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太原理1 人、产硕 研究生学付论文 非线性估计方法研究与探讨 摘要 经典的测量平差理论是在误差为正态、函数模型为线性的基础上， 基于最小二乘原理的一整套理论和相关方法。长期以来，最小二乘法 一直在测量平差诸方法中处于显赫地位，主要是当时计算工具的局限 性制约了其它一些方法的进一步发展。随着计算机时代的到来，矩阵 代数、泛函分析、最优化理论和概率统计相继被广泛应用于测量数据 处理与分析，从而使测量平差新方法的出现成为可能，除此而外，社 会的不断进步，也需要更高精度的测量数据服务于经济建设。为了继 续丰富和完善测量平差理论体系，本文从非线性估计理论的兴起、基 本思想及其研究现状入手，在重温测量平差基础理论的基础上，对国 内外非线性估计方法的研究现状进行了较为详细的分析总结，得出目 前制约非线性估计理论进一步发展的主要原因在于： ( 1 ) 数学上的非线性理论尚未形成系统完整的理论体系； ( 2 ) 弱非线性模型在顾及高阶泰勒展开项后参数的估计十分复 杂，并不一定适用于具体工程； ( 3 ) 强非线性模型的参数估计及误差传播理论尚属空白，使得非 线性估计理论的研究滞步不前。 针对这些问题，本论文详细讨论了非线性m 估计的一般理论，总 结了m 估计理论研究和应用方面的主要成就，包括迭代算法、污染分 太原理f ：人学硕十研究生学俯论文 布、影响函数和渐进方差；讨论了m 估计的定义及其存在性条件，放 宽了统计学家所要求的m 估计的条件，允许目标函数有多个极值点以 及设计矩阵可以存在秩亏，使“具有概率密度权的最小二乘法”和“和极 大似然法”与m 估计形成了统一关系。证明了秩亏网m 估计解的转换 公式与最小二乘估计相同；讨论了具有正态误差密度的m 方法，分 析了基于校正凝聚函数及其稳健算法。 一般的m 估计的参数估计、残差以及观测量的估计都是观测量的 一个复杂非线性函数，导出它们的方差协方差矩阵具有一定的困难， 讨论了残差、观测量的线性表达式以及正态分布下非线性m 估计的多 余参数，推导了基本向量的方差协方差矩阵；推导了秩亏网m 估计的 线性表达式以及基本向量的线性表达式与相应的方差协方差矩阵。提 出了控制网观测值的均匀性量度t 7 和在，7 满足一定条件下观测值的改 正数所服从的分布：当，7s 叩。时，k g ( a ，0 ，a ；) ( a 为总体可靠性) a 用 高程控制网进行模拟计算，说明了分布的正确性。同时说明了观测值 数量的增加与观测值的改正数对真误差的反映程度：当旯- l 时，改正 数趋于真误差，但符号相反；随着a 的减小，改正数反映真误差韵程 度减小；当a ：0 时，矿。0 ，改正数不反映真误差。 本文对非线性估计方法进行了分析探讨，不仅有利于理论研究，而 且还可以应用于经济、通讯、控制等其它科学领域的数据处理与数据分 析。 关键词：非线性估计，方法，探讨 o nt h er e s e a r c ha n dd i s c u s s i o no f n o n l i n e a re s t i m a t i o nm e t h o d a b s t r a c t t h ec l a s s i c a la d j u s t m e n tt h e o r y ，w h i c hh a sas e to fc o m p l e t em e t h o d s a n dr e l a t i v em e t h o d sb a s e do nt h el e a s ts q u a r e sp r i n c i p l e ，i sb u i l to nt h e b a s i st h a tt h ee r r o r sa r en o r m a l l yd i s t r i b u t e da n dt h ef u n c t i o nm o d e li s l i n e a r , f o ral o n gt i m e ，t h el e a s ts q u a r e sm e t h o di sc o n t i n u o u s l ya tt h e p r o m i n e n tp o s i t i o ni nv a r i o u sa d j u s t m e n t s ，b e c a u s ei tw a sm a i n l yt h e l i m i t a t i o no fc a l c u l a t et o o l st h a tr e s t r i c t e do t h e rm e t h o d st o f u r t h e r d e v e l o p m e n ta tt h a tt i m e a l o n gw i t ht h ea r r i v a lo ft h ec o m p u t e ra g e ，t h e m a t r i xa l g e b r a ，t h ef u n c t i o n a la n a l y s i s ，t h eo p t i m i z e dt h e o r