ) f ( 曲= 一曲，( 0 如，疗( j ) 6 ( 0 = 一d 0 ( s ) ) “j ) 那么下面的f r c n e t s e 玎c t 型公式成立： if 7 ( s ) = h j ) ”( 5 ) ( j ) = 一8 0 ) d ( ( s ) f ( 0 + o ) t ( s ) 6 ( 曲 i6 ( j ) = 下( j ) 以( 5 ) 称。( s ) = 一s 川咖( s ) + 觑6 ( 曲为达布型向量，则。( d = i ：f 孤称烈s ) = 尚 。 。，- c = c a ，。，c ，= ll ；萎萎i c a a ， c = c 。c ，口一c a c ，a 6 ) ( c 回：蚓 6 ) ( c 删娟6 州吨6 c ) 。 = 瞥 r 刊器 3 3 三维m i n k o w s k i 空间中一般螺线的定义及其等价定义 我们在三维m i n k o w s k i 空间定义新的睦线如下 定义2 1 亍：，+ 醚为一正则空间曲线，其中k ( 曲o 如果切向量f ( 曲与一常向 量a 的数量积 = 常数，则称议0 为m i n k o w s k i 一般螺线 命题2 1 亍：一眉( k ( 0 o ) 是一非光型曲线，那么以下命题等价 ( 1 ) 曲线亍：，一眉( ( s ) o ) 是m i i l k o w s k i 一般螺线 ( 2 ) 主法线与固定方向垂直，即 = o ，其中n ( s ) 是亍的单位主法向量，a 是一固定向量 ( 3 ) 副法向量与常向量的伪数量积等于常数，即 = 常数，其中6 ( s ) 是亍 的单位副法向量 ( 4 ) 6 ：( j ) = 常数 证明( 1 ) j ( 2 ) 由m i n k o w s k i 一般螺线的定义，存在一常向量a ，使得 = 常数 那么 = + = o ， 从而有 c 最井，= 。，从而有 嶂 钏= i 如( f ) j 讵5 再习， 喊，) f j 3 = 爪了研= 正丽i 两，：妒雨，这样 = 等雾= 器m 一峨眦一，期 t c 。= a 锵，这样a ：= 訾= c 又由于占为平面曲 线，所在平面的单位法向量，即 = 0 ，从而由闵氏一般螺线的等价命题，有 = 常数，这样6 ；= 常数，从而亍为m i n k o w s k i 一般螺线 反过来，设，( s ) 为单位速度闵氏一般螺线，在这种情况下，球面达布型象反s ) 是 常向量，我们记矗：反s ) ，由于6 1 ：常数，从而存在一个常数c ，使得t ( s ) ：c 撕考虑 k 曲线认曲= 亍o ) 一 目a 其中h = s 曾 ( 回 4 由于 = 箐并= 簪并= s 高 6 1 对于i c l l 由 = 哥= 南= 志 ( 。o ) 腑 触孙2 志5 圳：i l 二 o ，即日= 1 ，这时 如= 乒孬= 志 跖 y ( s ) 一( c r i i ，( 丁) i i 由) 橱= 认5 ) 一 a 一( c r l l ，( 丁) i i 打) a = 亍( s ) + 意占一c s 击a = 于( s ) 当e = 一l ，6 = l 时，也有 0 ，即q = 1 ，这时有 非丽= 志 _ y ( o 一( cj foy ( t ) i i 打) 彬= 于( s ) 一 a 一( cj f l y ( t ) | | d r ) a = 于( s ) + 巷a c s 志矗= 于( s ) ( 2 ) 当= l ，6 = 1 时，有 1 ，仍有 亍( 3 ) ，a 2 习高。 y ( s ) = ( 1 ) 对于s = l ，6 = 一1 及s = 1 ，d = l ，有q = l 当s = l ，6 = 一1 时， ，( s ) l i _ j l 一南i = 击 7 m ) 一犯r ，一州稠= 沁) 一 亍( j ) ，拈奇一( c r ，( t ) i | 卉) a = 似) + 请a 一。击a = 亍( o 当s = 1 ，6 = 1 时， y ( 曲一( c r i i ，( t ) i i 祖= 亍( s ) 一 于( j ) ，如子一( c r i y ，( 丁) l i 卉) a = 亍( s ) + 话a c j 击a = 议s ) ( 2 ) 对于s = 一1 ，占= 1 时，有 = 一1 0 ，即”= 一1 所以有 例= 扩百再= 击从而 “o 一( c r ( 丁) 啪徊= 亍( j ) + a + ( c r i | ，( 丁) i i 啪a = 亍( j ) 一志a + c s 击a = “s ) 3 对于h = l ，即c = 1 则d ：= 士l ，从而r = 士妇这时 d ( 0 = s 6 ( 占一雨，i i d ( s ) i l _ 圻f = 丽= i ：f = 丽从而6 = l 时，d ( s ) 为光向 量，不予考虑故只有6 = 一l ，从而s = 1 ，即t = 千又由于 o ，即町= 1 ，所以有 = 妨南s = 