（基础数学专业论文）h型群上的hardy不等式、pohozaev恒等式和唯一延拓性.pdf

摘要 本文致力于h 型群上某些性质的研究。 第一章给出了h 型群上的几类h a r d y 不等式，并确定出了次l a p l a c e 算予 的h a r d y 不等式中的最佳常数。 第二章建立了h 型群上的一些积分恒等式，得到了h 型群上半线性次椭圆 l a p l a c e 方程正解的一个不存在性结果。 第三章建立了h 型群上次l a p l a c e 算子的c a r l e m a n 估计，并证明了一个唯 一延拓性定理。 关键词 h 型群，h a r d y 不等式，p o h o z a e v 恒等式，不存在性，c a r l e m a n 估计，唯一延拓性。 a b s t r a c t t h i sp a p e ri sd e v o t e dt ot h es t u d yo fs o m e p r o p e r t i e so ng r o u p so fh e i s e n b e r g t y p e c h a p t e ro n eg i v e ss e v e r a lh a r d yi n e q u a l i t i e so ng r o u p so fh e i s e n b e r gt y p e t h eb e s tc o n s t a n ti nh a r d y i n e q u a l i t yf o r t h es u b l a p l a c i a ni sd e t e r m i n e d i nc h a p t e rt w o ，s o m ei n t e g r a li d e n t i t i e so ag r o u p so fh e i s e n b e r gt y p ea r e e s t a b l i s h e d an o n e x i s t e n c er e s u l tf o rp o s o t i v es o l u t i o n so fs e m i l i n e a rs u b l a p l a c e e q u a t i o n so ng r o u p so fh e i s e n b e r gt y p ei so b t a i n e d i nc h a p t e rt h r e e ，ac a r l e m a ne s t i m a t i o nf o rt h es u b l a p l a e i a no ng r o u p so f h e i s e n b e r gt y p ei sf o u n da n d a u n i q u ec o n t i n u a t i o nt h e o r e m i sp r o v e d k e y w o r d sg r o u p s o f h e i s e n b e r gt y p e ，h a r d yi n e q u a l i t y , p o h o z a e vi d e n t i t y n o n e x i s t e n c e ，c a r l e m a ne s t i m a t i o n ，u n i q u ec o n t i n u a t i o n 西北i 。业大学硕i 学位沧文 引言 近2 0 年来，一般线性偏微分算子的主要研究方向之一是幂零群上平移不变 线性偏微分算子类。 1 9 6 7 年，h 6 r m a n d e r 发表了他的经典文章【1 ，提出了著名的有限秩条件， 解决了平方和算予中满足此条件的算子的亚椭圆性，从而使得由非交换向量场 构成的线性及拟线性偏微分方程的研究受到国际数学界的广泛关注，并得到迅 猛发展。 1 9 7 0 年，s t e i n 在法国n i c e 举行的国际数学家大会上提出了一系列关于偏 微分算子研究的思想( 见【2 】) ，把偏微分算子的研究与齐次群分析联系了起 来，引起了众多数学家的重视，并获得了许多重要的结果。 与满足有限秩条件的光滑向量场相联系的无穷小量群( t h ei n f i n i t e s i m a l g r o u p s ) 是非交换幂零l i e 群，它们的l i e 代数允许分层。这些群在亚椭圆偏微 分方程、非交换调和分析、次r i e m a n n 几何和c r 几何函数理论的研究中占据 着中心位置。 在分层幂零l i e 群中，第一类重要的非交换二步群是h e i s e n b e r g 群。