ya n dt h e p r o b a b i l i t ys t a t i s t i c sa r ew i d e l ya p p l i e do n ea f t e ra n o t h e rt ot h es u r v e y d a t ap r o c e s s i n ga n dt h ea n a l y s i s ，w h i c hc a u s e st h ea p p e a r a n c eo ft h en e w a d j u s t m e n tm e t h o dt ob ep o s s i b l e b e s i d e s ，s o c i e t y sc o n t i n u o u sp r o g r e s s ， a l s on e e dh i g h l ya c c u r a t es u r v e yd a t at os e r v et h ee c o n o m i cd e v e l o p m e n t i no r d e rt oc o n t i n u et oe n r i c ha n dc o n s u m m a t et h e a d j u s t m e n tt h e o r y s y s t e m ，t h i st h e s i ss t a r t sw i t ht h er i s eo ft h en o n l i n e a re s t i m a t i o nt h e o r y ， t h eb a s i ct h o u g h ta n di t st h ep r e s e n ts i t u a t i o no ft h er e s e a r c h ，a n a l y z e sa n d s u m m a r i z e st h er e s e a r c hp r e s e n ts i t u a t i o no ft h ed o m e s t i ca n df o r e i g n n o n l i n e a re s t i m a t i o nm e t h o di n d e t a i l ，b a s e d o nt h er e v i e wo ft h e i i i 太原理i ：人学颂十。研究生学侮论文 a d j u s t m e n tb a s i ct h e o r y ，a n do b t a i n st h e m a i nr e a s o np r e s e n t l yw h i c h r e s t r i c t e dt h ef u r t h e rd e v e l o p m e n to ft h en o n l i n e a re s t i m a t i o nt h e o r yl i e s l n ( 1 ) i nm a t h e m a t i c s ，n o n l i n e a rt h e o r yh a sn o tf o r m e dt h ei n t e g r a t i v e t h e o r ys y s t e my e t ； ( 2 ) a f t e rt a k i n gi n t oc o n s i d e r a t i o no f h i g hs t e pt a y l o r ，t h e p a r a m e t e re s t i m a t i o nl a u n c h e db yt h ew e a kn o n l i n e a rm o d e li se x t r e m e l y c o m p l e x ，i ti sn o tc e r t a i n l ys u i t a b l ef o rt h ec o n c r e t ep r o j e c t ； ( 3 ) t h es t r o n gn o n l i n e a rm o d e lp a r a m e t e re s t i m a t i o na n dt h ee r r o r p r o p a g a t i o nt h e o r yi ss t i l lab l a n k ，w h i c hc a u s e st h en o n l i n e a re s t i m a t i o n t h e o r yr e s e a r c ht ob eu n c h a n g e a b l e i nv i e wo ft h e s eq u e s t i o n s ，t h i st h e s i sd i s c u s s e st h eg e n e r a lt h e o r yo f n o n l i n e a rme s t i m a t o ri nd e t a i l ，s u m m a r i z e si t sm a i na c h i e v e m e n ta n dt h e a p p