（基础数学专业论文）一类超线性薛定谔方程的正负解和变号解.pdf

曲阜师范大学硕士学位论文 曲阜师范大学硕士学位论文原创性说明 本人郑重声明s 此处所提交的硕士论文一类超线性薛定谔方程的正负解和 变号解，是本人在导师指导下，在曲阜师范大学攻读硕士学位期间独立进行研 究工作所取得的成果论文中除注明部分外不包含他人已经发表或撰写的研究成 果对本文的研究工作做出重要贡献的个人和集体，均已在文中已明确的方式注 明本声明的法律结果将完全由本人承担 作者签名：杨砉涿日期：2 。0 乒p 曲阜师范大学硕士学位论文使用授权书 一类超线性薛定谔方程的正负解和变号解系本人在曲阜师范大学攻读硕 士学位期间，在导师指导下完成的硕士学位论文本论文的研究成果归曲阜师范 大学所有，本论文的研究内容不得以其他单位的名义发表本人完全了解曲阜师 范大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门送交论文的 复印件和电子版本，允许论文被查阅和借阅本人授权曲阜师范大学，可以采用 影印或其他复制手段保存论文，可以公开发表论文的全部或部分内容 作者签名。枷素孙日期；汐d 乒口 导师签名：紊修霞 日期。秒卜，胁 曲阜师范大学硕士学位论文 一类超线性薛定谔方程的正负解和变号解 摘要 随着科学技术和数学基础理论的不断发展，各种各样的非线性问题日益引起 人们的广泛关注，非线性泛函分析已成为现代数学中的重要研究方向之一因其 能很好的解释自然界各种现象而受到了国内外数学界和自然科学界的重视，近年 来人们对非线性泛函分析的研究得到了一些新成果人们对数学物理和数学生物 等领域的研究也取得了相当大的进展，非线性s c h r s d i n g e r 方程来源于数学物理， 数学生物，物理学等学科，是目前对微分方程的研究中较为活跃的领域之一，而 这类方程正负解和变号解的存在性问题又是近年来讨论的热点 本文利用下降流的不变集，临界点理论，极大极小方法等，研究了一类超线 性s c h r & l i n g e r 方程( 只) 正负解和变号解的存在性问题 i a u + v x ( z ) 牡= f ( x ，u ) ，。、 1 “曰( 以 本文共分为三章： 在第一章中，讨论( 最) 变号解的存在性问题，我们减弱了f ( x ，t ) 连续的条 件，研究的方程更具有一般性应用不变集方法和对称临界点原理，在口和，的 一些假设下，当a 0 充分大时，我们得到了( r ) 的无界径向变号解序列当 = 4 或n 6 ，入 0 时，应用喷泉定理和对称临界点原理我们得到了( 只) 的 无界非径向变号解序列 在第二章中，a 和，满足的条件与第一章类似，但是我们通过构造不同的 锥来讨论( r ) 变号解的存在性问题应用不变集方法和临界点理论，我们得到了 ( 只) 的无界变号解序列如果妇r n , 铲在冗上是非减的，我们讨论了变号 解u 南的结点域的个数，得到变号解u 至多有惫+ 1 个结点域 在第三章中，我们讨论了( 最) 正负解的存在性问题应用不变集方法和临界 点理论，结合相应算子的特征值问题，当入充分大时，我们得到了方程( 最) 的一 个正解和一个负解 本文的创新点是： 与一般研究超线性s c h r & l i n g e r 方程在r 中正负解和变号解的存在性的文 章相比，我们减弱了f ( x ，u ) 连续的条件，研究的方程更具有一般性 a b s t r a c t a l o n gw i t hs c i e n c e sa n dt e c h n o l o g y sd e v e l o p m e n t ，v a r i o u sn o n l i n e a rp r o b - l e mh a sa r o u s e dp e o p l e sw i d e s p r e a di n t e r e s td a yb yd a y , a n ds ot h en o n l i n e a r a n a l y s i sh a sb e c o m eo n eo fi m p o r t a n tr e s e a r c hd i r e c t i o n si nm o d e r nm a t h e m a t i c s b e c a u s ei tc a nw e l le x p l a i nv a r i o u sn a t u r a lp h e n o m e n o n ，8 0 ，t h em a t h e m a t i c a l w o r l da n dt h en a t u r a ls c i e n c ew o r l dp a ym o r ea t t e n t i o nt ot h en o n l i n e a rf u n c - t i o n a la n a l y s i s t h e yh a v eo b