（应用数学专业论文）boussinesq方程组时空衰减性质研究.pdf

摘要 本文考虑如下b o u s s i n e s q 方程组的c a u c h y 问题 “c4 - ( 扎v ) uq - v p = 7 uq - o f 0 + f uv ) 0 = c a o ， u ( z ，0 ) = o ( z ) ，o ( x ，0 ) = o o ( z ) ( ，) r 3 ( 0 ，+ 。) ( z ，t ) r 3 ( 0 ，+ 。) ( z ，t ) r a ( 0 ，+ 。) z r 3 这里“( z ，) = ( u 1 ，u 2 ，u 3 ) 表示流体速度，o ( x ，t ) 表示温度，p ( z ，) 表示压 力函数，( ，) = ( ，1 ，2 ， ) 表示给定外力，u o ( z ) ，口o ( z ) 表示流体初始速 度和温度，7 0 ，e 0 分别表示流体粘性系数和导热系数+ 本文主要研究b o n s s i n e s q 方程组弱解和强解的加权估计 本文内容分为如下三个部分： 1 构造b o u s s i n e s q 方程组的逼近解并且给出逼近解的积分表示 利用b o u s s i n e s q 方程组的线性化构造逼近解，利用s t o k e s 方程组与 热方程基本解，推导出逼近解的积分表示 2 b o u s s i n e s q 方程组逼近解在l 2 ( r 3 ) 中的加权估计 这一部分我们让初值u o ，o o 和外力函数，( 。，t ) 满足一定的条件，对 逼近方程加权后再积分，利用h s l d e r 不等式、内插不等式、嵌入不 等式等，在l 2 ( r 3 ) 中得到逼近解的加权衰减估计，并因此得到了弱 解的空问加权估计 3 b o u s s i n e s q 方程组逼近解在l p ( r 3 ) ( p 3 ) 中的加权估计 让初值“o ，0 【l 和外力函数，( z ，) 满足一定的条件，在“o ，o o 的l 1 ，l 2 范数很小的假设下，对所出现的奇异积分作细致的估计和讨论，在 ( 腰) ( p 3 ) 中得到逼近解的时空加权衰减估计，并因此得到了强 解的时空加权估计 关键词：b o u s s i n e s q 方程组，逼近解，时空衰减，加权估计 a b s t r a c t w ec o n s i d e rt h ef o l l o w i n gc a u e h yp r o b l e mo ft h eb o u s s i n e s qe q u a t i o n s ： 地+ ( u v ) u + v p = 7 a u + o f 仇+ mv ) 0 = c a 0 ， d i v u = 0 ， “( z ，0 ) = o ( 。) ，0 ( x ，0 ) = 目o ( z ) ， ( x ，t ) r 3 ( 0 ，+ 。) ( z ，t ) r 3x ( 0 ，+ 。) ( z ，t ) r 3 ( 0 ，+ 。o ) z r 3 h e r e7 2 ( x ，t ) = ( 7 2 1 ，7 2 2 ，奶) i st h ev e l o c i t yf i e l do ft h ef l o w ；o ( x ，t ) i st h ea c t i v e s c a l a rf u n c t i o n ( i e t e m p e r t u r e ) ；p ( ，t ) i st h es c a l a r p r e s s u r eo ft h ef l o w a n d i ( x ，t ) = ( ，止，3 ) i st h ee x t e r n a lp o t e n t i a l ；“o ( 。) ，0 0 ( x ) i st h ei n i t i a lv e l o c i y a n dt e m p e r a t u r er e s p e c t i v e l y ；1 0a n de 0i st h ev i s c o s i t yc o e f f i c i e n ta n dt h e t h e r m a le x p a n s i o nc o e f f i c i e n to ft h ef l o wr e s p e c t i v e l y t h ec o n t e n t so ft h ep a p e ri n c l u d et h ef o l l o w i n gt h r e ep a r t s ： 1 c o n s t r u c t i o no ft h