（应用数学专业论文）脉冲微分系统的周期问题.pdf

摘要 本文主要研究了一阶、二阶脉冲微分方程的周期边值问题的周期解的存在 性问题，以及脉冲微分方程应用于具体的生物模型，对生物资源脉冲捕获的最优 开发问题综合了作者在攻读博士学位期间的完成的系统的论文成果， 全文共分成五章： 第一章作为准备知识给出了本文要用到的相关内容，其中包括非线性泛函分 析理论和脉冲微分方程理论 第二章给出了时滞l o t k a v o l t e r r a 型和具有有限时滞的一阶脉冲微分方程周 期边值问题存在周期解的充分条件并且具体讨论了生态学中所提出的各类时滞 脉冲微分方程模型，包括：l o g i s t i c 模型，红细胞再生模型、绿豆蝇模型和多个偏差 变元的周期l o g i s t i c 方程等得到了一些新成果，推广并改进了已有的相关的成果 第三章是关于有奇异的二阶脉冲微分方程周期边值问题的周期解的存在性 问题众所周知，二阶脉冲微分方程具有非常重要的物理意义本章所使用的方法 是l e r a y s c h a u d e r 抉择及锥不动点定理 第四章利用重合度理论，研究了具体的非自治脉冲微分方程互惠模型和捕食 者食模型的脉冲周期解的存在性问题 第五章结合实际的可操作的原则，考虑对资源的开发是间隔性的，是脉冲式 进行的，用脉冲开发的假设去研究资源的可持续发展问题，获得脉冲周期解的全 局稳定性和最优的捕获策略推广t c a n a d a 学者c l a r kcw 的关于可更新生物资 源的最优开发的经典结果 在论文的最后，总结了论文的创新点提出了论文的改进方向以及研究中所参 考的主要文献 关键词：时滞脉冲微分方程；周期解；存在性；奇异；l e r a y s c h a u d e r 抉择；锥不动 点；重合度：可更新生物资源的最优开发 a b s t r a c t t h i sp a p e rd i s c u s sm a i n l yt h ee x i s t e n c eo f p o s i t i v es o l u t i o n st op e r i o d i cb o u n d a r y v a l u ep r o b l e m sf o rf i r s to rs e c o n do r d e ri m p u l s i v ed i f f e r e t i a le q u a t i o n s i na d d i t i o n , i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa p p l i e st ob i o l o g i c a ls y s t e m ，m e a n w h i l e ，t h eo p t i m a l h a r v e s tp o l i c y 、砸t 1 1i m p u l s i v eh a r v e s ti sc o n s i d e r e d t h i s p a p e r i n c l u d e m o s t o f r e s e a r c h w o r k w h e n t h ea u t h o r p e r s u e h e r p h d d e g r e e t h ew h o l ec o n t e n t si sd i v i d e di n t of i v ec h a p t e r s c h a p t e r1 ，a st h eb e g i n n i n go f t h i sp a p e go f f e r ss o m e r e l a t i v ek n o w l e d g e ，s u c ha s p r e l i m i n a r yq u a l i t a t i v et h e o r yo fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，b a s i st h e o r yo fn o n l i n e a rt i m e t i o n a la n a l y s i s ，t h e o r yo f i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n c h a p t e r2 ，w eo b t a i n e dt h ee x i s t e n c ep o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n so f