（基础数学专业论文）有限群的s半条件置换子群与p超可解性.pdf

摘要 摘要 设g 是一个有限群，h 墨g 称h 在g 中是s 半置换的，若对g 的任意 s y l o wp - 予群p ，只要( p ，i h i ) i ， ：有jh p - p h ；称日为g 的一个s 半条件置 换子群，如果对于群g 的任一$ 伽子群丁，只要( 阻l ，i r l ) - i ，就存在z g ，使 h t 一r 日本文通过s - 半条件置换子群的性质来研究其对有限群结构的影响， 推广了一些现有的结论 定理1 设g 是一个有限群g 是一个p 一超可解群的充分必要条件是g 有一 个p 一可解正规子群，使得g 是一个p 一超可解群且的每个s y l o w p 一予 群的极大子群在g 中是s 一半条件置换的 定理2 设g 是一个有限群g 是一个p 一超可解群当且仅当g 有一个p 一可 解正规子群，使得g n 为一个p 一超可解群且的每个循环p 一子群在g 中 是s 一半条件置换的 定理3 设g 是一个p 一可解的有限群g 是一个p 一超可解群的充分必要条 件是存在g 的正规子群，使得g 为一个p 一超可解群且的s y l o w p 一子群 的任一极大子群或者在g 内有p 一超可解补充或者在g 中是s 一半条件置换的 关键词：有限群，s - 半条件置换予群，p 超可解群 a b s t r a c t l e tgb eaf i n i t eg r o u pa n dhas u b g r o u po fg hi ss a i dt ob e s s e m i p e r m u t a b l ei ngi fi tp e r m u t e sw i t he v e r ys y l o wp - s u b g r o u ppo fg w i t h ( p ，1 日i ) 一1 ；h i ss a i dt ob es c o n d i t i o n a l l ys e m i p e r m u t a b l ei ngi ft h e r ei s x e gs u c ht h a t a r t 。；t 何i f ( i i ，刖) 一1f o ra n y 、s y l o ws u b g r o u pto fg i nt h i sp a p e r w ei n v e s t i g a t et h ei n f l u e n c eo fs o m es - c o n d i t i o n a l l ys e m i p e r m u t a b l e s u b g r o u p so nt h es t r u c t u r eo ff i n i t eg r o u p s ，a n dg e n e r a l i z es o m er e c e n tr e s u l t s t h e o r e m1l e tgb eaf i n i t eg r o u p gi sp - s u p e r s o l u b l eg r o u pi fa n d o n l yi ft h e r ee x i s t sap - s o l u b l en o r m a ls u b g r o u pno fgs u c ht h a tc n i sa p - s u p e r s o l u b l eg r o u pa n de v e r ym a x i m a ls u b g r o u po fs y l o wp s u b g r o u po fn i ss c o n d i t i o n a l l ys e m i p e r m u t a b l ei ng t h e o r e m2l e tgb eaf i n i t eg r o u p gi sp - s u p e r s o l u b l eg r o u pi fa n d o n l yi ft h e r ee x i s t sap - s o l u b l en o r m a ls u b g r o u p lk o