（控制理论与控制工程专业论文）广义系统h∞降阶控制器的设计.pdf

摘要 广义系统是一类形式更一般化，且有着广泛应用背景的动力系统，许多实际 系统用广义系统模型描述起来更方便。因此对其研究获得了广泛的关注，已经取 得了很多的成果。本文研究了广义系统的玩降阶控制器以及广义矩形系统的 以控制问题，提出了解决这些问题的一些新条件和新方法。主要内容如下： 一、对于一般广义方形系统，研究了广义方形系统以降阶控制器的设计问 题，提出了两种玩降阶控制器的设计方法。第一种方法就是根据广义系统下基 于互质分解和受限等价分解得到的降阶控制器和以控制所需要的性能指标条 件，将广义系统以降阶控制器的设计问题转化为矩阵不等式的可解性问题，同 时给出了降阶控制器存在的矩阵不等式条件和设计方法；第二种方法就是根据广 义系统存在动态输出反馈控制器的动态阶应满足的条件，同时结合广义有界实引 理，研究了控制器进一步降阶的问题，给出了在满足动态阶条件下低阶控制器存 在的条件和设计方法。并通过实例说明该方法是有效的。 二、针对广义矩形系统，研究了广义矩形系统以控制的问题。一方面，根 据广义方形系统的鼠控制理论将其推广到广义矩形系统，给出了基于代数 r i c c a t i 不等式的广义矩形系统e 。控制器存在的充分条件。另一方面，对广义矩 形系统进行了巩全阶控制器和风降阶控制器设计的研究，根据一种新的广义 矩形系统的受限等价分解形式和广义有界实引理，给出了两种广义矩形系统以 全阶控制器和一种只。降阶控制器的设计方法，并且降阶控制器的设计方法没有 对系统做任何的假设，适用于更一般的广义矩形系统。 关键词：广义系统日二控制线性矩阵不等式 降阶控制器广义矩形系统 a b s t r a c t i ti sw e l ll ( n o w nt h a tt h ed e s c r i p t o rs y s t e m sh a v eh i g h e rc 印a b i l i 够t 0d e s c r i b e p h y s i c a ls y s t e mw i t i lw i d e l y 印p l i e db a c k r o u n d s oag r e a td e a lo fi n t e r e s th a sb e e n d e v o t e dt ot h es t u d yo fd e s c r i p t o rs y s t e m s ，a n dt l l e r eh a v eb e e nm a n yr e s u l t sf o r d e s c r i p t o rs y s t e m s t h i st l l e s i s 咖d i e st h ep r o b i e m so ft h ez lr e d u c e d o r d e r c o n t l o l l e r sf o rd e s c r i p t o rs y s t e m sa n d 日二c o n t r o lf o rr e c t a n g u l a r d e s c r i p t o rs y s t e m s s o m en e wd e s i g nt e c h n i q u e s 盯ep r o p o s e d t h em a i nc o n t e n t si nt h et h e s i sa r ea s f o l l o w s ： 1 t h e 月二 r e d u c e d o r d e rc o n t r o i l e r d e s i g nf o rg e n e r a ls q u a r ed e s c r i p t o r s y s t e m s i s g t u d i e d ， 觚dt w om e t h o d sa r e p r e s e n t f i r s t l y ， a c c o r d i n g t ot h e r e d u c e d 。