由于 它的结构较为直接、明确，迄今已经得到其上大量的研究成果。第二类重要的 非交换二步群是h e i s e n b e r g 型群，即h 型群。h e i s e n b e r g 型群是k a p l a n 于 1 9 8 0 年首先在 3 中引进的，是h e i s e n b e r g 群一个直接和重要的推广。但因为它 的中心是任意维数的，它的几何更加复杂。本文将在g a r o f a l o 等人的工作基础 上进一步研究h e i s e n b e r g 型群上的一些性质。 设g 是一个r ( r 为正整数) 步c a m o t 群，它的l i e 代数 g = k o 砭o o = o ：_ ，且【k ，v i 】- r 川，= 1 ，r 一1 ，但 k ，一 = o ) 给定g 上的 个内积 ， v 。r ：。关于此内积互相正交。设x = l ，一，x ，) 是k 的一组 标准正交基，m = d i mk ：y = 一，k 是的一组标准正交基 k = d i m 。指数映射e x p ：9 哼g 是一个整体解析微分同胚( 见【4 ) 。对 掌( g ) = 善( g ) + + 掌，( g ) ，设g = e x p ( f ( g ) ) = e x p ( 点( g ) + f 2 ( g ) + + f ，( g ) ) ，用 指数映射定义解析映射善：g 斗，i = l ，r 对g g ，投影点在基x l ，x 。下的 坐标记作 x = x ( g ) = ( x 1 ( g ) ，工2 ( g ) ，一，x 。( g ) ) = ( x i ，石2 ，x 。) r ， 其中x ，( g ) = ，j = 1 ，m 类似地，投影孝2 在基k ，e 下的坐标记为 y = y ( g ) = ( y ( g ) ，y 2 ( g ) ，一，y t ( g ) ) = ( y i ，y 2 ，y k ) r ， 两北t 业大学硕士学位论文 其中y ，( g ) = ，f ：1 ，- ，k ，与基相联系的次l a p l a c e 算子是g 上的二 阶偏微分算子 l = 一x ：x ，= x ；， ( 1 ) ，l= l ( 在c a m o t 群上，x ：= 一x ，见 5 1 ) ，p 一次l a p l a c e 算子是 上，= ：( i 弛【x ，“) 2 x 。( i 肌r 2z j u ) ( 2 ) ，一 = 1 当p = 2 时，( 2 ) 就是( 1 ) 。根据对l i e 代数所作的假设，我们立即可以看到，片 满足有限秩条件，因此由h f r m a n d e r 的定理 1 知，算子上是亚椭圆的。然而， 它不再是椭圆的。 设g 是一个2 步c a r n o t 群，具有l i e 代数g = k o 呸。考虑线性映射 j ：k 哼e n d ( v 1 ) ( 其中e n d ( 巧) 表示巧的自同态半群) ： = ，口k ，f ，孝”嵋 从，的定义，可得 = 0 ，7 7 ，f k 映射，的代数性质在研究2 步c a m o t 群的几何和分析性质时有着重要影响。 k a p l a n 首先认识到了映射，的代数性质和与之相关的次l a p l a c e 算子的解析性 质之间的重要联系。 h 型群的定义是k a p l a n 在【3 】中引入的。 定义l 设g 是一个2 步c a m o t 群，如果对任意的r ，1 口l = 1 ，映射 ，( 口) ：k _ n 是正交的，则称g 是一个h e i s e n b e r g 型群。简称h 型群。 定义1 蕴含了 = l 善1 2 ，刁。，叩”，孝k 和 l ，( 玎) 孝1 = i 叩| | 亭i ，7 7 ，善k 事实上，存在许多h 型群。譬如，设g 是一个秩为l 的单群，1 w a s a w a 分 解g = g i n 中的幂零部分n 就是一个h 型群，称为1 w a s a w a 群【6 】。对任何正整 数h ，总存在月维中心的h 型群，见【3 】。当h 型群g 的中心的维数等于1 时在同构的意义下，它就是h e i s e n b e r g 群。h 型群在分析和几何中扮演者重 要的角色。 的一组标准正交基是 西北工业大学颤1 学位论文 牛毒+ 缸，上 p 毒扩k 棚， 也用它来记h 型群g 上的左不变基向量场。g 上的广义梯度记为 v = ( x l 一，x 。) ， 上的自然伸缩为 d a ( x ，y ) = ( 以，名y ) ，丑 0 ，( x ，y ) g ( 3 ) 伸缩群 以 。的生成子为 z 一挚毒+ 窑：m 毒 齐次维数q = ，2 + 2 k ，它在h 型群的分析中扮演着维数的角色，且 d i v g z = m + 2 k = q 现引入矩阵a 如下： 因为 1 o 妻 = 1 0 妄 l = 1 三 丢喜 圭 善 = 1 ：1 y = l户l 塑! ! 