ea p p r o x i m a t i o ns o l u t i o n so ft h eb o u s s i n e s qe q u a t i o n sa n d t h e i ri n t e g r a lr e p r e s e n t a t i o n s a p p l y i n gt h el i n e a r i z e da p p r o x i m a t i o ne q u a t i o n so ft h eb o u s s i n e s qe q u a - t i o n sa n dt h ef u n d a m e n t a ls o l u t i o no ft h es t o k e se q u a t i o n sa n dt h el m a t e q u a t i o n ，w ed e r i v et h ei n t e g r a lr e p r e s e n t a t i o n so ft h ea p p r o x i m a t es o l u t i o n s 2 u n i f o r mm o m e n te s t i m a t e sf o rt h ea p p r o x i m a t i o ns o l u t i o n s i nt h i sp a r t ，u n d e rs o m ec o n d i t i o n so ft h ei n i t i a ld a t a “o ，0 0a n dt h eg i v e n f u n c t i o nf ，w eo b t a i nt h eu n i f o r mw e i g h t e dl 2 e s t i m a t e sf o rt h ea p p r o x i 。 m a t es o l u t i o n s 3 u n i f o r mw e i g h t e d 2 一e s t i m a t e s ( p 3 1f o rt h ea p p r o x i m a t i o ns o l u t i o n s i nt h i sp a r t ，u n d e rs o m ec o n d i t i o n so fi n i t i a ld a t au o ，a n dt h eg i v e n f u n c t i o nfa n du n d e rt h ea s s u m p t i o nt h a tl l u o l h + 1 1 0 0 1 1 1 十i l u o l l 2 + i i 0 0 1 1 2 i ss m m le n o u g h ，b yt h ed e t a l l e de s t i m a t i e so ft h es i n g u l a ri n t e g r a l s ，w e o b t a i nt - 。t e m p o r a la n ds p a t i a ld e c wr a t eo ft h ea p p r o x i m a t i o ns o l u t i o n s w i t hw e i g h t e dn o r mi np ( 帮) 3 ) k e yw o r d s ：b o u s s i n e s qe q u a t i o n s ，a p p r o x i m a t es o l u t i o n s ，t e m p o r a la n d s p a t i a ld e c a yr a t e ，w e i g h t e de s t i m a t e 首都师范大学学位论文原创性声明 v 8 6 8 9 8 3 车人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下、独立 进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做 出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识 到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： j 弓军子乞 日期：锄 i 年6 月9 r l 首都师范大学学位论文授权使用声明 本人完全了解舀都师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学饺 有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和 纸质版。