o r d e rc o m r o l l e rb a s e do nc o p r i m e - f h c t i o na n dr e s t r i c t e ds y s t e me q u a l i 够f o r d e s c r i p t o rs y s t e m sa n dt h ec o n d i t i o nf o r 日二 c o n t r o l ，t h er e d u c e d o r d e rc o n t l o l l e r d e s i g np r o b l e mi sc o n v e 毗dt ot h em a 研xi n e q u a “t ys o l v a b l ep r o b l e m ad e s i g n m e t h o da n de x i s t e n c ec o n d i t i o no f 月二 r e d u c e d - o r d e rc o n t r o l l e rf o r d e s c r i p t o r s y s t e m si so b t a i n e d s e c o n d l y ，f u r t h e rr e d u c e d o r d e rc o n t r o l l e ri sc o n c e m e d ，w h i c hi s b a s e do nt h ec o n d i t i o no fd y n a m i co r d e rf o rt h ee x i s t e n c eo fc o n t r o l l e r so f d e s c r i p t o r s y s t e m sa n dg e n e r a lb o u n d e dr e a ll e m m af o rd e s c r i p t o rs y s t e m s ，a n dad e s j g nm e t h o d a n de x i s t e n c ec o n d i t i o no fr e d u c e d o r d e rc o n t r o l l e rw h i c hs a t i s 行e st h ec o n d i t i o no f d y n a m i co r d e ra r eo b 协i n e d t h i sm e t h o di ss h o w nt ob ee 行e c t i v eb vn u m e r i c a l e x a m p l e s 2 t h e 月二c o n t r o lf o rr c c t a n g u l a rd e s c r i p t o rs y s t e m si ss t u d i e d o nt h eo n e h a n d ，t h i sp a r tg e n e r a l i z e st h e 日。c o n t r o lt h e o 巧f o rs q u a r ed e s c r i p t o rs y s t e m st 0 r e c 锄g u l a rs y s t e m s ， a n dp r o v i d e sas u 衔c i e n tc o n d i t i o n o f 日。 c o n t r o l l e rf o r r e c t a n g u l a rd e s c r i p t o rs y s t e m sb a s e do na l g e b m i cr i c c a t ii n e q u a l i 够。o nt h eo t h e r h a n d ， t h e向l l 。o r d e ra n d r e d u c e d - o r d e r 日二 c o n t r o n e rd e s i g nf o r r e c t a j l g u l a r d e s c r i p t o rs y s t e m si ss t u d i e d ，a n dt w ok i n d so f 向1 1 o r d e rc o n t r o l l e rd e s i g nm e t h o d s a n dar e d u c e d 。