干萼j 及l i ，( s ) = i 雨= 孚这样 y ( s ) 一( c f l i ，( t ) | | 卉) 彬= 亍( j ) 一 a 一( c r | jy ( 丁) l l 啪舀= 于( s ) 芋s a c s 孚a = 亍( s ) 土芋s a 干孚蚶= 亍( s ) 后记 本篇论文对指标数是1 的三维伪欧式空间中的非类光曲线进行了研究，给出m i n k w 出i 一般螺线的定义，研究其具有的性质 作为非欧几何的分支，由于m i n k s “几何是在l 0 r c n t z i a n 变换群下保持几何性质 不变的一门科学，这使得它与欧式几何有很大的不同，其上存在着三种类型的向量即 类空、类时和类光向量，并且根据曲线切向量属于不同的向量类型，把其中的曲线又分 为类空曲线、类时曲线和类光曲线本文只对其中的非光型曲线进行进行了研究，对于 类光曲线由于切向量的模长为零，以及光锥上的向量的模长为零使得它们有着很特殊 的性质，所以用奇点理论对类光曲线，光锥以及和它们有关的曲面的研究，更具有吸引 力，这也是我今后发展的一个方向，另外对指标数大于i 的更高维数的伪欧式空间的 曲线和曲面的奇点分类，也有着很大的研究空间 曲线和曲面的奇点分类，也有着很大的研究空间 9 参考文献 1 】j w b m c ea n dp j g i b l i n ，c u n ，e sa n ds i n g i l l a d 6 e s ( 2 n de d ，) ，c a m b d g eu n i v p r e s s ( 1 9 9 2 ) 7 8 【2 】j w b n l c e ，o ns i n g u l a t i e s ，e n v e l o p e s a n d e l e m e n t a r y d i 开e 化n t i a l g e o m e 蚵，m a m p r o c c a m b d g c p h i l o s s o c 8 9 ( 1 9 8 1 ) ，4 3 4 8 3 1 vi a m o l d ，s m g u s e i n z a d ea n dan v h r c h e n k o ，s i n g u l a d e so f d i f f e 代n 蛀a b i cm a p sv o li ，b i r k h a u s e r ( 1 9 8 6 ) 4 1 j w b m c e 柚d p j g i b l i n ，g e n e cc u r v e sa n ds u r f a c c ，j l o n d o n m a t hs o c2 4 ( 1 9 8 1 ) ，5 5 5 5 6 1 【5 】tb 柚c h o 行，一0 a 骱e ya 1 1 dc m c c r o 吼c u s p so f g a u s sm a p p i n g sr e s e a 亿hn o t e si i im a t - l e m a t i c s5 5p f m ，l o n d o n ( 1 9 8 2 ) 【6 】裴东河，孙伟志，金应龙三维m j n k o w s k i 空间内的时间曲线脚东北师大学报( 自然科学版) ， 2 0 0 0 ，3 2 ( 4 ) ：2 5 3 3 【7 裴东河，孙伟志，帕提古丽三维m i n k o w s k i 空问内的空间型曲线【j 】东北师大学报( 自然科学 版) ，2 0 0 4 ，3 6 ( 3 ) ：1 9 8 】d b l e e c k e ra n dlw i l s o n ，s t a b i l i t yo f g a u s sm a p sl i n o i sj m a t h2 2 ( 1 9 7 8 ) ，2 7 9 2 8 9 9 】李养成，光滑映射的奇点理论，北京，科学出版社，2 0 0 2 【l o 】si z l l m i y a ，nt a k e u c h i ，n e ws p e c i a lc u n ，e sa n dd e v e i o p a b l es u 而c e ，h o k k a i d ou n i v c r s 时p r e p n ls e e s i nm a t h e m a t i c s 【1 1 s 1 z u m i y a ，s i “g u l a t i e s o f m l e ds u r f a c e i n ，m a t hp r o c c a m b p h i ls o c ( 2 0 0 1 ) ，1 3 0 1 【1 2 】rcr o m e m - f u s t e ra n des a n a b r i a c o d e s a l ，o nt h e 日a tr i d g e so fs u b m a n i f o l d so fc o d i m