三些查鲎堡! 主垡丝壅 所以 a = 则有 2 善 剥( ) 洲z ) 和= c ，p 1 2 ，= i ， 1 0 ，i ， o 去 = 1 由计算可知 o 1 = 1 = 1 ：1 ； i 工1 2 4 上= d i v ( a v ) o = 1 妻 0 lx 1 2 4 a v u v v = v l “vl v ， 从而还有 “审z ，。v v = v u - a v v h 型群g 上的规范距离( g a u g e ) 为 ，、i d = ( i x ( g ) 1 4 + 1 6 1 y ( g ) 1 2f ，g g ， 它是由k a p l a n 3 导出的，并由此得到了三的基本解，从而推广了f o l l a n d 在 h e i s e n b e r g 群上得到的一个基本结果 7 】。 因为d 关于伸缩( 3 ) 是一次齐次的，所以 z d = d 令= 与乒- 那么由计算可知 l x d i2 = 而缈关于伸缩( 3 ) 是零次齐次的，所以 z w = 0 本文将致力于h 型群上某些性质的研究，组织如下： 在第一章，我们将建立h 型群上的几类h a c d y ；再等式。 欧氏空间上的h a r d y等式在许多数学分支中扮演着重要的角色。在 h e i s e n b e r g 群- i n n ，相应的不等式也已经建立。f o l l a n d 于1 9 7 3 年在f 7 中给出了 h e i s e n b e r g 群h “上次l a p l a c e 算子 4 西北工业大学坝f 学位论文 铲私蝴= 毒+ 2 y j 0 牛参砌，昙小b 一，n 的基本解。1 9 9 0 年g a r o f a l o 和l a n c o n e l l i 8 1 以此为基础，得到了“j z 3 5 n - 戤 的一个表示公式，利用这个表示公式建立了。的h a r d y 不等式。1 9 9 8 年 a l i e g r e t t o 和h u a n g 在【9 中发现了欧氏空侧上p - l a p l a c e 算子 ，“= d i v v 群r v “l p 1 的p i c o n e 恒等式。作为这一恒等式的一个应用，他们得到了。的h a r d y 7 k 等式。 这种方法更为直接，所得结果也更为一般。2 0 0 1 年，钮鹏程，张慧清和王勇f 1 0 将这一方法应用到h e i s e n b e r g 群上，得到了日”上p 一次l a p l a c e 算子 ，“= 讲v ( 1 v r v j ，p ，1 的p i c o n e 恒等式，建立了相应的h a r d y 不等式。本文也将采用这一方法，在第1 节证明h 型群上p 一次l a p l a c e 算子的p i c o n e 恒等式和h a r d y 不等式。特别地， p = 2 时，即得到h 型群上次l a p l a c e 算子的h a r d y 不等式。在第2 节，利用第1 节 建立的p i c o n e 恒等式，通过选取恰当的辅助函数，将获得h 型群上球域内外的 h a r d y 不等式。在第3 节，我们首先把第l 节建立的p i c o n e 恒等式加以推广，然后 将h a r d y 不等式推广到更一般的情形。 在以上我们得到的所有h a r d y 不等式中，都不能断定不等式中的常数是否 为最佳的。g o l d s t e i n 和z h a n g 在 1 l 】中给出了欧氏空间上l a p l a c e 算子的h a r d y 不等式的一种证明方法，由此确定了h a r d y 不等式中的最佳常数。在本章第4 节，我们沿用这一方法，将给出h 型群上次l a p l a c e 算子的h a r d y 不等式的另 厂n ，、2 种证明，并确定出其中的常数i - y - - x - - l 为最往常数。但我们还不能确定h 型 群上p 一次l a p l a c e 算子的h a r d y 不等式中的常数是否为最佳。这是一个有待解 决的问题。 在第二章，我们将建立h 型群上的p o h o z a e v 恒等式，讨论半线性次椭圆 l a p l a c e 方程的不存在性问题。 欧氏空间中l a p l a c e 方程的p o h o z a e v 恒等式在研究解的不存在性等性质中 起着非常重要的作用，对p = 2 的情形，见p o h o z a e v 【1 2 年n r e l l i c h 1 3 】；对一般 的p 的情形，见沈尧天和严树森【1 4 l 。