o r d e rc o m r 0 1 l e rd e s i g nm e t h o df o rr e c 协n g u l a rd e s c r i p t o rs y s t e m sb a s e d o nt h en e wr e s t r i c t e ds y s t e me q u a l i t y 锄dg e n e r a lb o u n d e dr e a ll e m m aa r eg i v e n ， w h i c hi sf i tf o rg e n e r a lr e c t a n g u l a rd e s c r i p t o rs y s t e m sw i t h o u ta n ya s s u m p t i o n so n s y s t e m s k e yw o r d s ：d e s c r i p t o rs y s t e m s ，以c o n 订o l ，l m i ，r e d u c e d - o r d e rc o n 廿o l l e r ， r e c t a n g u l a rd e s c r i p t o rs y s t e m 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得盘洼盘堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名： 丑沫 签字日期： o ip ) j 年舌月，d 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解叁盗基鲎 有关保留、使用学位论文的规定。 特授权墨盗盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：寻是 导师签名：国厶 q 签字日期：) 归8 年多月，汐日 签字日期：w 硼年占月厂。日 第一章绪论 1 1 研究背景 第一章绪论 1 1 1 广义系统的理论研究背景 自从7 0 年代初期，英国著名控制理论专家r o s e n b r o c kh h 在研究复杂电 网络系统的过程中首先提出广义系统概念以来，广义系统的概念已经向各个研究 领域渗透，如航空、航天、通讯、经济和社会管理系统。近三十年来，人们发现， 用广义系统来描述和刻画实际应用中经常遇到的一些系统比用线性正常系统来 得自然、方便、精确得多。因此，广义系统是描述实际系统的有力工具，对广义 系统的深入研究具有重大的理论意义及应用前景。 描述系统的一般形式为： e o ) 丁( 九) z ( ) 】= ，( x o ) ，“( ) ，) ( 1 一1 ) y ( f ) = k ( x ( f ) ，“( f ) ，f ) 这里e ( f ) 是刀阶是变矩阵；，k 是x ( f ) ，“( f ) 及f 的向量函数。显然，当e ( f ) 非 奇异的时候，系统( 卜1 ) 即为通常所说的线性系统( 或正常系统) ，当e ( f ) 奇异 的时候，则称系统( 卜1 ) 为广义系统。广义系统在文献中也称为奇异系统、描 述系统、半状态系统、不明确系统、以及微分代数系统等等，在本论文中使用广 义系统这一称谓。 本文主要研究是线性时不变广义系统。系统形式通常表示为： 戤( f ) = 血( f ) + 召“( ) ( 1 2 ) y ( f ) = c 父( f ) 其中，x ( f ) 尺”，“( f ) r p ，y ( f ) 尺9 ，分别表示系统的状态向量、控制向量及输出 向量；e 尺“”，彳尺，曰尺“p ，c r 删均为实矩阵。上述广义系统为线性时不 变连续广义系统。 相应的，线性时不变离散广义系统表示为： 戤( 川12 皇后) + ? “( 后) ( 1 3 ) 少( 尼) = c x ( 尼) ，七= o ，l ， 第一章绪论 广义系统与正常系统相比，既存在内在的联系又有着本质的区别。其中广义 系统与正常系统的主要联系是： 如果系统( 卜2 ) 的e 是非奇异的，则系统( 卜2 ) 就等价于下面的正常系统： j ( f ) = e 一1 叙o ) + e 一1 b “( f ) ( 1 4 ) y ( f ) = c x ( f ) 因此如果从矩阵e 的广泛取值的意义来考虑，广义系统是对正常系统的推广。 