l i e da s p e c t ，i n c l u d i n gt h ei t e r a t i o na l g o r i t h m ，t h ep o l l u t i o nd i s t r i b u t i o n ， t h ei n f l u e n c ef u n c t i o na n dt h eg r a d u a l l ya d v a n c e dv a r i a n c e ；t h i st h e s i s d i s c u s s e st h ed e f i n i t i o no fme s t i m a t i o na n di t se x i s t e n c ec o n d i t i o n s ， r e l a x e st h eme s t i m a t i o nc o n d i t i o n r e q u i r e db y t h es t a t i s t i c i a n ，a n d p e r m i t st h eo b j e c t i v ef u n c t i o nt oh a v em a n ye x t r e m ep o i n t sa sw e l la st h e r a n k - d e f i c i e n to f t h e d e s i g nm a t r i x ，w h i c hm a k e s “t h el e a s ts q u a r e s w h i c hh a v ep r o b a b i l i t yd e n s i t yw e i g h t ”a n d “t h em a x i m u ms u ml i k e l i h o o d e s t i m a t i o n ”f o r mt h eu n i f i c a t i o nr e l a t i o n sw i t ht h eme s t i m a t i o n t h e s o l u t i o nf o r m u l ao f t h em e s t i m a t i o ni nt h er a n k d e f i c i e n tn e t w o r ki s i v 太原理1 人。z 硕十研究生学 上论文 p r o v e dt o b et h es a m ea st h el e a s ts q u a r e se s t i m a t i o n ，t h emm e t h o di s s t u d i e dw h i c hw i t he r r o r sd e n s i t ya r en o r m a l l yd i s t r i b u t e d j t h ea l g o r i t h m b a s e do nt h em o d i f i c a t i o na c c u m u l a t i o nf u n c t i o na n di t sr o b u s t i f i e d a l g o r i t h mi ss t u d i e d p a r a m e t e re s t i m a t i o nb a s e do nt h eg e n e r a lm e s t i m a t i o n ，t h er e s i d u a l e r r o r sa sw e l la st h ee s t i m a t i o no fo b s e r v a t i o n sa l li sac o m p l e xn o n l i n e a r f u n c t i o no fo b s e r v a t i o n s i ti sd i f f i c u l tt od e r i v et h e i rv a r i a n c e c o v a r i a n c e m a t r i x a n dt h el i n e a re x p r e s s i o no fr e s i d u a le r r o ra n do b s e r v a t i o n sa sw e l l a st h eu n n e c e s s a r yp a r a m e t e ro ft h en o n - l i n e a rme s t i m a t i o nw h i c hi s n o r m a l l yd i s t r i b u t e da r ed i s c u s s e d ，a n dt h ev a r i a n c e c o v a r i a n c em a t r i xo f t h eb a s i c ，v e c t o ri so b t a i n e d t h ep a p e rd e d u c e st h el i ，n e a rr e p r e s e n t a t i o no f t h er a n k - d e f i c i e n tn e t w o r kme s t i m a t i o na n dt h eb a s i cv e c t o r ，a sw e l la s t h e c o r r e s p o n d i n gv a r i a n c e - c o v a r i a n c em a t r i x t h ep a p e rp r e s e n t st h e s h a p e l yc h a r a c t e r i s t i c 叼o fa c o n t r o ln e ta n d t h a t ，w h e n ，7 印。