p e r i o d i cb o u n d a m yv a l u ep r o b l e mf o rf i r s to r d e rl o t k a - v o l t e r r ai n t e g r a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i t l li m p u l s ee f f e c t sa n df i r s to r d e ri m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i t hd e l a y w em a i n l yc o n - c e r n st h ee x i s t e n c eo ft h en o n l i n e a rc o n t i n u o u ss y s t e m st h a th a v ep r e v i o u s l ya p p e a r e d i nt h ep o p u l a t i o nd y a n m i c sl i t e r a t u r es u c ha ss i n g l es p e c i e sl o g i s t i cg r o w t hm o d e l s ，t h e m o d e lo f b l o o dc e l lp r o d u c t i o n ，a n ds oo n n e we a s i l yv e r i f i a b l es u f f i c i e n tc o n d i t i o n s a r ed e r i v e dw h i c hi m p r o v ea n dg e n e r a l i z er e l a t e dr e s u l t s c h a p t e r3 ，f o c u s e so nt h ee x i s t e n c ep o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o no f p e r i o d i cb o u n d a r yp r o b l e mf o rs e c o n do r d e ri m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n a sw ea l lk n o wt h es e e o n do r d e ri m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o nh a sm u c hi m p o r t a n tp h y s i c ss i g n i f i c a n c et o s t u d y t h em e t h o du s e dh e r ei sa h e m a t v el e r a y - s c h a u d e rt y p ea n do nt h ek r a s n o s e l s k i if i x e dp o i n tt h e o r e m ，a n ds t u d i e dt h ep e r i o d i cs o l u t i o no fr e p u l s i v es i n g u l a rd i f f e r - e n t i a le q u a t i o nw i t hi m p u l s ee f f e c t s c h a p t e r4 ，u s i n gt h ec o i n c i d e n c ed e g r e ea n dt h ep r i o r ie s t i m a t i o n s ，d i s c u s st h e n o n a n t o n o m o u si m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，i n c l u d i n gap r e d a t o r - p r e ys y s t e ma n d ac o o p e r a t i v es y s t e m s c h a p t e r5 ，c o m b i n e dt h ef e a s i b l ep r i n c i p l e ，s p e c i a l l yc o n s i d e rs u p p o s i t i o no f i m p