有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学 校图书馆被查阅。有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索。有 权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本 规定。 学位沦文作者签名 ， v俘跏 朗 ，舀 ，。， ，孝 f _ d l 第一章引言 b o u s s i n e s q 方程组是流体方程中一类重要的方程，它是流体速度场与 温度场耦合而成的方程该方程在天气预报、海洋生态等领域都有重要 的应用背景，本文主要讨论如下b o u s s i n e s q 方程组c a u c h y 问题： 地+ ( v ) 珏+ v p = 7 钍+ 扫， 巩+ ( v ) 0 = e 口， d i w l = 0 ， “( z ，0 ) = u o ( z ) ，o ( x ，0 ) = 6 b ( z ) ， ( z ，t ) r 3 ( 0 ，+ 。o ) ， ( 。，t ) r 3 ( 0 ，十o 。) ( 1 1 ) 扣，t ) r 3 ( 0 ，+ o 。) ， z r 3 在r 3 f 0 ，+ o 。) 中的衰减性质 这里“= u ( z ，t ) = ( u 1 ，u 2 ，“3 ) 表示流体速度，0 = 0 ( x ，t ) 表示温度， p = p ( x ，t ) 表示压力函数，( z ，t ) = ( ，l ，2 ，f a ) 表示给定外力，“o = = u 0 ( ) ，0 0 = 0 0 ( z ) 表示流体初始速度和温度，7 0 ，e 0 分别表示流体 粘性系数和导热系数当7 ，e 都大于零时，( 1 1 ) 称为粘性b o u s s i n e s q 方 程组，当1 = e = 0 时，( 1 1 ) 称为无粘b o u s s i n e s q 方程组 b o u s s i n e s q 方程组与流体方程中的n a v i e r s t o k e s 方程组及e u l e r 方程 有着密切的联系当温度函数口( z ，t ) 为零时，( 1 1 ) 即为n a v i e r - s t o k e s 方 程组众所周知，n a v i e r - s t o k e s 方程组与e u l e r 方程是描述流体运动的基 本方程与n a v i e r - s t o k e s 方程组及e u l e r 方程相比较，b o u s s i n e s q 方程组 多了一个未知温度函数，而且温度与速度和压力之问存在蔷复杂的非线 性关系从热动力学可知，任何运动都会产生热量即有温度，而且温度 与速度和压力之间必定互相转化，因此对该非线性系统的研究更具有实 际意义，也更富有挑战性 近些年来，有关b o u s s i n e s q 方程组的研究取得了一些新的进展，对 解的存在性、唯一性研究结果较多，关于b o u s s i n e s q 方程组解的时空衰 减性态的研究结果较少而n a v i e r s t o k e s 方程组解的时空衰减已有很多 结果： 1 9 9 9 年，何成和辛周平研究了r 3 中非定常n a v i e r - s t o k e s 方程组 解的护( p 22 ) 的时空衰减性( 3 】) h y e o n g - o h kb a e 和b u mj aj i m 给出了 n a v i e r s t o k e s 方程组的时空衰减估计( 1 ) ) h y e o n g o h kb a e 和b u mj aj i m 2硕士毕业生毕业论文 2 0 0 6 矩 给出了n a v i e r ，s t o k e s 方程组的时空衰减上下界( 2 】) 本文将借鉴文【3 】中 研究n a v i e r - s t o k e s 方程组时空衰减估计的方法，来研究b o u s s i n e s q 方程 组的时空衰减性 为了简单起见，我们让1 = ( = 1 我们首先给出弱解和强解的定义 定义1 如果( u ，0 ) 满足： 1 ) 对任意t 0 ，札l 。( o ，t ；l 2 ( r 3 ) ) n l 2 ( o ，t ；日1 ( r 3 ) ) ，0 l 。( o ，t ； j l 2 ( r 3 ) ) nl 2 ( o ，t ；日1 ( r 3 ) ) 2 ) ( u ，0 ) 在分布意义下满足方程( 1 1 ) ，也就是对每一个c 舞, a r r 3 ) 有 z 。