fgs u c ht h a tg | ni sa p - s u p e r s o l u b l eg r o u pa n de v e r yc y c l ep - s u b g r o u p o fni s s c o n d i t i o n a l l y s e m i p e r m u t a b l ei n g t h e o r e m3l e tgb eap - s o l u b l ea n df i n i t eg r o u p gi sap - s u p e r s o l u b l e g r o u pi fa n do n l yi f t h e r ee x i s t san o r m a ls u b g r o u po fgs u c ht h a ta ni sa p - s u p e r s o l u b l eg r o u pa n de v e r ym a x i m a ls u b g r o u po fs y l o wp - g r o u po fni s s - c o n d i t i o n a l l ys e m i p e r m u t a b l ei ngo rh a s ap - s u p e r s o l u b l es u p p l e m e n ti ng k e yw o r d s ：f i n i t eg r o u p ，s - c o n d i t i o n a l l ys e m i p e r m u t a b l es u b g r o u p ，p - s u p e r s o l u b l e g r o u p - i i i 学位论文独创性声明 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得直昌太堂或其他教育 机构的学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意 学位论文作者签名( 手写) ： 鸺 签字日期：加掘年f 胡吁日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解直昌太堂有关保留、使用学位论文的规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅 和借阅本人授权直昌太堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名( 手写) ：导师签名( 手写) ： 签字日期：_ 弼年j 胡叼，日 签字日期：k 矗年 z 月侈日 第1 章引言 第1 章弓l 言 众所周知，群是现代代数最基本和最重要的概念之一，它在数学本身及现 代科学技术的很多方面都有广泛的应用群论的研究起源十八世纪末，它是由 于方程式论的需要，首先作为置换群的理论而发展起来的随后，发现在大多 数问题中，重要的不是构成群的置换本身，而应注意的是一个集合在代数运算 下盼性质，从而提出了一般群的概念 1 一般群论的建立，不仅扩大了群论 研究的对象和应用，而且还可以从各种不同的群得到多方面的启发，从而丰富 了群论研究的方法，促进了群论的发展在群论的众多分支中，有限群论无论 从理论上来看还是实际应用上来说都占据着更为突出的地位它是近年来研究 最多，最为活跃的一个分支 2 1 9 世纪末到2 0 世纪初是有限群论发展的一个黄金时代，有限群的基本理 论的基础得到完成，有限群的常表示论也建立起来并显示出巨大威力在2 0 世纪三、四十年代，布饶尔系统地创立了有限群模表示理论5 0 年代又是有限 群论蓬勃发展的新阶段，最关键的是有限单群分类定理的布饶尔纲领，谢瓦莱 关于任意域上谢瓦莱群的统一构造方法和j 汤普森对佛罗比纽斯幂零补猜想 的证明二十世纪八十年代初，有限单群分类定理的解决是数学史上辉煌成就 之一有限单群分类定理的证明 3 2 历时1 5 0 多年，使用了抽象群论、表示论、 几何的以及组合图论中的方法，有限单群分类工作的完成开辟了有限群论发展 的新时代，其结果、理论和方法在广泛的科学研究领域中有重要应用，并不断 激发新理论的出现和新方法的产生 子群、商群与算术结构是一个群的最基本的数学特征，即通过群g 的子群 结构、商群结构和算术结构加条件来刻画群g 的结构这就涉及两个问题：考 虑g 的怎样的子群? 