u l s i v eh a r v e s ta n ds t u d ys u s t a i n a b l ed e v e l o p m e n to f b i o l o g i cr e s o u r c e su n d e rt h ei m p u l s i v eh a r v e s t ，d e r i v et h ee x i s t e n c ea n dg l o b a la s y m p t o t i c a l l ys t a b i l i t yo fi m p u l s i v e p e r i o d i cs o l u t i o n ，f u r t h e r m o r e ，t h eo p t i m a lh a r v e s tp o l i c yi so b t a i n e d t h ec l a s s i c a lr e i i s u i t so f c l a r k s f o r t h e m a n a g e m e n t o fr e n e w a b l e b i o l o g i c a lr e s o u r c e sa r eg e n e r a l i z e d a tt h ee n do ft h ep a p e gi ti sp r o p o s e dt h er e m a r ko ft h i sp a p e ra n dt h ef l l r t h e r s t i l a yd i r e c t i o n ，m a n yr e l a t e dr e f e r e n c e sa r el i s t e d k e yw o r d s ：i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i t hd e l a y ；p e r i o d i cs o l u t i o n s ；e x i s t e n c e ；s i n g u l a r ；a l t e r n a t i v eo f l e r a y s c h a u d e r ；k r a s n o s e l s k i if i x e dp o i n tt h e o r e m ；c o 。 i n c i d e n c ed e g r e e ；o p t i m a lh a r v e s t i n gp o l i c yf o rr e n e w a b l eb i o l o g i c a lr e s o u r c e s u i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范大学或其他教 育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任 何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：刭乒盛。粗日 期：2 ! 至、 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定， 即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和 磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权东北师范大学可以将学位论文的全部 或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保 存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：勰盛粮 日期：衄6 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 指导教师签名：至i 日期：坌f ，2 、4 电话： 邮编： 引言 脉冲现象作为一种瞬时突变现象，在现代科技各领域的实际问题中是普遍存 在的许多实际问题的发展过程往往有这样的特征：在发展的某些阶段，会出现 快速的变化为方便起见，在这些过程的数学模拟中，常常会忽略这个快速变化的 持续期间而假设这个过程是通过瞬时突变来完成的这种突变现象通常称之为脉 冲现象脉冲现象在现代科技各领域的实际问题中是普遍存在的，其数学模型往 往可归结为脉冲微分系统脉冲微分系统最突出的特点是能够充分考虑到瞬时突 变现象对状态的影响，能够更深刻、更精确地反映事物的变化规律近年最新科 