（工程力学专业论文）板状纳米材料的非线性弯曲分析.pdf

摘要 摘要 本文基于n i e 提出的具有立方晶体原子排列的超薄板型纳米结构计及原子 层间距变化的表面效应的拟连续介质力学模型，分析得到了该类结构非线性弯 曲变形的能量表达式，并基于变分原理推导出板状纳米材料非线性弯曲变形的 一般控制方程。采用渐近迭代法具体求解了两边固支边界条件下结构非线性柱 状弯曲问题，获得了该问题的渐近解。另一方面，利用经典薄板大挠度理论推 导得到了相同边界条件下传统连续板非线性柱状弯曲问题的解析解。同时，运 用有限元软件a n s y s 建立了晶格模型来模拟材料真实原子排列方式及其相互 间作用，得到了均布载荷作用下纳米板中心横向位移( 挠度) 的数值结果。通 过将上述三种模型解的结果进行比较分析，结果表明，本文给出的纳米板非线 性变形的控制方程应用于超薄板状纳米材料非线性弯曲变形问题的分析是有效 的，得到的解具有足够的精度。 关键词：板状纳米材料，拟连续力学模型，变分原理，非线性弯曲，柱状变形 a b s t m e t a b s t r a c t b a s e do naq u a s i - c o n t i n u u mm o d e li n c o r p o r a t i n gt h ee f f e c to fs u r f a c ef o ru l t r a t h i n p l a t e - t y p e c u b i cc r y s t a ln a n o m a t e r i a l sp r o p o s e db yn i e ，t h i st h e s i sp r e s e n t s d e f o r m a t i o n e n e r g y o fn o n l i n e a rb e n d i n go f s u c hap l a t e - t y p es t r u c t u r ea n d f u n d a m e n t a lg o v e r n i n ge q u a t i o n sw i t ht h ea i do ft h ev a r i a t i o n a lp r i n c i p l e t h eu s eo f t h e a s y m p t o t i c i t e r a t i o nl e a d st oa n a s y m p t o t i c s o l u t i o nf o r t h e n o n - l i n e a r c h a r a c t e r i s t i cr e l a t i o nb e t w e e nt h eu n i f o r mp r e s s u r ea n dt h ec e n t r a ld i s p l a c e m e n t ( d e f l e c t i o n ) o f t h ec l a m p e dn a n o p l a t ef o rt h ee a s eo f c y l i n d r i c a lb e n d i n g i nc o n t r a s t ， ac l o s e d f o r ma n a l y t i c a ls o l u t i o nf o rt h ec o n t i n u u ms t r u c t u r ei sd e r i v e do nt h eb a s i s o fc l a s s i c a ll a r g ed e f l e c t i o nt h e o r yo fp l a t e i na d d i t i o n ，ac o r r e s p o n d i n gf i n i t e e l e m e n tm o d e l ( 1 a t t i c em o d e l ) i sc o n s t r u c t e dt os i m u l a t et h eb e h a v i o ro f t h es t r u c t u r e a n da c q u i r et h en u m e r i c a lr e s u l t su s i n ga n s y sc o d e b o t ht h eq u a s i c o n t i n u u ma n d c l a s s i c a lm o d e l sa l ec o m p a r e dw i t ht h ef i n i t ee l e m e n tm o d e l t h er e s u l t ss h o wt h a t t h ep r e s e n tm o d e li sv a l i df o rs i m u l a t i n gt h el a r g