t h e d i s t r i b u t i o no ft h er e s i d u a le r r o r si s k 。a ( z ，0 , a 口；) ，h e r ek i sar e s i d u a l e r r o ro fl e a s ts q u a r e sa n d k ：r ，i sg e n e r a lr e l i a b i l i t yo fa c o n t r o ln e t t h ev a l i d i t yi se x p l a i n e dt h r o u g hs i m u l a t ec o m p u t a t i o no fv i r t u a lv e r t i c a l c o n t r o ln e t s t h ed i s t r i b u t i o ns h o w st h a tw h e n a 1 ，t h er e s i d u a le r r o r s a p p r o a c ht h et r u ee r r o r s w i t ht h ei n c r e a s eo fa ，d e g r e eo fr e s i d u a le r r o r s a p p r o a c h i n gt ot r u ee r r o r si n c r e a s e s w h e n a ；0 ，k ；0 ，r e s i d u a le r r o r sd o n o ts t a n df o ra n yt r u ee r r o r s t h et h e s i sa n a l y z ea n dd i s c u s st h em e t h o do fn o n l i n e a re s t i m a t i o n ， v 太原理i ：人学硕十研究生学何论文 w h i c hi sn o to n l yb e n f i tf o rt h ef u n d a m e n t a lr e s e a r c h ，b u ta l s oc a r lb eu s e d i ne c o n o m y ，c o m m u n i c a t i o n s ，c o n t r o la n dt h ed a t ap r o c e s s i n ga n da n a l y s i s o fo t h e rs c i e n t i f i cd o m a i n s k e y w o r d s ：n o n l i n e a re s t i m a t i o n ，m e t h o d ，d i s c u s s i o n v i 声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在指导教师的指导下， 独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文 不包含其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究 做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的 法律责任由本人承担。 论文作者签名： 日期：掣旦一 关于学位论文使用权的说明 本人完全了解太原理工大学有关保管、使用学位论文的规定，其 中包括：学校有权保管、并向有关部门送交学位论文的原件与复印 件；学校可以采用影印、缩印或其它复制手段复制并保存学位论文； 学校可允许学位论文被查阅或借阅；学校可以学术交流为目的， 复制赠送和交换学位论文；学校可以公布学位论文的全部或部分内 容( 保密学位论文在解密后遵守此规定) 。 签 导师签名： 靼 日期：2 乒型生 咎 太原理l ：人学硕十研究生学位论文 第一章概述 1 1 引言 随着测绘工程的逐渐精密化和现代化，电子计算机、矩阵代数、泛函分析、 最优化理论和概率统计在测量平差中得到了广泛应用，逐步改变了人们在追求测 量效率和精度方面对测量仪器的过分依赖。特别是随着科技的飞速发展，高新技 术已广泛渗透到测绘科学领域并成为测绘科学的重要组成部分，比如激光技术、 卫星技术以及计算机技术等与测绘技术相结合，形成了3 s 技术、激光测距、全 站仪、激光扫描自动成图系统等与传统测绘技术和手段大不相同的测绘高新技术 i x 。