（基础数学专业论文）特征标π块的性质.pdf

首都师范人。2 0 0 8 年硕： ：毕业论文 摘要 设g 是一个有限群，丌是一个素数集如果对所有丌中素数p 来说b 是特征 标p 一块的并，而且b 是这样的最小并，那么我们称b 是g 的一个特征标丌一块记 b l k 霄( g ) 为g 中所有丌一块的集合 本文讨论特征标丌一块和特征标p 一块性质上的对比，基本结论罗列如下( 其 中的特别记号见正文) ： 定理l 若任给p ，r ，有pli a l 贝j l b r ( a ) = i r r ( g ) 定理2 设氓z ) ： i g i ”口( z ) z e o ，蚕( z ) ：p ( z 丌，) ，z g 若伊z i ( a ) lu z l i b ，( g ) 】， l 0 z 甓g ” 则卿舀都是g 的广义特征标 定理3 任给p 7 r 和歹l 都有矿p h ( 1 ) ，其中o ( p ) = ( p ) ( i g i ) 定理4 设h 是g 的一一子群，则特征标圣。是特征标( 1 h ) g 的不可约成份若h 是g 的 7 r 一李 、，贝l j 圣1 = ( 1 h ) g 定理5 设七k ，6 ( p ) - ( p ) ( 舭( 1 ) ) ，则亍土万苁是g 的广义特征标，而v q 7 r ，三q 上1 - i 燕不 ll 口e ，_vt(p)pc： 是 定理6 设b j e i 2 后丌( g ) ，分解矩阵d ( j e i ) 不是形如f 木o1 的矩阵 0 乖 定理7 设d 是分解矩阵，c 是卡当矩阵若存在一个置换矩阵p ，使得d 满足p d = f d 1 1 ，其中d 。是一个a a 阶的可逆矩阵，p 1 是一个正交矩阵那么存 p 1 d 1 在七七阶矩阵s ，使得s d ：以f d 1 1 并且有d 丁s t s _ d ：c 0 定理8 设d 是一个分解矩阵，若存在一个置换矩阵p ，使得d 满足p d ：f d 1 1 ， 只d 1 其中d 。是一个a a 阶的可逆矩阵，p 1 满足掣p l = o 且r 砰= 0 那么存 在是阶正交矩阵s ，使得s d ：f d i 1 并且有d t s t s d ：c 0 定理9 设d 是一个分解矩阵，c 是卡当矩阵若对某个舭：n 有k = a + i ，且k = 2 n ， 那么存在后后阶矩阵s ，使得s d ：f d 1 1 ，其中d 。是一个a a 阶的可逆矩 0 阵，并且有d t s t s d ：c 特征标7 r 一块的性质 定理1 0d e t ( c ) = 1 - i f ai ( ) i 亓 定理1 1 若b b l k 霄( g ) ，k k ，贝j j k e r b = 0 丌，( k e r x 七) 定理1 2 若b b l k 。( g ) ，贝l j k e 7 ，b = n j l ( b ) k e l 吻 定理1 3 假设司g ，p i b r ( n ) ，妒i b r ( c ) 是移g 的不可约成份，若8 = 9 1 ，口2 ，仇 是口的所有g 一共轭，则( 垂妒) = e 名1 西其中e = ，( ，口) 关键词：特征标丌一块，主不可分特征标，b m 脚特征标，丌一块分解矩阵，丌一块卡 当矩阵 首都! j | i j 范人学2 0 0 8 年硕士毕q k 论文 a b s t r a c t s u p p o s et h a tgi saf i n i tg r o u p ，a n d7 ri sas e to fp r i m en m n b e r l e tb i r r ( g ) b e n o n e m p t y , t h e nbi sc a l l e da 丌一b l o c ki f ff o re v e r yp 丌bi sau n i o no fp - b l o c k sa n d bi sm i n i m a lr e l a t i v e l y i nt h i sp a p e r ，w ew i l lc o m p a r et h ep e r o t i e so f7 r - b l o c k sw i t hp - b l o c k s ，a n dg e t f o l l o w i n gc o n l u s i o n s ： t h e o r e m1i fp tl g lf o ra n yp 万，t h e ni b r ( g ) = i r r ( c ) t h e o r e m2s e t0 ( x ) = 。