加什么样的条件? 在被利用的子群中，我们通常主要考虑 的是s y l o w 子群、h a l l 子群、极大子群、极小子群等，因为它们总是存在的 而 在加条件方面，就涉及群g 的一部分子群的正规性和交换性在刻画幂零群、 超可解群等重要的可解群的子类方面，人们做了大量的工作例如： 第1 章引言 定理1 1 n 1 若有限群g 有一个奇阶的幂零的极大子群，则g 是可解的 定理1 2 “1 有限群g 的每个极大子群在g 中有素数指数当且仅当g 为超可 解的 定理1 3 1 有限群g 的每个子群可补当且仅当g 是每个s y l o w 子群为初等 交换的超可解群等 定理1 4 如1 如果奇阶有限群g 的所有极小子群在g 的中心内，则g 为幂 零群 定理1 5 口1 如果奇阶有限群g 的所有极小子群在g 中正规，i s j g 是超可 解群 定理1 6 陋3 如果g 的所有的s y l o w 一子群的极大子群在g 中正规，则g 是 超可解群 而要将结果进行推广，就要将正规性和交换性进行推广，也就是削弱正规 性的条件得到更为一般的子群，再用这些子群来刻画群的性质例如： 1 9 3 9 年，o r e 在文献 9 中提出了拟正规子群( q u a s i n o r m a ls u b g r o u p ) 的 概念： 定义1 1设日墨g ，若对v ksg ，均有h ksg ，则称日为g 的拟正规子 群 显然h 为g 的拟正规子群当且仅当h ki k j ，v k s g ，故拟正规子群又被 称为置换子群( p e r m u t a b l es u b g r o u p ) 1 0 1 9 6 2 年，k e g e l 在文【1 1 】中将拟正规子群推广为： 定义1 2 设hs g ，若对坳乃( g ) ，v p e s ，( g ) 均有艘墨g ，则称为g 的万一拟正规子群( 万一q u a s i n o r m a ls u b g r o u p ) 或s - 拟正规子群( s q u a s i n o r m a l s u b g r o u p ) 从而1 9 9 0 年s h a a l a n 在文 1 2 中证明了极小子群及4 阶循环子群均s 一拟 正规子群的有限群为超可解群2 0 0 3 年，李样明、王燕鸣、韦华全共同得到了： 若群g 满足存在hqg 使得g 何超可解且f 俾) 的所有s y l o w 子群的极大子 群是万一拟正规子群，则g 是超可解群【1 3 】 2 第1 章引言 1 9 8 7 年，陈重穆在文献 1 4 q a 将s - 拟正规子群推广为s 半正规子群的概念： 定义1 3 设日sg ，若懈墨g ，只要q k l ，i n l ) - l ，就有肷墨g ，则称日为 g 的半正规子群( s e m i n o r m a ls b g r o u p ) ：若坳万( g ) ，只要( p ，i h i ) - i ，就有 艘墨g ，v p e s p ( g ) ，则称为g 的s 一半正规子群( s s e m i n o r m a ls u b g r o u p ) 陈重穆在文【1 4 】中证明了： 定理1 7 若有限群g 的每个s y l o w 子群的极大子群在g 中s 半正规，则 g 是超可解群；若有限群g 的所有极小子群在g 中s 半正规，则g 是超可解群 f o g u e l 又在文 1 5 1 q j 提出： 定义1 4 设hs g ，若h h 。