ed e f o r m a t i o no fs u c hp l a t e t y p e l l a n o - s t r u c t u r e dm a t e r i a l s ，a n dt h ec l a s s i c a lt h e o r ym u s tb em o d i f i e dw h e nu s e df o r t h eu l t r a - t h i nn a n o - p l a t es t r u c t u r e s k e yw o r d s ：p l a t e - t y p en a n o m a t e r i a l s ，q u a s i - c o n t i n u u mm o d e l ，v a r i a t i o n a lp r i n c i p l e ， n o n - l i n e a rb e n d i n g ，c y l i n d r i c a ld e f o r m a t i o n i l 学位论文版权使用授权书 本人完全了解同济大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名： 讹住 如4 7 年；月7e t 同济大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名： 溯住 h 口年，月，7 日 第1 章绪论 1 1 纳米科技概述 第1 章绪论 目前，科学正不断向两个方向发展，一个是人类对宏观世界的探索不断延 伸，目前观测到的宇宙的大致范围为1 0 2 5 m ( 约1 0 亿光年) ，另一个则是对肉眼 看不到的微观世界的兴趣同趋浓烈，目前人类所研究的物质世界的最小尺度为 1 0 1 9m t “。 在宏观物体与原子之间( 1 1 0 0 r i m ) 的领域，呈现出许多既不同于宏观物 体，也不同于单个孤立原子的奇特现象。纳米科技就是研究在该尺度范围内的 物质的组成及其特性的学科。 纳米科技不是某一学科的延伸，也不是某一新工艺的产物，而是基础理论 科学与当代高技术的结晶，是现代科学( 混沌物理、量子力学、介观物理、分 子生物学) 和现代技术( 计算机技术、微电子和扫描隧道显微镜技术、核分析 技术) 相结合的产物。 1 9 5 9 年1 2 月2 9 日著名物理学家、诺贝尔奖获得者理查费曼( r i c h a r d f e y r a n a n ) 在t h e r e i s p l e n t y o f r o o m a t t h e b o t t o m 的演讲中说道：“如果有一天能 够按照人的意志安排一个个原子，那将产生何等的奇迹。”人类可以用小的极其 制作更小的机器，最后甚至可以根据人类的意愿，阻隔排列原子或分子，制造 超晶态产品，这是关于纳米技术最早的梦想。这一预言被科学界视为纳米技术 萌芽的标志 2 1 。 1 9 8 2 年，在i b m 公司苏黎世实验室里诞生了世界上第一台扫描隧道显微镜 ( s t m ) 。它的出现，使人类第一次能够实时地观察到单个原子在物质表面的排 列状态和表面电子行为有关的物理、化学性质。1 9 8 6 年，世界上第一台原子力 显微镜研制成功，它与s t m 相比大大扩展了检测范围，对非导体纳米材料的发 展和纳米生物学的发展起了极大的促进作用。此后基于这两种显微镜的基本原 理，先后有发明了一系列新的高分辨率的扫描探针显微镜，如摩擦力显微镜、 磁力显微镜、静电力显微镜、化学力显微镜、扫描近场光学显微镜、扫描近场 声学显微镜等。 第l 章绪论 1 9 9 0 年，美国i b m 公司的e i g l e r 博士等在4 k 温度和超真空环境中用s t m 将n i 表面吸附的x e 原子逐一搬迁，最终以3 5 个x e 原子排列成i b m 三个字母， 每个字母的高度仅为5 n m 。这标志着原子级加工的首次实现1 ”。 1 2 纳米材料 1 2 1 纳米材料概述 纳米是一个长度单位，l n m = 1 0 4 m 。纳米材料是指在结构上具有纳米尺度 调制特征的材料，纳米尺度一般是指l l o o n m 。当某种材料的结构进入纳米尺 度特征范围时，其某个或某些性能会发生显著的变化。纳米尺度和性能的特异 变化是纳米材料必须同时具备的两个基本特征 3 1 。 纳米材料与纳米技术密切相关，纳米材料是纳米技术的基础，纳米材料的 研究和研制中又包含了很多纳米技术。 根据特征尺度的不同，纳米材料可以分为纳米颗粒、纳米薄膜，纳米线、 纳米块体以及纳米孔材料 4 1 。 纳米材料与常规材料的区别不仅仅在于尺度的不同，最重要的是在于物理 化学性能的变化，正是由于这些变化，为科学研究开辟了一个崭新的领域，更 为产品开发提供了新的手段和技术。这也是人们之所以重视纳米材料的根本原 因。目前一般认为纳米材料具有表面效应、体积效应、量子尺寸效应和宏观量 子隧道效应等1 2 】。 