这类恒等式后来被推广鳓h e i s e n b e r g 群 上，对p = 2 ，见g a r o f a l o 和l a n c o n e l l i 1 5 】，钮鹏程 1 6 ：对一般的p 见钮鹏 婴j ! 三些叁兰塑：! ：兰些堡兰： 程、张慧清和罗学波 1 7 】。c a r n o t 群上的p o h o z a e v 恒等式( p ：2 ) 见g a r o f a l o 和 v a s s i l e v 18 。 g a r o f a l o 和l a n c o n e l l i 1 5 通过给出向量场 ，y ，) 之间的关系建立了 h e i s e n b e r g 群上次l a p l a c e 算子的p o h o z a e v 恒等式，并将其用于半线性次椭圆 l a p l a c e 方程不存在性问题 f 。“+ 厂( “) = o ，在q 中， l“k = 0 ， 的研究中。钮鹏程在 1 6 】中将其推广到了h “上更一般的半线性次椭圆l a p l a c e 方程不存在性的问题 卜。“= f ( z ，f ，“) ， 在q 中， l “兰0 ， 在a q 上， 上。 在古典情形，由标准的椭圆方程理论可知，通过对区域q 作恰当的光滑性 假定，应用p o h o z a e v 恒等式所必需的解的边界正则性就可以保证，见 1 2 1 。但 是，在次椭圆情形，由于在q 的边界上出现了特征点，即使q 是c 。的，电不 能保证正则性。g a r o f a l o 和v a s s i l e v 1 8 】建立了c a m o t 群上次l a p l a c e 算子的 p o h o z a e v 恒等式并考虑了问题 i = - f ( - ) ，在q 中， 0 l 甜e d l 2 ( q ) ，“0 ， 的非负解的不存在性，讨论了解在边界特征集处的正则性的问题。 在本章第l 节，我们将建立h 型群g 上的一些积分恒等式。在第2 节，将建 立h 型群g 上次l a p l a c e 算子的p o h o z a e v 恒等式，并沿用【1 8 】和 1 6 】中的思想，讨 论g 上半线性次椭圆l a p l a c e 方程边值问题 il u = 一f ( x ，y ，“) ，在q 中， e f蹦d 。2 f q ) ，甜0 ， 的正解的不存在性问题。 在第三章，我们将建立h 型群上的c a r l e m a n 估计，并证明次l a p l a c e 算子 的唯一延拓性定理。 欧氏空间中l a p l a c e 算子的c a r l e m a n 估计及唯一延拓性的证明见p e d e r s o n 【l9 和p r o t t e r 【2 0 。g a r o f a l o 2 1 对广义b a o u e n d i - g r u s h i n 算子 名= ：+ lz l 船，口 0 ，孑r ”，te r ” 建立了相应的结果。张慧清、钮鹏程和王胜军【2 2 则对h e i s e n b e r g 群上次 l a p l a c e 算子得到了这种估计并建立了唯一延拓性定理。 本章第1 节将建立h 型群上次l a p l a c e 算子的c a r l e m a n 估计，第2 节用第1 节建 立的c a r l e m a n 估计证明h 型群上次l a p l a c e 算子的唯一延拓性定理。 6 西北丁业大学顺十学位论文 参考文献 1 】l h 6 r m a n d e r , h y p o e l l i p t i c s e c o n do r d e rd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ，a c t am a t h ， 1 1 9 ( 1 9 6 7 ) ，1 4 7 一1 7 1 2 em s t e i n ，s o m ep r o b l e m si nh a r m o n i ca n a l y s i ss u g g e s t e db ys y m m e t r i cs p a c e s a n d s e m i s i m p l eg r o u p s ，i n t e r n m a t h n i c e ，1 ( 1 9 7 0 ) ，1 7 9 1 8 9 3 a k a p l a n ，f u n d a m e n t a ls o l u t i o n sf o rac l a s so fh y p o e l l i p t i cp d eg e n e r a t e db y c