s g ，对v x e g 成立，则称h 为g 的共轭置换 子群 2 0 0 3 年，a s a a d ，h e l i e l 在文【1 6 】中又将万- 拟正规子群减弱为z - 置换子群： 定义1 5 设g 是有限群，称z 是g 的一个s y l o w 子群完全集，如果对整 除l g i 的每一个素因子p ，z 包含且仅包含g 的一个s y l o w p - 子群设日s g ， z 是g 的一个s y l o w 子群完全集，如果h p s g ，v p e z ，则日称为g 的乙置换 子群( z p e r m u t a b l es u b g r o u p ) 并由此证明了： 定理1 8 若z 是有限群g 的一个s y l o w 子群完全集，且其中每个s y l o w 子 群的极大子群是z 置换子群，则g p - 幂零群，其中a 是l g i 的最小素因子 事实上，对于各种置换子群的研究还有许多引人注目的成果( 见 1 7 2 0 1 ) 最近，郭文彬，s h u mkp 和s k i b a a n 在文【2 1 】中引进了条件置换子群的概 念： 定义1 6 称群g 的子群a 和口在g 中条件置换，如果存在x g ，使得 a b 。一b 。a 并利用上述概念已成功地得到了有关群的结构的一系列新的重要成果( 见 2 l ，2 2 ) 2 0 0 6 年，黄建红和郭文彬在文 2 3 中将条件置换子群的概念推广为： 3 第1 章引言 定义1 7 群g 的子群日称为在g 中s 一条件置换的，如果对群g 的任意 s y l o w 子群r ，存在一个元素x e g ，使得 h t 。it 。h 并在文 2 3 中得到了如下定理： 定理1 9 设f 是一个包含所有超可解群的群类u 的饱和群系，则一个群 g e f 当且仅当g 有一个可解正规子群，使得g ，且的每个准素循环 子群在g 中是s 一条件置换的 定理1 1 0 设f 是一个包含所有超可解群的群类u 的饱和群系，一个群 g e f 当且仅当g 有一个可解正规子群，使得g ，且的每个非循环 s y l o w 子群的极大子群在g 中是s 一条件置换的 定理1 1 1 设f 是一个包含所有超可解群的群类u 的饱和群系，一个群 g e f 当且仅当g 有一个可解正规子群，使得g f 且f ( ) 的每个非循 环s y l o w 子群的极大子群在g 中是s 一条件置换的 容易看出，z 置换子群的条件比s 一条件置换子群的条件要强本文进一 步弱化了s 一条件置换子群的条件，定义了s 一半条件置换子群的概念，并通过 s 一半条件置换子群的性质研究其对有限群结构的影响，推广了一些现有的结 论 4 第2 章基本概念和引理 第2 章基本概念和引理 本文中所讨论的群均为有限群，所用的概念和符号均为标准的，可参看【2 】 一个群g 称为p 一超可解群，如果g 的任意主因子h k 为p 阶或p 一群 若对任意p e 石( g 1 ，g 为一个p 一超可解群，则称g 为一个超可解群 群g 称为一个外p 超可解群，若g 本身不是矿超可解群，但它的每个真 商群都是p 超可解群 称群类f 为一个群系，如果f 满足下面两个条件： ( 1 ) 若g f ，nqg ，则c h v； 国若n l 乜g ，n t q g 。g | n l ，g | n 2 f ，黜g | n l n n 2 e f 进一步地，如果g 西( g ) f ，有g e f ，则称，为饱和群系全体p 超可解群 ( 超可解群) 的集合为一个饱和群系 定义2 1 群g 的子群日在g 中称为s 半条件置换的，如果对于群g 的任一 $ 挑子群r ，照- ( 1 h l ，i t i ) l ，就存在x g ，使 h t l 一t 。h 由s y o w 定理知子群日在g 中是s 一半条件置换的，当且仅当对任意 p 万( g ) ，只要( p ，阻i ) 一1 ，就至少存在g 的一个$ 枷p - 子群p ，使得 h p - p h 引理2 1 设g 是一个有限群，k 司g 且h g ，则下列结论成立： ( 1 ) 若h 在g 中是s 一半条件置换的且日为一个p 一群，则h k k 在a k 中是s 一半条件置换的： ( 2 ) 若h k k 在g k 中是s 一半条件置换的且k 日，则h 在g 中是s 一 半条件置换的： ( 3 ) 若日在g 中是s 一半条件置换的且h 墨m 墨g ，则h 在m 中是s 一半 条件置换的： ( 4 ) h k k 在g k 中是s 一半条件置换的且( i h i ，t k i ) - - 1 ，如果g 可解或 5 第2 章基本概念和引理 k 幂零，则日在g 中是s 一半条件置换的，i ( 5 ) 若h 在g 中是s 一半条件置换的且h 为一个p 一群，则h n k 在g 中 是s 一半条件置换的，且h n k 在k 中是s 一半条件置换的 证明( i ) ，( 2 ) ，( 3 ) 是显然的下证( 4 ) 和( 5 ) ( 4 ) 对任意p e e r ( g ) ，设( i m i ，p ) = 1 ，则( i h k k i ，p ) - 1 由h k k 在 a g 中是s 一半条件置换的知，存在p e s y l p ( g ) ，使得 ( h k k ) ( p k k ) 一p k k h k k ，即有h p k p h k 设k 是幂零的，记万= 万( k ) p ，取墨为k 的一个万一h a l l 子群，则k 为p h k 的一个正规万一h a l l 子群由s h u r z a s s e n h a u s 定理，k 在p h k 中有 补，即p h k 有胁z 卜万7 子群f ，使得hst ，且存在ae g ，使得pst 从 而h i t ，但l h p 4 i 一例，于是有h i 一丁，从而有h p 一p 口日，即h 在g 中是s 一半条件置换的 设g 是可解的，则p h k 是可解的，因而满足s y l o w 万一性质，同上证明知 h 在g 中是s 一半条件置换的 ( 5 ) 对任意q e z ( g ) ，由条件知，只要0 h i ，口) - 1 ，就存在o e s y l 。( g ) ， 使得地；q 日显然当0 hnk i ，曰) 一1 时，有恤i ，口) ；1 ，从而要证hn k 在g 中是s 一半条件置换的，只需要证( 日n k ) q h q n k q 显然旧nk 妇( 日n k q ) ! q h ank q 因为i nn 聃糊一黼，i h or it 两i hg l ， 于是丽i h n k q i ，蜂筌昙孕为口一数，从而 3 疋下丽。币丽刀口一裂从| i u 一丽h k n q 币hn k 订n q i n kn ohn o 奸数， i ( hk ) q llii 1 一 醍q 刮g 是埘擞，馘明呦聃i ( n n 黜) q i 从而有( 日nk ) q h qnk q o ( nnk ) ，即hn k 在g 中是s 一半条件置换 的 记日。= hn k ，又寸iv qe z ( k ) c _ z ( g ) ，只要0 何，l ，g ) 一1 ，就有q $ z 。( g ) ， 使得h 。q a n ，x h 。q n k h 。( a n t ) - ( q o k 弦- i 。，_ i l q n k e s y l 。伍) ， 6 第2 章基本概念和引理 因此日n k 在k 中是s 一半条件置换的 引理2 2 设g 是一个p 一可解群，则对任意口万( g ) ，g ：有h a l l 一侈，q 予群且g 有跏一伽，g ) 性质 引理2 3 设hsg ，二是g 的一个交换的极小正规子群如果g 一埘且 h _ g ，则h 是g 的一个极大子群 证明假设日不是g 的极大子群，则存在g 的一个极大子群m ，使得 h 1 ，其中n 是g 的唯一极小正规子群且是 一个初等交换p 一群，a 是g 的一个p 一超可解极大子群： ( 2 ) ( g ) - 1 且q ( a ) - 1 7 第3 章主要结果 第3 章主要结果 引理3 1 设g 为一个p 一可解群若g 的每个s y l o wp 一子群的极大子群在 g 中是s 一半条件置换的，则g 为一个p 一超可解群 证明假设引理结论不真，取g 为极小阶反例对于g 的任意非平凡正规 子群k ，由引理2 1 知，o k 的s y l o wp 一子群的极大子群在g k 中是s 一半条 件置换的，从而g k 满足定理条件由g 为极小阶反例知，g 为一个p 一可解 的外p 一超可解群由引理2 7 知，g a n ，an n ；1 ，i n l = p a , 口 1 ，其中是 g 的唯一极小正规子群且是一个初等交换p 一群，a 是g 的一个p 一超可解 极大子群 设a ve s y l , ( a ) ，则g ，一4 n - s y l p ( g ) 假设g o 为g p 的包含4 的一个 极大子群且ltc on ，则i n ：1 i l n ：c on i ；i n g o ：6 0 i p ，即1 是的 一个极大子群由题设知，g 0 在g 中是s 一半条件置换的，即对于任意 q e ：r ( g ) 且留p ，存在q $ 乞( g ) ，使得g o q q g o ，从而 i 1 ，q 】墨nn c o q nn g o 一1 ，即q 墨g ( 1 ) 易见g pic o ns g ( 1 ) 这表明l 司g ，由n 是g 的一个极小正规子群知 1 1 ，于是i n l p ，矛盾! 