技成果表明，这类系统在航天技术、信息科学、控制系统、通讯、生命科学、医 学、经济领域均得到重要应用 对脉冲微分方程的研究始于1 9 6 0 年v d m i l m a l l 和a d m y s h k i s 的工作见文 献 2 8 】自2 0 世纪8 0 年代，逐步引起广大专家、学者的关注并致力于从理论上对其 进行研究n 8 0 年代末对其研究已有一些重要的成果发表例如，建立了关于依赖 于状态的脉冲微分系统的基本理论，关于脉冲微分不等式的一些重要结果，关于 脉冲微分方程的稳定性基本定理等这些结果已被v l a k s h i m i k a n t h a m 等进行了 系统的总结见文献【3 】，这一时期的研究成果的特点是所考虑的系统只含脉冲而不 含时滞 自9 0 年代以来脉冲微分方程作为非线性微分系统领域的一个新的分支，更 加引起专家的重视和兴趣，关于解的稳定一陛 5 , 8 - i o , 3 4 , 4 4 、摄动性【6 1 、解的有界 性 8 5 , 1 3 8 己获得一批新的重要的研究成果，如得到具有有界滞量或无穷时滞的脉 冲泛函微分方程解的唯一性定理 5 8 】、整体存在性定理【4 4 , 8 5 】、延展定理、及解的 连续依赖性定理：利用高阶导数v 函数法、变分v 函数法，部分变元v 函数法等新 方法给出脉冲摄动微分系统、脉冲混合微分系统、脉冲泛函微分系统等关于测 度的稳定性定n 1 4 7 ，1 4 8 1 4 9 1 ；关于脉冲微分系统的边值问题也有了一些很好的结 果 1 1 t 4 6 ，5 0 5 7 6 0 6 4 , 8 7 t 9 2 9 7 对于脉冲自治系统的几何理论和脉冲偏微分系统振动 理论等问题的研究都取得了很大的进展这些结果被傅希林等系统的总结参见文 献【8 1 1 陈兰荪在2 0 0 2 年简述了近年来脉冲微分方程在生命科学中的应用 1 4 0 i ，其中 包括在药物动力学，种群动力学，传染病模型以及可再生资源的最优管理方面的 应用并且具体讨论- 了l o t k a v o r e 盯a 生态数学模型，传染病模型等在有脉冲的情 况下的持久性，周期性等动力学行为得到了一些很好的结果 1 4 0 - 1 4 6 但是我们知道脉冲微分系统在理论上它综合了连续和离散的特点，同时又超 出了连续和离散的范围还存在许多问题有待解决 由于在现实生活中我们经常会看到一些周期的脉冲现象，例如：时间的周期 性，许多种群的出生是不连续的，而是在一些固定的时间点( 如某些野生动物的 出生是季节性的，可以把在这些点种群的出生看作是对种群系统的脉冲，因此用 脉冲微分方程周期系统能够更精确的描述这种种群系统的特征对脉冲微分方程 周期系统理论研究中的一个基本问题是对方程解的存在性的研究，确定是否存在 周期解、什么条件下存在周期解周期解理论无疑是脉冲微分方程理论研究中的 一个重要课题周期解的存在性的讨论通常往往有两种办法，通过估计解的可匏 的界，( 1 ) 利用重台度理论得出解的存在性；( 2 ) 利用上下解的理论也可以得出解的 存在性然而任何一种证明方法都有它的局限性，事实上，在实际操作中是比较难 估计解的上界和下界的 本文主要研究脉冲微分方程周期边值问题周期解的存在性及其在生态系统 中的应用，还有可持续生物资源的脉冲式开发问题 本文主要安排如下：第一章给出了证明本文主要结论时所要用到的些预备 知识；第二章讨论了一阶时滞l o t k a v o r e r r a 型脉冲微分方程和一阶有限时滞脉冲 微分方程周期解的存在性；第三章证明了二阶脉冲微分方程周期解的存在性条件 并重点讨论了二阶奇异脉冲微分方程解的存在性：第四章研究了具体的非自治脉 冲微分方程互惠模型和捕食者食模型的脉冲周期解的存在性问题第五章结合实 际的可操作的原则，用脉冲开发的假设去研究资源的可持续发展问题，获得脉冲 周期解的全局稳定性和最优的捕获策略推广了c a n a d a 学者c l a r kcw 的关于可 更新生物资源的最优开发的经典结果 2 第一章预备知识 本论文主要考虑一阶脉冲微分方程的周期解的存在性以及具有周期边值条 件的一阶、二阶脉冲微分方程解的存在性问题并且讨论了有奇异的脉冲微分方 程解的情况。