0 ( x ) z g o z 掣c o t h e n 伊a n d0a r eg e n e r a l i z e dc h a r a c t e r so fg 1 1 1 ，o ( x ) = 口( z 丌，) ，z g i fo z ，7 r ( g ) 】uz i b r ( g ) ， t h e o r e m3s e to ( p ) = ( p ) ( i g i ) ，t h e n 矿p i 呜( 1 ) ，f o ra n yp 丌，j l t h e o r e m4 s e thb ea7 r 7 - s u b g r o u po fg ，t h e n 圣1i sa ni r r e d u c i b l ec o m p o s i t i o no f c h a r a c t e r ( 1 n ) g i fh i sa7 r c o m p l e m e n to fg ，t h e n 西l = ( 1 ) g t h e o r e m5f o rk ka n d6 ( p ) = ( p ) ( ) ( 奄( 1 ) ) ， g ，w h l l ev 口吼；正扣赢1 sn o t t h e o r e m6d ( b ) i sn o to ft h ef o r m ag e n e r a l i z e dc h a r a c t e ro f ：) r o 拶b 吲g 卜 t h e o r e m7f o rd e c o m p o s i t i o nm a t r i xda n dc a r t a nm a t r i xc i ft h e r ei sam a t r i xp s u 出t n 舯。= ( 品。) 1 w l 埘e 刚川n v e m 龇m a t 咄舢埘胛k n t h e r ee x i s t sak 七m a t r i xss u c ht h a ts d = 以 乞1 ) a n dd t s t c t h e o r e m8f o rd e c o m p o s i t i o nm a t r i xda n dc a r t a nm a t r i xc ，i ft h e r ei sam a t r i xps u c h 她tp 。= ( 盆。) 舢e r e 刚川m 沁聃am a t 觚础t h a t p 1 t p l = 0a n a 最砰- o n e n t k s t s 出t 榔s u c m a t 以( 乞1 ) a n dd t s t s d ：c t h e o r e m9f o rc o m p o s i t i o nm a t r i xda n dc a r t a nm a t r i xc ，i fk = a + 1 ，k = 2 ”w i t h 佗n ，t h e nt - - e r ee x i s t sa 克七m a t r ；x ss u c ：h t h a t s 。= ( ：1 ) ，w t - e r e 。t s a a p o 1 v 特征标7 r 一块的性质 i n v e r t i b l em a t r i x a n dd t s 丁s d = c t h e o r e m1 0d e t ( c ) = n j al c g ( x j ) l r t h e o r e m1 1i fb b l k 。( g ) ，k k ，t h e nk e r b = 0 丌，( k e r x k ) t h e o r e m1 2i fb b ( g ) ，t h e nk e r b = n c ( b ) k e r i o j t h e o r e m1 3s u p p o s et h a tn 司g ，0 t b 7 。( ) ，笋t b l ( g ) i sa ni r r e d u c i b l ec o m p o s i t i o n o f0 g ，a n d0 = 0 1 ，0 2 ，巩i sd i s t i n c tc o n j u g a t e so f0i ng ，t h e n ( 西妒) = e ：l 圣巩， w h e r ee = i ( 1 ，o n ，p ) k e y w o r d s ：7 r b l o c ko fc h a r a c t e r s ，p r i n c i p a li n d e c o m p o s a b l ec h a r a c t e r ，b r a u e rc h a r a c t e r ， c o m p o s i t i o nm a t r i xo f r - b l o c k s ，c a r t a nm a t r i xo f7 r - b l o c k s 首都师范大学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导f ，独立进行 研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何 其他个人或集体己经发表或撰写过的作品成果对本文的研究做出重要 贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明 的法律结果由本人承担 学位论文作者签名：靠造 日期：年月 日 首都师范大学位论文授权使用声明 本人完全了解首都师范大学有关保留，使用学位论文的规定，学校有 权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸 质版有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校 图书馆被查阅有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索有权将 学位论文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在解密后适用本规定 学位论文作者签名：舞赴 日期：年月日 首部! j i i j 范人节2 0 0 8 q - 硕上毕业论文 引言 随着r b r a u e r 在有限群上的p 一块理论的成功，我们很自然的想到更广 的概念，将单个素数p 用一个素数集合丌代替因此很自然的有这样一个问 题，如何定义一个7 r 一块? 而事实上，r b r a u e r ，r e y n o l d s 和f e i t 已经考虑过这个问题了i i z u k a 用特 征标p 一块的并来定义一个特征标丌一块，并证明了特征标丌一块上的b r a u e r 第 二主要定理i s a a c s 在【2 】中定义了丌一可分群上的舔，特征标，使得我们可以具 体构造所谓的b r a u e r 特征标s l a t t e r y 在 7 1 $ h s 1 中利用毋，特征标的性质建立 了丌一可分群上丌一块理论朱一心在【1 0 】和【1 1 】中证明了丌一可分群和一般有限 群上的丌一块f o n g 对应，并证明对应块中所谓的b r a u e r 特征标存在着一一对 应，对应的块有着相同的分解数和卡当数本文将讨论丌一块与p 一块的性质 对比，因此可以知道本质上特征标p 一块的哪些性质只要通过类函数就可以 实现 符号以及预备知识 我们先叙述一些特征标丌一块理论的基本结果，具体内容可以参考文献 2 】 ，【3 】，【4 j ，【6 】，【7 】，【8 】等 设g 是一个有限群，丌是一个素数集一般地，我们用g o 来表示g 中所有丌一正 则元的集合，表示元素z 的丌一正则部分用c z ( g ) = g l ，g 2 ，g 七 表示 群g 中所有共轭类的集合，其中g 。，g 2 ，g a 为g 的丌一正则共轭类令k ： 1 ，七) ，l = 1 ，入) ，仍为g j 中指定代表元i r r ( g ) 是g 中所有不可约常特 征标的集合，2 是含i g | _ 次单位根的有限代数数域对于任意素数p ，定义( p ) ： q _ z 是p 指数映射，其中( p ( p ) ：1 设o ( p ) 是q 中的局部整环，p ( p ) 是对应的素 理想q ( p ) ：= d ( p p 并设d ( 丌) = r l p 霄d ( 川对任意x g ，记x + ：= z x z 对于每个素数p ，可把g 中所有不可约常特征标的集合i r r ( g ) = 地，x 七) 划分成若干个p 一块b 1 ，5 2 ，而肌和枷属于同一个p 一块当且仅当对任意j k ，有u 七( 岛+ ) 一坩( q + ) p ( p j ，其中u 七( c j + ) ：= 肇鲁铲为对应) ( 七的一个线性 特征标最后，给定一个p 一块b ，我们定义对应b 的线性特征标钆：u 七( g f + ) + p ，其中j 是k 中任意元 2特征标7 r 一块的性质 定义l 础1 。j ，我们称b 是g 的一个特征标耳一块，如果对所有丌中素数p 来说b 是 特征标p 一块的并，而j i b 是这样的最小并t a b z k 丌( g ) 为c 中所有特征标丌一块 的集合 本文中所述的p 块和丌一块均指特征标块对每个p 丌和每个b b l k 丌( g ) ， 令( b ) ( p ) 是b 中所有p 一块的集合，即b = u 6 扩( b ) t ，b 在此无需假设p 丌，因为当p 不整除i g i 时，对g 的任意不可约特征标x ， x ) 就 是g 的一个p 一块；这时丌一块和小 p 卜块是一样的 定义2 9 ；p 2 3 7 2 给定g 的一个广义特征标x 和它的一个丌一块b ，我们说x b ， 如果对每个x k i r r ( c ) 有：若【x ，x o ，则x 惫b ；其中f ，】是g 中两个类函数的 内积耐g 的类函数) ( ，妒，【x ，纠= 南9 g x ( 9 ) 而少 我们把( g ) 记为由g 中所有在丌一奇异元上取值为0 的广义特征标组成 的秩为a 的z 一模；它存在一组z 一基圣1 一，西a ，并且这组基满足：对任意j l ，都 存在b b l k 。