广义系统与正常系统存在的本质区别主要体现在： ( 1 ) 广义系统的解中通常不仅含有正常系统所具有的指数解( 对应于有穷 极点) ，而且含有正常系统所不具有的脉冲解和静态解( 对应于无穷极点) ，以及 输入的导数项，从而使广义系统出现了正常系统所不具有的脉冲行为。所以广义 系统的极点，除了有g = d e g d e t ( 姬一么) 个有穷极点外，还有正常系统不具有的 0 一g ) 个无穷极点，在这些无穷极点中又分为动态无穷极点和静态无穷极点。 ( 2 ) 正常系统的动态阶为玎( 等于系统的维数) ，而广义系统的动态阶仅仅 为啪ke 力。 ( 3 ) 正常系统的动态特性只有一个层次；而广义系统的对象有两个层次， 一层为动态特性( 由微分方程描述) ，另一层为对象的静态特性( 由代数方程描 述) 。 ( 4 ) 广义系统的传递函数可以表示为： g 0 ) = e ( j ) + g r ( s ) 其中g 0 ) = e ( 豇一4 ) 一b g f 蛐= c f 心n f 1 0 b f + d = d l + 墨d 2 + + s 一q l d l = d c f b f ，d 2 = 一c f n f b f ，d k 4 = 一c f n 7 b f 而且当，为小于七的正整数时，；o ；当为不小于后的正整数时，；= o 。 所以我们可以看出，广义系统传递函数不仅包含严格真有理分式矩阵而且还有多 项式矩阵的和。 ( 5 ) 正常系统的齐次初值问题的解存在且唯一，但对于广义系统，可能不 存在解，而且有解也不一定是唯一的。 总之，由于广义系统具有正常系统所不具有的无穷远极点，还有可能的脉冲 解和非有理的传递函数，在结构上变得复杂而富于新颖性，自然在研究上增加了 2 第一章绪论 很多难度，同时也增加了不少特色。 1 1 2 广义系统的应用背景 近二十多年来，人们已经发现很多实际问题中存在着广义系统的形式。随着 社会的发展和研究的深入，广义系统涉及的领域将越来越广泛，下面给出广义系 统在实践应用中的几个例子： 例l 【2 】：h o p f i e l d 神经元网络模型的输入包括两部分，一部分是模型的外部 输入，另一部分是神经元输出信号的加权和，表示为： c io oo 0o 00 0 o 0 0 o 0 0 0 x2 一 o o 一彬 0 ， 00 0 一暖， 0 0o0 0 一g ( 五) 一b 一厂( 屯) + 蜀 0 0 0 少= 【o ， o o 】工 ，= 0 其中，和是两个加权矩阵；厂( 而) 和g ( _ ) 是非线性函数，这是一个非线性 广义系统模型。 例2 【3 1 ：单机多产品批量调度中的时间平衡方程可以表示为： o o 10 l1 ： 1l引m 州= 盔，一l 0 0 0 1 吐，一l o 0 1 一l 以，一l 0 一l 一l 一l 厶一1 x ( f ) + i 一1 其中，西表示单位的f 种产品在一个循环生产周期中平均的满足市场需求的 时间；x ( f ) 中的分量表示循环生产中的产量，也表示生产时间；表示生产准备 时间总和。这是一个离散广义系统模型。 例3 【2 】：两机械手协助抓一物体的动力学方程为： 第一章绪论 m ( 吼( f ) ) oo0 0 m 2 ( 9 2 ( f ) ) o o o0 ，订0 o0o o 0000 乡( f ) 觑( f ) p ( f ) 石( f ) 五( f ) 互o ) + g ；( g 。o ) ，p 。( f ) ) + 一( g 。o ) ) z ( f ) 互( f ) + g 2 ( 9 2 ( f ) ，岛( f ) ) + 乃( g ：( f ) ) z ( f ) 一( f ) 一五( f ) 一孵 q ( g l ( f ) ) 一p 皿( 9 2 ( f ) ) 一尸 其中，p ，= g 髟) ；鸠( g ，) 表示惯性矩阵；g ( g ，易) 表示c o r i o l i s 离心和引力效应； m 为所抓物体的质量；z 为第f 个机械手的输入力矩，一般视为控制量；p 为所 抓物体的中心位置坐标；q ( 吼) 和皿( g ：) 分别表示两机械手的直接运动学关系： 以( 吼) 表示j a c o b i a n 矩阵。这是一个非线性广义系统模型。 