因而极小反例不存在，引理得证 定理3 2 群g 是一个p 一超可解群的充分必要条件是g 有一个p 一可解正 规子群，使得g n 是一个p 一超可解群且的每个s y l o w p 一子群的极大子 群在g 中是s 一半条件置换的 证明必要性是显然的，只证明充分性假设充分性不成立，取g 为极小 阶反例由是一个p 一可解群且g i n 是一个p 一超可解群知g 为一个p 一可解 群类似于引理3 1 可证g 为一个外p 一超可解群由引理2 7 可知m ( g ) t 1 ， g 一4 昂，彳n 昂z 1 ，l 昂i p a , 口 1 ，其中v o 是g 的一个唯一极小正规子群且a 是 g 的一个p 一超可解极大子群于是有n n n p o a 一昂( n n a ) 令b = n n 彳 且b 。$ ，。( b ) 由引理2 1 及引理3 1 知是一个p 一超可解群，从而是 一个p 一幂零群由g 的唯一极小正规子群是p 一群，易得也是一个p 一群 因为n 司g ，所以n sf ( g ) t 只这表明n i1 或者n 一只 8 第3 章主要结果 若n i l l gp o ，则b g 只，于是b 7 1 ，b 为一个交换群：若n 一1 ，则是 一个交换群，从而口也是一个交换群这表明吃c h a r 口司彳，故b o 司彳由 引理2 7 知，曰。- 1 于是一日曰，其中b 为的一个p 一补且昂s y l p ) 令弓剐p ( 彳) ，则p - 明剐p ( g ) 由于昂囝币( p ) ( 见文 4 ，3 3 ( a ) ，故 存在p 的一个极大子群g o ，使昂l z ig o 设罡一瓴n 异，则最为r 的一个极大 子群，由题设知罡在g 中是s _ 半条件置换的，即对于任意q 刀g 且q - p ， 存在q $ l ( g ) ，使得最q - q 哆又因为b 罡( p on q ) 一p on e q 司堙，于 是有q g ( b ) 另一方面， 由罡司p o 且罡一g on 昂司g 0 知 p g o p o ( 只) 由目的任意性知足q g 又由：p o 为g 的唯一极小正规子群 知罡- 1 于是1 只l p ，矛盾! 因此假设不成立，极小反例不存在定理证毕 推论3 3 嚣1 群g 是一个p 一超可解群的充要条件是g 有一个p 一可解正规 予群，使得酬是一个p 一超可解群且的每个s y l o w p 一子群的极大子群 在g 中是s 一条件置换的 引理3 4 设g 为一个p 一可解群，k 司g ，g k 为一个p 一超可解群若 k 的任一循环p 一子群在g 中是s 一半条件置换的，则g 为一个p 一超可解群 证明假设结论不真，取g 为极小阶反例，设为g 的一个极小正规子群， 砒k n4 g n 。队丽旧n 、八k n 、ig k 为p 一超可 | 薄群显然对k 汹的任 一循环p 一子群r ，必存在r 的循环p 一子群( 石) ，使得t 一扛) 由题设知 ( z ) 在g 中是s 一半条件置换的，且( x ) 为一个p 一群，从而由引理2 1 知 ( 硝n j v 在g 中是s 一半条件置换的，因此g 对于纠满足定理条件由 g 的极小性知g 为一个p 一超可解群又由g 为一个p 一可解群知，为一 个p 一群或初等交换p 群 若为一个p 一群，即得g 为p 一超可解群，矛盾! 