接下来结合实际情况，考虑可更新资源的最优开发问题考虑对资 源的开发是间隔的、脉冲式的用脉冲开发的假设去研究资源的可持续发展问 题为此我们先给出一些后面要用到的定理和一些相关知识，主要来自文献 4 0 】 1 1 锥不动点理论 定理1 1 ( a r z e l a a s c o l i 定理) 集合m cc “r 1 ) 相对紧的充分必要条件是： ( i ) 集合肘中的函数一致有界，即存在常数k 0 ，使得对一切“= “( 0 m 都 有“( 力墨v t 以 ( i i ) 集合肘中的函数等度连续，即对任给的s 0 ，存在d = d ( 0 0 ，使得当f le z1 2 zl i i t 2 i 6 时，对任给的“= “( 0 m 都有l u ( t 1 ) 一“( 龟) i 0 ，存在保核收缩k ，使 i x h ( 而1 15 ( 1 + 口p ，司，y x e 其中p ( 置表示z 到集合z 的距离 定理1 3 设x 是实b a n a c h 空间e 中的一个收缩核，对于罔挣每个有界开集u c 置 设a ：口_ 影全连续且在o u 上没有不动点( 即a x z ) ，其中- o $ 口o u 分别是u 相对 于朋拘闭包和边界，则存在整数i ( a ，u 西( 称为a 在u 上关于z 的不动点指数) ，满足 下面条件： ( i ) 正规性：若a ：移一u 是常算子，则州，h 固= 1 ； ( i i ) 可加性：若u 1 和巩是u 的互不相交的子集，都是开的( 关于并 且一在叭( u 1uu 2 ) 上没有不动点，则 i ( a ，矾蜀= 删，u i ，田+ 酗，u 2 ， 3 这里弘，酞，_ = | 。= 州i 巩，u k ，( i = 1 ，2 ) ； ( i i i ) 同伦不变性：设h ：【o ，1 可- 并全连续，使当( r ，x ) o ，1 a u 时，恒 有f “f ，曲墨l j i ( h ( t ，) ，m 与r 无关； ( i v ) 保挣眭：若y 是z 的收缩核，4 ( cy ，则 i ( a ，u 加= i ( a ，u a z d 这里i ( a ，u a zy ) = i ( a l u n r ，u a z 】，) ； ( v ) 切除陛：若矿是开集( 关于习，vc 以且a 在【厂吐没有不动点，则 i ( a ，m 田= i ( a ，k ( 旧可解性：若舭，h 0 ，则彳在u 中至少有一个不动点 定理1 4 设0 q ，a ：p n 豆一p 是全连续算子，并且满足 a x = p 工，石p n a n 4 1 那么必有f ( 口，p a n ，竹= 1 定义1 2 彳是一个b a n a c h 空间，k 是x 中的非空闭集，若k 满足下面的条件 ( i ) 当甜，v k 时，口甜+ p 甜k ，口，卢0 ( i i ) z ，- - g k 当且仅当“= 0 则世是一个锥 定理1 5 设z = 旺) 是一个b a n a c h 空间，k 是x = c 墨删) 中的锥，r ，r ( o r r ) 为 常数若中：西a k 一置( = 扛五i l x l l 尺) ) 全连续，如果满足条件 ( i ) z 中z ， a 【0 ，1 】， x k a a 乙， ( i i ) 存在砂目f o ) 使得x 巾x + 6 妒z k a a q r 和d 0 则币在k a 缸x ：r l i x l l r ) 中必有一个不动点 定理1 6 定理11 中，如果( i ) f s ( i i ) 换为 ( i ) 4z 中z ， e 0 ，1 ，z k a a q 尺， 4 ( i i ) 4 存z e 砂五( 0 ) 使得x m z + 渺x k h a n ，j f 口d 0 则在k n 缸x ：， 0 ， 则在k n ( - q 2 q 1 ) 中具有一个不动点 1 2l e r a y - s c h a u d e r 不动点理论 定理1 9 ( l e r a y s c h a u d e r 不动点定理) 4 c 为b a l l a c h 空间中的一个闭凸集，如 果，：c c 且厂是紧的( c 中的有界集映为相对紧集) ，则，在c 中有一个不动点 定理1 1 0b a n a c h 空间中的一个凸紧集有一个不动点 定义1 3 设f ：彳_ 置x 为b a n a c h 空间，如果存在一个r 0 ，使得i l x l l = ，即八d z ，v 1 ，则称，满足l e r a y s c h a u d e r 边值条件 定理1 1 1 ( l e r a y s c h a u d e r 抉择定理) 令f ：x _ 鼻是全连续的且如果满, 足l e r a y s c h a u d e r 边值条件，则侑一个不动点 1 3 重台度理论 令置z 是赋范向量空间，l ：d o m lc z z 为线性映射，n ：x z 为连 续映射如果i m l 是z 的闭子空间且k e r l = c o d i m l m l o 为常数 引理2 1 2 6 1 如果下面条件成立 c f ) 1 i 毋r ，珊，帮，t 和i m 舳s u p 州m 叫a x ，裂 。