o m p o s i t i o no f q u a d r a t i cf o r m s ，t r a n s a m e r m a t h s o c ，2 5 8 ( 1 9 8 0 ) ，1 4 7 1 5 3 4 】vs v a r a d a r a j a n ，l i eg r o u p s ，l i ea l g e b r a sa n dt h e i rr e p r e s e n t a t i o n s ，s p r i n g e r v e r l a g ，n e wy o r k ，b e r l i n ，h e i d e l b e r g ，t o k y o ，1 9 7 4 5 gf o l l a n d ，s u b e l l i p t i ce s t i m a t e sa n dt h ef u n c t i o ns p a c e so nn i l p o t e n tl i eg r o u p s ， a r k m a t h 1 3 ( 1 9 7 5 ) 1 6 1 2 0 7 6 m c o w l i n g ，a h d o o l e y , ak o r 6 n y ia n df r i c c i ，h t y p eg r o u p sa n d1 w a s a w a d e c o m p o s i t i o n ，a d v m a t h ，8 7 ( 1 9 9 1 ) ，l 一4 1 7 gf o l l a n d ，af u n d a m e n t a ls o l u t i o nf o ras u b e l l i p t i co p e r a t o r , b u l l a m e r m a t h s o c ，2 ，7 9 ( 1 9 7 3 ) ，3 7 3 - 3 7 6 8 n g a r o f a l o ，e l a n c o n e l l i ，f r e q u e n c yf u n c t i o n so nt h eh e i s e n b e r gg r o u p ，t h e u n c e r t a i n t yp r i n c i p l ea n du n i q u ec o n t i n u a t i o n ，a r m 1 n s t f o u r i e r , g r e n o b l e ，4 0 ( 1 9 9 0 ) ， 3 l3 3 5 6 9 wa l l e g r e t t o ，yx h u a n g ，ap i c o n e si d e n t i t y f o rt h e p l a p l a c i a n a n d a p p l i c a t i o n s ，n o n l i n e a ra n a l ，3 2 ( 19 9 8 ) ，8 1 9 8 3 0 【1o 】pn i u ，h z h a n g ，yw a n g ，h a r d yt y p ea n dr e l l i c ht y p ei n e q u a l i t i e s o nt h e h e i s e n b e r gg r o u p ，p r o e a m e r , m a t h s o e ，1 2 ，1 2 9 ( 2 0 0 1 ) ，3 6 2 3 3 6 3 0 【11 】j a g o l d s t e i n ，q is z h a n g ，o nad e g e n e r a t eh e a te q u a t i o nw i t has i n g u l a r p o t e n t i a l ，j o u r n a lo f f u n c t i o n a la n a l y s i s ，1 8 6 ( 2 0 0 1 ) 3 4 2 3 5 9 【1 2 s p o h o z a e v ，e i g e n f u n c t i o n so f t h ee q u a t i o na u + a f ( u ) = o ，s o v v i e tm a t h d o k l 6 ( 1 9 6 5 ) ，1 4 0 8 - 1 4 1 1 【l3 f r e l l i c h ，d a r s t e l l u n gd e re i g e n w e r t ev o n “+ 2 u = 0 d u r c he i nr a n d i n t e g r a l ， m a t h z