在此之前，为了追求较高的测量效率和精度，人们特别注重对野外获取数据 的处理和分析，这就使测量数据处理和数据分析理论在全部测绘科学中占据了相 当重要的地位，国内外的老一辈测绘科学家在这一领域倾注了大量的心血，做了 大量的工作，并取得了显著的成绩。在科技发展日新月异的当代，传统测绘仪器 也步入了高新技术时代，仪器各方面性能和功能得到了质的改善，使测量效率和 精度有了较大的提高，大大减轻了人们的外业工作强度，同时在一定程度上，也 减少了测量成果对于数据处理与分析的过分依赖。然而这并不意味着数据处理与 数据分析在测量工作效率和精度方面所起的作用就可以弱化甚至可以忽略，相 反，科技的飞速发展也使得人们对测绘数据质量提出了更高的技术要求，比如传 统的数据处理和数据分析方法仅仅是在顾及偶然误差的前提下所进行的，而与所 使用的仪器无关的粗差、模型误差( 也可称其为系统误差) 既不能靠改善仪器来 解决，也不能利用传统的数据处理和数据分析理论来解决。鉴于此，数据处理和 数据分析理论在提高测量成果质量方面所起到的作用不仅不应该削弱而且还应 当不断加强。尤其是矩阵代数、泛函分析、最优化理论和概率统计在测量平差中 得到了广泛应用，进一步推动了测量平差理论的发展，扩展了经典平差的数学模 型，使测量数据处理和数据分析发展到一个新的阶段，测量平差的模型也逐步向 反映实际的非线性模型转移，形成了内容丰富的近代平差理论体系【2 1 。适应时代 发展要求、更高质量的测量数据的获取，不仅仅依靠测量仪器，更重要的是要在 数据处理和数据分析方面做进步的工作，线性模型的成果己不能满足当代实际 太原理i ：人学硕十研究生学何论文 工作的需要，迫切需要解决许多非线性问题，这就是数掘处理和数掘分析依然在 提高测量成果质量方面起着举足轻重作用的重要原因，这也是我选择此课题作为 硕士论文的原因之所在。 1 2 非线性估计理论的兴起 严格来讲，测量平差的实际模型大都是非线性的。其中许多还是强非线性的， 例如，常用的以坐标为参数的测角、测边平差模型，测量结果在考虑大气温度、 湿度、折光影响时所建立的模型等等，对这些非线性模型，通常将其化为近似的 线性模型来进行处理。基本方法是对用经典测量方法所建立的非线性函数模型， 取充分近似的参数近似化后将其用泰勒公式展开成线性形式，截去二次以上各项 后再加以处理，对所截去的二次以上各项所产生的误差在偶然误差范围内忽略不 计【3 1 。实践证明：随着人们对更高质量测量数据的需求，有些非线性模型近似后， 基本可以得到满意的结果，而有些非线性模型则对参数的近似值敏感，不能仅仅 简单的加以线性化，必须加以变换才行，如果进行简单的线性化则最终得到的结 果会大相径庭。 从哲学上讲，线性意味着简单性，非线性意味着复杂性；从数学函数来讲， 线性意味着一阶导数为常数或零、二阶及其以上导数恒为零，非线性则意味着二 次及其导数不全为零；从数学方程来讲，线性方程的任意两个解相加仍然是线性 方程的解，比如测量中秩亏网的任意两个解之和仍然是秩亏网的解，而非线性方 程则不满足这一规律。 本质上自然界是非线性的，可以用非线性函数和非线性方程( 微分方程) 来 表达。在测量科学中，对静态非线性问题，通常用非线性函数表达，比如非线性 条件式、非线性误差方程，其数据处理与数据分析内容属于统计学中的参数估计； 而对动态非线性问题，通常用微分方程表达，称其为动力系统，其数据处理与数 掘分析内容属于时间序列分析，其主要方法有卡尔曼滤波、傅立叶分析、小波分 析以及混沌动力学分析等 4 】。 另外，在测绘领域内，人们习惯于在线性空间内研究一些问题，因此绝大多 数的非线性问题都是通过转化为线性问题束解决的，究其原因，主要在于；测 量平差与数据处理中多数非线性模型的线性性较强，模型中未知参数多有充分的 近似值。基于这类模型的间接数据处理方法能够基本满足过去乃至现在一些实际 2 太原理i ：人学硕士研究生学位论文 工作对数据处理精度的要求；鉴于上述原因，在测量平差理论领域中，对非线性 模型估计理论的研究就成为近代测量平差理论进一步发展的一个重要方面，且必 须提到日程上来。 1 3 非线性估计理论的基本思想 由于非线性问题的复杂性，非线性估计难度较大，传统的估计方法存在着一 定的缺陷。非线性估计领域的经典方法是e k f ( e x t e n d e d k a l m a n f i l t e r i n g ) p j ， 但e k f 本质上是一种粗糙的方法，计算复杂、滤波不稳定。自e k f 提出的近三 十年间，众多学者尝试各种方法对非线性估计问题进行了深入的研究，提出了不 少新方法、新思路。但就其实质而言，非线性估计的核心在于近似，当今各种非 线性估计方法的不同在于其做近似处理的思想和实现手段的差异上。近似的本质 就是对难以计算的非线性模型施加某种数学变换，变换成线性模型，然后用b a y e s 估计原理进行估计。这就是非线性估计理论的基本思想。 以一般的非线性系统为例，其状态方程和观测方程可表示为： x k + 1 = ， t ，h ，唯) y 女；9 0 ，m ) 式中，x k 为状态量，y k 为观测量，为系统输入，v 。为系统噪声，且 v 。( 瓦，幺) ，w k 为观测噪声，且m ( 碗，凰) ，v 。与相互独立且与系统状态x 无 关。