对纳米材料的研究大致可以分为三个阶段：第一阶段( 1 9 9 0 年以前) ，人们 主要在实验室里探索用各种手段合成纳米颗粒粉体或块体等单一材料和单相材 料，研究评价表征纳米材料的方法，探索纳米材料不同于常规材料的特殊性能； 第二阶段( 1 9 9 0 - 1 9 9 4 年) ，人们关注的热点是如何利用纳米材料已被挖掘出来 的奇特物理、化学等性能，设计纳米复合材料，通常采用纳米颗粒与纳米颗粒 复合，纳米颗粒与常规块体复合以及发展符合纳米薄膜；第三阶段( 1 9 9 4 年至 今) ，纳米组装体系、人工组装合成的纳米阵列体系、介孔组装体系、薄膜嵌镶 体系等纳米结构材料体系越来越受到人们的关注，正在成为纳米材料研究的新 热点【3 1 。 2 第1 章绪论 1 2 2 材料晶系分类 自然界的材料按其内部的原子排列状况可以分为晶体和非晶体两大类。如 大多数金属和合金、陶瓷材料属于晶体材料，从这些材料内部原子( 或分子) 排列的特征来看，其内部原子在三维空间呈对称并周期性排列，即存在长程的 几何有序。而非晶体物质如玻璃、非晶体金属、某些高聚物等，其内部原子( 或 分子) 的排列无长程有序的特征。 晶体学家已经证明，在自然界的固体物质中，有七种可能的不同类型的晶 体空间点阵( 如表1 1 所示) ，我们通常称之为七个晶系。法国晶体学家 a j b r a v a i s ( a u g u s t b r a v a i s ，1 8 1 1 1 8 6 3 年) 通过数学推导的方法证明，可用1 4 种 标准晶胞( 如图1 1 ) 来描述所有可能存在的空间点阵【”。其中四种基本晶胞为： 简单晶胞，体心晶胞，面心晶胞，底心晶胞。 表1 1 空间点阵的七个晶系 晶系晶胞特征空间点阵 三轴相等并正交 立方简单立方、体心立方、面心立方 a = b = c ，口= = y = 9 0 。 三轴正交，两轴相等 四方简单四方，体心四方 口= b c ，a = = y = 9 0 0 三轴不等但正交 简单四方、体心正方、 正方 面心正方、底心正方 口b c ，口= = y = 9 0 0 三轴相等但不正交 斜方简单斜方 a = b = c t 瑾p y 二轴成1 2 0 0 ，第三轴与另两轴上e 交 六方简单六方 a = b c ，口= = 9 0 。y = 1 2 0 0 三轴不等，第三轴与另两轴非正交 单斜简单单斜、底心单斜 a = b c ，口= = 9 0 0 y 三轴不等也非垂直 三斜 简单三斜 口b c ，口y 9 0 。 3 第1 章绪论 等。 画 画画 。画 俑 画画 日方 。 瞄兰厂 俑 辩 窜 4 了才 i 方 掣 l | 厂 剧 。厕 画 圆 i 亍7 立方 六方正方三i 图1 11 4 种标准晶胞的空间点阵 自然界中常见的具有简单立方晶胞结构的有n a c l ，n a i 以及金属元素钋( p o ) 1 3 纳米力学 纳米材料的特殊尺度特征，使得它与宏观普通材料相比，呈现出一些不同 的力学性能，固体在纳米尺度下的力学行为已成为物质科学的重要内容，纳米 力学由此产生。 纳米力学包含了两层含义：一为纳米尺度力学，即特征尺度为l l o o n m 之 间的微细结构所涉及的力学问题；二为纳观力学，即从纳米的尺寸上展示的力 学新观察，与细观力学不同( 其适用的特征尺度为l o o n m 1 0 0pm 之间) ，纳米 力学不仅以连续介质力学为载体，而兼具连续介质和离散描述的特征；与探讨 微观世界、尺度在纳米以下的单纯量子力学研究不同，纳米力学着力于探讨由 4 第1 章绪论 成千上万原子组成的凝聚态物质所涌现的带有整体特征的力学行为1 6 】。 纳米力学从研究的手段上，可分为纳米计算力学、纳米实验力学和纳米力 学理论。目前，纳米计算力学方法主要有分子动力学( m o l e c u l a rd y n a m i c s 简称 m d ) 方法1 7 , 8 】、盟特卡罗方法【9 】、连续介质力学以及混合方法。纳米实验力学也 可分为两种：一是对特征尺度为( 1 1 0 0 n m ) 之间的微细结构进行的实验力学 研究；二是以纳米层次的分辨率来测量力学场。纳米力学理论的框架可用两种 方式来建立：一是混合型或嵌套型，将固态物质中较完善、缓时变的区域考虑 为连续介质，而将缺陷密度高、快变化的区域用分子动力学来描述，即考虑可 兼容连续介质力学与分子动力学的描述框架；另一种将连续介质力学或分子动 力学与量子力学结合来进行多尺度描述，该描述无法采用常规的混合或兼容方 法，因为除了定解方程的不同外，边界条件的衔接亦提出新的困难：量子力学 的边界条件针对外层电子云，而连续介质力学和分子动力学的边界条件针对原 子核的位置或传递力。 纳观尺度的计算中并存三种物理算法模型，即连续介质力学算法( 适合于 纳米以上的空间尺度和纳秒以上的时间尺度) 、分子动力学算法( 适合于1 0 9 个 原子以下的计算规模和纳秒以下的时问尺度) 、量子力学算法( 适合于1 0 0 个原 子以下的计算规模) 。