e i t ，4 6 ( 1 9 4 0 ) ，6 3 5 6 4 6 1 4 沈尧天，严树森，拟线性椭圆型方程的变分方法( 第二版) ，华南理工大 学出版社，1 9 9 9 1 5 】n g a r o f a l o ，e l a n e o n e l l i ，e x i s t e n c ea n dn o n e x i s t e n c er e s u l t sf o rs e m i l i n e a r e q u a t i o n s o nt h e h e i s e n b e r gg r o u p ，i n d i a n au n i v e r s i t ym a t h e m a t i c aj o u r n a l ，l ， 4 i ( 1 9 9 2 ) ，7 1 9 8 1 6 】p n i u ，n o n e x i s t e n c ef o rs e m i l i n e a re q u a t i o n sa n ds y s t e m si nt h eh e i s e n b e r g g r o u p ，j o u r n a lo f m a t h e m a t i c a la n a l y s i sa n da p p l i c a t i n s ，2 4 0 ( 1 9 9 9 ) ，4 7 5 9 1 7 】钮鹏程，张慧清，罗学波，h e i s e n b e r g 群上的h a r d y 不等式与p o h o z a e v 恒 等式，数学学报，2 ，4 6 ( 2 0 0 3 ) ，2 7 9 1 9 0 18 】n g a r o f a l o ，d n v a s s i l e v , r e g u l a r i t yn e a rt h ec h a r a c t e r i s t i cs e t i nt h en o n l i n e a rd i r i c h l e tp r o b l e ma n dc o n f o r m a lg e o m e t r yo fs u b l a p l a c i a n s ，m a t h a n n ， 318 ( 2 0 0 0 ) 4 5 3 - 51 6 7 西北工业大学硕上学位论文 19 1r n p e d e r s o n ，o nt h eu n i q u ec o n t i n u a t i o nt h e o r e mf o rc e r t a i ns e c o n da n d f o u r t ho r d e re l l i p t i co p e r a t o r s ，c o m m p u r ea p p l m a t h ，1 1 ( 1 9 5 8 ) ，6 7 - 8 0 f 2 0 1m h p r o t t e r , u n i q u ec o n t i n u a t i o nf o re l l i p t i ce q u a i o n s ，t r a n s a m e r m a t h s o c 1 ，9 5 ( 1 9 6 0 ) ，8 1 9 1 f 211 n g a r o f a l o ，u n i q u e c o n t i n u a t i o nf o rac l a s so fe l l i p t i c o p e r a t o r s w h i c h d e g e n e r a t eo n a m a n i f o l do f a r b i t r a r yc o d i m e n s i o n ，j d i f r _ e q s ，1 0 4 ( 1 9 9 3 ) ，1 1 7 1 4 6 【2 2 张慧清，钮鹏程，王胜军，h e i s e n b e r g 群上次l a p l a c e 算子的c a r l e m a n 型 估计与唯一延拓性，系统科学与数学，1 ，2 3 ( 2 0 0 3 ) ，5 1 5 7 8 西北工业大学颂f 学位论文 第一章h 型群上的几类h a r d y 不等式 1 0 引言 欧氏空间上的h a r d y 不等式在许多数学分支中扮演着重要的角色。在 h e i s e n b e r g 群上，这类不等式由 1 】 2 】和 3 得到，其中 2 的方法更为直接，结果 更为一般。