根据b a y e s 估计原理，可按条件期望表示出系统的状态估值。但在非线性条 件下，条件期望是难以处理的，所以以上两种非线性模型只能采用各种近似方法。 因此，可以说所有的非线性估计都是近似的，且只能得到次优估计。 1 4 非线性估计理论的研究现状 e k f 是传统非线性估计的代表，其基本思想是围绕状态估值性+ i i 对非线性模 型进行一阶t a y l o r 展开，然后应用线性系统k a l m a n 滤波公式。但它存在两个主 要缺陷，即：( 1 ) 必须满足小扰动假设，即假设非线性方程的理论解与实际解之 差为小量。也就是睨e k f 只适合弱非线性系统，对于强非线性系统，该假设则不 成立，此时e k f 滤波性能极不稳定，甚至发散；( 2 ) 必须计算j a c o b i a n 矩阵及 其幂，但是，这是一件计算相当复杂且极易出错的工作归l 。 3 太原理i ：人学硕十研究生学位论文 针对e k f 的缺陷，众多学者提出了各种分解及补偿算法，如：u d 分解、 奇异值分解、l ，一d 分解、平方根滤波等等l ”。这些努力结果在一定程度上解决了 e k f 数值稳健性问题，相应地提高了计算效率，但仍旧无法避免e k f 所存在的 两个主要缺陷。另外，标准e k f 是取t a y l o r 展开式的一阶近似，为提高估计精 度也可取二阶近似，构成s o n f ( s e c o n do r d e rn o n l i n e a rf i l t e r ) 滤波，但其实现 复杂性和计算量将大大增加。级数展开法中还有一种称为统计线性化方法，它是 将非线性模型按某种不带导数的级数( 如幂级数) 展开，从而避免了求导计算， 不要求f ，g 必须可导。从统计的观点来看，所得的表达式比t a y l o r 级数更为精 确。但该方法需要计算多重无穷积分，因其计算量太大而使它的推广应用受到一 定的限制。从目前的研究状况来看，非线性模型估计理论研究依然需要广大专家 学者为之做出不懈的努力。 1 5 主要研究内容与意义 为了进一步丰富和完善测量平差理论体系，本文在分析回顾非线性估计理论 发展历史、基本思想以及发展现状的基础上，对非线性m 估计进行了较为详细的 研究。较为详细地讨论了m 估计的定义及其存在性条件，放宽了统计学家所要求 的m 估计的条件：讨论了具有正态误差密度的m 方法以及无穷范估计，分析了 基于校正凝聚函数及其稳健算法；鉴于一般的m 估计的参数估计残差以及观测量 的估计都是观测量的一个复杂非线性函数，使得我们无法导出它们的方差协方差 矩阵，而方差协方差矩阵无论是理论上还是应用上都具有重要的作用。在统计理 论中，它是m 估计收敛于正态随机变量的重要指标，在应用上，特别是在测量科 学中，它则是我们进行数据分析、构造假设检验、可靠性理论以及方差分量估计 等的重要基础，对整体平差起着灵魂的作用。对于非线性函数的处理，通常采用 t a y l o r 级数展开进行线性化，用线性表达式来近似取代原来的非线性函数。对于 参数m 估计的线性化也采用级数展开这一方法，用独立随机变量和的数学期望柬 代替独立随机变量和本身，从而得到参数m 估计的线性表达式。以此为基础，本 文进一步讨论了残差、观测量平差量的线性表达式，探讨了基本向量的方差协方 差矩阵；分析了秩亏网m 估计的线性表达式及其基本向量的线性表达式与相应的 方差协方差矩阵，对不变量、观测量、残差向量以及观测量的平差量，其方差协 方差阵与满秩时相同；参数估计量以及参数估计量与不变量之间的方差协方差矩 4 太原理i ：人学硕七研究生学位论文 阵同参考基准有关。提出了控制网观测值的均匀性量度”和在 满足一定条件下 观测值的改正数所服从的分布：当叩s 叩。时，k c ( z ，0 ，a 盯j ) ( 为总体可靠性) 。 用高程控制网进行模拟计算，晚明了分布的正确性。该分布说明了观测值数量的 增加与观测值的改正数对真误差的反映程度：当a - 1 时，改正数趋于真误差， 但符号相反；随着a 的减小，改正数反映真误差的程度减小；当a ：0 时，矿；0 ， 改正数不反映真误差。 本论文研究的意义在于进一步分析讨论测量平差的理论体系，尤其是对非线 性估计理论进行了重点研究，一方面有助于深化测量平差的理论体系，促进了平 差理论的进一步发展，另一方面，对非线性估计方法的完善起到一定的启发作用。 5 太原理。i ：人学硕十研究生学位论文 第二章测量平差基础理论 电子计算机的出现，使得平差计算方法也发生了相应改变，尤其重要的是， 矩阵代数、泛函分析、最优化理论和概率统计在测量平差中的应用，极大的推动 了测量平差理论的发展，一大批专家学者围绕理论和实际应用，扩展了经典平差 的数学模型，出现了一些称之为近代平差的新方法，使测量平差理论发展到一个 崭新的时代。 2 1 相关平差理论 1 9 4 7 年，田斯特拉( t m t i e n s t r a ) 从测量平差观点，扩展了高斯马尔柯 夫模型，将一盯；q ；口；p 一1 中的、q 和p 由对角阵扩展为满秩非对角阵，提出 了相关平差法，将经典平差对观测值随机独立的要求，推广到随机相关的观测值。 这样，就使得观测值的概念广义化了，不仅随机独立的直接观测值可以作为平差 的对象，而且它的导出量，如随机独立直接观测值的函数或任何一种初步平差的 结果都可以作为平差的对象【8 i 。