t a i n e ds o m en e wr e s u l t sf o rm a t h e m a t i c a lp h y s i c s m a t h e m a t i c a lb i o l o g ya n dp h y s i c s ，f r o mw h i c ht h en o n l i n e a rs c h r s d i n g e re q u a - t i o ns t e m s i tb e c o m e sav e r yi m p o r t a n td o m a i no fd i f f e r e n t i a le q u a t i o nr e s e a r c h a tp r e s e n t ，a n dt h ee x i s t e n c eo fs i g n e da n ds i g n - c h a n g i n gs o l u t i o n sf o rt h i sk i n d o fe q u a t i o ni sa l s ot h eh o ts p o tw h i c hh a sb e e nd i s c u s s e di nr e c e n ty e a r s i nt h i sp a p e r ，w eu s et h ei n v a r i a n ts e t so fd e s c e n d i n gf l o w ，c r i t i c a l p o i n t t h e o r ya sw e l la sm i n i m a xm e t h o d st os t u d yt h ee x i s t e n c eo fs i g n e da n ds i g n - c h a n g i n gs o l u t i o n sf o rs u p e r l i n e a rs c h r s d i n g e re q u a t i o n ( 只) - h 日u 。+ 。j y x ，( x ) u = ，( z u ) t h et h e s i si sd i v i d e di n t ot h r e ec h a p t e r sa c c o r d i n gt oc o n t e n t s i nc h a p t e r1 ，i ti sc o n c e r n e dw i t ht h ee x i s t e n c eo fs i g n - c h a n g i n gs o l u t i o n s f o rt h i sk i n do fe q u a t i o n ( r ) w eh a v ew e a k e nt h ec o n d i t i o nt h a t ( x ，u ) i s c o n t i n u o u s ，a n dg e n e r a l i z et h ee q u a t i o nw en o ws t u d y a p p l y i n gt h ei n v a r i a n t s e tm e t h o da n dt h ep r i n c i p l eo fs y m m e t r i cc r i t i c a l i t y , u n d e rs o m ea s s u m p t i o n s o naa n d1 、w eo b t a i na nu n b o u n d e ds e q u e n c eo fr a d i a ls i g n - c h a n g i n gs o l u t i o n s f o rt h ee q u a t i o n ( r ) i n ( r ) w h e n 入 0 l a r g ee n o u g h a sn = 4 o rn 6 ， a 0 g i v e n u s i n gf o u n t a i nt h e o r e ma n dt h ep r i n c i p l eo fs y m m e t r i cc r i t i c a l i t y , w ep r o v et h a tt h e r ee x i s t sa nu n b o u n d e ds e q u e n c eo fn o n - r a d i a ls i g n c h a n g i n g s o l u t i o n sf o rt h ee q u a t i o n ( r ) i n ( 掣) i nc h a p t e r2 ，u n d e rt h es i m i l a rc o n d i t i o n so fc h a p t e r1 ，w ec o n s i