( g ) ，使得圣j b 我们固定( g ) 的这组z 一基圣1 ，圣入把这 组基中每个元垂f ，称为主不可分特征标我们记k ( b ) ：= k k b ， 己( b ) ：= d i l 呜口) 我们如下定义g 的丌一块的分解数和丌一块的卡当数劬，奶= 七k 锄一知kd k j d 幻，而丌一块的分解矩阵和丌一块的卡当矩阵分别为d = ( d k j ) k k 水l 和c ：( 协j ，l 它们跟丌= p ) 时有着类似的块结构因此，对一个丌一块b ，我 们把d ( b ) 记为属于块b 的分解矩阵，把c ( b ) 记为属于块b 的卡当矩阵因为c 的 秩为入，则乃e t ( c ) o ，所以对每个万一块b 有d e t ( c ( b ) ) 0 因此我们也可以定 义丌一块b 的b r a u e r 特征标叻，叻= 代l ( b ) 幻，呜，其中( 切仍j ，l ( 口) = c 一1 ( b ) ，则呜= ，恤( 鳓勺j 畅，对任意歹l 和任意丌一块b ，定义呜b 当且仅当叻b 我们 把g 的所有b r a u e r 特征标的集合记为i b r ( c ) ，而所有属于块b 的b r a u e r 特征标 的集合记为i b r ( b ) 我们可以看到与p 一块相比丌一块是通过特征标或者讲 类函数的属性来定义的 以下结论对于我们的讨论是至关重要的，这些结论在文献【9 】中没有给 出细致证明，为熟悉结论的逻辑结构，我们给出了引理l 以外的所有证明， 引理l 矽；j 研对任意j 7 l 和凫k ，x 忌( 乃，) = j ld k j 妒j ( q 3 ，) 首都帅范人学2 0 0 8 年硕： = 毕业论文 3 设 ) ( = ( 二：) ，圣= ( 三：) ，妒= 妒1 ： 妒a 引理1 即x o = d 妒，妒= c 一1 d t x o ，x = d c 一1 垂，其中取是k 后单位矩阵 引理2 协f 纠对l ，如l ，有 易。j 。l 蚀( 乃，) i = 瓣叻。( ) = j 3 e l 证明：由常不可约特征标的列正交性 j a c l f f t - 一 如工j 4 e l 勺。j f 4 。( 乃。) 叻。( 彩。) ( d k j 。函丽) 吻。( ) = k e k = j 3 e lj 4 e l p - - j i l 里3 = ( 【协】。) 昧l j a 6 l d 场叻。( 仍：) 瓣。( 毋。) j 3 e l c 3 3 a 仍。( 缈。) 3 ( 鲫：) 口 证明：由前面的讨论，我们可以汪明c 是一个可逆矩阵，e p c 一1 存在由引 理2 ，可得 所以有 那 哦( 缈)最工如她波水l 1 誓三卜 删2 网1 嘉纵9 ) 骊2 毋，募， i ( 彩州 忱( 缈，) 呜( 功，) = 如 么，如= ，呜】。= j l 胁，叻】。因此，c l = ( 慨，】。) i , j e l 4 特征标7 r 一块的性质 口 引理4 陟j 对任意个丌一块b 都至少包含了一个b r a 牡e r 特征标，那么也至 少包含了一个主不可分特征标，所以旧k ( g ) i g 中丌一正则类的个数 证明： 任取b 中的不可约特征标x 七，则吼( b ) ( 1 ) = 肌( 1 ) o ，所以也 必然存在j 三( b ) ，使得d k j 妒j ( 1 ) o ，那么呜，b 也就是说，对任意一 个丌一块b 都至少包含了一个b r 口乱e r 特征标和一个主不可分特征标，所以旧七( g ) i g 中丌一正则类的个数 引理5 协j 彰对每个p 7 r 都存在k ( v ，” p 口 k ，使得妒i = a ，l i d e ( ( x k ( 缈) ) 删慨，) 批) g ) ( 1 ( 9 1 ) x l ( 纵) 、 证明： 考虑矩阵a ：i ： ； i l ) ( 南( 夕。) x 七( 9 a ) 因为坳丌以及p 一正则元毋，都有肌( 乃，) = ；：，留( 乃，) ，其中窍和毋分 别是p 一块分解数和p 一块的b r m 脚特征标，s 为g 中p 一正则共轭类个数显然s 入所以 ( x 七( 乃，) ) 眦工5d 艘。( ( 毋，) ) 州k 西以l 苴t * - - k p 。2 ( 留) 觚州l i 一，s 现令木是d ( p ) 到q ( p ) 的自然映射，则 ，x i ( 9 1 ) x ：( 纵) 、 肌卜。il = ( 。艘。) + ( ( 州) 纛力舴l x ；( 9 1 ) x ；( g n ) 由f 1 ；p 4 6 ，2 5 1 可知， 后( ( d 艘。) + ) = r a n 即艘。) = s 首部! f i f j 范人学2 0 0 8 年硕士毕业论文 再由【1 ；2 4 】， r 口扎七( ( 一j c p ，c 乃，) ：。，一，l ) = ，、 ，、i 1 1 。、。一血( p ) 。) 中可取出s 个线性 满秩矩阵，则( d 然) + ( 毋( 乃，) ) ：印， 由选取方法可知，( d 缨。) + ( 孝 5 无关的行向量，组成s s 阶子矩阵( d 姚) 为 是秩为a 的矩阵 ，s j 7 l 峨。