相关平差对测量平差的理论研究有重大的促进作 用，推动了测量平差的发展。相关平差具有很强的概括性，从相关平差角度出发， 再运用矩阵的符号和运算，就可以把一些性质和方法完全不同的平差概括成便于 记忆的统一形式。根据函数模型不同而划分成的参数平差、条件平差、带约束的 参数平差和带参数的条件平差可以用下面通用的平差模型加以概括： b v + 。a k c x 吖一 i 三糍p = 盯；q ，= d ；- 1i 当口一，c ：0 时，平差模型变为参数平差的函数模型 v = a x 一， 当a 。0 ，c ：0 时，平差模型变为条件平差的函数模型 b v ；f 太原理l 大学顶十研究生学位论文 当艿：一，时，平差模型变为带约束的参数平差的函数模型 矿= 詹一，1 西= f 当c 。0 时，平差模型变为带参数的条件平差的函数模型 b v a 叠a 当三，q 和p 为对角阵( 包括单位阵) 时，则为经典平差，当z ，q 和p 为满秩方 阵时，则为相关乎差。 相关平差用矩阵符号书写，不但可以将不同性质的平差概括成统一形式，而 且可以将不同的函数模型概括成一个统一的函数模型。相关平差的出现，使得按 最小二乘原理进行平差的概念广义化了1 9 1 ，促成了钡量平差理论的一大进展。 2 2 参数加权平差 g m 模型要求：e 伍) 。x 即参数为非随机量。 。 参数加权平差是将x 推广为随机向量，也就是 e ( 盖) 一0 x = d ；q x a a 2 r # - i z 。，。0 qt q a + 彳以彳7 按最小二乘原理：v r 只矿+ 雪7 砑：m i n ，解l ：a x + a 得： 萱；( b + 4 7 州) 一1 a 7 罡l ；( & + 4 7 e a ) 。 可以证明，顾及参数的验前统计性质，平差后得到的参数估值x 的精度高于由 2 ；7 朋) 一1 a 7 p l 得到的估值。若将x 和a 分块为： 7 太原理i ：人学硕十研究生学位论文 叫矧 删， 式中，x ，为非随机参数，x ：为随机参数，于是有 l = 4 x ，+ 爿：x ：+ 称为部分参数加权平差模型，按最小二乘原理 矿7 只y + j ；尸噩j ：= r a i n ，即可求得非随机参数估值彳。和随机参数估值j ：。 2 3 最, j 、- - 乘滤波、推估和配置 参数加权平差中的随机参数向量，其元素为随机变量，如果其元素为随机 过程，则参数加权平差就变为最小二乘滤波、推估和配置。 设三一a i x 。+ 4 x 2 + 中的a 2 和x ：分别为 爿z 。c 加，x ：2 曼 式中，为单位阵墨s ：为具有各态历 经性的平稳随机过程向量，又称为信号，s ，为测站点信号，s ，为非测站点信号。 这样l 。4 蜀+ 4 z ：+ 便成为一个既含非随机参数石，又含随机变量和随 机过程墨，s ：的新平差模型，按最小二乘原理可得萱。，j 。和雪：。文献中称这个新 平差模型为最小二乘配置模型。 当a 2 0 ，即成为g m 模型：三利。z 。+ 当a 。一0 ，则lt a 2 x ：+ 称为滤波和推估模型。 我们把确定非随机参数x 。的估值称为最小二乘平差，确定观测点的信号s l 的 估值称为最小二乘滤波，确定非观测点上的信号s 的估值称为最小二乘推估。可 见，最小二乘配置综合最, b - - - 乘平差、滤波和推估，在此意义上，可以认为最小 二乘配置是一种广义平差法【1 叭。 最小二乘滤波、推估和配置起源于最小二乘内插和外推重力异常的课题。 1 9 6 9 年t 克拉鲁普把推估重力异常场中不同类型的数据，如重力异常、垂线偏差 等，推广到推估重力异常场中的任一元素，例如扰动位，大地水准面差距等，得 出了最小二乘滤波、推估和配置，h 奠早兹对最小二乘滤波、推估和配置进行了 8 太原理r 人学硕士研究生学位论文 系统研究，提出了带系统参数的最小二乘配置并概述了这种方法在大地测量其它 方面的应用，进而导致大地点几何位置和重力异常场的最小二乘联合求定，为整 体大地测量奠定了理论基础。1 9 7 2 年h 克劳斯将这一方法引入到航空摄影测量 中。 最小二乘配置模型应用比较广泛，如在坐标变换中，此时，a x 表示坐标变 换的公式，s ，为公共点残余变形，或称为随机畸变，s ，为非公共点随机畸变， 为公共噪声。此外在控制网改造和控制网扩展中最小二乘滤波、推估和配置均能 发挥其显著的优势【1 1 1 。 2 4 秩亏自由网平差 1 9 4 4 年，r c 包斯将g m 模型的系数矩阵4 ，推广到奇异阵，即 r k ( a ) 0 如果观测向量l 中的一些分量是其它分量的线性组合，观测值函数相关，则 a 为奇异阵，即 r k ( q ) h id e t ( q ) 2 0 具有奇异权逆阵g m 模型参数估计的第一篇论文发表于1 9 6 4 年，作者是 a j 高德曼和m 蔡勒。对该问题的研究，迄今虽仅仅二十年，但在这个方向上的 发展，在数理统计领域，已经涌现出了大量的结果，可以说比较成熟了。在测量 数据处理中，对该问题的研究也渐渐引起了重视。目前，在实际问题中直接产生 奇异权逆阵，较为罕见。但一些直接观测值的导出量，如某些平差结果，有时会 遇到奇异权逆阵的情况，例如，三角网按角度平差时，角度是由独立方向值导出 的，角度向量的权逆阵常常是奇异的，又如观测向量的平差值向量的权逆阵也是 奇异的。 