d e rt h ee x i s - t e n c eo fs i g n - c h a n g i n gs o l u t i o n sf o rt h i sk i n do fe q u a t i o n ( r ) w i t hc o n s t r u c t i n g c o n e sd i f f e r e n tf r o mc h a p t e r1 u s i n gt h ei n v a r i a n ts e t so fd e s c e n d i n gf l o wa n d c r i t i c a lp o i n tt h e o r y , w eo b t a i na nu n b o u n d e ds e q u e n c eo fs i g n - c h a n g i n gs o l u - t i o n sf o r ( r ) f o re v e r yz r ，瞥i sn o n d e c r e a s i n go nr ，w ec a ne s t i m a t e 1 t h en u 珈l b e ro fn o d a ld o m a i n so fe v e r ys i g n - c h a n g i n gc r i t i c a lp o i n t ，u n d e rs o m e a s s u m p t i o n s ，u kh a sa tm o s t 七十1n o d a ld o m a i n s i nc h a p t e r3 ，u s i n gt h ei n v a r i a n ts e t so fd e s c e n d i n gf l o w a u sw e l la sc r i t i c a l p o i n tt h e o r ya n dc o m b i n i n gw i t hc o r r e s p o n d i n ge i g e n v a l u ep r o b l e m ，w ec o n s i d e r t h ee x i s t e n c eo fs i g n e ds o l u t i o n sf o rt h i sk i n do fe q u a t i o n ( r ) ，a n do b t a i n a p o s r i v ea n dan e g a t i v es o l u t i o nf o r ( r ) w h e n 入 0l a r g ee n o u g h t h ei n n o v a t i o no ft h i sp a p e ri sa sf o l l o w s ： t h i sd a p e rh a st h ea d v a n t a g et h a tw ed on o tn e e dy ( z ，u ) t ob ec o n t i n u o u sa s i nm o s tp a p e r so ns i g n e da n ds i g n - c h a n g i n gs o l u t i o n sf o rs u p e r l i n e a rs c h r s d i n g e r e q u a t i o n ( r ) ，a n dw ei n v e s t i g a t em o r eo r d i n a r ye q u a t i o n i nt h i sp a p e r k e y w o r d s ：s c h r 6 d i n g e re q u a t i o n ；i n v a r i a n ts e t so fd e s c e n d i n gf l o w ；c r i t i c a l p o i n tt h e o r y ；m i n i m a xm e t h o d s ；s i g n e ds o l u t i o n s ；s i g n - c h a n g i n gs o l u t i o n s ；( 尸s ) c o n d i t i o n 曲阜师范大学硕士学位论文 目录 第一章 超线性s c h r s d i n g e r 方程在尺中变号解的存在性1 1 1 引言1 5 1 2 预备知识1 1 3 主要结果8 第二章 超线性s c h r s d i n g e r 方程在兄中的变号解及结点域1 3 5 2 1 引言1 3 5 2 2 预备知识1 4 2 3 主要结果1 7 第三章 超线性s c h r s d i n g e r 方程在r 中正负解的存在性2 0 3 1 引言2 0 3 2 预备知识2 0 3 3 主要结果2 5 参考文献2 7 在校期间完成的论文3 0 致谢3 