若需计算模拟诸如表面、晶界、位错、纳米晶体、纳米裂 纹之类的行为，需要借助于连续介质力学算法与分子动力学算法的结合。 1 4 国内外纳米力学研究现状 自1 9 8 4 年德国学者萨尔兰大学教授g l e i t a r 首次人工制备得到块状纳米晶 体【1 0 】，并且提出纳米材料概念以来，纳米材料的力学性能研究得到了全世界学 者的广泛关注。同时，纳米尺度上的多学科交叉展现出巨大的生命力，迅速成 为一个有广泛学科内容和潜在应用前景的研究领域。 特别是上世纪9 0 年代初碳纳米管的发现( i i j i m a i n 】；e b b e s e n 、a j a y a n n 1 ) 以及有效制备方法的提出( t h e s s 【l3 】) ，人们做了许多的工作来研究它们独特的结 构、力学、电导和化学属性。 碳纳米管在力学属性方面显示出出色的性能，它的杨氏模量能达到1 t p a 左 右，约为钢的5 倍；而拉伸强度可以达到2 0 6 3 g p a ，约为钢的一百多倍；理论 预测其断裂应变能达到5 0 左右。即使在应变大于4 时，单壁碳纳米管的变 5 第1 章绪论 形也完全可逆。一根长6 n m ，直径为1 n m 的单壁碳纳米管屈曲前能够承受5 的 压缩应变，而在扭转情况下，能承受更大的应变。对碳纳米管的断裂研究表明， 单壁和多壁碳纳米管在断裂前能承受大于1 0 的应变【l ”。 在现有的纳观尺度的算法模型中，分子动力学方法由于考虑了原子问的作 用力，具有一定的精确性，然而，它由于计算量巨大，其计算规模很小，；而传 统的连续介质力学方法虽然计算速度快，规模大，但计算精度偏低，用于纳米 尺度有局限性。因此，人们希望能寻求一种新的模型和方法，使它既具备计算 高效的特点又能保证适当的精度，从而可以更好的处理大规模或跨尺度的纳米 力学问题。 t a d m o r l l 5 , 1 6 1 、m i l l e r 1 7 , 1 8 】以及s h e n o y 1 9 2 0 1 等人结合了原子论方法和连续介 质理论，提出了一种拟连续模型，其中把原子模拟应用于相关的非均匀变形范 围，而将连续理论应用于均匀变形的区域。f r i e s e c k e 和j a m e s 2 1 1 针对跨尺度的 纳米结构提出将原子论知识转到连续理论的方法。g a o 2 2 】分别通过分子动力学模 拟和连续介质力学理论研究纳米尺度下的动力断裂问题，发现两者吻合的很好。 这说明在特定条件下，连续理论是适用于纳米尺度的。z h a n g 2 3 】提出的纳米尺度 下的连续理论则将原子间势能直接结合在固态结构模型中。2 0 0 3 年，s u n 驯提出 了一个简单立方结构的纳米板拟连续力学模型。该模型结合了传统连续介质力 学和分子动力学的思想，同时克服了以往方法对多尺度问题处理精度差或效率 低的不足，获得了该材料弹性模量与微观结构尺寸之间关系的解析表达式。 我国的研究力量主要集中在纳米材料的合成和制备，扫描探针显微学，分 子电子学以及极少数纳米技术的应用等方面。在纳米碳管、纳米材料的若干领 域己取得一些很出色的研究成果。对于纳米材料力学性能的研究，多采用的试 验的方法测量，有关纳米结构材料的力学性能的理论研究目前在国内开展的不 够。 2 0 0 4 年n i e 1 25 j 在s u n 的模型基础上，提出了一个考虑原子层间距变化作为 表面能效应的简单立方晶体原子排列的纳米板拟连续力学模型，得到带有表面 效应参数的弹性模量和泊松比的解析表达式，同时利用此模型方法得到了纳米 板线形弯曲问题的一般控制方程。 6 第1 章绪论 1 5 本文主要内容 ( 1 ) 基于考虑原子层问距变化为表面效应的立方晶体排列的纳米板拟连续力学 模型，得到纳米板非线性弯曲变形的能量表达式，然后对能量表达式进行变 分，推导得到上述纳米板模型在均布力作用下的非线性弯曲变形的一般控制 方程； ( 2 ) 具体分析两边固支的纳米板柱状非线性状弯曲变形问题，利用推导得到的一 般控制方程，求解得到该问题的一般解析解； ( 3 ) 基于连续大挠度薄板理论，求解两边固支的传统连续板在均布力作用下发生 柱状非线性弯曲变形时，最大挠度与外载之间的特征关系： ( 4 ) 利用有限元分析软件a n s y s 建立晶格模型，就具体算例模拟纳米板柱状大挠 度弯曲变形，进行数值分析得到有限元数值解： ( 5 ) 就某个具体算例，对用上述三种不同方法得到的数值结果进行比较分析。 7 第2 章纳米板1 f 线性弯曲变形的基本控制方程 第2 章纳米板非线性弯曲变形的基本控制方程 2 1 拟连续力学模型 本文所研究的纳米板厚度方向的尺寸远小于另两个方向的尺寸，所有相关 公式推导均基于n j e 2 5 】于2 0 0 4 年提出的拟连续力学模型，该模型假设纳米板沿 厚度方向( z 方向) 保持离散的特性，面内方向( x 和y 方向) 具有连续的特性， 并且考虑了厚度方向原子层| 日j 距变化的表面效应。本节详细介绍该拟连续力学 模型。 