本章沿用【2 1 中的方法，首先建立了h 型群g 上的p i c o n e 恒等式， 然后通过构造合适的辅助函数，建立了h 型群g 上p 一次l a p l a c e 算子的h a r d y 不等式：接着给出了g 中球域内外的h a r d y 不等式：在第3 节，我们得到了g 上一类比第1 节结果更般的h a r d y 不等式：在第4 节，我们用另一种方法证 明了h 型群g 上次l a p l a c e 算子的h a r d y 不等式，并且确定出不等式中的系数 是最佳常数。 耕1h 型群上p - 次l a p l a c e 算子的h a r d y 不等式 本节先给出了h 型群上的p i c o n e 恒等式。然后建立其上p 一次l a p l a c e 算子 的h a r d y 不等式。 弓l 理1 l 1 ( p i e o n e 恒等式)设g 是一个h 墅群，q 是g 中的一个有界域 或无界域，或是整个空间g 0 ，v 0 是q c g 上的可微函数。汜 m ，旷i v l u 卜( p _ 1 ) 等1 v t v j p 一万2 d r - il v l v r 2 v v 小( 1 1 1 ) 刚 脚h v 川l v 。( 爿仰r 2 v l ( u ，v ) = r ( u ，v ) 0 并肌( ) = 。础q 当且仅当v 。 詈) = 。鲫n 证明：( 1 ) 因为 ， 脚叩川l 甲。( 鲁卜”。v 。v ：iv 。2 2l一一pup-ivlu，vp-ii_：!ui：pj(ip-1)up-一2v,yiv v 【，一2v v ( 1 1 2 ) ( 1 1 _ 3 ) 西北工业人学硕士学位论文 所以 记 三( “，v ) = e ( u ，v ) ( 2 ) 工( “，v ) = lv l u i 一- p “v 了9 一i 1 - _ j v l vi ，一2 l v 。vi iv l u l + ( p - 1 ) 誊- i v l vl ” + p 万u p - ti v c v 一( 1 v l u | | v l v - v l u v l v ) s i = i v 。u l p 一，万。p - il v 川m 1 v 。v l l v t i 坳- 1 ) 等1 v 川9 s ：= p p - j i v c v l 一( i v l uj | v l v i - v l u v l v ) 对s ：在y o u n g 不等式印型：+ 丝坐中取口：l v 。“l ， pq 从而有 声：v l vj r 则 v v 。“l ( 詈i 甲。v 1 4 1 ；i i v 。“+ 吉 詈i v 。v i ) ”。9 l v 川簪l v 川川扣 + i 1 等i v 川” v 川9 + 詈等l v 川l 印川等l v 川川。 v 川q 川) 等1 v t v ” 对是：由v l “v l v i v l u l i v v l 知 所以 p 万b p - i i v l v 川1 v t u i o v l u 【lv f v 卜_ v “v l v 0 p 万i i p - i 1 v t v l 即( i v l u l l v l v i - v l u v l v ) 。 0 v 扩一伊 一 p +v“v p 可 生 p r 虬 v “ | | = 西北工业大学硕学位论文 故 ( “，v ) 0 ( 3 ) 若v 。( 詈) = 。，则显然上( “，v ) = 。，若( “，v ) ( 而) = 。，我们分别考虑下列两 种情形： ( a ) 当u ( x 。) 0 时，必有s 1 = 0 ，是= 0 由s 【= 0 及y o u n g 不等式中等号成立 的条件知 i v l “l = e l v l y ( 1 1 4 ) 由s ：= 0 及h 6 1 d e r 不等式中等号成立的条件知 v f “= k v l v ( 1 1 5 ) 将( 1 1 5 ) 代入( 1 1 4 ) 得“= h ，即v 。( 书= 。， ( b ) 当u ( x 。) = 0 时，记m = x g i “( x ) = o ) ，则在m 中几乎处处v 。“= 0 ，因 而 v 。( 詈) = 坐产o 综上知结论成立，引理证毕。口 设邓( q ) 为由满足以下条件的函数“构成的h i l b e r t 空i q ： “( q ) ，i x u l 驴( q ) 吖( q ) 上的模为 ，= ( 1 x u l + 啦i _ 引理1 1 2 设对某个 0 和权函数g 成立：函数v c o ( q ) 满足 - l p v _ 2 9 v 9 ， ( 1 1 6 ) 且在q 上有v 0 ，则对任意的“耳( q ) 且“0 有 ix u 9 a 舭i ( 1 l - 7 ) 证明：由引理1 1 1 得 o 上m ，v ) _ 砌，v ) = ：i v l u i ，一v ( 鲁) 1 v t v 一v 。