1 本章主要研究下面s c h r 5 d i n g e r 方程 一簟掣一，( q 岫 ( 1 1 ) 【u 日1 ( ) p 一7 的变号解的存在性问题，这里的玖( z ) = a a ( x ) + 1 在文 8 】中，作者讨论了y ( u ) 是渐近线性项时( 1 1 ) 的解，当入 0 充分大时，他们得到了( 1 1 ) 的一个正解 另外，当f ( u ) 是奇函数时，又得到了( 1 1 ) 的无穷多个解在文 1 1 】中，结合不 变集方法和极大极小方法，在，( z ，让) 的某些假设下，当入 0 充分大时，( 1 1 ) 的无穷多个变号解的存在性得以证明在文 9 】中，无穷多径向解( 非径向解) 的存在性也得到证明 本章中我们主要讨论( 1 1 ) 的无穷多径向变号解和非径向变号解的存在性，方 法很大程度上是受文 5 的启发在r 中，嵌入日1 ( 冗) ql p ( r ) ，2 p 2 + 不是紧的，考虑紧嵌入珊f 1 ( 冗) ql p ( r ) ，2 p 0 充分大时，利用不变集方法得到酩( r ) 中泛函的无穷多变 号临界点，再由对称临界点理论，当入充分大时，我们得到( 1 1 ) 的无界径向变 号解序列当n = 4 或n 6 时，利用喷泉定理和对称临界点理论，得到( 1 1 ) 的无界非径向变号解序列 1 2 预备知识 在本章中，定义： 风= 缸h 1 ( 胪) l ( i w l 2 + 坛( z ) 乱2 ) d x 2 ，使得 p f ( z ，t ) t f ( x ，t ) ，比r g , t r ， 这里，f ( x ，t ) = 片f ( x ，s ) d s ， ( h 3 ) j 风 0 ，使得 i n ff ( x ，) 0 ， i t l r o 。7 ( h 4 ) j r o 一 0 f ( x ，亡+ ) ， ( h 5 ) ，( z ，) = o ( i t l ) ，当l t i _ 0 ， ( h 6 ) 厂( z ，- t ) = - f ( z ，t ) 定义： p + = u xi 让 t 一) ， p 一= ( 乱xl 让 0 ，e 0 0 ，使得 a a ( 札( p 士) ) c 札( 尸士) ，a a t ，0 0 ：6 0 ，使得对几乎所有的z r ，当乱 t 一一6 ， a a 1 ，都有 ，( z ，乱) + 入o ( z ) ( u t 一) 0 令 q = z r i 乱( z ) t 一一6 ) ， 由( a 1 ) ，( h 1 ) ，( h 5 ) 和h s l d e r 不等式，v a h i ， l i ( 口一一) 一1 1 2 ( 厂( z ，“) + a o ( z ) ( u 一亡一) ) ( 一t 一) 一d z ( c t ( 1 u i + i 训p 一1 ) + c l i u 一亡一1 ) i ( 口一亡一) 一i d x ( c 2 t u l p 一1 + c 2 1 u 一亡一i ) l ( u 一亡一) 一i d z c 3 l i ( u t 一) 一| l ；一1 l j ( u t 一) 一l l p c a l l ( u 一亡一) 一i l ：一1 i i ( u t 一) 一i i ， 3 那么，当a a 1 时， | o 0 ，0 0 ，u x ，j q l ：q 2 0 ， 使得 ( ( u ) ，u a a ( u ) ) a i i u a a ( u ) 1 1 2 ， l | 厶( u ) i i q z | f u a a ( u ) 1 1 证由( 1 2 ) 可得，v a 0 ，让x ， ，( z ，u ) = 一a a x ( u ) + v 2 a ( x ) a a ( u ) 一a a ( x ) u ( 1 3 ) 4 曲阜师范大学硕士学位论文 ( ( u ) ，i t a a ( u ) ) = ( v u v ( u a a ( u ) ) + 坛( z ) u ( u a a ( 札) ) ) d z j 兄 ， 一，( z ，乱) ( u a a ( 扎) ) 如 j r n r = i l u a j , ( u ) 1 1 2 + h ( z ) a a ( 钆) ( u a a ( 钆) ) d z d r “ ， 一( a ( z ) a a ( u ) 一a o ( z ) 札) ( u a a ( u ) ) 如 j r r = i i u a a ( u ) 1 1 2 + a a ( x ) l u a a ( u ) 1 2 d x ，r n q 1 j i u a a ( u ) 1 1 2 由( 1 3 ) 可得，v 入 0 ，u x ， 喊( u ) i i = s u p ( ( 也) ，u ) 1 1 ，1 1 = 1 c = s u p ( v u v w + 玖( z ) 伽一厂( z ，u ) w ) d x 1 1 u 1 1 = 1j r “ ， = s u p ( v ( u a a ( 乱) ) v “，+ k a ( z ) ( u a a ( u ) ) w ) d x 1 1 “，1 1 = 1j r “ s u pi i 钆一a a ( 让) i u l l + c 6s u pl l u a a ( 让) 1 1 2 i i u i l 2 1 1 u 1 1 = 11 1 u 1 1 = 1 a 2 | | 札一a a ( 乱) 引理1 2 3 ( 【1 3 ) 令x 是b a n a c h 空间，d 士是x 的闭子集，a 是x 上 的连续算子，i c 1 ( x ，r ) 令k = 0 ，使得 ( j 7 ( u ) ，让一a ( u ) ) a l i l u a ( u ) 1 1 2 ， i i l 7 ( u ) l i a , 1 l u a ( u ) l l ， 那么存在一个局部l i p s c h i t z 连续算子 b ：hx ， 满足 ( i ) b ( d 士) ci n t ( d 士) ， ( i i ) l l u b ( u ) l i 冬i l u a ( u ) i l 2 1 1 u b ( u ) i i ，v u x o ， 5 第一章超线性s c h r 5 d i n g e r 方程在r 中变号解的存在性 ( i i i ) ( j r 7 ( u ) ，i t b ( u ) ) 虹2i i u a ( u ) 1 1 2v u x o ， ( i v ) 如果，是偶的，a 是奇的，d + = d 一，那么b 是奇的 令凤= 乱x5 ( u ) = o ) ，x o ，a = x 虬由引理1 2 1 和1 2 2 ，存在一 个局部l i p s c h i t z 连续算子 风：x o ahx ， 把，a ，b 和d 士分别替换为厶，a a ，取和瓦霜可时，引理1 2 3 成立 徽篓，蹦纵咖) ) ) 由引理1 2 3 ( i i i ) 可知，钡( 亡，乱) 是厶的下降流 下面的引理是文 7 】中引理3 2 的变形，说明( 尸土) 是不变集 引理1 2 4 在( a 1 ) ，( a 2 ) ，( h 1 ) 一( h 4 ) 的假设下，v u 札( p 士) 地，j e o 0 ， 使得7 7 a ( ，u ) 札( 尸士) ，入 a 1 ，t 0 ，0 a 1 ，t 0 说明彬是不变集 引理1 2 5 ( 对称临界点原理) 如果g 在h i l b e r t 空间x 上的作用是等距 的，妒c 1 ( x ，r ) 在g 的作用下是不变的，若让是妒限制在f i x ( g ) 上的临界 点，那么让是妒在x 上的临界点 引理1 2 6 ( 喷泉定理) 令妒c 1 ( x ，r ) 是g 作用下的不变泛函，如果 v k n ，3 p k “ 0 ，使得 ( i ) a k = m a x “k ，o u i | ：p k 妒( 乱) 0 ，k = e ；：o x j ， ( i i ) = i n f u 么，：仉妒( 乱) _ 0 0 ，k _ ，磊= e 罂七x j ， ( i i i ) v c 0 ，妒满足( p s ) 。条件， ( i v ) g 在b a n a c h 空间x = e j e n x 3 上的作用是等距的，k 是不变的，而且存 在一个有限维空间y ，使得v j n ，x f 竺y ig 在y 上的作用是容许的 那么妒有一个无界临界点序列 引理1 2 7 在( a 1 ) ，( a 2 ) ，( h 1 ) ，( h 2 ) 和( h 5 ) 的假设下， v 入 0 ，厶满足 ( 尸s ) 条件 6 曲阜师范大学硕士学位论文 证令d = s u p n5 ( u n ) 0 ， p d + o ( 1 ) ( 1 + | | “n | 1 ) 上5 ( u n ) 一( 只( u n ) ，i t n ) 字m | 2 说明 饥n ) 在x 中有界在h i l b e r t 空间x 中 钆。) 有一个弱收敛子列，不妨设 “n 一钍，n _ o o 由( h 1 ) 和( s s ) ，比 0 ，j 0 ，使得 又由于 因此 f ( z ，) l + c 。 t p - l , v t r o ( 1 ) = ( 只( 让n ) ，u 竹一u ) = ( v u n v ( u n u ) + 玖( z ) u n ( u n 一札) ) d z ，冗 一，( z ，) ( u n u ) d x ， ，r 0 l i ms u p ( 1 l 仳礼i i ；一l ；) n + o 。 e = 1 i m s u p ( v 钆n v ( u 竹一札) + 玖( z ) 乱n ( u 几一u ) ) d z n + i ，r ， = l i m s u p 厂( z ，u n ) ( u n u ) d x n - o 。