2 1 1 纳米板晶格结构及原子间作用力 假设原子具有立方晶体排列的纳米板共有2 n + l 层原子，其中n = i ，2 ，3 。 每一原子层中两个相邻原子间的距离为口；相邻原子层，和1 之间的距离为 矾( 1 = - n ，- n + i ，0 ，n - 1 ，n ) ，其中，一n ，n 分别表示下表面和上表面。模型如图 2 1 所示。每个原子与其最近相邻及次近相邻的原子之间的作用力分别用弹性刚 度为喁( 口y ) 和a - ， y ) 的弹簧表示，如图2 2 所示，其中上标r ，曰分别表示上 表面和下表面。 卜- _ 图2 i 纳米板模型图 8 第2 章纳米板非线性弯曲变形的基本控制方程 2 1 2 基本假设 0 【1 图2 2 原子间作用力示意图 假设纳米板第，层的原子在工、y 和z 方向上的位移分量分别为： “，( x ，j ，) = u ( x ，) ，) 一h i 妒，( x ，y ) v f ( x ，y ) = v ( x ，y ) 一h i ，v ( x ，y ) w ，( x ，y ) = w ( x ，y ) 式中，、虮对应纳米板横截面分别绕y 和工轴转动。且， h i5 日，有关系式： h i = 一h t ( 2 一1 ) ( 2 - 2 ) ( 2 3 ) f 0 ，= 0 ( 2 - 4 ) ( 2 - 5 ) ( 2 - 6 ) 根据原子层间距变化的表面效_ 应【2 引，假设两相邻原子层第，层和第l + 1 层之 间的距离口，有如下分布形式【2 5 l ， a t = a o + r e 。、 q = a o + ，e 一+ 1 ) ( ，= o ，1 ，n 一1 ；，0 ) ( ，= 一1 ，一2 ，一n ；，0 ) 9 ( 2 - 7 a ) ( 2 7 b ) o ，口 ，一 一 = d 瞄乙脚 一 第2 章纳米板非线性弯曲变形的基本控制方程 上式表明， ql ，：o = 4 ( 1 + ，) ( ，o )( 2 8 a ) ，l ，一 ( 2 8 b ) 其中，参数r 反映了由表面效应所引起的厚度方向上原子层间距的变化。 2 2 纳米板非线性弯曲控制方程的推导 2 2 1 板状纳米材料应变能的确定 我们从图2 1 的纳米板模型中选取一个具有代表性的立方体单元，如图2 3 所示。定义单元中各原子的坐标为： 1 ：( x ，y ，z ，) 2 ：( x + t ，y ，：，) 3 ：( x ，y ，+ l ，z ，)4 ：( x ，+ 1 ，y ，+ l ，z ，) 5 ：( x ，y ，z ，+ 1 )6 ：( x 。+ l ，y ，：，+ 1 ) 7 ：( x ，y ，+ l ，z ，+ 1 )8 ：( x ，+ 1 ，y + l ，：“1 ) 其中，原子1 4 在第，层，原子5 8 在第，+ 1 层。实线和虚线分别表示 最近和次近相邻原子间的弹簧。 5 z f v 匕+ x 7 0 8 图2 3 基本立方单元 苎 假设u 一：、u 一，、u 一，、【，。、u 。、u ，、一，、u ：一，、一，分别表示由 原子l 和2 、l 和3 、1 和5 、1 和6 、1 和4 、l 和7 、2 和3 、2 和5 、3 和5 之 间弹簧拉伸所引起的变形能，则有： 1 0 第2 章纳米板非线性弯曲变形的基本控制方程 ( 1 ) 当，= 一，一( 一1 ) ，一( 一2 ) ，0 12 ( j 一1 ) ，n 时 啡：三q zu ，) + 正瓦j 可一d 2 一叮 f 2 - 9 a ) ( 2 - 9 b ) 吩弘1 黔扎川，飞。+ 铷。旷小腼丽一厄 2 j 1 1 - 了x 2 i , 刖飞川，+ m ，旷) + 压( v i + i , j + i , , # - - v t , , + l , 1 - v i , j + i j - - v i j , ) + 互1 面1 ( 刖u + w , + i j - - 训2 2 + 互。了云【w + 1 ，川一+ 一+ w w j i = 三料剖口掣b h 口 + f 2 - 9 c ) 峨1 胁，1 ，岛川，叱小厄丽一也 2 一一 掣 2 、，j 2 11一 吩 畸 第2 章纳米板非线性弯曲变形的基本控制方程 = 蜷 口掣l ，一掣l 槲制。 一口掣b h 掣l ，一口掣l ) 2 2 d ， ( 2 ) 当，= 一，一( - 1 ) ，0 , i ，2 ，( n 一1 ) 时 雌，= 弘1 w , j = - w u i 6 = 纠 l 甲1 。，2 一! 。l z 。 + ，( ，乃) 一( ，乃) 2 ( 2 - 9 e ) 1 2 l + l , j d + l - - l l i , j j ) + 南w l + l , j j + l - - w l , j d ) j 掣l 慨如小如川 + 寿卜制k ，嘶川一w ， 口2 + 口，2i 苏 b ，) - 川。 忙圭嘭吉、a - + a i - ( v f 川川飞小南川川飞。 