， ( z 6 ) 和广义绿豆蝇模型 1 0 ，1 2 ，1 5 ，1 6 ，1 8 ，( f ) = 一口( 咖( f ) + 6 ( 咖0 1 - ( t ) ) e - p ( t ) y ( 一7 ) ( 2 7 ) 因此对模型( 2 2 ) 的研究具有非常重要的理论和实际意义 2 1 时滞l o t k a - v o l t e r r a 型一阶脉冲微分方程 其中 本节主要讨论下面系统的周期解的存在性问题 j 歹( d = 一a ( 似f ) + 伫k o k ( 坝m ) ) 如 l ，( 寸) = ，( 百) + - o ( 啪) ， 三 f ( 2 8 ) ( a 1 1 ) ：y ( 哼) 和y ( f i ) 分别表示y ( 0 ) 在r = 0 点的右极限和左极限，y 在0 点是左连 续的： 似1 2 ) ：口( f ) c ( r ，( o ，0 0 ) ) ，k ( ，) c ( ( 一o 。，o ， o ，o 。) ) 且j k ( r ) d r = 1 g c ( r x 【o ，0 0 ) ， o ，0 0 ) ) ，c ( o ，c o ) 0 ，。0 ) ) ，和口( f ) ，g ( t ，力都是- 周期函数u 0 是常数； ( a 1 3 ) ：存在一个正整数p 使得0 + p = t j + o o ，i + p = 巧，j z 不失一般性，我们 假设 0 ，) n ( ，：z = 【t l , t 2 ，一， 2 1 1 周期解的存在性 我们首先考虑“线性问题” ； ：；，：y 一( 。q 。) b + i 。a + y ( 矿t i 。) ) ：。，7 6 互 c z ， 【y ( 哆) = ， 其中口( d c ( r ， 0 ，o 。) ) 为u 一周期函数，其余的参数满足假设条件1 1 ) 一( t 1 1 2 ) 一 似1 3 ) 事实上，由于脉冲函数不一定是线性的，因此( 2 9 ) 并不是一个真正的线性问 题然而，如果，( ，= 1 ，2 ，p ) 是线性的，则( 2 9 ) 便是一个线性脉冲问题 为此我们来给出下面的基本引理 引理2 2 贝力是方程( 2 9 ) 的一个u 一周期解等价于y ( 0 是下面的积分微分方程 的u 一周期解： 其中 y ( o = f “g ( t , s ) o - ( s ) a s + a ( t ，o ) o ( o ) ) ， ( 2 1 0 ) “ ：t j e t f + “) 晰，= 羔e 9 0 笔一”l 证明：假设y ( f ) 是( 2 9 ) 的一个u 一周期解 4 y ( t ) = b j ；f 础) 衅“( f ) 则“满足下面的方程 ( 2 1 1 ) f 玉( 0 = 矿+ ( f ) ，f o ， “( 矿) = u ( t 一) + 咏“( 功，仁f j ， ( 21 2 ) i “( h = p f a ( e ) a e u ( t ) ， 1 0 其中对n j z ， 口+ ( 力= p 矗“。砖矿( 力，弓 ( o ) ) = a l ( e j 啪砖“( 啪) n t t s ，t s + 1 ，j z 时，得 另一方面 则，当t e ，t i + 1 ，j z 时， 啪= “( 寸) + a 孙) 幽 “町) = “( 乒) + ，a ) 出 ”( 巧) + 弓( ( 仂) 十t ，+ ( s ) a s “( 乒，) + 鬈，) 如+ 巧( “( 。) ) + r + ( 圳j ( 2 1 3 ) “( q - 1 ) + 上。o - * ( s ) d s + 弓( 蜥) ) 则对任意的fe r ，存在，z ，使得t ( t j ，。+ 1 ，则 由上式，得 且 t + z o ( 0 十叫，t j + 1 + “ = ( t s + p ，0 + p + 1 ，_ ，z “( f + 叫) = ”( 辱叩一1 ) + f 矿+ ( 曲d ，+ 曩p ( z o ) ) o p f 一1 = “( 盘1 ) + f o - * ( s ) d s + 露( “( 噜) ) 。“ j ：t k e t i + h t + l o ) ，f + ， 一曩1 ) + + 。飞肼肋磊曲弘伽 = “( f ) 十f 口+ ( s ) 西+ 弓( “( 似 “( f + c 。) 一“( f ) = f + “矿4 ) d s ( s ) d s + ，；( “( o ) ) “( f + ) 一“( f ) = 矿4+ 芝：，；( “0 ，) ) n h 萄j 所以 即 “( 力 8 口( 静鹰一1 _ “旷+ ( s ) d s + 巧( “( 协jt j ：t j 青磊+ ) 。 。 “( f ) = + ”，+ ( 0 出+ 弓 ( 0 ) ) j ：t j e t ，h 曲 e 菇a ( o d 一1 因此 朋= 坐篆箬燮十嘉筹詈朋驸肌， r 件c 【j = fc ( t ，s ) o - ( s ) d s + g ( t ，t j ) i s o , ( t s ) ) 川 j ：，e n r + 埘) 证毕 r h e i m 2 2 ，我们很容易得到下面的引理2 3 引理2 3 若y ( 0 是方程( 2 8 ) 的u - 周期解等价t y ( t ) 是下面的积分微分方程的0 0 一周 期解： y ( r ) = f h 山g ( f ，o ok ( o g ( j ，y o 十，) ) 批+ 一 6 ( t , t j ) i j o ( o ) ) ， ( 2 1 4 )妁2 j ( 印 。j 一。 只m 批曲丢删 o 。n 叫4 其中g ( r ，曲同( 2 1 1 ) 的定义相同 定义 定义 p c b ( r ) = 抄：r _ r b , e c ( t j ，t j + 1 ) ，y ( 百) = y ( 0 ) ， y ( 寸) ，z y ( f ) 是r 上的有界连续函数 x = ( y ( 0 ：页0 e p c b ( r ) ，y ( t + 曲= y ( 0 ) ( 2 1 5 ) 圳= s u pf t v ( t ) i ：ye 田 t e o 甜 1 2 y 是一个实的b a n a c h 空间对任意的y 置定义下面的算子 令 ( ( 力= t + o 。g “s ) 仁( 忡船力) 批+ m 磊圳g ( f ，锄吣) ) ，( 2 1 6 ) k = 抄e x ：y ( f ) 0 和y ( d o l l v l l 0 ， 0 ， ( 2 1 7 ) 其中o 1 ； j 2 l j = l ( h 2 2 ) g o + b 墨p c i ) 0 ，当叫u g 时，有 黜+ 唾锄咖e r 定理2 1 假设( 玩1 ) 和( 胁3 ) 成立，则方程( 2 8 ) 至少存在两个正解y l 和姐并且 0 i t y l i l q 对于求方程( 2 8 ) 的u 周期解等价于求算子m 不动点 下面主要根据定理1 7 来证明我们的结论 证明：假设( 凰1 ) 和( h 2 3 ) 成立8 j j 用( h 2 1 ) 的第一式 知，对0 l ，使得 存在一个常数0 i j = l g ( t ，“) ( 1 一o g o a ( t ) u ，乃( “) ( 1 一e ) 如“，其中= 1 ，2 ，0 兰“兰， 因此，勘k - 目- i l v l l = ，贝o o - r s y ( 0 r 对任意的f r ，令廿j1 只需证对任意的y k n a n l 和 0 y 吵+ 砂 其中n 1 = 协z ：i l u l i , u + a o ，矛盾 另一方面，由( 吃3 ) 式，知存在g 0 使得叼”q 满足 o 世( ，) 甙s ，y o + ，) ) d rs ，。甄力口o ) “( 1 j 一j c 。 及 令q 2 = 似x ：i l u l l g ) ，则 日p g ) 击口( s ) “( 1 一日p 一曲。) ) j = lj = l ，( “) ) d ( ，姐 o - q = f l l u l l 兰k t ) i l u l i = q ，v k n d q 2 1 6 则任意自钞k 和圳= g ，知 。= g j 上。艇，域且如+ n 西西+ 曲氦曲g o 劫乃 蜘 ：( 1 一口p g ) g ( r ，。) 。) g 如+ b po p ( 。) ) g ( 1 一b 圭g ) ) f “g ( 抽) 。( ，) 幽+ 励pp ) o ) j = 1 一 ，= 1 = q = l l y l l 因此 l t 砂j | 蔓i p | | v y k n o f 2 2 ( 2 1 9 ) 由( 2 1 8 ) 和( 2 1 9 ) ，及定n i 7 得中有一个不动点y l k n ( q 2 n 1 ) 这里， l v l l l 0 ，说n y l ( t ) 是( 2 8 ) u 一周期正解 下面，利用( 岛1 ) 的第二式， 知对任意的0 i j = 1 ( 1 一e ) f g 。+ 一k o ) 1 ，= 1 g ( t ，踟( 1 一e ) 口( 力地乃( 矗( d ( 1 一e ) “，v “r 4 - r ：r l ，因此， 矿 u ( t ) o l l u 】= o - r = r l ，v “k n a 哂， 其中q 3 = “x ：i l u l l “+ a o ， 说明p p + o ，矛盾 因此，由( 2 1 9 ) 和( 2 2 0 ) 及定理1 7 得，西有一个不动点妮k n ( q 3 n 2 ) 这里， g 1 成立，则保证 系统( 2 8 ) 存在一个周期正解y i ；同理，如果在定理2 i 中我们只假设( 奶3 ) 和g 。