j r ， l i ms u p ( u n j + 岛1 缸n l p 一1 ) l u n u l d z n + o oj r n l i ms u p ( e i l u n l l 2 1 1 u n 一钍1 1 2 + c ei l u n 旧一1 | l u n u l | p ) n - - 4 0 0 墨c 7 + c 7 c l i ms u pi | u n u l i p 0 ，厶满足( p s ) 条件 v a 0 ，令圮。= ( u xi 以( 让) = 0 ，5 ( u ) = c ) ，职。= 纸。nw ， k ，、2 。= k 入，。w ，n 是k ；，。的任意奇邻域 引理1 2 8 在( a 1 ) ，( h i ) 一( h 6 ) 的假设下，v a a 1 ，j o 0 和一个奇的连 续映射叭：巧托uw nh 联一，使得叭i ，：一e u 彬= i d ，0 a 时，令 v = 他( 尸+ ) nm ( p 一) ，以( y ) = | u xlu v o r 3 t 0 ，s t 钡( t ，u ) y ) a 是一个对称的集合，记a 的亏格为 g e n ( a ) = i n f n nj 妒c ( a ，r n o ) ) ) ， 其中妒是奇映射令 g n = c ( ) 厶r qb r ，x ) ih ( x ) = z ，v z 了厶no b r ) ， 其中h 是奇映射，再令 r n = ( ( nb r ) j e 7 ) ih g m ，m n ，bc nb r ，g e n ( b ) m n ) ， 其中b 是对称开集 定理1 3 1 在( a 1 ) ，( a 2 ) ，( h 1 ) 一( h 6 ) 的假设下，9 a 0 ，使得当a 人时， ( 1 1 ) 有一个无界径向变号解序列 证v 入 a ，a r ( 仡2 ) ，定义非减序列 d 龛2 腹裟厶( u ) 首先证明：v a a ，a r n ( n 2 ) ，以是良定义的，而且 一 0 ， 使得当入 a 2 时，a 如 c 。v u 【t - , t + 】，j 阮 一 一 一 u ， 曲阜师范大学硕士学位论文 因此，v a a = m a x a t ，人2 ) ， 厶( u ) 丽鼎厶( 玑( t , u ) ) 岫i n f + 】厶( 钆) 9 0 e ( p + ) n e ( p 一) l c 一，t + j 由( h 1 ) 一( t t 3 ) 和( h s ) ，j c 9 0 ，使得 因此 r ( x ，t ) c o ( n 一i t l 2 ) ，v t r 她) = 互1 上( i v 砰+ 玖( “) 如一上即，u ) 出 三上( i v u l 2 + 帅) 川2 ) d x - c 9 上( 川虬 i ) 出 ( 1 5 ) = 壶f | u i l 2 一c 9 i i u i 瞄+ c 9 1 1 u i i ； 由于在有限维空间中所有的范数等价，那么当入 a 时，| p 0 ，使得 s u pi a ( u ) p 人时，定义，h = u nb rlh ( u ) g ( y ) ) ，则有 s u p 厶(u) a ， a f 忆n 2 ) ，可得 g e n ( o c , ( ， ) n4 w ) g e n ( h ( o x 。， b ) ) g e n ( o x 。 ) 一g e n ( b ) 一g e n ( o c ：, ( y ) nw ) m 一( m n ) 一1 = 礼一1 则有g e n ( a w ) n 一1 1 ，a w 0 ，砝是良定义的由( 1 4 ) ，v a a ， a f 2 ，可得 烈s u pi a ( 让) a c i n 。( f y ) 厶( ) 以i n ( y f ) 厶) = 1 n f 厶 ) 【t 嗡1 厶 ) 之风 9 第一章超线性s c h r s d i n g e r 方程在r 中变号解的存在性 取a = x m nb n f n ( 礼2 ) ，由( 1 5 ) ， s u p 厶( 钆) s u p 厶( 钆) 人，a r 几( 礼2 ) ， 一。c 风d i d ； a 时，3 0 o a 时， c ) 是( 1 1 ) 的无界径向变号弱解序列 定理1 3 2 当n = 4 或者n 6 时，在( a 1 ) ，( a 2 ) ，( h 1 ) 一( h 3 ) ，( h 5 ) 和( h 6 ) 的假设下，v a 0 ，( 1 1 ) 有一个无界非径向变号解序列 证令2 m 百n 是一个不等于告量的整数让 g = o ( m ) o ( m ) o ( n 一2 m ) 作用在日1 ( 冗) 上，v 9 g ，g u ( z ) = u ( 夕_ 1 z ) 令 x c = 乱h 1 ( r ) lg u ( x ) = 乱( 夕一1 z ) = u ( z ) ，v g g ) ， 由文【1 2 】，嵌入x cql p ( 冗) 是紧的令丁2 是r = 胛er mer _ 2 m 上的 对合，丁2 满足 r 2 ( x l ，x 2 ，x 3 ) = ( x 2 ，x l ，x 3 ) 让s = i d ，丁2 ) 作用在x c 上，满足 s u c z ，= 0 ，j a 在g o 作用下是不变的由x 1 ，x l ，j 的定义可知 引理1 2 6 ( i v ) 已满足由引理1 2 7 ，v 入 0 ，厶在墨上满足( p s ) 条件，引理 1 2 6 ( i i i ) 已满足由( 1 5 ) ，= ：l p k 0 ，v u y k ，i i u 队= p k 0 ，使得厶( 让) 0 ，引 理1 2 6 ( i ) 已满足由( h 1 ) 和( h 5 ) ，3 c t o 0 ，使得 一 l f ( x ，u ) i ；川2 + c l o l u | p 1 -这里d 是一个使得喉d l l u l l ；成立的常数定义 凤= s u p忆 t z k ，i l u l l , = a 1 2 第二章超线性s c h r 6 d i n g e r 方程在r 中的变号解及结点 域 2 1 引言 本章主要考察下面s c h r s d i n g e r 方程 u - a 日u ，+ 。r v a ( ，z ) 钆= ，( z ，u ) ， ( 2 1 ) 变号解的存在性问题，并讨论变号解的结点域的个数其中玖( z ) = 入o ( z ) + 1 在本章中，a 和厂满足的条件与第一章类似，但是本章构造的锥与第一章不同 在第一章中，我们定义 p + = u xi 乱 t 一) ， p 一= 扎xu + ) ， 其中t 一 ，( z ，艺+ ) 在本章中，我们定义 e + = 乱elu o ) ， e 一= u eu o 在文【1 7 中，作者利用先在开球b n = _ z r nl r ) 上考察d i r i c h l e t 问题，然后令r _ 的方法，得到了( 2 1 ) 的一个变号解在文 4 】中，从在 有界区域上对d i r i c h l e t 问题的讨论可以看出，( 2 1 ) 在无界区域上可以有一个无 界变号解序列本章将证明这个结论，使文【l7 】中存在一个变号解的结果得到改 进。证明方法与文【1 7 】不同，我们直接在日1 ( r ) 上进行讨论 1 3 第二章超线性s c h r 6 d i n g e r 方程在r 中的变号解及结点域 2 2 预备知识 在本章中，我们定义 e ： u 日( 冗) i 厂玖( z ) u 。 0 ，r o ，m e s ( x b r ( y ) la ( x ) m ) ) _ 0 ，m _ o o ， ( h i ) 厂( z ，t ) 是c a r a t h e o d o r y 函数，3 c o 0 ，p ( 2 ，2 + ) ，使得 i f ( x ，t ) i c o ( 1 + i t l v 一1 ) ，v z r ，t r ， 另外，( x ，t ) = o ( i t l ) ，当i t l _ o ， ( h 2 ) j 肛 2 ，使得 0 p f ( z ，t ) t ( z ，) ，v z r ，t r ， 这里，f ( x ，) = f ( x ，s ) d s ， ( h 3 ) 存在开子集qcr ，使得v z q ，当t 充分大时，t f ( x ，t ) o ， 1 4 曲阜师范大学硕士学位论文 ( h 4 ) f ( x ，- t ) = - f ( x ，t ) ， ( h 5 ) 钟在r 上是非减的，v x r n , t r 由( 争1 ) 和( a 2 ) ，嵌入eql p ( r ) ，2 p 0 ，使得 i f ( z ，t ) l l t i + c ( e ) ， 由( h 1 ) ，j 0 ， 与( 2 1 ) 相关的泛函 厶( 乱) = 知u l | 2 一f ( z ，u ) d x 厶 i ，r i v 在e 上是c 1 的厶的梯度算子具有形式取一i d a a ，其中，y u e ， 由于 a a ( u ) = ( 一+ 玖( z ) ) 一厂( z ，u ) ( 取( u ) ，u ) 。r n ( v 钆v u + 玖( z ) 札蛐z 一r nm ，让) 眺，jj ( 2 2 ) 那么 ( a a ( u ) ， l d ) = ，( z ，u ) 妒d z ，v 妒e d r l 4 引理2 2 1 在( a 1 ) ，( a 2 ) ，( h 1 ) 和( h 2 ) 的假设下，v a 0 ，i x 满足( 尸s ) 条 件 证厶在与第一章类似的条件下满足( p s ) 条件，已证明 引理2 2 2 在( a 1 ) ，( 地) ，( h 1 ) 一( h 3 ) 的假设下， 3 c o 0 ，v 0 厶( 玑( ，u ) ) _ 0 ，入 a ， 那么，v u 霹n 巧 o ) ，入 a ，可得厶( u