， 相同，在这个矩阵中取入个线性无关的行向 是矩阵a t 的子矩阵如上 ，8 ) j 7 l 量，构成秩为a 的a 的axa 阶子矩 阵t * , 贝j j d e t ( t ) gp i p ) 令k ( p ，”) = 后k l x 七在t + 中出现) ，显然i k ( ”) i = 入 推论6 艘j 衫俐d e ( ( 叻( 乃，) ) 埘恤) 在o ( 7 r ) 中可逆j 俐对坳丌，d e ( ( d k j ) k e k ( p , = ) , j l ) 在( ) ( p ) 中可逆 证明： 由引理5 对任意p 7 r 都存在k ( p ，丌k 使得i k ( p ，”) i = a ， _ r i d e ( ( ) ( 七( 缈) ) 七倒吨弛) g p ( 川 再由引理1 ( x 七( 缈) ) 刚吐弛= ( d k j ) 麟帆吐弛( 恼) ) l 显然( 嘞) 七k 。”，j l 和( 吻，( 卯) ) 如眦都足方阵所以对任意p 丌， gp ( p ) ，即它在。汀) 中可逆，且有。酣( 蝻) 口 j k k o ，”) , t e l 口 6特征标7 r 一块的性质 正文部分 1 丌一块的特征标 在上述引理的基础上，我们现在来看p 一块中的哪些| 生质是可以对应到丌一块 上的由于丌一块是用特征标定义的，我们可以了解特征标块论的哪些性质 是只要由类函数就可以得到 引理7 胁j 哥设b 是一个丌一块，j l ( b ) ，则叻是b 的一个广义特征标在丌一正则 类上的限制，其中妒表示类函数x 在g o 上的限制 要证明引理7 需要以下几个结论 定理l 若任给p 丌，有p 十l a l 贝j j b r ( c ) = i r r ( c ) 证明： 由于p l a l ，那么g 是矿一群所以对v x i r r ( g ) ， ) ( ) 就是一个p 一块 再由p 的任意性和丌一块的定义可知，对任意一个g 的不可约特征标x ， x ) 就 是g 的一个丌一块所以v b b l k 。( g ) ，有1 7 甲( b ) = x ，b 中主不可分解特征标 和b r a u e ，特征标都只有一个，设为垂和妒则有圣= d x = c 妒，d 2 = c = d ，d = 1 ，圣= 妒= x ，故，b r ( b ) = ) ( 】那么 i t t ( c ) = ui r r ( b ) = u i b r ( b ) = i b r ( g ) 口 定理2 设虱z ) = 0 i g i 丌p z 二喜詈：，舀( z ) = 6 i ( z 丌，) ，z g 1z 仨g u 若0 z r r ( c ) uz b r ( g ) ，则砑口百都是g 的广义特征标 证明： 由b r a u e r ，sc h a r a c t e r i z a t i o no fc h a r a c t e r s ，只要证明若pxq g ，其 中p 是p 一群而q 是一循环群，则研订蚕在p q 上的限制酩q 和站q 都是g 的 广义特征标即可 设丌： p 1 ，p 2 ，p t ，记p q = q 1 q 。，其中q 是p q 的s y l o wp i - 子 群，不妨设r = q q 。，所以 o p x q = p q l x q 。= o ( 0 1 x q ) r =丽( 勉跏q 。o r ) q 1 ix xi 饥r ”一w 。一 其中加，跏q 。是q ，q 。的正则特征标。而 o p q = p q l q 。= o ( q l q t ) r = 1 q 1x q t 6 l r 由定理l 可知，是r 的广义特征标，那么酩q 和酩q 都是g 的广义特征标因 此拜口扫都是g 的广义特征标 引理8 若吻x b r ( g ) ，则是 x 2 i 屉k ) 的z 一线性组合 证明： 因为( 9 ) o = 妒，又由定理2 可知p 是g 的广义特征标所以有 妒= ( 驴) o = ( n k x k ) o = n 七x 2 ，a 凫z k c kk c k 口 口 引理7 的证明：由引理8 可知，对v 叻i b r ( g ) ，有叻= 七kn 幻) ( 2 ，其中n 幻z 那 么， 叻一a k j x 2 =n 幻x 2 k e k ( b ) k e k - k ( b ) 我们已经知道，主不可分特征标圣h 一，圣a 是g 上所有在丌一奇异元上取 值为0 的广义特征标的一组z 一基，那么根据b r m 埘特征标的定义可知，b r 口札e r 特 征标，妒a 也是它的一组基， 所以我们令 一a k j x o =a k j x 0 = ，伤， k e k ( b )k e k k ( b )j 7 e l 由引理2 ，协，c d o = 如所以有 ，= 【仍 a k i n o ，圣j ，】= 晒，, h i ，】一 k e k ( b ) 当7 乒l ( b ) 时，根据定义2 ，呜，gb 时有，一0 七e k ( u ) 口幻【x 2 ， h i ，】= ，一n 幻， k e n ( s ) 那么就有d 幻一嗽，呜，l = 【x 2 ，呜，】= 0 ，此 8特征标7 r 一块的性质 而另一方面， 一f a ：幻x 2 ，吲=8 幻魄，l -n k j d k j ， k 6 k k ( b )k 6 k - k ( b )k e k - k ( b ) 当歹l ( b ) 时，同样根据定义2 得到，d a j 一0 此时又有，一0 综合上述我们可以得到，对任意的歹7 l 都有一o ，即 仍一n k 0 =a k j x o k = 0 k e k ( b )k e k - k ( b ) 定理3 跏7 r 和l ，都有p a ( p ) h ( 1 ) ，其d p a ( p ) = ( p ) ( i g i ) 证明：任取p 丌，设p 是g 的s y l o wp 一子群，则 故结论成立 p l p 】_ 高( 呜) 出) 1 出) = 产z 。z p 口 口 定理4 设h 足g 的丌l 子群，则特征标圣。是特征标( 1 j f ，) g 的不可约成份若h 是g 的7 r 一补，贝l j 币l = ( 1 h ) g i , f n ：i n 乡b h g o , 所以对v 七k ，有( 瓢) 日= j l 嘶( 叻) h 又因为日是g 的丌，一子 群，则有i b r ( h ) = i r r ( h ) 故有，对坳l ，( 吻) 日是h 的常特征标n a x 七，( 1 月) g 1 - 【( x 七) ，1 h d k l 第一部分证毕 若日是g 的丌补，那么由定理3 ( 1 舯) _ - - i g c e g ( 1 棚) = 高邛坯叫 所以有垂1 = ( 1 日) g 首都! j i i j 范大学2 0 0 8 g 硕士毕业论文 9 定理5 设七k ，+ 记6 ( p ) = ( p ) ( x 七( 1 ) ) ，p 7 r ， 对v 口丌，；痧苁不是 口 则痧纛是g 的广义特征标，而 证明： 记赢= j k 【露，x j x j ，其中【苁，1 z 由苁的定义可知，【苁，】= 嗽，蔚】事实上，对坳丌，有( 力( 【 ，x a ) y ( p ( ) ( 七( 1 ) ) ，这是因为， 对坳7 r ，根据【1 ；3 2 2 】和【l ；3 2 1 1 有， 所以 杏苁2 暑夥均 是g 的广义特征标 假设j 南赢是广义特征标不妨设q 是g 中q 一子群，那么 曙杏( 础m = 石1 瓦1 矽慨h ，小石1 酝1 秒。高薹袖) l = 一 口驴1 1 p i q i l g i 丌， n p 丌6 9 r 。 删= 黔辫p e t r q ，y 是整数，因而荔路是整数，此时就有p ( x 缸( 1 ) ) 6 q + 1 ，与已知相矛盾 2 7 r 一块的分解矩阵和卡当矩阵 口 我们知道在p 一块理论中，分解矩阵的分块和p 一块是一致的，事实上，在丌一块 中也是一样 定理6 设b b c g ，分解矩阵。c b ，不是形如( 三：) 的矩阵 特征标7 r 一块的性质 证明： 假设。c b ，形如矩阵( 三：) ，则j c b ，c c b ，和刁如c b ，c c b ，使得 对v 七k b ( b ) ，j 彰l b ( b ) 有d 幻= 0 ，且对v 后gk 6 ( b ) ，j l b ( b ) 有嵋= 0 现令b = 瓢i k 玩( b ) ) ，显然，bcb 下面我们计算珈肼 一高e x k ( 1 ) 厕= 高憾e x k ( 1 ) c 未，丽) = 吼1 赢，则- ，( j e l b ( b ) 嘞丽) = 高，嘉，( 七东，咖) 丽 = 高，东，州丽= 赤，磊，篱丽硎丌 根据【9 ；4 2 】我们可以知道，b 是丌一块的并，矛盾 下面我们考虑这样一个问题，对于分解矩阵d 来说我们是否可以找到 这样的一个矩阵s ，使得s 。= ( 气1 ) 并且有。 。= 。丁s t s 。= c ，。t 是一个 可逆矩阵特别地，当s t s ：晚时有d t s t s d ：c 下面我们给出几个例子 定理7 设d 是一个分解矩阵，c 是卡当矩阵若存在一个置换矩阵p ，使得d 满 足一( 盆。) ，其慨是一个阶的可逆蹴且是一个正交矩醐s 么存在七七阶正交矩阵s 肢得s 。= 以( ：1 ) 并且有。t s 丁s 。= c 证明：如果我们能找到s 满足s 。= 以( 皿0 ) 并且有矿s = 玩即可使得 结论成立 因为r 是正交矩阵，那么由线性代数可知，知：2 a 首都| | j j 范人学2 0 0 8 年硕士毕业论文 令s ：羔i 勖 州p 1 p 7 r 1 lp ，则 一e 1 1 姗= ，老( 含量k ( 竺曼) p _ 丢矽( 2 2 抄 而 击( 竺曼卜= 击( 竺- 砰e a ) d 1 ，。) = 以1 _ _ e r ) d 。, 。+ 一玩p t r p i 。d 。