例4 【2 】：具有非线性负载的电力系统模型为： 名= 一s 【名( 口g ，4 1 ，1 ，) 一昂】 五g = 名 0 = 日( 口窖，口1 ，1 ，) + 另 0 = ( v ) - 1 【q ( 口g ，口l ，) + 伤( v ) 】 其中，口为与参考总线相关的总线角向量；，为相关发电机的频率向量；1 ，为总 线电压的振幅向量；只q 为实电抗功率；下标g 和1 分别表示网络中的发电机和 负载总线；昂为机械输入电力；s = 乃晖1 乃，填表示惯性常对角矩阵，i 为 元素l 或者一l 的相关矩阵；电力0 ，只和由下式给出： = ( # ，名) 圪( 口，v ) = 杉巧饬s i n ( q 一巳) ，= l 鲸( 口，v ) = 一k 巧岛s i n ( q 一巳) 该系统为典型的非线性广义系统模型。 广义系统模型存在于社会生产的诸多方面领域中，以上实例从其中的几个侧 面反映了广义系统在当代科学技术中的应用，与正常系统相比，广义系统具有更 大的保持系统物理特性的能力。特别地，在一些耦合系统中，某些物理量之间确 实存在着由代数方程所刻划的约束。同时不少实际系统( 如受限机器人，非因果 系统) 只能用广义系统描述而不能用正常系统描述。因此，广义系统理论的研究 具有深远的实际意义。 4 第一章绪论 1 2 广义系统相关课题的研究现状 从2 0 世纪7 0 年代开始到现在，广义系统理论经过3 0 多年的发展，其理论 框架已基本建立。下面就本论文仅涉及到的问题做一个简单回顾。 1 2 1 广义系统h 。控制问题 鼠控制是一种优化控制，是以控制系统内部某些信号之间传递函数矩阵的 玑范数作为优化性能设计指标的优化控制。由于它弥补了此前的控制理论在实 际应用上的某些不足，以及它的模型本身所具有的广泛适用性，使其受到人们的 普遍重视。控制理论中的灵敏度极小化问题、鲁棒镇定问题、跟踪问题、模型匹 配问题等都可以归于巩控制问题。在控制理论中，也空间是在r ej o 上解析， 且满足下面的式子： 0 f o ) k = s u p o 。【f o ) 】：i 沁s o ) + ( 1 9 ) 的所有函数矩阵，( s ) 所构成的空间。在控制系统中，通常用到的是系统传递函 数矩阵的巩范数。 关于玩控制理论的研究大致可以分为两大类，一类是基于传递函数来进行 的，另一类是直接在状态空间描述上求解矾控制问题。1 9 8 3 年，美国j c d o y l e 提出了用状态空间法解以次优控制器问题【4 】。采用状态空间法，一般是将以控 制问题的解归为基于代数砌c c a t i 方程或者不等式的求解问题，而方程或不等式 的求解问题可以通过计算机解决。该方法使得频域上的矾控制理论问题可以直 接在时域上进行讨论，从这个意义上来说，e 。控制理论是一种综合域( 时间域与 频率域的总和) 上的优化控制理论。 而对于广义系统来说，标准的玑控制问题就是，对于以下广义系统： 戥( f ) = 止( f ) + 研以f ) + b “( f ) ： z ( f ) = c i x o ) + d 1 1 似f ) + d 1 2 “( f ) ( 1 一l o ) y ( f ) = c 2 x ( f ) + 砬l 以f ) + 砬2 “( f ) 7 其中：x ( f ) 尺”是广义状态变量，w ( f ) r 角是系统的外部输入变量，“( f ) r p 2 是 系统的控制输入变量，z ( f ) r 9 - 为系统的受控输出变量，y ( f ) r 吼是系统的测 量输出变量，e ，彳r “”，e ，q ，岛均为实数域上的具有适当维数的定常矩阵。这 里啪k e o 时，广义系统( 2 9 ) 满足 j l x o ) 0 ：伍p 一即0 x ( o ) i l ： 。 ( 2 1 0 ) 则称广义系统( 2 9 ) 是( 渐进) 稳定的，或称( e ，彳) 是稳定的。 引理2 3 1下面三个命题是等价的： ( 1 ) 广义系统( 2 9 ) 稳定。 ( 2 ) 在广义系统的受限等价形式( 2 6 ) 中，慢子系统稳定。 第二章广义系统及h 一控制的基本理论 ( 3 ) 6 ( e 4 ) c c 一，其中c 一= 缸j s c ，r e 0 ) 0 ) 表示左半开复平面域， o ( e 彳) 是( e ，彳) 的有穷极点域。 定义2 3 2 如果广义系统( 2 9 ) 正则、稳定且无脉冲，则称广义系统( 2 9 ) 是容许的，或称( e ，么) 是容许的。 