厶( 髻u + v u v j i + ( “v ) u 一o f ) d x d r = 厶( z ，i ) o ( z ) d x z ”厶( 一筹目+ v o 甲+ ( “v ) o - ) d x d r = 厶咖( z o ) o o ( 圳z 3 ) 在分布意义下d i v u = 0 ，即对每一个妒c 伊( 帮) ， r 3 “( x , t ) r e ( 。) = o - 则( u ，0 ) 称为c a u c h y 问题( 11 ) 的弱解 定义2 如果对3 0 ，( u ，0 ) 满足定义1 中的2 ) ，3 ) ，则( ，0 ) 称为c a u c h y 问题 ( 1 1 ) 的强解 下面的定理描叙的是本文的主要结果，我们首先考虑的是加权的2 空问中弱解的存在性和整体估计 定理1设u o ，o o l 1 ( 兄3 ) nl ；( r 3 ) ，( 1 + i x l 2 ) 1 2 “o l 2 ( r 3 ) ，( 1 + 川2 ) 1 ，2 0 0 l 2 ( 舻) ，1 ( o ，o o ；。( 帮) ) 则方程组( 1 i ) 在。( o ，+ o 。；l 2 ( 彤) ) 中存在一个弱解( “，目) ，使得对任意t 0 有 l i ? 一| - l l ；+ 1 1 p l i ；+ 2 i i v u j l ：十i w o i l 2 d s 茎( 为( u o ：+ 1 1 0 0 1 1 9 ： 1 1 0 + 1 2 1 2 ) 1 2 “i | i + i l ( 1 + l z l 2 ) 1 2 0 1 1 ；+ 2 ( i i ( 1 + l z l 2 ) 1 2 i v u 川；+ l i ( 1 十l z 尸) 1 2 i v o l l l ；d s 0 ，则对任意三= 0 有 1 1 ( 1 + 1 2 1 2 ) 州训纠卅m 3 4 口胁朋( 1 + m 舭l v u | l ；+ m + i z l 2 ) 3 4 i v o l l l ；e s f a 2 + g 这里a 2 = i i ( 1 + i x l 2 ) 3 4 “o | | ；+ 8 ( 1 + i x l 2 ) 3 4 | | i + c a ；2 ( | l u o i i ；+ 1 1 0 0 1 1 2 ) 5 8 + ( 胁。躯+ 1 i 0 0 1 1 i ) 趴2 对于强解的时空加权估计，我们有下面的结论 定理3 设7 1 0 l 1 ( 舻) nl ：( 舻) 1 ( 腰) n 睇( 带) ，( 1 + 2 ) 1 2 7 1 。 l 2 ( r 3 ) ，( 1 + l z l 2 ) 1 2 0 0 l 2 ( r 3 ) ，l i ( 1 + i z l 2 ) 。2 i f ( t ) l l l l c o4 - ) - 3 2 一。且( 1 + l zj 2 ) “2 u o l p o ( r 3 ) ，( 1 + l z l 2 ) 。2 0 0 l p o ( r 3 ) ，1 p o + o 。，a = 3 3 p o 则 存在一个常数a 0 ，使得当l i u 0 1 1 , + l i o o l l + l i “o l l z + i o o l l2sa 时，对任意 t 0 ，卢= ( 3 p o 一3 p ) 2 ，对3 0 满足 堂，娑，黑，婺l 。( 咿；l 。( 伊) ) o t a z 。11 9 譬。a z l a z ：一 、 、77 6 硕士毕业生毕业论文 2 0 0 6 年 尝，婺，黑l 2 ( 咿；p ( r s ) ) 挑如。如t ，。 、7 、“ 为了导出u 的积分表示，我们可以利用投影算子p ：p ( 印) 一瑶( r 3 ) 的奇异积分表示，也就是： p = 咖+ 去v 如五。鹊慨 v l 2 ( 带) 利用s t o k e s 方程的基本解，我们可以将b o u s s i n c s q ：z 翟i l c a u c h y 闻颞中有关u 的方程写成 这里 y 4 ，t ) = c 钍r l ( c u r l u ) = 一+ v d i v w ， i = 1 ，2 ，3 比牡石1 厶等产妇。 毗，垆去上。掣兆 ( 2 5 ) ( 2 4 ) 和( 2 5 ) 式的推导见l a d y z h e n s k a y a 7 b o u s s i n e s q 方程c a u c h y 问题中有关口的方程的解可直接由热方程得 到 将f 2 2 ) 第一个方程两边乘以p 扛一y ，一t ) ，对任意的0 e t ，在 v 即，t 0 ，t e 上积分得t 厂上。