于是为一个初等交换 p 一群设g ，为g 的一个s y l o wp 一子群，则sg p ，设( g ) 为g p 的一个含于 的极小正规子群，任取q 万( g ) 且q ，tp ，由定理条件知( g ) 在g 中是s 一半 条件置换的，即存在q s y l q ( g ) ，使得( g ) q 成群 又( g ) 一( g ) ( n f l q ) 一( e , o a nq ( g ) q ，从而q 虬( ( g ) ) ， 又 g ps g ( 皓) ) ，于是v g ( 佑) ) - g ，( g ) 司g 由n 的极小性知，一( g ) 为一 个p 一阶循环群，即得g 为一个p 一超可解群，矛盾! 因而极小反例不存在，引 9 第3 章主要结果 理证毕 定理3 5 群g 为一个p 一超可解群当且仅当g 有一个p 一可解正规子群， 使得g 为个p 一超可解群nn 的每个循环p 一子群在g 中是s 一半条件置换 的 证明必要性显然，只证充分性 由为一个p 可解群且g 为一个p 一超可解群知g 为一个p 一可解群 从而由引理3 4 知，g 为一个p 一超可解群，充分性得证定理证毕 推论3 6 群g 为一个超可解群当且仅当g 有一个可解正规子群，使得 g 是一个超可解群且的每个素数幂阶循环子群在g 中是s 一半条件置换的 推论3 7 乜3 1 群g 为一个p 一超可解群当且仅当g 有一个p 一可解正规子群 ，使得g 为一个p 一超可解群且的每个循环p 一子群在g 中是s 一条件置 换的 定理3 8 设g 为一个p 一可解群g 为一个p 一超可解群的充分必要条件 为存在g 的正规子群，使得g 为一个p 一超可解群且的s y l o w p 一子群 的任一极大子群或者在g 内有p 一超可解补充或者在g 中是s 一半条件置换的 证明定理的必要性显然，下证定理的充分性 假设充分性不成立，并设g 为极小阶反例，下面分以下步骤证明： ( 1 ) 设尺为g 的任一极小正规子群，则g r 为一个p 一超可解群 设r n ，令g g r ，n = n r r ，贝i j 有 nq g ，g 基6 n r 皇( g n ) ( n r n ) 为p 一超可解群 取m m r ，且m 为，的一个极大子群，则膨在g 中有p 一超可解补 充或在g 中是s 一半条件置换的，这表明定理条件在g 中继承 由g 的极小性知，g 为p 一超可解群 ( 2 ) g 有唯一极小正规子群r 且吲p ，r c g ( r ) 一q ( g ) om ( g ) 且 g ( g ) = 1 若尺不唯一，则g 存在一个极小正规子群r 且足一r ，于是有足n 尺一1 ， 从而g 一6 rn 尺，为一个p 一超可解群，矛盾! 若d 。，( g ) 1 ，则由尺的唯一性 1 0 第3 章主要结果 知，j 5 c d ，( g ) ，从而6 为p 一超可解群，矛盾! 若i r l - p ，则易知g 为p 一超 可解群，矛盾! 由全体p 一超可解群的集合为饱和群系知刖d 西( g ) ，从而存在 g的极大子群m，使得gi 删 又由于 d p ( g ) 一q ( g ) n 删ir ( o p ( g ) n m ) ，而d ，( s ) n m 司m 且q ( g ) 为初等交 换群，于是q ( g ) f l m q q ( g ) ，进而有d ，( g ) r l m 司g 由r 的唯一性知， q ( g ) f l m 一1 ，于是0 ，( g ) ir ：同理可得g ( r ) - r ( 3 ) 如果dqg ，则定理条件对d 成立，从而当d g 时d 为一个p 一 超可解群 显然d 为一个p 一超可解群设pe s r z , ( ) ，p 为p 的一个极大子 群，假设存在p 一超可解群z ，使得gi 刀，则d id n 刀i p ( d n t ) ，即p 在d 内有p 一超可解补充设p 在g 中是s 一半条件置换的，由引理2 1 ( 5 ) 知， pip n d 在d 中是s 一半条件置换的由g 的极小性知，d 为一个p 一超可解 群 ( 4 ) ，剐p ( ) 不是g 的极小正规子群，从而由( 2 ) 知p 不正规于g 设p 为g 的一个极小正规子群，则由( 2 ) 知，l p 卜p 又由p1 2 i m ( g ) 知p1 2 i 西( g p ，其中g p 为g 的一个s y l o w p 一子群，从而存在g p 的一个极大 子群墨，使得p0 丑设bi pn 写，则易知曰为，的一个极大子群设曰 在g 内有p 一超可解补充z ，则g ib t ，从而有g i 。