+ 4 k u ) 1 成立，则保证系统( 2 8 ) 存在一个周期正解妮 i = 1 定理2 2 假设( h 2 2 ) 和( h z 4 ) 成立，则方程( 2 8 ) 至少存在两个正解y l 和妮并且 l i e n ：如果( h 2 2 ) 和( h 2 4 ) 成立利用( h 2 2 ) 的第一式 知，对任意的0 e 1 ，使得， 存在一个常数0 r g 使得 矿+ b ， 1 p ( 1 + e ) l g o + b ， 1 户l g ( t ，蔓( 1 + o a ( t ) g o u ，0 ( “) ( 1 + e ) 一址其中，= l ，2 ，一，p ，o “， 因此，如果y k 和i n i = r ，贝0 ，( 0 r 则对任意自钞k ； n l b 4 1 = _ 有 叫j ( g 。j - i k ( r ) g ( s , y ( 批+ 曲蔷。) 印锄饥蝴1 s ，“，咖( s ) 9 0 ( 1 + s ) k ( 咖( s + ，) 椭+ 占p 乃 ( 曲 以l 删圳厂) 如) 仁硎批+ b p ，o ) ( 1 删洲 ： ( 1 + o 矿+ b 墨p 】护| | 。 户l a 。) 仁k ( 咖( s + 力( 1 一爿毫u ) ) 也s er ， ，5 l 1 9 ( 2 2 1 ) p i a u ) 厶g ) 0 ) “= l 2 一，p j = l 因此，j 1 秒k 和l i ) ，| | = g ，贝f j o q y ( f ) q x c v t r ，沙i 1 ，只需证任意胁k n a c z 2 和 0 y 卿+ 砂 其中n 2 = 缸x ：恻l f “u ，。) 。( 。) f 。+ r ) ( 1 一爿：丘，+ 爿)+_。 ，5 ) 口( j ) j + r ) ( 1 一爿：丘g+ 爿芝： ) + j fo o k ( r ) y o ( b p i ( j ) ) a r a sjipg(t ) y oy ) ( j ) ) a r a sl d y o ( t j ) 3 - 0 乒( 1 - 4 p g ) o ) ) 厂“g ( f ，s ) 。( 。) 幽十舢p 如+ 。 说明p p + 2 0 ，矛盾由( 22 1 ) 和( 22 2 ) ，及定理1 7 得巾有一个不动点y 1 kr q ( q q 1 ) 这里r l 【y l | | 0 ，说n j y l ( t ) 是( 2 8 ) 的一周期正解 另一方面，由( h 2 2 ) 的第二式， 知对任意的0 e 1 使得 矿+ b 严u ) 1 ( 1 + e ) 妒+ b 尸o ) 吼对v “y i ，有 g ( t ，“) ( 1 + e ) a ( t ) g 。u ，b ( u ) s ( 1 + e ) ，”“ 令r ：r 2 ，因此，对v “k n a 0 3 矿 “( f ) ( r l l u l i = e r r = r l 其中q 3 = 忸e x ：i l u l 埘 则对任意自钞k 和i l v l l = r ，知 ( 2 2 3 ) ( 町o ( r ) ：f “。g ( f ，曲仁k ( r k ( s ，y o + r ) ) d r d s + g ( t ，t j ) i j f y ( t j ) )2j f 酬t 曲上。瞰啦。+ + 口，蠹。) 广蛳顾秽( 1 + 。伫驯刚卉寥+ 占著p 似曲 矿( 1 + ”“g(抽m。上0。甄，融+b(1+。蔷pe)lbllj, ”u ) i l y l l矿( 1 + g ( 7 ，5 ) 。( o f 。甄，融+ b ( 1 + o 善 口 = ( i + ) 函”+ 口p 0 ) l l v l l ，2 l m “ 即对任意的y k o 0 9 2 3 吵| | i l y l ( 2 2 4 ) 因此，由( 2 2 2 ) 和( 2 2 4 ) 及定理1 5 得，中有一个不动点y 2ek n ( 哂q 2 ) 这里， q i l v 2 1 1 0 这说i 珥y 2 ( t ) 是( 2 8 ) 的1 0 一周期正解证毕 推论2 7 如果用下面的c 嘭2 ) 式来代替( 珑2 ) 式，则定理2 2 的结论成立 p p ( 踢) g o = 0 ，= 0 ，g o o = 0 ，尸= 0 j = ii = l 证明：与定理2 2 的证明类似，从略 注2 4 ：如果在定理22 中我们只假设