( 筹- a u k ) ( x - - y , 胁打 第二章逼近解和它们的积分表示 = 厂上。i v ”p “+ 萨卜( u “v ) 缈( z g , - - t ) “渺 因为( 一鲁一z x ”) v = 0 和= p ( r d ) ，可得 f ru k ( ，l e 妒( x - - y 一) 妇一f r a k ( 们( x - y , t ) 由 = 厂厶内一( 扩) u “旷( x - y , t - t ) 。，8 7 因为u 的散度为零，由p 扛一，t t ) 的结构可得 l i r a j 舻u k ( y ，一t ) ( 。一妇= “) 这里u ：是扩的第i 个分量从而 娘刈) = 一r 厶【( u k - 1 v ) 铲i v 4 ( z - y , t - r ) 州r + a y ( y ) ( x - y , t ) 曲+ j ( 厶铲，( x - y , t - t ) 咖d t 7 将( 2 4 ) 中第一式代入，通过分步积分得到 艰州) 一f of r 3 。暑3 蜘，r 1 丽口( x - - y , t - - t 打 + 肌手砖飞如，r ) 茜【、( x - y , t - r ) d y d c + f r s 以班( 啪坳 十从啊r ( x - y , t - r ) e i d y d r + r 厶y 五去日( x - - y , t - - t 胤r 同理，将( 2 2 ) 第二个方程两边乘以1 1 扛一g ，t t ) ，对任意的o e 0 ，则 i | 矿( 刚：，渺( o il 2 墨c t 一 一警，m = r a i n 1 ，2 - r ( + ) 证明；三：范数的估计已有，下面只估计l - 范数 由前面矿，0 的积分表示可知 矿：r “o + 厂( v r 扛，一r ) + d 3 日( z ，t r ) ) ( 矿 矿) + ( r 扛，t r ) 4 - d 2 0 ( z ，t r ) ) 十( 驴f ) d r 上式右端各项分别估计如下， l l r + o ij l i i r i m “o l l , sc ，i i ( v r ( 。，一r ) + d 3 目( z ，t r ) ) + ( 矿圆扩) l i - d r 兰t i l v r ( z , 一r ) + d s o ( z ，t t ) 9 1 1 1 铲 u 。1 f l 打 c 0 一r ) 。2 ( 14 - r ) - 3 2 d t - 。l i ( r ( z ，一r ) + d 2 5 ( z ，一r ) ) + ( 目f ) l l - d f t 1 1 r 扛，一t ) 十d 2 百( z ，一r ) i f l i i o f l l - d r g z ( 1 + 丁) 一3 7 2 d r ej u 由上述估计我们得l l “2 ( t ) l l - c 同理可证1 l o 。( 刚l c ( ) 的证明可类似于n a v i e r s t o k e s 方程组得到( 见( 1 5 】) ，这里从略 下面是主要的加权估计 第三章弱解的空间加权估计 引理3 3 设u 0 l 1 ( r 3 ) ，( 1 十j z l 2 ) 1 2 “o l 2 ( r 3 ) ，0 0 l 1 ( r 3 ) ，( 1 + z 1 2 ) 1 2 0 0 l 2 ( r 3 ) ，f l 1 ( o ，。；l 。o ( r 3 ) ) 则有 + 2 f o1 i ( 1 + i x l 2 ) 1 7 2 i v 。l | i ；+ 1 1 ( 1 + 1 2 1 2 ) 1 7 2 l y e 川i d s 茎c a l ， 其中a - = e c t ( 1 l “。鹏+ 1 舶l l ：) ( 1 l ( 1 十l z l 2 ) l 2 u o 惦+ i l ( 1 + i z l 2 ) 1 2 如瞻+ q ( j f “o l i ；+ l i 0 0 1 1 ；) + 岛2 ) 这里c 1 ，c 2 依赖于i i f l l 刚山岛依赖于“o ，如的l l ，l 2 范数 证明：对( 2 2 ) 第一式两边取散度得 d i v ( 警一u k + ( ，l k - 1 v ) u 卜d i v ( 一v p k + o k f ) 从而得到 舻一毒去憎。蜘m 渺n rn 矿= 一 i 薹= 10 x i o z j 。( u ：一1 “；) 】+ 一1 ( 。1 v ( 驴，) ) 垒p f + 砖 利用c a l d e r 6 n z y g m t m d 不等式有 p 铷2se | | 扩。队 且 i i v p l l l z 茎c l i o ：1 1 。