2 4 动态补偿器 广义系统的动态补偿器，就是用原始广义系统的测量输出作为动态补偿器的 输入，而动态补偿器的输出作为原始广义系统的反馈控制输入的一类动态系统， 又称为动态输出反馈控制器。广义系统的动态补偿器可分为广义动态补偿器和正 常动态补偿烈4 2 1 。 考虑正则的广义系统( 1 - 2 ) ，其广义动态补偿器的形式如下 巨毫( ) = 4 t ( ) + 皿y ( ) ( 2 1 1 ) 拓( f ) = e t ( f ) + p y ) 其中，t ( t ) 尺；e ，4 r 。；毽，e ，d f 皆为适当维数的定常矩阵；t 为奇 异矩阵，r a 】咄丘= 以。 由广义系统( 卜2 ) 和广义动态补偿器( 2 1 1 ) 构成如下闭环广义系统： 威( f ) = ( 么+ b d c c ) 工( f ) + b c 。t ( f ) 巨毫( f ) = 吃c x ( f ) + 4 t ( f ) ( 2 1 2 ) 1 ) 广义动态补偿器镇定问题 求一个广义动态补偿器( 2 1 1 ) ，使得闭环广义系统( 2 一1 2 ) 是容许的，即 ( 易，以) 有础e + r a n k 置= 厂+ 个有穷极点，且满足6 ( 易，心) cc 一。 2 ) 正常动态补偿器镇定问题 当( 2 一1 1 ) 中的e = ，时，此时为正常动态补偿器，由它和广义系统( 1 2 ) 构成的闭环广义系统如下： 墩( ) = ( 4 + 皿c ) x ( ) + b e ( ) ( 2 一1 3 ) 毫( f ) = 皿c x ( f ) + 4 t ( f ) 求一正常动态补偿器，使得闭环广义系统( 2 1 3 ) 是容许的，即存在厂+ 个 有穷极点。 无论对与广义还是正常的情形，当= 珂时的动态补偿器称为全阶动态补偿 1 4 第二章广义系统及h 一控制的基本理论 器；当 力时，称为降阶动态补偿器，也称降阶控制器。 2 5h 。控制 玩控制的标准问题【4 3 】1 ，如图2 1 所示，就是对于给定的被控对象g ( s ) 和 丫仑丫。) ，寻找反馈控制器k ( s ) 使得闭环系统内部稳定，且已( s ) 满足： 0 乙( s ) 也 丫 ( 2 一1 4 ) 图2 - i 标准的以控制问题 其中w 表示外部输入；y 是向控制器提供的测量值；“是控制器的输出；z 是 误差信号，在设计中希望保持它比较小。k 为控制器。 g z a m e s 在1 9 8 1 年发表的著名论文 4 5 】，可以看成是也控制的先驱。在这 篇论文中，z 锄e s 进一步发展了他在1 9 6 6 年首次提出了利用控制系统内某些信 号间传递函数( 矩阵) 的以范数作为优化指标的设计思想。j c d o y l e 【1 2 】等四人 于1 9 8 9 年给出的直接状态空间法，将标准以控制问题归结为两个代数融c c a t i 方程的求解问题，所得控制器的阶数与被控对象的阶数相等。由于基于r i c c a t i 方法【2 l 】【1 2 】是以参数化形式给出的控制器的解集，参数的选择不仅影响到结论的 好坏，而且还会影响到问题的可解性。而这一不足之处，使用线性矩阵不等式 l m i 的方法【4 6 】m 可以得到较好的解决。下面主要介绍一下基于线性矩阵不等式 ( l m i ) 的以控制。 由于l m i 方法可以克服r i c c a t i 方法的上述种种不足，所以近年来受到了广 泛的关注。有关l m i 的基础知识见参考文献【4 7 】。以下直接给出基于l m i 的巩 控制问题的解。 对于广义系统： 臌( f ) = 血( f ) + 研似f ) + 岛“( f ) z ( f ) = c l x ( f ) + q l w + q 2 “( f ) ( 2 一1 5 ) 第二章广义系统及h 一控制的基本理论 存在一个输出反馈以控制器，并且8 l ( s ) k 丫，当且仅当存在对称正定矩阵x 嘲愕彳誊秘爿 。 ， c i - ， o ； 7 彳，r 磊曼 t ； 。 ( 2 一，6 b ， c ，l 享舡 坻) 以= 陉雩i h x 。+ 砖d k q + q k lp x d q 2 6 线性矩阵不等式l 2 6 1l 描述 在早期研究皿。控制的问题时，主要是用鼬c c a t i 方程来处理。尽管r i c c a t i 方程的方法可以给