1 1 f 2 d t 了= l 、2 0 压( ：1 口 定理8 设d 是一个分解矩阵，若存在一个置换矩阵p ，使得d 满足p d ：f d 1 p 1 d 1 其中d 。是一个a a 阶的可逆矩阵，p 1 满足砰只= o 且p l 砰= 0 那么存 ；在kxk 阶正交矩阵s ，使得s 。= ( 乞1 ) 并且有。r s t s 。= a 证明： 同上题一样，如果我们能找到s 满足s 。= ( ：) 并且有s 丁s = 玩即可使得结论成立 现令s = ( 竺- - 一e 砰k - a ) 只贝u s p t ( 曼一( 一： ) p _ p t ( e a o 0 ) p - 即= 最 而 s 。= - - 研e k - a 卜( 竺- e k _ a ) ) = o ( ：) 口 特征标丌一块的性质 下一个例子需要一个复杂的引理 引理9 设t = 2 ，4 ，8 ，则存在一组t 阶反对称正交矩阵 域上任给的一组向量a = ( 口 一，o 。) ，都有a ： o 辟 q 碍- 1 q 日 使得对数 ，o “t i i ； f 0 脚小卦o o 毗声一黼耨一的值 显然a a t = q q 丁易 = 一易 ，则一磅珐) = ，a = ：a t ：f 咄磁，b a 励 当t = 4 时，令磁= f ，p 。l 砖o 、= l 三0 ；0 110i1j 、，砰= ( 一： 曰= ( 警巍) 一瑶亿，= l 三o 三0 - 兰1 妻oj、，一砑，矗，= 则一磁珐) = ；r q a l 。， 砖 a 足 曙、ii， 、l 1 2 n n 2 吨 钆 。、 扎卅 o o = 当 | | 砖 1 吼 令 汪 勖o 、li， 0 o 1 0 0 o 0 0 o 0 0 0 l 0 0 ，。一 = 、i o 0 l 0 0 0 0 0 1 0 o 0 o 0 0 0 ，-。一 、i-、l_、 0 1 o 0 l 0 0 0 l o 0 0 o 1 o 0 o o o o o o o o o o o o o o o o ，l-ilii_iiliiil、，-i_l_lilliiii一 首都师范人学2 0 0 8 年硕士毕业沦文 另瞄么a = ( 享三三霎三； ，a 丁= ( 要! 主委三； = ( 三莩i 同样的方法可验证当江8 时命题也成立 令硌= ( 三：) = p 。一，o 砰、一 啊一麓。厂 谨= ( 三言 o0000001 00o00010 o0 00 0 l0 0 0000一l0o0 00010000 00一l0oo00 o1000000 10000000 0o0 000 00 0 000 oo l 000 100 0一l0 00o 000 00 0 00 o 010 100 o00 o01 00010 00001 o 一1 00 o 00 1 0 0 0 0o00 l000 0 0000 0 0o00 0 0 0100 01000 0 0001 o 0010 0000 0 0 0o00 l000o 0 0000 醇一i o e 4 皤一l 一段o 0oo010 0 0 0 00001o 0 00 000 010 00o0 0 0 0l 一1o000 0 0 0 0一l000 0 0 0 001o0 0 0 o 00o lo 0 o o 罐= ( 磁一：，& ，) = p 6 一f ，砑j 南 o 、一 罐一lo 一砑，鑫) 厂 o 0010000 00 100000 01000000 1000000 0 00 0 0 0001 0o00 0010 0 0o001 00 0 000一l00 0 00100000 00 0100 0 0 1o 00000o ol0o0ooo o0000010 00 00 0001 000ol000 00000100 首都师范人学2 0 0 8 年硕士毕业论文 曙= 一：喁) = 那么一磁硌， 一片瑶) = 0100000o 1 00000o 0 oo0 1o000 0ol0o000 o 0 0o0100 0000 10 o0 0o00000 1 o0o00010 00000001 000o00lo 0000010 o 0o001o00 0 0 0一l0 0 0 0 001o000 0 0100000 0 一l000000 0 00000010 o0000 001 000010o0 oooo0100 0 0 1 0o0 00 00 0 一l00 00 l0000 00 0 o一1000 000 特征标丌一块的性质 一谨鑫) = 一露珐) 一磺略) ooooo100 0o0010 00 000000 01 00000010 010000 o0 100000 0 0 000100 00 00一lo0o 00 0 c 0 1 c c c 0 0 0 0 0 0 o 0 0 0 0 0 o o o o 0 0 o 0 0 0 o 0 0 0 o o o 0 o o o 0 0 0 0 o o l 0 0 0 0 0 o l 0 0 ) 1 j ) 1 