c i i f l l 。i i o 怯 如果( 1 + 1 2 1 2 ) 1 2 驴- 1 l 麓( o ，。；l 2 ( 即) ) ，( 1 + 1 = 1 2 ) 1 2 0 2 1 l 麓( o o o ；l 2 ( r 3 ) ) 我们可得到( 1 + h 2 ) 1 2 l t o 麓( o ，。；l 2 ( 舻) ) ，( 1 + 1 2 1 2 ) 1 2 胪l l o ( o ，a c ；l 2 ( 舻) ) 可以推出 二。( 1 十垆i ) l u k z 。厶( 1 十l v “d l 厶。( 1 + 2 ) 妒i 。出，z 厶( 1 + 蚓2 ) 1 w 1 2 出打 1 2硕士毕业生毕业论文 2 0 0 6 拒 是有限的 ( 2 2 ) 第一式两边同时乘以( 1 + h 2 ) 矿在r 。上积分得 景1 1 ( 1 + z 1 2 ) i n u k 肛2 上。( 1 + i ) l v u k l 2 如 2 厶礴( 1 + i u # l d x + 厶。a ( 1 + m u h i l “ f + 2 厶a ( 1 + iu 错如一2 厶。( 1 + m u ；蹦如 + 2 厶( 1 + m 扩驴，虹 ( 2 2 ) 第二式两边同时乘i a ( 14 - l x l 2 ) 萨在r 3 上积分得到 扣仆一帕州睦+ 2 厶( 1 仆1 2 ) 嗍 f 3 4 1 = 上。磷( 1 + 渖1 2 ) l e i 出+ 上。a ( 1 + l z l 2 ) “：- 1 l e “i 出 ( 3 3 ) ，( 3 4 ) 两式相加，利用h s l d e r 不等式，内插不等式和嵌入不等式得 知( 1 + i x 2 ) 2 i t k l l + 1 1 0 + i 帅萨旧 + 2 r a ( 1 + i x l 2 ) l v i t 1 2 如+ 2 上。( 1 + l x l 2 ) l y e i 如 cl l i t 。崆+ c i l e 旧4 - c i l ( t - f 2 ) 驴1 1 2 l l - 1 1 1 4 1 t , t 1 t 4 + e l l ( 1 + l z l 2 ) 1 2 u 8 2 i i p 1 1 2 + c l l ( t + l z l 2 ) 1 2 “1 1 2 1 t ( 14 - | z 1 2 ) t 2 目| i 。l l ，j | l * + c i l ( 1 十h 2 ) 1 2 州l z i i “1 i h t l e l l t c l l c q l l + t i l e * i i ；十c 1 1 ( 1 + i x l 2 ) 1 2 u i i ：i l u 。一1 i i i 肛| | u l i i 4 i t v i t 2 1 i i i 7 4 i i v , 一i i ；7 4 + c i i f l l l m l l ( 1 + 2 ) m i t 1 1 。1 1 ( 14 - 2 ) 扩1 1 2 + c l i o + t z l 2 ) = e k l l 。i i , - , 一4 l i e 4 i i v , m “缈l i v e 2 缈 ( i | ( 1 + i x l 2 ) 1 2 “i i l + i l ( 1 十t x l 2 ) 1 2 驴i g ) ( 1 l v u 一1 舱i i v , j ：1 1 2 + l l w 一1 l i v e l l 。+ c i i t l l l 一) + c i i u 一1 旧+ v i i , , 0 i + c l l e 2 幄+ c i i v u ”1 艟4 - c i i v , , 髂十c l i v e 2 眩 利用g r e w a l l 不等式引理3l 和引理3 2 就可以得到本引理的结论 第三章弱解的空间加权估计 1 3 弓i 理3 4设u o l 1 ( r 3 ) nl ；( r 3 ) ，0 0 l 1 ( r 3 ) nl ；( j 【c 3 ) ， l 上j 3 2 札o l 2 ( r 3 ) ，l z l 3 2 目o l 2 ( r 3 ) ，l 1 ( o ，。；工。( 。r 3 ) ) 贝0 有 i ( 1 + z 1 2 ) 3 4 幢+ 溅1 + 1 2 1 2 ) 3 4 矿9 ； + a ( 1 + i 舭i v 矿吣+ 1 1 ( 1 + f x l 2 ) 3 7 4 | v 萨i l i a d s c 4 m 2 + 魄l 。