2 三呸 南卜卜 1 1 - ，i ( x i ，y j ) i 再，巧) j + 赤卜讪n 掣l ，坼乃， 2 ( 2 - 9 9 ) 一 一 寿 第2 章纳米板非线性弯曲变形的基本控制方程 蟛d 赢扎厂小1 ) + - - 南7 一w t + l , 3 , i ) 2 圭岛 口掣b 州h 刮 一赢 口掣l 。 + m ( ，y j ) - - w l + 。( t ，y j 哇 南州飞加1 ) + 赤加，飞川，) 2 = 三岛 口 + v f ( ，乃) 一( ，y j ) i ，趵) j 一南 口剖乃， ，2 ( 2 9 h ) + ( ，”) 一w ，+ ( ，乃) 2 c z 一，i ， 上面变形能推导中已考虑到每层中从原子到原子其位移变化缓慢，因而关 于位置变化的t a y l o r 级数展开和二项式展开中均忽略了更高阶小量的影响。 由位移假设( 2 1 ) 一( 2 3 ) ，( 2 - 9 a ) 一( 2 9 i ) 可变为( 2 1 0 a ) ( 2 一l o i ) u ( _ 2 = a 2 1 睁裂( 钾 州和裂( 钾 u 。i = 口2 县 1 3 f 2 1 0 a ) f 2 - 1 0 b ) ( 2 一l o c ) 笋 一 门 丝砂 + 丝c 毽1 2 + 监缸 + 监钞 + 盟秒 + 监c 毽 珥 一 跏一c 毽 鼬一砂加一钞 + c 罨一缸1 2 第2 章纳米板非线性弯曲变形的基本控制方程 屹玎吉吩- 圭匿+ 考一考一罢一日( 警+ 等一等一警心陪一笥 2 ( 2 - l o d ) u 乙= 0( 2 - 1 0 e ) 吮= 三 南p ( 罢也。剀+ 南口水枷。 略三叫南b 吨( 知剀一南d 水邶s ， 蜘j 1 吼岛卜也侈耕丽c i i 口水邶h ， 峙弘1 南卜砒+ 口弘针南口水邶i ， 则四方体单元口口h 的应变能可表示为： “罐 哮+ 矧2 2 + a 2 三1q 绻一q 等+ 矧2 2 崭毛2 哇到妻+ 堡a y + 鱼a y + 塞一q 陪+ 盟a y + 警+ 刳+ 三2 滢+ 笥 2 2 ，身l 反 盘 i 盘 砂& jl 西钞j 。1 弓砉匿+ 言一考一萎一q 降+ 等一等一誓h 陪一笥丁 + 三口：扩善7 毒 a ( 罢一q + 警 一q 虬+ q 罢 2 1 4 啦 + 啦 + ，可u + ，“u + ，4 u 墨“ 吐 + ，一u ，4 u u ，日“ =u + 羔寿一q 刳坝一 + ，蓦赤心吨，引哪+ + 詈南一q 割哪一 厚度为矗，面域为4 的板状纳米材料的应变能可表示为： 咿。2 赂一姗2 岿姗 新姗 挪姗 + 导篓赡也。警+ 矧2 2 + 导篓牾警+ 矧2 2 格 + 导篓班考+ q + 1 5 出砂 甲ij下j下jd 跏一蠡 却一钞 却一砂 q q q 撕 撕h卜卜皿西 笥一笥一凸砂 翌砂玎 + 加一缸 础一钞 一 加一砂 + 丝西 ，巩 哆一4 + 甲lj甲l，lj vi，vf 坐砂 型砂 ，、 l 一2 1 2 + + 盟砂盟钞 枷 喁一2 + 等芝，= oa f 陆a + a il 限+ q 斟q 甜蚴 + i a , 2 台n - i 蝻睢一qa 西驴, 厂l + a ，。a 反w j l 2 撕 + 于l 击n - ij j 瘤1 帐r 蝇，刳慨一q 刳2 撕 + 孚篓赌心吨- 刳哪+ q 劫2 蚴 + 譬篓蝻心地，刳慨一q 甜姗 1 6 f 2 1 2 ) ，辄一良、，却一西 伽一砂 跏一砂 一荆荆粼粼卜一骋骋珏珏廿 唑弦，、虹国缸甄赢 一 塑 州叫 监e 苦， 一缸鼽缸瓤晦 一 却砂 却砂 却一砂 加咖，巾 一 锄一蕊 锄一缸 锄一函 弛魏 。“一赡赡赡蟥蛀 制剐制铆弘 簇箨 蚴 幼 1，；j t，j甜封 哆 哦 毗 一卜，卜 丝砂监秒 珥 珥 却砂 却一砂 一 一 一 一 何 l 嵋姥畴 r台v台 堕。 垒2 第2 章纳米板非线性弯曲变形的基本控制方程 2 2 2 控制方程 假设纳米板受垂直板面方向的面力q ( x ，y ) 作用， u = u “+ u e 其中， u 9 = 一g ( z ，y ) w d x d y a 应用最小应变能原理， 系统的总能量可表示为 r 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) d u l 一= u 【2 1 ，j 对系统的总能量进行变分运算，考虑到占“，j v ，占w ，艿。，占y ，是五个相互独 立的变量，它们各自的系数皆为零。由此，我们得到以下5 个基本控制方程( 边 界条件表达式在此略去) ： c 2 删c q + + 4 口2 a 2 篓寿 害水州口：( 雾+ 瓦8 w 等 + ( 4 ) 口：( 舄+ 考舄 + ( 2 州) ( 喁训石o w 睾= 。 ( 2 1 6 ) c z 州c q 鸠+ 4 口2 a 2 篓南 窘坤删口：( 窘+ 万8 w 窘 + ( 4 q 坳c a 2 u 8 w 舄 + ( 2 州) ( ：) 芳等= 。 ( z + 1 ) q 吾( 罢 2 窘+ 窘警+ 罢窘+ 兰滢 2 窘+ 矿0 2 v 万a w + 万o v 矿0 2 w 埠州心舣盼矧2 + 罢+ 讣2 w + s 尝詈+ 2 考+ z 刳舄 + v 2 u + 2 堕 丝+ v 2 v + 2 0 2 ul a w l l出砂j 苏l a x a y ja yj 1 7 第2 章纳米板非线性弯曲变形的基本控制方程 也哆m 等+ 等 + 警+ 等一w 卜= 。 ，s ， b t ( r , n ) 等啦( r ，) 蔷吲，) 等也矾，) ( 虬一罢7 1 窘 _ o f 2 1 9 ) b i ( r , n ) 等啦( r ) 茜吲删、i 盟a x 2 啦撕，) ( 一茅7 1 刳= 。 ( 2 - 2 0 ) 其中， 乃( r ，) = 台v - i ：可2 a 1 2 n - ln - i 1 旦( ，) = 2 ( q + 吒) q + 一2 + 2 哎口2 孑毛丁o + l + = 0i = 0 q 2 ) 娼v 2 = ( 导+ 甜 上面推导中假设上下表面弹簧刚度与中间层相同。 2 3 本章小结 本章主要基于拟连续力学模型，获得原子立方晶体排列的纳米板非线性变 形时的能量表达式，运用变分原理获得了该类纳米板非线性弯曲问题的基本控 制方程。 1 8 2 + 阿 2 盯 2 = 、j p 睦 第3 章纳米板柱状1 e 线性弯曲问题的解 第3 章纳米板柱状非线性弯曲问题的解 3 1 纳米板拟连续介质力学模型的解 型的应用，本章将具体分析两边固支边界条件下具有柱状变形的纳米板的非线 假设纳米板面内的y ；b - 向的尺寸相对x 方向无限长。板在横向载荷作用下具 有以y 方向为轴向的柱状变形a 对于这种情况，转角、位移v 以及w 、虬关 于y 的偏微分和皆为零，( 2 - 1 6 ) 并f l ( 2 2 0 ) 可退化为： l ( 2 + 1 ) ( 喁+ 口：) + 4 a 2 a 2 刍n - l 研1l 窘+ ( z + 1 ) ( + 口：，d 出w d 影2 w = 。( 3 - 1 ) c z m + 呸， ；( 笥窘十万d 2 u 面d w + 罢窘卜弘哆罡口警+ 警一斜+ a = 。 酏，) 譬也五( 虬一面d w 7 1 窘卜 ( 3 - s ) 由( 3 - 1 ) 可得， 万d 2 u = 一= i 五( 2 _ n j + 1 ) - ( o q + a 忍2 ) 广i d w 万d 2 w ( 3 4 ) 舻( 2 + 1 ) ( q 训+ 鲥篓南枞2 pv 争吾磊忐兰茏( 盼c p s ， 出 2 ( 2 + 1 ) 心+ 口：) + 钯：口2 艺万l 出 、 1 9 第3 章纳米板柱状非线性弯曲问题的解 枞令讣，)=竺：塑坐：毒1=o本o+q2n ，纳米姗y 轴洲所以，令马( ，) = 雨_ ，纳米扳沿 轴柱状非 ( 2 州) ( q 蝎+ 4 a 2 a 2 荟赤 线性弯曲变形的控制方程可退化为如下两个耦合方程： z 五陪警+ 警一窘 - 嘶川( 警) 2 窘+ g 仔。 聃，j 、可d z g l 。砌：也( 虬一面d w7 1 窘 - o ( 3 - ，) 本文考虑纳米板x 方向两端固支两端固支的情况，其边界条件为： 虬乙= o ( 3 8 a ) ，i 。= o ( 3 8 b ) 虬l = o ( 3 8 c ) w i 。= o ( 3 - 8 d ) 现用渐近迭代法【2 9 】求解上述非线性微分方程组。 第一步，把方程( 3 6 ) 右边非线性项去掉，方程组可退化到n i e 和y e 口6 1 给出 的纳米板柱状线性弯曲控制方程： 2 五阻等+ 警一等 - g p ， 讣，) 等啦文一i d w ( i ) 7 1 可d 2 w 0 ) ) - o ( 3 - ，) n i e 和y e t 2 6 1 于2 0 0 5 年求得相同边界条件下该方程组挠度与外载存在如下关 系： 恂h “- - 口1 争1 + 爿，+ 扣等一江势+ ( 虿3 a 2 l 一。 - o e 扩 - 一面1 小叫 ( 3 _ 1 。) 第3 章纳米板柱状非线性弯曲问题的解 其中 。= w l l 2 则方程组( 3 7 ) 一( 3 8 ) 中q 与”的关系可用下式来表示 q = 坟 ，目2 丁1 e l 4 3e a z l 2 + f f 6 4 1 6 善1 6 0 t 2 2 a ( 3 - 1 1 ) ( 3 1 2 ) 善= 1 一衍五， 叫一e b 一一( 7 i 譬1 + 黟+ ；r + 若一江割，+ ( ；膨+ 等一；衍纠 一丽1 小叫卜 ( 3 - 1 3 ) 第二步，n 上n 不考虑非线性影响的式( 3 - 1 3 ) 带入非线性方程( 3 6 ) 的右边， 并记，( x ) = 马f 警 2 了d z w o ) ，求解关于虬和w 的如下微分方程组： z 编陪警+ 警一窘h 小g 仔 b l ( r , n ) 争砌： f 虬一i d w + j 1 口立d x 21 ) = 。 ( 3 _ 7 ) 由( 3 一1 4 ) 得 窘= 去 啦警啦五警中m ) p 均 芸= 南 嘲警啦乃虬一私一少出 + c 4 b 旧 对( 3 7 ) 式微分，并将( 3 - 1 5 ) 式代入 蜀警一2 五警+ 呸口五警+ 2 0 2 五警干外) 一斗心尝d x 啦五辔d x 一型d xi _ o 2 。 2 2 1 第3 章纳米板柱状非线性弯曲问题的解 ( 骂一知q 警叫坤) 7 1 掣 p 9 ，= - e i q x 3 + 6 i i s f ( z ) , 扛d x a x 一3 口j p ( 工) 出出 + c 1 x 2 + c 2 x + g ( 3 - 1 8 ) i f ( x ) d r = 肛( 警 2 了d 2 w o ) 出小( 警h 警 - 扣( 警 3 = ；马瑶记h 一n + 吾上+ 舅 冉( 吉r + 若一等一号卜 + 弦+ 等一别一嚣) 3 = 一；玛霹记( 岛+ 日x + 马，+ b ，+ 日，+ 忍，+ 见+ 日，+ 乓，+ b ，) ( 3 1 9 ) 其中， 哦：生笔笋必 d l ：坐竺巡竺丝皿器丛生型型业3 2 i a , 3 硭3 d 2 = 菇 触z 和m 上( 纠) 一善4 彰智e 2 + 4 5 a 3 霹智九( 纠) 一1 5 a a 2 五e l ( 1 + o r 2 ：q p r l ( 孝一1 ) 善+ 2 + c r 2 五e r ( 7 + 2 吃五p r ) 善2 砌2 口：如 - 4 善+ 7 a ：a 3 e f fe 1 + ( 善一3 ) 细j d 32 i 夏；1 j 萨 一5 4 口6 暖刀e 3 - 1 2 a 乃e 上 3 + a j q e l 2 ( 1 1 + 3 乃e r ) ( 掌一1 ) 善2 3 2 4 d 5 口；露，( 善一1 ) + 2 + a ：五e l 2 ( 2 7 + 2 口：；q e l 2 ( 1 2 + 口：乃e r ) ) f 3 第3 章纳米板柱状非线性弯曲问题的解 一3 6 a 3 a ；) , 3 2 e 2 上( f 一1 ) “善+ 哆乃衍 3 + 善( 一1 7 + 3 f ) ) _ 2 7 口4 口；冰2 一2 f + 口：乃疆 1 4 + f ( _ 3 7 + 1 4 善) ) + 3 a 2 a ：2 3 e 善 - 6 孝+ 吒五e r 6 7 + ( - 2 3 + 7 善) 蝎乃e f f 4 3 + 善( _ 1 l o + 4 3 砌) d 4 = 而瓣3 e 5 4 口5 霹霹e 2 侈一1 ) + 口 6 + 啦五衍( 8 2 + 5 5 a 2 a 3 e f f ) ( 善一1 ) f 2 一l 1 0 + o t 2 2 3 e l 2 ( 2 5 + 6 a 2 3 3 e r ) 矽+ 4 5 a 4 a ；a 3 2 e 2 3 + f ( 一8 + 3 f ) 一1 5 a 2 口：乃吐f ( 3 + 掌) ( 一1 + 3 f ) + 口： e r 8 + f ( 一2 1 + 8 善) + 3 口3 口：五e ( 一1 + 善) 一1 2 善+ a 2 a 3 e l 2 2 1 + 善( 一1 2 4 + 2 1 善) b = 一砭3 ，e ， 9 。 吐( 4 + 7 0 f f , e l 2 ) ( f 一1 ) 尹一 2 + a 2 a x e l 2 ( 1 9 + 1 1 6 2 五以? ) 尹 + 2 7 a 3 0 1 2 以2 e 2 上( f 一1 ) 1 + ( 善一6 ) 善 + 9 口4 口；鸳e 2 3 + 善( 3 孝一8 ) + 3 a 2 口：2 3 e f 一3 + 1 0 ( 一3 孝2 + a 2 ：q e l 2 一2 9 + ( 7 7 2 9 f ) f d 62 8 口3 ：e 2 i 口1 2 + 7 7 五衍) ( 川善2 7 上( 2 + 3 口z 乃e r ) 尹 + 9 a 3 岱：乃e ( 孝一1 ) 1 + ( f 一6 ) f 一2 1 a 2 c z ：乃吐f 3 + 善( 3 孝一8 ) 3 d 7 = 4 呸3 e 乃2 掌：t 一2 4 a o t ：& e l ( 善一1 ) 善+ ( 2 + 1 1 a ：4 e l 2 ) f 2 + 3 a 2 0 , 2 五e 3 + 孝( 一8 + 3 善) 忱= 吗霹怯b ( 日一鸩) ，+ 西1 ( 2 b 一3 a d 3 ) x 4 + 去( b 一2 d 0 4 ) x 5 + 三( 2 日一5 n b ) 、， 旦鸳 + 口一2 一 一2 ， p巧 矿 = = 胁 伤 第3 章纳米板柱状非线性弯曲问题的解 + 丢( 皿一3 d 晓) x 7 + 壶( 2 d 6 一他日) 矿十三( 马一钇珐) ，+ 丽1 ( 2 b 一9 a d g ) x l 。+ 去日一1 由边界条件( 3 8 a ) 和( 3 8 c ) ，可得 c 3 = 0 叫掣3