e n s i o n2l n ，口r o c e e d i n g so f l h er o y a ls o c i t yo f e d i n b u 喑h ，1 3 2 a ( 2 0 0 2 ) ，9 7 5 9 8 4 1 3 】t h o m a sec e c i l ：l i es p h e r e g e o m e t r y w i l h a p p i i c a t i o n s t os u b m a n i f o i d s 【1 4 】s l z u m i y a ，d h p e ia n dt s a n o ，t h e l i 曲t c o n e g a u s s m a pa n d t h e l l g h t c o n ed e v e l o p a b l eo f as p a c e 【i k e c u r v ei nm i n k o w s k i3 一s p a c e ，g i a s g o wm a c h j ，4 2 ( 2 0 0 0 ) ，7 5 8 9 【1 5 】si z u m i y a ，mk o s s o w s k i ，dp e ia n dmc r o m e r of u s t e r ，s i n g u l a r i t l e so fl 培h t l i k eh ”e r s u r f a c e si n m i n k o w s k i4 一s p a c e ，p r e p f i n t 【l6 】si z u m l y a ，dp e j ，t h c1 1 曲t c o n eg a u s sm 8 po f al o r e n t z l a n3 s u b m a n i f o l d i ns e m i e u c l i d e a n 5 s p a c e ( 2 0 0 3 ) 【l7 】cle p s t e i n ，t h eh y p e r b o i i cg a u s sm a pa n dq u a s i c o n f o r m a lr e n e c t i o n s ，jr e m ea n g e w em a i h ，3 7 2 ( 1 9 8 6 ) ，9 6 一l3 5 i8 ip o r t e o u s ，t h en o r m a ls m g u l a t i e so fs u b m a n i f o i djd i f fg e o m ，v o l5 ，( 1 9 7 1 0 ，5 4 3 5 6 4 【1 9 si z u m i y a ，dp e ia n dmcr o m e r 0f u s t e ra n dmt a k a h a s h l m ，o nt h eh o r o s p h er i c a i “d g e so f s u b m a n j f o l d s o f c od i m e n s i o n2i nh y p e r b o l i cn s p a c e ( 2 0 0 3 ) 2 0 】s i z u m l y a ，nt a k e u c h i ，g e n e r i 。p r o p e n i e s o f h e l l c e sa n d b e n r a n dc u r v e s ，j g e o m7 4 ( 2 0 0 2 ) 9 7 1 0 9 【2 l 】ja l 卅l e ，o ns i n g u l a t i e so fs u b m a n i f o l d so f h i g hd l m e n s i o n a le u c l i d e a ns p a c e ，a n n a i i m a tp u r ae t a p p l ( s e l 4 a ) ，8 3 ( 1 9 6 9 ) ，2 6 卜3 3 6 【2 2 】裴东河，孙伟志近晶液晶相变的突变模型【j 】液晶通讯，1 9 9 22 3 2 6 【2 3 裴东河，李向彤，孙伟志近晶型液晶相变的尖点突破模型 j 】液晶与显示，1 9 9 8 ，l3 ( 2 ) ：8 6 9 l 【2 4 】jm an i n g u l a r i t i e so fs m o o t hf u n c t i o n sa n dm a p s ， l o n d o nm a t hs o cl e c t u r en o t es e r l e s ，c a m b r i d g e u n i vp r e s s ，5 8 ( 1 9 8 2 ) 【2 5 】jn m a t h e ls t a i n e t ，s b t yo f m a p p j n g si v ：c i a s s i