0 1 21 q 。j 为r 1 维观测向量，权逆阵q l l 为r r 阶非奇异 r k ( q ) ；r k ( q 1 1 ) = r m 1 0 i 2 q q ，。jii【 = q ，ll_j l 2 l l _-_l 互 l i 殴 m阵方 太原理1 ：火学硕士研究生学位论文 l 22 c l l 2 。c r j g m 模型中，l 的权逆阵q 是满秩的，权阵p 与权逆阵可以互逆 1 2 1 。奇异权逆 阵不存在凯里逆，这是如何进行参数估计，也应建立相应的参数估计准则。 由奇异正态分布，可得下面估计准则 v 7 q v = m i n 或 v 7 q + v ：m i n q 一和q + 为q 的广义逆和伪逆。 可以证明，炉q v m i n n i y 7 q + v ；m i n 等价于叩q 0 y 1 i m i n 2 6 最小二乘统一理论 综合满秩g m 模型，系数阵秩亏g m 模型和具有奇异权逆阵的g m 模 型，可以给出满足船口) s f ，a e t ( q ) 0 的g m 模型，称为广义g m 模型a 广义g m 模型的参数估计，是著名印度统计学家c r 劳1 9 7 1 年以来，在 一系列论文中解决的。c r 劳的基本思想是，寻求一个矩阵q ，代替的权逆阵 q ，然后按y 7 q 2 v 。r a i n f 挥出未知参数估值雪。 困难的问题是，这样的矩阵q 。是否存在，若存在，它应具有怎样的形式? c r 劳成功地解决了这个问题，证明了可以取幺。q + a u a r 代替q ，u 为对 称阵。 广义g m 模型参数估计，适用于系数阵a 列满秩或列降秩，a 奇异或非奇 异的所有情况。鉴于此，c r 劳把其结果称为“最小二乘统一理论”【”1 。 2 7 随机模型的验后估计 经典平差，测量工作者一直致力于平差函数模型的研究，主要是研究如何估 计函数模型中的未知参数，而对平差的随机模型，特别是观测向量的权矩阵一直 很少研究。过去，平差的主要对象是同类观测量，认为确定权矩阵很简单，只是 一个具体的技术性问题，并且通常假定权矩阵在平差前是已知的且具有简单的形 式，即认为权矩阵是对角阵或更简单的单位阵。事实上，权矩阵的确定是一个非 常复杂的问题。随着测量精度的提高，平差对象的多类化以及平差理论的发展， 1 1 太原理1 人学硕十研究生学何论文 权阵的确定问题，已经成为近代平差理论研究的重要内容。 g m 模型的随机模型为：；盯；q ：o d e 一1 平差随机模型的研究，分为验前估算和验后估算两个方面。验酊估算是是平差定 权的需要。根据权与方差成反比的定义，只要己知观测值的方差，就可以确定权。 然而，在平差前准确地求出方差，在某些情况下，是比较困难的，因此权也很难 准确求出，很容易造成各类观测值之间权比失调，从而影响最终的平差结果。为 了提高平差结果的精度，准确定出各类观测值之间的权比，近代平差提出了验后 估计权的方法，称之为随机模型的验后估计。验后估计权是通过平差得到的改正 数向量，来估计各类观测值的方差和协方差。因此，随机模型的验后估计，也称 为方差一协方差分量估计。 随机模型验后估计的主要目的是检验不同类观测值的权确定的是否合理，如 果通过验后估计判定平差前给出的各类观测值的权不恰当，可根据验后估计的方 差重新定权。显然根据重新确定的权再次进行平差，其平差结果的精度将会有所 提高。 随机模型的验后估计方法主要有以下三种【1 4 】： ( 1 ) f r 赫尔默特的最小二乘平差法 这是一种估计不同类型观测值的单位权方差的验后方法。初步定权后进行三 角网平差，分别求出各类观测值改正数的k r p 。k ，然后求出与只相对应的单位权 方差钟。我国天文大地网整体平差各种观测值的权，就是应用赫尔默特简化公式 确定的。 ( 2 ) c r 劳的m i n q u e 法 m i n q u e 法，即最小范数二次无偏估计法。这种方法是，先提出估计应具有 的性质，即要求估值具有不变性、无偏性和最小范数性。然后把满足这些性质所 加的条件变成一个求最小迹的极值问题，求出所需要的估值。 ( 3 ) k 库贝克的最大似然法 该方法是假设随机变量服从正态分布，似然函数可表示为方差一协方差分量 和数学期望的函数，然后使该函数为最大，进而求出这些未知参数。 2 8 附加系统参数的平差 1 2 太原理一火学硕士研究生学位论文 附加系统参数的平差也称为消除系统误差影响的平差，在航空摄影测量中称 为自检校平差。 众所周知，观测误差按性质包括三种成分；粗差。、系统误差a s 和偶然 误差a 。，即a = a 。+ ，+ 。最小二乘平差，通常假定在观测值中仅含偶然误 差，即：a g 。= o 。, e a ( s = ) 0 ：。 事实上，在平差前完全剔除粗差a 。和消除系统误差a 。的影响是不可能的。 随着测量精度的提高，对平差结果的精度要求也越来越高，近年来出现了消除系 统误差影响的平差方法，即满足：a 。01 条件的平差方法。 i a s + a nj 这种平差方法的基本思想是，在仅含偶然误差函数模型的基础上，加入一些 附加参数s 用以抵偿在观测数据中存在的系统误差对平差结果的影响。函数模型 为：l a x +