g o + t ) 对k20 ，t 0 一致成立这里a 2 = i i ( 1 + 2 ) 3 4 u o 惦+ i i ( 1 + 2 ) o o lj l + c a i 2 u o i l 2 十i i o o 嘞5 8 + ( i | u o 旧+ i l 0 0 1 1 ；) 5 1 2 】，c 4 ，g 依赖于1 1 1 1 1 十另外， 如果i i e - - t a u o l l l + i i e 。4 i i l c 0 + t ) 一 ，1 0 ，贝有 i i ( 1 十i z l 2 ) 3 4 札躬+ 0 ( 1 + | z 1 2 ) 3 4 驴i i i + 厂| | ( 1 十i z l 2 ) 3 4 l v “川i 十i i ( 1 + l z l 2 ) 3 4 i v o i l i a d s 茎c 4 a 2 + 岛， 对0 ，t 0 一致成立 证明t 利用估计( 2 7 ) 和不等式 ( 1 十l z l 2 ) 。2 茎2 。2 ( ( 1 + l 剪1 2 ) 。2 十l z 一剪l 。) ，o20 ( 3 , 5 ) 且利用第三章中逼近解的积分表示通过较长的计算可得，只要( 1 + l z l 2 ) 3 4 u 一1 l t ( o ，o o ；l 2 ( 。舻) ) ，( 1 + l z l 2 ) 3 4 口2 1 壤( o ，。；三2 ( r 3 ) ) 贝9 有 ( 1 + k 1 2 ) 3 4 “l 慧( o ，o o ；l 2 ( | r 3 ) ) ，( 1 + i x l 2 ) 3 4 驴l t o 。c ( o ，o o ；l 2 ( r 3 ) ) ，( 1 + j 叫2 ) 3 4 i v 札i l 乙。( o ，。；l 2 ( r 3 ) ) ，( 1 + i 茁1 2 ) 3 4 l v 扩i 皖。( o ，o o ；l 2 ( r 3 ) ) ，由 归纳法得出厶。( 1 + h 2 ) 3 忙l “1 2 d z ，j o 上。( 1 + 2 ) 副2 v 扩1 2 d x d ，厶。( 1 十 l x l 2 ) 3 2 l 胪1 2 d x ，f 上。( 1 + i x l 2 ) i v 驴| 2 d x d l 是有意义的 ( 2 2 ) 第一式两边同时乘以( 1 + i x l 2 ) 3 2 u o 在r 3 上积分得 翔( 1 + i x l 2 ) 3 4 矿i i ；+ 2 忡+ i x l 2 ) 3 4 i v 矿幡 b = 一2 上。觑( 1 + i z l 2 ) 3 7 2 “a “2 d z + 上。a ( 1 + i z l 2 ) 3 7 2 “：一1 j “1 2 d 。f 36 ) + 2 五。o i ( 1 + h 2 ) 班u ；前如一2 。( 1 + h 2 ) 舭“；彘砖妇 。 + 2 上。( 1 + 3 2 u k 驴l d z 1 4礤士毕业生毕业论文 2 0 0 6 年 ( 2 2 ) 第二式两边同时乘以( 1 + i x l 2 ) 3 2 0 在群上积分得 扣+ 舭驴叶2 | | ( h 舭m 帕 = 一2 i 。岛( 1 + i z l 2 ) 3 7 2 驴a 矿d z + 30 i ( 1 + i z l 2 ) 3 2 u ：一1 i o 1 2 d z ( 3 6 ) ，( 3 7 ) 两式相加可以推出 劫( 1 + l x l 2 ) 3 4 u + 1 1 ( 1 + i x l 2 ) 3 7 ；) + 2 ( 1 i ( x4 - l z l 2 ) 3 4 i v , , l l l 2 + i i ( 14 - 2 ) 3 4 i v o 吣) 6 上。( 1 + iu 怖恤+ 6 f r 3 ( 1 + i z l 2 ) 桫1 2 如 十6 厶( 1 + m 硝i 如+ 2 厶( 1 + i z l 2 ) 3 7 2 i , ? i i v v ；i , z ( 3 8 ) + 2l ( 1 - 4 - i x l 2 ) 即l u 1 1 0 “i i f l & j - 岵 + 6 f a i l + i z l 2 ) 1 0 i l v o l 如+ o i u l + i z l 2 ) l i l 一1 i i o 1 2 如 垒屯 t = 1 这里l = k 2 = 3 = = b = 6 ，k 4 = b = 2 下面分别估计( 3 8 ) 右端的七项首先估计， 如下 ，l = 1 + i z l 2 ) l l ? l l v “| d z = 1 + i z l 2 ) 3 一l v “i ( 1 + i 1 2 ) 1 7 4 i u l 出 sl i ( i + k 1 2 ) 3 4 i v 8 川2 1 1 ( i + 1 2 1 2