v 西北t 业大学颂士学位沦文 = i v 川9 + 箦一s l v 驯”一a 牌9 即得结论。口 用p 记g 的单位元。下面的引理见【4 中的引理2 1 。 引理1 1 3 设p l ，f c 2 ( 月+ ) “( g ) = 厂( d ( g ) ) 贝对任意的g g p 有 印呜俐) = ( p - 1 心艄r 2 h m 筹钭， m ， 这里f 。( 矗( g ) ) 0 定理1 1 1 ( h a r d y 不等式)设州；g ( g ( 0 ，o ) ) ) ，1 p f 型 9 匣芝 lp d 9 巧” 由引理1 1 2 得 ( 叫l 够警 对一般的“由“= “+ 一u 一即可知结论成立。口 下面对域g b 。分1 p q 和p o 两种情况进行讨论，给出相应的h a r d y 西- i l i 业人学删+ 学位论文 不等式。 定理1 2 2 设q = g b r ，则当1 p 9 时，对任意的“c o ( q ) 有 料c 够垃d 2 p ( 1 ：t 2 ) 证明：不妨先设“。令v = l n ( 晏丁= 厂( d ) ，盯= p q ，r d j v 时：雾 。，使得等 n 时生d p c c “，即 v ，“ c d 9 于是( 1 2 1 3 ) 变为 v ，( o - p ) 一万f x p 万f p - i = c 磐等 其中c = ( q c - ，p ) p ，出引理1 1 2 得 4 两北工业人学硕士学位论土 心c f 瞪de 盟d 2 p 对般的“，由“= “+ 一“即可知结论成立。口 定理1 2 。3 设q = g b 。，则当p q 时，对任惹的“c 孑妞) 有 i x i ，c 比 如 如d p ” d ，f l 。翊” lr ， 证明：仍先设“。令v = ( 1 n 要) “= ，( d ) ，r d + c o ，。 a 0 引理1 3 1 设0 ，v 0 为q 上的可微函数。记 三。，v ) = = ，c x ，i v 。“l ”- ( z ，- ) l j 、，。v j 9 ，i ； v t v l 9 2 、，。“( ； v c v ， 帅) 叫圳v 刊9 叱( 等 帆巾。v 则 l ( u ，v ) = r ( u ，v ) 0 ， ( 1 3 1 ) 并且( “，v ) = 。以e q 当且仅当v ( 詈 = 。a 只q 设酬，心) 表示g ) 在范数 俐时，；呱“h 勘阱 下的闭包。 引理1 3 2 设对某个五 0 和权函数g ，v g ( q ) 满足 一上。v _ 9 ， 其中工，：v - j v v r 2 v 。v ) ，且在q 上有v 0 ，则对任意的”岛。( q ) 且“o 有 。 4 ( 五y ) l x u l ”z 吕” ( 1 1 3 2 ) 定虬3 棚爿= ( 刳”1 d 沪i 卜韵，其协叫呱鲫啪意的 “c 孑( g “o ，o ) ) ) 有 西北工业大学坝f ：学位论义 i ；q 。o o ) i a x u l ( 譬心鲫胁” 其中女：q 一旦+ p + 1 ) + ( i 一l p 知 证明：取v = d 9 ，显然在g ( o ，o ) ) 上v 0 由 v l v ：彤川v d ：妇川x h d 一，倒州x j d ，f l a p 一以d l f 1 3 3 1 一【 譬卜沪1 ( w 一铀川蚓p - = f l d l p - i ) v l d = ( 譬 ”1 警川) + ，一叫 _ ( 譬h ：矧p 3 - o ( p - i ) + 2 - p v 如卜。d + 一号( p 一，) + z p lx l ”一2 矗- o ( p - l * l - p i 1 2 + x 1 9 2 矗一；( p 一1 ) + 2 - r l d ， 其中三为g 上的次l a p l a c e 算子。 容易算得： 孙i i = 高； ( 1 3 5 ) 设 d ( f ) = 【f x ( g e x p ( i x j ) ) 1 4 + 1 6 1 y ( g e x p ( t x ，) ) 1 2 】4 ，f o ，= 1 ，脚， 则 t ( o ) ：d ( g ) ，j 2 1 ，州- 出b a k e r - c a m p b e l l h a u s d o r f f 公式得 x ( g e x p ( t x ) ) = x ( e x p ( ( ( g ) ) e x p ( t x j ) ) = z ( e x p ( 点( g ) + g ：2 ( g ) ) e x p ( t x j ) ) 。 ：x ( e x p g 。( g ) + 磊( g ) + t x ，+ 兰 参( g ) + 受( g )