t ，且。n z1 1 又 由引理2 3 知若t g ，则r 为g 的一个极大子群，于是有l g ：t i i i n 。lip ， 矛盾! 又取任意q e z ( g ) ，若口毋p ，则存在q s y l q ( g ) ，使得口q 一妒，从 而曰一，( i b q ib q ，则q g ( b ) ：若q i p ，且丑q $ z p ( g ) ，则 曰一pn 丑qq ，从而q 心( b ) 由q 的任意性知gi 6 ( b ) ，即b 司g ， 由，的极小性得，b 一1 ，于是l ，l - p ，矛盾l ( 5 ) gi r m ，p i i m l 且d 。( m ) 一1 ，这里尺为g 的唯一极小正规子群，m 为g 的一个p 一超可解极大子群 由( 1 ) 、( 2 ) 知，存在g 的一个p 一超可解极大子群m ，使得g i r m ，且 q ( g c g ( 尺) ) 一d p ( g 尺) 一d ，( g q ( g ) ) f f il ，从而q ( m ) 一1 设p 不整除 l m l ，则r $ ，p p ) ，x r n ，从而r $ ，( ) ，矛盾于( 4 ) ! ( 6 ) ig ，从而g 的s y l o w p 一子群的任一极大子群在g 内有p 一超可解 补充或者在g 中是s 一半条件置换的 假设g 一，考虑子群n m ，其中m 为( 5 ) 中的g 的个极大子群 第3 章主要结果 因为。nn n m r ( na m1 ，且由( 4 ) 知，r n ，从而有na m 一1 由r n g 及( 3 ) 知为一个p 一超可解群，从而有d ，( n ) 一1 若不然，则 rsd 。，( n ) ，矛盾! 由引理2 4 知为一个超可解群，从而p 为l i 的极大素 因数，进而n n m 的s y l o wp 一子群p qnn m ，于是有pc h a r nn m 司m ，即有p 司m 由( 5 ) 知d 。( m ) ；1 ，这表明p 一1 ，即n n m 为 p l 群因此由n ；r ( na m ) 得n 。；r ，矛盾于( 4 ) ! ( 7 ) 最后的矛盾! 设异为g 的s y l o w p 一子群g 。的一个极大子群如果尺号，则由( 5 ) 知， 只有p 一超可解补充m 若尺0 且足在g 中是s 一半条件置换的，即对任意 q e y r ( g ) r q p ，有g 的s y l o w q 一子群q ，使得号q q p l 同( 4 ) 中证明 知rn 曰qg r 的极小性表明刚1 只一1 ，因此i r i 1 p 矛盾于( 2 ) ，这表明 曰在g 中有p 一超可解补充综上所述知g 的s y l o w p 一子群的任一极大子群 在g 内有p 一超可解补充，从而由引理2 6 知g 为一个p 一超可解群矛盾! 因 此极小反例不存在，定理证毕 推论3 9 设g 为一个p 一可解群g 为一个p 一超可解群的充分必要条件 为存在g 的换位子群g 的s y l o w p 一子群的任一极大子群或者在g 内有p 一超可 解补充或者在g 中是s 一半条件置换的 推论3 1 0 设g 为一个p 一可解群g 为一个p 一超可解群的充分必要 条件为存在g 的正规子群，使得g 为一个p 一超可解群且的s y l o w p 一 子群的任一极大子群或者在g 内有p 一超可解补充或者在g 中是s 一条件置换 的 1 2 致谢 致谢 在我即将毕业之际，首先感谢我的导师王燕鸣教授和李样明教授，感谢他 们将我引入有限群论这一诱人和充满活力的研究领域两位恩师渊博的学识， 务实的风格和正直的人品一直在熏陶着我，使我的生活多了一份思索，一份希 冀! 我所取得的点滴进步无不饱含思师的悉心指导和热情鼓励! 两位恩师的谆谆 教诲和严谨的治学态度使我加深了对数学的认识，对数学的热爱，并对我今后 的发展产生了深远的影响在此，我向他们致以最崇高的敬意，并道一声：恩师， 你们辛苦了! 感谢曾广兴教授给我讲授代数学基础科目的知识，曾教授的博学与严谨使 我受益匪浅! 同时，也感谢南昌大学数学系所有老师的关心和支持! 感谢向建国，彭康泰，朱志远，周伟芬，罗世评，高波