j 1 ) n u ) a c 0 c 1 0 c 0 0 0 0 o 0 0 0 0 0 0 0 o 0 0 l 0 0 0 o 0 0 0 0 _ 1 0 o o o 0 o 0 o 1 0 o 0 o 0 o 0 0 o o 0 0 o o 0 o 0 0 0 0 o 首都! j i | j 范人学2 0 0 8 年硕士毕业沦文 一谨冬) 一瑶) 此时a ： 0010000 0 0001000 0 1 000000 0 o一1000o0 0 0000 0 01 0 00000o0l 0000一l00 0 0000010 o 0i00 00 00 10 00 0000 00010000 0010 00o0 0000 0 100 000010 00 0000 00 0i 0 000 00 10 一口8o r 7一n 6t 1 5一a 4口3 一q 2口1 一o t 7一a 8q 50 6一a 3 一a 40 10 1 2 c r 6 一a 5 一n 8 0 f 71 1 2一a lq 4q 3 一n 51 1 6一0 7一o t 8q 1n 2n 3n 4 o t 4a 3一q 2一口1一a 8一口70 1 60 5 0 r 3q 4q 1一q 2c 1 7 一口8一0 5a 6 q 2一q 1口4一q 3一q 6a 5一c e 8q 7 c 1 10 r 2o t 3c 1 4o t 5q 61 1 7i x 8 1 8 特征标丌一块的性质 a 丁： 一a 8一e e 70 1 6一n 5o r 4一e e 3e e 2e e l o t 7一n 8一n 5一n 6n 3e e 4一n ln 2 一e e 6e e 5一e e 8一e e 7一q 2e e le e 4e e 3 e e 5e e 6e e 7 e e 8 e e l e e 2 e e 3e e 4 e e 4 e e 3c e 2e e i e e 8e e 7 e e 6e e 5 0 3一n 4一o t l2一o t 7一位80 1 5n 6 一a 2e e le e 4q 3e e 6一q 5一e e 8e e 7 e e le e 2 再由矩阵的乘法 o z 3q 4e e 5q 60 7e e 8 得到，a a t = 位o t 民所以当= 经验证当扣4 时结论不成立 1 ，2 ，3 时，该结论成立而 定理9 设d 是一个分解矩阵，c 是卡当矩阵若后= 入+ 1 ，且后：2 ，4 或8 ，那么存 在k 七阶矩阵s ，使得s d = 有d t s t s d ：c d 1 1 ，其中d 。是一个入a 阶的可逆矩阵并且 0 l 证明： 同定理7 的证明一样，我们也只要证明存在一个s ，使得5 f d ：fd 1 0 并且有s t s ：鼠即町 因为d 是一个列满秩矩阵，所以必存在置换矩阵p ，使得p d ：f d 2 1 其 a 中d ，是一个入入阶可逆矩阵，n 是d 中的某一行向量 设e e 。，a a ，为d 2 中所有的行向量因为r a n k ( d ) = a ，所以存在一组不全 为零的数组0 1 ，一，n a ，使得a = e , l 。吼q ；令 s 七= 贝u s l a l + + s a n a + s 七q = 0 一1 8 i 2 a i s k 由引理9 ，我们可以找到一个矩阵a ，满足a t a ： 既，而a 的最后一行为( s l ，s 南) 所以可取s = a p ，贝u s t s = p t a t a p = e k , - 面s d = a p d = a ( ：) 因 为a 的最后一行为( s h ，s 知) ，由s 1 仃l + | 、l 现 n 七 a ：s 丌h序可 o = o 七 s + n 入 s + 苣塑业丝厶= ；兰呈q q 墨笙亟兰些迨窒 1 9 。，所以s 。是一个形如( 乞1 ) 的矩阵又因为r 。n 蠡c s 。，= m 洲。，= 入，所以矩 阵d 。是一个入a 的可逆矩阵 定理1 0d e ( c ) = i i j ai c a c z j ) l 。 i i e n ： 设仍，i b r ( g ) ，则【磊，西】= c 一1 且【磊，伤j z ，所以 口 i g i ；，场】0 由引理3 ，( 【忱，】。) 幻l = ( 吼，西】) 幻l c = i g i ；( 【忱，】。) 幻l = i c l ：取， 贝, l j d e t ( c ) 整除i g 臣 根据引理2 有， 所以 又由推论6 ，d e t 相同的丌一部分 ，l ( 9 。) i i 2 i i ( 纵) i 誓量 因此，d e ( c ) = i - i j a 在d ( ”) 中可逆，np a i - i j ai ( 勺) i 和d e ( c ) 有 ( ) i 丌 口 、l一、 a a 幻； 妒 妒 9 9 l 、 妒 妒 ，。一 、l， a q ； n q ； 以 ，。一 、l-、 、l，、l，1 、； a 妒 铲 l 、 溉